Как найти погрешность по формуле стьюдента

Надежность результата многократных измерений. Коэффициент Стьюдента.

Доверительной
вероятностью или надежностью
P
серии измерений называется вероятность
попадания истинного значения измеряемой
величины в данный интервал (выражается
в долях единицы или в процентах).

Интервал
(<x>±-
∆x)
в который попадает истинное значение
искомой величины с заданной доверительной
вероятностью P(∆x)
, называют доверительным
интервалом или интервалом надежности
и для краткости обозначают как ∆x.

Чем
больше доверительный интервал, тем
больше доверительная вероятность того,
что результат измерения попадет в него.
Величина доверительного интервала,
рассчитывается методами теории
вероятностей и математической статистики
и определяется выбором вида функции
распределения случайных величин f(∆x).

Для
всех функций распределения, базовым
является распределение
Гаусса,
справедливое для большого количества
равноточных
измерений
:

[1.5]

где
величина
называется среднеквадратичным
или стандартным отклонением


от среднего
значения <x>
а,
дисперсией
распределения.

Распределение
Гаусса показывает, что вероятность
появления малых случайных погрешностей
больше вероятности появления больших
погрешностей, при этом случайные
погрешности равные по абсолютной
величине, но противоположные по знаку
встречаются одинаково часто.

При
лабораторных измерениях (n
< 20) для расчета интервала надежности
используется распределение
Стьюдента (при

распределение Стьюдента переходит в
распределение Гаусса),
которое
позволяет по заданной величине надежности
P(∆x)
найти величину доверительного интервала
∆x,
с помощью поправочных коэффициентов
Стьюдента:

[1.6]

где


— коэффициент
Стьюдента, зависящий от выбора
доверительной вероятности p
и числа измерений n,
S
– среднеквадратичное отклонение –
(СКО), вычисляемое по формуле:

[1.7]

Величина
интервала ∆x,
рассчитанная при помощи формулы [1.6]
стремится к нулю при увеличении числа
опытов.

Коэффициенты Стьюдента

Число измерений n	Доверительная вероятность (надежность), р
0,90	0,95	0,99	0,999
2	6,314	12,706	63,657	636,619
3	2,920	4,303	9,925	31,598
4	2,353	3,182	5,841	12,941
5	2,132	2,776	4,604	8,610
6	2,015	2,571	4,032	6,859
7	1,943	2,447	3,707	5,959
8	1,895	2,365	3,499	5,405
9	1,860	2,306	3,355	5,041
10	1,833	2,262	3,250	4,781

Очевидно, что число
опытов имеет смысл выбрать таким, чтобы
случайная погрешность среднего сравнялась
с погрешностью прибора либо стала меньше
ее. Дальнейшее увеличение числа измерений
теряет смысл, так как не увеличит точность
получаемого результата

Расчет погрешности прямых измерений

Прежде,
чем приступить к измерениям, необходимо
предварительно определить пределы
точности данных приборов (инструментальные
погрешности
).

Равноточные
измерения любой физической величины
делаются не менее трех раз и заносятся
в таблицу, с учетом инструментальной
погрешности. В зависимости от поведения
значений результатов измерения, возникают
две различные схемы:

Случайная
погрешность много меньше инструментальной

Если
оказывается, что все время получается
один и тот же результат (нет разброса),
то в качестве интервала надежности
берется стандартная (инструментальная)
погрешность прибора ∆_и,
рассчитанная по его классу точности
(или погрешность градуировки прибора)
и результат записывается в виде:

При
этом доверительная вероятность
(надежность) равна
и, как правило, не указывается.

Случайная
погрешность сравнима с инструментальной

Если
разброс значений физической величины
x
превышает погрешность градуировки, то
количество измерений n
увеличивают до тех пор, пока они не
окажутся величинами одного порядка.
Интервал надежности вычисляют в следующей
последовательности:

1. Находят
   среднее значение:

2. Оценивают
   среднеквадратичное отклонение — СКО:

1. По
   заданному значению надежности p
   и числу измерений n,
   находят
   случайную составляющую погрешности:
   

2. Полную
   погрешность вычисляют как корень
   квадратный из суммы квадратов случайной
   ∆х_сл
   и инструментальной ∆x_и
   составляющих:

1. Находят
   относительную погрешность:

2. Результат
   записывают в виде: ,
   ,
   р
   = …

studfiles.net

Коэффициент Стьюдента

Пример

Определить

достоверность

измерений для
установленного доверительного интервала.

По формуле (1.2)
имеем:
.

По табл.1.1дляопределяем.

Это означает, что
в заданный доверительный интервал из
измерений не попадают только.

Значение
называют
уровнем
значимости.
Из него следует,
что при нормальном законе распределения
погрешность, превышающая доверительный
интервал, будет встречаться один раз
из
измерений, где

.
(1.4)

Это означает, что
приходится браковать одно из
измерений.

По данным приведенных
выше примеров можно вычислить количество
измерений, из которых одно измерение
превышает доверительный интервал.

Если
,
то по формуле (1.4) определяетсяизмерений.

Если
равнаи,
соответственноиизмерений.

2. Определение минимального количества измерений

Для проведения
опытов с заданной точностью и достоверностью
необходимо знать то количество измерений,
при котором экспериментатор уверен в
положительном исходе.

В связи с этим
одной из первоочередных задач при
статистических методах оценки является
установление минимального, но достаточного
числа измерении для данных условий.

Задача сводится
к установлению минимального объема
выборки (числа измерении)
при заданных значениях доверительного
интервалаи доверительной вероятности.

При выполнении
измерений необходимо знать их точность:

,
(2.1)

где
— среднеарифметическое значение
среднеквадратического отклонения.

Значение
часто называютсредней
ошибкой.

Доверительный
интервал ошибки измерения
определяется выражением

.

С помощью
легко определить доверительную
вероятность ошибки измерений потабл.1.1.

В исследованиях
часто по заданной точности
и доверительной вероятности измерения
определяют минимальное количество
измерений, гарантирующих требуемые
значенияи.

При получаем

,
(2.2)

Для определения
может быть принята такая последовательность
вычислений.

1.
Проводится предварительный эксперимент
с количеством измерений
,
которое составляет в зависимости от
трудоемкости опыта отдо.

2.
Вычисляется среднеквадратическое
отклонение
по формуле (1.1).

3.
В соответствии с поставленными задачами
эксперимента устанавливается требуемая
точность измерений
,
которая не должна превышать точности
прибора.

4.
Устанавливается нормированное отклонение
,
значение которого обычно задается
(зависит также от точности метода).

5.
По формуле (2.2) определяют
и в дальнейшем в процессе эксперимента
число измерений не должно быть меньше.

Пример

При приемке
сооружений комиссия в качестве одного
из параметров замеряет их ширину.
Согласно инструкции требуется выполнять
измерений. Допускаемое отклонение
параметра.
Если предварительно вычисленное значение,
то можно определить, с какой достоверностью
комиссия оценивает данный параметр.

Из формулы (2.2)
можно записать

.

В соответствии с
табл.10.1
доверительная вероятность для
.

Это низкая
вероятность.

Погрешность,
превышающая доверительный интервал
,
согласно выражению (1.4) будет встречаться
один раз из,
т.е. из четырех измерений. Это недопустимо.

В связи с этим
необходимо вычислить минимальное
количество измерений с доверительной
вероятностью
,
равнойи.

По формуле (2.2)
имеем
измерения прииизмерения при,
что значительно превышает установленныеизмерений.

Для нахождения
границы доверительного интервала при
малых значениях ()
применяют метод, предложенный в 1908 г.
английским математиком Госсетом В.С.
(псевдоним Стьюдент).

Кривые распределения
Стьюдента в случае
(практически при)
переходят в кривые нормального
распределения (рис.10.1).

Рис.2.1. Кривые
распределения Стьюдента для различных
значений:

1
— при
;2
— при
;3
— при

studfiles.net

Коэффициенты Стьюдента

Число измерений N	Надежность Р
0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,99
2	1,00	1,38	2,0	3,1	6,3	12,7	637
3	0,82	1,06	1,5	1,9	2,9	4,3	35
4	0,77	0,98	1,3	1,6	2,4	3,2	12,9
5	0,74	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	8,6
6	0,73	0,92	1,2	1,5	2,0	2,6	6,9
7	0,72	0,91	1,1	1,4	1,9	2,4	6,0
8	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	5,4
9	0,71	0,89	1,1	1,4	1,9	2,3	5,0
10	0,70	0,88	1,1	1,4	1,8	2,3	4,8

2.2. Расчет случайной погрешности

При обработке прямых измерений результаты
наблюдений и вычислений удобно оформлять
в виде табл. 2.

Таблица 2

Расчет среднего значения и случайной погрешности по методу Стьюдента

№	ai		ai	ai2		P	tPN	aсл
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1
2
3

В колонке 1указывается номер опыта
по порядку (обычно проводится 3-7
измерений).

В колонке 2 записываютсязначения
измеряемой величины.

В колонку 3вноситсясреднее
значениеизмеряемой величины,
рассчитанное по формуле:

. (1)

В колонке 4представленыотклонениякаждого значенияизмеряемой величины от среднего:

.
(2)

Каждый результат, полученный по последней
формуле, возводится в квадрат и заносится
в колонку 5.

В колонке 6следует расположитьсреднеквадратичную погрешность ,
рассчитанную по формуле:

. (3)

Она характеризует разброс средних
значений измеряемой величины.
Среднеквадратичная погрешность тем
больше, чем сильнее измеренные величины
отличаются друг от друга.

В колонку 7заносится значение
доверительной вероятности (или надежности)
Обычно достаточно выбрать значениеР= 0,95 (или, что то же самое, 95%).

Коэффициент Стьюдента, учитывающий
заданную доверительную вероятность и
число измерений t_PN
,находится по табл. 1 и располагаетсяв
колонке 8.

Случайная погрешностьрассчитывается
по формуле

a_сл=t_PN
S(4)

и заносится в колонку 9.

2.3. Учет систематических погрешностей

К учитываемым систематическим погрешностям
относятся погрешности средств измерения
и погрешности отсчета.

В форме абсолютных погрешностейзадаются погрешности линеек,
штангенциркулей, секундомеров, термометров
и т.п. Абсолютная погрешность средства
измерения в этом случае может быть
вычислена по формуле

, (5)

где -
цена деления прибора.

В форме приведенных погрешностейзадаются пределы допускаемых погрешностей
электроизмерительных приборов,
манометров. Этим приборам присваиваются
классы точности.Класс точностиравен пределу допускаемой приведенной
погрешности, выраженной в процентах,
которая определяется по формуле

,

где а_п—нормирующее
значениеприбора илипредел измерений;

 — предел допускаемой приведенной
погрешности прибора в процентах от
нормирующего значения;

а_си— абсолютная погрешность
прибора.

Пользуясь этой формулой, можно определить
абсолютную погрешность измерительного
прибора:

. (6)

Полная абсолютная погрешностьпрямых измерений рассчитывается по
формуле

. (7)

Чаще всего случайная погрешность и
погрешность средств измерения — величины
разных порядков; в таких случаях меньшей
погрешностью пренебрегают. Например,
если
,
то

studfiles.net

Коэффициенты Стьюдента — это… Что такое Коэффициенты Стьюдента?



Коэффициенты Стьюдента

Кванти́ли (проценти́ли) распределе́ния Стью́дента (коэффициенты Стьюдента) — числовые характеристики, широко используемые в задачах математической статистики таких как построение доверительных интервалов и проверка статистических гипотез.

Определение

Пусть F_n — функция распределения Стьюдента t(n) с n степенями свободы, и . Тогда α-квантилью этого распределения называется число t_α,n такое, что

.

Замечания

.

• Функция не имеет простого представления. Однако, возможно вычислить её значения численно.
• Распределение t(n) симметрично. Следовательно,

t_{1 − α,n} = − t_α,n.

Таблица квантилей

Нижеприведённая таблица получена с помощью функции tinv пакета t_α,n, необходимо найти строку, соответствующую нужному n, и колонку, соответствующую нужному α. Искомое число находится в таблице на их пересечении.

Пример

t_0.2,4 = 0.2707;

t_0.8,4 = − t_0.2,4 = − 0.2707.

См. также

Квантили t_α,n

two-tailed test	1-0.9/2	1-0.8/2	1-0.7/2	1-0.6/2	1-0.5/2	1-0.4/2	1-0.3/2	1-0.2/2	1-0.1/2	1-0.05/2	1-0.02/2
one-tailed test	1-0.9	1-0.8	1-0.7	1-0.6	1-0.5	1-0.4	1-0.3	1-0.2	1-0.1	1-0.05	1-0.02
1	0.1584	0.3249	0.5095	0.7265	1.0000	1.3764	1.9626	3.0777	6.3138	12.7062	31.8205
2	0.1421	0.2887	0.4447	0.6172	0.8165	1.0607	1.3862	1.8856	2.9200	4.3027	6.9646
3	0.1366	0.2767	0.4242	0.5844	0.7649	0.9785	1.2498	1.6377	2.3534	3.1824	4.5407
4	0.1338	0.2707	0.4142	0.5686	0.7407	0.9410	1.1896	1.5332	2.1318	2.7764	3.7469
5	0.1322	0.2672	0.4082	0.5594	0.7267	0.9195	1.1558	1.4759	2.0150	2.5706	3.3649
6	0.1311	0.2648	0.4043	0.5534	0.7176	0.9057	1.1342	1.4398	1.9432	2.4469	3.1427
7	0.1303	0.2632	0.4015	0.5491	0.7111	0.8960	1.1192	1.4149	1.8946	2.3646	2.9980
8	0.1297	0.2619	0.3995	0.5459	0.7064	0.8889	1.1081	1.3968	1.8595	2.3060	2.8965
9	0.1293	0.2610	0.3979	0.5435	0.7027	0.8834	1.0997	1.3830	1.8331	2.2622	2.8214
10	0.1289	0.2602	0.3966	0.5415	0.6998	0.8791	1.0931	1.3722	1.8125	2.2281	2.7638
11	0.1286	0.2596	0.3956	0.5399	0.6974	0.8755	1.0877	1.3634	1.7959	2.2010	2.7181
12	0.1283	0.2590	0.3947	0.5386	0.6955	0.8726	1.0832	1.3562	1.7823	2.1788	2.6810
13	0.1281	0.2586	0.3940	0.5375	0.6938	0.8702	1.0795	1.3502	1.7709	2.1604	2.6503
14	0.1280	0.2582	0.3933	0.5366	0.6924	0.8681	1.0763	1.3450	1.7613	2.1448	2.6245
15	0.1278	0.2579	0.3928	0.5357	0.6912	0.8662	1.0735	1.3406	1.7531	2.1314	2.6025
16	0.1277	0.2576	0.3923	0.5350	0.6901	0.8647	1.0711	1.3368	1.7459	2.1199	2.5835
17	0.1276	0.2573	0.3919	0.5344	0.6892	0.8633	1.0690	1.3334	1.7396	2.1098	2.5669
18	0.1274	0.2571	0.3915	0.5338	0.6884	0.8620	1.0672	1.3304	1.7341	2.1009	2.5524
19	0.1274	0.2569	0.3912	0.5333	0.6876	0.8610	1.0655	1.3277	1.7291	2.0930	2.5395
20	0.1273	0.2567	0.3909	0.5329	0.6870	0.8600	1.0640	1.3253	1.7247	2.0860	2.5280
21	0.1272	0.2566	0.3906	0.5325	0.6864	0.8591	1.0627	1.3232	1.7207	2.0796	2.5176
22	0.1271	0.2564	0.3904	0.5321	0.6858	0.8583	1.0614	1.3212	1.7171	2.0739	2.5083
23	0.1271	0.2563	0.3902	0.5317	0.6853	0.8575	1.0603	1.3195	1.7139	2.0687	2.4999
24	0.1270	0.2562	0.3900	0.5314	0.6848	0.8569	1.0593	1.3178	1.7109	2.0639	2.4922
25	0.1269	0.2561	0.3898	0.5312	0.6844	0.8562	1.0584	1.3163	1.7081	2.0595	2.4851
26	0.1269	0.2560	0.3896	0.5309	0.6840	0.8557	1.0575	1.3150	1.7056	2.0555	2.4786
27	0.1268	0.2559	0.3894	0.5306	0.6837	0.8551	1.0567	1.3137	1.7033	2.0518	2.4727
28	0.1268	0.2558	0.3893	0.5304	0.6834	0.8546	1.0560	1.3125	1.7011	2.0484	2.4671
29	0.1268	0.2557	0.3892	0.5302	0.6830	0.8542	1.0553	1.3114	1.6991	2.0452	2.4620
30	0.1267	0.2556	0.3890	0.5300	0.6828	0.8538	1.0547	1.3104	1.6973	2.0423	2.4573
31	0.1267	0.2555	0.3889	0.5298	0.6825	0.8534	1.0541	1.3095	1.6955	2.0395	2.4528
32	0.1267	0.2555	0.3888	0.5297	0.6822	0.8530	1.0535	1.3086	1.6939	2.0369	2.4487
33	0.1266	0.2554	0.3887	0.5295	0.6820	0.8526	1.0530	1.3077	1.6924	2.0345	2.4448
34	0.1266	0.2553	0.3886	0.5294	0.6818	0.8523	1.0525	1.3070	1.6909	2.0322	2.4411
35	0.1266	0.2553	0.3885	0.5292	0.6816	0.8520	1.0520	1.3062	1.6896	2.0301	2.4377
36	0.1266	0.2552	0.3884	0.5291	0.6814	0.8517	1.0516	1.3055	1.6883	2.0281	2.4345
37	0.1265	0.2552	0.3883	0.5289	0.6812	0.8514	1.0512	1.3049	1.6871	2.0262	2.4314
38	0.1265	0.2551	0.3882	0.5288	0.6810	0.8512	1.0508	1.3042	1.6860	2.0244	2.4286
39	0.1265	0.2551	0.3882	0.5287	0.6808	0.8509	1.0504	1.3036	1.6849	2.0227	2.4258
40	0.1265	0.2550	0.3881	0.5286	0.6807	0.8507	1.0500	1.3031	1.6839	2.0211	2.4233
41	0.1264	0.2550	0.3880	0.5285	0.6805	0.8505	1.0497	1.3025	1.6829	2.0195	2.4208
42	0.1264	0.2550	0.3880	0.5284	0.6804	0.8503	1.0494	1.3020	1.6820	2.0181	2.4185
43	0.1264	0.2549	0.3879	0.5283	0.6802	0.8501	1.0491	1.3016	1.6811	2.0167	2.4163
44	0.1264	0.2549	0.3878	0.5282	0.6801	0.8499	1.0488	1.3011	1.6802	2.0154	2.4141
45	0.1264	0.2549	0.3878	0.5281	0.6800	0.8497	1.0485	1.3006	1.6794	2.0141	2.4121
46	0.1264	0.2548	0.3877	0.5281	0.6799	0.8495	1.0483	1.3002	1.6787	2.0129	2.4102
47	0.1263	0.2548	0.3877	0.5280	0.6797	0.8493	1.0480	1.2998	1.6779	2.0117	2.4083
48	0.1263	0.2548	0.3876	0.5279	0.6796	0.8492	1.0478	1.2994	1.6772	2.0106	2.4066
49	0.1263	0.2547	0.3876	0.5278	0.6795	0.8490	1.0475	1.2991	1.6766	2.0096	2.4049
50	0.1263	0.2547	0.3875	0.5278	0.6794	0.8489	1.0473	1.2987	1.6759	2.0086	2.4033
100	0.1260	0.2540	0.3864	0.5261	0.6770	0.8452	1.0418	1.2901	1.6602	1.9840	2.3642
1000	0.1257	0.2534	0.3854	0.5246	0.6747	0.8420	1.0370	1.2824	1.6464	1.9623	2.3301

Wikimedia Foundation.
2010.

• Коэффициенты Ламэ
• Коялович, Войцех

Смотреть что такое «Коэффициенты Стьюдента» в других словарях:

• Процентили распределения Стьюдента — Квантили (процентили) распределения Стьюдента (коэффициенты Стьюдента)  числовые характеристики, широко используемые в задачах математической статистики таких как построение доверительных интервалов и проверка статистических гипотез. Содержание 1 …   Википедия

• Квантили распределения Стьюдента — Квантили (процентили) распределения Стьюдента (коэффициенты Стьюдента)  числовые характеристики, широко используемые в задачах математической статистики таких как построение доверительных интервалов и проверка статистических гипотез.… …   Википедия

• Коэффициент корреляции — (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… …   Энциклопедия инвестора

• Корреляция — (Correlation) Корреляция это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин Понятие корреляции, виды корреляции, коэффициент корреляции, корреляционный анализ, корреляция цен, корреляция валютных пар на Форекс Содержание… …   Энциклопедия инвестора

• Наименьших квадратов метод —         один из методов ошибок теории (См. Ошибок теория) для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. Н. к. м. применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми)… …   Большая советская энциклопедия

• Математи́ческие ме́тоды — в медицине совокупность методов количественного изучения и анализа состояния и (или) поведения объектов и систем, относящихся к медицине и здравоохранению. В биологии, медицине и здравоохранении в круг явлений, изучаемых с помощью М.м., входят… …   Медицинская энциклопедия

• НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ МЕТОД — один из методов ошибок теории для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. Н. к. м. применяется также для приближенного представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается …   Математическая энциклопедия

• РДМУ 109-77: Методические указания. Методика выбора и оптимизации контролируемых параметров технологических процессов — Терминология РДМУ 109 77: Методические указания. Методика выбора и оптимизации контролируемых параметров технологических процессов: 73. Адекватность модели Соответствие модели с экспериментальными данными по выбранному параметру оптимизации с… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• ГОСТ Р 50779.10-2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения — Терминология ГОСТ Р 50779.10 2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения оригинал документа: 2.3. (генеральная) совокупность Множество всех рассматриваемых единиц. Примечание Для случайной величины… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• Нахождение дисперсии ошибки определения коэффициента регрессии — 3.9.3. Нахождение дисперсии ошибки определения коэффициента регрессии При равном числе параллельных опытов (m0) во всех точках плана матрицы дисперсию ошибки определения коэффициента регрессии определяют по формуле… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

dic.academic.ru

КОЭФФИЦИЕНТЫ Стьюдента t p 2

КОЭФФИЦИЕНТЫ
СТЬЮДЕНТА t_p,n
(n от 1 до 30)

р — надежность,
n – число измерений

n	p
0,80	0,90	0,95	0,98	0,99	0,995	0,998	0,999
2	3,077	6,313	12,706	31,820	63,656	127,656	318,306	636,619
3	1,885	2,920	4,302	6,964	9,924	14,089	22,327	31,599
4	1,638	2,353	3,182	4,540	5,840	7,458	10,214	12,924
5	1,533	2,132	2,776	3,746	4,604	5,597	7,173	8,610
6	1,476	2,015	2,570	3,649	4,032	4,773	5,893	6,863
7	1,439	1,943	2,446	3,142	3,707	4,316	5,207	5,958
8	1,415	1,895	2,365	2,998	3,500	4,229	4,785	5,408
9	1,397	1,860	2,306	2,897	3,355	3,832	4,501	5,041
10	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250	3,690	4,297	4,780
11	1,372	1,813	2,228	2,764	3,169	3,581	4,144	4,587
12	1,363	1,795	2,201	2,718	3,105	3,496	4,024	4,437
13	1,356	1,782	2,179	2,681	3,085	3,428	3,929	4,178
14	1,350	1,771	2,160	2,650	3,112	3,373	3,852	4,220
15	1,345	1,761	2,145	2,625	2,976	3,326	3,787	4,140
16	1,341	1,753	2,131	2,603	2,947	3,286	3,732	4,072
17	1,336	1,745	2,119	2,583	2,920	3,252	3,686	4,015
18	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898	3,222	3,646	3,965
19	1,330	1,734	2,101	2,551	2,878	3,197	3,611	3,922
20	1,328	1,729	2,093	2,540	2,861	3,174	3,579	3,883
21	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845	3,153	3,552	3,850
22	1,323	1,720	2,079	2,517	2,831	3,135	3,527	3,819
23	1,321	1,717	2,074	2,508	2,819	3,119	3,505	3,792
24	1,320	1,714	2,069	2,500	2,807	3,104	3,485	3,768
25	1,138	1,711	2,064	2,492	2,797	3,091	3,467	3,745
26	1,316	1,708	2,060	2,485	2,787	3,078	3,450	3,725
27	1,315	1,705	2,056	2,478	2,778	3,066	3,436	3,706
28	1,314	1,703	2,052	2,473	2,771	3,057	3,421	3,690
29	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763	3,047	3,408	3,674
30	1,311	1,699	2,045	2,462	2,756	3,036	3,396	3,849

КОЭФФИЦИЕНТЫ
СТЬЮДЕНТА t_p,n
(n от 30 до 500)

р — надежность,
n – число измерений

N	p
0,80	0,90	0,95	0,98	0,99	0,995	0,998	0,999
31	1,310	1,697	2,042	2,457	2,750	3,030	3,385	3,646
33	1,308	1,693	2,036	2,440	2,738	3,014	3,365	3,621
35	1,307	1,691	2,032	2,441	2,728	3,952	3,348	3,601
37	1,305	1,688	2,028	2,435	2,720	9,490	3,333	3,582
39	1,304	1,686	2,024	2,429	2,712	3,981	3,319	3,566
41	1,303	1,684	2,021	2,423	2,705	3,971	3,307	3,551
43	1,320	1,682	2,018	2,418	2,698	2,693	3,296	3,537
45	1,301	1,680	2,015	2,414	2,692	3,956	3,286	3,526
47	1,300	1,677	2,013	2,410	2,687	3,949	3,277	3,515
49	1,299	1,677	2,011	2,406	2,682	3,943	3,269	3,505
51	1,298	1,676	2,009	2,403	2,678	3,937	3,261	3,406
56	1,297	1,673	2,004	2,396	2,668	2,924	3,256	3,476
61	1,296	1,671	2,000	2,390	2,660	3,915	3,232	3,460
66	1,295	1,669	1,997	2,385	2,654	3,906	3,220	3,447
71	1,294	1,669	1,994	2,381	2,648	3,899	3,211	3,435
81	1,292	1,664	1,990	2,373	2,638	2,887	3,195	3,416
91	1,291	1,662	1,987	2,389	2,632	2,878	3,183	3,402
101	1,290	1,660	1,984	2,364	2,626	2,871	3,174	3,391
121	1,289	1,658	1,972	2,358	2,617	2,860	3,160	3,374
151	1,287	1,655	1,976	2,352	2,609	2,848	3,146	3,357
201	1,286	1,653	1,972	2,345	2,601	2,839	3,132	3,340
251	1,285	1,651	1,970	2,341	2,597	2,822	3,123	3,330
301	1,284	1,650	1,968	2,339	2,592	2,828	3,118	3,323
401	1,284	1,649	1,966	2,336	2,588	2,823	3,111	3,315
501	1,283	1,647	1,964	2,333	2,785	2,819	3,106	3,310

studfiles.net

Коэффициент Стьюдента

n	a
0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,999
3	0,82	1,06	1,3	1,9	2,9	4,3	7,0	9,9	31,6
5	0,74	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	3,7	4,6	8,6
10	0,7	0,88	1,1	1,4	1,8	2,3	2,8	3,3	4,8

Таким образом,
порядок расчета случайной ошибки
измерения должен быть следующим:

а) производят n
измерений искомой физической величины
и вычисляют ее среднее значение

;

б) находят абсолютные
погрешности отдельных измерений

;

в) рассчитывают
среднюю квадратическую погрешность
среднего арифметического

;

г)
по заданной доверительной вероятности
a
и числу измерений n
находят из табл. 1.1 коэффициент Стьюдента
;

д) рассчитывают
доверительный интервал

;

е) окончательный
результат записывают в виде

при
.

Замечания.
Так как при малом числе измерений
является
случайной величиной и определяется с
большой погрешностью, то при записи
числового значения доверительного
интерваланеобходимо
учитывать это обстоятельство. В теории
ошибок доказано, что при числе измеренийn
£
10
в числовом значении
достаточно
оставить одну значащую цифру, если она
больше трех (),
и две, если первая из них меньше четырех
().
Затем числовое значение <X
>
округляют до разряда ошибки, например:

.

Точность вычислений
при обработке результатов измерений
нужно согласовать с точностью самих
измерений, ошибка вычислений должна
быть на порядок меньше ошибки измерений.

Систематические ошибки. Соотношение случайной и систематической ошибок

Систематические
ошибки могут существенно исказить
результат измерения, поэтому перед
началом измерений необходимо выявить
систематические ошибки и, если возможно,
исключить их. С этой целью проверяют
исправность используемых приборов,
правильность их установки, анализируют
метод измерения и т. д. Чаще всего
источником систематических погрешностей
являются неточности, допущенные при
изготовлении измерительных приборов,
такие погрешности называют инструментальными,
или приборными. Эти ошибки при изготовлении
приборов не определяют, а лишь
устанавливают, не превышают ли они
допустимые пределы. Предельная погрешность
d
обычно указывается в паспорте или
обозначается соответствующим условным
знаком на шкале прибора. Например, для
микрометра предельная погрешность
равна 0,004 мм,
для штангенциркуля –
0,05 мм
и
т. д.

Таким
образом, в результате обработки данных,
полученных при измерении, мы находим
случайную ошибку, величина которой
определяется полушириной доверительного
интервала
,
и ситематическую ошибку, равную предельной
погрешности:Если предель­ная допустимая погрешность
измерительного прибора не указана, то∆Х_пр
берут равной половине цены наименьшего
деления шкалы прибора.

К
какому же отношению между величинами
случайной и систематической погрешностей
следует стремиться при проведении
измерений? По-видимому, определяющей
должна быть систематическая ошибка,
т.е., выбирая метод измерения и необходимое
число измерений, нужно добиваться, чтобы
была
меньше.
Если,
то пренебрегают систематической ошибкой,
прирассматривают только систематическую
ошибку. Может оказаться, что случайная
ошибка сравнима по величине с
систематической, тогда находят суммарную
ошибку

.

studfiles.net

Значения коэффициентов Стьюдента

n δ	0,9	0,95	0,99	0,999
1	2	3	4	5
2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∞	6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,90 1,86 1,83 1,65	12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 1,96	63,66 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 2,58	636,62 31,60 12,84 8,61 6,86 5,96 5,40 5,04 4,78 3,29

Например,
задавая доверительную вероятность δ
=0.95, по числу проведенных измерений n=5
по табл. 2 можно найти
=
2,78. Тогда, определив предварительнопо формуле (35), найдем погрешность ∆X:

(41)

Выражение
(41) ввиду малого объема информации дает
границы доверительного интервала более
широкими.

Результат
измерения можно представить в виде:

при
δ=0,95, n=5.
(42)

Конечно,
оценка (42) еще не дает представления об
общей погрешности измерения, в
которую
входит и систематическая ошибка.

Совместный
учет случайных
и систематическихошибок можно произвести по формуле

При
этом следует принять во внимание, что
всегда имеет максимальное значение.
Максимальное же значение случайных
ошибок равно 3σ . Следовательно, для их
равноправного учета необходимо
предположить, что приборная погрешность
β (или ∆_пр)
равна утроенной дисперсии распределения
погрешностей прибора 3σ_пр
,т.е. погрешности соответствующей
надежности δ =0.997. Тогда за систематическую
ошибку можно принять
и общая погрешность выразитсясоотношением

(43)

Коэффициенты
Стьюдента для проведенного числа
измерений
и бесконечного числа измеренийнаходят по табл.2 для одной и той же
заданной надежности
δ.

Погрешности косвенных измерений

Часто
приходится вычислять искомую величину
по результатам измерений других величин,
связанных с этой величиной определенной
функциональной зависимостью. Например,
объем шара
можно вычислить, измерив его радиусR
. Также измерения называются косвенными.

Рассмотрим
конкретный пример. Допустим, что величины
Х₀,
У₀
и U₀
связаны равенством

.
(44)

Непосредственно
измеряются величины Х₀
и У₀,
и по этим измерениям мы судим об U₀,
считая

(45)

измерением
величины U₀.

Предполагается,
что измерения Х_i
и y_i
независимы друг

от
друга, и распределены нормально с
дисперсиями
иЗадача
заключается в том, как по известным
значениямиопределитьи.

Очевидно,
что погрешность косвенного измерения

обусловлена
погрешностями отдельных измерений
и.
Поэтому выражение (45) можно переписать
в виде:

(46)

Вычитая
почленно левые и правые части уравнений
(46) и (44). для погрешности косвенного
измерения получим:

(47)

Тогда
для дисперсии результатов косвенного
измерения можно записать выражение:

Здесь
член
, так как любое произведениеможет быть с равной вероятностью или
положительным, или отрицательным.

Учитывая,
что
и

получим

(48)

или
(49)

Равенство
(49) определяет соотношение средних
квадратичных ошибок прямых и косвенных
измерений. Это выражение для частного
случая имеет весьма общий характер и
называется законом сложения дисперсий.

Следовательно,
при измерении нескольких неизвестных
величин складываются дисперсии этих
величин (не ошибки, а именно дисперсии).

Средние
квадратичные ошибки средних арифметических

связаны
аналогичным образом

(50)

Рассмотрим
общий случай, когда u
— функция двух переменных х и y:

(51)

Ошибки
в величинах х и у такова:
,
где Х₀
и У₀
— истинные значения величин Х в У. Тогда
для результата отдельного измерения
можно записать

(52)

Если
‘та функция непрерывна и имеет
производные, то ее можно разложить в
ряд Тейлора. Рассматривая только члены
c
нулевыми и первыми степенями малых
погрешностей
и,
получим:

или
поскольку

(53)

Частные
производные здесь вычисляются при Х=Х₀
и У=У₀.
Запишем выражение для дисперсии
результатов косвенного измерения:

Учитывая,
что

и

получим

(54)

или

(55)

Для
относительной погрешности косвенного
измерения

учитывая,
что
иполучим:

(56)

studfiles.net