Как найти полную поверхность правильной усеченной пирамиды

Как найти площадь поверхности усеченной пирамиды

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности пирамиды онлайн. Для расчета задайте периметры оснований и апофему.

Усеченная пирамида — многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

Апофема – опущенный перпендикуляр из вершины на ребро основания.

Введите данные:

Округление:

* – обязательно заполнить

Материал урока.

На прошлых уроках
мы работали с пирамидами. Давайте вспомним, какой многогранник называется
пирамидой, что такое правильная пирамида, вспомним свойства правильной пирамиды.

Многогранник, составленный из -угольника  и  треугольников, называется пирамидой.

Пирамида называется правильной,
если ее основание – правильный многоугольник.

Площадь боковой поверхности правильной
пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Все боковые ребра правильной пирамиды
равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Пусть нам дана
пирамида PA₁A₂…A_n. Проведем секущую плоскость β,
параллельную плоскости основания пирамиды и пусть эта плоскость пересекает
боковые ребра в точках B_1,B₂,…,
B_n.

Плоскость β
разбивает пирамиду на две фигуры: пирамиду PB₁B₂…B_n  и многогранник. Многогранник, гранями которого являются n-угольники A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n, расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂,…, A_nA₁B₁B_n называется
усеченной пирамидой.

Вокруг нас много
примеров усеченных пирамид. Вытяжка над кухонной плитой имеет форму усеченной
пирамиды.клавиши клавиатуры и другие предметы.

N-угольники
A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n называются соответственно верхним и нижним основанием.
Четырехугольники A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂,…, A_nA₁B₁B_n называются боковыми
гранями.

Отрезки A₁B₁,…, A_nB_n называются боковыми рёбрами
усеченной пирамиды.

Усеченную пирамиду
обозначают так A₁A₂…A_nB₁B₂…B_n. Возьмем на верхнем основании произвольную
точку C и из этой точки опустим перпендикуляр на нижнее
основание. Этот перпендикуляр называется высотой усеченной пирамиды.

Теперь давайте
докажем, что боковые грани усеченной пирамиды – это трапеции.

Для доказательства
рассмотрим грань A₁A₂B₂B₁. Понятно,
что для других боковых граней доказательство будет проводится аналогично.

Поскольку секущая
плоскость проводилась параллельно плоскости основания, то можно записать, что A₁A₂
параллельно B₁B₂.
Очевидно, что две другие стороны четырехугольника A₁A₂B₂B₁ не параллельны (они пересекаются в точке P). Получаем, что этот четырехугольник – трапеция. Очевидно,
что все остальные боковые грани тоже будут трапециями.

Как и в случае с
пирамидой, усеченная пирамида тоже может быть правильной.

Усеченная пирамида
называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды
плоскостью, параллельной основанию.

Основаниями
усеченной пирамиды являются правильные многоугольники, а боковые грани –
равнобедренные трапеции.

Высоты этих трапеций
называются апофемами.

Объединение боковых граней называется боковой
поверхностью усеченной пирамиды, а объединение всех граней называется полной
поверхностью усеченной пирамиды. Тогда площадью боковой поверхности
пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

А площадью полной поверхности пирамиды называется
сумма площадей всех ее граней.

Теперь давайте
сформулируем и докажем теорему о площади боковой поверхности правильной
усеченной пирамиды.

Площадь боковой
поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы
периметров основания на апофему.

Доказательство.

Запишем формулу для
нахождения площади боковой поверхности усеченной пирамиды.

Поскольку усеченная
пирамида правильная, значит, ее гранями будут равнобедренные трапеции.

 Площадь равнобедренной
трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Высота боковой грани
есть ничто иное как апофема усеченной пирамиды.

Подставим все в
исходную формулу, вынесем половину апофемы за скобки, а в скобках сгруппируем
стороны по основаниям. Тогда получим, что площадь боковой поверхности будет
равна произведению полусуммы периметров оснований усеченной пирамиды на
апофему.

Что и
требовалось доказать.

Решим несколько
задач.

Задача. Стороны
оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды  равны  и . Высота пирамиды
равна . Найти площадь
боковой поверхности.

Решение.

Ответ. 120
см²

Решим еще одну
задачу.

Задача. Пирамида
пересечена плоскостью, параллельной основанию. Доказать что боковые ребра и
высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.

Решение.

Что и
требовалось доказать.

Решим еще одну
задачу.

Задача. Правильная
треугольная пирамида  с высотой  и стороной основания
равной  рассечена плоскостью
, проходящей через
середину  высоты  параллельно
основанию . Найти площадь
боковой поверхности полученной усеченной пирамиды.

Решение.

Ответ.
135 см².

Подведем итоги
урока. Сегодня на уроке мы познакомились с такими понятиями как усеченная
пирамида, правильная усеченная пирамида. Рассмотрели свойства правильной
усеченной пирамиды. Решили несколько задач.

Усечённая пирами́да — многогранник, часть пирамиды, заключенная между основанием и плоскостью, параллельной основанию.

Связанные определения[править | править код]

• Основание изначальной пирамиды, а также параллельная ему грань называются основаниями усечённой пирамиды.
  • Остальные грани называются боковыми.

• Если изначальная пирамида правильная то её усечённая пирамида также называется правильной.
  • Высота боковой грани называется апофемой.

Свойства[править | править код]

• Боковые грани усечённой пирамиды представляют собой трапеции.

Правильная усечённая пирамида[править | править код]

В основаниях правильной усеченной пирамиды лежат правильные равносторонние многоугольники, зная длину стороны которых можно рассчитать периметр, площадь, радиусы вписанных и описанных окружностей и даже внутренний угол таких многоугольников.
γ=180°(n-2)/n
P=n(a+b+d)
S_a=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )
S_b=(nb^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )
r_a=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )
r_b=b/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )
R_a=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )
R_b=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды зависит не только от сторон оснований пирамиды, но и от ее апофемы, поэтому имея данные о сторонах и боковой площади, можно вычислить апофему, преобразовав данную формулу.
S_(б.п.)=nf (a+b)/2
f=(2S_(б.п.))/n(a+b)

Затем, зная апофему усеченной пирамиды, можно найти боковое ребро через прямоугольную трапецию, которая образована ими по боковой грани пирамиды. В основаниях такой трапеции лежат половины сторон оснований пирамиды, поэтому в прямоугольном треугольнике внутри трапеции боковое ребро будет вычисляться по теореме Пифагора. (рис. 50.2)
d=√(f^2+(b/2-a/2)^2 )=√(f^2+(b-a)^2/4)

Чтобы найти высоту усеченной пирамиды, необходимо рассмотреть такую же трапецию внутри усеченной пирамиды, тогда в ней высота будет равна аналогичному радикалу через радиусы вписанных в основания окружностей и апофему. (рис. 50.3)
h=√(f^2-(r_b-r_a )^2 )

Чтобы рассчитать углы при основаниях усеченной пирамиды и апофеме, можно воспользоваться в этой же трапеции/прямоугольном треугольнике тригонометрическими отношениями и принципом суммы углов трапеции.
cos⁡β=(r_b-r_a)/f
α=180°-β

Углы при основаниях и апофеме усеченной пирамиды можно вычислить в трапеции, которую боковое ребро образует с высотой пирамиды подобным образом, через радиусы вписанных в основания окружностей. (рис. 50.4)
cos⁡δ=(R_b-R_a)/2d
ε=180°-δ

Так как площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды состоит из площади боковой поверхности и двух площадей оснований, то нужно просто добавить к уже имеющейся площади боковой поверхности найденные основания.
S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.1,2)=S_(б.п.)+n(a^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )+b^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Объем правильной усеченной пирамиды равен одной трети высоты, умноженной на сложенные вместе площади оснований и квадратный корень из их произведения.
V=1/3 h(S_осн1+S_осн2+√(S_осн1 S_осн2 ))