Как найти погрешность округленного числа

Приближенное значение — число, которое получилось после округления.

Для записи результата округления используют знак «приблизительно равно» — ≈.

Округлить можно любое число — для всех чисел работают одни и те же правила.

Округлить число значит сократить его значение до сотых, десятков или тысячных, остальные значения откидываются. Это нужно в случаях, когда полная точность не нужна или невозможна.

Чтобы округлить натуральное число, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление.

Правила округления чисел:

1. Подчеркнуть цифру разряда, до которого надо округлить число.

2.Отделить все цифры справа от этого разряда вертикальной чертой.

3. Если справа от подчеркнутой цифры стоит 0,1, 2, 3 или 4 — все цифры, которые отделены справа, заменяем нулями. Цифру разряда, до которой округляли, оставляем без изменений.

4.Если справа от подчеркнутой цифры стоит 5, 6, 7, 8 или 9 — все цифры, которые отделены справа, заменяем нулями. К цифре разряда, до которой округляли, прибавляем 1.

1 пример :

Итак, мы должны округлить 1456 до разряда десятков. Все действия округления производятся с конца числа . У 10 один ноль. Значит убирать с конца 1456 будем одну последнюю цифру 6 . Цифра 6 больше 5, значит по правилам округления , предыдущую цифру 5 будем увеличивать на 1. Теперь о существовании первых цифр 1 и 4 временно забываем. На месте удалённой цифры ставим ноль. Получаем в результате округления , число 1460

1456 ≈ 1460

2 пример:

Например, округлим число 123 до разряда десятков. Последняя цифра у этого числа 3 , она меньше 5. Значит по правилам округления, предыдущую цифру 2 , мы увеличивать не будем. Она останется без изменений. Итого получаем : 123 ≈ 120

Пример 3

Теперь попробуем округлить то же самое число 123, но уже до разряда сотен. У сотни два ноля. Значит будем убирать две последние цифры в числе . Итого получаем : 123 ≈ 100

Пример 4

Округлить число 1234 до разряда сотен. Ответ – 1234 ≈ 1200

Пример 5

Округлить число 1234 до разряда тысяч. У 1000 три ноля. Будем убирать три последние цифры в числе. В итоге получаем : 1234 ≈ 1000

Пример 6

Округлим число 675 до разряда десятков. Последняя цифра , которую мы будем убирать , равна 5. По правилам округления , будем предыдущую цифру увеличивать на один. Ответ : 675 ≈ 680

Пример 7

Теперь попробуем округлить то же самое число 675, но уже до разряда сотен. Ответ : 675 ≈ 700

Пример 8

Округлим число 9876 до разряда десятков. Ответ: 9876 ≈ 9880

Пример 9

Округлить число 9876 до разряда сотен. Ответ : 9876 ≈ 9900

Пример 10

Округлить число 9876 до разряда тысяч. У тысячи три ноля. Будем убирать три последние цифры в числе . Цифра 8 больше 5. Значит цифру 9 будем увеличивать на 1, а значит будет число 10 . Ответ : 9876 ≈ 10000

Пример 11

Округлить число 2971 до сотен. 29 +1 = 30 Ответ: 2971 ≈ 3000

ПРИМЕР 12

Давайте рассмотрим, как округлить число 57 861 до тысяч.

Округлим число 123 до десятков: 123 ≈ 120.

Округлим число 3581 до сотен: 3581 ≈ 3580.

Округлить число 697 до десятков — 697 ≈ 700;

Округлить число 980 до сотен — 980 ≈ 1000

Иногда уместно записать округленный результат с сокращениями «тыс.» (тысяча), «млн.» (миллион) и «млрд.» (миллиард). Вот так:

7 882 000 = 7 882 тыс.

1 000 000 = 1 млн.

ОКРУГЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ

Десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Такую дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Например дробь (одна вторая) 1/2.Делим 1 на 5 получаем ноль ЦЕЛЫХ и пять ДЕСЯТЫХ 0,5

При округлении десятичных дробей следует быть особенно внимательным, потому что десятичная дробь состоит из целой и дробной части. И у каждой из этих частей есть свои разряды:

Разряды целой части:

разряд единиц;

разряд десятков;

разряд сотен;

разряд тысяч.

Разряды дробной части:

разряд десятых;

разряд сотых;

разряд тысячных.

Чтобы округлить десятичную дробь, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление.

Цифра, которая записана в данном разряде: не меняется, если следующая за ней справа цифра — 0,1, 2, 3 или 4;

увеличивается на единицу, если за ней справа следует цифра — 5, 6, 7, 8 или 9.

Пример 1.

256,43 ≈ 256,4 — округление до десятых;

4,578 ≈ 4,58 — округление до сотых;

17,935 ≈ 18 — округление до целых.

79,7 ≈ 80 — округление до десятков;

0,099 ≈ 0,10 — округление до сотых.

Если в разряде, до которого производится округление, стоит цифра 9 и необходимо ее увеличить на единицу, то в этом разряде записывается цифра 0, а цифра слева в предыдущем разряде увеличивается на 1.

==============================================================

Рассмотрим десятичную дробь 123,456 — сто двадцать три целых четыреста пятьдесят шесть тысячных. Здесь целая часть это 123, а дробная часть 456. При этом у каждой из этих частей есть свои разряды. Очень важно не путать их:

Для целой части применяются те же правила округления, что и для обычных чисел. Отличие в том, что после округления целой части и замены нулями всех цифр после сохраняемой цифры, дробная часть полностью отбрасывается.

Например, округлим дробь 123,456 до разряда ДЕСЯТКОВ . Именно до разряда десятков, А НЕ ДЕСЯТЫХ Очень важно не перепутать эти разряды. РАЗРЯД ДЕСЯТКОВ РАСПОЛАГАЕТСЯ В ЦЕЛОЙ ЧАСТИ , А РАЗРЯД ДЕСЯТЫХ В ДРОБНОЙ

Итак, мы должны округлить 123,456 до разряда десятков. Сохраняемая цифра здесь это 2, а первая из отбрасываемых цифр это 3

Ответ : 123,456 ≈ 120

Теперь попробуем округлить ту же самую дробь 123,456 до разряда единиц. Сохраняемая цифра здесь будет 3, а первая из отбрасываемых цифр это 4, которая находится в дробной части:

123,456 ≈ 123,0 ≈ 123

Попробуем округлить дробь 123,456 до разряда десятых.

Ответ : 123,456 ≈ 123,500

===================================================

На практике мы почти никогда не знаем точных значений величин. Никакие весы, как бы точны они ни были, не показывают вес абсолютно точно; любой термометр показывает температуру с той или иной ошибкой; никакой спидометр не может дать точных показаний скорости и т. д. К тому же наш глаз не в состоянии абсолютно правильно прочитать показания измерительных приборов. Поэтому, вместо того, чтобы иметь дело с истинными значениями величин, мы вынуждены оперировать их приближенными значениями.

На сколько отличается приближенное значение от точного?

Точное значение Приближенное значение

Разница

Чтобы узнать, на сколько приближенное значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее.

Определение: Абсолютной погрешностью приближенного значения называется модуль разности точного и приближенного значений.

Пример 1

Найди абсолютную погрешность приближенного значения, полученного в результате округления числа 124 до десятков

Выполни округление. Так как после разряда десятков 124 стоит цифра 4, цифру разряда, до которой идет округление, оставь без изменения и замени нулями все последующие цифры: 124 ≈ 120.

Найди абсолютную погрешность, то есть модуль разности точного и приближенного значений: |124 – 120| = 4.

Пример 2

Представь число (пять шестых) 5/6 в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Округли результат до сотых и найди абсолютную погрешность приближенного значения.

Относительная погрешность приближения показывает, какую часть или сколько процентов составляет абсолютная погрешность от приближенного значения числа. Чем меньше абсолютная погрешность по отношению к приближенному значению, тем лучше качество приближения, то есть относительная погрешность характеризует качество приближения. На производстве при изготовлении деталей пользуются штангенциркулем (для измерения глубины; диаметра: наружного и внутреннего).

Пример 3

Округли число 2,525 до десятых и найди относительную погрешность приближения, полученного при округлении.

Пример 4

Округли число 48,6 до десятков и найди относительную погрешность приближения, полученного при округлении в процентах.

Пример 5

Расстояние от города A до города B равно (125 ± 1) км. Длина карандаша равна (20 ± 1) cм. Найди, на сколько процентов выше качество измерения расстояния между городами, чем качество измерения длины карандаша, оценив разность их относительных погрешностей.

Пример 6

Общая протяженность реки Нура около 978 км. Оцени, с какой точностью нужно произвести измерения, чтобы относительная погрешность составляла 0,1%.

Пример 7

Цилиндрический поршень имеет около 0,035 м в диаметре. Оцени, с какой точностью нужно произвести измерения микрометром, чтобы относительная погрешность составляла 0,05%. Ответ запиши в миллиметрах в стандартном виде.

Материал взят из инета .

38

Элементы теории погрешностей Основные определения

Определение
1: Приближенным
числом a
называют число, незначительно отличающееся
от точного числа А
и заменяющее последнее в вычислениях.

Определение
2:
Округление
числа –
это приближенное представление числа
в некоторой системе счисления с помощью
конечного количества разрядов. Возникающую
при этом погрешность называют погрешностью
округления
или ошибкой округления. Округляют как
исходные данные задачи, так и полученные
результаты вычислений.

Правила округления чисел

1. Если первая из
   отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся
   десятичные знаки сохраняются, например:
   25700203 25700200,

2. Если первая из
   отброшенных цифр больше 5, то к последней
   оставшейся цифре добавляется 1, например:
   25700267 
   25700300,

3. Если первая из
   отброшенных цифр равна 5, а среди
   остальных отброшенных цифр есть
   ненулевые, то к последней оставшейся
   цифре добавляется 1; например:
   2575002 
   2580000,

4. Если первая из
   отброшенных цифр равна 5, а все остальные
   отброшенные цифры равны нулю, то
   действует правило
   четной цифры:

1. если последняя
   оставшаяся цифра четная, то она
   сохраняется, например:
   256500 
   256000,

2. если последняя
   оставшаяся цифра нечетная, то она
   увеличи­вается на единицу, например:
   257500 
   258000.

Пример 1:
Пользуясь правилами округления чисел,
округлить:

1) до десятых долей:
73,47373,5;

2) до сотых долей:
73,47373,47.

Важное замечание.
Абсолютная погрешность округления по
правилам 14
не превосходит половины единицы разряда
последней оставленной цифры.

Типы погрешностей:

1. Исходные или
   неустранимые.
   К ним относятся погрешности, возникающие
   в результате приближенного описания
   реальных процессов и неточного задания
   исходных данных, а также погрешности,
   связанные с действиями над приближенными
   числами. Эти погрешности проходят через
   все вычисления и являются неустранимыми.

2. Погрешность
   метода
   (результат
   замены бесконечных процессов конечной
   последовательностью действий).

3. Погрешности округления Абсолютная и относительная погрешности (ап и оп)

Разность между
точным числом А
и его приближенным значением a
составляет ошибку или погрешность.

— приближенное
значение a
по недостатку,

— приближенное
значение a
по избытку.

Как правило, знак
ошибки нас не интересует, поэтому
пользуются абсолютной погрешностью.

Определение
3:
Абсолютная величина разности между
точным числом А
и его приближенными значениями а
называется абсолютной
погрешностью
приближенного числа а
и обозначается

Пример 2:
Пусть

Тогда абсолютная погрешность

Значение точного
числа А
всегда заключено в границах

Значение числа А
можно записать так:

.

По абсолютной
погрешности нельзя судить о том, насколько
точно или грубо произведено измерение
или вычисление, а именно, какую долю
в значении числа составляет погрешность
. В связи с этим вводится понятие
относительной погрешности.

Определение
4:
Относительной погрешностью
(ОП)

приближенного числа a
называется отношение абсолютной
погрешности

к модулю точного значения числа

т.е.

Так как точное
значение числа А,
как правило, неизвестно, то можно
воспользоваться формулой:

П той же причине
(А
неизвестно) вместо значений абсолютной
и относительной погрешности получают
их оценки
сверху,
котрые имеют вид:

   ,

и называются
верхними границами (или просто границами)
абсолютной и относительной погрешностей
соответственно.

В дальнейшем
мы будем пользоваться просто символами

и

,
имея в виду погрешности (если есть
возможность их найти) либо их оценки
сверху.

Пример
3:
Число 75,3
получено округлением. Оценить абсолютную
погрешность округления.

Решение:
Точное
значение числа неизвестно. Пользуясь
правилами округления чисел, можно
сказать, что абсолютная погрешность не
превышает (
)
0,05. Запишем это так: 75,3

или

.
В качестве границы абсолютной погрешности
берут по возможности наименьшее число.

Пример 4:
Пусть при измерении книги и длины стола
получены результаты

см и

см.

Найти относительную
погрешность измерения книги стола:

или 0,35%.

или 0,09%.

Таким образом,
измерение стола было произведено гораздо
точнее.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Лабораторная работа №1

Методы оценки погрешностей

  I.  Описание работы

Тема: Методы оценки погрешностей приближенных величин.

Задание 1. Округляя точные числа до трех значащих цифр, определить абсолютную и относительную погрешности полученных приближенных чисел.

Дано:

Найти:

Решение:

– приближенное значение числа A

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Ответ: ;

Задание 2. Определить абсолютную погрешность приближенных чисел по их относительной погрешности .

Дано:

Найти:

Решение:

Абсолютная погрешность:

Ответ:

Задание 3. Решить задачу.

При измерении длины с точностью до 5 м получено км, а при определении другой длины с точностью до 0.5 см, получено метров. Какое измерение по своему качеству лучше?

Дано: Км, М, М, См

Сравнить: и

Решение: Итак, по 1-му измерению, результат Км = М с точностью до М ( – абсолютная погрешность величины ).

Тогда относительная погрешность: %

По 2-му измерению, результат Км с точностью до См =М ( – абсолютная погрешность величины ).

Тогда относительная погрешность: %

Так как , то измерение можно считать по качеству лучше, чем .

Ответ: измерение по качеству лучше, чем .

Задание 4. а) Определить количество верных знаков в числе , если известна его предельная абсолютная погрешность

Дано:

Найти:

Решение:

По определению, n первые значащие цифры являются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда младшей цифры, считая слева направо.

Абсолютная погрешность: , поэтому значащие цифры 8 и 4 числа 0,00842 верны в узком смысле.

Ответ: число X имеет две верных цифры в узком смысле (8 и 4), то есть

Б) Определить количество верных знаков в числе , если известна его предельная относительная погрешность .

Дано: %

Найти:

Решение:

Предельная абсолютная погрешность:

Только первая значащая цифра 1 числа A верна в узком смысле.

Ответ: число A имеет одну верную цифру в узком смысле (1), то есть

Задание 5. Найти предельные относительные погрешности, допускаемые при взятии вместо чисел 3.1, 3.14, 3.1416:

А) считая, что у них все записанные знаки являются верными;

Б) зная, что

Провести сравнения погрешностей и сделать необходимые выводы.

Дано: , ,

Найти:

Решение:

А) :

Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:

Предельная абсолютная погрешность:

Тогда предельная относительная погрешность:

%

:

Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:

Предельная абсолютная погрешность:

Тогда предельная относительная погрешность:

%

:

Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:

Предельная абсолютная погрешность:

Тогда предельная относительная погрешность:

%

Б) Пусть (прервем запись числа на 7-м знаке после запятой и считаем полученное число точным значением числа ).

Тогда абсолютная погрешность первого представления числа : .

Относительная погрешность: %

Абсолютная погрешность второго представления числа : .

Относительная погрешность: %

Абсолютная погрешность третьего представления числа : %.

Относительная погрешность: %

Выводы:

1) Можно заметить, что , то есть ;

, то есть ;

, то есть

Иными словами, для трех чисел их «истинная» относительная погрешность ограничена предельной относительной погрешностью, определенной из условия верности знаков чисел. Причем, для каждого числа две оценки отличаются меньше, чем на порядок. Значит, предположение о верности всех знаков чисел Обосновано.

2) Сравнение относительных погрешностей чисел :

показывает,

Что числа Перечислены

В порядке увеличения точности представления числа ,

То есть точнее , точнее .

Ответ: а)

б)

Задание 6. Найти сумму приближенных чисел , , считая в них все знаки верными, т. е. что абсолютная погрешность каждого слагаемого не превосходит половины единицы младшего разряда этого слагаемого. Определить абсолютную и относительную погрешности суммы.

Дано: , ,

Найти:

Решение:

1) Считаем, что в числах , , все знаки верны в узком смысле, то есть

Число с наибольшей абсолютной погрешностью .

2) Остальные числа округлим, сохраняя один запасный десятичный знак по сравнению с ранее выделенным наименее точным слагаемым :

, абсолютная погрешность округления

, абсолютная погрешность округления

3) Сложим все эти числа, учитывая все сохраненные знаки:

4) Полученный результат округлим на один знак (формально):

, абсолютная погрешность округления

5) Полную абсолютную погрешность суммы будем складывать из трех компонентов:

A)  суммы предельных абсолютных погрешностей исходных чисел;

B)  абсолютной величины суммы ошибок округления слагаемых;

C)  заключительной погрешности округления результата.

– абсолютная погрешность суммы.

% – относительная погрешность суммы.

Ответ: ; %.

Задание 7. Найти предельную абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема прямого кругового цилиндра, если значения его высоты и радиуса основания имеют все верные знаки.

Дано: ,

Найти:

Решение:

,

Примем

1) Так как в числах и все числа верны, то их абсолютные погрешности:

Число с наибольшей абсолютной погрешностью .

Число R округлим, сохраняя один запасный десятичный знак по сравнению с ранее выделенным наименее точным слагаемым :

, абсолютная погрешность округления (округления не требуется)

2) перемножим числа, учитывая все сохраненные знаки:

3) Полученный результат округляем, сохраняя столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в числе H, то есть 2 значащих цифры:

;

Абсолютная погрешность округления

4) Полную абсолютную погрешность произведения будем складывать из двух слагаемых:

A) предельной абсолютной погрешности произведения до его округления;

B) заключительной погрешности округления произведения.

Абсолютную погрешность произведения до округления вычислим на основе предварительно найденной относительной погрешности произведения округленных сомножителей:

%.

Полная абсолютная погрешность

Теперь перейдем к искомому объему.

(Здесь полученный результат округляем до трех значащих цифр).

– предельная абсолютная погрешность объема.

% – предельная относительная погрешность объема.

Ответ: , , %

Задание 8. Привести пример потери точности при вычитании двух близких чисел.

Решение:

Пусть и – два близких числа; примем, что у них одинаковое число знаков после запятой.

Считаем, что все знаки в числах и верны в узком смысле. Тогда абсолютные погрешности:

Относительные погрешности:

%

%

Так как , то

Абсолютная погрешность результата:

Относительная погрешность результата: %

При вычитании двух близких чисел и относительная погрешность возросла на 3 порядка!

Лабораторная работа №2

Метод Гаусса

  I.  Описание работы

Тема: Решение системы линейных неоднородных алгебраических уравнений методом Гаусса (схема единственного деления).

Задание. Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными с точностью искомых неизвестных до .

Промежуточные вычисления вести с двумя запасными знаками.

,

Решение:

Исходные данные и все результаты вычислений запишем в таблицу 1.

Прямой ход

1.  Записываем коэффициенты данной системы в трех строках и четырех столбцах раздела 1 таблицы 1.

2.  Суммируем все коэффициенты по строке и записываем сумму в столбце (столбец контроля), например .

3.  Делим все числа, стоящие в первой строке, на и результаты записываем в 4-й строке раздела 1.

4.  Вычисляем и делаем проверку, если вычисления ведутся с 6 и более знаками после запятой, то числа и не должны отличаться более, чем на единицу последнего разряда:

5.  По формулам вычисляем коэффициенты :

Результаты записываем в первые две строки раздела:

6.  Делаем проверку. Сумма элементов каждой строки не должна отличаться от более, чем на 1-2 единицы последнего разряда. Заметим, что ,

,

,

7.  Делим все элементы 1 строки раздела 2 на и результаты записываем в 3 строке раздела 2.

8.  Делаем проверку:

9.  По формулам вычисляем :

Результаты записываем в 1 строку раздела 3.

10. Делаем проверку:

,

11. Делим все элементы 1 строки раздела 3 на и результаты записываем в следующей (второй) строке этого раздела.

12.  Делаем проверку:

Обратный ход

1.  В разделе 4 записываем единицы

2.  Записываем .

3.  Для вычисления и используем лишь строки разделов, содержащие 1.

4.  Вычислим по формуле: .

5.  Вычислим по формуле:

.

6.  Аналогично проводим обратный ход в контрольной системе. Записываем ,

вычисляем и с заменой и на и соответственно:

Делаем обычную проверку по строкам – должно быть , с точностью до 1-2 единиц последнего разряда.

Действительно:

Заполним таблицу 1 результатами вычислений:

Таблица 1

Раз Дел
1	1 2 3
2	2 3
3	3
4		1 1 1	1	1

Округлим полученное решение до , по требованию задачи:

Окончательную проверку точности полученного решения системы выполним подстановкой этого решения в систему. Должно получиться приближенное тождество с точностью до .

Ответ:

< Предыдущая		Следующая >