Как найти погрешность при делении

Погрешность произведения

Пусть в результате измерений получено:

$$ x = x_0 pm Delta x, quad y = y_0 pm Delta y, quad x, y gt 0 $$

Найдём границы для произведения этих величин: z = xy

$$ {left{ begin{array}{c} x_0- Delta x le x le x_0+ Delta x \ y_0- Delta y le y le y_0+ Delta y end{array} right.} Rightarrow (x_0- Delta x)(y_0-Delta y) le xy le (x_0+ Delta x)(y_0+ Delta y) Rightarrow $$

$$ Rightarrow x_0 y_0-( Delta xy_0+x_0 Delta y- Delta x Delta y) le xy le x_0 y_0-( Delta xy_0+x_0 Delta y+ Delta x Delta y) $$

(О правилах умножения двух неравенств, см. §36 данного справочника).

Абсолютные погрешности $Delta x ≪ x_0, Delta y≪y_0$ заметно меньше $x_0$ и $ y_0$, поэтому будем считать, что произведение $Delta x Delta y approx 0$, и им можно пренебречь. Получаем:

$$ x_0 y_0-( Delta xy_0+x_0 Delta y) le xy le x_0 y_0-( Delta xy_0+x_0 Delta y) $$

$$ z = z_0 pm Delta z: z_0 = x_0 y_0, quad Delta z = Delta xy_0+x_0 Delta y $$

$$ δ_z = frac{Delta z}{z_0} = frac{Delta xy_0+x_0 Delta y}{x_0 y_0} = frac{Delta x}{x_0} + frac{Delta y}{y_0} = δ_x+δ_y $$

$$ δ_{xy} = δ_x+δ_y $$

При умножении приближенных величин их относительные погрешности складываются.

Погрешность степени

Пусть в результате измерений получено: $x = x_0 pm Delta x, x gt 0$

Тогда, для квадрата x из выражения для относительной погрешности произведения получаем: $δ_{x^2} = δ_x+δ_x = 2δ_x$.

Для куба: $δ_{x^3 } = δ_{x^2}+δ_x = 2δ_x+δ_x = 3δ_x$.

Для произвольной степени n:

$$ δ_{x^n} = n δ_x $$

При возведении приближенной величины в натуральную степень n, её относительная погрешность увеличивается в n раз.

Погрешность частного

Пусть в результате измерений получено:

$$x = x_0 pm Delta x, quad y = y_0 pm Delta y, quad x,y gt 0 $$

Найдём границы для частного этих величин: $z = frac{x}{y}$

$$ {left{ begin{array}{c} x_0- Delta x le x le x_0 + Delta x \ y_0- Delta y le y le y_0+ Delta y end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c}x_0- Delta x le x le x_0+ Delta x \ frac{1}{y_0-Delta y} ge frac{1}{y} ge frac{1}{y_0+ Delta y} end{array} right.} Rightarrow $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} x_0- Delta x le x le x_0+ Delta x \ frac{1}{y_0+ Delta y} le frac{1}{y} le frac{1}{y_0- Delta y} end{array} right.} Rightarrow frac{x_0- Delta x}{y_0+ Delta y} le frac{x}{y} le frac{x_0+ Delta x}{y_0- Delta y} Rightarrow $$

$$ Rightarrow frac{ (x_0- Delta x)(y_0- Delta y)}{(y_0+ Delta y)(y_0- Delta y)} le frac{x}{y} le frac{(x_0+ Delta x)(y_0+ Delta y)}{(y_0- Delta y)(y_0+ Delta y)} Rightarrow $$

$$ Rightarrow frac{x_0 y_0-( Delta xy_0+x_0 Delta y- Delta x Delta y)}{y_0^2- Delta y^2} le frac{x}{y} le frac{x_0 y_0+( Delta xy_0+x_0 Delta y+ Delta x Delta y)}{y_0^2- Delta y^2} $$

О правилах умножения двух неравенств и обращения положительных сторон, см. §36 данного справочника.

Считаем произведения и квадраты абсолютных погрешностей малыми величинами $Delta x Delta y approx 0, quad Delta y^2 approx 0$, которыми можно пренебречь. Получаем:

$$ frac{x_0 y_0-( Delta xy_0+x_0 Delta y)}{y_0^2} le frac{x}{y} le frac{x_0 y_0+( Delta xy_0+x_0 Delta y)}{y_0^2} $$

$$frac{x_0}{y_0} – left( frac{Delta x}{y_0} + frac{x_0 Delta y}{y_0^2} right) le frac{x}{y} le frac{x_0}{y_0} + left( frac{Delta x}{y_0} + frac{x_0 Delta y}{y_0^2} right) $$

$$ z = z_0 pm Delta z: z_0 = frac{x_0}{y_0}, Delta z = frac{Delta x}{y_0} + frac{x_0 Delta y}{y_0^2}$$

$$ δ_z = frac{Delta z}{z_0} = left( frac{Delta x}{y_0} + frac{x_0 Delta y}{y_0^2}right) : frac{x_0}{y_0} = left( frac{Delta x}{y_0} + frac{x_0 Delta y}{y_0^2}right) cdot frac{y_0}{x_0} = frac{Delta x}{x_0} + frac{Delta y}{y_0} = δ_x+δ_y $$

$$ δ_{frac{x}{y}} = δ_x+δ_y $$

При делении приближенных величин их относительные погрешности складываются.

Внимание!

Как при умножении, так и при делении приближённых величин, их относительные погрешности складываются.

Точность произведения или частного всегда меньше точности исходных величин.

Примеры

Пример 1. Точное значение выражения:

$$5,31 cdot 4,16+2,19 cdot 1,51 = 22,0896+3,3069 = 25,3965 $$

Считая все величины, входящие в выражение, приближёнными с абсолютной погрешностью $Delta$ x = 0,01, выясните, нужно ли округлять ответ.

Во сколько раз абсолютная погрешность результата больше абсолютной погрешности исходных данных? Во сколько раз относительная погрешность результата больше относительной погрешности сомножителя 5,31?

Обозначим a = 5,31, b = 4,16, c = 2,19, d = 1,51.

Относительные погрешности (округление с избытком):

$$δ_a = frac{0,01}{5,31} cdot 100 text{%} = 0,19 text{%}, quad δ_b = frac{0,01}{4,16} cdot 100 text{%} = 0,25 text{%} $$

$$δ_c = frac{0,01}{2,19} cdot 100 text{%} = 0,46 text{%}, quad δ_d = frac{0,01}{1,51} cdot 100 text{%} = 0,67 text{%} $$

Относительные погрешности произведений:

$$ δ_{ab} = δ_a+δ_b = 0,19 text{%} + 0,25 text{%} = 0,44 text{%} $$

$$ δ_{cd} = δ_c+δ_d = 0,46 text{%} +0,67 text{%} = 1,13 text{%} approx ↑ 1,2 text{%} $$

Абсолютные погрешности произведений:

$$ Delta_{ab} = δ_{ab} cdot ab = 0,0044 cdot 22,0896 approx 0,09719 approx ↑ 0,098 $$

$$ Delta_{cd} = δ_{cd} cdot cd = 0,012 cdot 3,3069 approx 0,03968 approx 0,040 $$

Оставляем в промежуточных оценках 2 значащие цифры для последующего округления. Абсолютная погрешность выражения:

$$ Delta_{ab+cd} = Delta_{ab} + Delta_{cd} = 0,098+0,040 = 0,138 approx ↑ 0,2 $$

Таким образом, ответ нужно округлить до десятых:

$$ 5,31 cdot 4,16+2,19 cdot 1,51 approx 25,4 ± 0,2 $$

Отношение абсолютной погрешности результата к погрешности исходных данных:

$ frac{0,2}{0,01} = 20$ – абсолютная погрешность увеличилась в 20 раз.

Относительная погрешность результата: $δ = frac{0,2}{25,4} cdot 100 text{%} approx 0,79 text{%} $

По отношению к $δ_a: frac{δ}{δ_a} = frac{0,79}{0,19} approx 4,2$ – относительная погрешность результата в 4,2 раза больше.

Пример 2. а) Границы приближенных величин $5 le x le 6,6 le y le 7$. Оцените сумму, разность, произведение и частное этих величин.

б) Считая x и y точными величинами, принимающими значения на заданных отрезках, найдите границы суммы, разности и произведения этих величин.

а) По условию:

$$ {left{ begin{array}{c} x_0-Delta x = 5 \ x_0+Delta x = 6 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 2x_0 = 5+6 = 11 \ 2 Delta x = 6-5 = 1 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} x_0 = 5,5 \ Delta x = 0,5 end{array} right.} Rightarrow δ_x = frac{0,5}{5,5} cdot 100 text{%} approx 9,1 text{%} $$

$$ {left{ begin{array}{c} y_0- Delta y = 6 \ y_0+ Delta y = 7 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 2y_0 = 6+7 = 13 \ 2 Delta y = 7-6 = 1 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} y_0 = 6,5 \ Delta y = 0,5 end{array} right.} Rightarrow δ_y = frac{0,5}{6,5} cdot 100 text{%} approx 7,7 text{%} $$

Абсолютная погрешность суммы: $Delta_{x+y} = Delta_x+Delta_y = 0,5+0,5 = 1$

$$ x+y = (5,5+6,5) pm 1 = 12 pm 1 $$

Границы суммы: $ 11 le x+y le 13$

Абсолютная погрешность разности: $Delta _{x-y} = Delta _x + Delta _y = 0,5+0,5 = 1$

$$ x-y = (5,5-6,5) pm 1 = -1 pm 1 $$

Границы разности: $-2 le x-y le 0$

Относительная погрешность произведения:

$$δ_{xy} = δ_x+δ_y = 9,1 text{%} +7,7 text{%} = 16,8 text{%} approx 17 text{%}$$

Абсолютная погрешность произведения:

$$ Delta_{xy} = δ_{xy} cdot x_0 y_0 = 0,17 cdot 5,5 cdot 6,5 = 6,0775 approx ↑ 7 $$

$$ xy = (5,5 cdot 6,5) pm 7 approx 36 pm 7 $$

Границы произведения: $29 le xy le 43$

Относительная погрешность частного:

$$ δ_{x/y} = δ_x+δ_y = 9,1 text{%} +7,7 text{%} = 16,8 text{%} approx 17 text{%} $$

Абсолютная погрешность частного:

$$ Delta_{frac{x}{y}} = δ_{frac{x}{y}} cdot frac{x_0}{y_0} = 0,17 cdot frac{5,5}{6,5} approx 0,14 approx ↑ 0,2 $$

$$ frac{x}{y} = left( frac{5,5}{6,5} right) pm 0,2 approx 0,8 pm 0,2 $$

Границы частного: $0,6 le frac{x}{y} le 1,0$

б) Для точных величин получаем следующие границы:

Границы суммы:

$$ {left{ begin{array}{c} 5 le x le 6 \ 6 le y le 7 end{array} right.} Rightarrow 5+6 le x+y le 6+7 Rightarrow 11 le x+y le 13 $$

Границы разности:

$$ {left{ begin{array}{c} 5 le x le 6 \ 6 le y le 7 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 5 le x le 6 \ -7 le -y le -6 end{array} right.} Rightarrow 5-7 le x-y le 6-6 Rightarrow -2 le x-y le 0 $$

Границы произведения:

$$ {left{ begin{array}{c} 5 le x le 6 \ 6 le y le 7 end{array} right.} Rightarrow 5 cdot 6 le xy le 6 cdot 7 Rightarrow 30 le xy le 42 $$

Границы частного:

$$ {left{ begin{array}{c} 5 le x le 6 \ 6 le y le 7 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 5 le x le 6 \ frac{1}{7} le frac{1}{y} le frac{1}{6} end{array} right.} Rightarrow frac{5}{7} le frac{x}{y} le 1 $$

Пример 3. В эксперименте по определению плотности вещества получен объём V = 9, 7 $pm$ 0,05 мл и масса m = 107 $pm$ 2 г. Найдите плотность.

Это свинец или железо?

Плотность:

$$ ρ = frac{m}{V}, ρ_0 = frac{m_0}{V_0} = frac{107 cdot 10^{-3} кг}{9,7 cdot 10^{-6} м^3} approx 11031 frac{кг}{м^3} $$

Относительные погрешности (округление с избытком):

$$ δ_V = frac{0,05}{9,7} cdot 100 text{%} approx 5,2 text{%}, δ_m = frac{2}{107} cdot 100 text{%} approx 1,9 text{%} $$

$$ δ_ρ = δ_V+δ_m = 5,2 text{%} +1,9 text{%} = 7,1 text{%} $$

Абсолютная погрешность для плотности (округление с избытком):

$$ Δ_ρ = δ_ρ cdot ρ_0 = 0,071 cdot 11031 approx 800 frac{кг}{м^3} $$

$$ ρ = 11000 pm 800 frac{кг}{м^3} $$

Это – свинец (табличное значение $ρ_{таб} = 11340 frac{кг}{м^3}$ ).

Как делить погрешности?

Gelo



Знаток

(396),
закрыт



14 лет назад

Есть 2 числа:
х = 82 +/- 4
у = 56 +/- 3
найти z = х / у
Знаю что делить основные значения надо напрямую ( 82 / 56 ), а что делать с погрешностями (+/-4, +/-3) в этом случае не знаю.

YS

Мудрец

(10678)


14 лет назад

При сложении и вычитании абсолютные погрешности складываются.

При умножении и делении относительные погрешности складываются.

При возведении в степень относительные погрешности умножаются на абсолютную величину показателя степени.

При отыскании значения функции абсолютная погрешность функции равна произведению абсолютной погрешности аргумента на абсолютную величину производной.

Погрешность
частного
:
относительная погрешность частного
не превышает суммы относительных
погрешностей делимого и делителя.

Пример.
Найти частное u = 25.7 / 3.6, если все написанные
знаки делимого и делителя верны.

Решение.
u = 25.7 / 3.6 = 7.14 . du = dx1 + dx2 = 0.05/25.7 + 0.05/3.6 =
0.002 + 0.014 = 0.016 . Так как u = 7.14, то Du = 0.016 ·
7.14 = 0.11 . Поэтому u = 7.14 ± 0.11 .

21. Абсолютная и относительная погрешности деления.

Для
частного двух чисел вычисления будут
аналогичными.

Находим
натуральный логарифм и его частные
производные


,


следовательно, предельная
относительная погрешность
 частного
равна сумме предельных относительных
погрешностей делимого и делителя.

Абсолютная
погрешность
 результата
вычисления функции нескольких
приближенных чисел равна сумме
произведений модуля частной производной
функции на абсолютную
погрешность
приближенного числа.

24. Методы центральных прямоугольников, трапеций и Симпсона вычисления определенных интегралов: расчетные формулы, порядок точности, оценка погрешности, вычисление погрешности по правилу Рунге.

Требуется
найти

с
той или иной степенью точности. Известны
три классических способа сделать это.

Способ
№ 1
: метод
прямоугольников
.
Отрезок

разбивается на

равных частей:

длиной

,
где


.

Затем
на каждом участке

функция

заменяется на константу

,
после чего искомый интеграл заменяется
на интеграл от новой ступенчатой
функции, т.е. на число


.

Можно
доказать, что справедлива следующая
оценка:


,

где

– максимум модуля первой производной
функции

на отрезке

.

Способ
№ 2
: метод
трапеций
.

В
этом методе искомый интеграл после
разбиения отрезка на равные части
заменяется на следующую сумму (суммируются
площади трапеций, а не прямоугольников,
как в предыду-щем случае):


,

где

Можно доказать, что если

– исходный обсуждаемый интеграл,то


,

где

на отрезке

.

: Способ
3: метод
парабол(
Cимпсона).
В этой ситуации отрезок

разбивается на

равных частей:

,
где


.
На участках

,
функцию

заменяют
на параболу, проходящую через точки

и интегралом от этой параболы на участке

заменяют интеграл от функции

на этом же участке, после чего все эти
интегралы суммируют и результаты
принимают за интеграл от

по всему отрезку

.
Полученная приближенная формула
называется формулой
парабол
или
формулой
Симпсона
.
Вот ее окончательный

вид:


.

Если
левую часть этого приближенного
равенства обозначить через I
а правую – через S,
то окажется выполненной следующая
формула для оценки погрешности:


,

где

– максимум на интервале

четвертой
производной функции

.

существует
еще один широко применяемый метод –
метод Рунге-Кутта, который, как правило,
быстрее приводит к числу

,
чем метод Эйлера. Сформулируем действия
по методу Рунге-Кутта:


шаг
. Фиксируем
точность, с которой нужно найти значение

.
Обозначим это число через

.
Поясним, что это означает, что числа,
отличающиеся меньше, чем на

,
считаются одинаковыми.

2й
шаг
. Фиксируем
произвольное

и разделим отрезок

на

равных частей:

,
где

.


шаг
. Построим
последовательность чисел


,
где

и

в
которой, напомним,

.
Обозначим

через

.


шаг
. Заменим

на

и повторим шаги 2 и 3. Полученное число

(т.е. послед-нее из вычисляемых на шаге
3) обозначим теперь через

.


шаг
. Если
окажется, что числа

и

отличаются друг от друга меньше, чем
на

,
то число

считается найденным и равным

.
В противном случае переобозначим

через

и вернемся к шагу 4.

Можно
доказать, что когда
функция

из
(7.4.1) имеет
непрерывные частные производные,
описанный процесс обязательно конечен
и ответ находится действительно с любой
наперед заданной точностью.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Абсолютная и относительная погрешность


Абсолютная и относительная погрешность

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2177.

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2177.

Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.

Опыт работы учителем математики – более 33 лет.

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Относительная погрешность

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.

Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 7 %. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10 % и 0,1 %. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10 %. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1 %.

Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

  • при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
  • при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
  • при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.

Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

Заключение

Что мы узнали?

Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.

Тест по теме

Доска почёта

Доска почёта

Чтобы попасть сюда – пройдите тест.

  • Светлана Лобанова-Асямолова

    10/10

  • Валерий Соломин

    10/10

  • Анастасия Юшкова

    10/10

  • Ксюша Пономарева

    7/10

  • Паша Кривов

    10/10

  • Евгений Холопик

    9/10

  • Guzel Murtazina

    10/10

  • Максим Аполонов

    10/10

  • Olga Bimbirene

    9/10

  • Света Колодий

    10/10

Оценка статьи

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2177.


А какая ваша оценка?

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением. Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Видео

Абсолютная и относительная погрешности

Абсолютная погрешность величины — это разница между ней и принятым точным значением. Чтобы определить этот показатель, из большего числа вычитают меньшее. Единицы обозначения такие же, как и для основной величины. В формулах обозначается греческой буквой дельта и исследуемой величиной.

Пример: В пакете находится 478 граммов сахара. Это число можно округлить до 500. В этом случае абсолютная погрешность приближения будет 500 — 478 =22 г

Для вычислений разработана специальная формула: Δа=А-а,

где А — это точная величина,

а — приближенная, это число, которое немного отличается от точного.

Результаты вычисления записывают со знаком ±. Например, длина бумажного рулона составляет 25 м ± 5 см. Наибольшее значение абсолютной погрешности принято называть ее пределом.

Чтобы получить измерения высокой точности, рассчитать абсолютную погрешность недостаточно. Если измерять предмет длиной 30 см и допустить неточность в 1 см, ее величина будет значительной. При измерении 30-метрового участка дороги то же самое отклонение в 1 см допускается, такое измерение будет наиболее точным. При вычислении ускорения свободного падения с помощью маятника неточность не превышает 10 -5 м/с. 2

Относительная погрешность — условная величина, равная отношению абсолютной к самому числу.

Пример: количество сахара в пакете равно 478 граммов, абсолютная погрешность составляет 22 грамма, относительная равняется 22: 478 = 0, 046. Если перевести в проценты, получается 4,6%. Для отрезка длиной 10 см погрешность в 1 см будет составлять 10%, а для отрезка в 1 м такая же абсолютная величина составит всего 1%. Относительная оценка считается наиболее точной.

Относительная погрешность может быть случайной, возникающей под действием внешних факторов. Ее размер зависит от способа нахождения.

Что мы узнали?

Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

  • при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
  • при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
  • при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.

Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

Измерительные приборы

Устройства, с помощью которых измеряют физические величины, называют измерительными приборами.

Простейший и хорошо известный вам измерительный прибор — линейка с делениями. На ее примере вы видите, что у измерительного прибора есть шкала, на которой нанесены деления, причем возле некоторых делений написано соответствующее значение физической величины. Так, значения длины в сантиметрах нанесены на линейке возле каждого десятого деления (рис. 3.11). Значения же, соответствующие «промежуточным» делениям шкалы, можно найти с помощью простого подсчета.

Разность значений физической величины, которые соо

Разность значений физической величины, которые соответствуютближайшим делениям шкалы, называют ценой деления прибора. Ёе находят так: берут ближайшие деления, возле которых написаны значения величины, и делят разность этих значений на количество промежутков между делениями, расположенными между ними.

Теги

Добавить комментарий