Как найти погрешность расчета

1. 

   1

   Выражайте погрешность правильно. Допустим, при измерении палки ее длина равна 4,2 см плюс-минус один миллиметр. Это означает, что палка примерно равна 4,2 см, но на самом деле может быть немного меньше или больше этого значения — с погрешностью до одного миллиметра.

   • Запишите погрешность как: 4,2 см ± 0,1 см. Вы также можете переписать это как 4,2 см ± 1 мм, так как 0,1 см = 1 мм.

2. 

   2

   Всегда округляйте значения измерений до того же знака после запятой, что и в погрешности. Результаты измерений, которые учитывают погрешность, как правило, округляются до одной или двух значащих цифр. Наиболее важным моментом является то, что нужно округлить результаты до того же знака после запятой, что и в погрешности, чтобы сохранить соответствие.

   • Если результат измерения 60 см, то и погрешность следует округлять до целого числа. Например, погрешность этого измерения может быть 60 см ± 2 см, но не 60 см ± 2,2 см.
   • Если результат измерения 3,4 см, то погрешность округляется до 0,1 см. Например, погрешность этого измерения может быть 3,4 см ± 0,7 см, но не 3,4 см ± 1 см.

3. 

   3

   Найдите погрешность. Допустим, вы измеряете линейкой диаметр круглого шара. Это сложно, так как из-за кривизны шара будет трудно померить расстояние между двумя противоположными точками на его поверхности. Скажем, линейка может дать результат с точностью до 0,1 см, но это не значит, что вы можете измерить диаметр с той же точностью.^[1]
   

   • Изучите шар и линейку, чтобы получить представление о том, с какой точностью вы можете измерить диаметр. У стандартной линейки четко видна разметка по 0,5 см, но, возможно, вы сможете измерить диаметр с большей точностью, чем эта. Если вы думаете, что сможете измерить диаметр с точностью до 0,3 см, то погрешность в этом случае равна 0,3 см.
   • Измерим диаметр шара. Допустим, вы получили результат около 7,6 см. Просто укажите результат измерения вместе с погрешностью. Диаметр шара составляет 7,6 см ± 0,3 см.

4. 

   4

   Рассчитайте погрешность измерения одного предмета из нескольких. Скажем, вам даны 10 компакт-дисков (CD), при этом размеры каждого одинаковы. Допустим, вы хотите найти толщину всего одного CD. Эта величина настолько мала, что погрешность практически невозможно вычислить. Тем не менее, чтобы вычислить толщину (и ее погрешность) одного CD, вы можете просто разделить результат измерения (и его погрешность) толщины всех 10 CD, сложенных вместе (один на другого), на общее количество CD.^[2]
   

   • Допустим, что точность измерения стопки CD с помощью линейки 0,2 см. Итак, ваша погрешность ± 0,2 см.
   • Допустим, толщина всех CD равна 22 см.
   • Теперь разделим результат измерения и погрешность на 10 (число всех CD). 22 см/10 = 2,2 см и 0,2 см/10 = 0,02 см. Это означает, что толщина одного компакт-диска 2,20 см ± 0,02 см.

5. 

   5

   Измерьте несколько раз. Для повышения точности измерений, будь то измерение длины или времени, замерьте искомую величину несколько раз. Вычисление среднего значения из полученных значений увеличит точность измерения и расчета погрешности.

   Реклама

1. 

   1

   Проведите несколько измерений. Допустим, вы хотите найти, сколько времени падает мяч с высоты стола. Чтобы получить наилучшие результаты, измерьте время падения насколько раз, например, пять. Потом нужно найти среднее значение из пяти полученных значений измерений времени, а затем для наилучшего результата добавить или вычесть среднеквадратичное отклонение.^[3]
   

   • Допустим, в результате пяти измерений получены результаты: 0,43 с, 0,52 с, 0,35 с, 0,29 с и 0,49 с .

2. 

   2

   Найдите среднее арифметическое. Теперь найдите среднее арифметическое путем суммирования пяти различных результатов измерений и разделив результат на 5 (количество измерений). 0,43 + 0,52 + 0,35 + 0,29 + 0,49 = 2,08 с. 2,08 / 5 = 0,42 с. Среднее время 0,42 с.

3. 

   3

   Найдите дисперсию полученных значений. Для этого, во-первых, найдите разницу между каждой из пяти величин и средним арифметическим. Чтобы сделать это, вычтите из каждого результата 0,42 с.^[4]
   

   • • 0,43 с – 0,42 с = 0,01 с
     • 0,52 с – 0,42 с = 0,1 с
     • 0,35 с – 0,42 с = -0,07 с
     • 0,29 с – 0,42 с = -0,13 с
     • 0,49 с – 0,42 с = 0,07 с
     • Теперь сложите квадраты этих разниц: (0,01) ² + (0,1) ² + (-0,07) ² + (-0,13) ² + (0,07) ² = 0,037 с.
     • Найти среднее арифметическое этой суммы можно, разделив ее на 5: 0,037 / 5 = 0,0074 с.

4. 

   4

   Найдите среднеквадратичное отклонение. Чтобы найти среднеквадратичное отклонение, просто возьмите квадратный корень из среднего арифметического суммы квадратов. Квадратный корень из 0,0074 = 0,09 с, так что среднеквадратичное отклонение равно 0,09 с.^[5]
   

5. 

   5

   Запишите окончательный ответ. Чтобы сделать это, запишите среднее значение всех измерений плюс-минус среднеквадратичное отклонение. Поскольку среднее значение всех измерений равно 0,42 с, а среднеквадратичное отклонение 0,09 с, то окончательный ответ 0,42 с ± 0,09 с.

   Реклама

1. 

   1

   Сложение. Чтобы сложить величины с погрешностями, сложите отдельно величины и отдельно погрешности.^[6]
   

   • (5 см ± 0,2 см) + (3 см ± 0,1 см) =
   • (5 см + 3 см) ± (0,2 см + 0,1 см) =
   • 8 см ± 0,3 см

2. 

   2

   Вычитание. Чтобы вычесть величины с погрешностями, вычтите величины и сложите погрешности.^[7]
   

   • (10 см ± 0,4 см) – (3 см ± 0,2 см) =
   • (10 см – 3 см) ± (0,4 см + 0,2 см) =
   • 7 см ± 0,6 см

3. 

   3

   Умножение. Чтобы умножить величины с погрешностями, перемножьте величины и сложите ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ погрешности (в процентах).^[8]
   Рассчитать можно только относительную погрешность, а не абсолютную, как и в случае со сложением и вычитанием. Чтобы узнать относительную погрешность, разделите абсолютную погрешность на измеренное значение, затем умножьте на 100, чтобы выразить результат в процентах. Например:

   • (6 см ± 0,2 см) = (0,2 / 6) x 100 — добавив знак процента, получаем 3,3 %.
     Следовательно:
   • (6 см ± 0,2 см) х (4 см ± 0,3 см) = (6 см ± 3,3 % ) x (4 см ± 7,5 %)
   • (6 см x 4 см) ± (3,3 + 7,5) =
   • 24 см ± 10,8 % = 24 см ± 2,6 см

4. 

   4

   Деление. Чтобы разделить величины с погрешностями, разделите величины и сложите ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ погрешности.^[9]
   

   • (10 см ± 0,6 см) ÷ (5 см ± 0,2 см) = (10 см ± 6 %) ÷ (5 см ± 4 %)
   • (10 см ÷ 5 см) ± (6 % + 4 %) =
   • 2 см ± 10 % = 2 см ± 0,2 см

5. 

   5

   Возведение в степень. Для того, чтобы возвести в степень величину с погрешностью, возведите величину в степень, а относительную погрешность умножьте на степень.^[10]
   

   • (2,0 см ± 1,0 см)³ =
   • (2,0 см)³ ± (50 %) x 3 =
   • 8,0 см³ ± 150 % или 8,0 см³ ±12 см³

   Реклама

Советы

• Вы можете дать погрешность как для общего результата всех измерений, так и для каждого результата одного измерения в отдельности. Как правило, данные, полученные из нескольких измерений, менее достоверны, чем данные, полученные непосредственно из отдельных измерений.

Реклама

Предупреждения

• Точные науки никогда не работают с «истинными» величинами. Хотя правильное измерение, скорее всего, даст величину в пределах погрешности, нет никакой гарантии, что это будет так. Научные измерения допускают возможность ошибок.
• Погрешности, описанные здесь, применимы только для случаев нормального распределения (распределения Гаусса). Другие распределения вероятностей требуют других решений.

Реклама

1. Шкала измерительного прибора
2. Цена деления
3. Виды измерений
4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
5. Абсолютная погрешность серии измерений
6. Представление результатов эксперимента
7. Задачи

п.1. Шкала измерительного прибора

Шкала – это показывающая часть измерительного прибора, состоящая из упорядоченного ряда отметок со связанной с ними нумерацией. Шкала может располагаться по окружности, дуге или прямой линии.

Примеры шкал различных приборов:

п.2. Цена деления

Цена деления измерительного прибора равна числу единиц измеряемой величины между двумя ближайшими делениями шкалы. Как правило, цена деления указана на маркировке прибора.

Алгоритм определения цены деления
Шаг 1. Найти два ближайшие пронумерованные крупные деления шкалы. Пусть первое значение равно a, второе равно b, b > a.
Шаг 2. Посчитать количество мелких делений шкалы между ними. Пусть это количество равно n.
Шаг 3. Разделить разницу значений крупных делений шкалы на количество отрезков, которые образуются мелкими делениями: $$ triangle=frac{b-a}{n+1} $$ Найденное значение (triangle) и есть цена деления данного прибора.

Пример определения цены деления:

Определим цену деления основной шкалы секундомера. Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале:a = 5 c b = 10 cМежду ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления. Цена деления: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}\ triangle=frac{10-5}{24+1}=frac15=0,2 c end{gather*}

п.3. Виды измерений

п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность

Погрешность измерений – это отклонение измеренного значения величины от её истинного значения.

Инструментальная погрешность измерений принимается равной половине цены деления прибора: $$ d=frac{triangle}{2} $$

Если величина (a_0) – это истинное значение, а (triangle a) – погрешность измерения, результат измерений физической величины записывают в виде (a=a_0pmtriangle a).

Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины: $$ triangle a=|a-a_0| $$

Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению, выраженное в процентах, называют относительной погрешностью измерения: $$ delta=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%} $$

Относительная погрешность является мерой точности измерения: чем меньше относительная погрешность, тем измерение точнее. По абсолютной погрешности о точности измерения судить нельзя.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком, т.е. всегда в сторону увеличения.

Значащие цифры – это все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.

Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.

В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:

• определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
• определение объема с помощью мензурки.

Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:

Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{1+1}=0,5 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,5}{2}=0,25 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,00pm 0,25) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,25}{4,00}cdot 100text{%}=6,25text{%}approx 6,3text{%} $$

Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{9+1}=0,1 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,1}{2}=0,05 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4,15 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,15pm 0,05) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,05}{4,15}cdot 100text{%}approx 1,2text{%} $$

Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.

п.5. Абсолютная погрешность серии измерений

Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).

Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.

Алгоритм определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений
Шаг 1. Проводим серию из (N) измерений, в каждом из которых получаем значение величины (x_1,x_2,…,x_N)
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений: $$ x_0=x_{cp}=frac{x_1+x_2+…+x_N}{N} $$ Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения: $$ triangle_1=|x_0-x_1|, triangle_2=|x_0-x_2|, …, triangle_N=|x_0-x_N| $$ Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений: $$ triangle_{cp}=frac{triangle_1+triangle_2+…+triangle_N}{N} $$ Шаг 5. Сравниваем полученную величину (triangle_{cp}) c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность: $$ triangle x=maxleft{triangle_{cp}; dright} $$ Шаг 6. Записываем результат серии измерений: (x=x_0pmtriangle x).

Сначала находим среднее значение всех измерений: begin{gather*} m_0=frac{99,8+101,2+100,3}{3}=frac{301,3}{3}approx 100,4 text{г} end{gather*} Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности (m_0) и измерения. begin{gather*} triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\ triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\ triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 end{gather*} Находим среднее абсолютное отклонение: begin{gather*} triangle_{cp}=frac{0,6+0,8+0,1}{3}=frac{1,5}{3}=0,5 text{(г)} end{gather*} Мы видим, что полученное значение (triangle_{cp}) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: begin{gather*} triangle m=maxleft{triangle_{cp}; dright}=maxleft{0,5; 0,05right} text{(г)} end{gather*} Записываем результат: begin{gather*} m=m_0pmtriangle m\ m=(100,4pm 0,5) text{(г)} end{gather*} Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): begin{gather*} delta_m=frac{0,5}{100,4}cdot 100text{%}approx 0,050text{%} end{gather*}

п.6. Представление результатов эксперимента

Результат измерения представляется в виде $$ a=a_0pmtriangle a $$ где (a_0) – истинное значение, (triangle a) – абсолютная погрешность измерения.

Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.

Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.

п.7. Задачи

Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):

Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.

Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка