Как найти погрешность величины по графику

Если
изучается зависимость одной величины
от другой, то результаты могут быть
представлены в виде графика.

При
вычерчивании графика руководствуются
следующими правилами⁹:

Выбор
бумаги. График
строят только на миллиметровой бу­маге
или на бумаге со специальными координатными
сетками. При их отсутствии иногда
приходится (хотя это крайне нежелательно!)
пользоваться бума­гой «в клеточку»
или белой бумагой, на которой карандашом
на­несена сетка.

Выбор
координатных осей.
Общепринято по оси абсцисс от­кладывать
ту величину, изменения которой являются
причиной изменения другой (т. е. по оси
абсцисс – аргумент, по оси ор­динат
– функцию).

Выбор
масштабов.
Масштаб графика определяется погреш­ностью
измерения величин, отложенных по осям:
погрешность должна быть видна на графике,
т. е. должна представляться в выбранном
масштабе отрезком достаточной длины,
иначе гра­фик не отражает всех деталей
эксперимента и не может быть использован
для графической обработки данных без
потери точности.

Шкала
должна легко читаться, поэтому одна
клетка масш­табной сетки должна
соответствовать удобному числу – 0,1;
0,2; 0,5; 1; 2; 5;
10; … (но не 2,5; 3; 4; 7; 1,13; и т.д.) единиц
изображаемой на гра­фике величины.
При неудобном
масштабе нанесение экспери­ментальных
точек на график и использование графика
требуют неоправданно большого времени
и нередко сопровождаются до­садными
ошибками.

Масштабы
по обеим осям выбираются независимо
друг от друга. Однако следует помнить,
что график получается более наглядным,
если основная часть кривой имеет наклон,
не слиш­ком отличающийся от 45°. В этом
случае наиболее удобно ана­лизировать
форму кривой.

Если
при выборе масштабов для обеих осей на
основе вели­чин погрешностей график
получается слишком растянутым в
каком-либо направлении, то это означает,
что измерения соот­ветствующей
величины проведены с излишне высокой
точ­ностью. При таких условиях разумно
несколько увеличить масштаб по оси, для
которой точность измерений меньше, а
за­тем выбрать масштаб для второй оси
так, чтобы график имел удобную форму,
уже не обращая внимания на величину
по­грешности.

Нанесение
шкал по осям.
Оси графика
должны иметь ясные, четкие обозначения.
Рядом с делениями – на удобных расстояниях
– должны быть нанесены цифры, позволяющие
установить значения, соответствующие
де­лениям шкалы. Масштаб
наносится на осях гра­фика в виде
равноотстоящих «круглых» чисел, например
6; 8; 10; … или 4,74; 4,76; 4,78; … (чтобы не
загромождать график, можно опускать
целую часть числа: 4,74; ,76; ,78; и т.д.). Не
следует расставлять эти числа слишком
густо – достаточно нанести их через 2
или даже через 5 см.
Это не вызывает неудобств, так как при
рассмотрении графика можно легко
восстановить пропущенные значения.
Круглые значения
цифр располагаются на жирных линиях
сетки (на миллиметровой бумаге такие
линии идут через 5 см).

На
оси обязательно указываются обозначение
и единицы измерения соответствующей
величины. При этом множитель, определяющий
порядок величины, вклю­чается обычно
в единицы измерения, например: I,
мА;
I,
10³
А
или, иногда, I·10³,
А.

Выбор
интервала.
При построении
графиков следует разумно выбирать
интервал, чтобы измеренные точки
располагались на всей площади листа.
Поэтому на графике приводится только
та область изменения измеренных величин,
которая была исследована на опыте.

Не
следует стремиться к тому, чтобы на
графике обяза­тельно поместилось
начало координат (точка 0,0). Даже в том
случае, когда требуется найти точку
пересечения какой-либо прямой на графике
с одной из координатных осей, нет
необхо­димости, чтобы эта ось помещалась
на графике; точку пересе­чения легко
найти расчетом, пользуясь подобием
треугольников. Начало координат помещают
на графике только в том случае, когда
это не требует большого увеличения его
размеров.

Следует
помнить, однако, что иногда точка (0,0)
есть ре­зультат измерения, причем
часто – наиболее надежный резуль­тат
(например, при определении сопротивления
точка I
= 0; U=
0).

Нанесение
точек на график.
Точки должны
наноситься на график очень тщательно
и аккуратно, чтобы график получился
более точным. Их следует отмечать
карандашом, так как иначе оши­бочно
нанесенную точку нельзя удалить с
графика, не испортив его.

Никаких
выносных линий и отметок, поясняющих
построение точек,
на
график наносить
нельзя (так как они загромождают рисунок
и мешают анализировать результаты).
Выносная линия может в виде исключения
быть нанесена, только если какую-либо
точку хотят особо вы­делить на графике
(например, положение максимума).

Если
на один и тот же график наносятся
различные группы данных (результаты
измерения разных величин; одной величи­ны,
но полученные в разных условиях или
разными авторами и т. п.), то точки,
относящиеся к разным группам, должны
быть помечены различными символами
(кружки, треугольники, звез­дочки и
т. п.) или нанесены разными цветами,
чтобы их нельзя было спутать.

Изображение
погрешности.
Способ
изображения на графике экспериментальных
результа­тов зависит от того, известна
ли их случайная погрешность. Ес­ли
она неизвестна (что чаще всего и бывает),
то результаты изо­бражаются точками,
а если известна, то лучше изображать их
с помощью крестиков соответствующих
размеров, нанесенных поверх точек.
Полуразмер
креста по горизонтали должен быть равен
стандартной погрешности по оси абсцисс,
а его вер­тикальный полуразмер –
погрешности по оси ординат.
В том случае, если одна из ошибок – из-за
своей малости – не может быть изображена
графически, результаты изображаются
черточ­ками, вытянутыми на ± σ
в том направлении, где погрешность не
мала.

Можно
так­же указывать погрешность размером
точек, для этого точки рисуют либо в
виде эллипсов с длиной полуосей, равной
в масштабе графика величине погрешности,
либо в виде прямо­угольников таких
же размеров. Нет необходимости указывать
погрешность для каждой точки, но если
погрешность изменяет­ся вдоль кривой,
следует показать это на нескольких
точках.

Проведение
кривых через экспериментальные точки.
Кривую на гра­фике проводят плавно,
избегая изломов и перегибов. Кривая
должна проходить насколько возможно
ближе ко всем нанесен­ным точкам, но
ни в коем случае не следует стремиться
провести ее через каждую точку. Через
экспериментальные точки всегда следует
проводить самую простую кривую,
совместимую с этими точками,
т. е. кривую, от которой экспериментальные
данные отступают, как правило (в 2/3
случаев), не более чем на стандартную
ошибку. Не следует придавать кри­вым
никаких изгибов, если экспериментальным
данным – в пре­делах ошибок – можно
удовлетворить и без этого.

Излом
на кривой можно рисовать только в том
случае, если он не может быть объяснен
погрешностью измерений и если при этом
на его существование указывает большое
число точек. Кроме того, нужно быть
уверенным в от­сутствии систематических
ошибок (изломы часто появляются, например,
когда сначала работают на одной шкале
прибора, а затем переходят на другую).
Помните, что
всякая
особен­ность на кривой (излом, резкое
изменение кривизны и пр.) требует либо
специального экспериментального
доказательства, либо теоретического
объяснения.

При
проведении кривой нужно следить за тем,
чтобы на каж­дом достаточно большом
ее участке экспериментальные точки
располагались как выше, так и ниже
кривой.

Во
всех случаях кривая должна быть проведена
так, чтобы она не закрывала экспериментальных
точек.

Выбор
наиболее наглядной зависимости.
При построении графика нужно стремиться
к тому, чтобы он наиболее четко отражал
все особенности представляемой
зависимости. Для этого часто бывают
удобны функциональные масштабы – по
осям откладываются не сами измеряемые
величины, а их функции, подобранные в
соответствии с решаемой задачей.

При
графической обработке результатов
следует помнить, что на глаз можно точно
провести через экспериментальные точки
только прямую линию. Поэтому при
построении графика следует стремиться
к тому, чтобы ожидаемая зависимость
имела вид пря­мой линии.

К
логарифмическому масштабу без особой
необходимости при­бегать не следует.
Одна из наиболее часто встречающихся
по­грешностей опыта – смещение нуля
отсчета – приводит в этом случае к
сильному искажению прямолинейного
характера кри­вой.

Бывают,
однако, случаи, когда логарифмический
масштаб не­обходим. Это происходит,
например, если исследуемая величина
очень сильно изменяется, причем
одновременно интересны очень малые и
очень большие ее значения. Логарифмический
масштаб позволяет все точки уместить
на одном чертеже и исследовать совместно.
Логарифмический масштаб выбирают и в
том случае, если имеются основания
ожидать, что искомая зависимость
явля­ется степенной, но показатель
степени неизвестен. Иногда применяют
также полулога­рифмический (логарифм
откладывается только по одной из осей)
масштаб. Надо помнить, однако,
что логарифмический
масштаб можно применять без потери
точности, только если относительная
погрешность постоянна для всей кривой.

Оформление
графиков.
Готовый график снабжается заго­ловком,
который должен содержать точное описание
того, что показывает график.

Разные
группы точек (разные символы) или разные
кривые на графике также должны быть
объяснены. Эти объяснения приводятся
в подписи к графику (внизу листа или на
свобод­ном, не занятом кривой, месте
на самом графике).

Основное
достоинство графиков – их наглядность.
Посмот­рев на график, можно получить
качественное представ­ление о
полученной зависимости и отметить
наличие различных особенностей:
максиму­мов, минимумов, точек перегиба,
областей наибольшей и наименьшей
скорости изменения, периодичности и
т. п. График позволяет также легко
судить о соответствии эксперименталь­ных
данных той или иной теоретической
зависимости и вообще облегчает обработку
измерений.

С
помощью графика можно вести обработку
эксперимен­тальных данных. Графическая
обработка не так точна, как чис­ленная,
использующая строгие методы, например
метод наи­меньших квадратов (см. ниже),
но зато проста, наглядна и в большинстве
случаев не требует длинных вычислений,
давая в то же время очень неплохие
результаты. Более того, на графике обычно
хо­рошо видны особенности, которые
легко пропустить при фор­мальном
применении численных методов. Поэтому
первичную обработку данных (особенно,
если она проводится непосредст­венно
во время эксперимента) желательно делать
графически. Конечно, если полученной
точности окажется недостаточно, то
нужно использовать более точные методы.

Очень
часто бывает нужно выразить найденную
из опыта зависимость в виде уравнения
(например, представить ее в виде полинома
у = a+bx+cx²+…,
показа­тельной функции у = ае^bx
и т. п.). Вид этого уравнения может
быть подобран произвольно или получен
на основании каких-либо теоретических
соображений. В обоих случаях необходимо
проверить, пригодна ли данная формула
для представления со­вокупности
экспериментальных данных, и подобрать
наилучшим образом значения неизвестных
параметров а,
b,
с, …, входя­щих
в формулу.

Особенно
просто задача решается для линейной
функ­ции

у = а +  bх.
(32)

(т. е.
для простых
формул, содержащих один или два неизвестных
параметра).
В этом случае график у(х) – прямая
линия и необходимо найти параметры а
и b
в формуле (32).

Значение
b
находится как угловой коэффициент
полученной прямой ¹⁰,
а значение а
– как величина
отрезка, отсекаемого ею на оси ординат
[6].

Чтобы
найти погрешность в определении параметра
а,
нужно смещать прямую вниз параллельно
самой себе, пока выше нее не окажется
вдвое больше точек, чем снизу. Затем
следует сме­стить ее вверх, пока снизу
не окажется вдвое больше точек, чем
сверху. Пусть расстояние между этими
прямыми ровно Δ а
(см. рис. 1).

Рис.
1. Графический метод обработки результатов.
Оценка погрешности в определении
параметра a
[6].

Рис.
2. Графический
метод обработки результатов. Оценка
погрешности в определении параметра b
[6].

Погрешность
в определении а
равна [6]

,
(33)

где
п —
полное число точек на графике.

Погрешность
в определении параметра b
находится аналогич­ным образом (рис.
2). «Рабочий участок» оси абсцисс (участок,
на котором расположены экспериментальные
точки) делится на три равные части.
Средний участок в дальнейшей работе не
участвует. Для определения
прямая поворачивается так, чтобы на
левом участке выше нее оказалось вдвое
больше точек, чем под ней, а на правом
участке – наоборот. Затем кривая
поворачивается так, чтобы на левом
участке 2/3 точек лежали ниже прямой, а
на правом – ниже нее. Обозначим разницу
в угловых коэффициентах этих прямых
через Δb.
Тогда

,
(34)

где
п —
полное число точек на графике.

Часто
случается, что начальная точка искомой
зависимости хо­рошо известна и лежит
в начале координат. Как бы ни была сложна
зависимость тока, проходящего через
проводник, от при­ложенного к нему
напряжения, можно быть уверенным, что
при отсутствии напряжения нет и тока
(мы предполагаем, что в цепи не возникает
термо-э.д.с.). Если чайник не нагревать
и не охлаждать, то изме­нение его
температуры равно нулю, и т. д. Во всех
этих слу­чаях нулевая точка не просто
известна,— она является самой надежной
из всех, которые используются при
обработке резуль­татов. Задача о
проведении наилучшей прямой сводится
в этом случае к подбору параметра в
формуле

у
= k
x.
(35)

Стандартная
погрешность при определении параметра

в
формуле (35) находится следующим образом.
«Рабочим» участком в этом случае является
весь диапазон по оси Х
от нуля до последней точки. Его следует
разбить на три части и самую левую –
ближнюю к началу координат – часть во
внимание не принимать. Затем нужно
провести через начало координат две
вспомогательные прямые так, чтобы выше
одной из них лежало 2/3 точек, а выше
другой – 1/3. Различие в
между
этими прямыми определяет
.
Стандартная погрешность находится по
формуле

,
(36)

где
п —
полное число точек на графике.

Если
функция у
=f(x)
нелинейна, удобно использовать
функциональный масштаб – график
перечерчивается в новых координатах,
выбранных так, чтобы получить линейную
зависи­мость.

Зависимость
вида у
= a xⁿ,
например, можно исследовать на графике
=f(x)
или у
= f(xⁿ),
если п
известно. Если же п,
как и а,
подлежит определению из экспериментальных
данных, применяется логарифмический
масштаб lg y =  f(lg x),
в котором подбираемая функция
представится прямой lg y = lg a + n lg x;
параметры функции легко определяются
из наклона и начальной ординаты прямой.
Функция вида у = а + b х²
подбирается
на графике у = f(x²).
Экспоненциальная функция вида
y = a x² e^–bx
(температурная зависимость тока
термоэлект­ронной эмиссии) изобразится
прямой в координатах lg y/x²
и 1/х.

Если
применяется такой метод обработки
результатов, то, как правило, строят два
графика – график в функциональном
масштабе для количественной обработки
и график в натураль­ном масштабе для
наглядного представления функции.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #