Как найти подпространство заданное системой уравнений - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Способы описания подпространств линейного пространства

Рассмотрим два важных способа описания линейных подпространств, которые условно будем называть внутренним и внешним. В первом (внутреннем) способе используется понятие линейной оболочки векторов, когда все элементы подпространства выражаются через некоторые его элементы (образующие). При втором (внешнем) способе применяются однородные системы уравнений. В этом случае подпространство описывается как пересечение некоторых содержащих его множеств. Для каждого способа описания подпространств укажем методики на хождения размерностей, базисов, алгебраических дополнений, пересечений и сумм подпространств.

Любое n-мерное вещественное линейное пространство изоморфно n-мерному арифметическому пространству $mathbb{R}^n$ . Чтобы установить изоморфизм $Vleftrightarrow mathbb{R}^n$ , достаточно выбрать в пространстве базис и каждому вектору поставить в соответствие его координатный столбец. Поэтому в данном разделе будем рассматривать описание подпространств n-мерного арифметического пространства $mathbb{R}^n$ .

Первый (внутренний) способ. Пусть в пространстве $mathbb{R}^n$ заданы столбцы a_1,a_2,ldots,a_k . Напомним, что для систем столбцов были определены понятия базы (максимальной линейно независимой подсистемы столбцов) и ранга (максимального числа линейно не зависимых столбцов системы), а также методы их нахождения.

Рассматривая линейную оболочку $L=operatorname{Lin}(a_1,a_2,ldots,a_k)$ столбцов как линейное подпространство $mathbb{R}^n$ , заключаем, что база системы столбцов является базисом этого подпространства, а ранг системы столбцов равен размерности подпространства $dim{L}=operatorname{rg} (a_1,a_2,ldots,a_k)$ .

Поэтому для нахождения размерности и базиса подпространства $L=operatorname{Lin} (a_1,a_2,ldots,a_k)$ нужно выполнить следующие действия:

1) составить из данных столбцов матрицу $A=begin{pmatrix} a_1&cdots&a_k end{pmatrix}$ размеров ntimes k ;

2) привести ее к ступенчатому виду (1.4), используя элементарные преобразования строк;

3) определить размерность и базис подпространства $L=operatorname{Lin} (a_1,a_2,ldots,a_k):$

– количество ненулевых строк в матрице равняется размерности подпространства, т.е. $dim{L}= operatorname{rg}A= operatorname{rg}(a_1,a_2,ldots,a_k)= operatorname{rg}A'$ ,

– столбцы матрицы , содержащие единичные элементы (в начале каждой “ступеньки”), определяют номера линейно независимых столбцов матрицы , т.е. искомый базис.

Таким образом, если подпространство $Ltriangleleft mathbb{R}^n$ задано своими образующими a_1,a_2,ldots,a_k: $L=operatorname{Lin} (a_1,a_2,ldots,a_k)$ , то его размерность равна рангу системы столбцов , т.е. $dim{L}= operatorname{Lin} (a_1,a_2,ldots,a_k)$ , а базисом служит максимальная линейно независимая подсистема образующих.

Второй (внешний) способ. Пусть подпространство $Ltriangleleft mathbb{R}^n$ задано как множество L={Ax=o} решений однородной системы Ax=o уравнений с неизвестными. Множество решений системы уравнений можно рассматривать как пересечение подпространств $textstyle{L_1capldotscap L_m=bigcuplimits_{i=1}^{m}L_i}$ , где L_i — множество решений i-го уравнения системы (i=1,ldots,m) . Напомним, что любое решение однородной системы представляется в виде линейной комбинации элементов фундаментальной системы решений. Поэтому раз мерность пространства dim{L}=n-operatorname{rg}A , а базисом служит фундаментальная система решений однородной системы Ax=o . Способы нахождения фундаментальной системы решений рассмотрены ранее.

Переход от одного способа описания подпространств к другому

Переход от внутреннего описания к внешнему. Пусть подпространство задано линейной оболочкой столбцов $a_1,a_2,ldots,a_{k}:$ $L=operatorname{Lin} (a_1,a_2,ldots,a_{k})$ . Требуется составить такую однородную систему Psi x=o уравнений, множество решений которой совпадает с , т.е. L={Psi x=o} . Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Из данных столбцов составить матрицу $A=begin{pmatrix}a_1&cdots&a_k end{pmatrix}$ размеров ntimes k , а затем блочную матрицу (Amid E) , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка.

2. Элементарными преобразованиями над строками блочной матрицы и первыми ее столбцами привести матрицу (Amid E) к виду (Lambdamid S) , где Lambda — простейший вид матрицы $Lambda=begin{pmatrix} E_r!!&vline!!&O\hline O!!&vline!!&O end{pmatrix}$ .

3. Из последних (n-r) строк матрицы составить матрицу $Psi=(Omid E_{n-r})S$ .

4. Записать искомую систему уравнений Psi x=o .

Поясним содержание алгоритма. Заданное подпространство состоит из линейных комбинаций данных векторов, т.е. все его элементы имеют вид x=beta_1a_1+ldots+ beta_ka_k . Решаемую задачу можно сформулировать так: для каких векторов найдутся такие числа beta_1,ldots,beta_k , чтобы выполнялось равенство x=beta_1a_1+ldots+beta_ka_k . Другими словами, при каких неоднородная система Abeta=x ( уравнений с неизвестными $beta=begin{pmatrix} beta_1&cdots&beta_k end{pmatrix}^T$ ) имеет решения? Используя необходимое и достаточное условие (5.24) совместности системы, получаем равенство Psi x=o . Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много однородных систем, имеющих од но и то же множество решений.

Пример 8.8. Подпространство $Ltriangleleft mathbb{R}^n$ задано линейной оболочкой столбцов $a_1=begin{pmatrix}1&1&1&1end{pmatrix}^T,$ $a_2=begin{pmatrix}1&2&1&3end{pmatrix}^T,$ $a_3=begin{pmatrix} 3&4&3&5 end{pmatrix}^T$ . Составить систему уравнений, определяющую подпространство .

Решение. 1. Составляем матрицу $A=begin{pmatrix} a_1&a_2&a_3 end{pmatrix}$ и блочную матрицу:

$(Amid E_4)= begin{pmatrix}1&1&3!!&vline!!&1&0&0&0\ 1&2&4!!&vline!!&0&1&0&0\ 1&1&3!!&vline!!&0&0&1&0\ 1&3&5!!&vline!!&0&0&0&1 end{pmatrix}!.$

2. Приводим левый блок к простейшему виду. Вычитаем первую строку из остальных, а затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на (-2):

$(Amid E_4)sim begin{pmatrix}1&1&3!!&vline!!&1&0&0&0\ 0&1&1!!&vline!!&-1&1&0&0\ 0&0&0!!&vline!!&-1&0&1&0\ 0&2&2!!&vline!!&-1&0&0&1 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&1&3!!&vline!!&1&0&0&0\ 0&1&1!!&vline!!&-1&1&0&0\ 0&0&0!!& vline!!&-1&0&1&0\ 0&0&0!!&vline!!&1&-2&0&1 end{pmatrix}!.$

Преобразовываем столбцы левого блока: ко второму столбцу прибавим пер вый, умноженный на (-1), к третьему столбцу прибавим первый, умноженный на (-3), а затем второй, умноженный на (-1). Эти преобразования не изменяют правый блок полученной матрицы. Находим простейший вид Л матрицы и матрицу

$Asim begin{pmatrix}1&1&3\ 0&1&1\ 0&0&0\ 0&0&0 end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&0!!&vline!!&0\ 0&1!!&vline!!&0\hline 0&0!!&vline!!&0\ 0&0!!& vline!!&0 end{pmatrix}= Lambda;quad S=begin{pmatrix}1&0&0&0\ -1&1&0&0\ -1&0&1&0\ 1&-2&0&1 end{pmatrix}!;quad r=operatorname{rg}A=2.$

3. Из последних n-r=4-2=2 строк матрицы составляем матрицу $Psi=begin{pmatrix}-1&0&1&0\ 1&-2&0&1 end{pmatrix}$ искомой системы.

4. Записываем систему уравнений $Psi x=ocolon begin{cases}-x_1+x_3=0,\ x_1-2x_2+x_4=0.end{cases}$ Заданные в условии примера столбцы a_1,,a_2,,a_3 являются решениями полученной системы, в чем можно убедиться при их подстановке в систему уравнений вместо .

Переход от внешнего описания к внутреннему. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы т уравнений с л неизвестными: L={Ax=o} . Требуется найти размерность и базис varphi_1,ldots,varphi_k этого подпространства, т.е. представить его в виде линейной оболочки $L=operatorname{Lin}(varphi_1,ldots,varphi_k)$ . Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Найти фундаментальную систему $varphi_1,ldots,varphi_{n-r}$ решений однородной системы Ax=o (r=operatorname{rg}A) . Искомая размерность k=n-r .

2. Представить заданное пространство как линейную оболочку $L=operatorname{Lin} (varphi_1,ldots,varphi_{n-r})$ .

Первый пункт алгоритма удобно выполнять следующим образом:

– составить блочную матрицу $begin{pmatrix}dfrac{A}{E}end{pmatrix}$ , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка;

– элементарными преобразованиями над столбцами блочной матрицы и строками верхнего блока привести матрицу $begin{pmatrix}dfrac{A}{E}end{pmatrix}$ к виду $begin{pmatrix}dfrac{Lambda}{T}end{pmatrix}$ , где Lambda — простейший вид матрицы $Acolon, Lambda=begin{pmatrix}E_r!!&vline!!&O\hline O!!& vline!!&Oend{pmatrix}$ ;

– из последних (n-r) столбцов матрицы составить фундаментальную матрицу $Phi=Tcdot! begin{pmatrix}dfrac{O}{E_{n-r}}end{pmatrix}$ .

Столбцы фундаментальной матрицы $Phi=begin{pmatrix} varphi_1&cdots& varphi_{n-r} end{pmatrix}$ составляют искомую фундаментальную систему решений.

Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много базисов одного и того же линейного подпространства.

Пример 8.9. Найти размерность и базис подпространства $Ltriangleleft mathbb{R}^4$ , заданного системой уравнений

$begin{cases} x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\[2pt] 2x_1+3x_2+x_4=0,\[2pt] 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0. end{cases}$

Решение. 1. Фундаментальная матрица для этой системы была найдена в примере 5.6 (m=3,,n=4,,r=operatorname{rg}A=2)colon

$Phi=begin{pmatrix}varphi_1&varphi_2 end{pmatrix}= begin{pmatrix} -6&-2\ 4&1\ 1&0\ 0&1end{pmatrix}!.$

Ее столбцы varphi_1,,varphi_2 образуют фундаментальную систему решений. Размерность подпространства равна k=n-r=2 , dim{L}=2 .

2. Столбцы varphi_1,,varphi_2 являются искомым базисом, так как они линейно независимы (operatorname{rg}Phi=2) и $L=operatorname{Lin} (varphi_1, varphi_2)$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Линейные
подпространства

Способы
задания линейных подпространств

Операции
с линейными подпространствами

Линейные
подпространства

Из

множества векторов линейного пространства

выберем некоторую совокупность векторов
и обозначим ее

.
Пусть для любых векторов

из

и любого числа

выполняются следующие условия:

2)

.

Тогда
множество векторов

называется линейным
подпространством
пространства

Примеры
линейных подпространств:

1.
Каждое линейное пространство обладает
двумя подпространствами: нулевым
подпространством и самим пространством.
Эти подпространства называют
тривиальными.

2.
Линейное пространство

векторов на прямой, проходящей через
начало координат, имеет два тривиальных
подпространства.

3.
Линейное пространство

векторов на плоскости (рис. 4.2) имеет
кроме двух тривиальных подпространств
бесконечное множество подпространств

.
Каждое из них состоит из векторов,
которые лежат на прямой, проходящей
через начало координат (предполагается,
что все векторы отложены от начала
координат).

4.
В геометрическом пространстве

векторов пространства каждая прямая и
каждая плоскость, проходящие через
начало координат, определяют линейное
подпространство.

Способы
задания линейных подпространств

Линейное
векторное подпространство задается
двумя возможными способами: набором
векторов или системами линейных
уравнений.

1-й
способ.
Набор линейно независимых векторов
(базис подпространства) тесно связан с
понятием линейной оболочки системы
векторов.

О
пределение.
Линейной
оболочкой

двух
векторов

и

,
принадлежащих линейному пространству

,
называется совокупность всех линейных
комбинаций этих векторов

,
где

.

Иначе
говоря, линейная оболочка состоит из
бесконечного множества векторов

,
представимых в виде линейных комбинаций
векторов

.
На рис. 4.3 построены векторы

,
а также приведено несколько их линейных
комбинаций

.

В
общем случае линейной оболочкой множества

векторов, принадлежащих линейному
пространству

,
называется совокупность всех линейных
комбинаций этих векторов

Свойства
линейной оболочки

1.
Линейная оболочка содержит само множество

векторов.

2.
Если линейное пространство

содержит множество

векторов,
то:

а)
пространство

содержит и его линейную оболочку

;

б)

–
линейное подпространство пространства

Замечание.
Из определения и свойств линейной
оболочки следует, что каждое векторное
пространство есть линейная оболочка
векторов своего базиса. Поэтому часто
в задачах в целях экономии места мы,
разыскивая базис подпространства, будем
ограничиваться перечислением векторов
базиса, не записывая конечным результатом
их произвольную линейную комбинацию.

2-й
способ.
Существует еще один способ задания
подпространства – в виде однородной
системы линейных уравнений. Рассмотрим
однородную линейную систему

уравнений с

переменными

имеющую
ненулевые решения. Пусть ранг системы
равен

.
Она обладает фундаментальным набором
решений (ФНР) (см. гл.2, §2,5
«Однородные системы уравнений»).

которые
линейно независимы. Эти независимые
решения, являющиеся совокупностями из

чисел, можно представить как

–
мерные линейно независимые векторы.
Любое решение системы представляется
в виде линейной комбинации ФНР. Если
взять векторы

в качестве базиса некоторого
линейного векторного подпространства,
то все множество решений однородной
системы и будет этим векторным
подпространством,
называемым пространством решений
однородной системы. Размерность
подпространства равна числу независимых
векторов, т.е.

.

Таким
образом, векторное подпространство
может быть задано как набором векторов,
составляющих базис векторного
подпространства, так и посредством
задания однородной системы линейных
уравнений, фундаментальный набор решений
которой есть базис линейного векторного
подпространства. Переход от задания
подпространства в виде набора векторов
к заданию в виде однородной системы
уравнений и обратно достаточно прост.

ПРИМЕР
1. Линейное подпространство

задано набором линейно независимых
векторов

,

.
Найти однородную систему линейных
уравнений, задающую подпространство

Решение.
Рассмотрим 2 способа решения задачи.
Введем произвольный вектор

,
принадлежащий подпространству

.
Разложим вектор

по векторам базиса

или в
координатном виде

(4)

1 способ.
Использование формы, в которой записывается
решение системы однородных уравнений
и представление в этой форме векторов
базиса как фундаментальных решений
некоторой системы. Запишем равенство
(4) в виде решения системы уравнений

Тогда
система имеет вид

Окончательно,

(5)

Замечание.
Переход к системе уравнений требует
наличия в каждом из векторов

нулевой координаты. Если ее нет, комбинируя
векторы

,
такие координаты легко получить.

2 способ
основан на использовании теоремы
Кронекера-Капелли. Составим расширенную
матрицу из коэффициентов и свободных
членов и преобразуем, используя метод
Гаусса

~
~
(6)

Система
должна иметь решения, поскольку вектор

принадлежит подпространству. Ранги
матрицы коэффициентов и расширенной
матрицы системы по теореме Кронекера-Капелли
должны быть равны. Это выполняется при
соблюдении условий:

(7)

Полученная
система однородных линейных уравнений
задает требуемое линейное подпространство.
Системы (5) и (7) несколько отличаются
друг от друга. От системы (7) можно перейти
к системе (5), взяв разность 1-го и 2-го
уравнений в системе (7).

Замечание.
Продолжив преобразование матрицы (6) по
методу Гаусса-Жордана, получим координаты

вектора

в базисе

линейного подпространства

т.е.

.

ПРИМЕР
2. Линейное подпространство

задано однородной системой линейных
уравнений

Найти
набор
линейно независимых векторов (базис),
задающий линейное подпространство

Решение.
Найдем фундаментальный набор решений
однородной системы. Ранг матрицы
коэффициентов уравнений равен 2. Поэтому
могут быть найдены две переменные,
выраженные через две другие. Положим
базисными переменными

.
Свободными переменными станут

.
Вычтем из первого уравнения второе.
Будем иметь

Запишем решения в
развернутой матричной форме

Обозначив
свободные переменные, стоящие в правой
части равенства:

,
получим

где

Любой
вектор

,
координаты которого являются переменными
в однородной системе уравнений,
представлен как линейная комбинация
двух линейно независимых векторов,
составляющих ФНР однородной системы.
Следовательно, все множество векторов

составляет линейное векторное
подпространство с базисом

.
Итак, базис линейного подпространства

ПРИМЕР. Найти линейную
оболочку множества решений системы
уравнений

Решение.
Ранг матрицы коэффициентов системы
уравнений равен 2. Выберем свободными
переменными

и

.
Тогда общее решение однородной системы
уравнений имеет вид

,
где

.

Векторы

образуют фундаментальный набор решений
однородной системы. Любое решение
системы является их линейной комбинацией.
Значит, линейная оболочка векторов

и есть множество решений однородной
системы уравнений, т.е.

,
где

Кратко оформим идеи перехода между
способами задания линейного подпространства
в виде таблицы

Подпространство

задано своим базисом

Подпространство

задано системой уравнений

Операции
с линейными подпространствами

1
)
Сумма подпространств. Суммой

линейных подпространств

линейного пространства

называется совокупность всех векторов

,
которые можно представить в виде
(разложить)

,
где

,

.

2)
Пересечение подпространств. Пересечением

линейных подпространств

линейного пространства

называется совокупность всех векторов

,
которые принадлежат одновременно
подпространствам

.
На рис. 4.4 пересечению подпространств

геометрического пространства

принадлежат векторы

и

.

3)
Умножение числа на подпространство.
Умножение числа

на линейное векторное подпространство

не изменяет его, т.е.

.

4)
Сумма подпространства и вектора.
Алгебраическая сумма векторного
подпространства

и отдельного вектора

,
принадлежащего подпространству

,
не изменяет последнего

,
если

.

Алгебраическая
сумма векторного подпространства

и отдельного вектора

,
не принадлежащего подпространству

,
порождает множество

векторов, которое не является векторным
подпространством

С
множеством

векторов, называемым линейным
многообразием,
мы познакомимся позже.

Свойства
суммы и пересечения линейных подпространств

1)
Сумма и пересечение линейных подпространств
являются линейными подпространствами.

2)Суммой
двух подпространств

является подпространство

,
т.е.

.

3)
Размерность суммы линейных подпространств
равна сумме размерностей подпространств
минус размерность их пересечения
(формула Грассмана)

Пусть линейные подпространства задаются
своими базисами или в виде систем
линейных уравнений. Тогда без труда
решается задача нахождения базиса или
системы уравнений, задающих сумму
подпространств или их пересечение. Идеи
решений таких задач оформим в виде
таблицы.

Задание
подпространств

своими
базисами

:

;

:

.

системами
линейных уравнений

;

Идеи решения

Находится
ранг системы векторов

,
определяются все линейно независимые
векторы, которые составляют базис
суммы.

Находится
объединение систем:

.

Используется
равенство линейных комбинаций

Находится
пересечение систем

.

ПРИМЕР.
Линейные подпространства

трехмерного векторного пространства

заданы
своими базисами векторов

:

;

:

.

Найти

системы
линейных уравнений, задающие эти
подпространства (переход

);
базис

(переход

);
систему
уравнений, задающую

(переход

или

);
базис

(переход

или

);
систему
уравнений, задающую

(переход

или

).

Решение.
1) переход

нами был разобран в предыдущем примере.
Ответ:

:

;

:

.

2) Составим матрицу
из координат векторов и приведем ее к
треугольному виду

~

.

Очевидно,
ранг равен 3. Проводя элементарные
преобразования, мы не меняли положение
строк. Первые 3 вектора, написанные в
координатах по строкам матрицы, являются
линейно независимыми и могут составить
базис суммы подпространств. Итак, векторы

задают подпространство

.
Размерности пространств

совпадают. Следовательно, векторы

образуют базис всего пространства

3) Сумма
подпространств

имеет размерность векторного пространства

и системой уравнений описана быть не
может. Для обоснования утверждения
рассмотрим произвольный вектор

,
принадлежащий пространству

.
Вектор

раскладывается по базису

единственным образом.
.

Составим расширенную
матрицу и воспользуемся преобразованием
Гаусса-Жордана

Получим
выражение

представляющее
собой связь координат произвольного
вектора

в новом и в старом базисах. Таким образом,
задача о нахождении системы линейных
уравнений, описывающей векторное
подпространство вырождается в задачу
нахождения связи координат произвольного
вектора в старом и новом базисах.

4) Базис
пересечения подпространств

.
Любой вектор

,
принадлежащий подпространствам

,
может быть разложен по базисам этих
подпространств.

(8)

Решение системы
уравнений по методу Гаусса-Жордана

дает
следующие значения переменных

.

Вернемся
к системе (8)

При

получим

или

.
Следовательно, вектор

является общим для подпространств

и может быть положен базисом их
пересечения. Ответ: базис пересечения

имеет вид

.

5) Найдем
систему уравнений, задающую пересечение
подпространств. Ее вид

.
Легко видеть, что фундаментальное
решение системы

совпадает с вектором

базиса пересечения подпространств.

Пусть
пересечение двух подпространств

является нулевым подпространством
.
Тогда сумма

называется прямой
суммой
и обозначается через
.
Если подпространство

совпадает со всем пространством
,
т.е
,
то подпространства

называются дополнениями
друг к другу в пространстве
.

Свойства
прямой суммы подпространств.

Прямая
сумма подпространств есть подпространство.
Пересечение
подпространств является нулевым
подпространством.
Сумма
базисов линейных подпространств линейно
независима.
Сумма
базисов линейных подпространств
образует базис прямой суммы.
Размерность
суммы подпространств равна размерности
прямой суммы.
Любой
вектор, принадлежащий прямой сумме,
может быть разложен, причем единственным
образом, по составляющим сумму
подпространствам.
Совокупность
любых двух векторов, взятых по одному
от каждого подпространства, линейно
независима.
Для
любого подпространства существует
дополнение.
Если
подпространство не является нулевым,
то дополнительное подпространство
определено неоднозначно.

Пусть
задано подпространство

.
Любой вектор
,
принадлежащий подпространству
,
в соответствии со свойством 6 может быть
разложен на сумму векторов
,
где

и
.
Вектор

называется проекцией
вектора

на
подпространство

параллельно подпространству
,
вектор

называется проекцией вектора

на
подпространство

параллельно подпространству
.

ПРИМЕР.
В векторном пространстве

заданы подпространства

и
.
Найти проекцию вектора

на подпространство

параллельно подпространству
.

Решение.
Подпространства

составляют прямую сумму, поскольку их
пересечение, как легко определить,
является нулевым подпространством.
Подпространства

дополняют друг друга до всего векторного
пространства
,
так как размерность суммы подпространств
равна размерности всего пространства.
Разложим вектор

по
суммарному базису

и
перейдем к уравнению в координатах

Решив
уравнение, например, методом Гаусса,
получим

Вектор

,

разложенный
по базису подпространства
,
есть проекция

вектора

на
подпространство

параллельно подпространству
.

Замечание
1.
Для линейных векторных пространств и
подпространств мы не ввели расстояния
и углы. Это будет сделано при дальнейшем
изложении. Рисунки, содержащие декартову
систему координат, носят условный
характер.

Замечание
2.
Векторные пространства и подпространства
содержат нулевой вектор. Наглядная
геометрическая иллюстрация этого факта
приводит нас к необходимости рисовать
декартову систему координат и проводить
подпространства через начало координат,
хотя можно было бы ограничиться одной
точкой О – полюсом.

Источник

23. Задание подпространств конечномерного линейного пространства с помощью систем линейных уравнений

Пусть дано N-Мерное линейное пространство L и пусть в нём зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, … , Еn ). Пусть М – линейное подпространство в L .

Определение 30. Будем говорить, что Система линейных уравнений задаёт подпространство М, если этой системе удовлетворяют координаты всех векторов из М и не удовлетворяют координаты никаких других векторов.

Из свойств решений однородной системы линейных уравнений следует, что любая однородная линейная система уравнений ранга R с n Переменными задаёт в любом N-Мерном пространстве Ln (если в нём зафиксирован базис) (N–r )-мерное линейное подпространство.

Справедливо и обратное утверждение. А именно, имеет место следующая теорема.

Теорема 30. Если в линейном N-Мерном пространстве Ln Зафиксирован базис, то любое его К-мерное линейное подпространство можно задать системой линейных однородных уравнений с N Неизвестными ранга (N – к).

Доказательство. Пусть в Ln зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, … , Еn ). Пусть Lк – линейное К-мерное подпространство в Ln. Выберем в Lк Любой базис А = (А1, а2,… , ак). Пусть В матричной форме А = Е × А, где А = .

Так как А – базис, то ранг матрицы А Равен К.

Получили параметрические уравнения, определяющие Lк .

После исключения параметров получится система (N – к) линейных однородных уравнений. Векторы А1, а2, … , ак являются её линейно независимыми решениями. Все остальные решения являются их линейными комбинациями.

Следовательно, система векторов (А1, а2, … , ак) будет фундаментальной системой решений полученной системы уравнений и поэтому ранг этой системы уравнений равен (N – к).

Пример. В пространстве L5 зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, е3, е4 , Е5 ). Найти систему линейных однородных уравнений, задающих L3 = , если А1 = (1, –2, 2, 0, 1), А2 = (0, 4, 7, 0, 1), А3 = (–2, 3, –1, 0, 0).

Решение. Найдём ранг системы векторов (А1, а2, а3 ). Для этого достаточно найти ранг матрицы . Минор . Окаймляющий минор ¹ 0, следовательно, ранг матрицы равен 3, т. е. векторы А1, а2, а3 линейно независимы и подпространство L3 – трёхмерное. Согласно доказанной теоремы, оно может быть задано системой линейных однородных уравнений ранга 2.

D Î L3 Û D = с1А1 + С2А2 + С3А3 . Отсюда D Î L3 Û Х1 = с1 – 2с3 , х2 = –2с1 + 4с2 + 3с3 , х3 = 2с1 + 7с2 – с3 , х4 = 0, х5 = с1 + с2. Если из первого, второго и пятого уравнений выразить С1, с2 и С3 И подставить их в третье и четвёртое уравнения, то получим следующую систему

Замечание. Очевидно, система, задающая данное подпространство, определяется не единственным образом. К найденным уравнениям можно добавлять новые уравнения, являющиеся их линейными комбинациями.

Способы описания подпространств линейного пространства

Любое n-мерное вещественное линейное пространство изоморфно n-мерному арифметическому пространству . Чтобы установить изоморфизм , достаточно выбрать в пространстве базис и каждому вектору поставить в соответствие его координатный столбец. Поэтому в данном разделе будем рассматривать описание подпространств n-мерного арифметического пространства .

Первый (внутренний) способ. Пусть в пространстве заданы столбцы . Напомним, что для систем столбцов были определены понятия базы (максимальной линейно независимой подсистемы столбцов) и ранга (максимального числа линейно не зависимых столбцов системы), а также методы их нахождения.

Рассматривая линейную оболочку столбцов как линейное подпространство , заключаем, что база системы столбцов является базисом этого подпространства, а ранг системы столбцов равен размерности подпространства .

Поэтому для нахождения размерности и базиса подпространства нужно выполнить следующие действия:

1) составить из данных столбцов матрицу размеров ;

2) привести ее к ступенчатому виду (1.4), используя элементарные преобразования строк;

3) определить размерность и базис подпространства

– количество ненулевых строк в матрице равняется размерности подпространства, т.е. ,

Таким образом, если подпространство задано своими образующими , то его размерность равна рангу системы столбцов , т.е. , а базисом служит максимальная линейно независимая подсистема образующих.

Второй (внешний) способ. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы уравнений с неизвестными. Множество решений системы уравнений можно рассматривать как пересечение подпространств , где — множество решений i-го уравнения системы . Напомним, что любое решение однородной системы представляется в виде линейной комбинации элементов фундаментальной системы решений. Поэтому раз мерность пространства , а базисом служит фундаментальная система решений однородной системы . Способы нахождения фундаментальной системы решений рассмотрены ранее.

Переход от одного способа описания подпространств к другому

Переход от внутреннего описания к внешнему. Пусть подпространство задано линейной оболочкой столбцов . Требуется составить такую однородную систему уравнений, множество решений которой совпадает с , т.е. . Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Из данных столбцов составить матрицу размеров , а затем блочную матрицу , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка.

2. Элементарными преобразованиями над строками блочной матрицы и первыми ее столбцами привести матрицу к виду , где — простейший вид матрицы .

3. Из последних строк матрицы составить матрицу .

4. Записать искомую систему уравнений .

Поясним содержание алгоритма. Заданное подпространство состоит из линейных комбинаций данных векторов, т.е. все его элементы имеют вид . Решаемую задачу можно сформулировать так: для каких векторов найдутся такие числа , чтобы выполнялось равенство . Другими словами, при каких неоднородная система ( уравнений с неизвестными ) имеет решения? Используя необходимое и достаточное условие (5.24) совместности системы, получаем равенство . Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много однородных систем, имеющих од но и то же множество решений.

Пример 8.8. Подпространство задано линейной оболочкой столбцов . Составить систему уравнений, определяющую подпространство .

Решение. 1. Составляем матрицу и блочную матрицу:

3. Из последних строк матрицы составляем матрицу искомой системы.

4. Записываем систему уравнений Заданные в условии примера столбцы являются решениями полученной системы, в чем можно убедиться при их подстановке в систему уравнений вместо .

Переход от внешнего описания к внутреннему. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы т уравнений с л неизвестными: . Требуется найти размерность и базис этого подпространства, т.е. представить его в виде линейной оболочки . Для этого нужно выполнить следующие действия.

1. Найти фундаментальную систему решений однородной системы . Искомая размерность .

2. Представить заданное пространство как линейную оболочку .

Первый пункт алгоритма удобно выполнять следующим образом:

– составить блочную матрицу , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка;

– элементарными преобразованиями над столбцами блочной матрицы и строками верхнего блока привести матрицу к виду , где — простейший вид матрицы ;

– из последних столбцов матрицы составить фундаментальную матрицу .

Столбцы фундаментальной матрицы составляют искомую фундаментальную систему решений.

Пример 8.9. Найти размерность и базис подпространства , заданного системой уравнений

Решение. 1. Фундаментальная матрица для этой системы была найдена в примере 5.6

Ее столбцы образуют фундаментальную систему решений. Размерность подпространства равна , .

2. Столбцы являются искомым базисом, так как они линейно независимы и .

Подпространство линейного пространства

Определение и размерность подпространства

Определение 6.1. Подпространством L n-мерного пространства R называется множество векторов, образующих линейное пространство по отношению к действиям, которые определены в R.

Другими словами, L называется подпространством пространства R, если из x, y∈L следует, что x+y∈L и если x∈L, то λ x∈L, где λ– любое вещественное число.

Простейшим примером подпространства является нулевое подпространство, т.е. подмножество пространства R, состоящее из единственного нулевого элемента. Подпространством может служить и все пространство R. Эти подпространства называются тривиальными или несобственными.

Подпространство n-мерного пространства конечномерно и его размерность не превосходит n: dim L≤ dim R.

Сумма и пересечение подпространств

Пусть L и M – два подпространства пространства R.

Cуммой L+M называется множество векторов x+y, где x∈L и y∈M. Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежит L+M, следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R).

Пересечением L∩M подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).

Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩M. Пусть G g-мерное подпространство. Выберем в нем базис . Так как G⊂L и G⊂M, следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M. Пусть базис подпространства L и пусть базис подпространства M. Покажем, что векторы

составляют базис F=L+M. Для того, чтобы векторы (6.1) составляли базис пространства F они должны быть линейно независимы и любой вектор пространства F можно представить линейной комбинацией векторов (6.1).

Докажем линейную независимость векторов (6.1). Пусть нулевой вектор пространства F представляется линейной комбинацией векторов (6.1) с некоторыми коэффициентами:

Левая часть (6.3) является вектором подпространства L, а правая часть является вектором подпространства M. Следовательно вектор

принадлежит подпространству G=L∩M. С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G:

Из уравнений (6.4) и (6.5) имеем:

Но векторы являются базисом подпространства M, следовательно они линейно независимы и . Тогда (6.2) примет вид:

В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:

Так как все коэффициенты в уравнении (6.2) оказались нулевыми, то векторы

линейно независимы. Но любой вектор z из F (по определению суммы подпространств) можно представить суммой x+y, где x∈L, y∈M. В свою очередь x представляется линейной комбинацией векторов а y – линейной комбинацией векторов. Следовательно векторы (6.10) порождают подпространство F. Получили, что векторы (6.10) образуют базис F=L+M.

Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Следовательно:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Прямая сумма подпространств

Определение 6.2. Пространство F представляет собой прямую сумму подпространств L и M, если каждый вектор x пространства F может быть единственным способом представлен в виде суммы x=y+z, где y∈ L и z∈M.

Прямая сумма обозначается L⊕M. Говорят, что если F=L⊕M, то F разлагается в прямую сумму своих подпространств L и M.

Теорема 6.2. Для того, чтобы n-мерное пространство R представляло собой прямую сумму подпространств L и M, достаточно, чтобы пересечение L и M содержало только нулевой элемент и чтобы размерность R была равна сумме размерностей подпространств L и M.

Доказательство. Выберем некоторый базис в подпространстве L и некоторый базис в подпространстве M. Докажем, что

является базисом пространства R. По условию теоремы размерность пространства R n равна сумме подпространств L и M (n=l+m). Достаточно доказать линейную независимость элементов (6.11). Пусть нулевой вектор пространства R представляется линейной комбинацией векторов (6.11) с некоторыми коэффициентами:

Так как левая часть (6.13) является вектором подпространства L, а правая часть – вектором подпространства M и L∩M= 0, то

Но векторы и являются базисами подпространств L и M соответственно. Следовательно они линейно независимы. Тогда

Установили, что (6.12) справедливо лишь при условии (6.15), а это доказывает линейную независимость векторов (6.11). Следовательно они образуют базис в R.

Пусть x∈R. Разложим его по базису (6.11):

Из (6.17) и (6.18) следует, что любой вектор из R можно представить суммой векторов x₁∈L и x₂∈M. Остается доказать что это представление является единственным. Пусть кроме представления (6.17) есть и следующее представление:

Вычитая (6.19) из (6.17), получим

Так как , и L∩M= 0, то и . Следовательно и . ■

[spoiler title=”источники:”]

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=sposoby-opisaniya-podprostranstv

http://matworld.ru/linear-algebra/linear-space/linear-subspace.php

[/spoiler]

Источник

Справедливо и обратное утверждение. А именно, имеет место следующая теорема.

Так как А – базис, то ранг матрицы А Равен К.

Если D – любой вектор, то D Î Lк Û D = С1А1 + С2А2 + … +СкАк , Где С1, с2, … , ск независимо друг от друга пробегают все элементы поля Р. Их называют параметрами. В матричном виде D = А × С, где С – Столбец параметров. Отсюда D = Е×(А×с). Если Х – столбец координат вектора D В базисе Е, то D = Е×х. Отсюда, Е×х = Е×(А×с) и Х = А×с. Распишем в координатном виде.

Получили параметрические уравнения, определяющие Lк .

Пример. В пространстве L5 зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, е3, е4 , Е5 ). Найти систему линейных однородных уравнений, задающих L3 = <А1, а2, а3>, если А1 = (1, –2, 2, 0, 1), А2 = (0, 4, 7, 0, 1), А3 = (–2, 3, –1, 0, 0).

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Линейные и евклидовы пространства
- Определение линейного пространства
- Примеры линейных пространств
- Простейшие свойства линейных пространств
Линейные подпространства
- Примеры линейных подпространств
- Свойства линейного подпространства
- Сумма и пересечение линейных подпространств
- Свойства пересечения и суммы линейных подпространств
Линейная оболочка
- Основные свойства линейной оболочки
Линейная зависимость
- Базис. Размерность
- Замена базиса
- Свойства матрицы перехода
Евклидовы пространства
- Метод ортогонализации
Ортогональное дополнение
- Свойства ортогонального дополнения
- Унитарные пространства

Евклидово пространство — это вещественное линейное пространство, в котором зафиксирована симметричная положительно определенная билинейная форма. Значение билинейной формы на паре элементов называется скалярным произведением этих векторов.

Линейные и евклидовы пространства

Определение линейного пространства

Определение:

Множество V элементов х, у, z,… называется линейным пространством (действительным или комплексным), если по некоторому правилу

I. любым двум элементам х и у из V поставлен в соответствие элемент из V, обозначаемый х + у и называемый суммой элементов х и у;

II. любому элементу х из V и каждому числу а (вещественному или комплексному) поставлен в соответствие элемент из V, обозначаемый ах и называемый произведением элемента х на число а, и эти правила сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам:

(х + у) + z = х + (у + z) (ассоциативность);
х + у = у + х (коммутативность)-,
во множестве V существует элемент θ такой, что для любого элемента х из V выполняется равенство х + θ = х;
для любого элемента х из V во множестве V существует элемент (-х) такой, что х + (-х) = θ;
а(х + у) = ах + ау;
(а + β)х = ах + βх;
а( β х) = (а β )х;
1х = х.

Элемент θ называется нулевым элементом, а элемент (-х) — противоположным элементу х.
Элементы х, у, z,… линейного пространства часто называют векторами. Поэтому линейное пространство называют также векторным пространством.

Примеры линейных пространств

Совокупность свободных геометрических векторов V3 в пространстве с введенными операциями сложения векторов и умножения вектора на число (рис. 1).

Этим же свойством обладают: совокупность V1 векторов на прямой и совокупность V2 векторов на плоскости.

2, Совокупность упорядоченных наборов () из n действительных чисел.

Операции — сложение и умножение на действительное число — вводятся так:

а) сложение —

б) умножение на число —

Обозначение: Rn (n -мерное вещественное координатное пространство).

3. Совокупность всевозможных матриц Rmxn размера m х n с введенными правилами сложения матриц,

и умножения матрицы на число,

В частности, совокупность n-строк, R1xn и совокупность столбцов высоты m, Rmx1, являются линейными пространствами.

4. Множество С(-1, 1) вещественных функций, непрерывных на интервале (-1, I), с естественными операциями сложения функций и умножения функции на число.

Во всех приведенных примерах требования 1-8 проверяются непосредственно.

Простейшие свойства линейных пространств

Нулевой элемент θ определен однозначно.

Пусть θ1 и θ2 — нулевые элементы пространства V. Рассмотрим их сумму θ1 + θ2. Вследствие того, что θ2 — нулевой элемент, из аксиомы 3 получаем, что θ1+ θ2 = θ1, а так как элемент θ1 — также нулевой, то θ1 + θ2 = θ2 + θ1 = θ2 , т. е. θ1 = θ2 .

2. Для любого элемента х противоположный ему элемент (—х) определен однозначно.

Пусть x^— и х_ — элементы, противоположные элементу х. Покажем, что они равны.

Рассмотрим сумму х_ + х + x^— . Пользуясь аксиомой 1 и тем, что элемент x^— противоположен элементу х, получаем:

Аналогично убеждаемся в том, что

Нетрудно убедится также в справедливости следующих свойств:

Для любого элемента х выполняется равенство 0х = θ.
Для любого элемента х выполняется равенство —х = (- 1)х.
Для любого числа а выполняется равенство аθ = θ.
Из того, что ах = θ, следует, что либо а = 0, либо х = θ.

Линейные подпространства

Непустое подмножество W линейного пространства V называется линейным подпространством пространства V, если для любых элементов х и у из W и любого числа а выполняются следующие условия:

Иногда говорят: «множество W замкнуто относительно указанных операций».

Примеры линейных подпространств

1.Множество векторов на плоскости V2 является линейным подпространством линейного пространства V3.

2. Совокупность решений однородной системы m линейных уравнений с n неизвестными

образует линейное подпространство линейного пространства Rnx1. В самом деле, сумма решений однородной системы () является решением этой же системы и произведение решения системы (*) на число также является ее решением.

3. Совокупность всех вещественнозначных функций, непрерывных на интервале (-1, 1) и обращающихся в нуль при t = 0, образует линейное подпространство линейного пространства С(— 1,1).

Сумма f(t) + g(t) функций f(t) и g(t), обращающихся в нуль при t = 0, t(0) = f(0) = 0, и произведение af(t) функции f(t), обращающейся в нуль при t = 0, f(0) = 0, на число а равны нулю при t = 0.

Свойства линейного подпространства

Если x1, …, хq — элементы линейного подпространства W, то любая их линейная комбинация также лежит в W.
Линейное подпространство W само является линейным пространством.

Достаточно убедиться лишь в том, что нулевой элемент 0 и элемент, противоположный произвольному элементу из W, лежат в W. Указанные векторы получаются умножением произвольного элемента х ∈ W на 0 и на -1: θ = 0х, -х = (- 1)х.

Сумма и пересечение линейных подпространств

Пусть V — линейное пространство, W1 w W2 — его линейные подпространства. Суммой W1 + W2 линейных подпространств W1 и W2 называется совокупность всевозможных элементов х пространства V, которые можно представить в следующем виде

где x1 лежит в W1, а х2 — в W2. Коротко это можно записать так:

Сумма линейных подпространств W1 и W2 нaзывается прямой, если для каждого элемента х этой суммы разложение (1) единственно (рис. 3).

Обозначение: W1⊕W2

Пересечением W1 ∩ W2 линейных подпространств W1 и W2 линейного пространства V называется совокупность элементов, которые принадлежат одновременно и линейному подпространству W1, и линейному подпространству W2.

Свойства пересечения и суммы линейных подпространств

Сумма W1 + W2 является линейным подпространством пространства V.

Возьмем в W1 + W2 два произвольных элемента х и у. По определению суммы подпространств найдутся элементы х1, у1, из W1 и х2, у2, из W2 такие, что

Это позволяет записать сумму х + у в следующем виде

Так как то сумма х + у лежит в W1 + W2.

Аналогично доказывается включение ах ∈ W1 + W2.

2. Пересечение W1 ∩ W2 является линейным подпространством пространства V.

3. Если нулевой элемент является единственным общим вектором подпространств W1 й W2 линейного пространства V, то их сумма является прямой — W1 ⊕ W2.

Линейная оболочка

Линейной оболочкой L(X) подмножества X линейного пространства V называется совокупность всевозможных линейных комбинаций элементов из X,

Последнее читается так: «линейная оболочка L(X) состоит из всевозможных элементов у, представимых в виде линейных комбинаций элементов множества X».

Основные свойства линейной оболочки

Линейная оболочка L(X) содержит само множество X.
L(X) — линейное подпространство пространства V.

Сумма линейных комбинаций элементов множества X и произведение линейной комбинации элементов на любое число снова являются линейными комбинациями элементов множества X.

3. L(X) — наименьшее линейное подпространство, содержащее множество X.

Это свойство следует понимать так: если линейное подпространство W содержит множество X , то W содержит и его линейную оболочку L(X).

Пусть W — линейное подпространство, содержащее заданное множество X. Тогда произвольная линейная комбинация элементов множества X — элемент линейной оболочки L(X) — содержится и в подпространстве W.

Пример:

Рассмотрим в линейном пространстве R3 две тройки ξ = (1,1,0) и η = (1,0, I) (рис.4). Множество решений уравнения

является линейной оболочкой L(ξ , η) троек ξ и η.
Действительно, тройки (I, 1, 0) и (1, 0, I) образуют фундаментальную систему решений однородного уравнения (2), и значит, любое решение этого уравнения является их линейной комбинацией.

Пример:

Рассмотрим в линейном пространстве С(- ∞, ∞) вещественнозначных функций, непрерывных на всей числовой оси, набор X одночленов 1, х,…, хn:

Линейная оболочка L(X) представляет собой совокупность многочленов с вещественными коэффициентами, степени которых не превосходят n.

Обозначение:

Линейная зависимость

Определение. Система элементов х1 . .. , хq линейного пространства V называется линейно зависимой, если найдутся числа a1,… , аq, не все равные нулю и такие, что
(1)

Если равенство (1) выполняется только при а1 = … = аq = 0, то система элементов x1,…, хq называется линейно независимой.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема:

Система элементов x1,…, хq (q ≥ 2) линейно зависима в том и только в том случае, если хотя бы один из ее элементов можно представить в виде линейной комбинации остальных.

Предположим сначала, что система элементов x1,…, xq линейно зависима. Будем Считать для определенности, что в равенстве (1) отличен от нуля коэффициент аq. Перенося все слагаемые, кроме последнего, в правую часть, после деления на аq ≠ 0 получим, что элемент хq является линейной комбинацией элементов х1 …, хq:

Обратно, если один из элементов равен линейной комбинации остальных,

то, перенося его в левую часть, получим линейную комбинацию

в которой есть отличные от нуля коэффициенты (-1 ≠ 0). Значит, система элементов x1,…., хq линейно зависима.

Теорема:

Пусть система элементов х1,…,хq линейно независима и y=. Тогда коэффициенты a1 ,… ,аq определяются по элементу у единственным образом.
Пусть

Тогда

откуда

Из линейной независимости элементов x1…, xq вытекает, что a1 — β1 = … = аq — βq = 0 и, значит,

Теорема:

Система элементов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.
Пусть первые q элементов системы х1 … , хq, xq+1… , xm линейно зависимы. Тогда найдется линейная комбинация этих элементов такая, что

и не все коэффициенты а1 … ,аq равны нулю. Добавляя элементы xq+1… , xm с нулевыми множителями, получаем, что и в линейной комбинации

равны нулю не все коэффициенты.

Пример. Векторы из V2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (рис.5).

Базис. Размерность

Упорядоченная система элементов e1,…, еn линейного пространства V называется базисом этого линейного пространства, если элементы e1,…, еn линейно независимы и каждый элемент из V можно представить в виде их линейной комбинации. Упорядоченность означает здесь, что каждому элементу приписан определенный (порядковый) номер. Из одной системы п элементов можно построить n! упорядоченных систем.

Пример:

Пусть a, b, с — тройка некомпланарных векторов из Vз (рис.6). Тогда упорядоченные тройки а, b, с; b, с, а; с, а, b; b, а, с; а, с, b и с, b, а — различные базисы V3.

Пусть с = (e1 … еn) — базис пространства V.

Тогда для любого элемента х из V найдется набор чисел такой, что

В силу теоремы 2 числа — координаты элемента х в базисе с — определены однозначно.

Посмотрим, что происходит с координатами элементов при простейших действиях с ними.

и для любого числа а

Таким образом, при сложении элементов их соответствующие координаты складываются, а при умножении элемента на число все его координаты умножаются на это число.

Координаты элемента часто удобно записывать в виде столбца. Например,

— координатный столбец элемента в базисе e.

Разложим произвольную систему элементов x1,…, хq по базису e,

ли рассмотрим координатные столбцы элементов ч1,…, хq в этом базисе:

Теорема:

Система элементов х1,… ,хq линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависима система их координатных столбцов в каком-нибудь базисе.

Пусть

причем хотя бы один из коэффициентов λk отличен от нуля. Запишем это подробнее

Отсюда в силу единственности разложения элемента по базису вытекает, что

или, что тоже,

Таким образом, линейная комбинация координатных столбцов элементов x1,…, xq равна нулевому столбцу (с теми же коэффициентами λ1,…, λg). Это и означает, что система координатных столбцов линейно зависима.

Если же выполняется равенство (2), то, проводя рассуждения в обратном порядке, получаем формулу (1).

Тем самым, обращение в нуль некоторой нетривиальной (хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля) линейной комбинации элементов линейного пространства равносильно тому, что нетривиальная линейная комбинация их координатных столбцов (с теми же коэффициентами) равна нулевому столбцу.

Теорема:

Пусть базис с линейного пространства V состоит из п элементов. Тогда всякая система из то элементов, где т > п, линейно зависима.

4 В силу теоремы 3 достаточно рассмотреть случай m = п + 1.

Пусть x1,.. . ,хп+1 — произвольные элементы пространства V. Разложим каждый элемент по базису e = (е1 …, еп):

и запишем координаты элементов х1 …, xn+1 в виде матрицы, отводя j-й столбец координатам элемента xj, j = 1,…, п + 1. Получим матрицу из п строк и п + 1 столбцов —

Ввиду того, что ранг матрицы К не превосходит числа п ее строк, столбцы матрицы К (их п + 1) линейно зависимы. А так как это координатные столбцы элементов x1…..хп+1, то согласно теореме 4 система элементов x1…..хп+1 также линейно зависима.

Следствие:

Все базисы линейного пространства V состоят из одинакового числа элементов.
Пусть базис e состоит из п элементов, а базис e’ из п‘ элементов. В силу только что доказанной теоремы из линейной независимости системы е’1,…, е’n заключаем, что п’ ≤ п. Меняя базисы e и e’ местами, в силу этой же теоремы получаем, что п ≤ п’.

Тем самым, п = п’.
Размерностью линейного пространства V называется число элементов базиса этого пространства.

Пример:

Базис координатного пространства R» образуют элементы

Система элементов e1,e2, …,еп линейно независима: из равенства

получаем, что

и значит, a1 = … = an = 0.

Кроме того, любой элемент из R» можно записать в виде линейной комбинации элементов e1…..еп: ‘

Тем самым, размерность пространства R» равна п.

Пример:

Однородная линейная система

имеющая ненулевые решения, обладает фундаментальной системой решений (ФСР). ФСР является базисом линейного пространства решений однородной системы. Размерность этого линейного пространства равна числу элементов ФСР, т.е. п — r, где r — ранг матрицы коэффициентов однородной системы, an — число неизвестных.

Пример:

Размерность линейного пространства Мп многочленов степени не выше п равна п + I.

Так как всякий многочлен P(t) степени не выше п имеет вид

то достаточно показать линейную независимость элементов

Рассмотрим равенство

где t произвольно. Полагая t = 0, получаем, что ао = 0.

Продифференцируем равенство (3) по t:

Вновь положив t = 0, получим, что a1 = 0.

Продолжая этот процесс, последовательно убеждаемся в том, что a0 = a1 = … = ап = 0. Это означает, что система элементов e1 = I,… ,en+1 = t» линейно независима. Следовательно, искомая размерность равна n + 1.

Линейное пространство, размерность которого равна п, называется п-мерным.

Обозначение: dim V = п.

Соглашение. Далее в этой главе всюду считается, если не оговорено противное, что размерность линейного пространства V равна п.

Ясно, что если W — подпространство n-мерного линейного пространства V, то dim W ≤ п.

Покажем, что в п-мерном линейном пространстве V есть линейные подпространства любой размерности k ≤ п.

Пусть e = (е1 … еn) — базис пространства V. Легко убедиться в том, что линейная оболочка

имеет размерность k.

По определению dim{ θ } = 0.

Теорема:

О пополнении базиса. Пусть система элементов а1.. , аk линейного пространства V размерности п линейно независима и к < п. Тогда в пространстве V найдутся элементы такие, что система а1 … , аk, — базис V.
Пусть b — произвольный элемент линейного пространства V. Если система а1…. , аk, b линейно зависима, то

так как в нетривиальной линейной комбинации

коэффициент μ ≠ 0 вследствие линейной независимости системы а1…., аk.

Если бы разложение вида (4) можно было бы написать для любого элемента b пространства V, то исходная система a1…, аk была бы базисом согласно определению. Но в силу условия k < п это невозможно. Поэтому должен существовать элемент такой, что пополненная система будет линейно независимой.

Если k + 1 = п, то эта система — базис пространства V.

Если k + 1 < п, то для системы следует повторить предыдущие рассуждения.

Таким способом любую заданную линейно независимую систему элементов можно достроить до базиса всего пространства V.

Пример:

Дополнить систему из двух векторов а1 = (1,2,0,1), а2 = (-1,1.1,0) пространства R4 до базиса этого пространства.

Возьмем в пространстве R4 векторы a3 = (1,0,0,0) и а4 = (0, 1,0,0) и покажем, что система векторов a1,а2,а3,а4 — базис R4.

Ранг матрицы

строками которой являются координаты векторов а1, а2, а3, а4, равен четырем. Это означает, что строки матрицы А, а, значит, и векторы а1, а2, а3, а4 линейно независимы.

Подобный подход используется и в общем случае: чтобы дополнить систему k линейно независимых элементов

до базиса пространства R» , матрица

элементарными преобразованиями строк приводится к трапециевидной форме, а затем дополняется п — k строками вида

(0 … 1 … 0)

так, чтобы ранг получаемой матрицы был равен п. Справедливо следующее утверждение.

Теорема:

Пусть W1 и W2 — линейные подпространства линейного пространства V. Тогда

Замена базиса

Пусть e = (e1 … еn) и e’ = (е’1, … е’n) — базисы линейного пространства V. Разложим элементы базиса e’ по базису с. Имеем

Эти соотношения удобно записать в матричной форме
(2)

Матрица

называется матрицей перехода от базиса e к базису e’.

Свойства матрицы перехода

det S ≠ 0.

Доказательство этого свойства проводится от противного.

Из равенства detS = 0 вытекает линейная зависимость столбцов матрицы S. Эти столбцы являются координатными столбцами элементов е’1,…, е’n в базисе e. Поэтому (и вследствие теоремы 4) элементы е’1…..с’n должны быть линейно зависимыми.

Последнее противоречит тому, что e’ — базис. Значит, допущение, что det S = 0, неверно.

2. Если и — координаты элемента х в базисах e и e’ соответственно, то:
(3)

Заменяя в формуле

e’j их выражениями (1), получаем, что

Отсюда в силу единственности разложения элемента по базису имеем

Переходя к матричной записи найденных равенств, убеждаемся в справедливости свойства 2.

3. S ^-1 — матрица перехода от базиса e’ к базису e.

Свойство 3 доказывается умножением обеих частей матричного равенства (2) на матрицу S^-1 справа.

Евклидовы пространства

Вещественное линейное пространство V называется (вещественным) евклидовым пространством, если любым двум элементам х и у из V ставится в соответствие число, обозначаемое через (х,у), такое, что для любых элементов х, y,z и произвольного вещественного числа а выполняются следующие условия:

4. (х, х) ≥ 0; причем равенство нулю возможно в том и только в том случае, если х = θ.

Число (х, у) называется скалярным произведением элементов х и у. Примеры евклидовых пространств.

В пространстве свободных векторов К] скалярное произведение векторов а и b определяется так:

2. Скалярное произведение произвольных элементов из координатного пространства R» можно определить формулой

3, Линейное подпространство евклидова пространства само является евклидовым пространством.

Пользуясь определением евклидова пространства, нетрудно доказать следующие свойства:

Теорема:

Неравенство Коши—Буняковского. Для любых двух элементов х и у евклидова пространства V справедливо неравенство

Если (х, х) = θ , то х = θ и неравенство выполняется вследствие того, что ( θ , у) = 0.

Обратимся к случаю (х, х) ≠ 0. Тогда (х, х) > 0. По определению скалярного произведения неравенство

справедливо для любых элементов х и у из пространства V и любого вещественного числа t. Запишем неравенство (1) подробнее:

Левую часть последнего неравенства можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно t. Из того, что знак этого квадратного трехчлена не изменяется при любых t, заключаем, что его дискриминант неположителен,

Перенося вычитаемое в правую часть, получаем требуемое неравенство.

Замечание:

Часто доказанное неравенство записывают в равносильной форме,

Следует подчеркнуть, что слева в этом неравенстве стоит абсолютная величина (модуль) скалярного произведения, а в правой части — нормы векторов х и у.

Определение:

Длиной (нормой) элемента х называется число |х|, вычисляемое по правилу

Ясно, что |х| ≥ 0 для любого х, причем равенство |х| = 0 возможно лишь в случае, если х = θ.

Рассмотрим цепочку равенств:

Заменяя второе слагаемое на 2|(х, у)| ≥ 2(х, у) и применяя неравенство Коши—Буняковского |(х,у)| ≤ |х| • |у|, получаем, что

После извлечения квадратного корня приходим к неравенству треугольника:
|х + у| ≤ |х| + |у|
(рис.7).

Углом между ненулевыми элементами х и у евклидова пространства называется число φ, подчиненное следующим двум условиям:

Определение угла корректно, так как согласно теореме 8 имеем

для любых ненулевых элементов х и у.

Элементы х и у называются ортогональными, если (х, у) = 0. Для ортогональных элементов из соотношения (2) вытекает равенство

являющееся обобщением известной теоремы Пифагора’, квадрат длины суммы ортогональных элементов равен сумме квадратов их длин (рис. 8).

Система элементов f1…..f k называется ортогональной, если (fi, fj) =0′ при i ≠ j, и ортонормированной, если

Определение:

Символ

называют символом Кронекера.

Теорема:

Ортонормированная система элементов линейно независима.

Умножая обе части равенства

скалярно на элемент fj, j = 1 ,… ,k, получаем, что

И так как (fj, fj) = 1,то aj = 0, j = 1,…, k.

Метод ортогонализации

Покажем, как, пользуясь заданной системой линейно независимых элементов f1,… ,fk евклидова пространства Е, построить в нем ортонормированную систему из к элементов.

Положим g1 = f1.

Для того, чтобы элемент

был ортогонален элементу g1, необходимо выполнение следующего равенства:

откуда

Тем самым, элемент

ортогонален элементу g1 (рис. 9 а).

Пользуясь построенными элементами g1, g2 и заданным элементом fз, построим элемент

ортогональный как элементу g1, так и элементу g2. Для этого коэффициенты β1 и β2 должны удовлетворять следующим условиям:

откуда

Таким образом, элемент
, (f3,g|) (f3,g2)

ортогонален элементам g1 и g2 (рис. 9 6).

Аналогичными рассуждениями можно показать, что элемент

ортогонален элементам

Делением каждого элемента gi (i = 1…..k) на его длину |g<|, получаем ортонормированную систему

(рис. 10).

Базис e = (e1 … еn) евклидова пространства называется ортонормированным, или ортобазисом, если

Суммируя вышеизложенное, получаем следующий результат.

Теорема:

В любом евклидовом пространстве существует о ртонормированный базис.
Пример:

Методом ортогонализации построить ортоиормированный базис евклидова пространства Е по его базису

Полагаем b1 = a1 и b2 = а2 — ab1. Для того, чтобы вектор

был ортогонален вектору b1, необходимо выполнение неравенства

откуда

Тем самым,

Для того, чтобы вектор

был ортогонален векторам b1 и b2, необходимо выполнение равенств

откуда

Тем самым, вектор

Система векторов b1, b2, b3 ортогональна. Поделив каждый вектор на его длину, получим

— ортонормированный базис пространства Е.

При помощи ортонормированного базиса скалярное произведение элементов вычисляется особенно просто. Пусть e = (e1 … еn) — ортонормированный базис пространства Е. Вычислим скалярное произведение элементов х и у, предварительно разложив их по базису e

Имеем

В частности,

Откуда

Ортогональное дополнение

Пусть W — линейное подпространство евклидова пространства V. Совокупность W⊥ элементов у пространства V, обладающих свойством

(y. х) = 0,

где х — произвольный элемент из W, называется ортогональным дополнением подпространства W. Другими словами, ортогональное дополнение W⊥ состоит из всех элементов у, ортогональных всем элементам подпространства W.

Свойства ортогонального дополнения

W⊥ — линейное подпространство пространства V. Пусть элементы y1, у2 лежат в W⊥ , т. е.

для любого элемента х из W. Складывая эти равенства и пользуясь свойствами скалярного произведения, получаем,что

для любого элемента х из W. Это означает, что

Из того, что (у, х) = 0 для любого элемента х из W, вытекает равенство (ау, х) = а(у, х) и, значит, включение ay ∈ W⊥ .

V = W ⊕ W⊥ .

Свойство 2 означает, что любой элемент х пространства V можно представить, причем единственным образом, в виде суммы элементов из W и W⊥ :

x = y+z. ‘ (*)

Элемент у ∈ W называется ортогональной проекцией элемента х на линейное подпространство W, а элемент z ∈ W⊥ — его ортогональной составляющей (рис. 11).

Покажем, как по заданным элементу х и линейному подпространству W найти его ортогональную проекцию у и ортогональную составляющую г.

Можно считать, что в линейном подпространстве W задан ортонормированный базис e1…..еk. Запишем искомый элемент у в виде линейной комбинации

Подставляя это выражение в формулу (*):

и умножая обе части полученного равенства последовательно на элементы e1,…, еk, в предположении z ⊥ W приходим к соотношениям

Элементы

обладают требуемыми свойствами. *

Пример:

Найти ортогональную проекцию вектора х = (4, 2, 3, 5) на линейное подпространство W ⊂ R4, заданное системой уравнений

Векторы a1 = (1,0,0,-1) и а2 = (0,1,-1,0) образуют фундаментальную систему решений и, следовательно, базис подпространства W. Кроме того, векторы a1 и а2 ортогональны. Для того, чтобы построить ортонормированный базис подпространства W, достаточно разделить эти векторы на иx длины. В результате получим

Вектор

является ортогональной проекцией вектора х = (4,2, 3, 5), на подпространство W, а вектор

— его ортогональной составляющей.

Унитарные пространства

Унитарным пространством называется линейное комплексное пространство U, в котором каждой упорядоченной паре элементов х и у из U ставится в соответствие число — скалярное произведение (х, у) так, что для любых элементов х, у и z из U и любого комплексного числа а выполняются следующие соотношения:

(у, х) = (х, у) (черта в правой части указывает на операцию комплексного сопряжения);
(x + y,z) = (x,z) + (y,z);
(ах, у) = а(х, у);
(х, х) ≥ 0, причем равенство (х, х) = 0 возможно лишь в случае, если х = θ.

Пример:

В координатном пространстве Сn, элементами которого являются всевозможные упорядоченные наборы п комплексных чисел, скалярное произведение можно ввести так

Решение заданий и задач по предметам:

Математика
Высшая математика
Математический анализ
Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

Тождественные преобразования алгебраических выражений
Функции и графики
Преобразования графиков функций
Квадратная функция и её графики
Алгебраические неравенства
Неравенства
Неравенства с переменными
Прогрессии в математике
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Показатели в математике
Логарифмы в математике
Исследование уравнений
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней с одним неизвестным
Комплексные числа
Непрерывная дробь (цепная дробь)
Алгебраические уравнения
Неопределенные уравнения
Соединения
Бином Ньютона
Число е
Непрерывные дроби
Функция
Исследование функций
Предел
Интеграл
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Интегрирование
Неопределённый интеграл
Определенный интеграл
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Несобственные интегралы
Кратные интегралы
Интегралы, зависящие от параметра
Квадратный трехчлен
Производная
Применение производной к исследованию функций
Приложения производной
Дифференциал функции
Дифференцирование в математике
Формулы и правила дифференцирования
Дифференциальное исчисление
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения в частных производных
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения и неравенства
Показательная функция
Показательные уравнения
Обобщенная степень
Взаимно обратные функции
Логарифмическая функция
Уравнения и неравенства
Положительные и отрицательные числа
Алгебраические выражения
Иррациональные алгебраические выражения
Преобразование алгебраических выражений
Преобразование дробных алгебраических выражений
Разложение многочленов на множители
Многочлены от одного переменного
Алгебраические дроби
Пропорции
Уравнения
Системы уравнений
Системы уравнений высших степеней
Системы алгебраических уравнений
Системы линейных уравнений
Системы дифференциальных уравнений
Арифметический квадратный корень
Квадратные и кубические корни
Извлечение квадратного корня
Рациональные числа
Иррациональные числа
Арифметический корень
Квадратные уравнения
Иррациональные уравнения
Последовательность
Ряды сходящиеся и расходящиеся
Тригонометрические функции произвольного угла
Тригонометрические формулы
Обратные тригонометрические функции
Теорема Безу
Математическая индукция
Показатель степени
Показательные функции и логарифмы
Множество
Множество действительных чисел
Числовые множества
Преобразование рациональных выражений
Преобразование иррациональных выражений
Геометрия
Действительные числа
Степени и корни
Степень с рациональным показателем
Тригонометрические функции угла
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические выражения и их преобразования
Преобразование тригонометрических выражений
Комбинаторика
Вычислительная математика
Прямая линия на плоскости и ее уравнения
Прямая и плоскость
Линии и уравнения
Прямая линия
Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Кривые второго порядка
Кривые и поверхности второго порядка
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье
Преобразование Фурье
Функциональные ряды
Функции многих переменных
Метод координат
Гармонический анализ
Вещественные числа
Предел последовательности
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия на плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Функции одной переменной
Высшая алгебра
Векторная алгебра
Векторный анализ
Векторы
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Операции над векторами
Непрерывность функций
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Предел и непрерывность функции одной переменной
Производные и дифференциалы функции одной переменной
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Матрицы
Линейные отображения
Дифференциальные теоремы о среднем
Теория устойчивости дифференциальных уравнений
Функции комплексного переменного
Преобразование Лапласа
Теории поля
Операционное исчисление
Системы координат
Рациональная функция
Интегральное исчисление
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Отношение в математике
Математическая логика
Графы в математике
Линейные пространства
Первообразная и неопределенный интеграл
Линейная функция
Выпуклые множества точек
Система координат

Источник

Способы описания подпространств линейного пространства

Переход от одного способа описания подпространств к другому

23. Задание подпространств конечномерного линейного пространства с помощью систем линейных уравнений

Способы описания подпространств линейного пространства

Переход от одного способа описания подпространств к другому

Подпространство линейного пространства

Определение и размерность подпространства

Сумма и пересечение подпространств

Прямая сумма подпространств

Линейные и евклидовы пространства

Определение линейного пространства

Примеры линейных пространств

Простейшие свойства линейных пространств

Линейные подпространства

Примеры линейных подпространств

Свойства линейного подпространства

Сумма и пересечение линейных подпространств

Свойства пересечения и суммы линейных подпространств

Линейная оболочка

Основные свойства линейной оболочки

Линейная зависимость

Базис. Размерность

Замена базиса

Свойства матрицы перехода

Евклидовы пространства

Метод ортогонализации

Ортогональное дополнение

Свойства ортогонального дополнения

Унитарные пространства

Вам также может понравиться

Sorry an internal error occurred сбербанк как исправить

Как найти сертификат соответствия по госту

Опущенные щеки как исправить

Добавить комментарий Отменить ответ