Как найти погрешность через производную

Оценим
погрешности методов вычисления. Для
разностных правой и левой производных
будут справедливы следующие выражения

(5.16)

и

, (5.17)

а
для центральной

. (5.18)

Для
оценки погрешностей левых и правых
разностных производных первую производную
можно получить из разложения в ряд
Тейлора в виде

. (5.19)

Здесь
и ниже

и

– некоторые точки, расположенные на
интервалах

и

соответственно. Откуда погрешности
этих методов будут иметь вид

, (5.20)

а
оценка абсолютных погрешностей будет
удовлетворять неравенству , (5.21)

где . (5.22)

Таким
образом, формулы (5.2) и (5.3) вычисления
правой и левой разностных производных
имеют первый порядок точности по
.

Для
центральной разностной производной
соответствующие разложения функций

в ряд Тейлора должны учитывать и
производную третьего порядка (вторая
производная при вычитании исчезает)

. (5.23)

Отсюда
получим

(5.24)

и
для оценки абсолютной погрешности будет
справедливо неравенство

(5.25)

где

(5.26)

Таким
образом, производная

вычисляется при помощи формул центральной
разностной производной со вторым
порядком точности по
,
т.е. точнее, чем по формулам (5.2) и (5.3).

Очень
часто уменьшение погрешности метода,
в данном случае метода численного
дифференцирования, сопровождается
ростом влияния погрешности исходных
данных и вычислительной погрешности.
Численное дифференцирование относится
именно к таким задачам, которые обычно
называют плохо обусловленными.

Оценим
совместное влияния погрешностей
вычисления и метода для вычисления
первой производной. Пусть значение
производной вычисляется по формуле
(5.3), тогда погрешность метода можно
оценить по соотношению (5.21). Если значения
функции

известны с некоторой погрешностью

(),
то погрешность вычисления

будет содержать дополнительное слагаемое

,(5.27)

Пренебрегая
для простоты погрешностью округления,
имеем оценку погрешности в следующем
виде

.(5.28)

Из
формулы (5.28) очевидно, что уменьшение

не приводит к увеличению точности
вычисления производной, так как возрастает
ошибка, связанная с погрешностью
определения функции (рисунок 5.1).
Погрешности

возникают вследствие ошибок измерения
или предыдущего вычисления по приближенным
формулам. Из соотношения (5.28) можно найти
оптимальное значение разбиения, находя
экстремум правой части, такое

будет равно

.(5.29)

Отметим,
что повышение точности метода лишь
отчасти повышает точность вычисления
производной.

Рисунок
5.1. Зависимость погрешности вычисления
первой производной от величины шага.

5.3.
Численное интегрирование. Простейшие
методы К
численному интегрированию прибегают
в тех случаях, когда невозможно
аналитически получить первообразную,
или когда такая первообразная имеет
неудобный или слишком сложный для
вычисления вид. Основной задачей
численного интегрирования является
вычисление интеграла вида

,(5.29)

где

и

– нижний и верхний пределы интегрирования,
а функция

– непрерывная на отрезке
.

Сущность
большинства методов вычисления
определенных интегралов состоит в
замене подынтегральной функции

аппроксимирующей функцией
,
для которой можно легко записать
первообразную в элементарных функциях,
т.е.

,(5.30)

где

– погрешность вычисления.

Используемые
на практике методы численного
интегрирования можно условно сгруппировать
в зависимости от способа аппроксимации
подынтегральной функции.

1. Методы
   полиномиальной аппроксимации
   ,
   которые отличаются друг от друга
   степенью используемого полинома, что
   определяет количество узлов, где
   необходимо вычислить подынтегральную
   функцию. Это достаточно простые для
   реализации методы. В частности к этим
   методам относятся простейшие формулы
   – прямоугольников, трапеций, Симпсона,
   которые обобщаются формулами
   Ньютона-Котеса.

2. Сплайновые
   методы базируются на аппроксимации
   
   сплайнами. Методы этого класса отличаются
   по типу выбранных сплайнов и используются
   в основном там, где применяются алгоритмы
   сплайновой аппроксимации для обработки
   данных.

3. Методы
   наивысшей алгебраической точности,
   использующие неравноотстоящие узлы,
   расположенные по алгоритму, обеспечивающую
   минимальную погрешность интегрирования,
   используются для наиболее сложных
   функций при заданном количестве узлов
   вычисления функции
   .

4. Методы,
   основанные на случайном выборе узлов,
   где определяются значения интегрируемой
   функции. Эти методы (методы Монте-Карло)
   используются для вычисления кратных
   интегралов, для которых они наиболее
   эффективны.

В
дальнейшем ограничимся методами первой
и второй группы, а также рассмотрим
алгоритмы метода Монте-Карло для кратных
интегралов.

Наиболее
широко на практике для вычисления
определенных интегралов используются
квадратурные формулы – приближенные
равенства вида

, (5.31)

что
соответствует разбиению полного
интеграла на сумму интегралов от функции
по элементарным отрезкам. Здесь

– некоторые точки (узлы) из отрезка
,
разбитого на

элементарных отрезков
,
при этом
,
а
,
а

– некоторые коэффициенты. Сумма, стоящая
в правой части выражения (5.31) называется
квадратурной суммой. Погрешность
вычисления по этой формуле определяется
выражением

. (5.32)

Заметим,
что интеграл вида (5.29) определяет площадь
фигуры ограниченной прямыми
,

,

и графиком функции
.
Для вычисления этой и площади и
соответственно интеграла ее можно
разбить на простые фигуры. На этом и
основаны простейшие методы вычисления
интеграла (5.29).

Формулы
прямоугольников.
Рассмотрим разбиение отрезка

на

элементарных отрезков
,
пусть для простоты
,
тогда каждому значению

можно поставить в соответствие значение
функции
.
Рассматривая

как высоту прямоугольника с основанием

можно получить две формулы: формулу
левых прямоугольников (рисунок 5.2)

(5.33)

и
формулу правых прямоугольников

.(5.34)

Аналогичным
образом за высоту прямоугольника можно
взять его середину. В этом случае отрезок
обычно разбивают на

отрезков и рассматривают только нечетные
узлы, что эквивалентно рассмотрению
прямоугольников высотой, равной значению
функции в середине элементарного
отрезка. Квадратурная формула называется
формулой средних прямоугольников
(рисунок 5.3) и имеет вид

.(5.35)

Рисунок
5.2. Интегрирование по формуле левых
прямоугольников

Интересно
отметить, что формулы левых и правых
прямоугольников фактически заменяют
интеграл верхними и нижними суммами
Дарбу и, к сожалению, имеют высокую
погрешность. Это в равной степени
относится и к формуле средних
прямоугольников.

Формула
трапеций.
Следующая простейшая формула получается,
если рассматривать в качестве приближения
не прямоугольник, а трапецию с высотами

и

(рисунок 5.4). В этом случае площадь
-ой
элементарной трапеции с основанием

будет иметь вид

. (5.36)

Рисунок
5.3. Интегрирование по формуле средних
прямоугольников

Приближенное
значение интеграла в свою очередь будет
определяться как

. (5.37)

Эта
формула соответствует приближенной
замене площади исходной криволинейной
трапеции площадью фигуры, ограниченной
ломаной линией.

Рисунок
5.4. Интегрирование по формуле трапеций

В
качестве примера приведена программа
вычисления интеграла от функции

на отрезке [-5,5] по формуле правых
прямоугольников.

В математике для приближённого вычисления производных заданной таблично функции можно искать выражение значений производных через известные значения функции с помощью подходящего набора коэффициентов. Для этого можно использовать различные интерполяционные формулы или метод неопределённых коэффициентов.

Равноотстоящие узлы[править | править код]

Пусть — точка, в которой необходимо вычислить производные достаточно гладкой функции , — сетка равноотстоящих узлов с шагом и известны значения функции в этих узлах. В этом случае можно выразить формулы численного дифференцирования непосредственно через значения функции с помощью интерполяционной формулы Лагранжа. Такие формулы называются также безразностными, так как не требуют вычисления конечных или разделённых разностей^[1].

В зависимости от расположения точки в сетке узлов (слева, справа или посередине) различают соответственно коэффициенты, вычисленные «вперёд», «назад» и симметричные коэффициенты.

Симметричные коэффициенты[править | править код]

Для получения симметричных коэффициентов число узлов в сетке должно быть нечётным. Тогда порядок погрешности приближения будет чётным числом.

Порядок производной	Порядок погрешности	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5
1	2					−1/2	0	1/2
4				1/12	−2/3	0	2/3	−1/12
6			−1/60	3/20	−3/4	0	3/4	−3/20	1/60
8		1/280	−4/105	1/5	−4/5	0	4/5	−1/5	4/105	−1/280
2	2					1	−2	1
4				−1/12	4/3	−5/2	4/3	−1/12
6			1/90	−3/20	3/2	−49/18	3/2	−3/20	1/90
8		−1/560	8/315	−1/5	8/5	−205/72	8/5	−1/5	8/315	−1/560
3	2				−1/2	1	0	−1	1/2
4			1/8	−1	13/8	0	−13/8	1	−1/8
6		−7/240	3/10	−169/120	61/30	0	−61/30	169/120	−3/10	7/240
4	2				1	−4	6	−4	1
4			−1/6	2	−13/2	28/3	−13/2	2	−1/6
6		7/240	−2/5	169/60	−122/15	91/8	−122/15	169/60	−2/5	7/240
5	2			−1/2	2	−5/2	0	5/2	−2	1/2
4		1/6	−3/2	13/3	−29/6	0	29/6	−13/3	3/2	−1/6
6	−13/288	19/36	−87/32	13/2	−323/48	0	323/48	−13/2	87/32	−19/36	13/288
6	2			1	−6	15	−20	15	−6	1
4		−1/4	3	−13	29	−75/2	29	−13	3	−1/4
6	13/240	−19/24	87/16	−39/2	323/8	−1023/20	323/8	−39/2	87/16	−19/24	13/240

Например, третья производная с погрешностью второго порядка вычисляется как

Коэффициенты вперёд[править | править код]

Порядок производной	Порядок погрешности	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	−1	1
2	−3/2	2	−1/2
3	−11/6	3	−3/2	1/3
4	−25/12	4	−3	4/3	−1/4
5	−137/60	5	−5	10/3	−5/4	1/5
6	−49/20	6	−15/2	20/3	−15/4	6/5	−1/6
2	1	1	−2	1
2	2	−5	4	−1
3	35/12	−26/3	19/2	−14/3	11/12
4	15/4	−77/6	107/6	−13	61/12	−5/6
5	203/45	−87/5	117/4	−254/9	33/2	−27/5	137/180
6	469/90	−223/10	879/20	−949/18	41	−201/10	1019/180	−7/10
3	1	−1	3	−3	1
2	−5/2	9	−12	7	−3/2
3	−17/4	71/4	−59/2	49/2	−41/4	7/4
4	−49/8	29	−461/8	62	−307/8	13	−15/8
5	−967/120	638/15	−3929/40	389/3	−2545/24	268/5	−1849/120	29/15
6	−801/80	349/6	−18353/120	2391/10	−1457/6	4891/30	−561/8	527/30	−469/240
4	1	1	−4	6	−4	1
2	3	−14	26	−24	11	−2
3	35/6	−31	137/2	−242/3	107/2	−19	17/6
4	28/3	−111/2	142	−1219/6	176	−185/2	82/3	−7/2
5	1069/80	−1316/15	15289/60	−2144/5	10993/24	−4772/15	2803/20	−536/15	967/240

Например, первая производная с погрешностью третьего порядка и вторая производная с погрешностью второго порядка вычисляются как

Нетрудно видеть, что коэффициенты для погрешности первого порядка представляют собой биномиальные коэффициенты с меняющимися знаками, что соответствует общей формуле для восходящих конечных разностей.

Коэффициенты назад[править | править код]

Для получения коэффициентов назад необходимо обратить знаки у коэффициентов вперёд для производных нечётных порядков и зеркально отразить таблицу коэффициентов справа налево:

Порядок производной	Порядок погрешности	−5	−4	−3	−2	−1	0
1	1					−1	1
2				1/2	−2	3/2
3			−1/3	3/2	−3	11/6
2	1				1	−2	1
2			−1	4	−5	2
3	1			−1	3	−3	1
2		3/2	−7	12	−9	5/2
4	1		1	−4	6	−4	1
2	−2	11	−24	26	−14	3

Например, первая производная с погрешностью третьего порядка и вторая производная с погрешностью второго порядка вычисляются как

Произвольная сетка узлов[править | править код]

Для получения коэффициентов для произвольно расположенных узлов удобно использовать метод неопределённых коэффициентов^[2]. Для этого значение искомой производной порядка в точке записывается в виде

где

— неизвестные коэффициенты,

— остаточный член интерполяции.

Коэффициенты подбираются из условия , которое должно выполняться для функций , , ,…, . Получается следующая система линейных уравнений:

В этом случае погрешность вычислений будет иметь порядок .

Матрица системы является матрицей Вандермонда, которая также возникает при решении общей задачи интерполяции многочленами.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• Калькулятор коэффициентов для произвольных сеток узлов (численно)

См. также[править | править код]

• Метод конечных разностей