Использование дифференциала натурального логарифма
Во многих случаях,
когда формула удобна для логарифмирования,
оказывается более удобной другая
последовательность действий: сначала
находят относительную погрешность
величины А, а затем абсолютную погрешность,
поскольку относительная ошибка функции
равна дифференциалу натурального
логарифма этой функции. Действительно,
относительная погрешность величины А
есть ЕА
= DA/Аср
, но d(lnA)
= DA/А
и, следовательно, D(lnA)
= DA/А.
Правило II.
1)
Логарифмируют функцию A
= f
(x,
y,
z,
…).
2)
Дифференцируют полученный логарифм по
всем аргументам.
3)
Заменяют бесконечно малые dx,
dy,
dz,
… абсолютными ошибками соответствующих
аргументов Dx,
Dy,
Dz,
… (знаки “минус” в абсолютных
ошибках аргументов заменяют знаками
“плюс”).
После
вычислений получают относительную
погрешность ЕА.
4) Абсолютную
погрешность находят из формулы
DA
= ACP
EA..
Указания.
1. Если функция A = f (x,
y,
z,
…) имеет вид, неудобный для логарифмирования,
то для определения погрешностей
пользуются правилом I.
2.
Если функция A = f (x,
y,
z,
…) имеет вид, удобный для логарифмирования,
то для определения погрешностей
пользуются правилом II.
Рассмотрим следующие
примеры:
1.
В результате изучения равноускоренного
движения некоторого тела получено
выражение S
= v0×t
+ a×t2/2,
в котором
v0
= (12 ±
1) м/с; a
= (2.5 ±
0.4) м/с2;
t = (30 ±
2) с;
S
= 12
30 +
= 1485 м.
Для оценки абсолютной
и относительной погрешностей при
определении пути удобно пользоваться
правилом I, так как функция неудобна
для логарифмирования. Тогда
.
Так
как
DV0
= 1 м/с; Dt
= 2 с; Da
= 0.4 м/с2;
V0
= I2 м/с; tСР
= 30 с; aСР
= 2,5 м/с2
, то, подставив эти величины в формулу
для DS,
получим
D
18
S = 1 м/с
30 с + 2 с
12 м/с + 1/2
0.4 м/с2
900 с2 + 2.5
м/с2
30 c
2 c
= 30 м +24 м +180 м +150 м = 384 м »
400 м.
Полученный результат
показывает, что при определении пути
(1485) цифра 4 является сомнительной.
Значит, S = 1500 м. Тогда
ES
=
100%
= 0.266 100%
= 27%.
Окончательный
результат будет иметь вид:
S
= (1500400) м; ЕS
= 27%.
2.
При определении центростремительной
силы, действующей на тело, вращающееся
по окружности, пользуются формулой
F
=.
В
результате измерений получено: m
= (15.5 ±
0.2) кг;
v
= (3.45 ±
0.01) м/с;
R= (150 ±
5) м;
F
=
= 1.2299 H.
Для
определения абсолютной и относительной
ошибок при оценке центростремительной
силы в данном случае удобно пользоваться
правилом II,
т.к. функция F = f
(m,v,R)
удобна для логарифмирования. Тогда
ln
F
= ln
m
+ 2 ln
v
– ln
R.
Продифференцировав
это равенство, получим
;
Так как
Dm
= 0.2 кг;
Dv
= 0.01 м/с;
DR
= 5 м;
mСР
= 15.5 кг;
vСР
= 3.45 м/с;
RСР =
150 м,
то
;
EF
=
5.2%;
DF
= F
EF
= 1.2299 Н 0.052
= 0.06396 Н = 0.06 Н.
При
определении центростремительной силы
третья цифра слева является сомнительной
и F = 1.23
Н. Окончательный результат запишется
в виде
F
= (1.23 ±
0.06) Н;
EF
= 5.2% .
Используя
первый или второй способы в расчете
абсолютной и относительной ошибок
измерений для часто встречающихся
зависимостей, можно воспользоваться
соответствующими формулами, которые
сведены в таблицу 1.
Таблица
1
Вид функции |
Абсолютная погрешность |
Относительная погрешность |
А = a |
± |
|
A = a+ |
± |
|
A = a |
± |
|
A = a×b |
± |
|
A = |
± a×b×Dc) |
|
|
|
|
A = an |
± |
|
A |
± |
± |
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
12.02.2015183.3 Кб27Пример работы по теме ПЕРЕСКАЗ.doc
- #
Страница 1 из 2
-
У кого нибудь есть фото лабы 1.18?
-
есть)))
какой калибровочный коэффициент в аппарате? я не записал…
-
Если можно запостите фотки этой лабы
-
Тесла
Осваивается на коруме -
Есть у кого-нибудь фотография самой лабы (не выполненной лабы, а теории из методички + задания + … как обычно)?
-
Как посчитать погрешность ln(n)??
написано, что погрешность измерения вязкости жидкости +-1% от показания макс. диапазона.
то бишь dn=1%(500mPas)=5mPas => dln(n)=1.6?? (хотя разность значений 1,6-1,7…) -
Blorn
Осваивается на корумев) Логарифмическая функция y = ln x . Абсолютная погрешность натурального логарифма числа равна
относительной погрешности самого числа:
Δy=Δx/х=δххотя возможно не то что надо..
-
Скажите пожалуйста мне брать логарифм натуральный от значения вязкости в мПА*с или от ПА*с. Если использовать второй способ, то получается отрицательный логарифм и это мне не очень нравится.
-
lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
АдминистраторRamos, а тебя вообще не смущает, что ты берешь логарифм от размерной величины? Можно же время в часах измерять ^_^ .
Если смушает, то вспомни, что
А потом осталось сообразить, зачем именно мы строим график этой зависимости. Для чего нам нужен график? Что мы из него вычисляем?
-
Кто знает как считать погрешность от Е(энергия активации глицерина)? Нужно срочно!
-
allex
Корумчанин
Преподаватель МИФИПо графику методом парных точек считаете угловой коэффициент и его погрешность. А энергия активации есть угловой коэффициент графика умножить на постоянную Больцмана. Там это написано!
-
Как считать погрешности натурального логарифма и обратной температуры?
Да,есть формулы,но я немного не догоняюΔη – это абсолютная погрешность вязкости,я так понимаю,её тоже надо найти,но как?
<η> – это среднее значение (арифметическое) вязкости?
ΔT – “в качестве абсолютной погрешности температуры взять 1°C” – то есть тут 274 будет значение?
T^2 – какую здесь температуру брать?И еще:
“График должен представлять собой прямую линию,угловой коэффициент которой определяется величиной E/k.Методом парных точек определить угловой коэффициент графика и его погрешность.Используя полученное значение углового коэффициента рассчитать энергии активации глицерина E и его погрешность”
Угловой коэффициент-то как определять?То величиной E/k,то методом парных точек.И еще,E и k – они же константы,я ничего не пойму,какой-то замкнутый круг.Помогите,а.
-
allex
Корумчанин
Преподаватель МИФИПогрешность для вязкости – приборная: написано в лабнике чему равна.
если погрешность 1 градус, то она и в кельвинах будет один градус. А там где Т в квадрате – естественно брать измеренную температуру, и кончено в Кельвинах.
Читайте посты выше
-
Приборная это та,которая на приборе во время измерений высвечивается,а в лабнике только приборная погрешность вискозиметра.
-
allex
Корумчанин
Преподаватель МИФИНа вискозиемтер высвечивались: вязкость измеренная и предел измерения. Оба надо было записывать, так как используя предел измерения и приведенную в лабнике погрешность, можно рассчитать погрешность измеренной вязкости.
-
lamen, а можно объяснить совсем глупому мне ваш пост про “время в часах измерять можно”
я не могу понять, надо в мили мерить или все таки в паскалях? -
lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администраторmarkus01, совсем глупые в мифи не учатся ^_^ . И зачет по лабам им не к чему.
Вопрос к тебе: для чего мы строим этот график? И второй вопрос: в чем будет тогда отличие? Вот представь, что ты в одном случае приводишь размерную величину в одних единицах, а в другом – в других. Что от этого изменится на графике, который надо нам построить? Учитывая приведенную мной формулу.
-
lamen, график мы строим чтобы по нему определить энергию активации
ну график сместится на величину Ln(a)?
Страница 1 из 2
Поделиться этой страницей
Мне как-то на форуме встретилась задача, где требовалось вычислить натуральный логарифм. Ответы на решение той задачи меня потрясли – никто толком не знает как вычислить натуральный логарифм. Хотя и была приведена единственная формула для вычисления натурального логарифма.
И это всё! А дальше?
Здесь я попробую решить дальше
Итак заменим в нашей (первой) формуле икс на минус икс, получим
из (1) вычтем (2), получим
сделаем замену
и подставим в формулу (3), получим
заодно вычислим ln(2)
ln(2) = 0,6931471805599453
формула (4) позволяет вычислить логарифм при большом значении z … Но скорость сходимости ряда (4) всё-же невелика. Да и логарифм числа близкого к нулю создаём немало вычислительных сложностей. В общем поступим так. Сведём весь бесконечный интервал (от 0 до бесконечности) к интервалу (1; 2).
для этого сделаем подстановку
тогда вычисление логарифма от произвольного числа z будет иметь вид
ln(z) = N*ln(2) + ln(v) = 0,6931471805599453 * N + ln(v)
Нам остаётся вычислить погрешность формулы (4)
так как 1 < v < 2, то максимальная погрешность будет при v = 2. Вот мы её и посчитаем
1
пусть для вычисления логарифма в ряде (4) взято n слагаемых, тогда погрешность будет равна сумме всех остальных слагаемых, или
ВОПРОС
Я тоже могу ошибиться. Верно ли это?
Вероятно вам есть что добавить к этой теме. Настоящему математику всегда есть что сказать, если он настоящий…