Как найти погрешность измерения скорости

Из
(1.2) получаем зависимость скорости пули
после выстрела от ее массы:

.
(1.3)

Поскольку
величины

и

для всех пуль одинаковы, то график
ожидаемой зависимости скорости пули

от

должен согласно формуле (1.3), представлять
собой прямую линию, проходящую через
начало координат.

Вывод рабочей формулы

Пролетев
небольшое расстояние между пистолетом
и маятником, пуля входит в пластилин,
заполняющий цилиндр, и за счет вязкого
трения быстро теряет скорость. При этом
часть механической энергии пули
расходуется на неупругую деформацию и
превращается во внутреннюю энергию
пластилина и пули, т.е пластилин и пуля
нагреваются. Такой удар пули и маятника,
в результате которого они начинают
двигаться как единое целое, называется
абсолютно неупругим. Механическая
энергия в процессе такого удара не
сохраняется (убывает).

Процесс
удара кратковремен. Если масса маятника
достаточно велика по сравнению с массой
пули (),
то за время удара он в силу своей
инерционности не успевает выйти из
положения равновесия. Это позволяет
считать систему маятник–пуля в момент
удара замкнутой в горизонтальном
направлении, так как сила тяжести и сила
натяжения подвеса направлены вертикально
при вертикальном положении маятника.
Для замкнутой системы можно применить
закон сохранения импульса

,
(1.4)

где

– скорость пули до удара (при этом
скорость маятника равна нулю),

– скорость, приобретенная системой
маятник–пуля сразу после удара.

Маятник
вместе с пулей, получив за счет неупругого
удара импульс, отклоняется от положения
равновесия на угол
.
В процессе отклонения на маятник
действуют сила тяжести (вниз) и сила
упругости подвеса (перпендикулярно
направлению мгновенной скорости
маятника). Если пренебречь потерями
энергии на трение в подвесе и на
сопротивление воздуха, то работу при
отклонении маятника совершает только
гравитационная сила. Это позволяет
воспользоваться законом сохранения
механической энергии:

,
(1.5)

где

– наибольшая высота, на которую
поднимается маятник (рис. 1.2).

Слева
в этой формуле отражена кинетическая
энергия при поступательном движении
маятника сразу после удара (в этой точке
потенциальную энергию принимаем равной
нулю), а справа – потенциальная энергия
системы в момент ее остановки на высоте
.

h

x

Рис. 1.2

Выразим
высоту

через соответствующее горизонтальное
смещение маятника
,
которое удобнее измерять. Предположим,
что угол отклонения маятника от положения
равновесия

мал. Из рис.
1.2. видно,
что

,
(1.6)

где

– длина нити подвеса.

Из
(1.6) получаем

.
(1.7)

Уравнения
(1.4), (1.5) и (1.7) образуют систему, решая
которую получим скорость пули

перед ударом

.
(1.8)

Выражение (1.8)
позволяет осуществить прямые измерения
смещения маятника x.
Зная значения остальных величин, входящих
в эту рабочую формулу, определим скорость
пули

путем косвенных измерений. Измерив
скорости

для пуль с разными массами
,
можем убедиться в справедливости
теоретической зависимости (1.3).

Вывод формулы для определения погрешности косвенных измерений скорости

Методика
оценки истинных значений и погрешности
при прямых и косвенных измерениях
изложена в [1].

Проведя
прямые многократные измерения смещения
маятника

для одной и той же пули (см. задание к
работе) можно (см. [1]) оценить истинное
значение

и доверительную погрешность

этой величины, записав результат в виде
m.
Истинные значения остальных аргументов
рабочей формулы (1.8)
и их доверительные погрешности определены
заранее и указаны в таблице исходных
данных, расположенной около установки.
Подставляя истинные значения аргументов
в рабочую формулу (1.8), получаем оценку
истинного значения скорости пули

,
(1.9)

где
черта означает «оценка истинного
значения».

Теперь
(см. [1]) можно оценить доверительную
абсолютную погрешность этой величины.
В формулу (1.8) входит пять величин:
,
каждая из которых определена с некоторой
погрешностью. Следовательно, формула
для определения абсолютной погрешности
скорости пули имеет вид

(1.10)

Пользуясь
формулой (1.8), вычисляем частные производные
от скорости по каждому из аргументов.
В результате получаем следующее
выражение:

(1.11)

В
формулу (1.11) входит пять квадратичных
членов, каждый из которых определяет
вклад погрешности одного из пяти
аргументов
формулы (1.8) в погрешность величины
.
Прежде чем применять формулу (1.11), следует
отдельно вычислить (приближенно) каждый
из пяти квадратичных членов, чтобы
сравнить их. Сравнение покажет, точность
определения каких аргументов мало
влияет на абсолютную погрешность
скорости. Эти члены из формулы (1.11) надо
исключить, и только после этого, применив
(1.11), получить оценку погрешности скорости
.
Численные
результаты, полученные с помощью формул
(1.9) и (1.11), записываются в виде

м/с.
(1.12)

Соседние файлы в папке Лаб.работа №1

• #
• #

Случайные погрешности в лабораторных работах по физике можно оценивать только с использованием калькулятора

О теории случайных погрешностей

Теория случайных погрешностей была создана К.Ф.Гауссом в первой половине XIX в. в связи с его занятиями астрономией и геодезией.

Напомним, что случайные погрешности δ_i = x_i – a проявляются при проведении серии измерений одной и той же физической величины в неизменных условиях одним и тем же методом.

Одним из фундаментальных положений теории Гаусса является “принцип арифметической середины”. В соответствии с этим принципом за истинное значение величины а принимается среднее значение

при n → ∞, если метод не сопровождается систематическими погрешностями.

Для случайных погрешностей характерны следующие свойства:

1. Положительные и отрицательные случайные погрешности встречаются с одинаковой вероятностью, т. е. одинаково часто.
2. Среднее арифметическое из алгебраической суммы случайных погрешностей при неограниченном возрастании числа наблюдений стремится к нулю, т. е.

   

3. Малые по абсолютной величине случайные погрешности встречаются с большей вероятностью, чем большие.

Основная идея теории Гаусса может быть выражена следующим образом

Возможные конкретные значения случайной погрешности, как и сам результат измерения, предсказать невозможно. Однако после того как экспериментатор определил измеряемый параметр и метод его измерения, сразу “возник” объективный закон, неизвестный исследователю. Этот закон определяет совокупность случайных погрешностей, которые возникают в процессе измерений.

Всегда можно эмпирически (на конкретных опытах) выявить закон распределения случайных погрешностей, который обычно выражается в виде так называемой функции распределения f(δ). Этот закон позволяет определить вероятность, с которой погрешность может оказаться в интервале от δ₁ до δ₂. Вероятность эта равна площади заштрихованной криволинейной трапеции, представленной на графике функции распределения.

Гауссу удалось определить универсальный закон распределения, которому подчиняется огромный класс случайных погрешностей измерений самых разных величин различными методами.

Этот закон носит название нормального закона распределения. Конечно, существуют измерения, погрешность которых не распределена по нормальному закону. Однако всегда можно определить степень их отклонения от нормального закона.

Функция распределения φ(δ), открытая Гауссом, имеет следующие свойства:

1) Функция δ(φ) четная, т. е. δ-(φ-)δ(φ), и в силу этого симметрична относительно оси координат.

2) Функция δ(φ) имеет максимум при значениях случайной погрешности, равных нулю.

3) Функция δ(φ) имеет две точки перегиба, расположенные симметрично относительно оси координат. Координаты точек перегиба равны ±σ.

4) Касательные к кривой δ(φ) в точках перегиба отсекают на оси абcцисс отрезки, равные ±2σ.

5) Максимальное значение функции δ(φ) равно

6) Площадь под всей кривой δ(φ) стремится к 1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми, проходящими через точки δ_1,2 = ±σ, составляет 0,68 от всей площади; если прямые проходят через точки δ_3,4 = ±2σ, то площадь составляет 0,95; площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми δ_5,6 = ±3σ, равна 0,99.

Параметр σ, определяющий все фундаментальные свойства нормального закона, называется средним квадратическим отклонением. Этот параметр может быть определен после получения достаточно большой серии результатов измерений x₁, х₂, х₃, …, х_n. Тогда

Важность параметра σ состоит в том, что он позволяет определить границы случайных погрешностей. Действительно, вероятность получения случайных погрешностей, превосходящих по абсолютной величине 3σ, равна 1%.

При обычной организации измерений не представляется возможности провести не только бесконечно большое число измерений, но и провести просто большое их число.

Специальные исследования показали, что такая граница может быть определена при небольшом числе опытов в серии.

В такой серии из k измерений находят так называемую среднюю квадратичную погрешность

Затем Δх_кв увеличивают в S раз.

Число S называется коэффициентом Стьюдента (коэффициент был предложен в 1908 г. английским математиком В. С. Госсетом, публиковавшим свои работы под псевдонимом Стьюдент – студент). Коэффициент Стьюдента позволяет определить границу случайной погрешности серии: Δх_случ = S Δх_кв.

Таблица коэффициентов S для различного числа опытов в серии

Погрешность среднего арифметического

После проведения серии равноточных измерений и нахождения х_ср и σ легко определяется интервал, к которому с вероятностью 99% принадлежит результат любого следующего измерения. Этот интервал равен [х_ср ± 3σ], если в серии достаточно много измерений, и имеет вид [х_ср ± S Δх_кв] при небольшом числе опытов. Это означает, что 3σ (или S Δх_кв) характеризует погрешность каждого опыта серии. Итак, среднее квадратичное отклонение серии опытов есть погрешность каждого опыта серии. Именно поэтому вводится обозначение σ_х или ΔS_кв.х. Однако среднее арифметическое есть разумная комбинация всех измерений, и поэтому следует ожидать, что истинное значение находится в более узком интервале около х_ср, чем [x_cp ± 3σ_х].

Понять, почему должно быть именно так, помогут следующие рассуждения

Выполняется N серий по n опытов в каждой. В каждой серии из n опытов определяется среднее значение х_ср. Таких средних значений получается N: х_ср1, х_ср2, …, x_cpN. Для этой совокупности средних определяется среднее квадратичное отклонение

Величина σ_{х ср} характеризует предельное распределение средних значений, это и есть величина, которая позволяет найти интервал, в котором находится истинное значение измеряемой в опыте величины [х_ср ± 3σ_{х ср}]. На практике такая процедура никогда не реализуется не только потому, что это очень трудоемко, но и потому, что теория погрешностей позволяет по результатам одной серии определить погрешность среднего. Это делается на основе фундаментального результата теории погрешностей:

стандартное отклонение среднего σ_{х ср} в  раз меньше стандартного отклонения каждого опыта серии σ_х, т.е.

Итак, если в серии с достаточно большим числом опытов определено х_ср, то граница случайной погрешности среднего равна

Если в серии небольшое число опытов, то граница случайной погрешности среднего находится по формуле:

Все расчеты случайных погрешностей возможны только с использованием режима статистических расчетов (см. раздел “Статистические расчеты”), следуя методическим рекомендациям, приведенным ниже.

Использование калькулятора CASIO fx-82EX СLASSWIZ для оценки случайных погрешностей

1. Включаем калькулятор, клавиша [ON]
2. Нажимаем клавишу [SHIFT](SETUP)
3. Входим в режим статистики. Нажимаем клавишу [2]
4. Выбираем режим 1-Variable. Нажимаем клавишу [1]
5. Заполняем таблицу
6. Нажимаем клавишу [OPTN]
7. Выбираем режим 1-Variable. Нажимаем клавишу [3]
8. На дисплее получаем ряд характеристик
   8.1. Первая сверху – значение среднего значения
   8.2. Вторая снизу – случайная погрешность каждого опыта серии σ_х
9. Вычисляем погрешность среднего
   
10. Находим границу случайной погрешности среднего
    

Пример

Измерялась скорость тела, брошенного горизонтально. В десяти опытах были получены следующие значения дальности полета L (в мм): 250, 245, 250, 262, 245, 248, 262, 260, 260, 248. Дальность полета тела измерялась линейкой с основной погрешностью Δ₁ = 1мм. Высота, с которой брошено тело, в опыте равнялась Н = 1 м и измерялась мерной лентой с основной погрешностью Δ₂ = 1 см и ценой деления С₂ =1 см.

Решение

Сначала определим среднее значение дальности полета тела и вычислим его начальную скорость. Для этого сведем все данные в таблицу и проведем их первичную обработку.

Так как

Легко определить среднее значение скорости по результатам серии опытов:

Граница относительной погрешности измерения скорости:

В этой формуле ΔL – граница абсолютной погрешности измерения дальности полета, Δg – погрешность округления g, ΔН – погрешность прямого однократного измерения высоты.

ΔН = 1 см + 0,5 см = 1,5 см

ΔL складывается из погрешности линейки Δ₁ и случайной погрешности ΔL_случ.:

ΔL = Δ₁ + ΔL_случ.

Так как ΔL_кв = 7мм, то при оценке ΔL_случ. нет смысла учитывать погрешность линейки Δ₁ = 1мм.

Определим погрешность измерения скорости в любом однократном опыте, который можно провести на данной установке. В этом случае в формулу для ε_v следует вместо ∆L подставить его границу ∆L = S ∆L_кв. Здесь S = 3,2 (см. таблицу коэффициентов S для различного числа опытов в серии).

Имеем:

Первое слагаемое в этой сумме равно 0,09; слагаемое в скобках (0,01 + 0,0075) = 0,0175. Следовательно, ε_v = 0,09. Граница абсолютной погрешности каждого опыта серии не превосходит

ε_v = ε₀ = 0,565 ∙ 0,09 = 0,05 м/с

Это значит, если на данной установке провести еще один опыт, то гарантировать можно, что значение скорости, рассчитанное по его результатам, будет принадлежать интервалу [(0,56 – 0,05)м/с; (0,56 + 0,05)м/с].

Найдем границу случайной погрешности среднего значения скорости тела, брошенного горизонтально. Для этого в формулу для ε_v следует вместо ∆L подставить границу случайной погрешности среднего:

Таким образом,

Относительная погрешность среднего равна

0,027 + 0,01 + 0,0075

Последним слагаемым в этой сумме можно пренебречь. Итак, ср = 0,04 = 4%. Мы видим, что погрешность среднего в два раза меньше погрешности каждого опыта. Граница абсолютной погрешности среднего равна:

Таким образом, из серии 10 опытов по измерению скорости можно сделать вывод о том, что в любой другой такой серии из 10 опытов на данной установке среднее значение скорости будет находиться в интервале [(0,56 – 0,02)м/с; (0,56 + 0,02)м/с]. Этому же интервалу принадлежит неизвестное значение скорости, которое получится, если проделать серию с очень большим числом опытов, т. е. такое значение, которое можно назвать истинным значением.

Ошибка именно в попытке описать погрешность конечным интервалом. S=100±5 м вовсе не означает, что измерение расстояния покажет максимально 105 метров, а минимально – 95. Предполагается, что разброс измерений имеет гауссово распределение, а интервал ±5м всего лишь характеризует ширину пика. Да, большинство измерений попадут в этот интервал, но некоторые могут оказаться и за его пределами (хотя вероятность такого мала) .

Следует также отметить, что предложенная Бабайкой формула простого сложения относительных погрешностей в случае гауссового распределения (случайные ошибки дают именно такое распределение) неоправданно завышает погрешность скорости. Точнее, при той же доверительной вероятности относительная погрешность для скорости будет равна квадратному корню из суммы квадратов относительных погрешностей расстояния и времени:

∆V/V = sqrt((∆S/S)^2 + (∆t/t)^2)

В нашем случае это чуть более 6%