Как найти погрешность числа в математике

Абсолютная и относительная погрешность

Абсолютной погрешностью или, короче, погрешностью приближенного числа называется разность между этим числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее)

Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 – 1284 = 16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1284 – 1280 = 4.

Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной по-
грешности приближенного числа к самому этому числу.

Пример 2. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет 200 – 197 = 3. Относительная погрешность равна    или округлено 

В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

Пример 3. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая — 50 г.
Взвешивание дало 3600 г. Это число — приближенное. Точная масса арбуза неизвестна. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью. Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.

В примере 3 за предельную абсолютную погрешность можно взять 50 г, а за предельную относительную погрешность — 1,4%.

Величина предельной погрешности не является вполне определенной. Так, в примере 3 можно принять за предельную абсолютную погрешность 100 г, 150 г и вообще всякое число, большее чем 50 г. На практике берется по возможности меньшее значение предельной погрешности. В тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит одновременно предельной погрешностью.

Для каждого приближенного числа должна быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная). Когда она прямо не указана, подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено приближенное число 4,78 без указания предельной погрешности, то
подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. Вследствие этого соглашения всегда можно обойтись без указания предельной порешности числа, округленного по правилам.

Предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой  («дельта»); предельная относительная погрешность — греческой буквой 5 («дельта малая»). Если приближенное число обозначить буквой а, то     

Пример 4. Длина карандаша измерена линейкой с миллиметровыми делениями. Измерение показало 17,9 см. Какова предельная относительная погрешность этого измерения?

Здесь а — 17,9 см; можно принять А — 0,1 см, так как с точностью до 1 мм измерить карандаш нетрудно, а значительно уменьшить предельную погрешность не удастся. Относительная погрешность равна   Округляя находим 

Пример 5. Цилиндрический поршень имеет около 35 мм в диаметре. С какой точностью нужно его
измерить микрометром, чтобы предельная относительная погрешность составляла 0,05%?

Решение. По условию, предельная относительная погрешность должна составлять 0,05% от 35 мм.
Следовательно, предельная абсолютная погрешность равна          или, усиливая, 0,02 (мм).

Можно воспользоваться формулой        Подставляя в нее a=35,  b=0,0005,  имеем   Значит  

Лекция 14.  Приближенные
числа. Погрешности арифметических действий.

Величиной называется то,
что может быть в определенных единицах выражено числом. Например, длина,
площадь, объем – это величины. Значение величины, в истинности которого мы не
сомневаемся, называется точным (в дальнейшем х — точное число).
Но обычно на практике, отыскивая значение какой-либо величины, получают лишь ее
приближенное значение (в дальнейшем а — приближенное число).
Например, при измерении физических величин с помощью измерительных приборов.

Модуль разности точного и приближенного значений
величины называется абсолютной погрешностью приближения .

Предельной абсолютной погрешностью приближения или
границей погрешности или оценкой абсолютной погрешности
называется число .

 Таких оценок может быть бесконечное число. Лучшей
оценкой погрешности является наименьшая оценка. Краткая запись точного числа:

Отношение абсолютной погрешности приближения к модулю
точного значения величины называется относительной погрешностью .

На практике используется

Для предельной относительной погрешности (оценки
относительной погрешности): .

Относительная погрешность обычно выражается в %.

В дальнейшем слово оценка
опускается.

ПРИМЕР 1. Найти абсолютную и относительную погрешность
приближения а=3,14 для х=π.

Известно, что 3,14<π<3,15.

Отсюда следует, что , т.е.

Если учесть, что 3,14<π<3,142, то
получим лучшую оценку

ПРИМЕР
2. При измерении длины пути получен результат 25,2 км с точностью до 2м.
Вычислить предельную абсолютную и предельную относительную погрешности.

Решение. В нашем
случае предельная абсолютная погрешность равна D = 0,002 км, а предельная
относительная погрешность

d = 0,002 25,2 = 0,00008 = 0,008%

ПРИМЕР
3. При измерении длины пути L = 10 км допущена ошибка D (L) = 10 м, а
при измерении диаметра гайки d = 4см допущена погрешность D ( d  ) = 1мм.
Какое из этих двух измерений более точное?

Решение. Найдём
предельные относительные погрешности чисел L и d.

По
условию задач D(L) =
0,01 км,

тогда

d (L) = 0,01 10 = 0,001 = 0,1%

Аналогично,
вычисляем

d (d) = 0,1 4 = 0,025 = 2,5%

Поскольку
d(L) < d( d ) то первое
измерение является более точным.

Цифра в десятичной записи приближенного значения
величины х называется верной в широком смысле,
если абсолютная погрешность приближения не превосходит единицы того разряда r,
которому принадлежит эта цифра (Нулевым
разрядом считается разряд единиц, десятичные цифры считаются отрицательными
разрядами).

Существует еще понятие верной цифры в узком
смысле: .

В дальнейшем будем рассматривать верные цифры в
широком смысле. Остальные цифры числа называются сомнительными.

Значащими цифрами числа,
записанного в десятичной форме, называются все верные цифры числа, начиная с
первой слева, отличной от 0. Все нули слева являются незначащими. По количеству
значащих цифр можно легко оценить абсолютную погрешность приближенного числа.
За оценку абсолютной погрешности можно взять 0,5 разряда, следующего за
последней значащей цифрой. Предельную относительную погрешность можно принять
равной дроби, числитель которой 1, а знаменатель – удвоенное целое число,
записанное при помощи всех значащих цифр данного числа.

ПРИМЕР. а=0,065;

ЗАДАЧА 1.1. Объем помещения V определен
с предельной относительной погрешностью δ Сколько значащих цифр в
V?

V=503м3	РЕШЕНИЕ.
n – ?

V=500±5

ЗАДАЧА 1.2. Известно, что приближенное значение а
имеет n значащих цифр. Оценить абсолютную и относительную
погрешность.

a=0,0359 n=2	РЕШЕНИЕ.

ЗАДАЧА 1.3. Округлите сомнительные цифры приближенного
числа а, если известна относительная погрешность δ

Задание 1.1.

Известно, что приближенное значение а
имеет n значащих цифр. Оценить абсолютную и относительную
погрешность со следующими исходными данными.

	a=295,3 n=2, n=3, n=4

Задание 1.2.

Округлите сомнительные цифры приближенного числа а,
если известна относительная погрешность δ

Чтобы узнать, на сколько приближенное значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее. Иначе говоря, надо найти модуль разности точного и приближенного значений. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью.

Абсолютной погрешностью, или, короче, погрешностью приближенного числа, называется разность между этим числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее).

Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 – 1284 = 16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1284 – 1280 = 4.

Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.

Пример 2. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет 200 – 197 = 3. Относительная погрешность равна (frac{3}{197}) или, округленно, (frac{3}{197}) = 1,5 %.

В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

Содержание:

1. Приближённые вычисления
2. Абсолютная и относительная погрешности
3. Выполнение действий над приближёнными числами
4. Выполнение действий без точного учёта погрешности

Приближённые вычисления

Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность

Абсолютная и относительная погрешности

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.

Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютной погрешностью  приближённой называется модуль разности между точным значением величины  и её приближённым значением х, то есть

Пример.

Абсолютная погрешность приближённого числа  числом 0,44 составляет

Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность  невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях  пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.

При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.

Цифра  называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется  сомнительной.

Например: в числе две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых. Цифры 9 и 7 верны, поскольку  а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку 

В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число  можно записать в виде  , число  в виде  Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.

Например: если , то правильной записью числа будет 0,260.

Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.

Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.

Например: в числе  верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде: 

Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.

Например:

1. Запись  означает, что , то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.

2. Запись 

3. Если 

В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.

Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25_*10³ — две значимых цифры.

При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.

Правила округления чисел:

— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.

— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.

— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 1246,5002≈1247.

— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например,  будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.

Относительной погрешностью  (омега) приближённости х величины  называется отношением абсолютной погрешности  этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть 

Поскольку абсолютная погрешность  обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль: 

Число  называется пределом относительной погрешности.

Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле: 

Конечно относительная погрешность выражается в процентах.

С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.

Пример 1. Найти относительную погрешность числа 

Решение: Имеем 

Следовательно 

Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что  .

Решение: 

Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.

Выполнение действий над приближёнными числами

Результат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.

Необходимо уметь устанавливать погрешности результатов вычислений. Их находят с точным и без точного учёта погрешностей исходных данных. Правила нахождения погрешностей результатов действий с точным учётом погрешности приведены в таблице (обозначения –  исходные данные;  пределы абсолютных погрешностей относительно чисел; пределы относительных погрешностей).

Пример 3. Вычислить приближение значения выражения  и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50.

Найдём границу относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ: 

Пример 4. Вычислить приближение значения выражения   и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и , имеем:

Граница относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата: 

Ответ: 

Выполнение действий без точного учёта погрешности

Точный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила. 

Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;

б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;

в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;

г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.

Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;

б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;

в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;

г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.

При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.

При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.