Среди одночленов найдите подобные:
а)
a
2
b
c
,
2
a
b
c
a
,
a
3
b
c
,
−
3
b
c
a
2
;
б)
a
2
b
,
−
a
b
a
2
,
−
3
a
2
b
0
,
7
a
2
b
a
.
reshalka.com
Алгебра 7 класс Никольский. 4.6. Подобные одночлены. Номер №234
Решение а
2
a
b
c
a
=
2
a
2
b
c
;
−
3
b
c
a
2
=
−
3
a
2
b
c
.
Подобные одночлены:
a
2
b
c
,
2
a
b
c
a
и
−
3
b
c
a
2
.
Решение б
−
a
b
a
2
=
−
a
3
b
;
−
3
a
2
b
0
=
0
;
7
a
2
b
a
=
7
a
3
b
.
Подобные одночлены:
−
a
b
a
2
и
7
a
2
b
a
- Категория: ГДЗ Алгебра учебник 7 класс Никольский, Потапов, Решетников ✔
Ответы к теме 4.6. Подобные одночлены
Задание 231
а) Какие одночлены называют подобными?
б) Как складывают (вычитают) подобные одночлены?
Решение
а) Ненулевые одночлены стандартного вида называют подобными, если они равны или различаются только своими коэффициентами.
б) Сумма подобных одночленов равна одночлену, подобному каждому из них, с коэффициентом, равным сумме коэффициентов данных одночленов.
Разность подобных одночленов равна одночлену, подобному каждому из них, с коэффициентом, равным разности коэффициентов уменьшаемого и вычитаемого.
Задание 232
Приведите примеры равной нулю суммы (разности) подобных одночленов.
Решение
4abc − 4abc = 0;
$-82x^2y + 82x^2y$.
Задание 233
Как привести подобные члены?
Ответ
Чтобы привести подобные члены, нужно заменить сумму подобных одночленов одночленов, равным этом сумме.
Задание 234
Среди одночленов найдите подобные:
а) $a^2bc, 2abca, a^3bc, -3bca^2$;
б) $a^2b, -aba^2, -3a^2b0, 7a^2ba$.
Решение
а) $2abca = 2a^2bc$;
$-3bca^2 = -3a^2bc$.
Подобные одночлены:
$a^2bc$, $2abca$ и $-3bca^2$.б) $-aba^2 = -a^3b$;
$-3a^2b0 = 0$;
$7a^2ba = 7a^3b$.
Подобные одночлены:
$-aba^2$ и $7a^2ba$
Задание 235
Среди одночленов найдите подобные:
а) $2a^3b, 3a^4b^2, 4a^3b, 80a^4b^2, a^3b, -a^4b^2, a, 6p^2x, -c, (-5)a^3b, 6a^4b^2, -4p^2x$;
б) $0a^2b^3, -3a^3b^2, 0ab, 12a^2b^3, 2a^3b^2$.
Решение
а) Подобные одночлены:
1) $2a^3b, 4a^3b, a^3b, (-5)a^3b$;
2) $3a^4b^2, 80a^4b^2, -a^4b^2, 6a^4b^2$;
3) $6p^2x, -4p^2x$.б) Подобные одночлены:
1) $0a^2b^3, 0ab$;
2) $-3a^3b^2, 2a^3b^2$.
Одночлены в точности с одинаковой буквенной частью называются подобными: .
У подобных одночленов числовые коэффициенты могут быть разные, но степени каждой буквы одинаковые. “2 мешка, 5 мешков”.
В выражении $12x+x^2y^3-6x^3y-3x^2y^3$ второй и четвертый одночлены имеют одинаковую буквенную часть $x^2y^3$. Подобные!
Подобные одночлены: 1) $3x$ и $2x$; 2) $5xy^3z$ и $-3xzy^3$; 3) $7ab^3$ и $ab^3$. 3) $-4x^2$ и $6x^2$.
Вывод: такие одночлены можно складывать и вычитать: ” – 3 персика + 7 персиков = 4 персика. -3х + 7х = 4х”.
Подобные складываются меж собой. А неподобные нет! Нельзя сложить 3 персика и 7 груш. ” Персики с персиками, груши с грушами”.
Неподобные одночлены: 1) $3x$ и $2x^3$; 2) $5xy^3z$ и $-3x^2zy^3$; 3) $7a^3b^3$ и $ab^3$ – буквенные части отличаются степенями переменной или буквами.
Сложение, вычитание подобных одночленов.
Правило сложения подобных одночленов: при сложении подобных … необходимо сложить коэффициенты этих подобных с учетом знаков, а буквенную часть дописать как у исходных слагаемых.
Пример 1: Выполнить сложение одночленов
1) $3ab^3+5ab^3=8ab^3$;
2) $5x^3y^2+9x^3y^2=14x^3y^2$;
3) $frac{1}{2}ab^2+frac{1}{2}ab^2=ab^2$ т.к. $frac{1}{2}+frac{1}{2}=1$.
Правило вычитания подобных одночленов:
буквенную часть оставляем без изменений, коэффициенты надо вычесть в “правильном” порядке.
Правило группирования подобных одночленов: – переставляем подобные рядом с друг другом.
Если в сумме есть подобные одночлены двух или более типов, то переставляем слагаемые так, чтоб “похожие оказались вместе”.
Группируем по схожести: все персики рядом; все груши рядом с друг другом; все $x^2$ рядом; все “голые” числа рядом.
Пример 2: Выполнить вычитание одночленов
1) $5x^3y^3z^2-9x^3y^3z^2=left(5-9right)x^3y^3z^2=-4x^3y^3z^2$;
2) $2ab^2c-7ab^2c=left(2-7right)ab^2c=-5ab^2c$;
3) $19yz^5-13yz^5=left(19-13right)yz^5=6yz^5$;
4) $4xyz^3+3xyz^3-2xyz^3=left(4+3-2right)xyz^3=5xyz^3$
Пример 3: Упростить выражение $5xy^2-3ycdot0,5xy+7xcdot2ycdotleft(-0,5yright)$
Первый одночлен записан в стандартном виде, второй и третий нет! значит, выполняем приведение.
Приведем к стандартному виду 2-ой одночлен: $3ycdot0,5xy=3cdot0,5cdot xcdot y^{1+1}=1,5xy^2$ .
приведем к стандартному виду 3-ий одночлен: $7xcdot2ycdotleft(-0,5yright)=7cdot2cdotleft(-0,5right)cdot xcdot y^{1+1}=-7xy^2$
перепишем исходное выражение с учетом выполненных преобразований, получим:
$5xy^2-3ycdot0,5xy+7xcdot2ycdotleft(-0,5yright)=5xy^2-1,5xy^2-7xy^2$ мы видим одинаковые буквенные части.
Значит, они подобны и мы имеем право их складывать и вычитать. С учетом коэффициентов.
Выполним необходимые действия: $5xy^2-1,5xy^2-7xy^2=(5-1.5-7)xy^2=-3,5xy^2$
Пример 4: Выполнить сложение $a^3b+ab^3+a^3b+ab^3+3ab^3+2a^3b$
cгруппируем подобные одночлены: $a^3b+ab^3+a^3b+ab^3+3ab^3+2a^3b=a^3b+a^3b+2a^3b+ab^3+ab^3+3ab^3$,
выполним сложение подобных: $a^3b+a^3b+2a^3b+ab^3+ab^3+3ab^3=4a^3b+5ab^3$, “персики отдельно, груши отдельно”:
Взгляд: $a^3b$ назовем персиками, $ab^3$ – грушами. У нас 1 + 1 + 2 персика и 1 + 1 + 3 груш. В итоге 4 персика + 5 груш.
Пример 5: Среди одночленов $5x^2y$; $9x^2y$; $15xy^2$; $x^2y$ найти подобные, сложить их.
Очевидно, что в точности одинаковую буквенную часть имеют первый, второй и последний одночлены.
выполним их сложение: $5x^2y+9x^2y+x^2y=left(5+9+1right)x^2y=15x^2y$; фактически – складываем коэффициенты!
Пример 6: Упростить выражение $frac{1}{3}ab^2a+frac{1}{2}abba+frac{1}{6}ab^2a$
установим, подобные ли одночлены; приведем их к стандартному виду: $frac{1}{3}ab^2a=frac{1}{3}a^{1+1}b^2=frac{1}{3}a^2b^2$;
$frac{1}{2}abba=frac{1}{2}a^{1+1}b^{1+1}=frac{1}{2}a^2b^2$; $frac{1}{6}ab^2a=frac{1}{6}a^{1+1}b^2=frac{1}{6}a^2b^2$; теперь, перепишем заданное выражение:
$frac{1}{3}ab^2a+frac{1}{2}abba+frac{1}{6}ab^2a=frac{1}{3}a^2b^2+frac{1}{2}a^2b^2+frac{1}{6}a^2b^2$; чтоб сложить дроби, надо привести их к общему
знаменателю и только потом складывать. $frac{1}{3}a^2b^2+frac{1}{2}a^2b^2+frac{1}{6}a^2b^2=left(frac{1}{3}+frac{1}{2}+frac{1}{6}right)a^2b^2=frac{2+3+1}{6}a^2b^2=a^2b^2$;
похоже на сложение дробей: $frac{x}{3}+frac{x}{2}+frac{x}{6}=x$ , если $a^2b^2$ вообразить как одну букву $x$. Или, “персик”.
Пример 7: Упростить выражение $frac{1}{2}xyzx+frac{1}{5}yleft(-xright)zx-frac{1}{10}xzyx$
$frac{1}{2}xyzx+frac{1}{5}yleft(-xright)zx-frac{1}{10}xzyx=frac{1}{2}x^2yz-frac{1}{5}x^2yz-frac{1}{10}x^2yz=left(frac{1}{2}-frac{1}{5}-frac{1}{10}right)x^2yz=frac{5-2-1}{10}x^2yz=frac{2}{10}x^2yz=frac{1}{5}x^2yz$
в сумме каждое слагаемое одночлен; каждое из них приведем к стандартному виду; ищем подобные и складываем!
Группирование многочленов, приведение подобных
Многочлен – это алгебраическая сумма одночленов. “алгебраическая … означает и “+” и “-“.
Группирование: подобные слагаемые в выражениии можно переставлять местами и объединять в группы.
Пример 8: Группировать, привести подобные $-10+13x^2+5x-5x^2-19x+14$
переставим слагаемые, подобные рядом: квадраты с квадратами, линейные с линейными, числа с числами:
$-10+13x^2+5x-5x^2-19x+14=13x^2-5x^2+5x-19x+14-10=$ затем для наглядности заключим их в скобки
$left(13x^2-5x^2right)+left(5x-19xright)+left(14-10right)=8x^2-14x-4$, мы провели операцию приведения подобных.
Пример 9: Группировать, привести подобные $-7+10x^2-15x-6x^2-12x-13$
$-7+10x^2-15x-6x^2-12x-13=10x^2-6x^2-15x-12x-7-13=left(10x^2-6x^2right)-left(15x+12xright)-left(7+13right)$
Внимание на знаки! если перед скобкой поставить минус, внутри у слагаемых знаки меняются на противоположные!
Приведение подобных – это их сложение / вычитание. Чтобы сложить / вычесть подобные надо сложить / вычесть их
коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть. Суть приведения подобных – упрощение выражения.
Пример 10: Группировать, привести подобные $-7+8y^2+5y-2y^2-6y+4$
в выражении сделаем перестановку так, чтобы все подобные встали рядом: $=8y^2-2y^2+5y-6y+4-7=$
$=left(8y^2-2y^2right)+left(5y-6yright)+left(4-7right)=6y^2-y-3$ объединим их в группы, для наглядности заключим стоящие
рядом в скобки; после можно приводить подобные, т.е складывать/вычитать: квадраты отдельно, линейные
отдельно, числа отдельно. итак, исходное выражение $-7+8y^2+5y-2y^2-6y+4$ стало равным $6y^2-y-3$
оно упростилось: стало короче и проще, но по сути не изменилось, стало тождественным исходному.
Интерактивная Доска:
Упражнения:
Сложение и вычитание одночленов
- Подобные одночлены
- Сложение одночленов
- Вычитание одночленов
Сложить одночлены или вычесть один одночлен из другого можно только в том случае, если одночлены являются подобными. Если одночлены не подобные, в этом случае сложение одночленов можно записать в виде суммы, а вычитание в виде разности.
Подобные одночлены
Подобные одночлены — одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, но могут иметь разные или одинаковые коэффициенты (числовые множители). Одинаковые буквы в подобных одночленах должны иметь одинаковые показатели степени. Если у одной и той же буквы в разных одночленах степени не совпадают, то такие одночлены нельзя назвать подобными:
5ab2 и -7ab2 — подобные одночлены;
5a2b и 5ab — не подобные одночлены.
Обратите внимание, что последовательность букв в подобных одночленах может не совпадать. Также одночлены могут быть представлены в виде выражения, которое можно упростить. Поэтому, прежде чем приступать к определению, подобны ли данные одночлены, или нет, стоит привести одночлены к стандартному виду. Например, возьмём два одночлена:
5abb и -7b2a.
Оба одночлена находятся в нестандартном виде, поэтому будет нелегко определить, являются ли они подобными. Чтобы это узнать, приведём одночлены к стандартному виду:
5ab2 и -7ab2.
Теперь сразу видно, что данные одночлены являются подобными.
Два подобных одночлена, отличающиеся только знаком, называются противоположными. Например:
5a2bc и -5a2bc — противоположные одночлены.
Приведение подобных одночленов — это упрощение выражения, содержащего подобные одночлены, путём их сложения. Сложение подобных одночленов производится по правилам приведения подобных слагаемых.
Сложение одночленов
Чтобы сложить одночлены, надо:
- Составить сумму, записав все слагаемые одно за другим.
- Привести все одночлены к стандартному виду.
- Раскрыть скобки, если они есть в выражении.
- Привести подобные слагаемые. Для этого нужно:
- сложить их численные множители;
- после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.
Пример 1. Сложить одночлены 12ab, -4a2b и -5ab.
Решение: Составим сумму одночленов:
12ab + (-4a2b) + (-5ab).
Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит, можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите тут.
12ab – 4a2b – 5ab.
Теперь надо определить, есть ли среди слагаемых подобные одночлены и, если они есть, сделать приведение:
12ab – 4a2b – 5ab = (12 + (-5))ab – 4a2b = 7ab – 4a2b.
Пример 2. Сложить одночлены 5a2bc и -5a2bc.
Решение: Составим сумму одночленов:
5a2bc + (-5a2bc).
Раскроем скобки:
5a2bc – 5a2bc.
Эти два одночлена являются противоположными, то есть, отличаются только знаком. Значит, если мы сложим их численные множители, то получим нуль:
5a2bc – 5a2bc = (5 – 5)a2bc = 0a2bc = 0.
Следовательно, при сложении противоположных одночленов в результате получается нуль.
Общее правило сложения одночленов:
Чтобы сложить несколько одночленов, следует записать все слагаемые одно за другим с сохранением их знаков, отрицательные одночлены надо заключить в скобки и сделать приведение подобных слагаемых (подобных одночленов).
Вычитание одночленов
Чтобы произвести вычитание одночленов, надо:
- Составить разность, записав все одночлены один за другим, разделяя их знаком
–
(минус). - Привести все одночлены к стандартному виду.
- Раскрыть скобки, если они есть в выражении.
- Сделать приведение подобных одночленов, то есть:
- сложить их численные множители,
- после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.
Пример. Найти разность одночленов 8ab2, -5a2b и –ab2.
Решение: Составим разность одночленов:
8ab2 – (-5a2b) – (-ab2).
Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит, можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите тут.
8ab2 + 5a2b + ab2.
Теперь надо определить, есть ли среди одночленов подобные и, если они есть, сделать приведение:
8ab2 + 5a2b + ab2 = (8 + 1)ab2 + 5a2b = 9ab2 + 5a2b.
Общее правило вычитания одночленов:
Для вычитания одного одночлена из другого следует к уменьшаемому одночлену приписать вычитаемый одночлен с противоположным знаком и сделать приведение подобных одночленов.
