Как найти погрешность определения времени

,
(8.31)

где
коэффициент Стьюдента для числа опытов
n=5
и доверительной вероятности α=0.95 равен:
t_n
α=2.78;
Δt_i=|t_ср.-
t_i|.

Замечание
2: погрешности
ε
и М
рассчитываются, исходя из формул (8.28) и
(8.29) соответственно, по стандартной
методике расчета погрешностей при
косвенных измерениях:

,

где

,

,

.

,

где
производные равны:

,

,

,

.

Замечание
3: погрешность

рассчитывается,
исходя из формулы (8.14) по стандартной
методике расчета погрешностей при
косвенных измерениях:

.

Задание
2.
Проверка
теоремы Штейнера.

1. Оставив
   грузы
   

   на концах стержней, измерьте расстояние
   R₁
   от центра
   тяжести грузов на стержнях до оси
   вращения.

2. Занесите
   в таблицу 8.2 из таблицы 8.1 значения
   времени
   
   .

Таблица
8.2

	, m1 = кг
№	Грузы на концах стержней R1=…м	Грузы посередине стержней R3=…м
t1, с	, кг.м2	t3, с	, кг.м2
1
2
3
4
5
	t1ср.=…		t3ср.=…

1. Положите
   на тарелочку гирьку массой

   .

2. Передвиньте
   грузы

   на середину стержней, измерьте расстояние
   

   от центра тяжести грузов на стержнях
   до оси вращения.

3. Повторите
   измерения времени
   

   движения груза

   5 раз (аналогично заданию 1), рассчитайте
   среднее время и момент инерции

   крестовины для нового положения грузиков
   на стержнях по формуле (8.27).

4. Все
   результаты занесите в таблицу 8.2.

5. Рассчитайте
   изменение момента инерции маятника
   Обербека при передвижении грузов с
   конца стержней на середину по формуле
   (8.32).

,
(8.32)

где
m₀
= 0.12 кг.

1. Сравните
   изменение момента инерции маятника
   Обербека, рассчитанного с использованием
   теоремы Штейнера по формуле (8.32), и
   полученного экспериментально по данным
   табл. 8.2:

.

1. Сделайте
   выводы.

Контрольные вопросы

1. Дайте
   определение углового перемещения,
   угловой скорости и ускорения. Как
   направлены эти вектора?

2. Запишите
   формулы, связывающие линейные и угловые
   величины перемещения, скорости,
   ускорения.

3. Что
   такое момент силы относительно точки?
   Относительно оси? От чего он зависит?
   Как направлен вектор момента силы?

4. Что
   такое момент инерции материальной
   точки; твердого тела? От чего он зависит?

5. Сформулируйте
   и докажите основной закон динамики
   вращательного движения (8.18).

6. Сформулируйте
   теорему Штейнера и покажите, где в
   работе она используется.

7. Как
   и почему изменяется время движения
   гири, если грузы на спицах передвинуть
   ближе к оси вращения?

8. При
   каком расположении грузов на крестовине
   их можно считать точечными, при каком
   – нельзя?

9. Выведите
   формулы (8.27), (8.28), (8.29).

10. Докажите
    (8.32).

Используемая
литература

[5]
§1.5; 2.8; 3.2; 4.8; 7.1; [3] §2.4; 4.1; 4.2; 4.3; 5.3; 5.6; [1] §
3-5, 9, 36-39; [6] §1.2; 1.4; 1.9-1.13; 1.19; 1.31-1.34; [7]
§2-7; 16-19.

Лабораторная
работа 1-09

Определение
момента инерции маховика

Цель
работы: определение
момента инерции твердого тела с помощью
закона сохранения энергии.

Теоретическое
введение

В

работе изучаются такие движения в
механике, при которых существенна
конечная протяженность тел – их нельзя
рассматривать в данных условиях как
материальные точки. Если тело является
настолько жестким, что деформациями,
возникающими при его движении, можно
пренебречь, то тело можно рассматривать
как недеформируемое, абсолютно твердое
(или просто твердое) тело. Взаимное
расположение частей абсолютно твёрдого
тела остается неизменным во время
движения.

Простейшим
движением твердого тела является
поступательное. Тело перемещается
параллельно самому себе; все точки его
имеют одинаковую скорость и описывают
траектории одинаковой формы, только
смещенные по отношению друг к другу.
При этом кинетическая энергия равна:

,
(9.1)

где

– скорость тела,

– его масса.

Другим
простейшим видом движения твердого
тела является вращение тела вокруг оси.
Определим кинетическую энергию твердого
тела, закрепленного на неподвижной оси,
вокруг которой оно может свободно
вращаться (рис.9.1); точка О – след этой
оси. К одной из точек тела А приложена
внешняя сила

.
Мысленно разделим тело на отдельные
элементарные части, настолько малые,
чтобы их можно было считать движущимися
как материальные точки.

– масса этого элемента,

– его расстояние до оси вращения. При
вращении различные точки тела описывают
окружности, лежащие в плоскостях,
перпендикулярных оси вращения. Если за
время

тело поворачивается на угол

,
то путь

,
проходимый за это время i-той
точкой тела, будет равен

.
Разделив

на

,
найдем скорость i-той
точки:

.
(9.2)

Величина

есть угловая скорость. Она одинакова
для всех точек тела и представляет собой
угловое перемещение тела за единицу
времени. Величина скорости i-того
элемента равна:

,
(9.3)

а
его кинетическая энергия:

(9.4)

Просуммировав
эти энергии по всем элементам тела,
получим полную кинетическую энергию
вращающегося твердого тела:

(9.5)

Стоящая
в скобках сумма зависит от того, с каким
именно твердым телом мы имеем дело (от
его формы, размеров и распределения
массы в нем), а также от того, как
расположена в нем ось вращения. Эта
величина, характеризующая твердое тело
и выбранную ось вращения, называется
моментом инерции относительно данной
оси и обозначается буквой

(9.6)

Если
твердое тело – сплошное, то его нужно
разделить на бесконечно большое
количество бесконечно малых частей.
Суммирование в (9.6) заменяем интегрированием:

.
(9.7)

Так
как

(

– плотность тела), то вычисление момента
инерции сводится к тройному интеглалу
по координатам:

.
(9.8)

Вычисление
таких интегралов в общем случае
представляет собой сложную задачу. Лишь
для тел симметричной формы при однородном
распределении массы по объему тела их
моменты инерции определить достаточно
просто, если ось вращения проходит через
центр масс (шар, цилиндр, диск, стержень).
Поэтому моменты инерции сложных тел
проще определять экспериментально.

Таким
образом, кинетическая энергия вращающегося
тела может быть записана в виде:

(9.9)

Это
выражение формально похоже на выражение
для энергии поступательного движения
(9.1), отличаясь от него тем, что вместо
скорости

стоит угловая скорость

,
а вместо массы

– момент инерции

.
Так что при вращении момент инерции
играет роль, аналогичную массе при
поступательном движении.

Далее
кинетическую энергию произвольно
движущегося твердого тела можно
представить в виде суммы энергий
поступательного и вращательного
движений, если ось вращения проходит
через центр инерции тела. Тогда для
полной кинетической энергии произвольно
движущегося тела имеем:

.
(9.10)

Здесь
первое слагаемое – кинетическая энергия
поступательного движения,

– скорость перемещения центра инерции;
второе слагаемое – кинетическая энергия
вращения тела вокруг оси, проходящей
через центр инерции;

– момент инерции тела относительно
этой оси.

Независимо
от характера движения тел (поступательного
или вращательного) для замкнутых систем
справедлив закон сохранения механической
энергии (суммы кинетической и потенциальной
энергий), если между телами действуют
только консервативные силы. Если в
замкнутой системе тел действуют и не
консервативные силы, например, силы
трения, то изменение полной механической
энергии системы

равно работе неконсервативных сил:

.
(9.11)

В
данной лабораторной работе используется
именно этот закон. Необходимо еще дать
определение работы при вращении твердого
тела. Выражение для работы

при вращении твердого тела вокруг оси
легко представить, если продолжить
отмеченную аналогию между соотношениями
динамики поступательного движения и
динамики твердого тела: вместо линейной
скорости

– угловая скорость

;
вместо массы

– момент инерции

;
вместо силы

– момент силы

,
вместо пути

– угол поворота

.
Тогда вместо соотношения

,
определяющего работу при поступательном
движении, для вращательного движения
получим:

.
(9.12)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

УДК 389.004.12

Полякова Л.В., Гладкова С.С.

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕНИ, ЭТАЛОНЫ ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕНИ

Полякова Людмила Васильевна, Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева, доцент кафедры Инновационных материалов и защиты от коррозии. Адрес:125047, Москва, Миусская пл., д.9. Тел.+79651814143, e-mail:polyakova1803@mail.ru

Гладкова Софья Сергеевна, Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева, Студентка кафедры Инновационных материалов и защиты от коррозии. Адрес:125047, Москва, Миусская пл., д.9. ,e-mail sofi2103@list.ru

Известно, что во все времена проблема определения времени была актуальна. Важным показателем измерений являетсяя их точность, которая представляет собой ту степень близости итогов измерения к некоторому действительному значению, которая используется для качественного сравнения измерительных операций. В качестве количественной оценки, как правило, используется погрешность измерений.

Ключевые слова: Время, эталон времени, измерение, погрешность Измерения

TIME MEASUREMENT ERRORS, TIME MEASUREMENT STANDARDS

Lyudmila V. Polyakova, D. I. Mendeleev Russian University of Chemical Technology, Associate Professor of the Department of Innovative Materials and Corrosion Protection. Address:9 Miusskaya pl., Moscow, 125047. Tel.+79651814143, e-mail:polyakova1803@mail.ru

Sofia S. Gladkova, D. I. Mendeleev Russian University of Chemical Technology, Associate Professor of the Department of Innovative Materials and Corrosion Protection. Address: 9 Miusskaya pl., Moscow, 125047, e-mail sofi2103@list.ru

It is known that at all times the problem of determining time was relevant. An important indicator of measurements is their accuracy, which is the degree of proximity of the measurement results to a certain actual value, which is used for qualitative comparison of measurement operations. As a rule, the measurement error is used as a quantitative assessment.

Keywords: Time, time standard, measurement, measurement Error

Что такое время? До сих пор понятие «время» является неразрешимой проблемой философии и естествознания. И во все времена на него отвечали по – разному. В самом общем виде можно сказать, что время – это форма существования материи, выражающая изменения объектов и явлений действительности. Проблема определения времени была актуальна и остаётся актуальной для человечества на протяжении существования бытия . В практике использования измерений очень важным показателем становится их точность, которая представляет собой ту степень близости итогов измерения к некоторому действительному значению, которая используется для качественного сравнения измерительных операций. А в качестве количественной оценки, как правило, используется погрешность измерений.

Погрешности связанные со временем всего две:

Статическая погрешность – это погрешность, которая возникает в процессе измерения постоянной (не изменяющейся во времени) величины. Динамическая погрешность – это погрешность, численное значение которой вычисляется как разность между погрешностью, возникающей при

измерении непостоянной (переменной во времени) величины, и статической погрешностью (погрешностью значения измеряемой величины в определенный момент времени).

Гравитационное (или эфемеридное) время и атомное время.

Равномерное время называется ньютоновским или эфемеридным временем. Начиная с 1960 г., в астрономических ежегодниках эфемериды Солнца, Луны, планет и их спутников даются в системе эфемеридного времени. В связи с использованием системы эфемеридного времени в астрономии и физике введено новое определение производной единицы времени — секунды.

Использование атомной секунды в качестве эталонной единицы времени было принято 12-й Международной конференцией по мерам и весам в Париже в 1964. Она определяется на основе цезиевого эталона. С помощью электронных устройств осуществляется подсчет колебаний цезиевого генератора, и время, за которое

происходит 9 192 631 770 колебаний, принимается за эталон секунды.

Эфемеридное время устанавливается по данным астрономических наблюдений и подчиняется законам гравитационного взаимодействия небесных тел. Определение времени с помощью квантовых стандартов частоты основано на электрических и ядерных взаимодействиях внутри атома. Вполне возможно несовпадение масштабов атомного и гравитационного времени. В таком случае частота колебаний, генерируемых атомом цезия, будет изменяться по отношению к секунде эфемеридного времени в течение года, и это изменение нельзя отнести за счет ошибки наблюдения.

Самые точные наручные или настенные часы грешат против эталонного времени в миллиарды раз. Впрочем, в быту и не нужна точность до долей микросекунды. Но она совершенно необходима в исследовании космоса, для создания систем навигации, управления воздушным движением, повышения качества теле- и радиопередач и многих других целей.

Эталон времени — особенный. Все остальные эталоны вводятся в действие периодически, для сличения с ними вторичных и рабочих эталонов. Но эталон, хранящий шкалу времени, нельзя остановить, как нельзя остановить время. Он работает всегда. Есть такой афоризм: время — очень простое понятие, пока вы не пытаетесь объяснить его кому-нибудь. С полным основанием эти слова можно отнести и к

эталону времени. Меньше всего он напоминает часы, а оборудование и научные подразделения, которые обеспечивают эксплуатацию эталона, занимают большое здание. Находится оно во Всероссийском научно-исследовательском институте физико-технических и радиотехнических измерений (ВНИИФТРИ) под Москвой.

Эталон времени — это сложный комплекс, в который входят цезиевые реперы (генераторы, дающие строго определенную частоту) и водородные хранители частоты, хранители шкал времени, приборы для измерения временных интервалов и другая аппаратура. Некоторые составляющие эталона уникальны, например, радиооптический частотный мост, который служит для измерения частот излучения лазеров. В мире кроме России такой мост есть только в Канаде, во Франции, в США и Великобритании. Российский государственный эталон времени входит в группу лучших мировых эталонов, его относительная погрешность не превышает 5.10-14, то есть 0,00000000000005 секунды. За полмиллиона лет эталон даст погрешность в одну секунду.

Библиография

1. Полякова Л.В., Василенко О.А. Методы оценивания погоешностей измерений, методические указания/ -М.:РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2021 – 36 с.

2. https://mydocx.ru/6-38900.html

Измерение длины, площади, объема и времени

Чтобы оценить степень отклонения, используется показатель абсолютной и относительной погрешности.

В математике, физике и метрологии этот коэффициент может быть использован для округления полученных результатов.

Показатель бывает нескольких видов. Для его определения применяют разные методы.

Понятие и классификация

Под термином погрешность принято понимать степень отклонения реальной величины от вычисленной. Этот показатель служит мерой точности измерения.

Существует несколько разновидностей погрешности:

1. Абсолютная — оценка ошибки в абсолютных единицах. Величина ее может быть разной в зависимости от способа расчета.
2. Относительная — отношение абсолютной величины к тому значению, которое принято считать истинным. Измеряется в процентах.
3. Приведенная — разновидность относительной. Ее вычисляют отношением абсолютной и условной постоянной величины, определяется в процентах.
4. Приборная или инструментальная — погрешность, которую дают технические средства измерений. Она обусловлена неточной цифровой градуировкой приборов или недостаточной наглядностью. Класс точности приборов будет равен максимальной приведенной погрешности и выражается в процентах. К примеру, класс точности вольтметра ΔU = ±0,75 В.
5. Методическая — связанная с несовершенством метода измерения или его чрезмерным упрощением.
6. Субъективная или операторная — погрешность, связанная с личными свойствами оператора — невнимательностью, утомлением, профессиональной подготовленностью.
7. Случайная. Погрешность, которая может изменяться при разных измерениях. Изменения возможны по знаку или величине отклонения. Причиной может быть техническое несовершенство приборов отсчета или объекта измерения, неблагоприятные для работы условия или особенности измеряемых единиц.
8. Систематическая. Погрешность, изменения которой имеют некоторую закономерность во времени. В качестве частного случая допускают постоянное отклонение, которое не изменяется во времени.
9. Прогрессирующая или дрейфовая — медленно изменяется во времени и не может быть предсказана. Такое отклонение относится к случайным.
10. Грубая или промах. Значительное отклонение от принятой нормы. Возникает в результате неисправности аппаратуры или ошибки экспериментатора.

Выделяют также отклонения прямых или косвенных измерений. Вторая разновидность учитывается в тех случаях, когда измерить величину напрямую невозможно и ее можно посчитать по формулам исходя из других данных.

Абсолютная и относительная погрешности

Абсолютная погрешность величины — это разница между ней и принятым точным значением. Чтобы определить этот показатель, из большего числа вычитают меньшее. Единицы обозначения такие же, как и для основной величины. В формулах обозначается греческой буквой дельта и исследуемой величиной.

Пример: В пакете находится 478 граммов сахара. Это число можно округлить до 500. В этом случае абсолютная погрешность приближения будет 500 — 478 =22 г

Для вычислений разработана специальная формула: Δа=А-а,

где А — это точная величина,

а — приближенная, это число, которое немного отличается от точного.

Результаты вычисления записывают со знаком ±. Например, длина бумажного рулона составляет 25 м ± 5 см. Наибольшее значение абсолютной погрешности принято называть ее пределом.

Чтобы получить измерения высокой точности, рассчитать абсолютную погрешность недостаточно. Если измерять предмет длиной 30 см и допустить неточность в 1 см, ее величина будет значительной. При измерении 30-метрового участка дороги то же самое отклонение в 1 см допускается, такое измерение будет наиболее точным. При вычислении ускорения свободного падения с помощью маятника неточность не превышает 10 ^-5 м/с. ²

Относительная погрешность — условная величина, равная отношению абсолютной к самому числу.

Пример: количество сахара в пакете равно 478 граммов, абсолютная погрешность составляет 22 грамма, относительная равняется 22: 478 = 0, 046. Если перевести в проценты, получается 4,6%. Для отрезка длиной 10 см погрешность в 1 см будет составлять 10%, а для отрезка в 1 м такая же абсолютная величина составит всего 1%. Относительная оценка считается наиболее точной.

Относительная погрешность может быть случайной, возникающей под действием внешних факторов. Ее размер зависит от способа нахождения.

Методики расчета

Существует несколько методов определения отклонения. Наиболее простой и доступный способ:

1. Необходимые измерения проводят не менее 5 раз. Это дает возможность вычислить наиболее точное значение параметра. Результаты вносят в таблицу excel.
2. Полученные величины складывают и делят на количество замеров. В результате получится действительное значение. Его обычно применяют вместо истинного, так как нет возможности вычислить последнее.
3. Следующий шаг — определение абсолютной погрешности. Ее считают для каждого измерения. Чтобы узнать величину этого показателя, из результата каждого замера вычитают действительное значение. Для обработки данных неважно, положительная или отрицательная получилась цифра. Используют модули полученных чисел, пренебрегая знаками.
4. Чтобы определить относительную погрешность измерения, нужно разделить абсолютную на действительное значение. Полученное число умножают на 100%.

Для определения предельного отклонения выбирают наибольшее значение из всех полученных.

Чтобы получить наиболее точные показатели дискретности цифровых приборов, пользуются средним квадратическим отклонением. Вычислить его можно следующим способом:

1. Каждый показатель абсолютной погрешности возводят в квадрат и записывают.
2. Полученные результаты складывают между собой.
3. Сумму всех квадратов делят на число, которое на единицу меньше количества измерений.
4. Из результата вычислений извлекают квадратный корень — это и будет среднее квадратическое отклонение.

Чтобы вычислить, чему равна относительная погрешность измерения, важно придерживаться некоторых правил. Складывая или вычитая числа, учитывают абсолютные отклонения. Если числа нужно разделить или перемножить, прибегают к относительным показателям. Возведение числа в степень требует умножить относительную погрешность на показатель этой степени.

Результаты фиксируются в виде десятичных дробей. Точное значение может быть очень длинным, вплоть до бесконечного. Для удобства используют только среднее значение. При этом важно помнить о существовании верных и сомнительных цифр. У первой категории цифр разряд бывает выше допустимой погрешности, у второй — ниже.

При расчете относительной погрешности измерения времени формула включает в себя отношение среднего отклонения к среднему значению времени, умноженное на 100%. Эта же закономерность применяется для оценки температуры и других физических величин.

Произвести необходимые расчеты можно с помощью онлайн-калькулятора. В окошки вносятся необходимые данные, после чего программа выдает результат.

Методы Корнфельда и Стьюдента

Некоторые экспериментальные исследования требуют многократного измерения одного и того же показателя с помощью аппаратуры или приспособлений. В этом случае высока вероятность возникновения отклонений разброса. Определить ее величины можно разными способами. Самый распространенный и доступный из них называется по автору — методом Корнфельда.

Он применяется в ситуации, когда какая-либо физическая величина была измерена n раз. В этом случае рекомендован следующий порядок действий:

1. Предполагается, что имеется ряд результатов измерений от Х1 до Хn.
2. Из этих величин выбирают минимальную и максимальную.
3. Вычисляют среднее значение Х.
4. В пределах от наименьшего до наибольшего показателя выбирают доверительный интервал.
5. Чтобы найти абсолютное отклонение, необходимо вычесть из максимального результата измерения величину минимального. Полученную разность делят пополам.

Метод Корнфельда имеет существенный недостаток. Чтобы определить вероятность приведенного результата, необходимо провести большое количество измерений. При этом нет возможности изменить границы доверительного интервала. Более точные данные можно получить, используя метод расчета Стьюдента. Для этого используют специальные таблицы, где отражены так называемые коэффициенты Стьюдента.

Эти показатели вычисляются на основе доверительной вероятности и большого количества измерений.