Загрузить PDF
Загрузить PDF
При измерении чего-либо можно предположить, что есть некоторое «истинное значение», которое лежит в пределах диапазона значений, которые вы нашли. Для расчета более точной величины нужно взять результат измерения и оценить его при прибавлении или вычитании погрешности. Если вы хотите научиться находить такую погрешность, выполните следующие действия.
-
1
Выражайте погрешность правильно. Допустим, при измерении палки ее длина равна 4,2 см плюс-минус один миллиметр. Это означает, что палка примерно равна 4,2 см, но на самом деле может быть немного меньше или больше этого значения — с погрешностью до одного миллиметра.
- Запишите погрешность как: 4,2 см ± 0,1 см. Вы также можете переписать это как 4,2 см ± 1 мм, так как 0,1 см = 1 мм.
-
2
Всегда округляйте значения измерений до того же знака после запятой, что и в погрешности. Результаты измерений, которые учитывают погрешность, как правило, округляются до одной или двух значащих цифр. Наиболее важным моментом является то, что нужно округлить результаты до того же знака после запятой, что и в погрешности, чтобы сохранить соответствие.
- Если результат измерения 60 см, то и погрешность следует округлять до целого числа. Например, погрешность этого измерения может быть 60 см ± 2 см, но не 60 см ± 2,2 см.
- Если результат измерения 3,4 см, то погрешность округляется до 0,1 см. Например, погрешность этого измерения может быть 3,4 см ± 0,7 см, но не 3,4 см ± 1 см.
-
3
Найдите погрешность. Допустим, вы измеряете линейкой диаметр круглого шара. Это сложно, так как из-за кривизны шара будет трудно померить расстояние между двумя противоположными точками на его поверхности. Скажем, линейка может дать результат с точностью до 0,1 см, но это не значит, что вы можете измерить диаметр с той же точностью.[1]
- Изучите шар и линейку, чтобы получить представление о том, с какой точностью вы можете измерить диаметр. У стандартной линейки четко видна разметка по 0,5 см, но, возможно, вы сможете измерить диаметр с большей точностью, чем эта. Если вы думаете, что сможете измерить диаметр с точностью до 0,3 см, то погрешность в этом случае равна 0,3 см.
- Измерим диаметр шара. Допустим, вы получили результат около 7,6 см. Просто укажите результат измерения вместе с погрешностью. Диаметр шара составляет 7,6 см ± 0,3 см.
-
4
Рассчитайте погрешность измерения одного предмета из нескольких. Скажем, вам даны 10 компакт-дисков (CD), при этом размеры каждого одинаковы. Допустим, вы хотите найти толщину всего одного CD. Эта величина настолько мала, что погрешность практически невозможно вычислить. Тем не менее, чтобы вычислить толщину (и ее погрешность) одного CD, вы можете просто разделить результат измерения (и его погрешность) толщины всех 10 CD, сложенных вместе (один на другого), на общее количество CD.[2]
- Допустим, что точность измерения стопки CD с помощью линейки 0,2 см. Итак, ваша погрешность ± 0,2 см.
- Допустим, толщина всех CD равна 22 см.
- Теперь разделим результат измерения и погрешность на 10 (число всех CD). 22 см/10 = 2,2 см и 0,2 см/10 = 0,02 см. Это означает, что толщина одного компакт-диска 2,20 см ± 0,02 см.
-
5
Измерьте несколько раз. Для повышения точности измерений, будь то измерение длины или времени, замерьте искомую величину несколько раз. Вычисление среднего значения из полученных значений увеличит точность измерения и расчета погрешности.
Реклама
-
1
Проведите несколько измерений. Допустим, вы хотите найти, сколько времени падает мяч с высоты стола. Чтобы получить наилучшие результаты, измерьте время падения насколько раз, например, пять. Потом нужно найти среднее значение из пяти полученных значений измерений времени, а затем для наилучшего результата добавить или вычесть среднеквадратичное отклонение.[3]
- Допустим, в результате пяти измерений получены результаты: 0,43 с, 0,52 с, 0,35 с, 0,29 с и 0,49 с .
-
2
Найдите среднее арифметическое. Теперь найдите среднее арифметическое путем суммирования пяти различных результатов измерений и разделив результат на 5 (количество измерений). 0,43 + 0,52 + 0,35 + 0,29 + 0,49 = 2,08 с. 2,08 / 5 = 0,42 с. Среднее время 0,42 с.
-
3
Найдите дисперсию полученных значений. Для этого, во-первых, найдите разницу между каждой из пяти величин и средним арифметическим. Чтобы сделать это, вычтите из каждого результата 0,42 с.[4]
-
- 0,43 с – 0,42 с = 0,01 с
- 0,52 с – 0,42 с = 0,1 с
- 0,35 с – 0,42 с = -0,07 с
- 0,29 с – 0,42 с = -0,13 с
- 0,49 с – 0,42 с = 0,07 с
- Теперь сложите квадраты этих разниц: (0,01) 2 + (0,1) 2 + (-0,07) 2 + (-0,13) 2 + (0,07) 2 = 0,037 с.
- Найти среднее арифметическое этой суммы можно, разделив ее на 5: 0,037 / 5 = 0,0074 с.
-
-
4
Найдите среднеквадратичное отклонение. Чтобы найти среднеквадратичное отклонение, просто возьмите квадратный корень из среднего арифметического суммы квадратов. Квадратный корень из 0,0074 = 0,09 с, так что среднеквадратичное отклонение равно 0,09 с.[5]
-
5
Запишите окончательный ответ. Чтобы сделать это, запишите среднее значение всех измерений плюс-минус среднеквадратичное отклонение. Поскольку среднее значение всех измерений равно 0,42 с, а среднеквадратичное отклонение 0,09 с, то окончательный ответ 0,42 с ± 0,09 с.
Реклама
-
1
Сложение. Чтобы сложить величины с погрешностями, сложите отдельно величины и отдельно погрешности.[6]
- (5 см ± 0,2 см) + (3 см ± 0,1 см) =
- (5 см + 3 см) ± (0,2 см + 0,1 см) =
- 8 см ± 0,3 см
-
2
Вычитание. Чтобы вычесть величины с погрешностями, вычтите величины и сложите погрешности.[7]
- (10 см ± 0,4 см) – (3 см ± 0,2 см) =
- (10 см – 3 см) ± (0,4 см + 0,2 см) =
- 7 см ± 0,6 см
-
3
Умножение. Чтобы умножить величины с погрешностями, перемножьте величины и сложите ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ погрешности (в процентах).[8]
Рассчитать можно только относительную погрешность, а не абсолютную, как и в случае со сложением и вычитанием. Чтобы узнать относительную погрешность, разделите абсолютную погрешность на измеренное значение, затем умножьте на 100, чтобы выразить результат в процентах. Например:- (6 см ± 0,2 см) = (0,2 / 6) x 100 — добавив знак процента, получаем 3,3 %.
Следовательно: - (6 см ± 0,2 см) х (4 см ± 0,3 см) = (6 см ± 3,3 % ) x (4 см ± 7,5 %)
- (6 см x 4 см) ± (3,3 + 7,5) =
- 24 см ± 10,8 % = 24 см ± 2,6 см
- (6 см ± 0,2 см) = (0,2 / 6) x 100 — добавив знак процента, получаем 3,3 %.
-
4
Деление. Чтобы разделить величины с погрешностями, разделите величины и сложите ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ погрешности.[9]
- (10 см ± 0,6 см) ÷ (5 см ± 0,2 см) = (10 см ± 6 %) ÷ (5 см ± 4 %)
- (10 см ÷ 5 см) ± (6 % + 4 %) =
- 2 см ± 10 % = 2 см ± 0,2 см
-
5
Возведение в степень. Для того, чтобы возвести в степень величину с погрешностью, возведите величину в степень, а относительную погрешность умножьте на степень.[10]
- (2,0 см ± 1,0 см)3 =
- (2,0 см)3 ± (50 %) x 3 =
- 8,0 см3 ± 150 % или 8,0 см3 ±12 см3
Реклама
Советы
- Вы можете дать погрешность как для общего результата всех измерений, так и для каждого результата одного измерения в отдельности. Как правило, данные, полученные из нескольких измерений, менее достоверны, чем данные, полученные непосредственно из отдельных измерений.
Реклама
Предупреждения
- Точные науки никогда не работают с «истинными» величинами. Хотя правильное измерение, скорее всего, даст величину в пределах погрешности, нет никакой гарантии, что это будет так. Научные измерения допускают возможность ошибок.
- Погрешности, описанные здесь, применимы только для случаев нормального распределения (распределения Гаусса). Другие распределения вероятностей требуют других решений.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 104 812 раз.
Была ли эта статья полезной?
Погрешности измерений, представление результатов эксперимента
- Шкала измерительного прибора
- Цена деления
- Виды измерений
- Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
- Абсолютная погрешность серии измерений
- Представление результатов эксперимента
- Задачи
п.1. Шкала измерительного прибора
Шкала – это показывающая часть измерительного прибора, состоящая из упорядоченного ряда отметок со связанной с ними нумерацией. Шкала может располагаться по окружности, дуге или прямой линии.
Примеры шкал различных приборов:
п.2. Цена деления
Цена деления измерительного прибора равна числу единиц измеряемой величины между двумя ближайшими делениями шкалы. Как правило, цена деления указана на маркировке прибора.
Алгоритм определения цены деления
Шаг 1. Найти два ближайшие пронумерованные крупные деления шкалы. Пусть первое значение равно a, второе равно b, b > a.
Шаг 2. Посчитать количество мелких делений шкалы между ними. Пусть это количество равно n.
Шаг 3. Разделить разницу значений крупных делений шкалы на количество отрезков, которые образуются мелкими делениями: $$ triangle=frac{b-a}{n+1} $$ Найденное значение (triangle) и есть цена деления данного прибора.
Пример определения цены деления:
 |
Определим цену деления основной шкалы секундомера. Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале:a = 5 c b = 10 cМежду ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления. Цена деления: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}\ triangle=frac{10-5}{24+1}=frac15=0,2 c end{gather*} |
п.3. Виды измерений
Вид измерений
Определение
Пример
Прямое измерение
Физическую величину измеряют с помощью прибора
Измерение длины бруска линейкой
Косвенное измерение
Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений
Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине
п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
Погрешность измерений – это отклонение измеренного значения величины от её истинного значения.
Составляющие погрешности измерений
Причины
Инструментальная погрешность
Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)
Погрешность метода
Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.
Погрешность теории (модели)
Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.
Погрешность оператора
Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.
Инструментальная погрешность измерений принимается равной половине цены деления прибора: $$ d=frac{triangle}{2} $$
Если величина (a_0) – это истинное значение, а (triangle a) – погрешность измерения, результат измерений физической величины записывают в виде (a=a_0pmtriangle a).
Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины: $$ triangle a=|a-a_0| $$
Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению, выраженное в процентах, называют относительной погрешностью измерения: $$ delta=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%} $$
Относительная погрешность является мерой точности измерения: чем меньше относительная погрешность, тем измерение точнее. По абсолютной погрешности о точности измерения судить нельзя.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком, т.е. всегда в сторону увеличения.
Значащие цифры – это все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.
Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.
В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:
- определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
- определение объема с помощью мензурки.
Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:
 |
Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{1+1}=0,5 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,5}{2}=0,25 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,00pm 0,25) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,25}{4,00}cdot 100text{%}=6,25text{%}approx 6,3text{%} $$ |
 |
Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{9+1}=0,1 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,1}{2}=0,05 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4,15 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,15pm 0,05) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,05}{4,15}cdot 100text{%}approx 1,2text{%} $$ |
Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.
п.5. Абсолютная погрешность серии измерений
Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).
Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.
Алгоритм определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений
Шаг 1. Проводим серию из (N) измерений, в каждом из которых получаем значение величины (x_1,x_2,…,x_N)
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений: $$ x_0=x_{cp}=frac{x_1+x_2+…+x_N}{N} $$ Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения: $$ triangle_1=|x_0-x_1|, triangle_2=|x_0-x_2|, …, triangle_N=|x_0-x_N| $$ Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений: $$ triangle_{cp}=frac{triangle_1+triangle_2+…+triangle_N}{N} $$ Шаг 5. Сравниваем полученную величину (triangle_{cp}) c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность: $$ triangle x=maxleft{triangle_{cp}; dright} $$ Шаг 6. Записываем результат серии измерений: (x=x_0pmtriangle x).
Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.
Составим расчетную таблицу:
| № опыта | 1 | 2 | 3 | Сумма |
| Масса, г | 99,8 | 101,2 | 100,3 | 301,3 |
| Абсолютное отклонение, г | 0,6 | 0,8 | 0,1 | 1,5 |
Сначала находим среднее значение всех измерений: begin{gather*} m_0=frac{99,8+101,2+100,3}{3}=frac{301,3}{3}approx 100,4 text{г} end{gather*} Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности (m_0) и измерения. begin{gather*} triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\ triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\ triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 end{gather*} Находим среднее абсолютное отклонение: begin{gather*} triangle_{cp}=frac{0,6+0,8+0,1}{3}=frac{1,5}{3}=0,5 text{(г)} end{gather*} Мы видим, что полученное значение (triangle_{cp}) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: begin{gather*} triangle m=maxleft{triangle_{cp}; dright}=maxleft{0,5; 0,05right} text{(г)} end{gather*} Записываем результат: begin{gather*} m=m_0pmtriangle m\ m=(100,4pm 0,5) text{(г)} end{gather*} Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): begin{gather*} delta_m=frac{0,5}{100,4}cdot 100text{%}approx 0,050text{%} end{gather*}
п.6. Представление результатов эксперимента
Результат измерения представляется в виде $$ a=a_0pmtriangle a $$ где (a_0) – истинное значение, (triangle a) – абсолютная погрешность измерения.
Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.
Погрешность суммы и разности
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, то
- абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей
$$ triangle (a+b)=triangle a+triangle b $$
- абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей
$$ triangle (a-b)=triangle a+triangle b $$
Погрешность произведения и частного
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, с относительными погрешностями (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}) и (delta_b=frac{triangle b}{b_0}cdot 100text{%}) соответственно, то:
- относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей
$$ delta_{acdot b}=delta_a+delta_b $$
- относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей
$$ delta_{a/b}=delta_a+delta_b $$
Погрешность степени
Если (a=a_0+triangle a) результат прямого измерения, с относительной погрешностью (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}), то:
- относительная погрешность квадрата (a^2) равна удвоенной относительной погрешности
$$ delta_{a^2}=2delta_a $$
- относительная погрешность куба (a^3) равна утроенной относительной погрешности
$$ delta_{a^3}=3delta_a $$
- относительная погрешность произвольной натуральной степени (a^n) равна
$$ delta_{a^n}=ndelta_a $$
Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.
п.7. Задачи
Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно? 
Составим таблицу для расчета цены деления:
| № мензурки | a, мл | b, мл | n | (triangle=frac{b-a}{n+1}), мл |
| 1 | 20 | 40 | 4 | (frac{40-20}{4+1}=4) |
| 2 | 100 | 200 | 4 | (frac{200-100}{4+1}=20) |
| 3 | 15 | 30 | 4 | (frac{30-15}{4+1}=3) |
| 4 | 200 | 400 | 4 | (frac{400-200}{4+1}=40) |
Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):
| № мензурки | Объем (V_0), мл | Абсолютная погрешность (triangle V=frac{triangle}{2}), мл |
Относительная погрешность (delta_V=frac{triangle V}{V_0}cdot 100text{%}) |
| 1 | 68 | 2 | 3,0% |
| 2 | 280 | 10 | 3,6% |
| 3 | 27 | 1,5 | 5,6% |
| 4 | 480 | 20 | 4,2% |
Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.
Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка
Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0pm 0,1) text{м}, x_2=(4,0pm 0,03) text{м} $$ Какое из этих измерений точней и почему?
Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: begin{gather*} delta_1=frac{0,1}{4,0}cdot 100text{%}=2,5text{%}\ delta_2=frac{0,03}{4,0}cdot 100text{%}=0,75text{%} end{gather*} Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: (delta_2lt delta_1), второе измерение точней.
Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ triangle v_1=frac{10}{2}=5 (text{км/ч}), triangle v_2=frac{1}{2}=0,5 (text{км/ч}) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54pm 5) text{км/ч}, v_2=(72pm 0,5) text{км/ч} $$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_{10}+v_{20}, v_0=54+72=125 text{км/ч} $$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ triangle v=triangle v_1+triangle v_2, triangle v=5+0,5=5,5 text{км/ч} $$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0pm 5,5) text{км/ч} $$ Относительная погрешность: $$ delta_v=frac{5,5}{126,0}cdot 100text{%}approx 4,4text{%} $$ Ответ: (v=(126,0pm 5,5) text{км/ч}, delta_vapprox 4,4text{%})
Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Инструментальная погрешность линейки (d=frac{0,1}{2}=0,05 text{см})
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20pm 0,05) text{см}, b=(60,10pm 0,05) text{см} $$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): begin{gather*} delta_1=frac{0,05}{90,20}cdot 100text{%}approx 0,0554text{%}approx uparrow 0,056text{%}\ delta_2=frac{0,05}{60,10}cdot 100text{%}approx 0,0832text{%}approx uparrow 0,084text{%} end{gather*} Площадь столешницы: $$ S=ab, S=90,2cdot 60,1 = 5421,01 text{см}^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ delta_S=delta_a+delta_b=0,056text{%}+0,084text{%}=0,140text{%}=0,14text{%} $$ Абсолютная погрешность: begin{gather*} triangle S=Scdot delta_S=5421,01cdot 0,0014=7,59approx 7,6 text{см}^2\ S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2 end{gather*} Ответ: (S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2, delta_Sapprox 0,14text{%})
Измерение физических величин основано на том, что физика исследует объективные закономерности, которые происходят в природе. Найти значение физической величины — умножить конкретное число на единицу измерения данной величины, которая стандартизирована ( эталоны ).
расположение наблюдателя относительно измерительного прибора: если на линейку смотреть сбоку, погрешность измерений произойдёт по причине неточного определения полученного значения;деформация измерительного прибора: металлические и пластиковые линейки могут изогнуться, сантиметровая лента растягивается со временем;несоответствие шкалы прибора эталонным значениям: при множественном копировании эталонов может произойти ошибка, которая будет множиться;физический износ шкалы измерений, что приводит к невозможности распознавания значений.
Рассмотрим на примере измерения длины бруска линейкой с сантиметровой шкалой. Рис. (1). Линейка и брусок Внимательно рассмотрим шкалу. Расстояние между двумя соседними метками составляет (1) см. Если этой линейкой измерять брусок, который изображён на рисунке, то правый конец бруска будет находиться между (9) и (10) метками.
У нас есть два варианта определения длины этого бруска. (1). Если мы заявим, что длина бруска — (9) сантиметров, то недостаток длины от истинной составит более половины сантиметра ((0,5) см (= 5) мм). (2). Если мы заявим, что длина бруска — (10) сантиметров, то избыток длины от истинной составит менее половины сантиметра ((0,5) см (= 5) мм).
Погрешность измерений — это отклонение полученного значения измерения от истинного. Погрешность измерительного прибора равна цене деления прибора. Для первой линейки цена деления составляет (1) сантиметр. Значит, погрешность этой линейки (1) см. Если нам необходимо произвести более точные измерения, то следует поменять линейку на другую, например, с миллиметровыми делениями. Рис. (2). Деревянная линейка Если же необходимы ещё более точные измерения, то нужно найти прибор с меньшей ценой деления, например, штангенциркуль. Существуют штангенциркули с ценой деления (0,1) мм и (0,05) мм, Рис. (3). Штангенциркуль На процесс измерения влияют следующие факторы: масштаб шкалы прибора, который определяет значения делений и расстояние между ними; уровень экспериментальных умений. Считается, что погрешность прибора превосходит по величине погрешность метода вычисления, поэтому за абсолютную погрешность принимают погрешность прибора.
Как вычислить погрешность?
Физические величины и погрешности их измерений — Задачей физического эксперимента является определение числового значения измеряемых физических величин с заданной точностью. Сразу оговоримся, что при выборе измерительного оборудования часто нужно также знать диапазон измерения и какое именно значение интересует: например, среднеквадратическое значение (СКЗ) измеряемой величины в определённом интервале времени, или требуется измерять среднеквадратическое отклонение (СКО) (для измерения переменной составляющей величины), или требуется измерять мгновенное (пиковое) значение.
При измерении переменных физических величин (например, напряжение переменного тока) требуется знать динамические характеристики измеряемой физической величины: диапазон частот или максимальную скорость изменения физической величины, Эти данные, необходимые при выборе измерительного оборудования, зависят от физического смысла задачи измерения в конкретном физическом эксперименте,
Итак, повторимся: задачей физического эксперимента является определение числового значения измеряемых физических величин с заданной точностью. Эта задача решается с помощью прямых или косвенных измерений, При прямом измерении осуществляется количественное сравнение физической величины с соответствующим эталоном при помощи измерительных приборов.
Отсчет по шкале прибора указывает непосредственно измеряемое значение. Например, термометр дает значения измеряемой температуры, а вольтметр – значение напряжения. При косвенных измерениях интересующая нас физическая величина находится при помощи математических операций над непосредственно измеренными физическими величинами (непосредственно измеряя напряжение U на резисторе и ток I через него, вычисляем значение сопротивления R = U / I ).
Точность прямых измерений некоторой величины X оценивается величиной погрешности или ошибки, измерений относительно действительного значения физической величины X Д, Действительное значение величины X Д (согласно РМГ 29-99 ) – это значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него.
Различают абсолютную (∆ X) и относительную (δ) погрешности измерений. Абсолютная погрешность измерения – это п огрешность средства измерений, выраженная в единицах измеряемой физической величины, характеризующая абсолютное отклонение измеряемой величины от действительного значения физической величины: ∆X = X – X Д,
Относительная погрешность измерения – это п огрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины. Обычно относительную погрешность выражают в процентах: δ = (∆X / Xд) * 100%, При оценке точности косвенных измерений некоторой величины X 1, функционально связанной с физическими величинами X 2, X 3,, X 1 = F (X 2, X 3, ), учитывают погрешности прямых измерений каждой из величин X 2, X 3, и характер функциональной зависимости F (),
Как найти погрешность измерений формула?
Абсолютная погрешность Δ измерений, выражаемая в единицах измеряемой величины, представляется разностью между измеренным и истинным (действительным) значениями измеряемой величины: Δ = х изм — х и (х д ).
Как измеряется погрешность измерений?
По форме представления — Первый тип — абсолютная погрешность. Она представляет собой алгебраическую разность между реальным и номинальными значениями. Она регистрируется в тех же величинах, что и основной объект. В расчетах абсолютный показатель помечается буквой ∆.
- Например, линейка — наиболее простой и привычный каждому измерительный инструмент.
- При помощи верхней шкалы на ней определяются значения с точностью до миллиметра.
- Нижняя имеет другой масштаб (до 0,1 дюйма–2,54 мм).
- Несложно проверить, что на этом приборе погрешность верхней части меньше, чем нижней.
- Точность измерений в случае с линейкой будет зависеть от ее конструктивных особенностей.
Абсолютная погрешность измеряется той же единицей измерений, что и изучаемая величина. В процессе используется формула: Δ = х1 – х2, где х1 — измеренная величина, а х2 — реальная величина. Второй тип – относительная погрешность (проявляется в виде отношение абсолютного и истинного значения).
- Показатель не имеет собственной единица измерения или отражается процентно.
- В расчетах помечается как δ.
- Она является более сложным значением, чем может показаться.
- В расчетах используется формула: δ = (Δ / х2)·100 % Стоит отметить, что если истинное значение имеет малую величину, то относительная — большую.
Например, если стандартной линейкой (30 см) измеряется коробки (150 мм), то вычисление будет иметь вид: δ = 1 мм/150 мм = 0,66%. Если этот же прибор использовать для экрана смартфона (80 мм), то получится δ = 1 мм/80 мм = 1,25%. Получается, что в обоих случаях абсолютная погрешность не изменяется, но относительная отличается в разы.
- Во втором случае рекомендуется использовать более точный прибор.
- Последний тип — приведенная погрешность.
- Она используется, чтобы не допустить такого разброса на одном приборе.
- Работает, как относительная, но вместо истинного значения в формуле применяется нормирующая шкала (общая длина линейки, например).
γ = (Δ / х3)·100 %, где х3 — это нормирующая шкала Например, если потребуется измерить ту же коробку и смартфон, то придется учесть абсолютную величину в 1мм и приведенную погрешность — 1/300*100 =0,33 %. Если взять швейный метр и сравнить его с линейкой, то получится, что первый показатель в обоих случаях остается 1 мм, а второй отличается в разы (0,33% и 0,1%).
Как найти погрешность в математике?
Абсолютная погрешность — Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением. Рассмотрим пример : в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26. Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.
- Существует формула абсолютной погрешности.
- Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу.
- Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях.
- Тогда формула будет выглядеть следующим образом: Δа=А-а.
- Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой.
- Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным.
- Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.
- Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±.
- Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см.
Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.
В чем измеряется погрешность?
Погрешность средств измерения и результатов измерения. Погрешности средств измерений – отклонения метрологических свойств или параметров средств измерений от номинальных, влияющие на погрешности результатов измерений (создающие так называемые инструментальные ошибки измерений).
Погрешность результата измерения – отклонение результата измерения от действительного (истинного) значения измеряемой величины. Инструментальные и методические погрешности. Методическая погрешность обусловлена несовершенством метода измерений или упрощениями, допущенными при измерениях. Так, она возникает из-за использования приближенных формул при расчете результата или неправильной методики измерений.
Выбор ошибочной методики возможен из-за несоответствия (неадекватности) измеряемой физической величины и ее модели. Причиной методической погрешности может быть не учитываемое взаимное влияние объекта измерений и измерительных приборов или недостаточная точность такого учета.
- Например, методическая погрешность возникает при измерениях падения напряжения на участке цепи с помощью вольтметра, так как из-за шунтирующего действия вольтметра измеряемое напряжение уменьшается.
- Механизм взаимного влияния может быть изучен, а погрешности рассчитаны и учтены.
- Инструментальная погрешность обусловлена несовершенством применяемых средств измерений.
Причинами ее возникновения являются неточности, допущенные при изготовлении и регулировке приборов, изменение параметров элементов конструкции и схемы вследствие старения. В высокочувствительных приборах могут сильно проявляться их внутренние шумы. Статическая и динамическая погрешности.
Статическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям статического измерения, то есть при измерении постоянных величин после завершения переходных процессов в элементах приборов и преобразователей. Статическая погрешность средства измерений возникает при измерении с его помощью постоянной величины. Если в паспорте на средства измерений указывают предельные погрешности измерений, определенные в статических условиях, то они не могут характеризовать точность его работы в динамических условиях. Динамическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям динамического измерения. Динамическая погрешность появляется при измерении переменных величин и обусловлена инерционными свойствами средств измерений. Динамической погрешностью средства измерений является разность между погрешностью средсва измерений в динамических условиях и его статической погрешностью, соответствующей значению величины в данный момент времени. При разработке или проектировании средства измерений следует учитывать, что увеличение погрешности измерений и запаздывание появления выходного сигнала связаны с изменением условий.
Статические и динамические погрешности относятся к погрешностям результата измерений. В большей части приборов статическая и динамическая погрешности оказываются связаны между собой, поскольку соотношение между этими видами погрешностей зависит от характеристик прибора и характерного времени изменения величины.
Как определить погрешность деления?
Как определить погрешность и объем жидкости — Погрешность равна половине цены деления мензурки. В нашем случае погрешность составляет 2,5 мл. Чтобы определить объем, берем ближайшее число от верхней границы жидкости (на рисунке — это значение 40 мл) и прибавляем количество штрихов (на рисунке — 2 штриха) по 5 мл: V = 40 + 2 × 5 = 50 мл.
Чему равна абсолютная погрешность?
При измерении каких-либо величин важным понятием является понятие о погрешности. Это связано с тем, что абсолютно точно измерить какую либо величину невозможно. Поэтому вводят понятие погрешности. Есть очень много видов погрешности, связанных с человеческим фактором или процессом измерения.
Как определить цену деления и погрешность?
Найти две соседних отметки шкалы, возле которых написаны величины, соответствующие этим отметкам шкалы; найти разность этих величин; сосчитать количество промежутков между величинами отметок шкалы; полученную разность величин разделить на количество промежутков.
Какие существуют погрешности?
Абсолютная погрешность измерения — разность между значением величины, полученным при измерении, и ее истинным значением, выражаемая в единицах измеряемой величины. Относительная погрешность измерения — отношение абсолютной погрешности, измерения к истинному значению измеряемой величины.
Как учитывается погрешность измерительного прибора?
Погрешность — Погрешность является индикатором корректности измерения. Из-за того, что в одном измерении точность оказывает влияние на погрешность, то учитывается среднее серии измерений. Погрешность измерительного прибора обычно задается двумя значениями: погрешностью показания и погрешностью по всей шкале.
Эти две характеристики вместе определяют общую погрешность измерения. Эти значения погрешности измерения указываются в процентах или в ppm ( parts per million, частей на миллион) относительно действуюшего национального стандарта.1% соответствует 10000 ppm, Погрешность приводится для указанных температурных диапазонов и для определенного периода времени после калибровки.
Обратите внимание, что в разных диапазонах, возможны, и различные погрешности.
Как вычислить погрешность функции?
| Главная страница УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПРОГРАММА КУРСА КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ВОПРОСЫ К ЗАЧЁТУ РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА | Кафедра физхимии ЮФУ (РГУ) ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ Материалы к лекционному курсу Лектор – Щербаков И.Н. Пусть X – некоторая величина, истинное значение которой известно или неизвестно и равно x*, Число x, которое можно принять за значение величины X, мы будем называть ее приближенным значением или просто приближенным числом. Число x называют приближенным значением по недостатку, если оно меньше истинного значения ( x < x* ), и по избытку, если оно больше ( x > x* ). Например, число 3,14 является приближенным значением числа π по недостатку, а 2,72 – приближенным значением числа е (основание натурального логарифма) по избытку. Абсолютная погрешность приближенного числа есть абсолютная величина разности между истинным значением величины и данным ее приближенным значением. Δx = | x * – x | Поскольку истинное значение величины обычно остается неизвестным, неизвестной остается также и абсолютная погрешность. Вместо нее приходится рассматривать оценку абсолютной погрешности, так называемою предельную абсолютную погрешность, которая означает число, не меньшее абсолютной погрешности (далее, в том случае, если это не принципиально, будем под абсолютной погрешностью понимать именно предельную абсолютную погрешность). Абсолютная погрешность приближенного числа не в полной мере характеризует его точность. Действительно, погрешность в 0,1 г слишком велика при взвешивании реактивов для проведения микро-синтеза, допустима при взвешивании 100 г колбасы, и не может быть замечена при измерении массы, например, железнодорожного вагона. Более информативным показателем точности приближенного числа является его относительная погрешность, Относительной погрешностью δx приближенного значения величины X называют абсолютную величину отношения его абсолютной погрешности к истинному значению этой величины. Часто эту относительную погрешность выражают в процентах. C учетом положительности абсолютной погрешности можно записать: δx = Δx / | x* | Ввиду того, что фактически вместо абсолютной погрешности приходится рассматривать предельную, относительную погрешность также заменяют предельной относительной погрешностью, которая означает число, не меньшее относительной погрешности. Более того, при отыскании предельной относительной погрешности приходится заменять неизвестное истинное значение величины x* приближенным – x, Последняя замена обычно не отражается на величине относительной погрешности ввиду близости этих значений и малости абсолютной погрешности. δx = Δx / | x | Например, для приближенного значения π = 3,14 предельная абсолютная погрешность составляет 0,0016, а относительная – 0,00051 или 0,051%. Выражение относительной погрешности в процентах иногда называют процентной погрешностью.
Как найти абсолютную погрешность 8 класс?Погрешность и точность приближения. Найдем значение функции у = х 2 при х=1,5 и при х=2,1. Можно найти значение функции двумя способами: по формуле и с помощью графика. С помощью графика приближенные значения функции равны: при х = 1,5 у ≈ 2,3; при х = 2,1 у ≈ 4,4. Чему равна относительная погрешность?Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к самому числу. Относительную погрешность принято выражать в процентах, то есть, умножать полученное отношение на 100 %. Как вычислить погрешность функции?
|
Содержание:
При измерении разных физических величин мы получаем их числовые значения с определенной точностью. Например, при определении размеров листа бумаги (длины, ширины) мы можем указать их с точностью до миллиметра; размеры стола – с точностью до сантиметра, размеры дома, стадиона – с точностью до метра.
Нет необходимости указывать размеры стола с точностью до миллиметра, а размеры стадиона с точностью до сантиметра или миллиметра. Мы сами в каждой ситуации, опыте и эксперименте определяем, с какой точностью нам нужны данные физические величины. Однако очень важно оценивать, насколько точно мы определяем физическую величину, какую ошибку (погрешность) в ее измерении допускаем.
При измерении мы не можем определить истинное значение измеряемой величины, а только пределы, в которых она находится.
Пример:
Измерим ширину стола рулеткой с сантиметровыми и миллиметровыми делениями на ней (рис. 5.1). Значение наименьшего деления шкалы называют ценой деления и обозначают буквой С. Видно, что цена деления рулетки С = 1 мм (или 0,1 см).
Совместим нулевое деление рулетки с краем стола и посмотрим, с каким значением
шкалы линейки совпадает второй край стола (рис. 5.1). Видно, что ширина стола составляет чуть больше 70 см и 6 мм, или 706 мм. Но результат наших измерений мы запишем с точностью до 1 мм, то есть L = 706 мм.
Абсолютная погрешность измерения ∆ (ДЕЛЬТА)
Из рис. 5.1 видно, что мы допускаем определенную погрешность и определить ее «на глаз» достаточно трудно. Эта погрешность составляет не более половины цены деления шкалы рулетки. Эту погрешность называют погрешностью измерения и помечают ∆L («дельта эль»). В данном эксперименте ее можно записать
Сам результат измерения принято записывать таким образом: ширина стола L = (706,0 ± 0,5) мм, читают: 706 плюс-минус 0,5 мм. Эти 0,5 мм в нашем примере называют абсолютной погрешностью. Значения измеряемой величины (706,0 мм) и абсолютной погрешности (0,5 мм) должны иметь одинаковое количество цифр после запятой, то есть нельзя записывать 706 мм ± 0,5 мм.
Такая запись результата измерения означает, что истинное значение измеряемой величины находится между 705,5 мм и 706,5 мм, то есть 705,5 мм ≤ L ≤ 706,5 мм.
Относительная погрешность измерения ε (ЭПСИЛОН)
Иногда важно знать, какую часть составляет наша погрешность от значения
измеряемой величины. Для этого разделим 0,5 мм на 706 мм. В результате получим: 
. То есть наша ошибка составляет 0,0007 долю ширины стола, или 0,0007 · 100% = 0,07%. Это свидетельствует о достаточно высокой точности измерения. Эту погрешность называют относительной и обозначают греческой буквой (эпсилон):
(5.1)
Относительная погрешность измерения свидетельствует о качестве измерения. Если длина какогото предмета равна 5 мм, а точность измерения – плюс-минус 0,5 мм, то относительная погрешность будет составлять уже 10%.
Стандартная запись результата измерений и выводы
Таким образом, абсолютная погрешность в примере 5.1. составляет ∆L = 0,5 мм, а результат измерений следует записать в стандартном виде: L = (706,0 
0,5) мм – Опыт выполнен с относительной погрешностью 0,0007 или 0,07%.
На точность измерения влияет много факторов, в частности:
- При совмещении края стола с делением шкалы рулетки мы неминуемо допускаем погрешность, поскольку делаем это «на глаз» – смотреть можно под разными углами.
- Не вполне ровно установили рулетку.
- Наша рулетка является копией эталона и может несколько отличаться от оригинала.
Все это необходимо учитывать при проведении измерений.
Итоги:
- Измерения в физике всегда неточны, и надо знать пределы погрешности измерений, чтобы понимать, насколько можно доверять результатам.
- Абсолютную погрешность измерения можно определить как половину цены деления шкалы измерительного прибора.
- Относительная погрешность есть частное от деления абсолютной погрешности на значение измеряемой величины: и указывает на качество измерения. Ее можно выразить в процентах.
Измерительные приборы
Устройства, с помощью которых измеряют физические величины, называют измерительными приборами.
Простейший и хорошо известный вам измерительный прибор — линейка с делениями. На ее примере вы видите, что у измерительного прибора есть шкала, на которой нанесены деления, причем возле некоторых делений написано соответствующее значение физической величины. Так, значения длины в сантиметрах нанесены на линейке возле каждого десятого деления (рис. 3.11). Значения же, соответствующие «промежуточным» делениям шкалы, можно найти с помощью простого подсчета.
Разность значений физической величины, которые соответствуютближайшим делениям шкалы, называют ценой деления прибора. Ёе находят так: берут ближайшие деления, возле которых написаны значения величины, и делят разность этих значений на количество промежутков между делениями, расположенными между ними.
Например, ближайшие сантиметровые деления на линейке разделены на десять промежутков. Значит, цена деления линейки равна 0,1 см = 1 мм.
Как определяют единицы длины и времени
В старину мерами длины служили большей частью размеры человеческого тела и его частей. Дело в том, что собственное тело очень удобно как «измерительный прибор», так как оно всегда «рядом». И вдобавок «человек есть мера всех вещей»: мы считаем предмет большим или малым, сравнивая его с собой.
Так, длину куска ткани измеряли «локтями», а мелкие предметы — «дюймами» (это слово происходит от голландского слова, которое означает «большой палец»).
Однако человеческое тело в качестве измерительного прибора имеет существенный недостаток: размеры тела и его частей у разных людей заметно отличаются. Поэтому ученые решили определить единицу длины однозначно и точно. Международным соглашением было принято, что один метр равен пути, который проходит свет в вакууме за 1/299792458 с. А секунду определяют с помощью атомных часов, которые сегодня являются самыми точными.
Можно ли расстояние измерять годами
Именно так и измеряют очень большие расстояния — например, расстояния между звездами! Но при этом речь идет не о годах как промежутках времени, а о «световых годах». А один световой год — это расстояние, которое проходит свет за один земной год. По нашим земным меркам это очень большое расстояние — чтобы убедиться в этом, попробуйте выразить его в километрах! А теперь вообразите себе, что расстояние от Солнца до ближайшей к нему звезды составляет больше четырех световых лет! И по астрономическим масштабам это совсем небольшое расстояние: ведь с помощью современных телескопов астрономы тщательно изучают звезды, расстояние до которых составляет много тысяч световых лет!
Что надо знать об измерительных приборах
Приступая к измерениям, необходимо, прежде всего, подобрать приборы. Что надо знать об измерительных приборах?
Минимальное (нижний предел) и максимальное (верхний предел) значения шкалы прибора — это пределы измерения. Чаще всего предел измерения один, но может быть и два. Например, линейка имеет один предел — верхний. У линейки на рисунке 32 он равен 25 см. У термометра на рисунке 33 два предела: верхний предел измерения температуры равен +50 °С; нижний -40 °С.
На рисунке 34 изображены три линейки с одинаковыми верхними пределами (25 см). По эти линейки измеряют длину с различной точностью. Наиболее точные результаты измерений дает линейка 7, наименее точные — линейка 3. Что же такое точность измерений и от чего она зависит? Для ответа на эти вопросы рассмотрим сначала понятие цена деления шкалы прибора.
Цена деления — это значение наименьшего деления шкалы прибора.
Как определить цену деления шкалы? Для этого необходимо:
- выбрать на шкале линейки два соседних значения, например 3 см и 4 см;
- подсчитать число делений (не штрихов!) между этими значениями; например, на линейке 1 (см. рис. 34) число делений между значениями 3 см и 4 см равно 10;
- вычесть из большего значения меньшее (4 см – 3 см = 1 см) и результат разделить на число делений.
Полученное значение и будет ценой деления шкалы прибора. Обозначим ее буквой С.
- Для линейки 1:
- Для линейки 2:
- Для линейки 3:
Точно так же можно определить и цену деления шкалы мензурок 1 и 2 (рис. 35). Цена деления шкалы мензурки 1:
Цена деления шкалы мензурки 2:
А какими линейкой и мензуркой можно измерить точнее?
Измерим один и тот же объем мензуркой 1 и мензуркой 2. Но показаниям шкал в мензурке 1 объем воды V = 35 мл; в мензурке 2 — V = 37 мл.
Понятно, что точнее измерен объем воды мензуркой 2, цена деления которой меньше 
Значит, чем меньше цена деления шкалы, тем точнее можно измерить данным прибором. Говорят: мензуркой 1 мы измерили объем с точностью до 5 мл (сравните с ценой деления шкалы 
), мензуркой 2 – с точностью до 1 мл (сравните с ценой деления 
). Точность измерения температуры термометрами 1 и 2 (рис. 36) определите самостоятельно.
Итак, любым прибором, имеющим шкалу, измерить физическую величину можно с точностью, не превышающей цены деления шкалы.
Линейкой 1 (см. рис. 34) можно измерить длину с точностью до 1 мм. Точность измерения длины линейками 2 и 3 определите самостоятельно.
Главные выводы:
- Верхний и нижний пределы измерения — это максимальное и минимальное значения шкалы прибора.
- Цена деления шкалы равна значению наименьшего деления шкалы.
- Чем меньше цена деления шкалы, тем точнее будут проведены измерения данным прибором.
Для любознательных:
В истории науки есть немало случаев, когда повышение точности измерений давало толчок к новым открытиям. Более точные измерения плотности азота, выделенного из воздуха, позволили в 1894 г. открыть новый инертный газ — аргон. Повышение точности измерений плотности воды привело к открытию в 1932 г. одной из разновидностей тяжелых атомов водорода — дейтерия. Позже дейтерий вошел в состав ядерного горючего. Оценить расстояния до звезд и создать их точные каталоги ученые смогли благодаря повышению точности при измерении положения ярких звезд на небе.
- Заказать решение задач по физике
Пример решения задачи
Для измерения величины угла используют транспортир. Определите: 1) цену деления каждой шкалы транспортира, изображенного на рисунке 38; 2) значение угла BАС, используя каждую шкалу; укажите точность измерения угла ВАС в каждом случае.
Решение:
1) Цена деления нижней шкалы:
Цена деления средней шкалы:
Цена деления верхней шкалы:
2) Определенный но нижней шкале с точностью до 10° 
определенный по средней шкале с точностью до 5° 
определенный по верхней шкале с точностью до 1° 
- Определение площади и объема
- Связь физики с другими науками
- Макромир, мегамир и микромир в физике
- Пространство и время
- Как зарождалась физика
- Единая физическая картина мира
- Физика и научно-технический прогресс
- Физические величины и их единицы измерения
Погре́шность измере́ния — отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения. Погрешность измерения является характеристикой точности измерения.
Выяснить с абсолютной точностью истинное значение измеряемой величины, как правило, невозможно, поэтому невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. Это отклонение принято называть ошибкой измерения.[1] Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. На практике вместо истинного значения используют действительное значение величины хд, то есть значение физической величины, полученное экспериментальным путём и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него[1]. Такое значение обычно вычисляется как среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому при записи результатов измерений необходимо указывать их точность. Например, запись T = 2,8 ± 0,1 с; P = 0,95 означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2,7 с до 2,9 с с доверительной вероятностью 95 %.
Количественная оценка величины погрешности измерения — мера «сомнения в измеряемой величине» — приводит к такому понятию, как «неопределённость измерения». В то же время иногда, особенно в физике, термин «погрешность измерения» (англ. measurement error) используется как синоним термина «неопределённость измерения» (англ. measurement uncertainty)[2].
Классификация погрешностей измерений[править | править код]
По способу выражения[править | править код]
- Абсолютная погрешность[3]
- Абсолютной погрешностью называют величину, выраженную в единицах измеряемой величины. Её можно описать формулой Вместо истинного значения измеряемой величины на практике пользуются действительным значением которое достаточно близко к истинному и которое определяется экспериментальным путём и может приниматься вместо истинного. Из-за того, что истинное значение величины всегда неизвестно, можно лишь оценить границы, в которых лежит погрешность, с некоторой вероятностью. Такая оценка выполняется методами математической статистики[4].
- Относительная погрешность[3]
- Относительная погрешность выражается отношением Относительная погрешность является безразмерной величиной; её численное значение может указываться, например, в процентах.
По источнику возникновения[править | править код]
- Инструментальная погрешность[5]
- Эта погрешность определяется несовершенством прибора, возникающим, например, из-за неточной калибровки.
- Методическая погрешность[5]
- Методической называют погрешность, обусловленную несовершенством метода измерений. К таким можно отнести погрешности от неадекватности принятой модели объекта или от неточности расчётных формул.
- Субъективная погрешность[5]
- Субъективной является погрешность, обусловленная ограниченными возможностями, ошибками человека при проведении измерений: проявляется, например, в неточностях при отсчёте показаний со шкалы прибора.
По характеру проявления[править | править код]
- Случайная погрешность
- Это составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом в серии повторных измерений одной и той же величины, проведённых в одних и тех же условиях. В появлении таких погрешностей не наблюдается какой-либо закономерности, они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов. Случайные погрешности неизбежны, всегда присутствуют в результате измерения, однако их влияние обычно можно устранить статистической обработкой. Описание случайных погрешностей возможно только на основе теории случайных процессов и математической статистики.
Математически случайную погрешность, как правило, можно представить белым шумом: как непрерывную случайную величину, симметричную относительно нуля, независимо возникающую в каждом измерении (некоррелированную по времени).
Основным свойством случайной погрешности является то, что искажения искомой величины можно уменьшить путём усреднения данных. Уточнение оценки искомой величины при увеличении количества измерений (повторных экспериментов) означает, что среднее случайной погрешности при увеличении объёма данных стремится к 0 (закон больших чисел).
Часто случайные погрешности возникают из-за одновременного действия многих независимых причин, каждая из которых в отдельности слабо влияет на результат измерения. По этой причине распределение случайной погрешности часто полагают «нормальным» (см. «Центральная предельная теорема»). «Нормальность» позволяет использовать в обработке данных весь арсенал математической статистики.
Однако априорная убеждённость в «нормальности» на основании центральной предельной теоремы не согласуется с практикой — законы распределения ошибок измерений весьма разнообразны и, как правило, сильно отличаются от нормального.[источник не указан 725 дней]
Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством приборов (например, с трением в механических приборах), с тряской в городских условиях, с несовершенством самого объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления).
- Систематическая погрешность
- Это погрешность, изменяющаяся по определённому закону (в частности, постоянная погрешность, не изменяющаяся от измерения к измерению). Систематические погрешности могут быть связаны с неисправностью или несовершенством приборов (неправильная шкала, калибровка и т. п.), неучтёнными экспериментатором.
Систематическую ошибку нельзя устранить повторными измерениями. Её устраняют либо с помощью поправок, либо «улучшением» эксперимента.
Деление погрешностей на случайные и систематические достаточно условно. Например, ошибка округления при определённых условиях может носить характер как случайной, так и систематической ошибки.
- Грубая погрешность
- Так называют погрешность, существенно превышающую ожидаемую. Как правило она проявляется в результате явной ошибки в проведении измерений, что обнаруживается при повторных проверках. Результат измерения с грубой погрешностью исключают из рассмотрения и не используют при дальнейшей математической обработке[6].
Оценка погрешности при прямых измерениях[править | править код]
При прямых измерениях искомая величина определяется непосредственно по отсчётному устройству (шкале) средства измерения. В общем случае измерения проводятся по определённому методу и при помощи некоторых средств измерений. Эти компоненты несовершенны и вносят свой вклад в погрешность измерения[7]. Если тем или иным путём погрешность измерения (с конкретным знаком) удаётся найти, то она представляет собой поправку, которую просто исключают из результата. Однако достичь абсолютно точного результата измерения невозможно, и всегда остаётся некоторая «неопределённость», которую можно обозначить, оценив границы погрешности[8]. В России методики оценки погрешности при прямых измерениях стандартизированы ГОСТом Р 8.736-2011[9] и Р 50.2.038-2004[10].
В зависимости от имеющихся исходных данных и свойств погрешностей, которые подвергаются оценке, используют различные способы оценки. Случайная погрешность, как правило, подчиняется закону нормального распределения, для нахождения которого необходимо указать математическое ожидание 
и среднеквадратическое отклонение 
В связи с тем, что при измерении проводится ограниченное число наблюдений, находят только наилучшие оценки этих величин: среднее арифметическое (то есть конечный аналог математического ожидания) результатов наблюдений 
и среднеквадратическое отклонение среднего арифметического 
[11][9]:
; 
Доверительные границы 
оценки погрешности, полученной таким способом, определяются умножением среднеквадратического отклонения на коэффициент Стьюдента 
выбранный для заданной доверительной вероятности 
Систематические погрешности в силу своего определения не могут быть оценены путём проведения многократных измерений[12]. Для составляющих систематической погрешности, обусловленной несовершенством средств измерений, как правило, известны только их границы, представленные, например, основной погрешностью средства измерения[13].
Итоговая оценка границ погрешности получается суммированием вышеприведённых «элементарных» составляющих, которые рассматриваются как случайные величины. Эта задача может быть математически решена при известных функциях распределений этих случайных величин. Однако в случае систематической погрешности такая функция, как правило, неизвестна и форму распределения этой погрешности задают как равномерную[14]. Основная трудность заключается в необходимости построения многомерного закона распределения суммы погрешностей, что практически невозможно уже при 3—4 составляющих. Поэтому используются приближённые формулы[15].
Суммарную неисключённую систематическую погрешность (метода, средств измерения, других источников), когда она состоит из нескольких 
компонентов, определяют по следующим формулам[9]:
- (если );
- (если ),
- где коэффициент для доверительной вероятности равен 1,1.
Суммарная погрешность измерения, определяемая случайной и систематической составляющей, оценивается как[16][9]:
- или ,
- где или
Окончательный результат измерения записывается как[17][9][18][19] 
где 
— результат измерения (
) 
— доверительные границы суммарной погрешности, 
— доверительная вероятность.
Оценка погрешности при косвенных измерениях[править | править код]
При косвенных измерениях искомая величина не измеряется непосредственно — вместо этого она вычисляется по известной функциональной зависимости (формуле) от величин (аргументов), получаемых прямыми измерениями. Для линейной зависимости методика проведения таких измерений математически строго разработана[20]. При нелинейной зависимости применяются методы линеаризации или приведения. В России методика расчёта погрешности при косвенных измерениях стандартизирована в МИ 2083-90[19].
См. также[править | править код]
- Измерение
- Класс точности
- Метрология
- Отклонение от круглости
- Мультипликативная погрешность
- Неопределённость измерения
Примечания[править | править код]
- ↑ 1 2 В ряде источников, например в Большой советской энциклопедии, термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы, но, согласно рекомендации РМГ 29-99, термин ошибка измерения, считающийся менее удачным, не рекомендуется применять, а РМГ 29-2013 его вообще не упоминает. См. «Рекомендации по межгосударственной сертификации 29-2013. ГСИ. Метрология. Основные термины и определения Архивная копия от 8 сентября 2016 на Wayback Machine».
- ↑ Olive K. A. et al. (Particle Data Group). 38. Statistics. — В: 2014 Review of Particle Physics // Chin. Phys. C. — 2014. — Vol. 38. — P. 090001.
- ↑ 1 2 Фридман, 2008, с. 42.
- ↑ Фридман, 2008, с. 41.
- ↑ 1 2 3 Фридман, 2008, с. 43.
- ↑ Клюев, 2001, p. 15.
- ↑ Рабинович, 1978, p. 19.
- ↑ Рабинович, 1978, p. 22.
- ↑ 1 2 3 4 5 ГОСТ Р 8.736-2011 ГСИ. Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения / ВНИИМ. — 2011.
- ↑ Р 50.2.038-2004 ГСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей и неопределенности результата измерений. Дата обращения: 9 марта 2021. Архивировано 24 июля 2020 года.
- ↑ Рабинович, 1978, p. 61.
- ↑ Фридман, 2008, с. 82.
- ↑ Рабинович, 1978, p. 90.
- ↑ Рабинович, 1978, p. 91.
- ↑ Новицкий, 1991, p. 88.
- ↑ Рабинович, 1978, p. 112.
- ↑ МИ 1317-2004 ГСИ. Рекомендация. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров / ВНИИМС. — Москва, 2004. — 53 с.
- ↑ Р 50.2.038-2004 Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей и неопределенности результата измерений / ВНИИМ. — 2011. — 11 с.
- ↑ 1 2 МИ 2083-90 ГСИ. Измерения косвенные определение результатов измерений и оценивание их погрешностей / ВНИИМ. — 11 с.
- ↑ Фридман, 2008, с. 129.
Литература[править | править код]
- Машиностроение. Энциклопедия. Измерения, контроль, испытания и диагностика / В. В. Клюев, Ф. Р. Соснин, В. Н. Филинов и др.; Под общей редакцией В. В. Клюева. — 2-е изд., перераб. и доп.. — М.: Машиностроение, 2001. — Т. III-7. — 464 с.
- Якушев А. И., Воронцов Л. Н., Федотов Н. М. Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения. — 6-е изд., перераб. и доп.. — М.: Машиностроение, 1986. — 352 с.
- Гольдин Л. Л., Игошин Ф. Ф., Козел С. М. и др. Лабораторные занятия по физике. Учебное пособие / под ред. Гольдина Л. Л.. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 704 с.
- Назаров Н. Г. Метрология. Основные понятия и математические модели. — М.: Высшая школа, 2002. — 348 с. — ISBN 5-06-004070-4.
- Деденко Л. Г., Керженцев В. В. Математическая обработка и оформление результатов эксперимента. — М.: МГУ, 1977. — 111 с. — 19 250 экз.
- Рабинович С. Г. Погрешности измерений. — Ленинград, 1978. — 262 с.
- Фридман А. Э. Основы метрологии. Современный курс. — Санкт-Петербург: НПО «Профессионал», 2008. — 284 с.
- Новицкий П. В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результатов измерений. — Л.: Энергоатомиздат, 1991. — 304 с. — ISBN 5-283-04513-7.
Ссылки[править | править код]
- Погрешность и неопределённость Архивная копия от 8 мая 2013 на Wayback Machine
- Что означает класс точности измерительного прибора Архивная копия от 5 июля 2014 на Wayback Machine
- Рекомендация МОЗМ № 34. Классы точности средств измерений
