Как найти полный дифференциал для функции

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач по 200+ предметам можно здесь всего за 10 минут.

Полный дифференциал функции

Как найти?

Постановка задачи

Найти полный дифференциал функции двух переменных $ z = f(x,y) $

План решения

Формула полного дифференциала функции записывается следующим образом:

$$ dz = f’_x (x,y) dx + f’_y (x,y) dy $$

1. Находим первые частные производные функции $ z = f(x,y) $
2. Подставляя полученные производные $ f’_x $ и $ f’_y $ в формулу, записываем ответ

Примеры решений

Пример 1

Найти полный дифференциал функции двух переменных $ z = 2x + 3y $

Решение

Находим частные производные первого порядка: $$ f’_x = 2 $$ $$ f’_y = 3 $$ Подставляем полученные выражения в формулу полного дифференциала и записываем ответ: $$ dz = 2dx + 3dy $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ dz = 2dx + 3dy $$

Пример 2

Найти полный дифференциал функции нескольких переменных $ u = xyz $

Решение

Так как функция состоит из трёх переменных, то в формуле полного дифференциала функции необходимо это учесть и добавить третье слагаемое $ f’_z dz $: $$ du = f’_x dx + f’_y dy + f’_z dz $$ Аналогично как и в случае функции двух переменных находим частные производные первого порядка: $$ u’_x = yz $$ $$ u’_y = xz $$ $$ u’_z = xy $$ Используя формулу записываем ответ: $$ du = yzdx + xzdy + xydz $$

Ответ

$$ du = yzdx + xzdy + xydz $$

Пример 3

Вычислить значение полного дифференциала функции $ z = x^3+y^4 $, при $ x = 1 $, $ y = 2 $, $ dx = 0.03 $ и $ dy = -0.01 $

Решение

Берем частные производные первого порядка: $$ z’_x = 3x^2 $$ $$ z’_y = 4y^3 $$ Воспользовавшись формулой составляем полный дифференциал: $$ dz = 3x^2 dx + 4y^3 dy $$ Из условия задачи известны все переменные для вычисления значения дифференциала. Подставив их и вычислим значение: $$ dz = 3cdot 1^2 cdot 0.03 + 4 cdot 2^3 cdot (-0.01) = 0.09 – 0.32 = -0.23 $$

Ответ

$$ dz = -0.23 $$

IV.
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

§
10. Основы дифференцирования функции
двух переменных

Частная производная
от функции

по переменной x
– это предел

.

Частная производная
от функции

по переменной y
– это предел

.

Соответствующие
обозначения:

и
,
или же

и
.

Производная

– это скорость изменения функции при
малом изменении переменной x,
когда переменная y
постоянна. Очевидно,

– новая функция.

При поиске

считаем, что y
– это число, выраженное буквой (параметр).
Тогда получаем функцию одной переменной
,
а производную от неё находим по правилам
дифференцирования функции одной
переменной.

Так же

– это скорость изменения функции при
малом изменении y
и постоянном x,
а при поиске

составляем функцию

и дифференцируем её как функцию одной
переменной.

Пример 1.
Частные производные от функции
:

;

.

Пример 2.
Найдём частные производные от функции
:

;

.

В 1-м случае вынесли
постоянный множитель
,
не зависящий от x,
а во 2-м случае – множитель
,
не зависящий от y.

Пример 3.
Для функции

найдём

;

.

Полный дифференциал

показывает, как примерно
изменится функция, если увеличить x
на величину

и одновременно
y
– на величину

(если

или
,
то речь об уменьшении x
или y).

Пример 4.
Найдём полный дифференциал функции

в общем виде и в точке
:

а)

– при

получается производная степенной
функции;

б)

– при
получается
производная показательной функции.

Таким образом, в
общем виде
,
или, если вынести общий множитель,
.

Чтобы найти полный
дифференциал в точке, подставив её
координаты

и
,
тогда
.

Смысл
результата.
Пусть надо найти, например, значение
функции

в точке
,
или, что то же самое, найти величину
.

Если взять точку
,
то
.
При переходе в точку N
изменение аргументов составило

и

(разность старых и новых координат).

Полный дифференциал
в точке M
(не в N!)

равен приращению
функции при переходе из точки

в
.

Поэтому
.
Более точно,
.

Пример 5. Найдём
для нескольких функций полные дифференциалы
в общем виде и в конкретной точке M:

а)
пусть
;
,
тогда

.

Дифференциал в
общем виде

;

в точке M
будет

.

б) пусть
даны

и
;
тогда

.

Дифференциал в
общем виде:

;

в точке:

;

в)
если даны

и
,
то

;

.

Упростим числители:

; .

В полном дифференциале
вынесем общий множитель:

,

подставим координаты
точки:

,

или
.

Так, чтобы найти
,
считаем
,
затем

и
,
после чего

и соответственно

.

Пример 6.
При помощи полного дифференциала найдём
значение функции

при

(угол выражен в радианах).

Подберём точку
как можно ближе к
,
чтобы в ней легко вычислялось значение
.
Это точка
:
.

Частные производные
в общем виде:

,
,

а в точке

будет
,
и
.

Значит, около
точки

функция меняется примерно так же, как
меняется переменная x.
В нашем случае
.

Новое значение
функции
.

Более точное
значение

почти совпадает с приближённым. Отличие
вызвано тем, что
,
а не 1;

Ответ:
.

Пример 7.
При помощи полного дифференциала найдём
.

Представим это
число как значение функции

в точке
.
При этом

и
,
а для таких аргументов функцию

легко посчитать:
.

Итак,
,
,
,
.

Тогда
при

и
.

Для

частные производные

;
.

В точке M

и
,
тогда

(функция растёт в
2 раза быстрее, чем 2-й аргумент).

Итак,
.

Ответ:

(более точное значение равно
).

ЧП1.
Найдите частные производные для функций

1) а)
; б)
;

в)
; г)
;

2) а)
; б)
;

в)
; г)
;

3) а)
; б)
;

в)
; г)
;

4) а)
; б)
;

в)
; г)
;

5) а)
; б)
;

в)
; г)
;

6) ;

7) .

ЧП2.
Найдите полные дифференциалы функций
в указанной точке:

1) а)
; б)
;

в)
; г)
;

2) а)
; б)
;

в)
; г)
;

3) а)
; б)
;

в)
г)
.

ЧП3.
Найдите при помощи полного дифференциала
приближённые значения

1) а)
; б)
; в)
; г)
;

2) а)
; б)
; в)
; г)
;

3) а)
; б)
; в)
; г)
;

4) а)
; б)
; в)
; г)
.

Экстремум функции
двух переменных

Точка M
называется точкой минимума функции
,
если можно указать открытую область D
(часть плоскости xOy),
в которой значение

– наименьшее из всех. Более строго, M
– точка минимума, если существует D,
что

а)

(точка входит в эту область и не принадлежит
её границе);

б)

(в любой другой точке этой же области
значение функции меньше, чем в интересующей
нас точке).

При замене на
условие

получим определение точки максимума.

Например,

– точка минимума функции
,
поскольку в ней
,
а в любой другой точке
.

Схема поиска
точек экстремума для функции

1) Найдём

и
,
затем – точки
,
где обе производные равны 0;

2) найдём 2-е
производные
,
т.е. соответственно
;

3) координаты точки

подставим во 2-е производные. Получим
числа

;

4) если,
в точке

экстремума нет. Если
,
то смотрим, каков знак A:

если
,
то

– точка минимума,

если же
,
то

– точка максимума;

5) если в

оказалось, что
,
необходимы другие методы решения,
выходящие за рамки пособия (разложение
в ряд Тейлора);

6) таким же образом
3-й, 4-й и 5-й шаги выполняем для остальных
точек.

Пример 8.
Найдём экстремумы функции
.

1)

решаем систему

(уравнения решены
независимо, и подходят все сочетания
координат);

2) находим 2-е
производные

;

;

;

Проверяем точку
,
подставив

и
:

3)
;
;
;

4)
,
экстремума в

нет.

Проверяем точку
,
подставив

и
:

3)
;
;
;

4)
,
экстремум в

есть.

Поскольку
,
то данный экстремум – это минимум. Можно
найти его значение
.

Ответ:
минимум при

и
,
равный –50.

Пример 9.
Исследуем на экстремум функцию
.

1) Находим

решаем систему

Здесь
.

У 2-го уравнения
3 корня: –1, 0 и 1, но координаты зависимы:

если
,
то
,

если
,
то
,

если
,
то
.

Получаем 3 точки:
;

2) берём 2-е производные

; ; ;

проверяем точку
:

3)
;
;
;

4)
,
в

есть экстремум, а поскольку
,
то этот экстремум – минимум. Его значение
;

проверяем точку
:

3)
;
;
;

4)
,
экстремума в

нет.

Легко видеть, что
для точки

результаты те же, что и для
.

Ответ:
минимум, равный –2, при

и
,
а также при

и
.

Замечание 1.
Если в записи функции поменять все
знаки, точки минимума станут точками
максимума, и наоборот. При этом координаты
точек не изменятся. Так, из примера 9
следует, что для

получим максимум, равный 2, при

и
,
а также при

и
.

Если же к функции
добавить (или отнять) любое число,
изменится лишь значение экстремума, но
не его тип. Так, у функции

окажется максимум при

и
,
а также при

и
,
равный 2+50=52.

ЧП4.
Найдите точку экстремума функции

при указанных параметрах a,
b.
Найдите значение функции в этой точке
и определите тип экстремума:

а)
a
= 2; b
= 3; б)
a
= 3; b
= 2; в)
a
= 2; b
= 5; г)
a
= 5; b
= 4;

д)
a
= 6; b
= 1; е)
a
= 1; b
= 2; ж)
a
= 0; b
= 4; з)
a
= 3; b
= 0.

ЧП5.
Найдите точку экстремума функции

при указанных параметрах a,
b.
Найдите значение функции, определите
тип экстремума:

а)
a
= 2; b
= 3; б)
a
= 3; b
= 2; в)
a
= 2; b
= 5; г)
a
= 5; b
= 4;

д)
a
= 6; b
= 1; е)
a
= 1; b
= 2; ж)
a
= 0; b
= 4; з)
a
= 3; b
= 0.

Замечание
2. Функции
двух переменных ведут себя сложнее, чем
функции одной переменной. Так, при
решении задач на экстремум:

а) даже у непрерывных
функций могут быть несколько точек
максимума и ни одной точки минимума
(или наоборот);

б) все стационарные
точки могут оказаться седловыми
точками, из
которых функция растёт при изменении
x
и убывает при изменении y
(или наоборот). Тем самым у функции не
окажется ни максимума, ни минимума.

Замечание 3.
Приведённая схема исследования на
экстремум предполагает, что функция
дифференцируема в точках экстремума.
Однако это не обязательно. Так, функция

в точке

имеет максимум, но её производные в
данной точке обращаются в бесконечность.
Подобные случаи выходят за рамки пособия.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В отношении функции $z=f(x,y)$ рассмотрим понятия общего (полного) приращения функции и полного дифференциала.

Пусть дана функция $z=f(x,y)$двух независимых переменных $(x,y)$.

Если аргументу $x$ дать приращение $Delta x$, а аргументу $y$ — приращение $Delta y$, то получается полное приращение заданной функции $z=f(x,y)$. Обозначение:

«Полное приращение и полный дифференциал» 👇

Для функции трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются полное приращение:

В новых обозначениях выражения для полного дифференциала принимает следующий вид:

Полный дифференциал функции нескольких переменных.
Приближенные вычисления

Краткая теория

---

Полным приращением функции
двух переменных

 в
точке

 называется
разность:

где

 – произвольные
приращения переменных

 и

.

Полным дифференциалом
функции

 в
точке

 называется
главная часть полного приращения

, линейная относительно приращений
переменных

 и

.

Полный дифференциал
функции

 находят
по формуле:

где

Применение дифференциала
функции к приближенным вычислениям значений функции основано на приближенном
равенстве

 или

или

где

Пример решения задачи

---

Задача

С
помощью полного дифференциала найти приближенное значение функции в заданной
точке. Вычислить относительную погрешность.

Решение

Пусть:

Значение функции в точке

:

Итак,

Найдем частные производные:

Приращение функции в точке

:

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Искомое
приближенное значение:

Вычислим точное значение:

Относительная
погрешность:

При выполнении некоторых расчётов в исследованиях, проектировании, анализе полученных опытных путём данных часто возникает необходимость предварительной прикидки результата, которую удобно выполнять, используя дифференциал функции.

Приближённые вычисления, выполненные с его помощью, могут дать новые направления дальнейшего изучения объектов и их разработок.

Понятие и геометрический смысл дифференциала

Пусть y = f (x) имеет производную не равную нулю.

Применяя свойства предела функции, получают равенство.

После умножения обеих частей на приращение аргумента Δx, образуется тождество:

в котором в правой части записано слагаемое, являющееся бесконечно малой одного порядка с Δx, далее идет слагаемое более высокого порядка.

Определение 1

Дифференциалом функции y = f (x) первого порядка называется главная часть её приращения f′(x)Δx, которую обозначают dy (или d(f(x)). Для наглядного представления и понимания определения рассматривается касательная к графику функции y = f(x) в точке x.

Когда значение переменной сдвигается по построенной прямой (получает приращение) на некоторую малую величину Δx, значение второй координаты точки тоже меняется.

Значит, дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной, когда её абсцисса меняется на величину Δx.

Определение 2

Дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка. Таким же рекуррентным образом вводятся понятия дифференциалов более высоких порядков.

Формы записи дифференциала

Для нахождения дифференциала независимой переменной рассматривают функцию y = x, учитывая, что x’ = 1, а, следовательно:

1. dx = Δx

Отсюда получается формула:

1. dy = f'(x)dx

Для второго порядка вводится обозначение d2y.

Свойства дифференциала

Существующая таблица производных помогает выделить некоторые свойства дифференциалов, например, для суммы, произведения, частного получаются следующие правила:

Одним из важных свойств является инвариантность (неизменность) формы записи, независимо от того, является ли функция элементарной или композицией элементарных (сложной). Фактически:

Полный дифференциал функции

Математика не ограничивается множеством функций одного независимого аргумента. Рассматриваются зависимости от двух и более переменных.

Определения похожи, отличается вид главной части. Рассматриваются несколько слагаемых.  Например, если z = f(x;y) то

Последнее равенство есть формула полного дифференциала. Для функции нескольких переменных сохраняется принцип построения.

Если рассматривают приращения только по одной переменной, то приходят к понятию частных дифференциалов.

Высшая математика позволяет находить приближённо общий корень системы уравнений, пользуясь дифференциальным исчислением, делать прикидку результатов, прогнозировать получаемое.

Источник: https://nauka.club/matematika/algebra/differentsial-funktsii.html

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида:

• P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, где левая часть является полным дифференциалом какой-либо функции двух переменных.

Обозначим неизвестную функцию двух переменных (её-то и требуется найти при решении уравнений в полных дифференциалах) через F и скоро вернёмся к ней. Первое, на что следует обратить внимание: в правой части уравнения обязательно должен быть нуль, а знак, соединяющий два члена в левой части, должен быть плюсом.

Второе — должно соблюдаться некоторое равенство, которое является подтверждением того, что данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Эта проверка является обязательной частью алгоритма решения уравнений в полных дифференциалах (он во втором параграфе этого урока), так процесс поиска функции F достаточно трудоёмкий и важно на начальном этапе убедиться в том, что мы не потратим время зря.

Итак, неизвестную функцию, которую требуется найти, обозначили через F. Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Следовательно, если уравнение является уравнением в полных дифференциалах, левая часть уравнения представляет собой сумму частных дифференциалов. Тогда по определению:

• dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.

Вспоминаем формулу вычисления полного дифференциала функции двух переменных:

Решая два последних равенства, можем записать:

Первое равенство дифференцируем по переменной «игрек», второе — по переменной «икс»:

Так как, получим, что является условием того, что данное дифференциальное уравнение действительно представляет собой уравнение в полных дифференциалах.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Шаг 1. Убедиться, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции F(x, y), необходимо и достаточно, чтобы . Иными словами, нужно взять частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения и частную производную по y другого слагаемого и, если эти производные равны, то уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Записать систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрировать первое уравнение системы — по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:

, где — пока неизвестная функция от y.

Альтернативный вариант (если так интеграл найти проще) — проинтегрировать второе уравнение системы — по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом так же восстанавливается функция F:

, где — пока неизвестная функция от х.

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцировать по y (в альтернативном варианте — по x) и приравнять ко второму уравнению системы:

а в альтернативном варианте — к первому уравнению системы:

Из полученного уравнения определяем (в альтернативном варианте ).

Шаг 5. Результат шага 4 интегрировать и найти (в альтернативном варианте найти ).

Шаг 6. Результат шага 5 подставить в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C чаще записывают после знака равенства — в правой части уравнения. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Оно, как уже говорилось, имеет вид F(x, y) = C.

Источник: https://function-x.ru/differential_equations5.html