Как найти подходящее неравенство

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

Содержание страницы:

Неравенства

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак     =     поменять на любой из знаков неравенства:

>    больше,

≥    больше или равно,

<    меньше,

≤    меньше или равно,

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

a x < b a x ≤ b a x > b a x ≥ b

где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.

Примеры линейных неравенств:

3 x < 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x < 1 x ≤ 0

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

x < c x ≤ c x > c x ≥ c

где c – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

Таблица числовых промежутков

Неравенство	Графическое решение	Форма записи ответа
x < c		x ∈ ( − ∞ ; c )
x ≤ c		x ∈ ( − ∞ ; c ]
x > c		x ∈ ( c ; + ∞ )
x ≥ c		x ∈ [ c ; + ∞ )

Алгоритм решения линейного неравенства

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство    3 ( 2 − x ) > 18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 − 3 x > 18

− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )

Делим обе части неравенства на (-3) – коэффициент, который стоит перед  x. Так как    − 3 < 0 ,   знак неравенства поменяется на противоположный. x < 12 − 3 ⇒ x < − 4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 )

№2. Решить неравество    6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14

6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4

3 x ≥ − 15         |     ÷ 3 Делим обе части неравенства на (3) – коэффициент, который стоит перед  x. Так как 3 > 0,   знак неравенства после деления меняться не будет.

x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x ∈ [ − 5 ;     + ∞ )

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

Примеры:

№1. Решить неравенство    6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6 x − 1 ≤ 6 x − 1

6 x − 6 x ≤ − 1 + 1

0 ≤ 0

Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x. Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x, чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

Ответ:

1. x – любое число
2. x ∈ ( − ∞ ; + ∞ )
3. x ∈ ℝ

№2. Решить неравенство    x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x + 6 − 9 x > − 8 x + 48

− 8 x + 8 x > 48 − 6

0 > 42

Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

Ответ: x ∈ ∅

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c < 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 где a, b, c – некоторые числа, причем   a ≠ 0, x – переменная.

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство    x 2 ≥ x + 12.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

x 2 ≥ x + 12

x 2 − x − 12 ≥ 0

x 2 − x − 12 = 0

a = 1, b = − 1, c = − 12

D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ .

Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство    − 3 x − 2 ≥ x 2 .

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

− 3 x − 2 ≥ x 2

− x 2 − 3 x − 2 ≥ 0

− x 2 − 3 x − 2 = 0

a = − 1, b = − 3, c = − 2

D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1

x 1 = − 2, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 < 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет   − .

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   ≥ , выбираем в ответ интервал со знаком   +.

Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x ∈ [ − 2 ; − 1 ]

№3. Решить неравенство   4 < x 2 + 3 x .

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

4 < x 2 + 3 x

− x 2 − 3 x + 4 < 0

− x 2 − 3 x + 4 = 0

a = − 1, b = − 3, c = 4

D = b 2 − 4 a c =   ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1

x 1 = − 4, x 2 = 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение:

− x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 < 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет   -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   < ,  выбираем в ответ интервалы со знаком   − .

Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№4. Решить неравенство   x 2 − 5 x < 6.

Решение:

Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c   ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.

x 2 − 5 x < 6

x 2 − 5 x − 6 < 0

x 2 − 5 x − 6 = 0

a = 1, b = − 5, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49

D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня

x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1

x 1 = 6, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 =   44 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   < , выбираем в ответ интервал со знаком   -.

Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые

Ответ:   x ∈ ( − 1 ; 6 )

№5. Решить неравенство   x 2 < 4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

x 2 < 4

x 2 − 4 < 0

x 2 − 4 = 0

( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0   [ x = 2 x = − 2

x 1 = 2, x 2 = − 2

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   < ,   выбираем в ответ интервал со знаком   − .

Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ:   x ∈ ( − 2 ; 2 )

№6. Решить неравенство   x 2 + x ≥ 0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения   x 2 + x = 0.

x 2 + x ≥ 0

x 2 + x = 0

x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1

x 1 = 0, x 2 = − 1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   ≥ ,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )

Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f ( x ) g ( x ) < 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x − 1 x + 3 < 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство   x − 1 x + 3 > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

№2. Решить неравенство   3 ( x + 8 ) ≤ 5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )

№3. Решить неравенство   x 2 − 1 x > 0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Системы неравенств

Сперва давайте разберёмся, чем отличается знак { системы от знака [ совокупности. Система неравенств ищет пересечение решений, то есть те точки, которые являются решением и для первого неравенства системы, и для второго. Проще говоря, решить систему неравенств – это найти пересечение решений всех неравенств этой системы друг с другом. Совокупность неравенств ищет объединение решений, то есть те точки, которые являются решением либо для первого неравенства, либо для второго, либо одновременно и для первого неравенства, и для второго. Решить совокупность неравенств означает объединить решения обоих неравенств этой совокупности. Более подробно об этом смотрите короткий видео-урок.

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

{ x + 4 > 0 2 x + 3 ≤ x 2

Алгоритм решения системы неравенств

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств   { 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ [ 2 ; 4 ]

№2. Решить систему неравенств   { 2 x − 1 ≤ 5 1 < − 3 x − 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ( − ∞ ; − 1 )

№3. Решить систему неравенств   { 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 > 5 − x

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ∅

№4. Решить систему неравенств   { x + 4 > 0 2 x + 3 ≤ x 2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

Ответ:   x ∈ ( − 4 ; − 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ )

Скачать домашнее задание к уроку 8.

Решение неравенств любого вида

Сегодня посмотрим один вид задания №13 первой части ОГЭ, которое вызывает наибольшие трудности у девятиклассников.

Само задание звучит следующим образом:

Укажите неравенство, которое не имеет решений:

1) x²+x+36<0

2) x²+x+36>0

3) x²+x-36<0

4) x²+x-36>0

Это стандартное полное квадратное неравенство.

Если левая часть квадратного неравенства имеет корни, то неравенство всегда имеет решение.

Если левая часть не имеет корней, то неравенство либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений.

Значит, чтобы неравенство не имело решений необходимо выполнение нескольких условий, первое из которых: левая часть не имеет корней.

На этом этапе уже можно отсеять варианты 3) и 4)

Осталось теперь определить, какое из оставшихся неравенство имеет бесконечное множество решений, а какое не имеет решений.

Для этого изобразим решение на числовой прямой. Функция “у=x²+x+36” парабола. Ветки параболы смотрят вверх (a>0). Т.к. функция не имеет корней, то парабола не пересекает числовую прямую, а значит располагается выше оси.

Значит при любом значении х: x²+x+36>0.

А вот x²+x+36<0 не имеет решений

ОТВЕТ: 1

ПС Обратите внимание, что при отрицательном дискриминанте УРАВНЕНИЕ не имеет решений, на НЕРАВЕНСТВО либо не имеет решений, либо имеет бесконечное число решений. Поэтому выбор ответа требует дополнительного исследования функции.

Продолжение следует…

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)

Посмотрите на еще одну таблицу. В ней представлены степени (frac{1}{3}):

$$left(frac{1}{3}right)^0=1;$$
$$left(frac{1}{3}right)^1=frac{1}{3};$$
$$left(frac{1}{3}right)^2=frac{1}{9};$$
$$left(frac{1}{3}right)^3=frac{1}{27};$$
$$left(frac{1}{3}right)^4=frac{1}{81};$$
$$left(frac{1}{3}right)^5=frac{1}{243};$$

Оказывается, чем в большую степень мы будем возводить (frac{1}{3}), тем МЕНЬШЕЕ значение будем получать. Показательная функция с основанием (frac{1}{3}) будет убывающей. Более того, если возводить в степень любую дробь меньшую единицы, с увеличением степени вы всегда будете получать всё меньшие и меньшие значения. Чтобы наглядно это продемонстрировать, нарисуем еще один график функции (y=(frac{1}{3})^x):

Из всего этого занудства следует очень важное общее правило:
Если основание у степени больше единицы (a>1), то показательная функция будет возрастающей, а если меньше единицы (0 lt a lt 1), то убывающей. Это ключевой момент при решении показательных неравенств!

Решение показательных (степенных) неравенств похоже на решение показательных уравнений с некоторыми оговорками. Начнем изучение с простейшего примера:

Пример 1
$$ 2^x>2^3; $$
Это неравенство решается интуитивно. Понятное дело, что чем в большую степень мы будем возводить двойку, тем большее значение будем получать. Основание больше единицы, а значит, показательная функция возрастающая!

Основания у нас одинаковые. Значит, если вместо (x) подставить любое число большее 3, мы получим верное неравенство. Решением нашего первого показательного неравенства будет:
$$ x>3;$$

Пример 2
$$3^{x+4}<3^{3x-10};$$
Основания одинаковые, большие единицы, а значит, у нас опять возрастающие функции – чем больше степень, тем больше значение показательной функции. Логично, что наше неравенство в таком случае сводится к сравнению степеней с сохранением знака неравенства:
$$x+4<3x-10;$$
$$-2x<-14;$$
При делении на отрицательное число не забываем поменять знак неравенства:
$$x>7;$$

Пример 3
$$ left(frac{1}{2}right)^x>left(frac{1}{2}right)^5;$$

Очень похожее неравенство, основания опять одинаковые, но они меньше единицы. Что это меняет? Знак неравенства!
Раз основание показательной функции меньше единицы, значит она убывающая – чем больше степень, тем меньше значение показательной функции. Поэтому для того, чтобы неравенство выполнялось, необходимо опять сравнить степени, но с противоположным знаком:
$$x<5;$$

Пример 4
$$left(frac{2}{3}right)^{2x-5}geleft(frac{2}{3}right)^{x+1};$$
Основания одинаковые и меньше единицы, значит избавляемся от основания (frac{2}{3}) и сравниваем степени, не забывая при этом изменить знак неравенства:
$$2x-5 le x+1;$$
$$x le 6;$$

Пример 5

$$2^{x+2} le 8^{2x-1};$$

Этот пример немного сложнее – здесь разные основания (слева 2, справа 8). Чтобы решить по аналогии с предыдущими примерами, нужно привести к одинаковым основаниям. Заметим, что восемь можно представить в виде степени двойки: (8=2^3). Подставим в исходное неравенство:
$$2^{x+2} le (2^3)^{2x-1};$$
Из свойства степеней: $$(a^n)^m=a^{n*m}.$$
$$2^{x+2} le 2^{3*(2x-1)};$$
Теперь основания одинаковые и больше единицы, избавляемся от них, оставляя знак неравенства неизменным:
$$x+2 le 3*(2x-1);$$
$$x+2 le 6x-3;$$
$$-5x le -5;$$
$$x ge 1.$$

Общий алгоритм

Сформулируем еще раз общие правила решения простых показательных неравенств:

1. Необходимо привести показательные функции слева и справа к одинаковому основанию
2. Избавляемся от оснований
3. Если основание больше единицы, то знак неравенства сохраняется
4. Если основание меньше единицы, то меняем знак неравенства на противоположный
5. Решаем получившееся неравенство

Схема решения

$$a^{f(x)}>a^{g(x)};$$
где (a>0; ; aneq1) – некоторое положительное число, а (f(x)) и (g(x)) какие-то зависящие от (x) выражения.
Если (a>1): то (f(x)>g(x));
Если (0 lt a lt 1:) то (f(x) lt g(x)).

В принципе, схема решения простых показательных неравенств очень похожа на решение показательных уравнений. За исключением необходимости внимательно следить за основаниями и знаком неравенства.

Разберем еще несколько интересных и важных примеров.

Пример 6
$$2^{x+1} ge 4;$$
Справа от знака неравенства стоит не показательная функция, а просто число. Но его легко представить в виде степени двойки:
$$2^{x+1} ge 2^2;$$
Основания одинаковые, большие единицы. Избавляемся от них, знак неравенства сохраняем.
$$ x+1 ge 2;$$
$$x ge 1.$$

Как приводить степени к одному основанию

Пример 7
$$5^x le 3;$$

На первый взгляд, пример аналогичен предыдущему. Чтобы решить неравенство, нужно привести к одинаковому основанию. Так и есть, но вот как представить (3-ку) в виде степени (5-ки)?

Ничего сложного в этом нет. Оказывается, любое число (a) можно представить в виде степени с нужным нам основанием (b). Правда, без логарифмов тут не обойтись. Это можно сделать при помощи формулы:
$$ a=b^{log_{b}(a)}; qquad (*)$$
Например: (3=5^{log_{5}(3)};)

Кто забыл, что такое логарифмы, вам обязательно нужно посмотреть сюда.

Мы уже пользовались этой формулой в главе про показательные уравнения. На самом деле, для решения неравенств ее необязательно понимать, можно в лоб подставлять числа в формулу. Но я бы настоятельно рекомендовал разбираться во всем, чем вы пользуетесь. Поэтому подумайте самостоятельно, почему эта формула верна?

Посмотрим на правую часть формулы (*). В степени у нас стоит логарифм (log_{b}(a)). Логарифм – это число, в которое нужно возвести основание (b), чтобы получить (a). И в итоге, в правой части формулы (*) мы (b) возводим в степень, в которую нужно возвести (b), чтобы получить число (a). Так немного запутанно эта формула и работает. Но, если подумать, все не так сложно.

Возвращаемся к примеру 7. Теперь мы знаем, как (3-ку) представить в виде степени (5-ки):
$$3=5^{log_{5}(3)};$$
Подставляем в исходное неравенство
$$5^x le 5^{log_{5}(3)};$$
Наши основания одинаковые, избавляемся от них
$$x le log_{5}(3);$$
Ответ оставляем с некрасивым логарифмом. Мы его не сможем посчитать без калькулятора. На ЕГЭ именно так и поступаем.

Пример 8
$$left(frac{1}{81}right)^{-4x} < 27^{x+8};$$
Здесь привести к одному основанию несколько сложнее. Обратите внимание, что числа 27 и (frac{1}{81}) являются степенями (3-ки):
$$ 27=3^3; $$
$$ frac{1}{81}=3^{-4}; $$
Кто забыл, как работать со степенями, посмотрите главу про свойства степеней. Приведем к основанию (3) левую и правую части неравенства:
$$(3^{-4})^{-4x} < (3^3)^{x+8};$$
$$3^{16x} < 3^{3x+24};$$
Основания одинаковые, избавляемся от них:
$$16x<3x+24;$$
$$ 13x<24;$$
$$x<frac{24}{13};$$

Пример 9
$$ 5^x <-3;$$
Казалось бы, пример ничем не отличается от примера №7 – приводи себе ((-3)) к основанию (5) по формуле и решай.

Но здесь проблема кроется в определении показательной функции. Показательная функция ВСЕГДА больше нуля!
А значит, (5^x>0) и никак не может быть меньше ((-3)), какие бы (x) вы не подставляли.
Попробуйте подставить вместо (x) минус миллион, что вы получите? По определению отрицательной степени:
$$a^{-n}=frac{1}{a^n};$$
$$ 5^{-1000000}=frac{1}{5^{1000000}};$$
Это, несомненно, будет очень маленькое, но положительное число.
Итак, в этом примере корней нет. Запомните это!

Пример 10
$$ 7^x >-6;$$
Неравенство аналогичное примеру №9, но с другим знаком неравенства.
Что меняется? Теперь нас просят найти такие (x), при которых показательная функция (7^x) будет больше отрицательного числа ((-7)). Но так как показательная функция больше (0) при любых (x), то она уже точно будет больше ((-7)).
Что бы вы не подставили, всегда будете получать верное неравенство.
Ответом здесь будет любое число.

Теперь разберем пример посложнее.

Пример 11
$$ 25^{x^2-2x+10}-0,2^{2x^2-4x-80} le 0;$$

Постараемся привести данное неравенство к виду, аналогичному предыдущим примерам. Для этого перенесем вправо второе слагаемое (0,2^{2x^2-4x-80}):
$$ 25^{x^2-2x+10} le 0,2^{2x^2-4x-80};$$
Приведем к одному основанию. Советую десятичные дроби записывать в виде обыкновенных дробей, так вы сразу увидите, к какому основанию удобно привести:
$$0,2=frac{2}{10}=frac{1}{5};$$
$$ 25^{x^2-2x+10} le left(frac{1}{5}right)^{2x^2-4x-80};$$
Слева и справа в основаниях стоят числа, которые легко можно представить в виде степени (5-ки):
$$25=5^2;$$
$$ frac{1}{5}=5^{-1};$$
Подставим
$$ (5^2)^{x^2-2x+10} le (5^{-1})^{2x^2-4x-80};$$
$$ 5^{2*(x^2-2x+10)} le 5^{-1*(2x^2-4x-80)};$$
$$ 5^{2*x^2-4x+20} le 5^{-2x^2+4x+80};$$
Основания одинаковые, избавляемся от них:
$$ 2x^2-4x+20 le -2x^2+4x+80; $$
$$4x^2-8x-60 le 0;$$
Через дискриминант раскладываем квадратный многочлен на множители:
$$ 4(x+3)(x-5) le 0;$$
И решаем методом интервалов:

Замена в показательных неравенствах

Мы разобрали все виды простейших степенных неравенств. Опираясь на эти знания, можно перейти к более сложным неравенствам, которые решаются при помощи замены переменной. В ЕГЭ по профильной математике такие примеры попадаются довольно часто.

Если вы раньше решали любые уравнения или неравенства на замену переменной, то разобраться будет совсем не трудно. Давайте посмотрим на примерах:

Пример 12
$$ 4^x-29*2^x+168le 0. $$
Согласно обычной логике в показательных неравенствах, приведем все показательные функции к одинаковому основанию. Здесь это сделать довольно легко:

$$ (2^2)^x-29*2^x+168 le 0$$
$$ 2^{2x}-29*2^x+168 le 0$$
Готово. Теперь обратите внимание, что (2^{2x}=(2^x)^2), согласно свойству степеней. Подставим:
$$ (2^x)^2-29*2^x+168 le 0$$
В любом примере на замену переменной нужно найти одинаковые конструкции (выражения), зависящие от (x). В нашем примере есть такая конструкция – (2^x).

Обозначим за (t=2^x), и подставим в наше неравенство:
$$ t^2-29t+168 le 0 $$
В итоге получили обыкновенное квадратное неравенство, которое я обычно решаю при помощи универсального метода интервалов:
$$ D=29^2-4*168=841-672=169;$$
$$t_{1}=frac{29+13}{2}=21;$$
$$t_{2}=frac{29-13}{2}=8;$$
Зная корни, раскладываем квадратный многочлен на множители:
$$(t-8)(t-21) le 0;$$
Для метода интервалов рисуем числовую прямую, отмечаем нули функции (корни) и исследуем промежутки. Кто не помнит метод интервалов, настоятельно рекомендую его повторить, без него решать показательные неравенства бесполезно.

Получаем промежутки для переменной (t):
$$ t in [8;21];$$
И тут частая ошибка в том, что школьники заканчивают на этом решение. Но нас же не просят в условии задачи найти (t), нас просят найти (x)!

Поэтому обязательно нужно сделать обратную замену, чтобы вернуться к исходной переменной (x).
Для этого будем пользоваться простой логикой: раз (tin[8;21]), значит (t) может принимать такие значения, которые больше либо равны 8, но и не больше 21. Перепишем то же самое в виде системы (система, потому что эти условия должны выполняться одновременно):
$$ begin{cases}
t ge 8, \
t le 21.
end{cases}$$
Теперь нужно вспомнить, а что такое собственно (t). Это же переменная, за которую мы обозначили (2^x=t). Подставим вместо (t) (2^x).

Обратная замена:
$$ begin{cases}
2^x ge 8, \
2^x le 21.
end{cases}$$
Получили систему из двух простейших показательных неравенств, которые выше мы уже научились с вами решать.
$$ begin{cases}
2^x ge 2^3, \
2^x le 2^{log_{2}(21)}.
end{cases}$$
Основания везде одинаковые, можно от них избавиться:
$$ begin{cases}
x ge 3, \
x le log_{2}(21).
end{cases}$$
Запишем эту систему в виде промежутка
Ответ: (x in [3;log_{2}(21)].)

Как видите, все не так уж сложно. Разберем еще примеры на замену переменной в показательных неравенствах.

Пример 13
$$ 2^x+6*2^{-x} le 7$$
Этот пример тоже на замену. Хотя основания у показательных функций у нас одинаковые – двойка, но вот степень у них отличаются, а значит, делать замену пока нельзя. Нужно сделать так, чтобы одинаковым было абсолютно все – и степени, и основания.

Вспомним свойство степени с отрицательным показателем:
$$a^{-n}=frac{1}{a^n};$$
И применим его в нашем неравенстве:
$$ 2^x+6*frac{1}{2^x} le 7$$
Обозначим за (t=2^x) и подставим:
$$ t+6*frac{1}{t} le 7 $$
Для того, чтобы тут воспользоваться методом интервалов, нужно перекинуть все в левую часть и привести к общему знаменателю.
$$ frac{t^2-7t+6}{t} le 0 $$
Я не рекомендую избавляться в неравенствах от знаменателя, как вы привыкли это делать в уравнениях. В неравенствах в подавляющем большинстве случаев ни в коем случае этого делать нельзя, он тоже влияет на знак всей функции. Это одна из самых частых ошибок на ЕГЭ.
Поэтому я рекомендую всегда в неравенствах тащить знаменатель за собой, не убирать его. Подробнее про это можно почитать в теории обыкновенных неравенств.

Но я вынужден отметить, что именно в этом примере убрать знаменатель (t) можно, так как (t=2^x>0). Показательная функция у нас ВСЕГДА больше нуля, поэтому и (t>0), а значит он не влияет на знак неравенства. Однако делать мы это не будем, чтобы не запутаться. Знаменатель всегда будем оставляем на месте.

Раскладываем на множители числитель:
$$ frac{(t-1)(t-6)}{t} le 0 $$
Метод интервалов, с учетом того, что (t=2^x>0):

$$ t in[1;6];$$

Запишем промежуток в виде системы:
$$ begin{cases}
t ge 1, \
t le 6.
end{cases}$$
Вспоминаем, что (t=2^x) и делаем обратную замену:
$$ begin{cases}
2^x ge 1, \
2^x le 6.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
2^x ge 2^0, \
2^x le 2^{log_{2}(6)}.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
x ge 0, \
x le log_{2}(6).
end{cases}$$
Ответ: (x in [0;log_{2}(6)].)

Пример 14
$$16^{x+frac{1}{4}}-9*4^{x-frac{1}{2}}+1ge0$$
Пример очень похож на предыдущие, но перед тем, как делать замену, нам придется преобразовать левую часть неравенства. Выпишем отдельно показательные функции и постараемся привести их к одному виду. Иначе мы не сможем сделать замену. Для этого нам понадобятся свойства степеней:
$$a^{n+m}=a^n*a^m;$$
$$(a^n)^m=a^{n*m};$$
$$a^{n-m}=frac{a^n}{a^m};$$
$$16^{x+frac{1}{4}}=16^x*16^{frac{1}{4}}=16^x*2=2*16^x=2*(4^2)^x=2*(4^x)^2;$$
$$4^{x-frac{1}{2}}=frac{4^x}{4^{frac{1}{2}}}=frac{4^x}{2}=frac{1}{2}*4^x;$$
Подставим наши преобразования в исходное неравенство:
$$2*(4^x)^2-9*frac{1}{2}*4^x+1 ge 0;$$
Все готово к замене. Пусть (t=4^x):
$$2*t^2-frac{9}{2}*t+1 ge 0;$$
Домножим на (2), чтобы избавиться от знаменателя
$$4t^2-9t+2 ge 0;$$
Обыкновенное квадратное неравенство. Решаем, как обычно, методом интервалов. Для этого разложим на множители:

$$4(t-frac{1}{4})(t-2) ge 0;$$

$$left[
begin{gathered}
tle frac{1}{4}; \
tge 2, \
end{gathered}
right.$$

Обратите внимание на знак совокупности! Он означает, что нас устраивают оба промежутка, как показано на числовой прямой.

Очень важно уметь различать системы и совокупности.
Знак системы используется, когда нужно, чтобы значения (x) удовлетворяли всем неравенствам, входящим в систему. Другими словами, система – это знак пересечения решений всех неравенств.
Знак совокупности показывает, что значения (x) удовлетворяют хотя бы одному из неравенств в системе. Совокупность – это знак объединения решений.

Делаем обратную замену (t=4^x):
$$left[
begin{gathered}
4^xle frac{1}{4}; \
4^xge 2, \
end{gathered}
right.$$
$$left[
begin{gathered}
4^xle 4^{-1}; \
4^xge 4^{frac{1}{2}}, \
end{gathered}
right.$$
$$left[
begin{gathered}
xle -1; \
xge frac{1}{2}, \
end{gathered}
right.$$
Запишем получившуюся совокупность в виде промежутков.
Ответ:(xin(-infty;-1] cup [frac{1}{2};+infty).)

Теперь наших знаний достаточно, чтобы решать некоторые реальные примеры из ЕГЭ по профильной математике. Поехали:

Пример 15
$$ frac{5^x}{5^x-4}+frac{5^x+5}{5^x-5}+frac{22}{25^x-9*5^x+20} le 0$$
Перед вами настоящий пример из ЕГЭ 2016 года. Возможно, выглядит неприятно, но на самом деле, он решается очень легко. А самое главное, у нас уже есть все необходимые знания, чтобы его решить.
Обращаем внимание, что почти везде есть конструкция (5^x). Это и будет наша замена, осталось только представить (25^x=(5^x)^2):
$$ frac{5^x}{5^x-4}+frac{5^x+5}{5^x-5}+frac{22}{(5^x)^2-9*5^x+20} le 0$$
Пусть (t=5^x):
$$ frac{t}{t-4}+frac{t+5}{t-5}+frac{22}{t^2-9*t+20} le 0$$
В третьей дроби разложим знаменатель на множители при помощи дискриминанта
$$ frac{t}{t-4}+frac{t+5}{t-5}+frac{22}{(t-4)(t-5)} le 0$$
Приводим к общему знаменателю
$$ frac{t(t-5)+(t+5)(t-4)+22}{(t-4)(t-5)} le 0$$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые в числителе
$$ frac{2t^2-4t+2}{(t-4)(t-5)} le 0$$
$$ frac{2(t^2-2t+1)}{(t-4)(t-5)} le 0$$
В скобках стоит полный квадрат
$$ frac{2(t-1)^2}{(t-4)(t-5)} le 0$$
Теперь применяем метод интервалов

$$left[
begin{gathered}
t=1, \
4 lt t lt 5. \
end{gathered}
right.$$

Перепишем двойное неравенство в виде системы
$$left[
begin{gathered}
t=1, \
begin{cases}
t > 4, \
t < 5.
end{cases}. \
end{gathered}
right.$$
Делаем обратную замену (t=5^x):
$$left[
begin{gathered}
5^x=1, \
begin{cases}
5^x > 4, \
5^x < 5.
end{cases}. \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
5^x=5^0, \
begin{cases}
5^x > 5^{log_{5}(4)}, \
5^x < 5^1.
end{cases}. \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
x=0, \
begin{cases}
x > log_{5}(4), \
x < 1.
end{cases}. \
end{gathered}
right.$$
В ответе не забываем отдельную точку (x=0), она нас тоже устраивает! Если на ЕГЭ забудете точки, в зависимости от критериев, потеряете какое-то количество баллов. Отдельная точка всегда записывается при помощи фигурных скобок.

Ответ: (x in [0] cup (log_{5}(4);1).)

Пример 16
$$ frac{3}{(2^{2-x^2}-1)^2}-frac{4}{2^{2-x^2}-1}+1 ge 0$$
Тут сразу бросается в глаза одинаковая конструкция (2^{2-x^2}-1). Замену мы можем делать абсолютно любую. Поэтому ничто не мешает нам тут обозначить за (t=2^{2-x^2}-1).

Подставим в исходное неравенство

$$ frac{3}{t^2}-frac{4}{t}+1 ge 0$$

Приводим к общему знаменателю
$$frac{t^2-4t+3}{t^2} ge 0$$
$$frac{(t-3)(t-1)}{t^2} ge 0$$
Самое время для метода интервалов:

$$t in (-infty;0) cup (0;1] cup [3;+infty);$$

Нас устраивает сразу три промежутка для (t). Запишем эти промежутки в виде большой совокупности, ведь нас устраивают все три промежутка:

$$left[
begin{gathered}
t < 0; \
begin{cases}
t > 0, \
t le 1.
end{cases} ; \
tge 3, \
end{gathered}
right.$$
Обратите внимание на то, что в совокупности у нас есть еще знак системы. Действительно, во втором промежутке (t) должно быть с одной стороны больше 0, а с другой меньше 1, и это должно выполняться одновременно. Поэтому второй промежуток описывается при помощи знака системы.

Сделаем обратную замену:

$$left[
begin{gathered}
2^{2-x^2}-1< 0; \
begin{cases}
2^{2-x^2}-1 > 0, \
2^{2-x^2}-1 le 1.
end{cases} ; \
2^{2-x^2}-1ge 3, \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
2^{2-x^2}< 1; \
begin{cases}
2^{2-x^2}> 1, \
2^{2-x^2} le 2.
end{cases} ; \
2^{2-x^2}ge 4, \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
2^{2-x^2}< 2^0; \
begin{cases}
2^{2-x^2}> 2^0, \
2^{2-x^2} le 2^1.
end{cases} ; \
2^{2-x^2}ge 2^2, \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
2-x^2< 0; \
begin{cases}
2-x^2> 0, \
2-x^2 le 1.
end{cases} ; \
2-x^2ge 2, \
end{gathered}
right.$$

Разложим все квадратные неравенства по формуле разности квадратов:

$$left[
begin{gathered}
(sqrt{2}-x)(sqrt{2}+x)< 0; \
begin{cases}
(sqrt{2}-x)(sqrt{2}+x)> 0, \
(1-x)(1+x) le 0 .
end{cases} ; \
-x^2ge 0, \
end{gathered}
right.$$

Обратите внимание на последнее неравенство: так как квадрат всегда положителен, то это неравенство выполняется только, если (x=0).

И остальное решим методом интервалов. Я сразу напишу, что получается:

$$left[
begin{gathered}
xin (-infty;-sqrt{2}) cup (sqrt{2};+infty); \
begin{cases}
xin(-sqrt{2};sqrt{2}), \
xin(-infty;-1] cup [1;+infty).
end{cases} ; \
x=0, \
end{gathered}
right.$$

Для наглядности нарисуем числовую ось и отметим на ней все промежутки. Различными цветами показаны соответствующие промежутки из совокупности, а фиолетовой штриховкой показано итоговое решение. Там, где знак системы находим пересечение, там где совокупность – объединение.

Однородные показательные неравенства

Разберемся еще с одним типом показательных неравенств – однородными неравенствами. Такие неравенства часто встречаются, если в примере есть несколько показательных функций с разными основаниями, и свести их к одному основанию не представляется возможным.
Как обычно, давайте сразу будем разбираться на конкретном примере.

Пример 17
$$25^x-20^x-2*16^x le 0$$
Чем же это уравнение примечательно? Давайте попробуем по нашему старому алгоритму привести все к одинаковому основанию.
$$25^x=5^{2x};$$
$$20^x=(5*4)^x=5^x*4^x;$$
$$16^x=4^{2x};$$
Как видите, привести к одному основанию не получается. Мы никак не можем сделать одинаковые показательные функции, если основания 5 и 4. Будем работать с тем, что есть. Подставим получившееся разложение в исходное неравенство.
$$5^{2x}-5^x*4^x-2*4^{2x} le 0;$$

Так как делить неравенства на положительные числа можно, поделим получившееся неравенство на (5^{2x}). На всякий случай напомню: при делении неравенств на положительные числа полностью делится и левая, и правая части неравенства, только в этом случае преобразование будет равносильным, то есть его корни не изменятся. Делить неравенство на (5^{2x}) можно, потому что это показательная функция, а она по определению всегда строго больше нуля.

$$frac{5^{2x}-5^x*4^x-2*4^{2x}}{5^{2x}} le frac{0}{5^{2x}};$$

Разобьем левую часть на несколько дробей. То есть, поделим каждый одночлен числителя на знаменатель дроби. В правой части, очевидно, получается 0.
$$frac{5^{2x}}{5^{2x}}-frac{5^x*4^x}{5^{2x}}-2*frac{4^{2x}}{5^{2x}} le 0;$$
$$1-frac{4^x}{5^x}-2*frac{4^{2x}}{5^{2x}} le 0;$$
$$1-left(frac{4}{5}right)^x-2*left(frac{4}{5}right)^{2x} le 0;$$
$$1-left(frac{4}{5}right)^x-2*left(frac{4}{5}right)^{2x} le 0;$$
После некоторых преобразований в результате деления мы получили везде показательную функцию (left(frac{4}{5}right)^x), которую смело можно заменить на (t=left(frac{4}{5}right)^x).
$$1-t-2*t^2 le 0;$$
$$-2*t^2-t+1 le 0;$$
Разложим квадратный многочлен на множители при помощи дискриминанта, при этом не забываем про коэффициент (-2).
$$-2(t+1)(t-frac{1}{2}) le 0;$$
Решением этого квадратного неравенства будет:
$$ t in (-infty;-1]in[frac{1}{2};+infty);$$
Перепишем промежуток в виде совокупности:
$$left[
begin{gathered}
t le -1, \
t ge frac{1}{2}. \
end{gathered}
right.$$

И сделаем обратную замену. Напомню (t=left(frac{4}{5}right)^x):
$$left[
begin{gathered}
left(frac{4}{5}right)^x le -1, \
left(frac{4}{5}right)^x ge frac{1}{2}. \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
left(frac{4}{5}right)^x le -1, \
left(frac{4}{5}right)^x ge left(frac{4}{5}right)^{log_{left(frac{4}{5}right)}(frac{1}{2})}. \
end{gathered}
right.$$

$$left[
begin{gathered}
left(frac{4}{5}right)^x le -1, \
x ge log_{left(frac{4}{5}right)}(frac{1}{2}). \
end{gathered}
right.$$

Первое неравенство в совокупности не имеет решений, так как показательная функция всегда больше нуля, значит, тем более больше (-1).

Ответ: (xin(log_{left(frac{4}{5}right)}(frac{1}{2}); +infty)).

Когда нет возможности привести к одинаковому основанию все содержащиеся в неравенстве функции, попробуйте решить как однородное уравнение при помощи деления. Разные основания – это звоночек о том, что пример может решаться при помощи деления.

Рассмотрим еще один интересный пример с разными основаниями. Только это уже не однородное уравнение.

Пример 18
$$6^x-4*3^x-2^x+4 le 0$$
Обратите внимание, что у нас в неравенстве сразу 4 слагаемых. Четное количество слагаемых иногда намекает на метод группировки. Его проходят в 8м классе, но если вы не помните, то сейчас научитесь прямо на этом примере.

Первым делом сгруппируем слагаемые попарно – первое со вторым, а третье с четвертым. И вынесем общий множитель. У первого и второго слагаемых общий множитель (3^x), а у третьего и четвертого общий множитель пусть будет (-1).

$$3^x*(2^x-4)-1*(2^x-4) le 0;$$

Обратите внимание на скобки, они получились одинаковые! Теперь у нас вместо четырех слагаемых стало два, но больших. У них тоже есть общий множитель – это как раз скобка ((2^x-4)). Вынесем скобку за скобку!

$$(2^x-4)(3^x-1) le 0;$$

У нас получилось произведение двух множителей. Произведение меньше нуля может быть только в том случае, если множители имеют разные знаки. То есть, нас устраивает либо:

$$ begin{cases}
2^x-4 ge 0, \
3^x-1 le 0.
end{cases}$$

Либо:
$$ begin{cases}
2^x-4 le 0, \
3^x-1 ge 0.
end{cases}$$

Решим обе системы и объединим решения, так как нам подходят оба случая.
$$ begin{cases}
2^xge 4, \
3^x le 1.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
2^xge 2^2, \
3^x le 3^0.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
xge 2, \
x le 0.
end{cases}$$

Эти два неравенства в системе не имеют решений, подходящих одновременно обоим. Поэтому в первой системе нет решений. Решим вторую:
$$ begin{cases}
2^x le 4, \
3^x ge 1.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
2^x le 2^2, \
3^x ge 3^0.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
x le 2, \
x ge 0.
end{cases}$$

Ответ: (xin[0;2].)

Рассмотрим еще один не очень приятный пример, который, тем не менее, может встретиться на ЕГЭ.

Пример 19
$$frac{5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10}{x+2} le 0.$$
Неравенство неприятное, потому что в числителе дроби у нас (x) везде в степени показательной функции, а в знаменателе (x) стоит отдельно. Никак не получится сделать замену. Но обратите внимание, нас спрашивают, при каких (x) дробь будет отрицательная. А дробь отрицательна только тогда, когда у нее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Опять, как в предыдущем примере, можем по отдельности рассмотреть числитель и знаменатель. Нас устраивает:
Либо:
$$ begin{cases}
5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 ge 0, \
x+2 < 0.
end{cases}$$

Либо система с противоположными знаками:
$$ begin{cases}
5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 le 0, \
x+2 > 0.
end{cases}$$

Вторые неравенства в системах имеют строгий знак, так как это – условия, накладываемые на знаменатель.

Разберемся сначала с первой системой. Постараемся привести показательные функции к одинаковым основаниям в первом неравенстве системы:
$$ begin{cases}
5^{2x}*5^1-75*left(frac{1}{5}right)^{2x}-10 ge 0, \
x+2 < 0.
end{cases}$$
$$ begin{cases}
5*25^x-75*left(frac{1}{25^{x}}right)-10 ge 0, \
x+2 < 0.
end{cases}$$
Выпишем отдельно первое неравенство и решим его, сделав замену (t=25^x>0).
$$ 5*25^x-75*left(frac{1}{25^{x}}right)-10 ge 0;$$
$$5*t-frac{75}{t}-10 ge 0;$$
$$frac{5*t^2-10*t-75}{t} ge 0;$$
Так как (t=25^x>0), то мы можем спокойно избавиться от знаменателя в дроби, ведь он всегда положительный и не влияет на знак всего выражения.
$$5*t^2-10*t-75 ge 0;$$
$$5*(t-5)(t+3) ge 0;$$
$$ tin(-infty;-3] cup [5;+infty);$$
Но так как (t>0):
$$tin[5;+infty);$$
Запишем в виде неравенства:
$$t ge 5;$$
Сделаем обратную замену
$$ 25^x ge 5;$$
$$5^{2x} ge 5^1;$$
$$2x ge 1;$$
$$xgefrac{1}{2};$$

Напоминаю, что мы решили только первое неравенство в первой системе
$$ begin{cases}
5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 ge 0, \
x+2 < 0.
end{cases}$$
C учетом нашего решения, ее теперь можно переписать в виде

$$ begin{cases}
xgefrac{1}{2}, \
x < -2.
end{cases}$$

Такая система решений не имеет. Но не грустим и вспоминаем, что у нас еще одна система неравенств с противоположным случаем – когда числитель отрицательный, а знаменатель положительный:

$$ begin{cases}
5^{2x+1}-75*0,2^{2x}-10 le 0, \
x+2 > 0.
end{cases}$$

Так как отличие только в знаках неравенства, то все преобразования, которые мы делали выше, справедливы и тут. Не будем заново решать то же самое, просто возьмем решение из предыдущей системы и изменим знаки неравенства:

$$ begin{cases}
xlefrac{1}{2}, \
x > -2.
end{cases}$$

Эта система уже имеет решения. Можно, наконец, записать ответ.

Ответ: (xin(-2;frac{1}{2}].)

Мне лично не нравится рассматривать кучу случаев в подобных примерах. А что, если знаменатель будет сложнее чем в примере выше? А еще может быть не два множителя, а сразу пять или больше, тут всех случаев не рассмотришь.

Поэтому существует отличный и очень удобный метод рационализации. Я написал статью с полным его разбором. Кстати, в ЕГЭ часто встречаются примеры именно на метод рационализации, поэтому, если вы хотите сдать профиль на высокие баллы, то это прямо обязательно знать.

Наибольшее решение неравенства

При изучении темы «Линейные неравенства» встречаются задания, в которых требуется найти наибольшее решение неравенства либо наибольшее целое (или натуральное) решение неравенства.

Рассмотрим примеры выполнения таких заданий.

1) Найти наибольшее целое решение неравенства :

Раскроем скобки и упростим правую часть неравенства. Первые скобки раскрываем по формуле квадрата разности:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный:

Наибольшее решение неравенства — x= -2.

Для большей наглядности решение неравенства можно изобразить на числовой прямой:

2) Найти наибольшее натуральное решение неравенства :

Раскроем скобки. В левой части — произведение суммы и разности, в правой — квадрат разности:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками

0> right.]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не изменяется:

Наибольшее натуральное решение неравенства x=1.

3) Найти наибольшее решение неравенства :

Обе части неравенства умножим на наименьший общий знаменатель:

0> right.]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

Как показывает практика, произведение дополнительного множителя и числителя лучше записывать с помощью скобок. Если перед дробью стоит знак «минус», числитель также лучше заключить в скобки. Такая запись позволяет избежать ошибок, связанных с раскрытием скобок.

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный:

Наибольшее решение неравенства равно -4,6 (все остальные значения x меньше него).

4) Определить наибольшее решение неравенства :

Обе части неравенства умножаем на наименьший общий знаменатель 6. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

0> right.]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Наибольшее значение в данном случае указать нельзя (x=9 не входит в решение).

Ответ: неравенство не имеет наибольшего значения.

Решение неравенств

Шаг 1. Введите неравенство

Подробно решает любые неравенства онлайн с возможностью изобразить неравенство на рисунке.

Примеры

Неравенства с модулем

С кубом (неравество третьей степени)

С кубическим корнем

С натуральным логарифмом

Иррациональные с квадратным корнем

С четвёртой степенью

Решение с целыми числами

Правила ввода выражений и функций

3.14159.. e Число e – основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности – знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ – калькуляторы онлайн

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение неравенств: линейные, квадратные и дробные.

Программа решения неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Причём, если в процессе решения неравенства нужно решить, например, квадратное уравнение, то его подробное решение также выводится (оно заключается в спойлер).

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x – 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 – 5&6/5y +1/7y^2
Результат: ( 3frac<1> <3>- 5frac<6> <5>y + frac<1><7>y^2 )

При вводе выражений можно использовать скобки. В этом случае при решении неравенства выражения сначала упрощаются.
Например: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Нажмите на кнопку для изменения типа неравенства.

Выберите нужный знак неравенства и введите многочлены в поля ниже.
Решить неравенство

Немного теории.

Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т.д., обозначающие результаты сравнения однородных величин.

Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин. Например, математики Древней Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра.

Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков > и b. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: > (больше), frac<1> <3>) верное числовое неравенство, 0,23 > 0,235 — неверное числовое неравенство.

Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других. Например, неравенство 2x+1>5 верное при х = 3, а при х = -3 — неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить задачу: решить неравенство. Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений. Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения.

Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование определённого объекта, например, корня уравнения.

Далее вы узнаете свойства неравенств, научитесь решать неравенства. Полученные умения вам понадобятся при изучении последующего материала, для решения практических задач, а также задач физики и геометрии.

Числовые неравенства

Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с помощью нахождения знака их разности.

Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.

Определение. Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.

Если а больше b, то пишут: а > b; если а меньше b, то пишут: а b означает, что разность а – b положительна, т.е. а – b > 0. Неравенство а b, a = b, a , = или b и b > с, то а > с.

Теорема. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Теорема. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать задачи оценивания и сравнения значений выражений.

При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй – более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.

При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:

Теорема. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то a + c > b + d.

Теорема. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: если а > b, c > d и а, b, с, d – положительные числа, то ac > bd.

Неравенства со знаком > (больше) и 1/2, 3/4 b, c и и b, quad ax

Решение неравенств второй степени с одной переменной

Неравенства вида
( ax^2+bx+c >0 ) и ( ax^2+bx+c 0 ) или ( ax^2+bx+c 0 или вниз при a 0 или в нижней при a 0 ) ) или ниже оси x (если решают неравенство
( ax^2+bx+c

Решение неравенств методом интервалов

Рассмотрим функцию
f(x) = (х + 2)(х – 3)(х – 5)

Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки ( (-infty; -2), ; (-2; 3), ; (3; 5) ) и ( (5; +infty) )

Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.

Выражение (х + 2)(х – 3)(х – 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:

( (-infty; -2) )	( (-2; 3) )	( (3; 5) )	( (5; +infty) )
x+2	–	+	+	+
x-3	–	–	+	+
x-5	–	–	–	+

Отсюда ясно, что:
если ( x in (-infty;-2) ), то f(x) 0;
если ( x in (3;5) ), то f(x) 0.

Мы видим, что в каждом из промежутков ( (-infty; -2), ; (-2; 3), ; (3; 5), ; (5; +infty) ) функция сохраняет знак, а при переходе через точки -2, 3 и 5 ее знак изменяется.

Вообще пусть функция задана формулой
f(x) = (x-x₁)(x-x₂) . (x-x_n),
где x–переменная, а x₁, x₂, . x_n – не равные друг другу числа. Числа x₁, x₂, . x_n являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше нуля и записываем ответ.

Ответ:
( x in left( -4; ; 0 right) cup left( 0,5; ; +infty right) )
или
( -4 0,5 )

Наносим на числовую ось нули и точки разрыва функции:

Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.

Ответ:
( x in left( -infty; ; 1 right) cup left[ 4; ; +infty right) )
или
( x

[spoiler title=”источники:”]

http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/neravenstva/

http://www.math-solution.ru/math-task/inequality

[/spoiler]