Как найти погрешность логарифма

Использование дифференциала натурального логарифма

Во многих случаях,
когда формула удобна для логарифмирования,
оказывается более удобной другая
последовательность действий: сначала
находят относительную погрешность
величины А, а затем абсолютную погрешность,
поскольку относительная ошибка функции
равна дифференциалу натурального
логарифма этой функции. Действительно,
относительная погрешность величины А
есть Е_А
= DA/А_ср
, но d(lnA)
= DA/А
и, следовательно, D(lnA)
= DA/А.

Правило II.

1)
Логарифмируют функцию A
= f
(x,
y,
z,
…).

2)
Дифференцируют полученный логарифм по
всем аргументам.

3)
Заменяют бесконечно малые dx,
dy,
dz,
… абсолютными ошибками соответствующих
аргументов Dx,
Dy,
Dz,
… (знаки “минус” в абсолютных
ошибках аргументов заменяют знаками
“плюс”).

После
вычислений получают относительную
погрешность Е_А.

4) Абсолютную
погрешность находят из формулы

DA
= A_CP
E_A_..

Указания.
1. Если функция A = f (x,
y,
z,
…) имеет вид, неудобный для логарифмирования,
то для определения погрешностей
пользуются правилом I.

2.
Если функция A = f (x,
y,
z,
…) имеет вид, удобный для логарифмирования,
то для определения погрешностей
пользуются правилом II.

Рассмотрим следующие
примеры:

1.
В результате изучения равноускоренного
движения некоторого тела получено
выражение S
= v₀×t
+ a×t²/2,
в котором

v₀= (12 ±
1) м/с; a
= (2.5 ±
0.4) м/с²;
t = (30 ±
2) с;

S
= 12 
30 +

= 1485 м.

Для оценки абсолютной
и относительной погрешностей при
определении пути удобно пользоваться
правилом I, так как функция неудобна
для логарифмирования. Тогда

Так
как

DV₀
= 1 м/с; Dt
= 2 с; Da
= 0.4 м/с²;
V₀
= I2 м/с; t_СР
= 30 с; a_СР
= 2,5 м/с²
, то, подставив эти величины в формулу
для DS,
получим

S = 1 м/с 
30 с + 2 с 
12 м/с + 1/2 
0.4 м/с² 
900 с² + 2.5
м/с² 
30 c 
2 c
= 30 м +24 м +180 м +150 м = 384 м »
400 м.

Полученный результат
показывает, что при определении пути
(1485) цифра 4 является сомнительной.
Значит, S = 1500 м. Тогда

E_S
=

100%
= 0.266 100%
= 27%.

Окончательный
результат будет иметь вид:

S
= (1500400) м; Е_S
= 27%.

2.
При определении центростремительной
силы, действующей на тело, вращающееся
по окружности, пользуются формулой

F
=.

В
результате измерений получено: m
= (15.5 ±
0.2) кг;

v
= (3.45 ±
0.01) м/с;
R= (150 ±
5) м;

F
=

= 1.2299 H.

Для
определения абсолютной и относительной
ошибок при оценке центростремительной
силы в данном случае удобно пользоваться
правилом II,
т.к. функция F = f
(m,v,R)
удобна для логарифмирования. Тогда

ln
F
= ln
m
+ 2 ln
v
– ln
R.

Продифференцировав
это равенство, получим

;

Так как

Dm
= 0.2 кг;
Dv
= 0.01 м/с;
DR
= 5 м;
m_СР
= 15.5 кг;
v_СР
= 3.45 м/с;
R_СР=
150 м,
то

;
E_F=
5.2%;

DF
= F 
E_F
= 1.2299 Н 0.052
= 0.06396 Н = 0.06 Н.

При
определении центростремительной силы
третья цифра слева является сомнительной
и F = 1.23
Н. Окончательный результат запишется
в виде

F
= (1.23 ±
0.06) Н;
E_F
= 5.2% .

Используя
первый или второй способы в расчете
абсолютной и относительной ошибок
измерений для часто встречающихся
зависимостей, можно воспользоваться
соответствующими формулами, которые
сведены в таблицу 1.

Таблица
1

Вид функции	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность
А = a + b	± (Da + Db)
A = a+ b + c	± (Da + Db + Dc)
A = a – b	± (Da + Db)
A = a×b	± (a×Db + b×Da)
A = a×b×с	± (b×c×Da + a×c×Db + a×b×Dc)

A = aⁿ	± n×a^n-1×Da
_{A = e}ⁿ	_±_D_n__eⁿ	_±_D_n

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
12.02.2015183.3 Кб27Пример работы по теме ПЕРЕСКАЗ.doc
#

Источник

Страница 1 из 2

У кого нибудь есть фото лабы 1.18?
есть)))

какой калибровочный коэффициент в аппарате? я не записал…
Если можно запостите фотки этой лабы
Тесла
Осваивается на коруме
Есть у кого-нибудь фотография самой лабы (не выполненной лабы, а теории из методички + задания + … как обычно)?
Как посчитать погрешность ln(n)??
написано, что погрешность измерения вязкости жидкости +-1% от показания макс. диапазона.
то бишь dn=1%(500mPas)=5mPas => dln(n)=1.6?? (хотя разность значений 1,6-1,7…)
Blorn
Осваивается на коруме

в) Логарифмическая функция y = ln x . Абсолютная погрешность натурального логарифма числа равна
относительной погрешности самого числа:
Δy=Δx/х=δх

хотя возможно не то что надо..
Скажите пожалуйста мне брать логарифм натуральный от значения вязкости в мПА*с или от ПА*с. Если использовать второй способ, то получается отрицательный логарифм и это мне не очень нравится.
lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

Ramos, а тебя вообще не смущает, что ты берешь логарифм от размерной величины? Можно же время в часах измерять ^_^ .

Если смушает, то вспомни, что

А потом осталось сообразить, зачем именно мы строим график этой зависимости. Для чего нам нужен график? Что мы из него вычисляем?
Кто знает как считать погрешность от Е(энергия активации глицерина)? Нужно срочно!
allex
Корумчанин
Преподаватель МИФИ

По графику методом парных точек считаете угловой коэффициент и его погрешность. А энергия активации есть угловой коэффициент графика умножить на постоянную Больцмана. Там это написано!
Как считать погрешности натурального логарифма и обратной температуры?
Да,есть формулы,но я немного не догоняю

Δη – это абсолютная погрешность вязкости,я так понимаю,её тоже надо найти,но как?
<η> – это среднее значение (арифметическое) вязкости?
ΔT – “в качестве абсолютной погрешности температуры взять 1°C” – то есть тут 274 будет значение?
T^2 – какую здесь температуру брать?

И еще:

“График должен представлять собой прямую линию,угловой коэффициент которой определяется величиной E/k.Методом парных точек определить угловой коэффициент графика и его погрешность.Используя полученное значение углового коэффициента рассчитать энергии активации глицерина E и его погрешность”

Угловой коэффициент-то как определять?То величиной E/k,то методом парных точек.И еще,E и k – они же константы,я ничего не пойму,какой-то замкнутый круг.Помогите,а.
allex
Корумчанин
Преподаватель МИФИ

Погрешность для вязкости – приборная: написано в лабнике чему равна.

если погрешность 1 градус, то она и в кельвинах будет один градус. А там где Т в квадрате – естественно брать измеренную температуру, и кончено в Кельвинах.

Читайте посты выше
Приборная это та,которая на приборе во время измерений высвечивается,а в лабнике только приборная погрешность вискозиметра.
allex
Корумчанин
Преподаватель МИФИ

На вискозиемтер высвечивались: вязкость измеренная и предел измерения. Оба надо было записывать, так как используя предел измерения и приведенную в лабнике погрешность, можно рассчитать погрешность измеренной вязкости.
lamen, а можно объяснить совсем глупому мне ваш пост про “время в часах измерять можно”
я не могу понять, надо в мили мерить или все таки в паскалях?
lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

markus01, совсем глупые в мифи не учатся ^_^ . И зачет по лабам им не к чему.

Вопрос к тебе: для чего мы строим этот график? И второй вопрос: в чем будет тогда отличие? Вот представь, что ты в одном случае приводишь размерную величину в одних единицах, а в другом – в других. Что от этого изменится на графике, который надо нам построить? Учитывая приведенную мной формулу.
lamen, график мы строим чтобы по нему определить энергию активации
ну график сместится на величину Ln(a)?

Страница 1 из 2

Поделиться этой страницей

Источник

Мне как-то на форуме встретилась задача, где требовалось вычислить натуральный логарифм. Ответы на решение той задачи меня потрясли – никто толком не знает как вычислить натуральный логарифм. Хотя и была приведена единственная формула для вычисления натурального логарифма.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? ln(1+x) = x - frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} - frac{x^4}{4} + frac{x^5}{5} - ;... ;(1) $
И это всё! А дальше?

Здесь я попробую решить дальше
Итак заменим в нашей (первой) формуле икс на минус икс, получим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? ln(1-x) = -x - frac{x^2}{2} - frac{x^3}{3} - frac{x^4}{4} - frac{x^5}{5} - ;...; (2) $
из (1) вычтем (2), получим

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? lnfrac{1+x}{1-x} = 2(x + frac{x^3}{3} + frac{x^5}{5} + ;...); (3) $
сделаем замену
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? frac{1+x}{1-x}=z $

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x=frac{z-1}{z+1} $
и подставим в формулу (3), получим

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? ln(z) = 2(frac{z-1}{z+1} + frac13 (frac{z-1}{z+1})^3 + frac15 (frac{z-1}{z+1})^5 + ;...); (4) $

заодно вычислим ln(2)
ln(2) = 0,6931471805599453

формула (4) позволяет вычислить логарифм при большом значении z … Но скорость сходимости ряда (4) всё-же невелика. Да и логарифм числа близкого к нулю создаём немало вычислительных сложностей. В общем поступим так. Сведём весь бесконечный интервал (от 0 до бесконечности) к интервалу (1; 2).
для этого сделаем подстановку

тогда вычисление логарифма от произвольного числа z будет иметь вид
ln(z) = N*ln(2) + ln(v) = 0,6931471805599453 * N + ln(v)

Нам остаётся вычислить погрешность формулы (4)
так как 1 < v < 2, то максимальная погрешность будет при v = 2. Вот мы её и посчитаем
1
пусть для вычисления логарифма в ряде (4) взято n слагаемых, тогда погрешность будет равна сумме всех остальных слагаемых, или
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? Delta (ln(v)) = 2(frac{1}{2n+1}(frac13)^{2n+1}+frac{1}{2n+3}(frac13)^{2n+3}+;...) ;< ;2(frac{1}{2n+1}(frac13)^{2n+1}+frac{1}{2n+1}(frac13)^{2n+3}+;...) = = frac{2}{2n+1}(frac13)^{2n+1}(1+(frac13)^2+(frac13)^4+;...) = frac{2,25}{2n+1}(frac13)^{2n+1} $

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? Delta (ln(z))=Delta (ln(v)) =frac{2,25}{2n+1}(frac13)^{2n+1}=frac{0,75}{2n+1}(frac19)^n $

ВОПРОС
Я тоже могу ошибиться. Верно ли это?
Вероятно вам есть что добавить к этой теме. Настоящему математику всегда есть что сказать, если он настоящий…

Источник

Использование дифференциала натурального логарифма

Тесла
Осваивается на коруме

Blorn
Осваивается на коруме

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

allex
Корумчанин
Преподаватель МИФИ

allex
Корумчанин
Преподаватель МИФИ

allex
Корумчанин
Преподаватель МИФИ

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

Поделиться этой страницей

Добавить комментарий Отменить ответ

Использование дифференциала натурального логарифма

Тесла Осваивается на коруме

Blorn Осваивается на коруме

lamen Грустный lamen со своим жалким догматизмом. Команда форума Администратор

allex Корумчанин Преподаватель МИФИ

allex Корумчанин Преподаватель МИФИ

allex Корумчанин Преподаватель МИФИ

lamen Грустный lamen со своим жалким догматизмом. Команда форума Администратор

Поделиться этой страницей

Вам также может понравиться

Как найти синус параллелограмма по рисунку

Как найти мужа с помощью молитв

Как исправить прогорклость орехов

Добавить комментарий Отменить ответ

Тесла
Осваивается на коруме

Blorn
Осваивается на коруме

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор

allex
Корумчанин
Преподаватель МИФИ

allex
Корумчанин
Преподаватель МИФИ

allex
Корумчанин
Преподаватель МИФИ

lamen
Грустный lamen со своим жалким догматизмом.
Команда форума
Администратор