Погре́шность измере́ния — отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения. Погрешность измерения является характеристикой точности измерения.
Выяснить с абсолютной точностью истинное значение измеряемой величины, как правило, невозможно, поэтому невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. Это отклонение принято называть ошибкой измерения.[1] Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. На практике вместо истинного значения используют действительное значение величины хд, то есть значение физической величины, полученное экспериментальным путём и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него[1]. Такое значение обычно вычисляется как среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому при записи результатов измерений необходимо указывать их точность. Например, запись T = 2,8 ± 0,1 с; P = 0,95 означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2,7 с до 2,9 с с доверительной вероятностью 95 %.
Количественная оценка величины погрешности измерения — мера «сомнения в измеряемой величине» — приводит к такому понятию, как «неопределённость измерения». В то же время иногда, особенно в физике, термин «погрешность измерения» (англ. measurement error) используется как синоним термина «неопределённость измерения» (англ. measurement uncertainty)[2].
Классификация погрешностей измерений[править | править код]
По способу выражения[править | править код]
- Абсолютная погрешность[3]
- Абсолютной погрешностью называют величину, выраженную в единицах измеряемой величины. Её можно описать формулой
Вместо истинного значения измеряемой величины на практике пользуются действительным значением
которое достаточно близко к истинному и которое определяется экспериментальным путём и может приниматься вместо истинного. Из-за того, что истинное значение величины всегда неизвестно, можно лишь оценить границы, в которых лежит погрешность, с некоторой вероятностью. Такая оценка выполняется методами математической статистики[4].
- Относительная погрешность[3]
- Относительная погрешность выражается отношением
Относительная погрешность является безразмерной величиной; её численное значение может указываться, например, в процентах.
По источнику возникновения[править | править код]
- Инструментальная погрешность[5]
- Эта погрешность определяется несовершенством прибора, возникающим, например, из-за неточной калибровки.
- Методическая погрешность[5]
- Методической называют погрешность, обусловленную несовершенством метода измерений. К таким можно отнести погрешности от неадекватности принятой модели объекта или от неточности расчётных формул.
- Субъективная погрешность[5]
- Субъективной является погрешность, обусловленная ограниченными возможностями, ошибками человека при проведении измерений: проявляется, например, в неточностях при отсчёте показаний со шкалы прибора.
По характеру проявления[править | править код]
- Случайная погрешность
- Это составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом в серии повторных измерений одной и той же величины, проведённых в одних и тех же условиях. В появлении таких погрешностей не наблюдается какой-либо закономерности, они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов. Случайные погрешности неизбежны, всегда присутствуют в результате измерения, однако их влияние обычно можно устранить статистической обработкой. Описание случайных погрешностей возможно только на основе теории случайных процессов и математической статистики.
Математически случайную погрешность, как правило, можно представить белым шумом: как непрерывную случайную величину, симметричную относительно нуля, независимо возникающую в каждом измерении (некоррелированную по времени).
Основным свойством случайной погрешности является то, что искажения искомой величины можно уменьшить путём усреднения данных. Уточнение оценки искомой величины при увеличении количества измерений (повторных экспериментов) означает, что среднее случайной погрешности при увеличении объёма данных стремится к 0 (закон больших чисел).
Часто случайные погрешности возникают из-за одновременного действия многих независимых причин, каждая из которых в отдельности слабо влияет на результат измерения. По этой причине распределение случайной погрешности часто полагают «нормальным» (см. «Центральная предельная теорема»). «Нормальность» позволяет использовать в обработке данных весь арсенал математической статистики.
Однако априорная убеждённость в «нормальности» на основании центральной предельной теоремы не согласуется с практикой — законы распределения ошибок измерений весьма разнообразны и, как правило, сильно отличаются от нормального.[источник не указан 726 дней]
Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством приборов (например, с трением в механических приборах), с тряской в городских условиях, с несовершенством самого объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления).
- Систематическая погрешность
- Это погрешность, изменяющаяся по определённому закону (в частности, постоянная погрешность, не изменяющаяся от измерения к измерению). Систематические погрешности могут быть связаны с неисправностью или несовершенством приборов (неправильная шкала, калибровка и т. п.), неучтёнными экспериментатором.
Систематическую ошибку нельзя устранить повторными измерениями. Её устраняют либо с помощью поправок, либо «улучшением» эксперимента.
Деление погрешностей на случайные и систематические достаточно условно. Например, ошибка округления при определённых условиях может носить характер как случайной, так и систематической ошибки.
- Грубая погрешность
- Так называют погрешность, существенно превышающую ожидаемую. Как правило она проявляется в результате явной ошибки в проведении измерений, что обнаруживается при повторных проверках. Результат измерения с грубой погрешностью исключают из рассмотрения и не используют при дальнейшей математической обработке[6].
Оценка погрешности при прямых измерениях[править | править код]
При прямых измерениях искомая величина определяется непосредственно по отсчётному устройству (шкале) средства измерения. В общем случае измерения проводятся по определённому методу и при помощи некоторых средств измерений. Эти компоненты несовершенны и вносят свой вклад в погрешность измерения[7]. Если тем или иным путём погрешность измерения (с конкретным знаком) удаётся найти, то она представляет собой поправку, которую просто исключают из результата. Однако достичь абсолютно точного результата измерения невозможно, и всегда остаётся некоторая «неопределённость», которую можно обозначить, оценив границы погрешности[8]. В России методики оценки погрешности при прямых измерениях стандартизированы ГОСТом Р 8.736-2011[9] и Р 50.2.038-2004[10].
В зависимости от имеющихся исходных данных и свойств погрешностей, которые подвергаются оценке, используют различные способы оценки. Случайная погрешность, как правило, подчиняется закону нормального распределения, для нахождения которого необходимо указать математическое ожидание 
Доверительные границы 
Систематические погрешности в силу своего определения не могут быть оценены путём проведения многократных измерений[12]. Для составляющих систематической погрешности, обусловленной несовершенством средств измерений, как правило, известны только их границы, представленные, например, основной погрешностью средства измерения[13].
Итоговая оценка границ погрешности получается суммированием вышеприведённых «элементарных» составляющих, которые рассматриваются как случайные величины. Эта задача может быть математически решена при известных функциях распределений этих случайных величин. Однако в случае систематической погрешности такая функция, как правило, неизвестна и форму распределения этой погрешности задают как равномерную[14]. Основная трудность заключается в необходимости построения многомерного закона распределения суммы погрешностей, что практически невозможно уже при 3—4 составляющих. Поэтому используются приближённые формулы[15].
Суммарную неисключённую систематическую погрешность (метода, средств измерения, других источников), когда она состоит из нескольких 
(если
);
(если
),
- где коэффициент
для доверительной вероятности
равен 1,1.
Суммарная погрешность измерения, определяемая случайной и систематической составляющей, оценивается как[16][9]:
или
,
- где
или
Окончательный результат измерения записывается как[17][9][18][19] 
Оценка погрешности при косвенных измерениях[править | править код]
При косвенных измерениях искомая величина не измеряется непосредственно — вместо этого она вычисляется по известной функциональной зависимости (формуле) от величин (аргументов), получаемых прямыми измерениями. Для линейной зависимости методика проведения таких измерений математически строго разработана[20]. При нелинейной зависимости применяются методы линеаризации или приведения. В России методика расчёта погрешности при косвенных измерениях стандартизирована в МИ 2083-90[19].
См. также[править | править код]
- Измерение
- Класс точности
- Метрология
- Отклонение от круглости
- Мультипликативная погрешность
- Неопределённость измерения
Примечания[править | править код]
- ↑ 1 2 В ряде источников, например в Большой советской энциклопедии, термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы, но, согласно рекомендации РМГ 29-99, термин ошибка измерения, считающийся менее удачным, не рекомендуется применять, а РМГ 29-2013 его вообще не упоминает. См. «Рекомендации по межгосударственной сертификации 29-2013. ГСИ. Метрология. Основные термины и определения Архивная копия от 8 сентября 2016 на Wayback Machine».
- ↑ Olive K. A. et al. (Particle Data Group). 38. Statistics. — В: 2014 Review of Particle Physics // Chin. Phys. C. — 2014. — Vol. 38. — P. 090001.
- ↑ 1 2 Фридман, 2008, с. 42.
- ↑ Фридман, 2008, с. 41.
- ↑ 1 2 3 Фридман, 2008, с. 43.
- ↑ Клюев, 2001, p. 15.
- ↑ Рабинович, 1978, p. 19.
- ↑ Рабинович, 1978, p. 22.
- ↑ 1 2 3 4 5 ГОСТ Р 8.736-2011 ГСИ. Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения / ВНИИМ. — 2011.
- ↑ Р 50.2.038-2004 ГСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей и неопределенности результата измерений. Дата обращения: 9 марта 2021. Архивировано 24 июля 2020 года.
- ↑ Рабинович, 1978, p. 61.
- ↑ Фридман, 2008, с. 82.
- ↑ Рабинович, 1978, p. 90.
- ↑ Рабинович, 1978, p. 91.
- ↑ Новицкий, 1991, p. 88.
- ↑ Рабинович, 1978, p. 112.
- ↑ МИ 1317-2004 ГСИ. Рекомендация. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров / ВНИИМС. — Москва, 2004. — 53 с.
- ↑ Р 50.2.038-2004 Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей и неопределенности результата измерений / ВНИИМ. — 2011. — 11 с.
- ↑ 1 2 МИ 2083-90 ГСИ. Измерения косвенные определение результатов измерений и оценивание их погрешностей / ВНИИМ. — 11 с.
- ↑ Фридман, 2008, с. 129.
Литература[править | править код]
- Машиностроение. Энциклопедия. Измерения, контроль, испытания и диагностика / В. В. Клюев, Ф. Р. Соснин, В. Н. Филинов и др.; Под общей редакцией В. В. Клюева. — 2-е изд., перераб. и доп.. — М.: Машиностроение, 2001. — Т. III-7. — 464 с.
- Якушев А. И., Воронцов Л. Н., Федотов Н. М. Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения. — 6-е изд., перераб. и доп.. — М.: Машиностроение, 1986. — 352 с.
- Гольдин Л. Л., Игошин Ф. Ф., Козел С. М. и др. Лабораторные занятия по физике. Учебное пособие / под ред. Гольдина Л. Л.. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 704 с.
- Назаров Н. Г. Метрология. Основные понятия и математические модели. — М.: Высшая школа, 2002. — 348 с. — ISBN 5-06-004070-4.
- Деденко Л. Г., Керженцев В. В. Математическая обработка и оформление результатов эксперимента. — М.: МГУ, 1977. — 111 с. — 19 250 экз.
- Рабинович С. Г. Погрешности измерений. — Ленинград, 1978. — 262 с.
- Фридман А. Э. Основы метрологии. Современный курс. — Санкт-Петербург: НПО «Профессионал», 2008. — 284 с.
- Новицкий П. В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результатов измерений. — Л.: Энергоатомиздат, 1991. — 304 с. — ISBN 5-283-04513-7.
Ссылки[править | править код]
- Погрешность и неопределённость Архивная копия от 8 мая 2013 на Wayback Machine
- Что означает класс точности измерительного прибора Архивная копия от 5 июля 2014 на Wayback Machine
- Рекомендация МОЗМ № 34. Классы точности средств измерений
Отметим, что погрешности измерений
определяются, главным образом,
погрешностями средств измерений, но
они не тождественны им.
В общем случае погрешность средства
измерений(меры измерительного
преобразователя, измерительного прибора)
– это отклонение его реальной функции
преобразования от номинальной.
Отклонения реальной характеристики от
номинальной, отсчитанные вдоль оси
Х или оси У, т. е. разности вида y
= Ур– Унилиx
= Хр– Хн, естьабсолютные
погрешности преобразования, выраженные
в единицах величин Х или У (рис. 1).
Мерой точности абсолютная погрешность
быть не может, т. к., например, Х
= 0.5 мм при измерении высоты пенного слоя
пульпы, равной Х = 200 мм, достаточно мала,
а при измерении толщины листа стали,
при Х = 1 мм, эта погрешность очень велика.
Абсолютная погрешность измерительного
прибора XП– это разность между показанием прибора
ХПи истинным (действительным) ХДзначением измеряемой величины:
XП= ХП– ХД.
Рис. 1. К пояснению понятия абсолютной
погрешности
При этом за действительное значение
физической величины при оценке погрешности
рабочего средства измерений принимают
показания образцового средства
измерений, при оценке погрешности
образцового средства – показания,
полученные с помощью эталонного средства
измерений.
Абсолютная погрешность измерительного
преобразователя по входу– это
разность между значением величины на
входе преобразователя ХВи истинным
(действительным) значением этой величины
на входе ХВД. При этом значение
величины на входе ХВопределяется
по истинному (действительному)
значению величины на выходе преобразователя
с помощью градуировочной характеристики,
приписанной преобразователю. Таким
образом,
ХВ=Х*ВД – ХВД,
где ХВ–
погрешность измерительного преобразователя
по входу;
Х*ВД – истинное (действительное)
значение величины на выходе, найденное
по градировочной характеристике
преобразователя;
ХВД– истинное (действительное)
значение преобразуемой величины на
входе.
Абсолютная погрешность измерительного
преобразователя по выходу– это
разность между истинным (действительным)
значением величины преобразователя
на выходеDХВЫХ.Д
и значением величины на выходе
Х*ВЫХ.Д, определяемым по истинному
(действительному) значению величины
на входе с помощью градуировочной
характеристики, приписанной преобразователю.
Таким образом,
DХВЫХ.П = ХВЫХ.Д
– Х*ВЫХ.Д ,
где DХВЫХ.П–
погрешность измерительного преобразователя
по выходу;
ХВЫХ.Д – действительное значение
преобразуемой величины на выходе
преобразователя;
Х*ВЫХ.Д – действительное значение
преобразуемой величины на выходе,
определяемое по действительному значению
ее на входе с помощью градуировочной
характеристики.
Абсолютная погрешность– это разность
между номинальным значением меры ХН и
истинным (действительным) ХД воспроизводимой
ею величины, т. е.
ХМ= ХН– ХД,
где ХМ–
абсолютная погрешность мepы;
ХН– номинальное значение
мepы;
ХД– действительное значение
воспроизводимой мерой величины.
Пример. Погрешность меры длины (линейки)
с номинальным значением 100 мм и
действительным значением 100,0006 мм равна
0,6 мкм; погрешность меры сопротивления
с номинальным значением 1 Ом и действительным
значением 1,0001 Ом равна 0,0001 Ом.
Относительная погрешность меры или
измерительного прибора(П)
– это отношение абсолютной погрешности
меры или измерительного прибора к
истинному (действительному) значению
воспроизводимой или измеряемой
величины.
Относительная погрешность меры или
измерительного прибора, в процентах,
может быть выражена как:
.
Относительная погрешность измерительного
преобразователя по входу (выходу) –
это отношение абсолютной погрешности
измерительного преобразователя по
входу (выходу) к истинному
(действительному) значению величины на
входе (выходе), определяемому по истинному
значению величины на входе (выходе) с
помощью номинальной характеристики,
приписанной преобразователю.
Итак, относительная погрешность средства
измерений, выражаемая в процентах или
в относительных единицах, не остается
постоянной вследствие изменения величин
Х или Y по шкале измерительного
устройства.
С учетом того, что относительная
погрешность средства измерений не
остается постоянной, то вводится понятие
приведенной погрешности, в общем
виде определяемой:
,
где - приведенная
погрешность средства измерений;
XN– нормирующее значение
измеряемой величины.
Приведенная погрешность
измерительного прибора– это отношение
абсолютной погрешности измерительного
прибораХПк
нормирующему значению.Нормирующее
значение XN– это условно
принятое значение, равное или верхнему
пределу измерений,
или диапазону измерений**, или длине
шкалы***.
Приведенную погрешность обычно выражают
в процентах:
.
Приведенная погрешность позволяет
сравнивать по точности приборы,
имеющие разные пределы точности.
Пример. Определить абсолютную,
относительную и приведенную погрешности
амперметра с диапазоном измерения 0
-15 А при показании его ХП= 12 А и
действительном значении измеряемой
силы тока ХД= 12,6 А. За нормирующее
значение примем верхний предел измерения
Xv = 15 А.
Абсолютная погрешность амперметра
ХП= ХП– ХД= 12 – 12,6
= -0,6 А.
Относительная погрешность амперметра
Приведенная погрешность
При характеристике погрешностей средств
измерений часто пользуются понятием
предела допускаемой погрешности
измерений.
Предел допускаемой погрешности
средства измерений– это наибольшая,
без учета знака, погрешность средства
измерений, при котором оно может быть
признано и допущено к применению.
Определение применимо к основной и
дополнительной погрешности средств
измерений.
Пример. Одинаков ли предел допускаемой
относительной погрешности измерения
во всех точках шкалы автоматического
потенциометра?
Для всех точек шкалы одинаков предел
допускаемой абсолютной погрешности,
определяемой классом точности средства
измерений и диапазоном измерений, а
предел допускаемой относительной
погрешности измерения зависит от
конкретной отметки шкалы, т. е. чем
меньше показания прибора по шкале, тем
больше относительная погрешность.
Вследствие этого верхний предел показаний
прибора нужно выбирать таким образом,
чтобы значение измеряемой величины
находилось в конце шкалы.
По происхождению различают инструментальные
и методические погрешности средств
измерений.
Инструментальные погрешности– это
погрешности, вызываемые особенностями
свойств средств измерений. Они возникают
вследствие недостаточно высокого
качества элементов средств измерений,
К этим погрешностям можно отнести
изготовление и сборку элементов средств
измерений; погрешности из-за трения в
механизме прибора, недостаточной
жесткости его элементов и деталей и др.
Подчеркнем, что инструментальная
погрешность индивидуальна для каждого
средства измерений
Методическая погрешность– это
погрешность средства измерения,
возникающая из-за несовершенства метода
измерения, неточности соотношения,
используемого для оценки измеряемой
величины.
Основная и дополнительная погрешности.Деление это чисто условно. Погрешность
средств измерений, определяемую для
работающих в нормальных условиях,
называютосновной погрешностью.
Нормальными условиями принято считать
условия, когда температура окружающего
воздуха t = (20 ± 5) 0C, относительная влажность
W = 30 – 80 %, атмосферное давление Р = 630 –
795 мм рт. ст., напряжение питающей сети
(U = (220 ± 4,4) В, частота питающей сети f =
(50 ± 0,5) Гц. Такие условия выдерживаются
в лабораторных условиях при градуировке
средств измерений.
В реальных условиях производства эти
параметры отличаются от лабораторных.
Средства измерения помимо чувствительности
к измеряемой величине обладают и
некоторой чувствительностью к изменяющимся
величинам окружающей среды, что приводит
к искажению результатов измерения.
Погрешность, появляющуюся у средств
измерений, работающих в реальных
производственных условиях, называют
дополнительной погрешностью. Так
же, как основная, дополнительная
погрешность нормируется путем указания
коэффициентов влияния изменения
отдельных влияющих величин на изменение
показаний в виде
α =
,
α =
·
Uпит.
Систематические и прогрессирующие
погрешности средств измерений
вызываются: первые – погрешностью
градуировки шкалы или ее небольшим
сдвигом, вторые – старением элементов
средства измерения. Систематическая
погрешность остается постоянной или
закономерно изменяющейся при многократных
измерениях одной и той же величины.
Особенность систематической погрешности
состоит в том, что она может быть полностью
устранена введением поправок. Особенностью
прогрессирующих погрешностей является
то, что они могут быть скорректированы
только в данный момент времени. Они
требуют непрерывной коррекции.
Аддитивные и мультипликативные
погрешности. Аддитивная погрешность
не зависит от чувствительности прибора
и является постоянной для всех значений
входной (измеряемой) величины в пределах
диапазона измерений (рис.2).
Если реальная характеристика 1 средства
измерения смещена относительно
номинальной 2 (см. рис. 2) так, что при всех
значениях преобразуемой величины Х
выходная величина У оказывается больше
(или меньше) на одну и ту же величину Δ,
то такая погрешность называется
аддитивной погрешностью нуля.
Рис. 2. К пояснению понятия аддитивной
погрешности средства измерения
К аддитивным погрешностям средств
измерений можно отнести погрешности,
вызванные трением в опорах
электроизмерительных приборов,
погрешность дискретности (квантования)
в цифровых приборах. Аддитивная
погрешность может носить систематический
характер. В этом случае она может быть
скорректирована смещением шкалы или
нулевого положения указателя.
В случае же, если аддитивная погрешность
является случайной, то она не может быть
скорректирована, и реальная характеристика
средства измерения, смещаясь произвольным
образом, но, оставаясь параллельной
самой себе, образует полосу погрешностей,
ширина которой остается постоянной для
любых значений измеряемой величины Х
(см. рис. 4.2, б).
Мультипликативная погрешность–
это погрешность чувствительности
средства измерения. Она может иметь
систематическую и случайную составляющие.
Сущность мультипликативной погрешности
заключается в том, что если абсолютная
погрешность возникает от некоторого
независимого от Х изменения чувствительности
преобразователя (изменение коэффициента
деления делителя, добавочного сопротивления
вольтметра и т. д.), то реальная
характеристика 1 преобразователя
отклоняется от номинальной 2 так, как
это показано на рис. 4.3, а, или образует
полосу погрешностей (рис. 4.3, б), если это
отклонение является случайным.
Рис. 4.3. К пояснению понятия мультипликативной
погрешности измерений
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Результат любого измерения содержит ошибку. Это непреложная истина. Обратите внимание, что я сказал ошибку, а не погрешность. Проблема заключается в том, что мы не можем определить величину этой ошибки, так как нам неизвестно точное значение измеряемой физической величины. Парадоксальность ситуации заключается в том, что если нам известно точное, истинное, значение, то и измерять уже ничего не нужно. А раз мы измеряем, значит истинное значение величины нам неизвестно.
Исключением из этого правила можно считать проверку метрологических параметров измерительного прибора (средства измерения) во время выполнения процедуры поверки. Во время поверки результат измерения полученный с помощью поверяемого прибора сравнивается с условным эталоном, который и измеряется. Почему эталон условный? Дело в том, что, во первых, в самом лучшем случае используется не эталон, а копия эталона. Во вторых, в качестве эталонного значения чаще используется просто результат измерения намного более точным прибором. Впрочем, о поверке мы поговорим в отдельной статье.
Я долго думал, с чего начать долгий разговор о погрешностях и ошибках. Дело в том, что это очень обширная и многогранная тема. Причем в ней все взаимосвязано. И у меня даже есть несколько начатых, но незаконченных статей, довольно проработанных. В конечном итоге было принято решение “начать издалека”, с общего взгляда. Что бы у читателей сложилось представление о вопросе в целом, а не о наборе разрозненных (на первый взгляд) частностей. Иногда, что бы лучше разглядеть что-то, надо отойти подальше и окинуть взглядом картину в целом.
Это пятая статья цикла “Нескучная метрология”. В первых четырех мы больше разбирались со шкалами, которые являются очень важной частью любого измерения и измерительного прибора. И к информации из этих статей мы будем постоянно обращаться на протяжении всего цикла.
Давайте немного постреляем. В тире
Рассказывать об ошибках и погрешностях можно на разных примерах, как умозрительных, так и практических. И с разной степенью наглядности. Наиболее наглядной, на мой взгляд, является аналогия со стрельбой в тире.
Центр мишени, собственно цель, является аналогом истинного значения измеряемой физической величины. В центр мишени можно попасть. Для обычного стрелка это, скорее всего, будет случайностью. Для снайпера, закономерностью. Но даже снайпер не сможет при каждом выстреле попадать точно в одно и тоже место.
Место попадания в мишень является аналогом “результата измерения”. Почему в кавычках? Скоро узнаете. Видно, что стрелок промазал, не по мишени вообще, а по центру мишени. Расстояние от центра мишени до места попадания дает нам величину ошибки нашего “измерения”. Учитывать будем только расстояние, направление не важно.
По результату одиночного выстрела нельзя судить ни о качестве оружия, ни о подготовке стрелка. Точно так же, по результату одно измерения нельзя судить о точности измерительного прибора. И сейчас мы будем разбираться, что с этим делать. Но поскольку мы занимаемся метрологией, а это точная наука, нам нужно сначала договориться о терминологии.
Наблюдение и измерение
Мы уже договорились считать центр мишени аналогом истинного, эталонного, значения измеряемой физической величины. Соответственно, стрельба будет аналогом “измерения” физической величины.
А теперь, разберемся с кавычками. Дело в том, нашу стрельбу по мишени нельзя назвать ни измерением, ни даже аналогом измерения. С точки зрения метрологии это лишь наблюдение. И место попадания это не результат измерения, а наблюдаемое значение. И это наблюдаемое значение, что важно, определяется для единичного наблюдения.
Измерение отличается от наблюдения тем, что оно должно выполняться в соответствии с регламентированной процедурой. Это кажется лишь казуистической уловкой метрологов, но на самом деле чрезвычайно важно. Давайте рассмотрим это на простом примере измерения температуры.
Температуру можно измерить “на ощупь”. Действительно, прикасаясь к чему либо, будем называть это физическим телом, мы можем примерно оценить его температуру. Причем не на уровне горячее/холодное, даже более менее точно, до пары градусов, в некотором диапазоне температур. И это именно наблюдение, но не измерение.
Температуру можно определить “на глаз”. Например, нагретый до высокой температуры металл начинает светиться. По интенсивности свечения и цвету мы можем сделать заключение о температуре. Более низкие температуры металла можно определить по “цветам побежалости”. И это тоже наблюдение, а не измерение.
Мы можем взять термометр, даже довольно точный, например, лабораторный ртутный, и использовать его. Будем ли мы по прежнему наблюдать или, наконец то, измерять? Представим, что нам надо измерить температуру капли воды массой 1 грамм (объемом 1 мл). Что будет, если мы используем лабораторный ртутный термометр, чувствительная часть которого гораздо больше капли? Правильно, температура капли просто станет равной температуре чувствительной части термометра. Своей попыткой “измерения” мы существенно изменили сам объект измерения.
Измеряя температуру тела человека мы должны не просто использовать медицинский термометр, но соблюсти массу дополнительных условий. Расположить его правильно и в правильном месте. Само измерение занимает определенное время. Вот это и есть та самая регламентированная процедура. Какой то результат мы получим и соблюдая ее, и не соблюдая. Но говорить о достоверности этого результата мы можем только в том случае, если соблюдены определенные правила, та самая регламентированная процедура.
Не соблюдая правила мы наблюдаем. Соблюдая правила мы измеряем. На бытовом, любительском уровне, разница между наблюдением и измерением зачастую не видна. Например, какая разница, как подключить вольтметр для измерения напряжения? На самом деле большая, поскольку сам выбор вольтметра должен учитывать внутренне сопротивление участка цепи, на котором мы измеряем напряжение. Иначе он внесет искажения в процессы на этом участке цепи.
Измеряя сопротивление резистора многие прижимаю его к щупам омметра пальцами. Тем самым получая неверный результат. Да, многое понимают, что тело человека проводит электрический ток. Вряд ли ошибусь, если скажу, что многие даже “измеряли” свое сопротивление. А значит, измеряя сопротивление высокоомного резистора к одному из его выводов прикасаются только щупом.
А если сопротивление резистора не большое? Например, возьмем резистор с номинальными сопротивлением 3.3 кОм ± 5%. Не прикасаясь к выводам резистора и щупов измерим его сопротивление. У меня получилось 3.297 кОм. А теперь измерим сопротивление “как обычно”, прижав щупы к выводам резистора пальцами. Результат будет иным, 3.291 кОм. Разница невелика, но она есть.
Для стрелочных измерительных приборов на показания влияет и расположение стрелочной головки в пространстве. Если прибор должен работать при горизонтальном положении шкалы, то установив его вертикально, или под углом к горизонтали, мы получим неверный результат.
Регламентированная процедура это не обязательно нечто записанное на бумаге и скрепленное множеством подписей и печатей. Если конечно речь не идет о метрологической лаборатории. Это просто набор правил, соблюдение которых позволяет получить достоверный результат.
А насколько хорош этот стрелок?
Возвращаемся в тир! Раз результат одно выстрела ничего не позволяет сказать о стрелке и его оружии, значит нужно провести достаточное количество выстрелов. Может быть промах был случайным…
Вот теперь все гораздо интереснее. Во первых, видно, что стрелок все время попадает примерно в одно и тоже место. Во вторых, это место расположено не в центре мишени. В результатах стрельбы стала видна некоторая система. Давайте присмотримся повнимательнее.
У стрелков есть понятие кучности. Кучность оружия это свойство группировать попадания на некоторой ограниченной площади. Но есть еще и кучность стрелка, которая уже является свойством стрелка, а не оружия. И разброс попаданий определяется совокупной кучностью стрелка и оружия. Это для нас важно.
Почему выстрелы не могут попадать точно в одно и тоже место? Потому что вмешивается случайность. Скорость пули при выходе из ствола оружия немного разная. Она зависит и от количества пороха в патроне. И от сопротивления, которое пуля испытывает проходя по каналу ствола. А это включает, в том числе, колебания наружного диаметра пули. Диаметр канала ствола зависит от температуры, которая повышается при каждом выстреле и снижается между выстрелами. Ствол при каждом выстреле немного колеблется. Тоже самое касается и стрелка, для него тоже можно привести довольно большой список случайностей, которые влияют на результат.
Каждое из этих возмущающих событий случайно и невелико. Но на результат стрельбы влияет их совокупность. И именно случайный характер дает тот самый неизбежный разброс результатов, который мы не можем предсказать.
Еще раз отмечу важный для нас факт. Разброс результатов стрельбы, вызванный случайными событиями, является совокупностью случайностей оружия и стрелка. То есть, разброс попаданий имеет две составляющие, в нашем случае.
Тем не менее, можно заметить, что разброс попаданий тоже имеет некоторую закономерность. Попадания не просто сгруппированы, они сгруппированы вокруг некоего центра. И мы можем выделить этот центр, как место максимальной плотности попаданий. И из этого центра провести окружность, которая охватит большую часть попаданий. Что я и сделал на иллюстрации. Центр окружности, точку максимальной плотности попаданий, можно считать условным местом попадания всей стрельбы. Это место попадания, результат всей серии выстрелов, будет иметь вероятностный характер. Для его определения используются методы математической статистики. Но об этом будет отдельная статья.
Итак, кучность стрельбы определяется случайными факторами. И поскольку у нас теперь не один выстрел, а множество, мы имеем и множество ошибок, свою для каждого единичного выстрела. Давайте выделим в этих ошибках случайную составляющую как расстояние от центра нашей окружности, вероятностного результата всей стрельбы, до каждого отдельного попадания.
Совокупность всех случайных составляющих ошибок можно назвать погрешностью. Причем погрешностью случайной.
Но мы можем видеть, что попадания, в целом, смещены относительно центра мишени. И это уже не влияние случайных факторов. Это смещение носит системный, регулярный характер.
Мы можем для каждого единичного выстрела определить ошибку, величину промаха, расстояние до центра мишени. Для полученной совокупности ошибок мы можем найти среднюю величину промаха. И эта величина промаха будет, условно, соответствовать расстоянию от центра мишени до вероятностного результата стрельбы, центра той самой окружности, что мы провели ранее. Почему условно? Потому что эта величина тоже будет вероятностной.
Среднее значение совокупности ошибок, расстояний от места попадания до центра окружности, смещение вероятностного результата стрельбы от центра мишени, можно назвать систематической погрешностью.
В отличии от погрешности случайной, систематическая погрешность поддается прогнозированию. И не только прогнозированию, но и корректировке. Так для нашего случая мы можем выбрать другую точку прицеливания, расположенную не в центре мишени. Или откорректировать положение прицела.
Причем, как и случайная погрешность, погрешность систематическая имеет несколько составляющих. В частности, у оружия может быть сбит прицел. И это погрешность именно оружия. Но ведь и при точном прицеле стрелок может неправильно целиться? И это уже погрешность стрелка.
Ошибка и погрешность
Давайте опять на время покинем тир и займемся терминологией. И сначала разберемся, чем отличается ошибка от погрешности. Ведь это понятия достаточно близкие, на первый взгляд.
Если мы знаем истинное значение измеряемой величины, то мы можем сравнить его с результатом единичного измерения, с измеренным значением. Разность между истинным и измеренным значением и даст нам величину ошибки единичного измерения. Однако, проблема в том, что мы обычно не знаем истинного значения измеряемой физической величины. А значит, просто не в состоянии определить ошибку каждого измерения.
И тут нам на помощь приходит математическая статистика в лице теории ошибок. Мы можем в метрологической лаборатории провести серию испытаний нашего измерительного прибора, в которых будем измерять точно известные, эталонные, значения. После множества проведенных измерений мы получим результаты, которые будут обработаны методами математической статистики.
И мы получим статистические, вероятностные, величины тех ошибок, которые вносит наш измерительный прибор. Вот эти статистические величины ошибок и называют погрешностями.
Погрешность, как и ошибка измерения, показывает разницу между истинным значением и измеренным. Но, в отличии от ошибки, она показывает не точное значение ошибки, а границы неопределенности значения измеряемой физической величины. И это очень важное отличие.
То есть, проведя измерение неизвестного значения физической величины мы можем, обращаясь к погрешности, определить диапазон значений ошибки. Диапазон, а не конкретное значение. Точное значение ошибки будет находится где то внутри этого диапазона. И будет иметь вероятностный характер. Причем ошибка каждого конкретного измерения может не просто лежать в диапазоне, определяемом погрешностью, но и быть равной нулю. С некоторой долей вероятности.
Погрешность случайная и систематическая
Итак, погрешность это статистическая величина. И мы уже, на примере стрельбы в тире, видели, что ее можно разделить на случайную и систематическую. Каждая из этих двух составляющих обладает свои свойствами, которые мы будет рассматривать в отдельных статьях. Сегодня мы только разберемся с определениями.
Случайная погрешность, как и следует из ее названия, изменяется случайным образом. Причем случайным образом изменяется и величина погрешности, и ее знак. Каждое измерение будет отличаться от предыдущего, и последующего, на некоторую, пусть и очень малую величину. Ту самую случайную погрешность.
Мы можем знать источники случайной погрешности. Можем попытаться снизить их влияние. Но полностью устранить случайную погрешность нельзя. Так в нашей стрельбе в тире случайную погрешность создавали, например, колебания ствола оружия и не совсем точная дозировка пороха в патроне. При электрических измерениях случайную погрешность вносят электромагнитные помехи. В приборах с стрелочными шкалами случайную погрешность вносит направление взгляда оператора на шкалу из-за явления параллакса. В электронных измерительных приборах (не обязательно цифровых) случайную погрешность привносит неизбежный шумовой сигнал.
Систематическая погрешность, в противоположность случайной, остается неизменной при последовательных измерениях одного и того же значения физической величины. А при измерении изменяющейся физической величины систематическая погрешность или остается неизменной, или изменяется по какому-либо известному закону.
Другими словами, систематическая погрешность предсказуема и поддается корректировке. В нашем тире мы видели, что систематическую погрешность мог вносить сбитый прицел. Не смотря на разброс попаданий от каждого выстрела, все они были смещены в одну сторону и на одно расстояние, если убрать случайную составляющую погрешности.
В одной из последующих статей, которая будет посвящения систематической погрешности, мы увидим, что ее тоже можно разделить на две составляющие – относительную систематическую погрешность и абсолютную систематическую погрешность. Не буду забегать вперед, ограничусь лишь кратким упоминанием, что относительная погрешность зависит от измеренного значения физической величины, а абсолютная нет.
Погрешности приборные и метода измерения (методические)
Помните, чуть ранее мы говорили, что результат стрельбы зависит как от собственно оружия, так и от стрелка? Точно так же, погрешность результата измерения зависит как от погрешности измерительно прибора, так и от метода, который используется для измерения. Кроме того, влияют и математические модели процессов, которые используются при измерении, или которые собственно и измеряют.
Поскольку при выполнении измерений можно сменить как измерительный прибор, так и изменить метод (методику) измерения, имеет смысл разделять вносимые ими погрешности.
Приборной погрешностью называют погрешность вносимую собственно измерительными прибором. Именно приборная погрешность указывается в паспорте измерительного прибора. Например, если мы будем измерять ток измеряя падение напряжения на токовом шунте, приборная погрешность будет относиться только к вольтметру. Она не будет учитывать погрешность сопротивления токового шунта, ни в каком виде.
Теперь давайте вспомним, что измерение от наблюдения отличается соблюдением регламентирующей процедуры. Эта процедура учитывает множество нюансов. Но обязательным является указание метода проведения измерения. То есть, как именно мы будем выполнять измерение.
Под методом измерения понимают специальный прием или совокупность приемов сравнения измеряемой физической величины с ее единицей. Например, метод измерения сопротивления с помощью измерения падения напряжения на резисторе при протекании через него тока заданной величины. Или метод измерения силы тока, протекающего через резистор, при приложении к нему заданного напряжения.
Кроме метода измерения регламентирующая процедура может включать в себя и методологию измерения. Например, измерение температуры жидкости метом измерения сопротивления платинового термометра сопротивления, это метод. А необходимость перемешивания жидкости, что бы обеспечивать равенство ее температуры во всем объеме, это методология. И все вместе это включается в регламентирующую процедуру.
Погрешность метода, методическая, это погрешность вносимая в результат измерения несовершенством метода измерения. Например, ток, протекающий через резистор при измерении сопротивления, может быть задан с некоторой ошибкой (погрешностью). Погрешность метода не учитывает погрешность приборную.
А результирующая погрешность измерения будет совокупностью погрешности метода и приборной погрешности. Погрешности математической модели (и расчетов) могут учитываться отдельно или включаться в методическую погрешность.
Отдельно погрешность метода (методическую) не всегда можно выделить. Например, измерение напряжения вольтметром, прямое измерение (это тема отдельного разговора) можно считать имеющим только приборную погрешность. Равно как и измерение сопротивления омметром. Измерение температуры внешним датчиком будет уже учитывать и погрешность датчика (метода) и приборную погрешность.
В случае с нашей стрельбой, приборные погрешности это погрешности оружия. А погрешности метода, пожалуй, погрешности стрелка. Мы можем дать то же самое оружие в руки другого стрелка и результат будет иным. Можем дать в руки нашему стрелку другое оружие и результат тоже изменится.
Определяем лучшего стрелка
Возвращаемся в наш тир. Давайте теперь устроим соревнование в поисках лучшего стрелка. У нас будет 4 кандидата. Вот их результаты
У двух стрелков, 1 и 2, результаты кучные, но второй отстрелялся по центру мишени, а второй со смещением. Однако, есть еще и стрелок 3, который, в среднем, отстрелялся по центу мишени, но вот с кучностью у него проблемы. Последний стрелок и по центу мишени не попал, и кучность никуда не годится.
Какой стрелок лучший? Очевидно, что стрелок 2. Но на чем основано это решение? В обиходе мы говорим, что стрелок 2 более точен. Но что такое точность? И как оценить кучность, с точки зрения метрологии? А значит,Ю нам снова надо покинуть тир и заняться метрологией.
Точность и прецизионность
Мы легко, не задумываясь, говорим о точности измерительных приборов или измерений. Часто можно встретить и термин прецизионный прибор. Но что обозначают эти термины и какая между ними разница? Давайте начнем с прецизионности.
Официальное определение прецизионности оперирует понятиями математической статистики, что неудивительно, как мы теперь понимаем. Прецизионность является некоторым аналогом кучности, о которой мы сегодня уже говорили.
Прецизионность это степень близости друг к другу независимых результатов измерений. А измерения, как мы помним, выполняются в регламентированных условиях и регламентированными методами. Независимые измерения, как мы знаем из статьи
не зависят от результатов предыдущих измерений. И не влияют на последующие.
Очень важным является то, что прецизионность определяется только случайными погрешностями. На нее совершенно не влияют погрешности систематические. Не важно, насколько далек результат измерений от истинного значения физической величины. Важно лишь то, насколько близки результат измерений друг к другу.
Если вернуться к результатам из тира, то теперь понятно, что у стрелков 1 и 2 прецизионность почти одинакова, и выше, чем у других стрелков. Ну а самая низкая прецизионность у стрелка 4.
Количественная оценка прецизионности может быть разной. Здесь опять вмешиваются различные регламенты. Но, в общем случае, прецизионность выражается через стандартные отклонения. Чаще всего, через среднеквадратичное отклонение.
Точность, в отличии от прецизионности, определяет, насколько близок результат измерений к истинному значению физической величины. Понятие точности ближе всего к тому, что мы и понимаем под точностью в бытовом смысле. Но, естественно, определение точности оперирует понятиями математической статистики.
Точность это степень близости результата измерений к истинному значению. И опять, измерения выполняются в соответствии с регламентирующей процедурой. В определении точности можно встретить и ссылки на математическое ожидание. Если не вдаваться в тонкости плотностей распределения вероятностей, то это среднее значение результата измерения для совокупности измерений. Тот самый центр условной окружности, который мы рисовали для результатов стрельбы.
Если вернуться к результатам из тира, то можно сказать, что у стрелков 2 и 3 точность примерно одинакова. Что может показаться странным, с бытовой точки зрения. Но вот у стрелка 2, по сравнению с остальными, выше и точность, и прецизионность. Поэтому он и является победителем. Наконец то мы смогли обосновать наше решение метрологически.
Точность и прецизионность не просто являются метрологическими и математическими понятиями. Они являются понятиями вероятностными, статистическими. Как и погрешности. А значит, вводятся не для единичного измерения, а для совокупности, множества, измерений. И не зря метрологи требуют выполнять много измерений одного и того же, причем по строгой процедуре, которая гарантирует, в том числе, независимость этих измерений. Это не прихоть метролога, это требования математической статистики.
Правильность, повторяемость, воспроизводимость
В предельном случае, когда измерений выполняется очень много, точность становится правильностью. Точное количество измерений определяется регламентами. Например, вполне может быть, что для определения точности достаточно 20 измерений, а для определения правильности нужно 2000 измерений. Или даже 20000.
В отличии от правильности, для повторяемости не требуется очень большого количества измерений. Повторяемость означает, что прецизионность результатов измерений, с точки зрения математической статистики, выполняемых с одним и тем же образцом (значением физической величины), на одном и том же оборудовании, в одних и тех же условиях, одним и тем же человеком, в течении некоторого ограниченного отрезка времени, должна сохраняться.
Другими словами, мы можем выполнить серию измерений, сделать перерыв, например, 5 минут, повторить серию измерений. И прецизионность для этих двух серий измерений должна быть одинаковой.
Кроме того, есть еще понятие воспроизводимости. Воспроизводимость означает, что выполненные в разных метрологических лабораториях измерения, одним и тем же методом, для идентичных объектов (значений, эталонов) измерения, с точки зрения математической статистики, должны иметь одинаковую прецизионность.
Заключение
Пожалуй, на этом сегодня стоит остановиться. Как бы ни была наглядна аналогия с тиром, как бы она не позволяла ощутить, почти осязаемо, сложные метрологические понятия, обилие определений и новых терминов может утомить читателей. Или вовсе отвратить от знакомства с метрологией.
Рассмотренные сегодня типы погрешностей могут показаться нелогичными и запутанными. Но на самом деле, все очень логично, все необходимо. Пожалуй, для большинства, лишними будут только повторяемость, правильность и воспроизводимость.
В последующих статьях мы рассмотрим разные погрешности подробнее. Но без излишнего погружения в детали и зубодробильной математики. В конечном итоге, этот цикл статей не является учебником метрологии. И даже не пытается претендовать на сколь нибудь полное, подробное, или точное, изложение основ метрологии.
Будет интересно!
До новых встреч!
Погрешности измерений, представление результатов эксперимента
- Шкала измерительного прибора
- Цена деления
- Виды измерений
- Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
- Абсолютная погрешность серии измерений
- Представление результатов эксперимента
- Задачи
п.1. Шкала измерительного прибора
Шкала – это показывающая часть измерительного прибора, состоящая из упорядоченного ряда отметок со связанной с ними нумерацией. Шкала может располагаться по окружности, дуге или прямой линии.
Примеры шкал различных приборов:
п.2. Цена деления
Цена деления измерительного прибора равна числу единиц измеряемой величины между двумя ближайшими делениями шкалы. Как правило, цена деления указана на маркировке прибора.
Алгоритм определения цены деления
Шаг 1. Найти два ближайшие пронумерованные крупные деления шкалы. Пусть первое значение равно a, второе равно b, b > a.
Шаг 2. Посчитать количество мелких делений шкалы между ними. Пусть это количество равно n.
Шаг 3. Разделить разницу значений крупных делений шкалы на количество отрезков, которые образуются мелкими делениями: $$ triangle=frac{b-a}{n+1} $$ Найденное значение (triangle) и есть цена деления данного прибора.
Пример определения цены деления:
 |
Определим цену деления основной шкалы секундомера. Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале:a = 5 c b = 10 cМежду ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления. Цена деления: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}\ triangle=frac{10-5}{24+1}=frac15=0,2 c end{gather*} |
п.3. Виды измерений
Вид измерений
Определение
Пример
Прямое измерение
Физическую величину измеряют с помощью прибора
Измерение длины бруска линейкой
Косвенное измерение
Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений
Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине
п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
Погрешность измерений – это отклонение измеренного значения величины от её истинного значения.
Составляющие погрешности измерений
Причины
Инструментальная погрешность
Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)
Погрешность метода
Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.
Погрешность теории (модели)
Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.
Погрешность оператора
Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.
Инструментальная погрешность измерений принимается равной половине цены деления прибора: $$ d=frac{triangle}{2} $$
Если величина (a_0) – это истинное значение, а (triangle a) – погрешность измерения, результат измерений физической величины записывают в виде (a=a_0pmtriangle a).
Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины: $$ triangle a=|a-a_0| $$
Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению, выраженное в процентах, называют относительной погрешностью измерения: $$ delta=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%} $$
Относительная погрешность является мерой точности измерения: чем меньше относительная погрешность, тем измерение точнее. По абсолютной погрешности о точности измерения судить нельзя.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком, т.е. всегда в сторону увеличения.
Значащие цифры – это все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.
Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.
В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:
- определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
- определение объема с помощью мензурки.
Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:
 |
Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{1+1}=0,5 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,5}{2}=0,25 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,00pm 0,25) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,25}{4,00}cdot 100text{%}=6,25text{%}approx 6,3text{%} $$ |
 |
Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{9+1}=0,1 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,1}{2}=0,05 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4,15 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,15pm 0,05) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,05}{4,15}cdot 100text{%}approx 1,2text{%} $$ |
Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.
п.5. Абсолютная погрешность серии измерений
Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).
Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.
Алгоритм определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений
Шаг 1. Проводим серию из (N) измерений, в каждом из которых получаем значение величины (x_1,x_2,…,x_N)
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений: $$ x_0=x_{cp}=frac{x_1+x_2+…+x_N}{N} $$ Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения: $$ triangle_1=|x_0-x_1|, triangle_2=|x_0-x_2|, …, triangle_N=|x_0-x_N| $$ Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений: $$ triangle_{cp}=frac{triangle_1+triangle_2+…+triangle_N}{N} $$ Шаг 5. Сравниваем полученную величину (triangle_{cp}) c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность: $$ triangle x=maxleft{triangle_{cp}; dright} $$ Шаг 6. Записываем результат серии измерений: (x=x_0pmtriangle x).
Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.
Составим расчетную таблицу:
| № опыта | 1 | 2 | 3 | Сумма |
| Масса, г | 99,8 | 101,2 | 100,3 | 301,3 |
| Абсолютное отклонение, г | 0,6 | 0,8 | 0,1 | 1,5 |
Сначала находим среднее значение всех измерений: begin{gather*} m_0=frac{99,8+101,2+100,3}{3}=frac{301,3}{3}approx 100,4 text{г} end{gather*} Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности (m_0) и измерения. begin{gather*} triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\ triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\ triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 end{gather*} Находим среднее абсолютное отклонение: begin{gather*} triangle_{cp}=frac{0,6+0,8+0,1}{3}=frac{1,5}{3}=0,5 text{(г)} end{gather*} Мы видим, что полученное значение (triangle_{cp}) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: begin{gather*} triangle m=maxleft{triangle_{cp}; dright}=maxleft{0,5; 0,05right} text{(г)} end{gather*} Записываем результат: begin{gather*} m=m_0pmtriangle m\ m=(100,4pm 0,5) text{(г)} end{gather*} Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): begin{gather*} delta_m=frac{0,5}{100,4}cdot 100text{%}approx 0,050text{%} end{gather*}
п.6. Представление результатов эксперимента
Результат измерения представляется в виде $$ a=a_0pmtriangle a $$ где (a_0) – истинное значение, (triangle a) – абсолютная погрешность измерения.
Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.
Погрешность суммы и разности
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, то
- абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей
$$ triangle (a+b)=triangle a+triangle b $$
- абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей
$$ triangle (a-b)=triangle a+triangle b $$
Погрешность произведения и частного
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, с относительными погрешностями (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}) и (delta_b=frac{triangle b}{b_0}cdot 100text{%}) соответственно, то:
- относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей
$$ delta_{acdot b}=delta_a+delta_b $$
- относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей
$$ delta_{a/b}=delta_a+delta_b $$
Погрешность степени
Если (a=a_0+triangle a) результат прямого измерения, с относительной погрешностью (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}), то:
- относительная погрешность квадрата (a^2) равна удвоенной относительной погрешности
$$ delta_{a^2}=2delta_a $$
- относительная погрешность куба (a^3) равна утроенной относительной погрешности
$$ delta_{a^3}=3delta_a $$
- относительная погрешность произвольной натуральной степени (a^n) равна
$$ delta_{a^n}=ndelta_a $$
Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.
п.7. Задачи
Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно? 
Составим таблицу для расчета цены деления:
| № мензурки | a, мл | b, мл | n | (triangle=frac{b-a}{n+1}), мл |
| 1 | 20 | 40 | 4 | (frac{40-20}{4+1}=4) |
| 2 | 100 | 200 | 4 | (frac{200-100}{4+1}=20) |
| 3 | 15 | 30 | 4 | (frac{30-15}{4+1}=3) |
| 4 | 200 | 400 | 4 | (frac{400-200}{4+1}=40) |
Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):
| № мензурки | Объем (V_0), мл | Абсолютная погрешность (triangle V=frac{triangle}{2}), мл |
Относительная погрешность (delta_V=frac{triangle V}{V_0}cdot 100text{%}) |
| 1 | 68 | 2 | 3,0% |
| 2 | 280 | 10 | 3,6% |
| 3 | 27 | 1,5 | 5,6% |
| 4 | 480 | 20 | 4,2% |
Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.
Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка
Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0pm 0,1) text{м}, x_2=(4,0pm 0,03) text{м} $$ Какое из этих измерений точней и почему?
Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: begin{gather*} delta_1=frac{0,1}{4,0}cdot 100text{%}=2,5text{%}\ delta_2=frac{0,03}{4,0}cdot 100text{%}=0,75text{%} end{gather*} Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: (delta_2lt delta_1), второе измерение точней.
Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ triangle v_1=frac{10}{2}=5 (text{км/ч}), triangle v_2=frac{1}{2}=0,5 (text{км/ч}) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54pm 5) text{км/ч}, v_2=(72pm 0,5) text{км/ч} $$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_{10}+v_{20}, v_0=54+72=125 text{км/ч} $$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ triangle v=triangle v_1+triangle v_2, triangle v=5+0,5=5,5 text{км/ч} $$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0pm 5,5) text{км/ч} $$ Относительная погрешность: $$ delta_v=frac{5,5}{126,0}cdot 100text{%}approx 4,4text{%} $$ Ответ: (v=(126,0pm 5,5) text{км/ч}, delta_vapprox 4,4text{%})
Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Инструментальная погрешность линейки (d=frac{0,1}{2}=0,05 text{см})
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20pm 0,05) text{см}, b=(60,10pm 0,05) text{см} $$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): begin{gather*} delta_1=frac{0,05}{90,20}cdot 100text{%}approx 0,0554text{%}approx uparrow 0,056text{%}\ delta_2=frac{0,05}{60,10}cdot 100text{%}approx 0,0832text{%}approx uparrow 0,084text{%} end{gather*} Площадь столешницы: $$ S=ab, S=90,2cdot 60,1 = 5421,01 text{см}^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ delta_S=delta_a+delta_b=0,056text{%}+0,084text{%}=0,140text{%}=0,14text{%} $$ Абсолютная погрешность: begin{gather*} triangle S=Scdot delta_S=5421,01cdot 0,0014=7,59approx 7,6 text{см}^2\ S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2 end{gather*} Ответ: (S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2, delta_Sapprox 0,14text{%})
Как определять погрешности измерений
Измерение – нахождение значения физической величины
опытным путем с помощью средств измерений.
Прямое
измерение
– определение значения физической
величины непосредственно средствами измерения.
Косвенное
измерение
– определение значения физической
величины по формуле, связывающей ее с другими физическими величинами, определяемыми
прямыми измерениями.
А, В, С, … – физические величины.
Апр. – приближенное значение физической величины.
А – абсолютная погрешность измерения физической
величины.
– относительная погрешность измерения
физической величины.
иА
– абсолютная
инструментальная погрешность, определяемая конструкцией прибора.
оА – абсолютная погрешность отсчета, она равна в
большинстве случаев
половине цены деления; при
измерении времени – цене деления секундомера или часов.
Абсолютную погрешность измерения
обычно округляют до одной значащей цифры:
Численное значение результата
измерений округляют так, чтобы его последняя цифра оказалась в том же разряде,
что и цифра погрешности:
Результат
измерения записывается так:
%
Определение погрешности методом среднего арифметического
При многократных
измерениях величины погрешность можно оценить следующим образом:
1.
Определить среднее
значение величины А:
(при трех
измерениях).
2.Определить отклонение каждого значения от среднего:
3.Определить среднее значение отклонения,
его и принимают за абсолютную погрешность:
4.Определить
относительную погрешность и выразить ее в процентах:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
2 |
|
|
||
|
3 |
|
|
Многократные измерения
предпочтительнее, так как при их проведении возможна компенсация случайных
факторов, влияющих на результат. Обычно многократные измерения проводят, слегка
изменяя условия опыта, но предполагая, что значение величины А не изменяются
Определение
погрешности косвенных измерений
При косвенных измерениях значение
физической величины находится путем расчетов по формуле.
Относительную погрешность
определяют так, как показано в таблице:
|
Формула величины |
Формула |
|
1. |
|
|
2. 3. |
|
|
4. |
|
Абсолютную погрешность определяют
по формуле:
(
выражается десятичной дробью)
Пример: пусть измеряется сопротивление проводника. 
.
Результаты прямых измерений: 
Тогда 
;
, 
;
, 
;
, 
, 
.
Графическое
представление результатов эксперимента
Правила построения
графиков
выберите соответствующую бумагу;
выберите масштаб по осям координат;
напишите обозначения измеряемых физических величин;
нанесите на график данные;
нанесите на график доверительные интервалы;
проведите кривую через нанесенные точки;
составьте заголовок графика.
Для построения графиков выпускают
специальную бумагу-миллиметровку.
При выборе масштабов по осям
координат следует руководствоваться следующими правилами:
– значение независимой переменной
откладывают вдоль оси абсцисс, функции – вдоль оси ординат;
– цена наименьшего деления масштабной
сетки должна быть сравнимой с величиной погрешности измерения;
– точка пересечения оси абсцисс и оси
ординат не обязательно должна иметь координаты (0,0).
При построении графиков следует
иметь в виду, что по результатам опытов мы получаем не точку, а прямоугольник
со сторонами 
и
.
В
|
|
|||||
|
|
|||||
 |
|||||
 |
0
А
При выполнении простых лабораторных
работ достаточно обвести экспериментальную точку кружком или пометить
крестиком, не указывая доверительных интервалов.
Этот кружок или крестик будут
обозначать, что данная точка получена с каким-то приближением и истинное
значение измеряемой величины лежит где-то в ее окрестности.
Правила
приближенных вычислений
1. Основное
правило округления.
Если первая
отброшенная цифра равна 5 или больше, то последнюю из сохраняемых цифр
увеличивают на единицу; если первая отброшенная цифра меньше 5, то последнюю из
сохраняемых цифр оставляют без изменения, например:
2. При сложении и
вычитании приближенных чисел
в полученном результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их в числе
с наименьшим количеством десятичных знаков, например:
3. При умножении
и делении приближенных чисел
в полученном результате нужно сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет
приближенное число с наименьшим количеством значащих цифр, например:
4. При возведении
в квадрат приближенного числа
нужно в результате сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое
в степень число, например:
5. При извлечении
квадратного корня в результате
нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число,
например:
6. При вычислении
промежуточных результатов в
них следует сохранять на одну цифру больше, чем требуют правила 2-5. Причем при
подсчете значащих цифр запасные цифры не учитываются. В окончательном
результате запасная цифра отбрасывается по основному правилу округления.
7. При нахождении
углов или тригонометрических функций значение соответствующего угла записывают с точностью до градуса, если
значение тригонометрической функции имеет две значащие цифры; если угол задан с
точностью до градусов, то в значении тригонометрической функции сохраняют две
значащие цифры, например:
