Как найти полное приращение функции в точке

В отношении функции $z=f(x,y)$ рассмотрим понятия общего (полного) и частного приращений функции.

Пусть дана функция $z=f(x,y)$двух независимых переменных $(x,y)$.

Дадим переменной $x$ приращение $Delta x$, при этом сохраним значение переменной $y$ неизменным.

Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $x$. Обозначение:

Аналогично дадим переменной $y$ приращение $Delta y$, при этом сохраним значение переменной $x$ неизменным.

Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $y$. Обозначение:

Если же аргументу $x$ дать приращение $Delta x$, а аргументу $y$ – приращение $Delta y$, то получается полное приращение заданной функции $z=f(x,y)$. Обозначение:

Таким образом, имеем:

• $Delta _{x} z=f(x+Delta x,y)-f(x,y)$ – частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $x$;

• $Delta _{y} z=f(x,y+Delta y)-f(x,y)$ – частное приращение функции $z=f(x,y)$ по $y$;

• $Delta z=f(x+Delta x,y+Delta y)-f(x,y)$ – полное приращение функции $z=f(x,y)$.

«Частное и полное приращение функции» 👇

Для функции от трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются частные приращения по каждой из переменных:

• $Delta _{z} w=f(x,y,z+Delta z)-f(x,y,z)$ – частное приращение функции $w=f(x,y,z,…,t)$ по $z$;

• $…$

• $Delta _{t} w=f(x,y,z,…,t+Delta t)-f(x,y,z,…,t)$ – частное приращение функции $w=f(x,y,z,…,t)$ по $t$.

Приращение функции

Понятие
приращения аргумента и приращения
функции.

Пусть
x – произвольная точка, ледащая в
некоторой окрестности фиксированной
точки x₀.
разность x – x₀ называется приращение
независимой переменной (
или приращением
аргумента)
в точке x₀ и
обозначается Δx. Таким образом, 

Δx = x –x₀,

откуда
следует, что

x = x₀ +
Δx.

Говорят
также, что первоначальное значение
аргумента x₀ получило
приращение Δx. Вследствие этого значение
функции f изменится на величину 

f(x) – f(x₀)
= f (x₀ +Δx)
– f(x₀).

Эта
разность называется приращением
функции f
в точке x₀,
соответствующим приращению Δx, и
обозначается символом Δf (читается
«дельта эф»), т.е. по определению 

Δf = f (x₀ +
Δx) – f (x₀),

откуда 

f (x) = f (x₀ +Δx)
= f (x₀)
+ Δf.

При
фиксированном x0 приращение Δf есть
функция от Δx. Δf называют также приращение
зависимой переменной и обозначают через
Δy для функции y = f(x) .

Определение
непрерывной в точке функции через
приращение.

Функция f(x) называется непрерывной
в точке x₀,
если существует lim_x → x0 f(x) ,
равный значению функции f(x) в
этой точке:

lim x → x0  f(x) = f(x0),

(1)

т.е.

” O( f(x0) )     $ O(x0) :     x О O(x0) Ю f(x) О O( f(x0) ) .

Производная функции одной переменной

Определение
производной функции в точке.

Пусть
в некоторой окрестности точки 
 определена функция 
 Производной
функции 
 в
точке 
 называется предел,
если он существует,

Геометрический
смысл производной и дифференциала.

Если
функция у = f(x) дифференцируема в точке
x₀,
то ее производная в этой точке равна
тангенсу угла наклона касательной к
оси Ох, а дифференциал равен приращению
ординаты касательной

f'(x₀)
= tg a.

Уравнения
касательной и нормали к графику функции.

Уравнение
касательной имеет вид:

У
= f'(x₀)
• (x – x₀)
+ f(x₀)

Если
функция у = f(x) имеет в точке x₀бесконечную
производную, то ее касательной является
вертикальная прямая х = х₀.

Под
нормалью к кривой понимается прямая,
перпендикулярная касательной и проходящая
через точку касания. Если f'(x₀) 
 0,
то уравнение нормали имеет вид:

Понятие
дифференцируемости функции в точке.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в
точке x0,
если ее приращение Δy в
точке x0 может
быть представлено в виде: Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx,
где A — некоторое число, независящее
от Δx,
а α(Δx)–
бесконечно малая функция от переменной Δx,
т.е. limΔx→0α(Δx)=0.

Теорема
о необходимом и достаточном условии
дифференцируемости .

Теорема

Для
того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в
точке x0,
необходимо и достаточно, чтобы она в
этой точке имела конечную
производную.

Доказательство 

Необходимость.
Предположим: функция дифференцируема
в точке x0,
т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx.
Разделив обе части данного равенства
на Δx,
получим: ΔxΔy=A+α(Δx).

Из
определения производной функции в
точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.

Т.е.
получили, что существует конечная
производная функции в
точке x0 и y/(x0)=A.

Достаточность.
Пусть существует конечная
производная y/(x0)∈R .
Покажем дифференцируемость
функции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.

Если
функция f(x) имеет
конечный предел b при Δx→0 ,
то ее можно представить: f(x)=b+α(x)
(α(x)→0) .
Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx),
где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0) .
Теорема доказана.

Связь
свойств дифференцируемости и непрерывности
.

Если
функция y=y(x) дифференцируема
в точке x0,
то она и непрерывна в этой
точке.

Справедливость
утверждения следует
из Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx и limΔx→0Δy=0,
а по определению функция непрерывна,
если малому приращению аргумента
соответствует малое приращение
функции. 

Обратное
утверждение не верно.

Например,
функция y=∣x∣  непрерывна
в точкеx=0,
но не дифференцируема в этой точке. 

Таким
образом, не всякая непрерывная функция
дифференцируема, а любая дифференцируемая
функция непрерывна.

Дифференциал
функции. Физический смысл производной.

Дифференциалом функции f(x)
в точке х называется главня линейная
часть приращения функции.

  Обозначается dy или df(x)

Производная
функции пути по времени есть мгновенная
скорость материальной точки в момент
времени х:

v(x)
= f'(x).

Поскольку
dy = f'(x)dx = v(x)dx, то дифференциал функции
пути равен расстоянию, которое прошла
бы точка за бесконечно малый промежуток
времени dx, если бы она двигалась равномерно
со скоростью, равной величине мгновенной
скорости в момент времени х.

Вторая
производная функции пройденного пути
также имеет простой смысл – это мгновенное
ускорение точки в данный момент времени

a(x)=v'(x)
= f”(x).

Производная
суммы, разности, произведения и частного
функций (все с доказательством кроме
последнего).

Производная
суммы (разности) функций

Производная
алгебраической суммы функций выражается
следующей теоремой.

Производная
суммы (разности) двух
дифференцируемых функций равна сумме
(разности) производных этих функций:

Производная
произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) –
дифференцируемые функции. Тогда
произведение функций u(x)v(x) также
дифференцируемо и

Производная
произведения двух функций не равана
произведению производных этих функций.

Производная
частного функций.

Пусть u(x) и u(x) –
дифференцируемые функции. Тогда,
если v(x)
≠ 0,
то производная частного этих функций
вычисляется по формуле

Производная
сложной функции .

“Двухслойная”
сложная функция записывается в виде

где u
= g(x) –
внутренняя функция, являющаяся, в свою
очередь, аргументом для внешней
функции f. 

Если f и g –
дифференцируемые функции, то сложная
функция 
 также
дифференцируема по x и
ее производная равна

Данная
формула показывает, что производная
сложной функции равна произведению
производной внешней функции на производную
от внутренней функции. Важно, однако,
что производная внутренней функции
вычисляется в точке x,
а производная внешней функции – в точке u
= g(x)! 

Определение
логарифмической производной функции.

Логарифмической
производной функции y=f(x) называется
производная ее логарифма. 
 тогда
производная функции y=f(x) может
быть найдена так: 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

• Приращение аргумента и функции
• Определение производной
• Дифференцирование функции

Пусть задана некоторая функция $y=f(x)$. Возьмем какое-нибудь
значение $x_{0}$ из области определения этой функции:
$x_{0} in D[f]$ . Соответствующее значение функции в этой точке
будет равно $y_{0}=fleft(x_{0}right)$ .

Приращение аргумента и функции

Зададим аргументу $x_{0}$ приращение
$Delta x$. А тогда значение функции в новой точке
$fleft(x_{0}+Delta xright)$.

Определение производной

Дифференцирование функции

Теорема устанавливает, что для функции $y=f(x)$
дифференцируемость в данной точке $x$ и существование конечной производной в этой точке – понятия равносильные.

Читать дальше: односторонние производные.

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Алгебра – 10 класс. Приращение аргумента, приращение функции

Урок на тему: “Приращение аргумента, приращение функции”

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

---

Скачать:
Приращение аргумента, приращение функции (PDF)

---

Что будем изучать:

1.Определение приращения аргумента, приращения функции.
2. Непрерывная функция и приращение.
3. Примеры.

Определение приращения аргумента и приращения функции

Ребята, мы с вами научились находить пределы функции в точке. Важным остается вопрос, как изменяется значение функции при изменении значения аргумента около этой точки?
Математики ввели такое понятие – приращение аргумента и функции. Давайте запишем определение.

Определение: Пусть функция $y=f(x)$ определена в точках $x_0$ и $x_1$. Разность $x_1-x_0$ называют приращением аргумента, а разность $f(x_1)-f(x_0)$–приращением функции.
Иначе говоря, узнаем прирост точки $x_0$ в точке $x_1$. Приращение аргумента обозначают как $Δx$, читается как дельта x.
Приращение функции обозначают, как $Δy$ или $Δf(x)$.
Из нашего определения следует: $x_1-x_0=Δx$ => $x_1= Δx+x_0$ и $f(x_1)-f(x_0)=Δy$. Тогда получаем важное равенство: $Δy=f(x_0+ Δx)-f(x_0)$.

Приращение функции может быть как положительным, так и отрицательным.

Давайте рассмотрим пример.
Найти приращение функции $y=х^3$ при переходе от $x_0=2$ к точке:
а) $x=2,1$; б) $x=1,9$.

Решение:
Обозначим $f(x)=х^3$.
Имеем: $f(2)=2^3=8$.

а) Воспользуемся формулой $Δy=f(x_0+ Δx)-f(x_0)$.
Нам надо найти значение $f(2,1)$.

$f(2,1)=2,1^3=9,261$.
$Δy= f(2,1)- f(2)= 9,261-8=1,261$.

б) $f(2)=8$.
$f(1,9)=1,9^3=6,859$.
$Δy= f(1,9)- f(2)= 6,859-8=-1,141$.

Ответ: а) $1,261$; б) $-1,141$.

Непрерывная функция и приращение

Ребята, давайте вернемся к определению непрерывной функции, и посмотрим на него с помощью приращений.
Вспомним определение непрерывной функции.
Определение. Функцию $y=f(x)$ называют непрерывной в точке $x=a$, если выполняется тождество:
[lim_{x rightarrow a}f(x)=f(a)]
Обратим внимание: $x →a$, тогда $(x-a) →0$ т.е. $Δx → 0$.

Также заметим: $f(x) → f(a)$ , значит $f(x) – f (a) → 0$ т.е. $Δy → 0$.

Определение непрерывности функции в точке можно записать так.

Функция $y=f(x)$ непрерывна в точке $x=a$, если в этой точке выполняется следующее условие:
если $Δx→0$, то $Δy → 0$.

Примеры

1. Для функции $y=kx+b$ найти:
а) приращение функции при переходе от фиксированной точки $x$ к $x+ Δx$;

б)предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Решение:

а) $f(x)= kx+b$.
$f(x+ Δx)=k(x+Δx)+b$;
$Δy= f(x+ Δx)-f(x)= k(x+Δx)+b-( kx+b)= kx+kΔx+b – kx-b= kΔx$.

б) Найдем требуемый предел: $lim_{Δx rightarrow 0}frac{Δy}{Δx}=lim_{Δx rightarrow 0}frac{kΔx}{Δx}=lim_{Δx rightarrow 0}k=k$.

2. Для функции $y=x^3$ найти:
а) приращение функции при переходе от фиксированной точки $x$ к $x+ Δx$.

б)предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Решение:

а) $f(x)= x^3$.
$f(x+ Δx)=(x+Δx)^3=x^3+3x^2Δx+3xΔx^2+Δx^3$.
$Δy= f(x+Δx)-f(x)= x^3+3x^2Δx+3xΔx^2+Δx^3-x^3=3x^2Δx+3xΔx^2+Δx^3$.

б) Найдем требуемый предел: $lim_{Δx rightarrow 0}frac{Δy}{Δx}=lim_{Δx rightarrow 0}frac{3x^2Δx+3xΔx^2+Δx^3}{Δx}=lim_{Δx rightarrow 0}(3x^2+3xΔx+Δx^2)=3x^2$.

Задачи для самостоятельного решения:

1) Найти приращение функции $y=x^4$ при переходе от $x_0=3$ к точке:
а) $x=3,2$;
б) $x=2,8$.

2) Для функции $y=3x+5$ найти приращение функции при переходе от фиксированной точки $x$ к $x+ Δx$.

3) Для функции $y=x^2$ найти приращение функции при переходе от фиксированной точки $x$ к $x+ Δx$.

4) Для функции $y=2x^3$ найти приращение функции при переходе от фиксированной точки $x$ к $x+ Δx$.