Как найти полное время маятника

Формула периода колебаний пружинного маятника в физике

Формула периода колебаний пружинного маятника

Обозначают период буквой $T$.

[T=frac{Delta t}{N}left(1right),]

где $Delta t$ – время колебаний; $N$ – число полных колебаний.

Уравнение колебаний пружинного маятника

Рассмотрим простейшую колебательную систему, в которой можно реализовать механические колебания. Это груз массы $m$, подвешенный на пружине, коэффициент упругости которой равен $k $(рис.1). Рассмотри вертикальное движение груза, которое обусловлено действием силы тяжести и силы упругости пружины. В состоянии равновесия такой системы, сила упругости равна по величине силе тяжести. Колебания пружинного маятника возникают, когда систему выводят из состояния равновесия, например, слегка дополнительно растянув пружину, после этого маятник предоставляют самому себе.

Допустим, что масса пружины мала в сравнении с массой груза, при описании колебаний ее учитывать не будем. Началом отсчета будем считать точку на оси координат (X), которая совпадает с положением равновесия груза. В этом положении пружина уже имеет удлинение, которое обозначим $b$. Растяжение пружины происходит из-за действия на груз силы тяжести, следовательно:

[mg=kb left(2right).]

Если груз смещают дополнительно, но закон Гука еще выполняется, то сила упругости пружины становится равна:

[F_u=-kleft(x+bright)left(3right).]

Ускорение груза запишем, помня, что движение происходит по оси X, как:

[a=frac{d^2x}{dt^2}=ddot{x }left(4right).]

Второй закон Ньютона для груза принимает вид:

[mddot{x}=-kleft(x+bright)+mg left(5right).]

Учтем равенство (2), формулу (5) преобразуем к виду:

[mddot{x}=-kx-kb+mg=-kx-mg+mg=-kx left(6right).]

Если ввести обозначение: ${omega }^2_0=frac{k}{m}$, то уравнение колебаний запишем как:

[ddot{x}+{omega }^2_0x=0left(7right),]

где ${omega }^2_0=frac{k}{m}$ – циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (7) (это проверяется непосредственной подстановкой) является функция:

[x=A{cos left({omega }_0t+varphi right)=A{sin left({omega }_0t+{varphi }_1right) } }left(8right),]

где ${omega }_0=sqrt{frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ – амплитуда колебаний; ${(omega }_0t+varphi )$ – фаза колебаний; $varphi $ и ${varphi }_1$ – начальные фазы колебаний.

Формулы периода колебаний пружинного маятника

Мы получили, что колебания пружинного маятника описывается функцией косинус или синус. Это периодические функции, значит, смещение $x$ будет принимать равные значения через определенные одинаковые промежутки времени, которые называют периодом колебаний.
Обозначают период буквой T.

Еще одной величиной, характеризующей колебания является величина обратная периоду колебаний, ее называют частотой ($nu $):

[T=frac{1}{nu }left(9right).]

Период связан с циклической частотой колебаний как:

[T=frac{2pi }{{omega }_0}left(10right).]

Выше мы получали для пружинного маятника ${omega }_0=sqrt{frac{k}{m}}$, следовательно, период колебаний пружинного маятника равен:

[T=2pi sqrt{frac{m}{k}} left(11right).]

Формула периода колебаний пружинного маятника (11) показывает, что $T$ зависит от массы груза, прикрепленного к пружине и коэффициента упругости пружины, но не зависит от амплитуды колебаний (A). Данное свойство колебаний называют изохронностью. Изохронность выполняется до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях пружины закон Гука нарушается, появляется зависимость колебаний от амплитуды. Подчеркнем, что формула (11) для вычисления периода колебаний пружинного маятника справедлива при малых колебаниях.

Примеры задач на период колебаний

Читать дальше: формула плеча силы.

Для школьников.

Любое тело подвешенное так, что его центр масс находится ниже точки подвеса, называют физическим маятником.

Маятник находится в состоянии устойчивого равновесия, если его центр масс расположен на вертикали под точкой подвеса.

Если маятник вывести из состояния равновесия, отклонив его на некоторый угол и предоставив самому себе, то он начнёт колебаться около положения равновесия.

Чтобы описать колебание маятника, надо знать уравнение его движения, то есть зависимость координаты от времени, и период его колебаний.

Но найти период колебаний физического маятника сложно, так как он зависит от многих причин – от формы и размера маятника, от распределения массы тела, расстояния от точки подвеса до центра масс тела.

Много проще описать поведение математического маятника. Для этого физический маятник заменяют математическим маятником такой длины, чтобы частоты колебаний этих маятников были одинаковы.

Длина математического маятника, частота колебаний которого равна частоте колебаний данного физического маятника, называется приведённой длиной физического маятника.

Под математическим маятником понимается тело малого размера, подвешенного на длинной нерастяжимой нити. Нить считаем невесомой, а тело можно принять за материальную точку.

Наблюдения за колебаниями маятников, подобных математическому, позволили установить следующие законы:

1) Период колебаний математического маятника не зависит от массы тела;

2) Период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды колебаний (при малых амплитудах).

Впервые второй закон был установлен Галилеем в 1655 году, при наблюдении им в соборе качания паникадила на длинной цепи, которое толкнули при зажигании. Его колебания постепенно затухали, но период колебаний оставался прежним. Для измерения периода колебаний Галилей пользовался своим пульсом.

Посмотрим теперь, как получили формулу, по которой можно найти период колебаний математического маятника.

На рис а) показан математический маятник, отклонённый от положения равновесия (от точки А) на малый угол (в точку В).

Буквой Р обозначена сила тяжести груза, а буквой Р (с индексом 1) обозначена переменная возвращающая сила, действующая на груз.

Так как возвращающая сила меняется в процессе колебания, то рассчитать движение колеблющегося тела сложно.

Для упрощения расчётов заставляют маятник колебаться не в одной плоскости, как показано на рис.а), а описывать конус (рис. б), чтобы грузик двигался по окружности.

Движение маятника по конусу может рассматриваться как сложение двух независимых колебаний (в плоскости рисунка и в перпендикулярной рисунку плоскости).

Период этих колебаний одинаков. Тогда период обращения маятника можно выразить через отношение длины окружности к скорости движения

При малом угле отклонения маятника (малой амплитуде) можно считать, что возвращающая сила направлена к центру окружности (является центростремительной, равной произведению массы тела на центростремительное или нормальное ускорение), то есть

С другой стороны, из подобия треугольников ОВС и ДВЕ можно записать, что

Приравняв правые части последних выражений, получим уравнение для скорости обращения груза

Подставив скорость в выражение периода, получим искомую формулу для нахождения периода гармонических колебаний математического маятника

Таким образом, период колебаний математического маятника зависит только от ускорения свободного падения и от длины маятника (расстояния от точки подвеса до центра масс груза), и не зависит от его массы и амплитуды (при малых значениях амплитуд), то есть теоретические расчёты подтверждают установленные путём наблюдений первый и второй законы, записанные выше.

К тому же полученная формула

позволила установить количественную зависимость между периодом колебаний маятника, его длиной и ускорением свободного падения g

На практике эту формулу можно использовать для точного нахождения ускорения свободного падения g в разных точках земной поверхности, где g имеет разные значения из-за неравномерной плотности земной коры.

Задачи.

Зададим себе вопросы:

Вопрос: Изменится ли период колебания качелей, если на доску положить груз?

Ответ: Качели могут рассматриваться как математический маятник, а период колебаний математического маятника не зависит от его массы. Значит, если во время колебаний качели на её доску положить груз, то период колебаний качели не изменится.

Вопрос: Как объяснить раскачивание изображённых на рисунке качелей?

Ответ: Качели раскачиваются, так как человек периодически приседает и выпрямляет ноги, изменяя этим центр масс качелей (колебательной системы). Период колебаний качелей меняется и поддерживается за счёт совершённой людьми на качелях работы.

Выше говорилось о колебаниях математического маятника в инерциальной системе отсчёта.

Если маятник колеблется в неинерциальной системе отсчёта, то

Задача.

Итак, мы рассмотрели, как было получено выражение для периода колебаний математического маятника в инерциальных системах отсчёта. В неинерциальных системах отсчёта для расчёта периода колебаний математического маятника кроме ускорения свободного падения надо учитывать ещё ускорение, входящее в выражение силы инерции.

К.В. Рулёва, к. ф.-м. н., доцент. Подписывайтесь на канал. Ставьте лайки. Пишите комментарии. Спасибо.

Предыдущая запись: Решение задач на тему: “Гармонические колебания”.

Следующая запись: Упругие колебания. Крутильные колебания.

Ссылки на занятия до электростатики даны в Занятии 1 .

Ссылки на занятия (статьи), начиная с электростатики, даны в конце Занятия 45 .

Ссылки на занятия (статьи), начиная с теплового действия тока, даны в конце Занятия 58.

Ссылки на занятия, начиная с переменного тока, даны в конце Занятия 70

---

Механическая система, которая состоит из материальной точки (тела), висящей на нерастяжимой невесомой нити (ее масса ничтожно мала по сравнению с весом тела) в однородном поле тяжести, называется математическим маятником (другое название – осциллятор). Бывают и другие виды этого устройства. Вместо нити может быть использован невесомый стержень. Математический маятник может наглядно раскрыть суть многих интересных явлений. При малой амплитуде колебания его движение называется гармоническим.

Общие сведения о механической системе

Формула периода колебания этого маятника была выведена голландским ученым Гюйгенсом (1629-1695 гг.). Этот современник И. Ньютона очень увлекался данной механической системой. В 1656 г. он создал первые часы с маятниковым механизмом. Они измеряли время с исключительной для тех времен точностью. Это изобретение стало важнейшим этапом в развитии физических экспериментов и практической деятельности.

Если маятник находится в положении равновесия (висит отвесно), то сила тяжести будет уравновешиваться силой натяжения нити. Плоский маятник на нерастяжимой нити является системой с двумя степенями свободы со связью. При смене всего одного компонента меняются характеристики всех ее частей. Так, если нитку заменить на стержень, то у данной механической системы будет всего 1 степень свободы. Какими же свойствами обладает математический маятник? В этой простейшей системе под воздействием периодического возмущения возникает хаос. В том случае, когда точка подвеса не двигается, а совершает колебания, у маятника появляется новое положение равновесия. При быстрых колебаниях вверх-вниз эта механическая система приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». У нее есть и свое название. Ее называют маятником Капицы.

Свойства маятника

Математический маятник имеет очень интересные свойства. Все они подтверждаются известными физическими законами. Период колебаний любого другого маятника зависит от разных обстоятельств, таких как размер и форма тела, расстояние между точкой подвеса и центром тяжести, распределение массы относительно данной точки. Именно поэтому определение периода висящего тела является довольно сложной задачей. Намного легче вычисляется период математического маятника, формула которого будет приведена ниже. В результате наблюдений над подобными механическими системами можно установить такие закономерности:

• Если, сохраняя одинаковую длину маятника, подвешивать различные грузы, то период их колебаний получится одинаковым, хотя их массы будут сильно различаться. Следовательно, период такого маятника не зависит от массы груза.

• Если при запуске системы отклонять маятник на не слишком большие, но разные углы, то он станет колебаться с одинаковым периодом, но по разным амплитудам. Пока отклонения от центра равновесия не слишком велики, колебания по своей форме будут достаточно близки гармоническим. Период такого маятника никак не зависит от колебательной амплитуды. Это свойство данной механической системы называется изохронизмом (в переводе с греческого «хронос» – время, «изос» – равный).

Период математического маятника

Этот показатель представляет собой период собственных колебаний. Несмотря на сложную формулировку, сам процесс очень прост. Если длина нити математического маятника L, а ускорение свободного падения g, то эта величина равна:

T = 2π√L/g

Период малых собственных колебаний ни в какой мере не зависит от массы маятника и амплитуды колебаний. В этом случае маятник двигается как математический с приведенной длиной.

Колебания математического маятника

Математический маятник совершает колебания, которые можно описать простым дифференциальным уравнением:

x + ω2 sin x = 0,

где х (t) – неизвестная функция (это угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент t, выраженный в радианах); ω – положительная константа, которая определяется из параметров маятника (ω = √g/L, где g – это ускорение свободного падения, а L – длина математического маятника (подвес).

Уравнение малых колебаний вблизи положення равновесия (гармоническое уравнение) выглядит так:

x + ω2 sin x = 0

Колебательные движения маятника

Математический маятник, который совершает малые колебания, двигается по синусоиде. Дифференциальное уравнение второго порядка отвечает всем требованиям и параметрам такого движения. Для определения траектории необходимо задать скорость и координату, из которых потом определяются независимые константы:

x = A sin (θ₀ + ωt),

где θ₀ – начальная фаза, A – амплитуда колебания, ω – циклическая частота, определяемая из уравнения движения.

Математический маятник (формулы для больших амплитуд)

Данная механическая система, совершающая свои колебания со значительной амплитудой, подчиняется более сложным законам движения. Для такого маятника они рассчитываются по формуле:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

где sn – синус Якоби, который для u < 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

где ε = E/mL2 (mL2 – энергия маятника).

Определение периода колебания нелинейного маятника осуществляется по формуле:

T = 2π/Ω,

где Ω = π/2 * ω/2K(u), K – эллиптический интеграл, π – 3,14.

Движение маятника по сепаратрисе

Сепаратрисой называют траекторию динамической системы, у которой двумерное фазовое пространство. Математический маятник движется по ней непериодически. В бесконечно дальнем моменте времени он падает из крайнего верхнего положения в сторону с нулевой скоростью, затем постепенно набирает ее. В конечном итоге он останавливается, вернувшись в исходное положение.

Если амплитуда колебаний маятника приближается к числу π, это говорит о том, что движение на фазовой плоскости приближается к сепаратрисе. В этом случае под действием малой вынуждающей периодической силы механическая система проявляет хаотическое поведение.

При отклонении математического маятника от положения равновесия с некоторым углом φ возникает касательная силы тяжести Fτ = –mg sin φ. Знак «минус» означает, что эта касательная составляющая направляется в противоположную от отклонения маятника сторону. При обозначении через x смещения маятника по дуге окружности с радиусом L его угловое смещение равняется φ = x/L. Второй закон Исаака Ньютона, предназначенный для проекций вектора ускорения и силы, даст искомое значение:

mg τ = Fτ = –mg sin x/L

Исходя из этого соотношения, видно, что этот маятник представляет собой нелинейную систему, поскольку сила, которая стремится вернуть его в положение равновесия, всегда пропорциональна не смещению x, а sin x/L.

Только тогда, когда математический маятник осуществляет малые колебания, он является гармоническим осциллятором. Иными словами, он становится механической системой, способной выполнять гармонические колебания. Такое приближение практически справедливо для углов в 15–20°. Колебания маятника с большими амплитудами не является гармоническим.

Закон Ньютона для малых колебаний маятника

Если данная механическая система выполняет малые колебания, 2-й закон Ньютона будет выглядеть таким образом:

mg τ = Fτ = –m* g/L* x.

Исходя из этого, можно заключить, что тангенциальное ускорение математического маятника пропорционально его смещению со знаком «минус». Это и является условием, благодаря которому система становится гармоническим осциллятором. Модуль коэффициента пропорциональности между смещением и ускорением равняется квадрату круговой частоты:

ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.

Эта формула отражает собственную частоту малых колебаний этого вида маятника. Исходя из этого,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

Вычисления на основе закона сохранения энергии

Свойства колебательных движений маятника можно описать и при помощи закона сохранения энергии. При этом следует учитывать, что потенциальная энергия маятника в поле тяжести равняется:

E = mg∆h = mgL(1 – cos α) = mgL2sin2 α/2

Полная механическая энергия равняется кинетической или максимальной потенциальной: Epmax = Ekmsx = E

После того как будет записан закон сохранения энергии, берут производную от правой и левой частей уравнения:

Ep + Ek = const

Поскольку производная от постоянных величин равняется 0, то (Ep + Ek)’ = 0. Производная суммы равняется сумме производных:

Ep’ = (mg/L*x2/2)’ = mg/2L*2x*x’ = mg/L*v + Ek’ = (mv2/2) = m/2(v2)’ = m/2*2v*v’ = mv* α,

следовательно:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

Исходя из последней формулы находим: α = – g/L*x.

Практическое применение математического маятника

Ускорение свободного падения изменяется с географической широтой, поскольку плотность земной коры по всей планете не одинакова. Там, где залегают породы с большей плотностью, оно будет несколько выше. Ускорение математического маятника нередко применяют для геологоразведки. В его помощью ищут различные полезные ископаемые. Просто подсчитав количество колебаний маятника, можно обнаружить в недрах Земли каменный уголь или руду. Это связано с тем, что такие ископаемые имеют плотность и массу больше, чем лежащие под ними рыхлые горные породы.

Математическим маятником пользовались такие выдающиеся ученые, как Сократ, Аристотель, Платон, Плутарх, Архимед. Многие из них верили в то, что эта механическая система может влиять на судьбу и жизнь человека. Архимед использовал математический маятник при своих вычислениях. В наше время многие оккультисты и экстрасенсы пользуются этой механической системой для осуществления своих пророчеств или поиска пропавших людей.

Известный французский астроном и естествоиспытатель К. Фламмарион для своих исследований также использовал математический маятник. Он утверждал, что с его помощью ему удалось предсказать открытие новой планеты, появление Тунгусского метеорита и другие важные события. Во время Второй мировой войны в Германии (г. Берлин) работал специализированный Институт маятника. В наши дни подобными исследованиями занят Мюнхенский институт парапсихологии. Свою работу с маятником сотрудники этого заведения называют «радиэстезией».

Содержание:

Гармонические колебания:

Некоторые движения, встречающиеся в быту, за равные промежутки времени повторяются. Такое движение называется периодическим движением. Часто встречается движение, при котором тело перемещается то в одну, то в другую сторону относительно равновесного состояния. Такое движение тела называется колебательным движением или просто колебанием.

Колебания, совершаемые телом, которое выведено из равновесного состояния в результате действия внутренних сил, называются собственными (свободными) колебаниями. Величина удаления от равновесного состояния колеблющегося тела называется его смещением (

Для наблюдения механических колебаний ознакомимся с колебаниями груза, закрепленного на конце пружины (рис. 5.1). На этом рисунке груз, закрепленный на пружине, сможет двигаться без трения с горизонтальным стержнем, так как силу тяжести шарика приводит в равновесие реакционная сила стержня.
Коэффициент упругости пружины – , а ее масса ничтожна мала и можно ее не учитывать. Считаем, что масса системы сосредоточена в грузе, а упругость в пружине.

Если груз, который находится в равновесии, потянем вправо на расстояние и отпустим, то под действием силы упругость, которая появляется в пружине, груз смещается в
сторону равновесного состояния.

С течением времени смещение груза уменьшается относительно , но скорость груза при этом увеличивается. Когда груз доходит до равновесного состояния, его смещение () равняется нулю и соответственно сила упругости равняется нулю. Но груз по инерции начинает двигаться в левую сторону. Модуль силы упругости, которая появляется в пружине, тоже растет. Однако из-за того, что сила упругости постоянно направлена против смещения груза, она начинает тормозить груз. В результате движение груза замедляется, и, в результате, прекращается. Теперь груз под воздействием эластической силы сжатой пружины начинает двигаться в сторону равновесного состояния.
Для определения закономерности изменения в течение времени системы, которая периодически совершает колебания, заполним воронку песком, подвесим на веревке, подложим бумагу под систему и раскачаем воронку. В ходе колебания начинаем равномерно вытягивать бумагу из-под системы. В результате мы увидим, что следы песка на бумаге образуют синусоиду. Из этого можно сделать следующий вывод: смещение периодически колеблющегося тела по истечении времени изменяется по закону синусов и косинусов. При этом самое большое значение смещения равняется амплитуде ():

здесь: – циклическая частота, зависящая от параметров колеблющихся систем, – начальная фаза, () фаза колебания с течением времени .
Из математики известно, что  поэтому формулу (5.2.) можно записать в виде

Колебания, в которых с течением времени параметры меняются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями. 

Значит, пружинный маятник, вышедший из равновесного состояния, совершает гармоническое колебание. Для того чтобы система совершала гармоническое колебание: 1) при выходе тела из равновесного состояния, для возвращения его в равновесное состояние должна появиться внутренняя сила; 2) колеблющееся тело должно обладать инертностью и на него не должны оказывать воздействие силы трения и сопротивления. Эти условия называется условиями проявления колебательных движений. 

Основные параметры гармонических колебаний

a) период колебания – время одного полного колебания:

)

б) частота колебания – количество колебаний, совершаемых за 1 секунду:

Единица
c) циклическая частота – количество колебаний за секунд:

С учетом формул (5.5) и (5.6) уравнение гармонических колебаний (5.2) можно записать в следующей форме.

Большинство величин, количественно описывающих гармонические колебания, смещения которых с течением времени меняются по закону синусов или косинусов (скорость, ускорение, кинетическая и потенциальная энергия), тоже гармонически меняются. 
Это подтверждается следующими графиками и уравнениями:

Пример решения задачи:

Точка совершает гармоническое колебательное движение. Максимальное смещение и скорость соответственно равны 0,05 м и 0,12 м/с. Найдите максимальное ускорение и скорость колебательного движения, а также ускорение точки в момент, когда смещение равно 0,03 м.

Дано:

Найти:

Формула и решение:

Гармонические колебания пружинного маятника

В 1985 году в городе Мехико произошла ужасная катастрофа, причина которой было землетрясение: 5526 человек погибли, 40 ООО человек ранены, 31000 человек остались без крова. Из проведенных затем исследований ученые выяснили, что главной причиной разрушений во время землетрясения является совпадение частоты свободных колебаний зданий с частотой вынужденных колебаний Земли. Поэтому при возведении новых зданий в сейсмически активной зоне необходимо, чтобы эти частоты не совпадали. Это даст возможность уменьшить последствия землетрясения. С этой целью важно знать, от чего зависят частота и период колебаний.

Одной из простейших колебательных систем, совершающих гармонические колебания, является пружинный маятник.

Пружинный маятник — это колебательная система, состоящая из пружины и закрепленного на ней тела. Колебания, возникающие в пружинном маятнике, являются гармоническими колебаниями:

Под гармоническими колебаниями подразумеваются колебания, возникающие под действием силы, прямо пропорциональной перемещению и направленной против направления перемещения.

Исследование колебаний пружинного маятника имеет большое практическое значение, например, при вычислении колебаний рессор автомобиля при езде; в исследовании воздействия колебаний на фундамент зданий и тяжелых станков, в определении эластичности ушных перепонок при диагностике лор-заболеваний. По этой причине изучение колебаний пружинного маятника является актуальной проблемой.

С целью уменьшения количества сил, действующих на колебательную систему, целесообразно использовать горизонтально расположенную колебательную систему пружина-шарик (d).

В этой системе действия силы тяжести и реакции опоры уравновешивают друг друга. При выведении шарика из состоянии равновесия, например, при растяжении пружины до положения сила упругости, возникающая в ней, сообщает шарику ускорение и приводит его в колебательное движение. По II закону Ньютона уравнение движения маятника можно записать так:

или

Формула (4.9) является уравнением свободных гармонических колебаний пружинного маятника.

Где  – масса шарика, закрепленного на пружине, — проекция ускорения шарика вдоль оси  — жесткость пружины, -удлинение пружины, равное амплитуде колебания. Для данной колебательной системы отношение – постоянная положительная величина (так как масса и жесткость не могут быть отрицательными). При сравнении уравнения колебаний (4.9) пружинного маятника с выражением для другого вида периодического движения – известным выражением центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности получается, что отношение соответствует квадрату циклической частоты

или

Таким образом, уравнение движения пружинного маятника можно записать и так:

Уравнение (4.12) показывает, что колебания пружинного маятника с циклической частотой являются свободными гармоническими колебаниями. Из математики известно, что решением этого уравнения является:

Так как тригонометрическая функция является гармонической функцией, то и колебания пружинного маятника являются гармоническими колебаниями.

Здесь фаза колебания, — начальная фаза. Единица измерения фазы в СИ – радиан (1 рад). Фазу также можно измерять в градусах: Значение начальной фазы зависит от выбора начального момента времени. Начальный момент времени можно выбрить так, чтобы В этом случае формулу гармонических колебаний пружинного маятника можно записать так:

или

Из сравнения выражений (4.11) и (4.5) определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний пружинного маятника: 

Из выражений (4.14) и (4.15) видно, что период и частота пружинного маятника зависят от жесткости пружины и массы груза, подвешенного к нему.

Гармонические колебания математического маятника

До наших дней дошла такая историческая информация: однажды в 1583 году итальянский ученый Г. Галилей, находясь в храме города Пиза, обратил внимание на колебательное движение люстры, подвешенной на длинном тросе. Он, сравнивая колебания люстры со своим пульсом, определил, что, несмотря на уменьшение амплитуды колебания, время, затрачиваемое на одно полное колебание (период колебания) люстры, не изменяется. Затем Галилей в результате многочисленных проведенных исследований, изменяя длину нитевого маятника, массу подвешенного к нему груза, высоту расположения маятника (по сравнению с уровнем моря), определил, от чего зависят период и частота колебаний маятника.

Гармонические колебания возникают также под действием силы тяжести. Это можно наблюдать с помощью математического маятника.

Математический маятник – это идеализированная колебательная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити.

Для исследования колебаний математического маятника можно использовать систему, состоящую из тонкой длинной нити и шарика (b).

Сила тяжести действующая на шарик в положении равновесия маятника, уравновешивается силой натяжения нити Однако, если вывести маятник из состояния равновесия, сместив его на малый угол в сторону, то возникают две составляющие вектора силы тяжести -направленная вдоль нити и перпендикулярная нити Сила натяжения  и составляющая силы тяжести уравновешивают друг друга. Поэтому равнодействующая сила будет равна составляющей “пытающейся” вернуть тело в положение равновесия (см.: рис. b). Учитывая вышеуказанное и ссылаясь на II закон Ньютона, можно написать уравнение колебательного движения тела массой в проекциях на ось ОХ:

Приняв во внимание, что:

Для уравнения движения математического маятника получим:

Где  — длина математического маятника (нити),  – ускорение свободного падения, — амплитуда колебания.

Для данной колебательной системы отношение — постоянная положительная величина, потому что ускорение свободного падения и длина нити не могут быть отрицательными. Если сравнить уравнения (4.16) и (4.10), с легкостью можно увидеть, что отношение  также соответствует квадрату циклической частоты 

или

Таким образом, уравнение движения математического маятника можно записать и так:

Уравнение (4.19) показывает, что колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями с циклической частотой со. Из математики вы знаете, что решением этого уравнения является нижеприведенная функция:

Так как эта функция является гармонической, то и колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями.

Отсюда определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний математического маятника:

Таким образом, период и частота колебаний математического маятника зависят от длины маятника и напряженности гравитационного поля в данной точке.

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Вы уже знакомы с основными тригонометрическими функциями и умеете строить графики тригонометрических уравнений, описывающих гармонические колебания.

При гармонических колебаниях маятника его смещение изменяется по гармоническому закону, поэтому не трудно доказать, что его скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону. Предположим, что смещение изменяется по закону косинуса и начальная фаза равна нулю

Так как скорость является первой производной смещения (координат) по времени, то:

или

Как видно из выражения (4.23), скорость, изменяющаяся по гармоническому закону, опережает колебания смещения по фазе на (а).

Максимальное (амплитудное) значение скорости зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

Так как ускорение является первой производной скорости по времени, то получим:

или

Как видим, колебания ускорения, изменяющегося по гармоническому закону, опережают колебания скорости по фазе на а колебания смещения на

 (см.: рис. а). Максимальное (амплитудное) значение ускорения зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

Превращения энергии при гармонических колебаниях 

Теоретический материал

Потенциальная и кинетическая энергия свободных гармонических колебаний в замкнутой системе периодически превращаются друг в друга.

В таблице 4.4 дано сравнение превращений энергий в пружинном и математическом маятниках. Как видно из таблицы, потенциальная энергия колебательной системы в точке возвращения имеет максимальное значение:

Если же маятник находится в точке равновесия, потенциальная энергия минимальна:

Кинетическая энергия системы, наоборот, в точке возвращения минимальна а в точке равновесия максимальна: 

На рисунке (а) даны графики зависимости потенциальной и кинетической энергии при гармоническом колебательном движении от смещения.

Полная механическая энергия замкнутой колебательной системы в произвольный момент времени остается постоянной (трение не учитывается):

a) для пружинного маятника:

b) для математического маятника:

Если принять во внимание изменение смещения и скорости по гармоническому закону в формулах потенциальной и кинетической энергии колебательного движения, то станет очевидно, что при гармонических колебаниях эти энергии так же изменяются по гармоническому закону (b):  

Как было отмечено выше, полная энергия системы не изменяется по гармоническому закону:

• Полная энергия гармонических колебаний прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Если же в системе существует сила трения, то его полная энергия не сохраняется — изменение полной механической энергии равно работе силы трения. В результате колебания затухают:

Превращения энергии при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий. Кинетической энергией тело обладает вследствие своего движения, а потенциальная энергия определяется взаимодействием тела с другими телами или полями. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силу трения не учитывают, то его механическая энергия сохраняется.

Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол а (рис. 7), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

Рис. 7. Превращения энергии при колебаниях математического маятника
 

Поскольку при прохождении положения равновесия его потенциальная энергия равна нулю, то кинетическая энергия (а следовательно, и скорость) будет максимальна:

Из закона сохранения механической энергии следует (рис. 8), что

(1)

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

    (2)

Высоту можно выразить через длину маятника l и амплитуду колебаний А.

Если колебания малые, то Из треугольника KCD на рисунке 8 находим

Отсюда

Подставив выражение для в формулу I (2), получим

Подставляя выражения для  и  в соотношение (1), находим

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную.

В любом промежуточном положении

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 9). В крайних точках, когда координата груза принимает значение , модуль его скорости равен нулю (v = 0) и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

Таким образом, получаем, что механическая энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда x = 0, вся энергия осциллятора переходит в кинетическую энергию груза:

где — модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В промежуточных точках полная механическая энергия

Отсюда можно вывести выражение для модуля скорости груза в точке с

координатой х:    

Так как

Энергия при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергии. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силой трения пренебрегают, то его механическая энергия сохраняется. Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол  (рис. 10), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

Поскольку при прохождении положения равновесия потенциальная энергия равна нулю  то из закона сохранения механической энергии следует (см. рис. 10), что  т. е. кинетическая энергия маятника (а следовательно, и скорость) рис. ю. Определение^иhmax будет максимальна:

Запишем закон сохранения механической энергии, подставив в него выражения для потенциальной и кинетической энергии:

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

Высоту  можно выразить через длину  маятника и амплитуду  колебаний. Если колебания малые, то  Из  (см. рис. 10) находим:

или 

Подставив выражение (3) для  в формулу (2), получим:

Подставляя выражения (3) для  и (4) для  в соотношение (1), находим:

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную (рис. 11). В любом промежуточном положении

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 12).

В крайних положениях, когда  модуль скорости маятника  и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

Таким образом, из соотношения (6) следует, что механическая энергия пружинного маятника пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда  вся энергия пружинного маятника переходит в кинетическую энергию груза:

где  — модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В положениях между крайними точками полная энергия

С учетом выражений для координаты  и проекции скорости груза  а также для  находим его потенциальную энергию  и кинетическую энергию  в произвольный момент времени 

Тогда полная механическая энергия пружинного маятника в этот же. момент времени есть величина постоянная и равная:

Таким образом, начальное смещение  определяет начальную потенциальную, а начальная скорость  определяет начальную кинетическую энергию колеблющегося тела. При отсутствии в системе потерь энергии процесс колебаний сопровождается только переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно.

Заметим, что частота периодических изменений кинетической (потенциальной) энергии колеблющегося тела в два раза больше частоты колебаний маятника. Действительно, дважды за период механическая энергия тела будет полностью превращаться в потенциальную (в двух крайних положениях маятника) и дважды за период — в кинетическую (при его прохождении через положение равновесия) (рис. 13).

Пример №1

Математический маятник при колебаниях от одного крайнего положения до другого смещается на расстояние  см и при прохождении положения равновесия достигает скорости, модуль которой  Определите период  колебании маятника.
Дано:

Решение

По закону сохранения механической энергии

Отсюда: 

Ответ: 

Пример №2

Груз массой  г находится на гладкой горизонтальной поверхности и закреплен на легкой пружине жесткостью  Его смешают на расстояние  см от положения равновесия и сообщают в направлении от положения равновесия скорость, модуль которой  Определите потенциальную  и кинетическую  энергию груза в начальный момент времени. Запишите кинематический закон движения груза.

Дано:

Решение Потенциальная энергия груза:

Кинетическая энергия груза:

Начальное смещение груза не является амплитудой, так как вместе с начальным отклонением грузу сообщили и скорость. Однако полная энергия может быть выражена через амплитуду колебаний:

Отсюда

Циклическая частота:

В начальный момент времени  координата груза  Отсюда начальная фаза:

Тогда закон гармонических колебаний имеет вид (рис. 14):

Ответ: