После того, как вы внимательно изучите, как решать квадратные уравнения обычным образом с помощью
формулы для корней
можно рассмотреть другой способ решения квадратных уравнений — с помощью теоремы Виета.
Перед тем, как изучить теорему Виета, хорошо потренируйтесь в
определении коэффициентов
«a», «b» и «с» в квадратных уравнениях.
Без этого вам будет трудно применить теорему Виета.
Когда можно применить теорему Виета
Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему.
Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.
Запомните!
Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором старший
коэффициент «a = 1».
В общем виде приведенное квадратное уравнение выглядит следующим образом:
x2 + px + q = 0
Обратите внимание, что разница с обычным общим видом
квадратного уравнения «ax2 + bx + c = 0» в том, что в
приведённом уравнении «x2 + px + q = 0» коэффициент
«а = 1».
Если сравнить приведенное квадратное уравнение «x2 + px + q = 0» с обычным общим видом квадратного
уравнения «ax2 + bx + c = 0», то становится видно,
что
«p = b», а «q = c».
Теперь давайте на примерах разберем, к каким уравнениям можно применять теорему Виета, а где это не целесообразно.
| Уравнение | Коэффициенты | Вывод |
|---|---|---|
| x2 − 7x + 1 = 0 |
|
Так как «a = 1» можно использовать теорему Виета. |
|
3x2 − 1 + x = 0
Приведем уравнение к общему виду: 3x2 + x − 1 = 0 |
|
Так как «a = 3» не следует использовать теорему Виета. |
|
−x2 = −3 + 2x
Приведем уравнение к общему виду: −x2 + 3 − 2x = 0 |
|
Так как «a = −1» не следует использовать теорему Виета. |
Как использовать теорему Виета
Теперь мы готовы перейти к самому методу Виета для решения квадратных уравнений.
Запомните!
Теорема Виета для приведённых квадратных уравнений «x2 + px + q = 0» гласит
что справедливо следующее:
, где «x1» и «x2» — корни этого уравнения.
Чтобы было проще запомнить формулу Виета, следует запомнить:
«Коэффициент «p» —
значит плохой, поэтому он берется со знаком минус».
Рассмотрим пример.
x2 + 4x − 5 = 0
Так как в этом уравнении «a = 1», квадратное уравнение
считается приведённым, значит, можно
использовать метод Виета.
Выпишем коэффициенты «p» и «q».
- p = 4
- q = −5
Запишем теорему Виета для квадратного уравнения.
| x1 + x2 = −4 | |
| x1 · x2 = −5 |
Методом подбора мы приходим к тому, что корни уравнения
«x1 = −5» и «x2 = 1». Запишем ответ.
Ответ: x1 = −5; x2 = 1
Рассмотрим другой пример.
x2 + x − 6 = 0
Старший коэффициент «a = 1» поэтому можно применять теорему Виета.
| x1 + x2 = −1 | |
| x1 · x2 = −6 |
Методом подбора получим, что корни уравнения
«x1 = −3» и «x2 = 2». Запишем ответ.
Ответ: x1 = −3; x2 = 2
Важно!
Если у вас не получается решить уравнение с помощью теоремы Виета, не отчаивайтесь.
Вы всегда можете решить любое квадратное уравнение, используя
формулу для нахождения корней.
Деление уравнение на первый коэффициент
Рассмотрим уравнение, которое по заданию требуется решить, используя теорему Виета.
2x2 − 16x − 18 = 0
Сейчас в уравнении «a = 2»,
поэтому перед тем, как использовать теорему Виета нужно сделать так, чтобы «a = 1».
Для этого достаточно разделить все уравнение на «2».
Таким образом, мы сделаем квадратное уравнение приведённым.
2x2 − 16x − 18 = 0 | (:2)
2x2(:2) − 16x(:2) − 18(:2) = 0
x2 − 8x − 9 = 0
Теперь «a = 1» и можно смело записывать формулу Виета и находить корни методом подбора.
| x1 + x2 = −(−8) | |
| x1 · x2 = −9 |
Методом подбора получим, что корни уравнения
«x1 = 9» и «x2 = −1». Запишем ответ.
Ответ: x1 = 9; x2 = −1
Бывают задачи, где требуется найти не только корни уравнения, но и коэффициенты самого уравнения. Например, как в такой задаче.
Корни «x1» и
«x2» квадратного уравнения
«x2 + px + 3 = 0» удовлетворяют
условию «x2 = 3x1».
Найти «p», «x1»,
«x2».
Запишем теорему Виета для этого уравнения.
По условию дано, что
«x2 = 3x1».
Подставим это выражение в систему вместо «x2».
| x1 + 3x1 = −p | |
| x1 · 3x1 = 3 |
Решим полученное квадратное уравнение «x12 = 1»
методом подбора и найдем «x1».
x12 = 1
- (Первый корень) x1 = 1
- (Второй корень) x1 = −1
Мы получили два значения «x1».
Для каждого из полученных значений найдем «p» и запишем все полученные результаты в ответ.
(Первый корень) x1 = 1
Найдем
«x2»
x1 · x2 = 3
1 · x2 = 3
x2 = 3
Найдем «p»
x1 + x2 = −p
1 + 3 = −p
4 = −p
p = −4;
(Второй корень) x1 = −1
Найдем «x2»
x1 · x2 = 3
−1 · x2 = 3
−x2 = 3 | ·(−1)
x2 = −3
Найдем «p»
x1 + x2 = −p
−1 + −3 = −p
−4 = −p
p = 4
Ответ: (x1 = 1; x2 = 3; p = −4) и
(x1 = −1; x2 = −3; p = 4)
Теорема Виета в общем виде
В школьном курсе математики теорему Виета используют только для приведённых уравнений,
где старший коэффициент «a = 1», но, на самом деле, теорему Виета можно применить к любому квадратному уравнению.
В общем виде теорема Виета для квадратного уравнения выглядит так:
Убедимся в правильности этой теоремы на примере. Рассмотрим неприведённое квадратное уравнение.
3x2 + 3x − 18 = 0
Используем для него теорему Виета в общем виде.
| x1 + x2 = −1 | |
| x1 · x2 = −6 |
Методом подбора получим, что корни уравнения
«x1 = −3» и «x2 = 2». Запишем ответ.
Ответ: x1 = −3; x2 = 2
В заданиях школьной математики мы не рекомендуем использовать теорему Виета в общем виде.
Другими словами, реальную пользу теорема Виета приносит только для приведённых квадратных уравнений, в
которых «a = 1».
Именно в таких случаях она не усложняет жизнь, а позволят без дополнительных расчетов быстро найти корни.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Что называют теоремой?
Если человек обнаружил в математике какую-нибудь закономерность, позволяющую быстро решить ту или иную задачу, то ему не следует говорить о том, что он сделал открытие. Потому что может случиться так, что эта закономерность работает только для определённых случаев, а для других не работает или вовсе решает задачу неправильно.
Чтобы поделиться своим открытием с другими людьми, найденную закономерность следует сформулировать в виде утверждения, а затем доказать это утверждение, приводя неоспоримые факты.
Сформулированное утверждение называют теоремой. А доказательство теоремы состоит из фактов, логических рассуждений и вычислений, которые не оспариваются.
Например, теоремой можно назвать следующее утверждение:
«Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умнóжить на какое-нибудь число, то значение данной дроби не измéнится».
А затем привести такое доказательство:
Пусть, имеется дробь 
. Умнóжим числитель и знаменатель этой дроби на число с. Тогда полýчится дробь 
. Докáжем, что дроби и равны. То есть докажем, что равенство 
является верным.
Для доказательства этого равенства воспользуемся основным свойством пропорции:
От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Поэтому в получившемся равенстве можно упорядочить правую часть по алфавиту:
Поскольку равенство является пропорцией, а пропорция это равенство двух отношений, то дроби и 
равны. Теорема доказана.
Теорема Виета
Французский математик Франсуа Виет выявил интересную взаимосвязь между коэффициентами приведённого квадратного уравнения и корнями этого же уравнения. Эта взаимосвязь представлена в виде теоремы и формулируется так:
Сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней равно свободному члену.
То есть, если имеется приведённое квадратное уравнение x2 + bx + c = 0, а его корнями являются числа x1 и x2, то справедливы следующие два равенства:
Знак системы (фигурная скобка) говорит о том, что значения x1 и x2 удовлетворяют обоим равенствам.
Покажем теорему Виета на примере приведённого квадратного уравнения x2 + 4x + 3 = 0.
Мы пока не знаем какие корни имеет уравнение x2 + 4x + 3 = 0. Но по теореме Виета можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту 4, взятому с противоположным знáком. Если коэффициент 4 взять с противоположным знáком, то получим −4. Тогда:
А произведение корней по теореме Виета будет равно свободному члену. В уравнении x2 + 4x + 3 = 0 свободным членом является 3. Тогда:
Теперь проверим действительно ли сумма корней равна −4, и равно ли произведение 3. Для этого найдём корни уравнения x2 + 4x + 3 = 0. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
Корнями уравнения являются числа −1 и −3. По теореме Виета их сумма должна была равняться второму коэффициенту уравнения x2 + 4x + 3 = 0, взятому с противоположным знаком. Действительно, так оно и есть. Вторым коэффициентов в уравнении x2 + 4x + 3 = 0 является 4. Если взять его с противоположным знаком и приравнять сумму корней x1 + x2 к этому коэффициенту, то получается верное равенство:
А произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно было равняться свободному члену уравнения x2 + 4x + 3 = 0, то есть числу 3. Видим, что это условие тоже выполняется:
Значит выражение является справедливым.
Рассмотрим квадратное уравнение x2 − 8x + 15 = 0. По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Второй коэффициент равен −8. Если взять его с противоположным знаком, то получим 8. Тогда:
А произведение корней равно свободному члену. В уравнении x2 − 8x + 15 = 0 свободным членом является 15. Тогда:
Теперь проверим действительно ли сумма корней равна 8, и равно ли произведение 15. Для этого найдём корни данного уравнения. А для удобства воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента. В этот раз пропустим нéкоторые подробные записи:
Видим, что корнями уравнения x2 − 8x + 15 = 0 являются числа 5 и 3. Их сумма равна 8. То есть сумма корней равна второму коэффициенту уравнения x2 − 8x + 15 = 0, взятому с противоположным знаком.
А произведение чисел 5 и 3 равно 15. То есть равно свободному члену уравнения x2 − 8x + 15 = 0.
Значит выражение является справедливым.
Замечание. Чтобы теорема Виета выполнялась, квадратное уравнение обязательно должно быть приведённым и иметь корни.
Например, рассмотрим квадратное уравнение x2 − 2x + 4 = 0. Напишем сумму и произведение корней этого уравнения:
Но уравнение x2 − 2x + 4 = 0 не имеет корней, сумма которых равна 2, а произведение которых равно 4. Убедиться в этом можно, вычислив дискриминант:
D1 = k2 − ac = (−1)2 − 1 × 4 = −3
А значит записывать выражение не имеет смысла.
Теорема Виета полезна тем, что позволяет до начала решения узнать знаки корней уравнения.
Например, запишем для уравнения x2 − 5x + 6 = 0 сумму и произведение его корней. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
Посмотрев на эти два равенства можно сразу понять, что оба корня должны быть положительными. Потому что произведение x1 × x2 = 6 будет выполняться только в двух случаях: если значения x1 и x2 положительны либо они оба отрицательны. Если эти значения будут отрицательными, то не будет выполняться равенство x1 + x2 = 5, поскольку его правая часть равна положительному числу. А значения x1 и x2 должны удовлетворять как равенству x1 + x2 = 5, так и равенству x1 × x2 = 6.
Ещё одна польза от теоремы Виета в том, что корни можно найти методом подбора. В данном примере корни должны быть такими, чтобы они удовлетворяли как равенству x1 + x2 = 5 так и равенству x1 × x2 = 6. Очевидно, что таковыми являются корни 3 и 2
Значит, x1 = 3, x2 = 2
Доказательство теоремы Виета
Пусть дано приведённое квадратное уравнение x2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
Докажем, что равенства x1 + x2 = −b и x1 × x2 = c имеют место быть.
Вспомним формулы корней квадратного уравнения:
Найдём сумму корней x1 и x2. Для этого подставим в выражение x1 + x2 вместо x1 и x2 соответствующие выражения из правой части формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что в приведённом квадратном уравнении x2 + bx + c = 0 старший коэффициент a равен единице. Тогда в процессе подстановки знаменатель станет равен просто 2
Запишем правую часть в виде дроби с одним знаменателем:
Раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:
Сократим дробь 
на 2, тогда получим −b
Значит x1 + x2 действительно равно −b
x1 + x2 = −b
Теперь аналогично докажем, что произведение x1 × x2 равно свободному члену c.
Подставим вместо x1 и x2 соответствующие выражения из формул корней квадратного уравнения. Не забываем, что коэффициент a всё ещё равен единице:
Чтобы перемнóжить дроби, нужно перемнóжить их числители и знаменатели:
В числителе теперь содержится произведение суммы двух выражений и разности этих же выражений. Воспользуемся тождеством (a + b)(a − b) = a2 − b2. Тогда в числителе полýчится 
А знаменатель будет равен 4
Теперь в числителе выражение (−b)2 станет равно b2, а выражение 
станет равно просто D
Но D равно b2 − 4ac. Подстáвим это выражение вместо D, не забывая что a = 1. То есть вместо b2 − 4ac надо подставить b2 − 4c
В получившемся выражении раскроем скобки в числителе и приведём подобные члены:
Сократим получившуюся дробь на 4
Значит x1 × x2 действительно равно c.
x1 × x2 = c
Таким образом, сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком (x1 + x2 = −b), а произведение корней равно свободному члену (x1 × x2 = c). Теорема доказана.
Теорема, обратная теореме Виета
Когда записана сумма и произведение корней приведённого квадратного уравнения, обычно начинается подбор подходящих корней к этому уравнению. В этот момент в работу включается так называемая теорема, обратная теореме Виета. Она формулируется так:
Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел x1 и x2 равно свободному члену уравнения x2 + bx + c = 0, то числа x1 и x2 являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.
Обратные теоремы бывают поставлены так, что их утверждением является заключение первой теоремы.
Так, доказывая теорему Виета мы пришли к заключению, что сумма x1 и x2 равна −b, а произведение x1 и x2 равно c. В обратной же теореме это заключение служит утверждением.
Ранее мы решили уравнение x2 − 5x + 6 = 0 и написали для него такую сумму и произведение корней:
А затем подобрали корни 3 и 2. По сути мы применили теорему, обратную теореме Виета. Числа 3 и 2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 − 5x + 6 = 0, взятому с противоположным знаком (числу 5), а произведение чисел 3 и 2 равно свободному члену (числу 6). Значит числа 3 и 2 являются корнями уравнения x2 − 5x + 6 = 0.
Пример 2. Решить квадратное уравнение x2 − 6x + 8 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.
В данном уравнении a = 1. Значит квадратное уравнение является приведённым. Его можно решить по теореме, обратной теореме Виета.
Сначала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма корней будет равна 6, поскольку второй коэффициент исходного уравнения равен −6. А произведение корней будет равно 8
Теперь имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни. Они должны удовлетворять как равенству x1 + x2 = 6, так и равенству x1 × x2 = 8
Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Используя равенство x1 × x2 = 8 нужно найти такие x1 и x2, произведение которых равно 8.
Число 8 можно получить если перемножить числа 4 и 2 либо 1 и 8.
4 × 2 = 8
1 × 8 = 8
Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли не только равенству x1 × x2 = 8, но и равенству x1 + x2 = 6.
Сразу делаем вывод, что значения 1 и 8 не годятся, поскольку они хоть и удовлетворяют равенству x1 × x2 = 8, но не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6.
Зато значения 4 и 2 подходят как равенству x1 × x2 = 8, так и равенству x1 + x2 = 6, поскольку эти значения удовлетворяют обоим равенствам:
Значит корнями уравнения x2 − 6x + 8 = 0 являются числа 4 и 2.
Обратная теорема, как и любая теорема нуждается в доказательстве. Докажем теорему, обратную теореме Виета. Для удобства корни x1 и x2 обозначим как m и n. Тогда утверждение теоремы, обратной теореме Виета примет следующий вид:
Если числа m и n таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знáком, а произведение чисел m и n равно свободному члену уравнения x2 + bx + c = 0, то числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0
Для начала запишем, что сумма m и n равна −b, а произведение mn равно c
Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0, нужно поочередно подстáвить буквы m и n в это уравнение вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.
Помимо букв m и n нам нужно знать чему равен параметр b. Выразим его из равенства m + n = −b. Легче всего это сделать, умножив обе части этого равенства на −1
Теперь всё готово для подстановок. Подстáвим m в уравнение x2 + bx + c = 0 вместо x, а выражение −m − n подставим вместо b
Видим, что при x = m получается верное равенство. Значит число m является корнем уравнения x2 + bx + c = 0.
Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения x2 + bx + c = 0. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим mn, поскольку c = mn.
Видим, что при x = n тоже получается верное равенство. Значит число n является корнем уравнения.
Следовательно, числа m и n являются корнями уравнения x2 + bx + c = 0.
Примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета
Пример 1. Решить квадратное уравнение x2 − 4x + 4 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.
Запишем сумму корней x1 и x2 и приравняем её к второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Также запишем произведение корней x1 и x2 и приравняем его к свободному члену:
В данном примере очевидно, что корнями являются числа 2 и 2. Потому что их сумма равна 4 и произведение равно 4
Значение x1 совпадает с x2. Это тот случай, когда квадратное уравнение имеет только один корень. Если мы попробуем решить данное уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения, то обнаружим что дискриминант равен нулю, и корень вычисляется по формуле 
Данный пример показывает, что теорема обратная теореме Виета, работает и для уравнений, имеющих только один корень. Признаком того, что квадратное уравнение имеет только один корень является то, что значения x1 и x2 совпадают.
Пример 2. Решить уравнение x2 + 3x + 2 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.
Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:
Теперь подберём значения x1 и x2. Здесь начинается самое интересное. Произведение корней равно 2. Число 2 можно получить перемножив 1 и 2. Но сумма корней x1 + x2 равна отрицательному числу −3. Значит значения 1 и 2 не подходят.
Сумма бывает отрицательной если оба слагаемых отрицательны либо отрицательным является одно слагаемое, модуль которого больше.
Если подберём корни с разными знаками, то не будет выполняться равенство x1 × x2 = 2.
Если подберем положительные корни, то будет выполняться равенство x1 × x2 = 2, но не будет выполняться равенство x1 + x2 = −3.
Очевидно, что корнями являются два отрицательных числа. Произведение отрицательных чисел есть положительное число. А сумма отрицательных чисел есть отрицательное число.
Тогда равенствам будут удовлетворять числа −1 и −2.
Итак, корнями являются числа −1 и −2
Пример 3. Решить уравнение x2 + 16x + 15 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.
Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:
Как и в прошлом примере сумма корней равна отрицательному числу, а произведение корней — положительному числу.
Произведение бывает положительным если оба сомножителя положительны либо оба сомножителя отрицательны. Первый вариант отпадает сразу, поскольку сумма корней равна отрицательному числу. Тогда получается, что оба корня будут отрицательными. Попробуем подобрать их.
Число 15 можно получить, если перемножить числа −1 и −15 или (−3) и (−5). В данном случае подходит первый вариант, поскольку сумма чисел −1 и −15 равна −16, а их произведение равно 15. Значит корнями уравнения x2 + 16x + 15 = 0 являются числа −1 и −15
Пример 4. Решить уравнение x2 − 10x − 39 = 0 по теореме, обратной теореме Виета.
Запишем сумму и произведение корней данного уравнения:
Произведение корней равно отрицательному числу. Значит один из корней является отрицательным. Число −39 можно получить если перемножить числа −3 и 13 либо −13 и 3. Из этих комбинаций больше годится комбинация −3 и 13, поскольку при перемножении этих чисел получается −39, а при сложении 10
Значит корнями уравнения x2 − 10x − 39 = 0 являются числа −3 и 13
Пример 5. Первый корень уравнения x2 + bx + 45 = 0 равен 15. Найти второй корень этого уравнения, а также значение коэффициента b.
По теореме Виета произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену. В данном случае это произведение равно 45
x1 × x2 = 45
При этом один из корней уже известен — это корень 15.
15 × x2 = 45
Тогда второй корень будет равен 3, потому что число 45 получается, если 15 умножить на 3
15 × 3 = 45
Значит x2 = 3
Этот второй корень также можно было бы получить, выразив из равенства 15 × x2 = 45 переменную x2
Теперь определим значение коэффициента b. Для этого напишем сумму корней уравнения:
15 + 3 = 18
По теореме Виета сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней равна 18, а 18 это положительное число, то в самóм уравнении этот коэффициент будет отрицательным:
x2 − 18x + 45 = 0
Значит b = −18.
Обычно решение к такой задаче записывают так. Сначала записывают основную теорему Виета в виде суммы и произведения корней:
Затем в это выражение подставляют имеющиеся известные значения. В нашем случае известно, что первый корень равен 15, а свободный член уравнения x2 + bx + 45 = 0 равен 45
Из этой системы следует найти x2 и b. Выразим эти параметры:
Из этой системы мы видим, что x2 равно 3. Подставим его в первое равенство:
Теперь из первого равенства мы видим, что −b равно 18
Но нас интересует b, а не −b. Следует помнить, что −b это −1b. Чтобы найти b нужно 18 разделить на −1. Тогда b станет равно −18
Этот же результат можно получить если в выражении умножить первое равенство на −1
Теперь возвращаемся к исходному уравнению x2 + bx + 45 = 0 и подставляем найденное значение b
Выполним умножение −18 на x. Получим −18x
Раскроем скобки:
Пример 6. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа 2 и 8.
В этом задании корни уже известны. То есть x1 = 2, x2 = 8. По ним надо составить квадратное уравнение вида x2 + bx + c = 0.
Запишем сумму и произведение корней:
По теореме Виета сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Если сумма корней 2 и 8 равна 10, то в самóм уравнении число 10 должно быть с противоположным знаком. Значит b = −10.
Произведение корней по теореме Виета равно свободному члену. У нас это произведение равно 16.
Значит b = −10, c = 16. Отсюда:
x2 − 10x + 16 = 0
Пример 7. Используя теорему Виета, написать приведённое квадратное уравнение, корнями которых являются числа 
и 
.
Запишем сумму и произведение корней:
Сумма корней равна 2. Тогда в уравнении второй коэффициент будет равен −2. А произведение корней равно −1. Значит свободный член будет равен −1. Тогда:
x2 − 2x − 1 = 0
Когда квадратное уравнение неприведённое
Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым.
Если квадратное уравнение не является приведённым, но всё равно возникла необходимость применить теорему Виета, то обе части неприведённого квадратного уравнения следует разделить на коэффициент, который располагается перед x2.
Если к примеру в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент a не равен единице, то данное уравнение является неприведённым. Чтобы сделать его приведённым, надо разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x2, то есть на a
Получилось уравнение 
, которое является приведённым. В нём второй коэффициент равен 
, а свободный член равен 
. Тогда сумма и произведение корней будут выглядеть так:
Например, решим квадратное уравнение 4x2 + 5x + 1 = 0. Это уравнение не является приведённым. Приведённым оно станет, если разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x2, то есть на 4
Получили приведённое квадратное уравнение. В нём второй коэффициент равен 
, а свободный член 
. Тогда по теореме Виета имеем:
Отсюда методом подбора находим корни −1 и 
Возможно этот метод вы редко будете использовать при решении квадратных уравнений. Но знать о нём не помешает.
Пример 2. Решить квадратное уравнение 3x2 − 7x + 2 = 0
Данное уравнение не является приведённым, а значит его пока нельзя решить по теореме, обратной теореме Виета.
Сделаем данное уравнение приведенным. Разделим обе части на коэффициент, который располагается перед x2
Получили уравнение 
. Запишем сумму и произведение корней этого уравнения:
Отсюда методом подбора находим корни 2 и 
Пример 3. Решить квадратное уравнение 2x2 − 3x − 2 = 0
Это неприведённое квадратное уравнение. Чтобы сделать его приведённым, нужно разделить обе его части на 2. Сделать это можно в уме. Если 2x2 разделить на 2, то полýчится x2
Далее если −3x разделить на 2, то полýчится 
. Чтобы видеть где коэффициент, а где переменная, такое выражение записывают в виде 
Далее если −2 разделить на 2, то полýчится −1
Прирáвниваем получившееся выражение к нулю:
Теперь применяем теорему Виета. Сумма корней будет равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знáком, а произведение корней свободному члену:
Отсюда методом подбора находим корни 2 и 
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:
Решение:
Задание 2. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:
Решение:
Задание 3. Написать сумму и произведение корней для квадратного уравнения:
Решение:
Задание 4. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:
Решение:
Задание 5. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:
Решение:
Задание 6. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:
Решение:
Задание 7. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:
Решение:
Задание 8. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:
Решение:
Задание 9. Решить квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета:
Решение:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Теорема Виета в квадратных уравнениях — штука простая и очень-очень важная. Позволяет делать массу полезных вещей буквально в уме. Имеет смысл познакомиться и освоить, правда? Тем более это совсем просто. Сомневаетесь? Напрасно.) Сами увидите. Читаем дальше.
Что такое приведённое квадратное уравнение? Складываем и перемножаем корни…
Знакомство наше начнём с безобидного уравнения:
Обычное квадратное уравнение, ничего выдающегося. Коэффициенты a, b и c здесь следующие:
a = 1; b = -4; c = 3
Решаем тоже как обычно, безо всяких фокусов, через дискриминант и получаем два корня:
Уравнение как уравнение – и что с того? Ничего, сейчас интересно будет!)
Первым делом я возьму корни нашего уравнения и… сложу их.) Зачем? Так надо!
Итак:
Теперь проделаю ещё одну бесполезную (казалось бы!) штуку. Перемножу корни:
Ну сложил, ну перемножил — и что? Спокойствие и терпение!
Выпишем ещё разок само уравнение, а прямо под ним напишем сумму и произведение корней:
И посмотрим на нашу запись. Внимательно посмотрим… Ничего не бросается в глаза? Ведь многие важные открытия в математике совершались на основе хорошей наблюдательности, между прочим! Не видите…
А вот так?)
Да! Сумма корней нашего квадратного уравнения равна коэффициенту b. Но, обратите внимание, не просто b, а с противоположным знаком! В уравнении коэффициент при икс (а это и есть буковка b) равен минус четыре. Сумма же корней даёт плюс четыре. То есть, –b.
А произведение корней даёт нам свободный член! Т.е. буковку c. Даёт со своим знаком! Как была в уравнении тройка (с=3), так в произведении корней тройкой же и осталась.)
Теперь я немного изменю уравнение. Поменяю в нём свободный член с тройки на четвёрку. Вот такое уравнение теперь решим:
Решаем точно так же, через дискриминант (здесь он равен нулю), и получаем единственное решение x=2.
Но мы с вами люди уже достаточно взрослые и понимаем, что это не один корень, а два одинаковых:
x1,2 = 2
Поэтому снова сосчитаем сумму и произведение корней:
И опять в сумме мы получили –b (-b=+4), а в произведении с (c=+4)!
А вот это уже крайне важно! Оказывается, такая забавная штука будет получаться всегда для любого квадратного уравнения! Если оно имеет корни, разумеется.) Правда, уравнения не какого попало, а такого, где квадрат икса чистый (т.е. коэффициент a=1). В математике такие квадратные уравнения имеют своё особое название — приведённые квадратные уравнения.
Запоминаем:
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х2 равен единице (а=1), называется приведённым квадратным уравнением. Весьма важная штука!
Как оно выглядит в общем виде? Очень просто. Подставим в общий вид квадратного уравнения
единичку вместо а и получим общий вид приведённого квадратного уравнения:
В некоторых учебниках коэффициенты b и с переобозначают другими буквами (чаще всего p и q) и получают вот такой общий вид
Но суть та же самая. Как говорится, хоть горшком назови… Лично я предпочитаю использовать традиционные буквы b и с. Для универсальности.)
Ну и что из этого? – спросите вы. Чем приведённые квадратные уравнения так выделяются на фоне остальных квадратных, неприведённых? А дело вот в чём.
Что такое теорема Виета?
Итак, мы выяснили, что в приведённом квадратном уравнении (любом!) сумма коэффициентов равна –b, а произведение равно с. Всегда. Ясное дело, если дискриминант неотрицательный и корни у уравнения имеются.
Математически эта фишка записывается вот так:
Этот любопытный факт — и есть теорема Виета! Собственной персоной.
А словами она звучит вот как:
Теорема Виета:
Если ПРИВЕДЁННОЕ квадратное уравнение имеет корни, то их сумма равна коэффициенту при икс, взятому с противоположным знаком (–b), а их произведение равно свободному члену (c).
Вот и всё, никаких премудростей.)
Хотите строгое доказательство? Пожалуйста! Флаг вам в руки!) Распишите общую формулу корней квадратного уравнения для a=1, составьте сумму и произведение корней в общем виде. Т.е. через буквы. И упростите. Попробуйте! Весьма полезно и познавательно, между прочим.)
Верна также и обратная теорема:
Если числа х1 и х2 таковы, что их сумма равна –b, а произведение равно c, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения x2 + bx + c = 0.
А по секрету скажу вам, что, на самом деле, именно обратной теоремой вы и пользуетесь, так умело подбирая в уме корни уравнения по сумме и произведению! Об этом подборе как раз дальше будет.)
Зачем нужна теорема Виета?
Полезная вещь первая — подбираем корни в уме!
Теорема Виета (обратная форма) позволяет искать корни многих квадратных уравнений гораздо быстрее и проще, чем традиционным путём через дискриминант. В буквальном смысле устно!
Вернёмся к нашему уравнению:
Теперь, вооружившись глубокими познаниями, прямо по теореме Виета, записываем системку для наших искомых корней:
Вопрос на сообразительность: какие же такие два числа в сумме дают четвёрку, а в произведении — тройку? Немного подумав головой, можно довольно быстро догадаться, что это чиселки 1 и 3.
Значит, можно смело записать:
x1 = 1
x2 = 3
Вот и всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят.) Здорово, правда? И не нужно считать никаких дискриминантов, возиться с общей формулой корней. В которой, между прочим, можно и ошибок наляпать… Сразу, в уме, получен верный ответ!
Возможно, кто-то уже приготовил мне вопрос. Очень грамотный вопрос, кстати. А всегда ли в случае приведённого квадратного уравнения можно вот так красиво и легко подобрать корни?
К сожалению, нет. Далеко не всегда. Например, я снова изменю в исходном уравнении свободный член, только вместо четвёрки напишу двойку. Вот такое уравнение пусть будет:
Уравнение приведённое, коэффициент а равен единичке, вроде бы, всё нормально. Пишем теорему Виета:
И снова пробуем подобрать иксы так, чтобы оба равенства сработали!
Гм… Что-то не подбирается, правда? Какие бы целые числа вы бы ни подбирали, ничего не выйдет.
Тут выход только один — решать через дискриминант. Ибо дискриминант — штука универсальная. Спасает всегда — и в приведённых уравнениях, и в обычных. Попробуйте. И вы убедитесь, что корни этого уравнения получаются иррациональными. Естественно, такие корни подобрать в уме несколько затруднительно, да…
Догадываюсь, что вы сейчас спросите: Зачем же нам тогда городить огород, пробовать подобрать корни, если дискриминант всё равно надёжнее и с ним-то уж точно всё решится?
Да, надёжнее, но… Не всё так просто, как кажется!
Дело всё в том, что квадратные уравнения изучаются в 8-м классе, где народ тренируется на простых (иногда — совсем примитивных) задачках. И… привыкает к простоте.) Затем, в старших классах и особенно в институте, при изучении высшей математики, квадратные уравнения представляются как нечто само собой разумеющееся. Но при этом в коэффициентах зачастую возникают такие большие числа, что работать с ними большинство учеников… просто не готовы!
Попадётся вам, к примеру, такая задачка:
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 82 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 3 часа 25 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Это не моя разыгравшаяся фантазия, а вполне реальная задачка из ЕГЭ, между прочим.)
Кто в курсе, как решать текстовые задачи на движение, тот без труда составит вот такое уравнение:
Классическое дробно-рациональное уравнение. Здесь х — скорость велосипедиста. Немного повозившись с ним (избавившись от дробей и упростив всё до упора), получим вот такое квадратное уравнение:
Если начать решать это уравнение по-рабочекрестьянски, то получим, что дискриминант у него равен аж 13924! И… что? Как нам из такого здоровенного числа корень извлекать? Без калькулятора! Слабо? То-то…
Зато через теорему Виета это злое уравнение решается практически устно! Не верите? Что ж, смотрите сами…
Записываем сумму и произведение корней:
Осталось лишь догадаться, какие же числа дают в сумме минус 82, а в произведении минус 1800. Совсем чуточку подумав, довольно быстро получим, что:
Минус сто, ясное дело, нас не интересует (скорость не бывает отрицательной), а вот 18 км/ч — вполне себе правдоподобная велосипедная скорость.)
Вот и все дела.) И без долгих и утомительных вычислений, связанных с извлечением корня из пятизначного числа! Здорово, правда?
Посему, первые практические советы:
1. Если перед вами квадратное уравнение приведённого вида, то первым делом пробуем найти корни подбором. По теореме, ОБРАТНОЙ теореме Виета. В подавляющем большинстве заданий это срабатывает.
2. Не боимся уравнений с большими коэффициентами! Самое главное — не бросаемся считать дискриминант! Как правило, корни таких уравнений также довольно легко ищутся подбором.
Может, конечно, и не повезти, но зачем же такой шанс упускать, правда?)
Но есть у меня для вас хорошая новость.) Составители большинства заданий — люди гуманные.) И стараются составить уравнение так, чтобы корни являлись целыми числами и их легко можно было бы подобрать. Пробуем делать это!
Переходим к следующей полезной вещи.
Полезная вещь вторая — проверяем корни!
Теорему Виета можно применять не только для подбора корней, но и для проверки корней, найденных другим способом (через дискриминант, например). Решили уравнение – проверьте сумму и произведение корней! Всё срослось — значит, верно. Нет — значит, где-то накосячили. Ищите ошибку.)
Например, такое уравнение:
Дело нехитрое. Решаем себе через дискриминант, всё чин-чином, получаем корни:
x1 = -7
x2 = -3
Не бросаемся сразу же радостно писать ответ! Знаете поговорку доверяй, но проверяй?) Вот и не ленимся. Первым делом сложим наши корни:
Получили -10. Обратите внимание, не десять, а минус десять! Коэффициент b с противоположным знаком. Так уж теорема Виета устроена.)
Последняя (и окончательная) проверка — перемножим корни. Должен получиться свободный член:
Вот теперь всё хорошо.)
Более того, с этой благородной целью (проверка корней) теорему Виета можно применять и для неприведённых квадратных уравнений. Для любых. Да-да, я не шучу! Но эту фишку я оставлю на конец урока. На десерт.)
И что, думаете, только для подбора и проверки корней теорема Виета и нужна? Вовсе нет!
Полезная вещь третья — когда корни считать… не надо!
Вы спросите, а разве можно обойтись и вовсе без вычисления корней? Можно! Ещё как!)
Дискриминант — штука, безусловно, удобная, простая и понятная. С ним, как правило, всё легко и предсказуемо. Но… Может получиться какой-нибудь дурацкий дискриминант: 17 там, скажем, или 20. Что неизбежно приводит к появлению иррациональных корней, да…) А уж если в задании надо ещё что-то делать с корнями, то выражения с радикалами, даже для опытного ученика, могут перерасти в большую проблему. А для неопытного — вообще превратиться в полный ахтунг.
Но теорема Виета иногда способна на настоящие чудеса!
Например, такое задание:
Дано квадратное уравнение:
Найдите сумму квадратов корней, не находя самих корней.
Если сейчас начать решать это задание “в лоб” — считать дискриминант и искать корни уравнения по общей формуле, то получим вот таких двух красавцев:
Нам нужна сумма их квадратов. И что нам теперь с такими лохматыми числами делать?! Возводить в квадрат, складывать… Нет, возвести и сложить можно, конечно, но… не каждый ученик дорешает до конца это задание без ошибок!
Не отчаиваемся и читаем ещё раз условие. Обратите внимание, нам вообще НЕ сказано “решать уравнение”, НЕ сказано “находить корни”. Более того, нам прямым текстом говорится: “Найти сумму квадратов корней, не находя самих корней“.
Что делать? Как выкручиваться без поиска корней?
Посмотрим ещё раз на уравнение. Приведённое, между прочим.) Раз так, то, стало быть, для него справедлива теорема Виета!
Можно смело записать:
Вот так. Сумма корней — тройка, а произведение — единичка. Мы не знаем, чему равны сами эти корни, но у нас это и не спрашивают. Нас просят найти только сумму их квадратов.)
А вот теперь ключевой вопрос: А можно ли как-то расписать нужную нам сумму квадратов корней через сумму и произведение корней?
Да, можно! Кто на “ты” с формулами сокращённого умножения (а именно — с формулой квадрата суммы), тот, скорее всего, даже не заметит проблем.
Пишем:
Как я додумался до этого равенства? Очень просто. Вспомнил, что в формуле квадрата суммы сидят сумма квадратов и удвоенное произведение:
И выразил нужную величину (сумму квадратов) через остальные — сумму (т.е. квадрат суммы) и произведение (удвоенное).
Вот и всё, практически. Осталось лишь подставить тройку вместо суммы и единицу вместо произведения корней, да и посчитать, что получится:
Ответ: 7
И все дела.) И корни не понадобились! Вообще.) Мощная штука — теорема Виета! Ну и формулы сокращённого умножения, само собой.)
Этот приём — выражение какой-то сложной конструкции через сумму и произведение корней — очень популярен в заданиях на теорему Виета! Я уж молчу про более серьёзные задания. Например, задачи с параметрами, там этот финт ушами используется на полную катушку.)
Запоминаем:
В серьёзных заданиях на сумму и произведение корней пользуемся формулами сокращённого умножения и алгеброй 7-го класса! Здорово помогает.)
Как работать с неприведёнными уравнениями?
Как известно, самое сладкое — в конце трапезы. Обещанный десерт.)
Во всех примерах этого урока мы работали лишь с приведёнными квадратными уравнениями. Такими, у которых коэффициент при квадрате икса — единичка. А если уравнение не является приведённым? Т.е. а≠1? Что тогда? Про теорему Виета можно забыть?
Нет, забывать мы не будем. Мы поступим мудро и красиво. Раз уравнение не является приведённым, то мы его… сделаем! Как? Очень просто! Берём квадратное уравнение в общем виде:
и… делим обе части на “а”! Очищаем квадрат икса от коэффициента. Можно ли так делать? Конечно! Мы ведь с вами уже в курсе, что a никогда не бывает равно нулю (а≠0). Иначе уравнение будет не квадратным, а линейным. Вот и делим смело. Это совершенно безопасно. Естественно, все остальные слагаемые тоже придётся поделить на а, от этого никак не отвертишься.
Получим:
Вот и всё. Уравнение стало приведённым. Коэффициенты, правда, дробными стали, но тут уж ничего не поделать, да…) В этом новом уравнении в роли нового “b“ выступает дробь b/a, а в роли нового свободного члена — дробь c/a. Можно записывать теорему Виета:
Вот так. Такая модифицированная запись теоремы Виета — более общая. Для любых квадратных уравнений годится — как приведённых (а=1), так и обычных (а≠1). С той лишь разницей, что при а=1 знаменатели исчезают — и теорема обретает свой привычный вид.
Имеет смысл запомнить эту общую форму записи: и для банальной проверки корней пригодится, и, опять же, для более солидных заданий на квадратные уравнения.
Например, надо решить уравнение:
Решаем, получаем корни:
Предположим, вам захотелось проверить, правильно ли вы нашли ваши иксы. Для этого, знамо дело, их надо подставить в исходное уравнение и посчитать результат. Но корни — дробные. Подставлять да считать долго и муторно…
Как проверить корни быстро и с минимумом вычислений? Не проблема! Записываем обобщённую теорему Виета для а=6:
И работаем. Складываем корни:
Так, по сумме всё проходит. Осталось перемножить:
И тут полный порядок! Значит, всё правильно.)
Очередной практический совет:
Найденные корни стараемся проверять! По сумме и произведению. Это здорово уменьшает количество ошибок при решении квадратных уравнений. Если уравнение не является приведённым, то для проверки пользуемся соответствующей модифицированной теоремой Виета.
Итак, мы с вами выяснили, что теорема Виета — штука простая. И очень полезная. И это не только трафаретное решение квадратных уравнений! В ВУЗе, при работе со всякими там пределами, интегралами, дифференциальными уравнениями и прочими прелестями высшей математики, вы ещё не раз вспомните добрым словом знаменитого французского математика с его теоремой.)
Ну что, порешаем?
1. Найдите подбором корни уравнений:
Ответы (в беспорядке):
2. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 23 см, а гипотенуза равна 17 см. Найдите больший катет треугольника.
3. Разность корней уравнения 2х2 — 5х + с = 0 равна 1,5. Найдите с.
4. Дано уравнение: x2 — 6x + 4 = 0. Не решая уравнения, найдите сумму кубов его корней.
5. Известно, что х1 и х2 — корни уравнения х2-18х+11 = 0.
Найдите значение выражения:
Ответы (в беспорядке):
144; 15; -1; 1
Всё сошлось? Рад за вас! Значит, отныне теорема Виета — не ваша очередная головная боль, а новый надёжный друг и помощник при решении уравнений (и не только квадратных, между прочим!).
Задания 4 и 5 не идут? Корни иррациональные получаются? Это специально.) Да и не нужны они вам… Да, есть там одна загвоздочка. Но алгебра седьмого класса и действия с дробями вам помогут! И этот урок, само собой. И всё получится.)
