Как найти погрешность одного точного числа

Была ли эта статья полезной?

Лабораторная работа №1

Методы оценки погрешностей

  I.  Описание работы

Тема: Методы оценки погрешностей приближенных величин.

Задание 1. Округляя точные числа до трех значащих цифр, определить абсолютную и относительную погрешности полученных приближенных чисел.

Дано:

Найти:

Решение:

– приближенное значение числа A

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Ответ: ;

Задание 2. Определить абсолютную погрешность приближенных чисел по их относительной погрешности .

Дано:

Найти:

Решение:

Абсолютная погрешность:

Ответ:

Задание 3. Решить задачу.

При измерении длины с точностью до 5 м получено км, а при определении другой длины с точностью до 0.5 см, получено метров. Какое измерение по своему качеству лучше?

Дано: Км, М, М, См

Сравнить: и

Решение: Итак, по 1-му измерению, результат Км = М с точностью до М ( – абсолютная погрешность величины ).

Тогда относительная погрешность: %

По 2-му измерению, результат Км с точностью до См =М ( – абсолютная погрешность величины ).

Тогда относительная погрешность: %

Так как , то измерение можно считать по качеству лучше, чем .

Ответ: измерение по качеству лучше, чем .

Задание 4. а) Определить количество верных знаков в числе , если известна его предельная абсолютная погрешность

Дано:

Найти:

Решение:

По определению, n первые значащие цифры являются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда младшей цифры, считая слева направо.

Абсолютная погрешность: , поэтому значащие цифры 8 и 4 числа 0,00842 верны в узком смысле.

Ответ: число X имеет две верных цифры в узком смысле (8 и 4), то есть

Б) Определить количество верных знаков в числе , если известна его предельная относительная погрешность .

Дано: %

Найти:

Решение:

Предельная абсолютная погрешность:

Только первая значащая цифра 1 числа A верна в узком смысле.

Ответ: число A имеет одну верную цифру в узком смысле (1), то есть

Задание 5. Найти предельные относительные погрешности, допускаемые при взятии вместо чисел 3.1, 3.14, 3.1416:

А) считая, что у них все записанные знаки являются верными;

Б) зная, что

Провести сравнения погрешностей и сделать необходимые выводы.

Дано: , ,

Найти:

Решение:

А) :

Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:

Предельная абсолютная погрешность:

Тогда предельная относительная погрешность:

%

:

Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:

Предельная абсолютная погрешность:

Тогда предельная относительная погрешность:

%

:

Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:

Предельная абсолютная погрешность:

Тогда предельная относительная погрешность:

%

Б) Пусть (прервем запись числа на 7-м знаке после запятой и считаем полученное число точным значением числа ).

Тогда абсолютная погрешность первого представления числа : .

Относительная погрешность: %

Абсолютная погрешность второго представления числа : .

Относительная погрешность: %

Абсолютная погрешность третьего представления числа : %.

Относительная погрешность: %

Выводы:

1) Можно заметить, что , то есть ;

, то есть ;

, то есть

Иными словами, для трех чисел их «истинная» относительная погрешность ограничена предельной относительной погрешностью, определенной из условия верности знаков чисел. Причем, для каждого числа две оценки отличаются меньше, чем на порядок. Значит, предположение о верности всех знаков чисел Обосновано.

2) Сравнение относительных погрешностей чисел :

показывает,

Что числа Перечислены

В порядке увеличения точности представления числа ,

То есть точнее , точнее .

Ответ: а)

б)

Задание 6. Найти сумму приближенных чисел , , считая в них все знаки верными, т. е. что абсолютная погрешность каждого слагаемого не превосходит половины единицы младшего разряда этого слагаемого. Определить абсолютную и относительную погрешности суммы.

Дано: , ,

Найти:

Решение:

1) Считаем, что в числах , , все знаки верны в узком смысле, то есть

Число с наибольшей абсолютной погрешностью .

2) Остальные числа округлим, сохраняя один запасный десятичный знак по сравнению с ранее выделенным наименее точным слагаемым :

, абсолютная погрешность округления

, абсолютная погрешность округления

3) Сложим все эти числа, учитывая все сохраненные знаки:

4) Полученный результат округлим на один знак (формально):

, абсолютная погрешность округления

5) Полную абсолютную погрешность суммы будем складывать из трех компонентов:

A)  суммы предельных абсолютных погрешностей исходных чисел;

B)  абсолютной величины суммы ошибок округления слагаемых;

C)  заключительной погрешности округления результата.

– абсолютная погрешность суммы.

% – относительная погрешность суммы.

Ответ: ; %.

Задание 7. Найти предельную абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема прямого кругового цилиндра, если значения его высоты и радиуса основания имеют все верные знаки.

Дано: ,

Найти:

Решение:

,

Примем

1) Так как в числах и все числа верны, то их абсолютные погрешности:

Число с наибольшей абсолютной погрешностью .

Число R округлим, сохраняя один запасный десятичный знак по сравнению с ранее выделенным наименее точным слагаемым :

, абсолютная погрешность округления (округления не требуется)

2) перемножим числа, учитывая все сохраненные знаки:

3) Полученный результат округляем, сохраняя столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в числе H, то есть 2 значащих цифры:

;

Абсолютная погрешность округления

4) Полную абсолютную погрешность произведения будем складывать из двух слагаемых:

A) предельной абсолютной погрешности произведения до его округления;

B) заключительной погрешности округления произведения.

Абсолютную погрешность произведения до округления вычислим на основе предварительно найденной относительной погрешности произведения округленных сомножителей:

%.

Полная абсолютная погрешность

Теперь перейдем к искомому объему.

(Здесь полученный результат округляем до трех значащих цифр).

– предельная абсолютная погрешность объема.

% – предельная относительная погрешность объема.

Ответ: , , %

Задание 8. Привести пример потери точности при вычитании двух близких чисел.

Решение:

Пусть и – два близких числа; примем, что у них одинаковое число знаков после запятой.

Считаем, что все знаки в числах и верны в узком смысле. Тогда абсолютные погрешности:

Относительные погрешности:

%

%

Так как , то

Абсолютная погрешность результата:

Относительная погрешность результата: %

При вычитании двух близких чисел и относительная погрешность возросла на 3 порядка!

Лабораторная работа №2

Метод Гаусса

  I.  Описание работы

Тема: Решение системы линейных неоднородных алгебраических уравнений методом Гаусса (схема единственного деления).

Задание. Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными с точностью искомых неизвестных до .

Промежуточные вычисления вести с двумя запасными знаками.

,

Решение:

Исходные данные и все результаты вычислений запишем в таблицу 1.

Прямой ход

1.  Записываем коэффициенты данной системы в трех строках и четырех столбцах раздела 1 таблицы 1.

2.  Суммируем все коэффициенты по строке и записываем сумму в столбце (столбец контроля), например .

3.  Делим все числа, стоящие в первой строке, на и результаты записываем в 4-й строке раздела 1.

4.  Вычисляем и делаем проверку, если вычисления ведутся с 6 и более знаками после запятой, то числа и не должны отличаться более, чем на единицу последнего разряда:

5.  По формулам вычисляем коэффициенты :

Результаты записываем в первые две строки раздела:

6.  Делаем проверку. Сумма элементов каждой строки не должна отличаться от более, чем на 1-2 единицы последнего разряда. Заметим, что ,

,

,

7.  Делим все элементы 1 строки раздела 2 на и результаты записываем в 3 строке раздела 2.

8.  Делаем проверку:

9.  По формулам вычисляем :

Результаты записываем в 1 строку раздела 3.

10. Делаем проверку:

,

11. Делим все элементы 1 строки раздела 3 на и результаты записываем в следующей (второй) строке этого раздела.

12.  Делаем проверку:

Обратный ход

1.  В разделе 4 записываем единицы

2.  Записываем .

3.  Для вычисления и используем лишь строки разделов, содержащие 1.

4.  Вычислим по формуле: .

5.  Вычислим по формуле:

.

6.  Аналогично проводим обратный ход в контрольной системе. Записываем ,

вычисляем и с заменой и на и соответственно:

Делаем обычную проверку по строкам – должно быть , с точностью до 1-2 единиц последнего разряда.

Действительно:

Заполним таблицу 1 результатами вычислений:

Таблица 1

Раз Дел
1	1 2 3
2	2 3
3	3
4		1 1 1	1	1

Округлим полученное решение до , по требованию задачи:

Окончательную проверку точности полученного решения системы выполним подстановкой этого решения в систему. Должно получиться приближенное тождество с точностью до .

Ответ:

< Предыдущая		Следующая >

АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ ГРАНИЦА.

ЗАПИСЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛА.

ВЕРНЫЕ И ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА

х – точное число

а – приближенное число

Разность   х – а    между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.

Модуль погрешности называется абсолютной погрешностью и обозначается ∆:

| х – а | = ∆

Погрешность и абсолютная погрешность имеют ту же размерность, что и рассматриваемая величина

Граница абсолютной погрешности ∆а – положительное число, которое больше или равно абсолютной погрешности или:

| х – а | ≤ ∆а

Если задана граница абсолютной погрешности ∆а, то число а есть приближенное значение числа х с точностью до ∆а и записывают

х = а ± ∆а, например: 94,5 ± 0,3

В отличие от абсолютной погрешности, граница абсолютной погрешности не определяется однозначно, поэтому на практике выбирается такое значение границы абсолютной погрешности, которое удобно для вычислений и обеспечивает максимальную точность.

Цифра приближенного числа а, записанного в виде десятичной дроби, называется верной (точной), если граница абсолютной погрешности числа не превышает (меньше или равно) единицы того разряда, в котором стоит эта цифра. В противном случае она называется сомнительной, например:

25,63 ± 0,2

Граница погрешности 0,2 , поэтому рассмотрим

цифру 5, разряд единицы, единица разряда 1 и 0,2 < 1 (граница погрешности не превышает единицу разряда), значит цифра 5 – верная, тогда цифра десятков – 2  данного числа тоже верная.

Цифра 6, разряд десятые, единица разряда 0,1 и 0,2 > 0,1  (граница погрешности превышает единицу разряда), значит цифра 6 – сомнительная. Значит и цифра 3 (сотые) будет также сомнительной

2 и 5 – верные цифры, 6 и 3 – сомнительные цифры числа

Запись чисел с сохранением только верных цифр широко используется во всех математических таблицах, в справочниках (физика, астрономия, техника). При этом, по записи приближенного числа можно оценить погрешность приближения, например:

табличные данные: температура кипения золота – 2700 ºС, значит граница абсолютной погрешности 1 ºС, температура кипения йода – 182,8 ºС, значит граница абсолютной погрешности 0,1 ºС.

Записи приближенных чисел 0,3; 0,30; 0,300 – неравносильны, т.к. приближенное число 0,3 имеет погрешность не более 0,1;

приближенное число 0,30 имеет погрешность не более 0,01;

приближенное число 0,300 имеет погрешность не более 0,001.

Если целое число содержит в конце нули, не являющиеся верными цифрами, то их заменяют множителем 10^р, где р – число таких нулей.

В записи приближенных чисел принято соблюдать следующие правила:

• Оставлять в записи приближенного числа только верные цифры;
• Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то их надо выписать;
• Если число содержит в конце нули, не являющиеся верными цифрами, то они должны быть заменены на 10^р , где р – число нулей, которые надо заменить

Например,

Записать правильно следующие приближенные числа:  

1. а = 0,075 ± 0,000005 – здесь погрешность меньше, чем 0,00001 (0,000005<0,00001), значит а = 0,07500 (последние верные цифры нули и их надо выписать, см. правило)
2. а = 746000000 ± 5000 здесь погрешность меньше, чем 10000 (5000<10000), значит последние четыре нуля не являются верными цифрами и их надо заменить на  10^р  а = 74600·10⁴
3. а = 0,35  ∆а = 0,00005 – здесь погрешность меньше, чем 0,0001 значит

а = 0,3500 (последние верные цифры нули)

1. а = 765000  ∆а = 5 – здесь погрешность  5<10  значит а = 76500·10, т.к. последний нуль не является верной цифрой
2. а = 0,3700  ∆а = 0,05 – здесь погрешность 0,05<0,1 и цифра 7 не является верной, она отбрасывается, значит а = 0,4

В некоторых заданиях необходимо наоборот определить абсолютную погрешность по записи приближенного числа, например,

Указать абсолютную погрешность приближенных чисел:

1. а = 14,5 ·10, значит ∆а = 10
2. а = 34,20 т.к. последний нуль является верной цифрой, то ∆а = 0,01
3. а = 263·10⁴ , значит ∆а = 10000

Число в стандартном виде записывают так:

а = а_0, а₁ а₂ … а_k  ·10^m , где 1 ≤ а₀ ≤ 10,

а_0, а₁ а₂ … а_k  –  все верные цифры числа,

показатель m – называется порядком числа.

Если число, записанное в виде десятичной дроби содержит все верные цифры, то все его цифры, начиная с первой слева отличной от нуля, называют значащими, например:

7,03 – три значащие цифры

4400 – четыре значащие цифры

0,000270 – три значащие цифры (нули, расположенные левее первой, отличной   от нуля цифры, не считаются значащими  0,000270).

Округление числа – это замена его числом с меньшим количеством значащих цифр. При округлении числа до m значащих цифр отбрасывают все цифры, стоящие правее m-ой значащей цифры, заменяя их на нули (при сохранении разряда). При этом, если первая из отбрасываемых цифр ≥ 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу,

например:

Округлить число с заданной точностью:

• с точностью до 10^-3   (10^-3  = 0,001)

1,5783

Значащие цифры – 1, 5, 7  и 8, цифра 3 – сомнительная, т.к. 0,001 > 0,0001 (единицы разряда)

1,5783 ≈ 1,578 (последняя из отбрасываемых цифр 3<5, значит предыдущую оставляем без изменений)

23,4997

Значащие цифры – 2, 3, 4, 9 и 9, цифра 7 – сомнительная

7>5, значит предыдущую увеличиваем на 1, получим

23,4997 ≈ 23,500

• с точностью до 10^-2  (10^-2  = 0,01)

4,761 ≈ 4,76

31,009 ≈ 31,01

• с точностью до 10³  (10³ = 1000)

159734 ≈ 160000 = 160·10³

28,34 ≈ 0 – ни одна из цифр не является значащей 1000 > 10, т.к. задана точность 1000, а заданное число меньше, чем погрешность.

Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие)

1.1.1.
Точные и приближенные числа

1.1.2.
Абсолютная и относительная погрешность

1.1.3.
Тестовые задания по теме «Элементы
теории погрешностей»

1.1.1. Точные и приближенные числа

Точность числа, как правило, не вызывает
сомнений, когда речь идет о целых
значениях данных (2 карандаша, 100
деревьев). Однако, в большинстве случаев,
когда точное значение числа указать
невозможно (например, при измерении
предмета линейкой, снятии результатов
с прибора и т.п.), мы имеем дело с
приближенными данными.

Приближенным значением
называется число, незначительно
отличающееся от точного значения
и заменяющее его в вычислениях.
Степень отличия приближенного значения
числа от его точного значения
характеризуетсяпогрешностью.

Различают следующие основные источники
погрешностей:

1. Погрешности
   постановки задачи,
   возникающие в результате приближенного
   описания реального явления в терминах
   математики.

2. Погрешности метода, связанные с
   трудностью или невозможностью решения
   поставленной задачи и заменой ее
   подобной, такой, чтобы можно было
   применить известный и доступный метод
   решения и получить результат, близкий
   к искомому.

3. Неустранимые погрешности, связанные
   с приближенными значениями исходных
   данных и обусловленные выполнением
   вычислений над приближенными числами.

4. Погрешности округления, связанные
   с округлением значений исходных данных,
   промежуточных и конечных результатов,
   получаемых с применением вычислительных
   средств.

1.1.2. Абсолютная и относительная погрешность

Учет погрешностей является важным
аспектом применения численных методов,
поскольку погрешность конечного
результата решения всей задачи является
продуктом взаимодействия всех видов
погрешностей. Поэтому одной из основных
задач теории погрешностей является
оценка точности результата на основании
точности исходных данных.

Если
– точное число и– его приближенное значение, то
погрешностью (ошибкой) приближенного
значенияявляется степень близости его значения
к его точному значению.

Простейшей количественной мерой
погрешности
является абсолютная погрешность, которая
определяется как

(1.1.2-1)

Как видно из формулы 1.1.2-1, абсолютная
погрешность имеет те же единицы измерения,
что и величина
_.
Поэтому по величине абсолютной
погрешности далеко не всегда можно
сделать правильное заключение о качестве
приближения. Например, если,
а речь идет о детали станка, то измерения
являются очень грубыми, а если о размере
судна, то – очень точными. В связи с этим
введено понятие относительной погрешности,
в котором значение абсолютной погрешности
отнесено к модулю приближенного значения
().

(1.1.2-2)

Использование относительных погрешностей
удобно, в частности, тем, что они не
зависят от масштабов величин и единиц
измерений данных. Относительная
погрешность измеряется в долях или
процентах. Так, например, если

,
а,
то,а еслии,

то
тогда
.

Чтобы численно оценить погрешность
функции, требуется знать основные
правила подсчета погрешности действий:

• при сложении и вычитании чиселабсолютные погрешности чисел складываются

• при умножении и делении чиселдруг на друга складываются их относительные
  погрешности

• при возведении в степень приближенного
  числаего относительная погрешность
  умножается на показатель степени

Пример
1.1.2-1. Дана функция:.
Найти абсолютную и относительную
погрешности величины
(погрешность результата выполнения
арифметических операций), если значения
известны, а 1
– точное число и его погрешность равна
нулю.

Определив, таким образом, значение
относительной погрешности, можно найти
значение абсолютной погрешности, как
,где величинавычисляется по формуле при приближенных
значениях

Поскольку точное значение величины
обычно неизвестно, то вычислениеипо
приведенным выше формулам невозможно.
Поэтому на практике проводят оценку
предельных погрешностей вида:

(1.1.2-3)

где

и
– известные величины, которые
являются верхними границами абсолютной
и относительной погрешностей, иначе их
называют – предельная абсолютная и
предельная относительная погрешности.
Таким образом, точное значениележит в пределах:

или

Если величина
известна, то,
а если известна величина,
то

Предельная
абсолютная погрешность функции вида,
дифференцируемой в заданной области,
при известных значениях аргументов,
а также при известных предельных
абсолютных погрешностях аргументов,
вычисляется по формуле:

(1.1.2-4)

а,
соответственно, предельная относительная
погрешность функции

(1.1.2-5)

В частном случае для функции от одной
переменной (при m=1):

Пример
1.1.2-2.
Оценить
абсолютную и относительную погрешности
приближенного   числа  .

Число
–
трансцендентное число, представляется
бесконечной непериодической дробью
.

Приближенное
значение числа
.

_{Граница
абсолютной погрешности}
,
относительная погрешность числа

Пример
1.1.2-3.Определить
значащие цифры числа.

Значащими
цифрами
числа 
называют все цифры в его записи, начиная
с первой ненулевой слева. Значащую цифру
числаназываютверной,
если абсолютная погрешность числа не
превосходит единицы разряда,
соответствующего этой цифре.

_{Значащие
цифры чисел подчеркнуты:}

Пример
1.1.2-4.Определить верные цифры
числа

и подчеркнуть.

Если
,
то верных цифр в числе5:
  

Если
,
то верных цифр в числе4:
  

Если
,
то верных цифр в числе7:
  

Если
то верных цифр в числе8:
   

Пример
1.1.2-5.
Вычислить погрешности
арифметических операций средствами
MathCad.

Для
оценки погрешностей арифметических
операций следует использовать следующие
утверждения: абсолютная погрешность
алгебраической суммы (суммы или разности
) не превосходит суммы абсолютных
погрешностей слагаемых. Пусть числа
изаданы с абсолютными погрешностями
и

.

Относительная погрешность разности в 2000 раз больше относительной погрешности суммы! Возьмем теперь другие значения x и y и вычислим погрешности произведения и частного Вычислим погрешности произведения и частного: Абсолютная погрешность частного в 20000 раз больше абсолютной погрешности произведения!

Пример
1.1.2-6.Вычислить погрешности функции
средствами MathCad.

Пусть По приведенным начальным условиям считаем,что погрешности равны Значение функции равно