Как найти полную работу за цикл

Спецвыпуск

Работа газа в термодинамике

··· Орловский выпуск ···

Г.А.БЕЛУХА,
школа № 4, г. Ливны, Орловская обл.

Работа газа в термодинамике

Методические рекомендации по
изучению темы, 10-й класс

При изучении работы газа в
термодинамике учащиеся неизбежно сталкиваются с
трудностями, обусловленными слабыми навыками
вычисления работы переменной силы. Поэтому к
восприятию этой темы необходимо готовиться,
начиная уже с изучения работы в механике и решая
с этой целью задачи на работу переменной силы
путём суммирования элементарных работ на всём
пути с помощью интегрирования.

Например, при вычислениях работы силы
Архимеда, силы упругости, силы всемирного
тяготения и т.п. надо учиться суммировать
элементарные величины с помощью простейших
дифференциальных соотношений типа dA = Fds.
Опыт показывает, что старшеклассники легко
справляются с этой задачей, – дугу траектории, на
которой сила увеличивается или уменьшается,
нужно разбить на такие промежутки ds, на
которых силу F можно считать постоянной
величиной, а затем, зная зависимость F = F(s),
подставить её под знак интеграла. Например,

Работа этих сил вычисляется с помощью
простейшего табличного интеграла

Такая методика облегчает адаптацию
будущих студентов к восприятию курса физики в
вузе и устраняет методические сложности,
связанные с умением находить работу переменной
силы в термодинамике и др.

После того как учащиеся усвоили, что
такое внутренняя энергия и как найти её
изменение, целесообразно дать обобщающую схему:

Усвоив, что работа – это один из
способов изменения внутренней энергии,
десятиклассники легко рассчитывают работу газа
в изобарном процессе. На данном этапе необходимо
подчеркнуть, что сила давления газа на всём пути
не меняется, и по третьему закону Ньютона |F₂| = |F₁|,
знак работы находим из формулы A = Fs cos. Если  = 0°, то A > 0,
если  = 180°,
то A < 0. На графике зависимости р(V)
работа численно равна площади под графиком.

Пусть газ расширяется или сжимается
изотермически. Например, газ сжимается под
поршнем, давление изменяется, и в любой момент
времени

При бесконечно малом перемещении
поршня на dl мы получим бесконечно малое
изменение объёма dV, а давление р можно
считать постоянным. По аналогии с нахождением
механической работы переменной силы, составим
простейшее дифференциальное соотношение dA = pdV,
тогда и, зная
зависимость р (V), запишем   Это табличный интеграл
типа   Работа
газа в этом случае отрицательна, т.к. = 180°:

т.к. V₂ < V₁.

Полученную формулу можно переписать,
используя соотношение

Для закрепления решим задачи.

1. Газ переходит из состояния 1
(объём V₁, давление р₁) в
состояние 2 (объём V₂, давление р₂)
в процессе, при котором его давление зависит от
объёма линейно. Найдите работу газа.

Решение. Построим примерный
график зависимости p от V. Работа равна
площади под графиком, т.е. площади трапеции:

2. Один моль воздуха, находящийся при
нормальных условиях, расширяется от объёма V₀
до 2V₀ двумя способами – изотермически
и изобарно. Сравните работу, совершённую
воздухом в этих процессах.

Решение

При изобарном процессе A_p = р₀V, но р₀ = RT₀/V₀,
V = V₀,
следовательно, A_p = RT₀.

При изотермическом процессе:

Сравним:

Изучив первый закон термодинамики и
его применение к изопроцессам и закрепив
решением задач тему о работе в термодинамике,
учащиеся подготовились к восприятию наиболее
сложной части термодинамики «Работа циклов и КПД
тепловых машин». Этот материал я излагаю в
следующей последовательности: работа циклов –
цикл Карно – КПД тепловых машин – круговые
процессы.

Круговым
процессом (или циклом) называется
термодинамический процесс, в результате
которого тело, пройдя ряд состояний,
возвращается в исходное состояние. Если все
процессы в цикле равновесные, то цикл считается
равновесным. Его можно изобразить графически в
виде замкнутой кривой.

На рисунке показан график зависимости
давления p от объёма V (диаграмма p, V)
для некоторого цикла 1–2–3–4–1. На участках 1–2
и 4–1 газ расширяется и совершает
положительную работу А₁, численно
равную площади фигуры V₁412V₂.
На участке 2–3–4 газ сжимается и совершает
работу А₂, модуль которой равен
площади фигуры V₂234V₁. Полная
работа газ за цикл А = А₁ + А₂,
т.е. положительна и равна площади фигуры 12341.

Если равновесный цикл изображается
замкнутой кривой на р, V-диаграмме,
которая обходится по часовой стрелке, то работа
тела положительна, а цикл накзывается прямым.
Если замкнутая кривая на р, V-диаграмме
обходится против часовой стрелки, то газ
совершает отрицательную работу за цикл, а цикл
называется обратным. В любом случае модуль
работы газа за цикл равен площади фигуры,
ограниченной графиком цикла на р, V-диаграмме.

В круговом процессе рабочее тело
возвращается в исходное состояние, т.е. в
состояние с первоначальной внутренней энергией.
Это значит, что изменение внутренней энергии за
цикл равно нулю: U = 0.
Так как, по первому закону термодинамики, для
всего цикла Q = U + A, то Q = A.
Итак, алгебраическая сумма всех количеств
теплоты, полученных за цикл, равна работе тела за
цикл: A_ц = Q_н + Q_х = Q_н
– |Q_х|.

Рассмотрим один из круговых процессов
– цикл Карно. Он состоит из двух изотермических и
двух адиабатических процессов. Пусть рабочим
телом является идеальный газ. Тогда на участке 1–2
изотермического расширения, согласно первому
закону термодинамики, всё получаемое газом тепло
идёт на совершение положительной работы: Q₁₂ = A₁₂.
То есть нет никаких потерь тепла в окружающее
пространство и никакого изменения внутренней
энергии: U = 0,
т.к. T₁₂ = const (потому что газ –
идеальный).

На участке 2–3 адиабатного
расширения газ совершает положительную работу
за счёт изменения внутренней энергии, т.к. Q_ад = 0
= U₂₃ + A_г23  A_г23 = –U₂₃.
Здесь также нет потерь тепла, по определению
адиабатного процесса.

На участке 3–4 над газом
совершается положительная работа внешней силой,
но он не нагревается (изотермический процесс).
Благодаря достаточно медленно протекающему
процессу и хорошему контакту с холодильником газ
успевает отдавать получаемую за счёт работы
энергию в виде тепла холодильнику. Сам же газ
совершает при этом отрицательную работу: Q₃₄ = A_г34
< 0.

На участке 4–1 газ адиабатно (без
теплообмена) сжимается до исходного состояния.
При этом он совершает отрицательную работу, а
внешние силы – положительную: 0 = U₄₁ + A_г41
A_г41 = –U₄₁.

Таким образом, за цикл газ получает
тепло только на участке 1–2, изотермически
расширяясь:

Холодильнику тепло отдаётся только
при изотермическом сжатии газа на участке 3–4:

Согласно первому закону термодинамики

A_ц = Q_н – |Q_x|;

поэтому

КПД машины, работающей по циклу Карно,
найдём по формуле

Согласно закону Бойля–Мариотта для
процессов 1–2 и 3–4, а также уравнению
Пуассона для процессов 2–3 и 4–1, легко
доказать, что

(Хорошо бы увидеть, как автор это
делает: ведь уравнение Пуассона для диабаты
идеального газа надо ещё получить. – Ред.)

После сокращений получим формулу КПД
тепловой машины, работающей по циклу Карно:

Работу тепловых машин, работающих по
обратному циклу, методически правильно, как
показывает опыт, изучать на примере работы
обратного цикла Карно, т.к. он обратим и его можно
провести в обратном направлении: расширять газ
при понижении температуры от T_н до T_x
(процесс 1–4) и при низкой температуре T_x
(процесс 4–3), а затем сжимать (процессы 3–2
и 2–1). Теперь двигатель совершает работу,
чтобы привести в действие холодильную машину.
Рабочее тело отнимает количество теплоты Q_x
у продуктов внутри при низкой температуре T_х,
а отдаёт количество теплоты Q_н
окружающим телам, за пределами холодильника, при
более высокой температуре T_н. Таким
образом, машина, работающая по обратному циклу
Карно, уже не тепловая, а идеальная холодильная.
Роль нагревателя (отдающего тепло) выполняет
тело с более низкой температурой. Но, сохранив
названия элементов, как в тепловой машине,
работающей по прямому циклу, мы можем
представить блок-схему холодильника в следующем
виде:

Обратим внимание, что тепло от
холодного тела переходит в холодильной машине к
телу с более высокой температурой не
самопроизвольно, а за счёт работы внешней силы.

Важнейшей характеристикой
холодильника является холодильный коэффициент , определяющий
эффективность работы холодильника и равный
отношению количества теплоты, отнятого от
холодильной камеры Q_х к затраченной
энергии внешнего источника

За один обратный цикл рабочее тело
получает от холодильника количество теплоты Q_х
и отдаёт в окружающее пространство количество
теплоты Q_н, что больше Q_х на
работу A_дв, совершаемую
электродвигателем над газом за цикл: |Q_н| = |Q_х| + А_дв.

Энергия, затраченная двигателем
(электроэнергия в случае компрессорных
электрических холодильников), идёт на полезную
работу над газом, а также на потери при
нагревании обмоток двигателя электрическим
током Q_R и на трение в схеме А_тр.

Если пренебречь потерями на трение и
джоулево тепло в обмотках двигателя, то
холодильный коэффициент

Учитывая, что в прямом цикле

после несложных преобразований
получим:

Последнее соотношение между
холодильным коэффициентом и КПД тепловой машины,
которая может работать и по обратному циклу,
показывает, что холодильный коэффициент может
быть больше единицы. В этом случае тепла
отнимается от холодильной камеры и возвращается
в комнату больше, чем для этого используется
энергии двигателем.

В случае идеальной тепловой машины,
работающей по обратному циклу Карно (идеального
холодильника), холодильный коэффициент имеет
максимальное значение:

В реальных холодильниках   т.к. не вся получаемая
двигателем энергия идёт на работу над рабочим
телом, о чём написано выше.

Решим задачу:

• Оцените стоимость изготовления 1 кг
льда в домашнем холодильнике, если температура
испарения фреона –t_х °С,
температура радиатора t_н °С.
Стоимость одного киловатт-часа электроэнергии
равна Ц. Температура в комнате t.

Дано:

m, c, t, t_н, t_х,
, Ц.
____________
Д – ?

Решение

Стоимость Д изготовления льда равна
произведению работы электродвигателя на тариф Ц:
Д = ЦА.

Для превращения воды в лёд с
температурой 0 °С необходимо отвести от неё
количество теплоты Q = m(ct + ). Считаем
приближённо, что над фреоном совершается
обратный цикл Карно с изотермами при
температурах T_н и T_х.
Используем формулы для холодильного
коэффициента: по определению,  = Q/A и для
идеального холодильника _ид = T_х/(T_н – T_х).
Из условия следует, что   _ид.

Решаем совместно три последних
уравнения:

Разбирая с учащимися эту задачу,
необходимо обратить внимание на то, что основная
работа холодильного устройства идёт не на
охлаждение продуктов, а на поддержание
температуры внутри холодильного шкафа путём
периодической откачки тепла, проникающего
сквозь стенки холодильника.

Для закрепления темы можно решить
задачу:

• КПД тепловой машины, работающей по
циклу, состоящему из изотермического процесса 1–2,
изохорического 2–3 и адиабатического 3–1,
равен , а
разность максимальной и минимальной температур
газа в цикле равна T. Найдите работу, совершённую моль одноатомного
идеального газа в изотермическом процессе.

Решение

При решении задач, в которых
фигурирует КПД цикла, полезно предварительно
проанализировать все участки цикла, используя
первый закон термодинамики, и выявить участки,
где тело получает и отдаёт тепло. Проведём
мысленно ряд изотерм на р, V-диаграмме.
Тогда станет ясно, что максимальная температура
в цикле на изотерме, а минимальная – в т. 3.
Обозначим их через T₁ и T₃
соответственно.

На участке 1–2 изменение
внутренней энергии идеального газа U₂ – U₁ = 0.
По первому закону термодинамики, Q₁₂ = (U₂ – U₁) + А₁₂.
Так как на участке 1–2 газ расширялся, то
работа газа А₁₂ > 0. Значит, и
подведённое к газу количество теплоты на этом
участке Q₁₂ > 0, причём Q₁₂ = А₁₂.

На участке 2–3 работа газа равна
нулю. Поэтому Q₂₃ = U₃ – U₂.

Воспользовавшись выражениями U₂=
c_VT₁
и тем, что T₁ – T₃ = T, получим Q₂₃ = –c_V T < 0.
Это означает, что на участке 2–3 газ получает
отрицательное количество теплоты, т.е. отдаёт
тепло.

На участке 3–1 теплообмена нет,
т.е. Q₃₁ = 0 и, по первому закону
термодинамики, 0 = (U₁ – U₃) + A₃₁.
Тогда работа газа
A₃₁ = U₃ – U₁ = c_V(T₃ –T₁) = –c_V T.

Итак, за цикл газ совершил работу A₁₂ + А₃₁ = А₁₂ – c_V T и получил
тепло только на участке 1–2. КПД цикла

Так как то работа газа на изотерме равна

Геннадий Антонович Белуха –
заслуженный учитель РФ, педагогический стаж 20
лет, ежегодно его ученики занимают призовые
места на различных этапах всероссийской
олимпиады по физике. Хобби – компьютерная
техника.

Речь в статье пойдет о КПД различных циклов, проводимых с газом. При этом давайте помнить, что внутренняя энергия изменяется тогда, когда изменяется температура, а в адиабатном процессе передачи тепла не происходит, то есть для совершения работы в таком процессе газ “изыскивает внутренние резервы”. Кроме того, работа численно равна площади под кривой процесса, а работа за цикл – площади внутри цикла.

Задача 1.

На рисунке представлена диаграмма цикла с одноатомным идеальным газом. Участки и – адиабаты.  Вычислите КПД данной тепловой машины и максимально возможный КПД .

КПД тепловой машины можно вычислить как

Машина получает тепло только на участке AB, и, так как работы здесь не совершается, то можно вычислить количество теплоты, полученное газом, как увеличение его внутренней энергии:

Работа численно равна площади, ограниченной циклом. Поэтому

Участк и по условию – адиабаты, то есть передачи тепла газу на этих участках не происходит, следовательно, работа будет совершена за счет «внутренних резервов» – то есть внутренней энергии. Нужно, следовательно, найти, как она изменилась.

Задачу можно решить двумя способами. Во-первых, просто определить температуры в точках и , и , это легко сделать из данных графика с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона, и затем посчитать . Но, так как , а ,то изменение внутренней энергии будет равно

Определим максимальный КПД. Посчитаем его как КПД цикла Карно. Максимальная температура газа будет достигнута в точке , а минимальная – в точке :

Ответ: , .

Задача 2.

Над идеальным одноатомным газом проводят цикл, включающий изобару, изохору, изотерму, при этом работа газа за цикл равна кДж.  В процессе изотермического сжатия (3-1) внешние силы совершают над газом положительную работу кДж. Найдите КПД данной тепловой машины.

Работа газа в процессе 1-2– площадь под линией процесса 1-2. Работа внешних сил – площадь под циклом (под линией 3-1). Поэтому полная работа за цикл – это разность работы газа и работы внешних сил, площадь, ограниченная линиями цикла. Она будет равна 5 кДж.

Работа газа в процессе 1-2, таким образом, равна 8 кДж. А поскольку процесс изобарный, то кДж. Тогда КПД

Ответ: .

Задача 3.

КПД  тепловой машины, работающей по циклу, включающему изотермический (1-2) и адиабатный (3-1) процессы, равен , причем работа, совершенная 2 моль одноатомного идеального газа в изотермическом процессе кДж. Найдите разность максимальной и минимальной  температур  газа в цикле.

Полная площадь под кривой процесса 1-2 равна кДж. При этом, так как КПД машины 25%, то площадь внутри цикла равна , а под кривой 3-1  – .  В процессе 1-2 изменения внутренней энергии не было, так как температура не менялась, а в процессе 3-1 газу не передавали тепло, следовательно, работа совершена за счет внутренней энергии. Т.е.

Ответ: 500 K.

§7. Круговые процессы (циклы)

Если все процессы в  цикле  равновесные, то  цикл  считается равновесными. Его  можноизобразить графически, и получится замкнутая кривая. На рис. 7 показан график зависимости давления `p` от объёма `V` (диаграмма $$ p-V$$) для некоторого цикла `1–2–3–4–1`, совершаемого газом. На участке `4–1–2` газ расширяется  и совершает положительную работу `A_1`, численно равную  площади  фигуры $$ {V}_{1}412{V}_{2}$$. На  участке  `2–3–4`  газ сжимается и совершает отрицательную работу $$ {A}_{2}$$, модуль которой равен площади фигуры $$ {V}_{2}234{V}_{1}$$. Полная работа газа за цикл $$ A={A}_{1}+{A}_{2}$$, т. е. положительна  и равна  площади фигуры `1–2–3–4–1`,  изображающей цикл на диаграмме $$ p-V$$.

 В любом равновесном цикле работа за цикл равна по модулю площади фигуры, ограниченной кривой на диаграмме $$ p-V$$.

В  круговом  процессе   тело  возвращается  в  исходное  состояние, т. е.  в  состояние с первоначальной внутренней энергией. Это значит, что изменение внутренней энергии за цикл равно нулю: $$ ∆U=0$$. Так как по первому закону термодинамики для всего цикла $$ Q=∆U+A$$, то $$ Q=A$$. Итак, алгебраическая сумма всех количеств теплоты, полученной телом за цикл, равна работе тела за цикл.

На некоторых участках прямого цикла тело получает от окружающих тел количество теплоты $$ {Q}^{+}$$ $$ ({Q}^{+}>0)$$, а на некоторых отдаёт $$ {Q}^{-}$$ т. е. получает отрицательное количество теплоты `«-Q^(-)»` `(Q^(-)>0)`. 

Для  обратного  цикла  коэффициент  полезного  действия  не  вводится.

142

ЛЕКЦИЯ 13

ТЕПЛОВЫЕ МАШИНЫ

13.1. Обратимые и
необратимые процессы

Круговой процесс
– процесс, при котором система, пройдя
через ряд состояний, возвращается в
исходное состояние. На диаграмме
состояний цикл изображается замкнутой
кривой.

Прямой цикл
– это цикл, за который совершается
положительная работа:
.
Цикл протекает по часовой стрелке.

Цикл, совершаемый
идеальным газом можно разбить на процессы
расширения и сжатия. Работа расширения
()
определяется площадью фигуры


положительная ().

Работа сжатия ()
определяется площадью фигуры


отрицательная ().

Работа, совершаемая
газом за цикл, определяется площадью,
охватываемой замкнутой кривой.

Обратный цикл
– цикл, за который совершается
отрицательная работа
.
Цикл протекает против часовой стрелки.

Работа расширения
1а2
положительная
.
Работа сжатия 2b1
отрицательна
.
Работа, совершаемая газом за цикл,
определяется площадью, охватываемой
замкнутой кривой.

Коэффициент
полезного действия (КПД) для кругового
процесса. В
результате кругового процесса система
возвращается в исходное состояние, т.е.
изменение внутренней энергии газа равно
нулю. Запишем первое начало термодинамики:
.
Так как
,
следовательно
,
т.е. работа, совершаемая за цикл, равна
количеству полученной извне теплоты.
Но в результате кругового процесса
система может теплоту как получать, так
и отдавать, тогда

,

где


количество теплоты, полученное о
нагревателя, а


количество теплоты, отданное системой
охладителю.

КПД для кругового
процесса:

.

Процесс называется
обратимым,
если он может происходить как в прямом,
так и в обратном направлении, и система
возвращается в исходное состояние, т.е.
в окружающей среде и в системе не
возникает никаких изменений. Всякий
иной процесс называется необратимым.

Все реальные
процессы сопровождаются диссипацией
энергии (из-за трения, теплопроводности).
Таким образом, обратные процессы – это
идеализированные реальные процессы.
Они более экономичные и имеют максимальный
КПД. Мы их рассматриваем по двум причинам:
1) многие процессы в природе и технике
практически обратимы; 2) можно увидеть
пути повышения КПД реальных двигателей.

Круговые процессы
лежат в основе работы тепловых двигателей
и холодильных машин.

13.2. Тепловые
двигатели и холодильные машины

Тепловой двигатель
‑ это периодически действующий
двигатель, совершающий работу за счет
полученной извне теплоты. В тепловых
двигателях используют прямой цикл.

Принцип действия
теплового двигателя.
От термостата с более высокой температурой
,
называемого нагревателем,
за цикл отнимается количество теплоты
,
а термостату с более низкой температурой
,
называемому холодильником, за цикл
передается количество теплоты
,
при этом совершается работа

(рис. 13.1).

Рис. 13.1 Тепловая
машина

КПД теплового
двигателя ‑ это отношение работы А,
совершаемой двигателем, к затраченной
энергии, т.е. к количеству теплоты, взятой
от нагревателя:

.

Из этого выражения
видно, что даже у идеального теплового
двигателя КПД меньше 1, т.е. меньше 100 %.
Карно показал, что для работы теплового
двигателя необходимо не менее двух
источников теплоты с различными
температурами, т.к. в процессе сжатия
нужно охлаждать рабочее тело. В противном
случае никакой работы совершаться не
будет.

Теорема Карно.
Из всех периодических действующих
тепловых машин, имеющих одинаковые
температуры нагревателей ()
и холодильников (),
наибольшим КПД обладают обратимые
машины. При этом, КПД обратимых машин,
работающих при одинаковых температурах
нагревателей ()
и холодильников (),
равны друг другу и не зависят от природы
рабочего тела (тела, совершающего
круговой процесс и обменивающейся
энергией с другими телами), а определяется
только температурами нагревателя и
холодильника.

.

Холодильные
машины ‑
периодически действующие установки, в
которых за счет работы внешних сил,
теплота переносится к телу с более
высокой температурой.

Принцип действия
холодильных машин.
Системой за цикл от термостата с более
низкой температурой

отнимается количество теплоты

и отдается термостату с более высокой
температурой

количество теплоты

(рис. 13.2).

Рис. 13.2. Холодильная
машина

Поскольку этот
процесс неестественен (теплота не может
самопроизвольно переходить от холодного
тела к горячему) приходится над системой
совершить работу.

.

Таким образом,
количество теплоты Q₁,
отданное системой термостату с более
высокой температурой Т₁,
больше теплоты Q₂,
полученной от термостата с более низкой
температурой Т₂,
на величину работы А,
совершенной над системой.

КПД холодильной
машины (холодильный коэффициент):

.

Вывод:
холодильный коэффициент характеризует
эффективность холодильной машины и
определяется как отношение отнятой от
термостата с более низкой температурой
количества теплоты

к работе А,
которая затрачивается на приведение
холодильной машины в действие. Без
совершения работы нельзя отбирать
теплоту от менее нагретого тела и
передавать ее более нагретому телу.

13.3 Цикл Карно и
работа за цикл

Цикл Карно наиболее
экономичный обратимый круговой цикл,
состоящий из двух изотерм и двух адиабат.
Рассмотрим прямой цикл Карно с идеальным
газом в качестве рабочего тела (рис.
13.3).

Рис. 13.3. Цикл Карно
в диаграмме P,
V

Процесс 1-2
изотермическое расширение; процесс 2-3
адиабатное расширение; процесс 3-4
изотермическое сжатие; процесс 4-1
адиабатное сжатие.

1-2
2-3 3-4
4-1

изотермическое
адиабатное изотермическое
адиабатное

расширение
расширение сжатие сжатие

Рассмотрим
термодинамические процессы и работу в
них.

 изотермическое
расширение
,
,
;

 адиабатное
расширение
,
,
;


изотермическое сжатие
,
,
;


адиабатное сжатие
,
,
.

Работа за цикл:

.

Вывод:
работа за цикл определяется площадью,
ограниченной изотермами и адиабатами
цикла Карно.

Термический КПД
цикла Карно:

.

Используем рис.
13.3 и запишем уравнение адиабатического
процесса в виде
:

;

;

.

Подставим эти
выражения в формулу для термического
КПД кругового процесса:

.

Вывод:
для цикла Карно КПД действительно
определяется только температурами
нагревателя и холодильника.

Контрольные
вопросы

1. Что такое круговой
   процесс?

2. Что такое прямой
   и обратный цикл? Где они применяются?

3. Что такое тепловые
   двигатели и каков принцип их действия?

4. Что такое холодильные
   машины и каков принцип их действия?

5. Что собой
   представляет цикл Карно? Чему равна
   работа за цикл?

6. Получите выражение
   для термического коэффициента полезного
   действия цикла Карно.

Задачи

1. Идеальный тепловой
   двигатель, работающий по циклу Карно,
   совершает за цикл работу 2,94 кДж и отдает
   охладителю количество теплоты 13,4 кДж.
   Найдите КПД цикла. [≈ 18 %].

2. Идеальный тепловой
   двигатель работает по циклу Карно. При
   этом 80% количества теплоты, получаемого
   от нагревателя, передается холодильнику.
   Количество теплоты, полученное от
   нагревателя, 6,28 кДж. Найдите КПД цикла
   и работу, совершаемую за цикл. [0,2;
   ≈ 1,26 кДж].

3. Холодильник,
   работающий по обратному циклу Карно,
   совершает за цикл работу 37 кДж. При этом
   он отбирает тепло от тела отела с
   температурой ‑10 С
   и передает тепло телу с температурой
   17 С.
   Найти холодильный коэффициент
   холодильника и количество теплоты,
   отнятое у холодного тела за цикл. [≈
   9,74; 360 кДж].

ЛЕКЦИЯ 14

ЭНТРОПИЯ. ВТОРОЕ
НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

14.1. Энтропия и
ее изменение при некоторых термодинамических
процессах

Качественное
отличие теплового движения молекул от
других форм движения ‑ его
беспорядочность, хаотичность. Поэтому
для описания теплового движения молекул
вводят количественную меру степени
молекулярного беспорядка – энтропию.

Соседние файлы в папке 432_lecfiz

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Устройство, имеющее способность преобразовывать полученную теплоту в механическую работу носит название теплового двигателя. В таких машинах механическая работа совершается в процессе расширения вещества, называющегося рабочим телом. Его роль обычно исполняют газообразные вещества, вроде паров бензина, воздуха и водяного пара.

Рабочее тело приобретает или отдает тепловую энергию при теплообмене с телами, которые имеют внушительный запас внутренней энергии. Такие тела называют тепловыми резервуарами.

Исходя из первого закона термодинамики, можно сделать вывод, что полученное газом количество теплоты Q полностью преобразуется в работу A в условиях изотермического процесса, при котором внутренняя энергия не претерпевает изменений (ΔU=0): 

A=Q

Однако, подобный однократный акт превращения теплоты в работу для техники не представляет интереса. Существующие тепловые двигатели, такие как паровые машины, двигатели внутреннего сгорания и им подобные, работают циклически. Необходимо периодическое повторение процесса теплопередачи и преобразования полученной теплоты в работу. Чтобы данное условие выполнялось, рабочее тело должно совершать круговой процесс или же термодинамический цикл, при котором исходное состояние с периодически восстанавливается. На рисунке 3.11.1 в виде диаграммы (p, V) газообразного рабочего тела с помощью замкнутых кривых проиллюстрированы круговые. В условиях расширения газ производит положительную работу A1, эквивалентную площади под кривой abc. При сжатии газ совершает отрицательную работу A2, равную по модулю площади под кривой cda. Полная работа за цикл A=A1+A2 на диаграмме (p, V) равняется площади цикла. Работа A положительна, в том случае, если цикл проходит по часовой стрелке, и A отрицательна, когда цикл проходит в противоположном направлении.

Рисунок 3.11.1. Круговой процесс на диаграмме (p, V). abc – кривая расширения, cda – кривая сжатия. Работа A в круговом процессе равна площади фигуры abcd.

Все круговые процессы обладают общей чертой. Они не могут привестись в действие при контакте рабочего тела только с одним тепловым. Их минимальное число должно быть равным двум.

Тепловой резервуар, обладающий более высоким значением температуры, носит название нагревателя, а с более низким – холодильника.

Рабочее тело при совершении кругового процесса получает от нагревателя некоторую теплоту Q1>0 и теряет, отдавая холодильнику, количество теплоты Q2<0. Для полного полученного рабочим телом за цикл количества теплоты Q справедливо следующее выражение:

Q=Q1+Q2=Q1-Q2.

Совершая цикл, рабочее тело приходит в свое первоначальное состояние, из чего можно сделать вывод, что изменение его внутренней энергии равняется ΔU=0. Основываясь на первом законе термодинамики, запишем: 

∆U=Q-A=0.

Из этого следует: 

A=Q=Q1-Q2.

Работа A, которую рабочее тело совершает за цикл, эквивалентна полученному за этот же цикл количеству теплоты Q.

Рисунок 3.11.2. Модель термодинамических циклов.

Коэффициент полезного действия теплового двигателя демонстрирует, какая доля тепловой энергии, которую получило рабочее тело от нагревателя, преобразовалась в полезную работу. Оставшаяся часть (1–η) была без пользы передана холодильнику. Коэффициент полезного действия тепловой машины не может быть больше единицы η<1. На рисунке 3.11.3 проиллюстрирована энергетическая схема тепловой машины.

Рисунок 3.11.3. Энергетическая схема тепловой машины: 1 – нагреватель; 2 – холодильник; 3 – рабочее тело, совершающее круговой процесс. Q1>0, A>0, Q2<0; T1>T2.

Виды тепловых двигателей

В технике свое применение находят двигатели, использующие круговые процессы. Рисунок 3.11.3 демонстрирует нам циклы, применяемые в бензиновом карбюраторном и в дизельном двигателях. Они оба в качестве рабочего тела используют смесь паров бензина или дизельного топлива с воздухом. Цикл карбюраторного двигателя внутреннего сгорания включает в себя две изохоры (1–2, 3–4) и две адиабаты (2–3, 4–1), дизельного двигателя -две адиабаты (1–2, 3–4), одну изобару (2–3) и одну изохору (4–1). Реальный КПД (коэффициент полезного действия) у карбюраторного двигателя составляет около 30 %, у дизельного двигателя – приблизительно 40 %.

Рисунок 3.11.4. Циклы карбюраторного двигателя внутреннего сгорания (1) и дизельного двигателя (2).

Цикл Карно

Круговой процесс, изображенный на рисунке 3.11.5, состоящий из двух изотерм и двух адиабат был назван циклом Карно в честь открывшего его в 1824 году французского инженера. Данное явление впоследствии оказало колоссальное влияние на развитие учения о тепловых процессах.

Рисунок 3.11.5. Цикл Карно.

Находящийся в цилиндре, под поршнем, газ совершает цикл Карно. На участке изотермы (1–2) он приводится в тепловой контакт с нагревателем, обладающим некоторой температурой T1. Газ изотермически расширяется, при этом к нему подводится эквивалентное совершенной работе A12 количество теплоты Q1=A12. После этого на участке адиабаты (2–3) газ помещается в адиабатическую оболочку и продолжает процесс расширения при отсутствующем теплообмене. На данной части цикла газ совершает работу A23>0. Его температура при адиабатическом расширении снижается до величины T2. На идущем следующим участке изотермы (3–4) газ приводится в тепловой контакт с холодильником в условиях температуры T2<T1. Производится процесс изотермического сжатия. Газом совершается некоторая работа A34<0 и отдается тепло Q2<0, эквивалентное произведенной им работе A34. Его внутренняя энергия не претерпевает изменений. На последнем оставшемся участке адиабатического сжатия газ снова помещают в адиабатическую оболочку. При сжатии его температура вырастает до величины T1, также совершается работа A41<0. совершаемая газом за цикл полная работа A эквивалентна сумме работ на отдельных участках: 

A=A12+A23+A34+A41.

На диаграмме (p, V) данная работа равняется площади цикла.

Процессы на любом из участков цикла Карно квазистатичны. Например, оба участка 1–2 и 3–4, относящихся к изотермическим, производятся при пренебрежительно малой разности температур рабочего тела, то есть газа, и теплового резервуара, будь то нагреватель или холодильник.

Исходя из первого закона термодинамики, можно заявить, что работа газа в условиях адиабатического расширения или сжатия эквивалентна падению значения ΔU его внутренней энергии. Для 1 моля газа верно следующее выражение:

A=-∆U=-CV(T2-T1),

в котором T1 и T2 представляют собой начальную и конечную температуры рабочего тела.

Из этого следует, что работы, совершаемые газом на двух адиабатических участках цикла Карно, противоположны по знакам и одинаковы по модулю:

A23=-A41.

Коэффициент полезного действия η цикла Карно может рассчитываться с помощью следующих соотношений: 

η=AQ1=A12+A34Q12=Q1-Q2Q1=1-Q2Q1.

С. Карно выразил коэффициент полезного действия цикла через величины температур холодильника T2 и нагревателя T1: 

η=T1-T2T1=1-T2T1.

Цикл Карно примечателен тем, что ни на одном из его участков тела, обладающие различными температурами, не соприкасаются. Любое состояние рабочего тела в цикле является квазиравновесным, что означает его бесконечную близость к состоянию теплового равновесия с окружающими объектами, то есть тепловыми резервуарами или же термостатами. В цикле Карно исключен теплообмен в условиях конечной разности температур рабочего тела и окружающей среды (термостатов), если тепло имеет возможность переходить без совершения работы. По этой причине любые другие возможные круговые процессы проигрывают ему в эффективности при заданных температурах нагревателя и холодильника: 

ηКарно=ηmax

Рисунок 3.11.6. Модель цикла Карно.

Каждый участок цикла Карно и цикл в целом могут проходиться в обоих направлениях.

Обход цикла по часовой стрелке соответствует тепловому двигателю, в котором полученное рабочим телом тепло частично преобразуется в полезную работу. Обход против часовой стрелки соответствует холодильной машине, где некое количество теплоты отходит от холодного резервуара и передается горячему резервуару за счет совершения внешней работы. Именно поэтому идеальное устройство, работающее по циклу Карно, носит название обратимой тепловой машины.

В реально существующих холодильных машинах применяются разные циклические процессы. Любой холодильный цикл на диаграмме (p, V) обходятся против часовой стрелки. На рисунке 3.11.7 проиллюстрирована энергетическая схема холодильной машины.

Рисунок 3.11.7. Энергетическая схема холодильной машины. Q1<0, A>0, Q2 > 0, T1>T2.

Работающее по холодильному циклу устройство может обладать двояким предназначением.

Если полезным эффектом является отбор некоторого количества тепла Q2 от охлаждаемых тел, к примеру, от продуктов в камере холодильника, то такое устройство является обычным холодильником.

Эффективность работы холодильника может быть охарактеризована следующим отношением: 

βx=Q2A.

Таким образом, эффективность работы холодильника представляет собой количество тепла, отбираемого от охлаждаемых тел на 1 джоуль затраченной работы. В условиях подобного определения βх может быть, как больше, так и меньше единицы. Для обращенного цикла Карно справедливо выражение:

βx=T2T1-T2.

В случае, когда полезным эффектом является передача некоего количества тепла
|Q1| нагреваемым телам, чьим примером может выступать воздух в помещении, то такое устройство называется тепловым насосом.

Эффективность βТ теплового насоса может быть определена с помощью отношения: 

βт=Q1A.

То есть она может определяться количеством теплоты, передаваемым более теплым телам на 1 джоуль затраченной работы. Из первого закона термодинамики следует: 

Q1>A.

Следовательно, βТ всегда больше единицы. Для обращенного цикла Карно справедливо следующее выражение:

βт=1η=T1T1-T2.