Уважаемые студенты!
Заказать задачи по физике, информатике, экономике, праву, химии, теормеху, сопромату и другим предметам можно здесь всего за 10 минут.
Полный дифференциал функции
Как найти?
Постановка задачи
Найти полный дифференциал функции двух переменных $ z = f(x,y) $
План решения
Формула полного дифференциала функции записывается следующим образом:
$$ dz = f’_x (x,y) dx + f’_y (x,y) dy $$
- Находим первые частные производные функции $ z = f(x,y) $
- Подставляя полученные производные $ f’_x $ и $ f’_y $ в формулу, записываем ответ
Примеры решений
Пример 1 |
Найти полный дифференциал функции двух переменных $ z = 2x + 3y $ |
Решение |
Находим частные производные первого порядка: $$ f’_x = 2 $$ $$ f’_y = 3 $$ Подставляем полученные выражения в формулу полного дифференциала и записываем ответ: $$ dz = 2dx + 3dy $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ dz = 2dx + 3dy $$ |
Пример 2 |
Найти полный дифференциал функции нескольких переменных $ u = xyz $ |
Решение |
Так как функция состоит из трёх переменных, то в формуле полного дифференциала функции необходимо это учесть и добавить третье слагаемое $ f’_z dz $: $$ du = f’_x dx + f’_y dy + f’_z dz $$ Аналогично как и в случае функции двух переменных находим частные производные первого порядка: $$ u’_x = yz $$ $$ u’_y = xz $$ $$ u’_z = xy $$ Используя формулу записываем ответ: $$ du = yzdx + xzdy + xydz $$ |
Ответ |
$$ du = yzdx + xzdy + xydz $$ |
Пример 3 |
Вычислить значение полного дифференциала функции $ z = x^3+y^4 $, при $ x = 1 $, $ y = 2 $, $ dx = 0.03 $ и $ dy = -0.01 $ |
Решение |
Берем частные производные первого порядка: $$ z’_x = 3x^2 $$ $$ z’_y = 4y^3 $$ Воспользовавшись формулой составляем полный дифференциал: $$ dz = 3x^2 dx + 4y^3 dy $$ Из условия задачи известны все переменные для вычисления значения дифференциала. Подставив их и вычислим значение: $$ dz = 3cdot 1^2 cdot 0.03 + 4 cdot 2^3 cdot (-0.01) = 0.09 – 0.32 = -0.23 $$ |
Ответ |
$$ dz = -0.23 $$ |
IV.
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
§
10. Основы дифференцирования функции
двух переменных
Частная производная
от функции
по переменной x
– это предел
.
Частная производная
от функции
по переменной y
– это предел
.
Соответствующие
обозначения:
и
,
или же
и
.
Производная
– это скорость изменения функции при
малом изменении переменной x,
когда переменная y
постоянна. Очевидно,
– новая функция.
При поиске
считаем, что y
– это число, выраженное буквой (параметр).
Тогда получаем функцию одной переменной
,
а производную от неё находим по правилам
дифференцирования функции одной
переменной.
Так же
– это скорость изменения функции при
малом изменении y
и постоянном x,
а при поиске
составляем функцию
и дифференцируем её как функцию одной
переменной.
Пример 1.
Частные производные от функции
:
;
.
Пример 2.
Найдём частные производные от функции
:
;
.
В 1-м случае вынесли
постоянный множитель
,
не зависящий от x,
а во 2-м случае – множитель
,
не зависящий от y.
Пример 3.
Для функции
найдём
;
.
Полный дифференциал
показывает, как примерно
изменится функция, если увеличить x
на величину
и одновременно
y
– на величину
(если
или
,
то речь об уменьшении x
или y).
Пример 4.
Найдём полный дифференциал функции
в общем виде и в точке
:
а)
– при
получается производная степенной
функции;
б)
– при
получается
производная показательной функции.
Таким образом, в
общем виде
,
или, если вынести общий множитель,
.
Чтобы найти полный
дифференциал в точке, подставив её
координаты
и
,
тогда
.
Смысл
результата.
Пусть надо найти, например, значение
функции
в точке
,
или, что то же самое, найти величину
.
Если взять точку
,
то
.
При переходе в точку N
изменение аргументов составило
и
(разность старых и новых координат).
Полный дифференциал
в точке M
(не в N!)
равен приращению
функции при переходе из точки
в
.
Поэтому
.
Более точно,
.
Пример 5. Найдём
для нескольких функций полные дифференциалы
в общем виде и в конкретной точке M:
а)
пусть
;
,
тогда
.
Дифференциал в
общем виде
;
в точке M
будет
.
б) пусть
даны
и
;
тогда
.
Дифференциал в
общем виде:
;
в точке:
;
в)
если даны
и
,
то
;
.
Упростим числители:
; .
В полном дифференциале
вынесем общий множитель:
,
подставим координаты
точки:
,
или
.
Так, чтобы найти
,
считаем
,
затем
и
,
после чего
и соответственно
.
Пример 6.
При помощи полного дифференциала найдём
значение функции
при
(угол выражен в радианах).
Подберём точку
как можно ближе к
,
чтобы в ней легко вычислялось значение
.
Это точка
:
.
Частные производные
в общем виде:
,
,
а в точке
будет
,
и
.
Значит, около
точки
функция меняется примерно так же, как
меняется переменная x.
В нашем случае
.
Новое значение
функции
.
Более точное
значение
почти совпадает с приближённым. Отличие
вызвано тем, что
,
а не 1;
Ответ:
.
Пример 7.
При помощи полного дифференциала найдём
.
Представим это
число как значение функции
в точке
.
При этом
и
,
а для таких аргументов функцию
легко посчитать:
.
Итак,
,
,
,
.
Тогда
при
и
.
Для
частные производные
;
.
В точке M
и
,
тогда
(функция растёт в
2 раза быстрее, чем 2-й аргумент).
Итак,
.
Ответ:
(более точное значение равно
).
ЧП1.
Найдите частные производные для функций
1) а)
; б)
;
в)
; г)
;
2) а)
; б)
;
в)
; г)
;
3) а)
; б)
;
в)
; г)
;
4) а)
; б)
;
в)
; г)
;
5) а)
; б)
;
в)
; г)
;
6) ;
7) .
ЧП2.
Найдите полные дифференциалы функций
в указанной точке:
1) а)
; б)
;
в)
; г)
;
2) а)
; б)
;
в)
; г)
;
3) а)
; б)
;
в)
г)
.
ЧП3.
Найдите при помощи полного дифференциала
приближённые значения
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
;
4) а)
; б)
; в)
; г)
.
Экстремум функции
двух переменных
Точка M
называется точкой минимума функции
,
если можно указать открытую область D
(часть плоскости xOy),
в которой значение
– наименьшее из всех. Более строго, M
– точка минимума, если существует D,
что
а)
(точка входит в эту область и не принадлежит
её границе);
б)
(в любой другой точке этой же области
значение функции меньше, чем в интересующей
нас точке).
При замене на
условие
получим определение точки максимума.
Например,
– точка минимума функции
,
поскольку в ней
,
а в любой другой точке
.
Схема поиска
точек экстремума для функции
1) Найдём
и
,
затем – точки
,
где обе производные равны 0;
2) найдём 2-е
производные
,
т.е. соответственно
;
3) координаты точки
подставим во 2-е производные. Получим
числа
;
4) если,
в точке
экстремума нет. Если
,
то смотрим, каков знак A:
если
,
то
– точка минимума,
если же
,
то
– точка максимума;
5) если в
оказалось, что
,
необходимы другие методы решения,
выходящие за рамки пособия (разложение
в ряд Тейлора);
6) таким же образом
3-й, 4-й и 5-й шаги выполняем для остальных
точек.
Пример 8.
Найдём экстремумы функции
.
1)
решаем систему
(уравнения решены
независимо, и подходят все сочетания
координат);
2) находим 2-е
производные
;
;
;
Проверяем точку
,
подставив
и
:
3)
;
;
;
4)
,
экстремума в
нет.
Проверяем точку
,
подставив
и
:
3)
;
;
;
4)
,
экстремум в
есть.
Поскольку
,
то данный экстремум – это минимум. Можно
найти его значение
.
Ответ:
минимум при
и
,
равный –50.
Пример 9.
Исследуем на экстремум функцию
.
1) Находим
решаем систему
Здесь
.
У 2-го уравнения
3 корня: –1, 0 и 1, но координаты зависимы:
если
,
то
,
если
,
то
,
если
,
то
.
Получаем 3 точки:
;
2) берём 2-е производные
; ; ;
проверяем точку
:
3)
;
;
;
4)
,
в
есть экстремум, а поскольку
,
то этот экстремум – минимум. Его значение
;
проверяем точку
:
3)
;
;
;
4)
,
экстремума в
нет.
Легко видеть, что
для точки
результаты те же, что и для
.
Ответ:
минимум, равный –2, при
и
,
а также при
и
.
Замечание 1.
Если в записи функции поменять все
знаки, точки минимума станут точками
максимума, и наоборот. При этом координаты
точек не изменятся. Так, из примера 9
следует, что для
получим максимум, равный 2, при
и
,
а также при
и
.
Если же к функции
добавить (или отнять) любое число,
изменится лишь значение экстремума, но
не его тип. Так, у функции
окажется максимум при
и
,
а также при
и
,
равный 2+50=52.
ЧП4.
Найдите точку экстремума функции
при указанных параметрах a,
b.
Найдите значение функции в этой точке
и определите тип экстремума:
а)
a
= 2; b
= 3; б)
a
= 3; b
= 2; в)
a
= 2; b
= 5; г)
a
= 5; b
= 4;
д)
a
= 6; b
= 1; е)
a
= 1; b
= 2; ж)
a
= 0; b
= 4; з)
a
= 3; b
= 0.
ЧП5.
Найдите точку экстремума функции
при указанных параметрах a,
b.
Найдите значение функции, определите
тип экстремума:
а)
a
= 2; b
= 3; б)
a
= 3; b
= 2; в)
a
= 2; b
= 5; г)
a
= 5; b
= 4;
д)
a
= 6; b
= 1; е)
a
= 1; b
= 2; ж)
a
= 0; b
= 4; з)
a
= 3; b
= 0.
Замечание
2. Функции
двух переменных ведут себя сложнее, чем
функции одной переменной. Так, при
решении задач на экстремум:
а) даже у непрерывных
функций могут быть несколько точек
максимума и ни одной точки минимума
(или наоборот);
б) все стационарные
точки могут оказаться седловыми
точками, из
которых функция растёт при изменении
x
и убывает при изменении y
(или наоборот). Тем самым у функции не
окажется ни максимума, ни минимума.
Замечание 3.
Приведённая схема исследования на
экстремум предполагает, что функция
дифференцируема в точках экстремума.
Однако это не обязательно. Так, функция
в точке
имеет максимум, но её производные в
данной точке обращаются в бесконечность.
Подобные случаи выходят за рамки пособия.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Ирина Алексеевна Антоненко
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Определение 1
Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$. Обозначение: $z=f(x,y)$.
В отношении функции $z=f(x,y)$ рассмотрим понятия общего (полного) приращения функции и полного дифференциала.
Пусть дана функция $z=f(x,y)$двух независимых переменных $(x,y)$.
Если аргументу $x$ дать приращение $Delta x$, а аргументу $y$ — приращение $Delta y$, то получается полное приращение заданной функции $z=f(x,y)$. Обозначение:
Пример 1
Записать полное приращение заданной функции
[z=x+y.]
Решение:
По определению полного приращения некоторой функции найдем:
$Delta z=x+Delta x+y+Delta y$ – полное приращение функции $z=f(x,y)$.
Пример 2
Вычислить полное приращение заданной функции $z=xy$ в точке $(1;2)$ при $Delta x=0,1;, , Delta y=0,1$.
Решение:
По определению полного приращения некоторой функции найдем:
$Delta z=(x+Delta x)cdot (y+Delta y)$ – полное приращение функции $z=f(x,y)$.
Следовательно,
[Delta z=(1+0,1)cdot (2+0,1)=1,1cdot 2,1=2,31.]
Определение 2
Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z)$.
Определение 3
Если для каждой совокупности $(x,y,z,…,t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z,…,t)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z,…,t)$.
«Полное приращение и полный дифференциал» 👇
Для функции трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются полное приращение:
Пример 3
Записать полное приращение заданной функции
[w=(x+y)cdot z.]
Решение:
По определению полного приращения некоторой функции найдем:
$Delta w=((x+Delta x)+(y+Delta y))cdot (z+Delta z)$ – полное приращение функции $w=f(x,y,z)$.
Пример 4
Вычислить полное приращение заданной функции $w=xyz$ в точке $(1;2;1)$ при $Delta x=0,1;, , Delta y=0,1;, , Delta z=0,1$.
Решение:
По определению полного приращения некоторой функции найдем:
$Delta w=(x+Delta x)cdot (y+Delta y)cdot (z+Delta z)$ – полное приращение функции $w=f(x,y,z)$.
Следовательно,
[Delta z=(1+0,1)cdot (2+0,1)cdot (1+0,1)=1,1cdot 2,1cdot 1,1=2,541.]
С геометрической точки зрения полное приращение функции $z=f(x,y)$ (по определению $Delta z=f(x+Delta x,y+Delta y)-f(x,y)$) равно приращению аппликаты графика функции $z=f(x,y)$ при переходе от точки $M(x,y)$ к точке $M_{1} (x+Delta x,y+Delta y)$ (рис. 1).
Рисунок 1.
Определение 4
Полный дифференциал заданной функции $z=f(x,y)$ является линейной частью приращения функции и записывается в виде
[dz=f’_{x} (x,y)cdot Delta x+f’_{y} (x,y)cdot Delta y.]
Пример 5
Записать полный дифференциал заданной функции
[z=x+2y.]
Решение:
Определим частные производные заданной функции:
[f’_{x} (x,y)=1,, , f’_{y} (x,y)=2.]
По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:
[dz=1cdot Delta x+2cdot Delta y=Delta x+2cdot Delta y.]
Пример 6
Вычислить полный дифференциал заданной функции $z=xy$ в точке $(1;2)$ при $Delta x=0,1;, , Delta y=0,1$.
Решение:
Определим частные производные заданной функции:
[f’_{x} (x,y)=y,, , f’_{y} (x,y)=x.]
По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:
[dz=ycdot Delta x+xcdot Delta y.]
Следовательно,
[dz|_{(1,2)} =2cdot 0,1+1cdot 0,1=0,2+0,1=0,3.]
Для функции трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются полный дифференциал:
[dw=f’_{x} (x,y,z)cdot Delta x+f’_{y} (x,y,z)cdot Delta y+f’_{z} (x,y,z)cdot Delta z,] [dw=f’_{x} (x,y,z,…,t)cdot Delta x+f’_{y} (x,y,z,…,t)cdot Delta y+…+f’_{t} (x,y,z,…,t)cdot Delta t.]
Пример 7
Записать полный дифференциал заданной функции
[w=(x+y)cdot z.]
Решение:
Определим частные производные заданной функции:
[f’_{x} (x,y,z)=z,, , f’_{y} (x,y,z)=z,, , , f’_{z} (x,y,z)=x+y.]
По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:
[dz=zcdot Delta x+zcdot Delta y+(x+y)cdot Delta z.]
Определение 5
Приращения независимых переменных, а именно, $Delta x,, , Delta y,, , Delta z,…,Delta t$ называют дифференциалами независимых переменных $x,y,z,…,t$. Обозначение: $dx,dy,dz,…,dt$.
В новых обозначениях выражения для полного дифференциала принимает следующий вид:
Замечание 1
Функция, имеющая непрерывные частные производные в заданной точке, является дифференцируемой в данной точке, при этом полный дифференциал функции в данной точке равен сумме произведений частных производных на дифференциалы независимых переменных соответственно.
Пример 8
Записать полный дифференциал заданной функции
[w=xcdot z.]
Решение:
Определим частные производные заданной функции:
[f’_{x} (x,y,z)=z,, , f’_{y} (x,y,z)=0,, , , f’_{z} (x,y,z)=x.]
По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:
[dz=zcdot dx+0cdot dy+xcdot dz=zcdot dx+xcdot dz.]
Пример 9
Записать полный дифференциал заданной функции $z=xy$ в точке $(1;2)$.
Решение:
Определим частные производные заданной функции:
[f’_{x} (x,y)=y,, , f’_{y} (x,y)=x.]
По определению полного дифференциала некоторой функции найдем:
[dz=ycdot dx+xcdot dy.]
Запишем полный дифференциал в заданной точке:
[dz|_{(1,2)} =2cdot dx+1cdot dy=2dx+dy.]
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Полный дифференциал функции
Содержание:
- Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- Примеры с решением
Дифференцируемость и полный дифференциал функции
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки Составим полное приращение функции в точке Функция называется дифференцируемой в точке если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде (44.1) где Сумма первых двух слагаемых в равенстве (44.1) представляет собой главную пасть приращения функции.
Главная часть приращение функции линейная относительно называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом (44.2). Выражения называют частными дифференциалами. Для независимых переменных полагают
Поэтому равенство (44.2) можно переписать в виде (44.3) . Полным приращением функции нескольких переменных называют разность между двумя ее значениями, когда приращения получают все аргументы. Частным приращением называют разность между двумя значениями функции, когда приращение получает только один аргумент.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Для функции двух переменных полное и частное приращения в точке соответственно определяются формулами:
Число А называют пределом функции при если для любого существует что при условии выполняется неравенство Функцию называют непрерывной в точке если выполняется равенство Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке выражается равенством где Частной производной функции нескольких переменных по одной из них в фиксированной точке называют предел отношения соответствующего частного приращения этой функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю.
Для функции частные производные в точке по соответственно определяются формулами
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Частная производная функции по переменной х выражает скорость изменения функции в данном направлении или скорость изменения функции одной переменной. Частные производные функции имеют следующую геометрическую интерпретацию:
где у гол между осью и касательной в точке к линии пересечения поверхности и касательной в той же точке к линии пересечения данной поверхности с плоскостью (рис. 12.1). При нахождении частных производных пользуются обычными правилами дифференцирования (при нахождении частной производной по одному аргументу, другой считается постоянным).
Если полное приращение функции представлено в виде постоянные, при называют полным дифференциалом данной функции в этой точке и обозначают через Следовательно, при Полный дифференциал функции двух переменных равен приращению аппликаты касательной плоскости в точке к поверхности, являющейся графиком этой функции, когда аргументы х и у получают приращения .
Функция, обладающая непрерывными частными производными, имеет полный дифференциал, причем
Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями: Полный дифференциал функции является функцией при фиксированных
Функцию, имеющую полный дифференциал, называют дифференцируемой.
Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в ней. Из формулы следует, что или откуда
Примеры с решением
Пример 1.
Пусть —дифференцируемые функции, причем Доказать, что (10) А Пусть откуда получаем формулу (10). Согласно формуле (10) производная функции uv равна сумме двух слагаемых: первое слагаемое — производная показательной функции второе слагаемое — производная степенной функции Формулу (10) можно записать в виде (11)
Пример 2.
Найти производную функции: 1) 1) По формуле (11) находим 2)
Пример 3.
Найти полное приращение и полный дифференциал функции
В соответствии с определением полное приращение
Подставив в эту формулу значения
получим полное приращение данной функции в точке
Поскольку
то полный дифференциал данной функции выражается формулой
Подставив в эту формулу соответствующие значения
получим значение полного дифференциала
Лекции:
- Прямые и плоскости в пространстве
- Нахождение рациональных корней
- Свойства прямоугольного треугольника
- Частное решение дифференциального уравнения
- Интегрирование иррациональных функций
- Интегральный признак сходимости ряда. Знакочередующиеся ряды
- Предел числовой последовательности
- Найти производную функции
- Исследовать функцию на непрерывность: пример решения
- Преобразование графиков функций
При выполнении некоторых расчётов в исследованиях, проектировании, анализе полученных опытных путём данных часто возникает необходимость предварительной прикидки результата, которую удобно выполнять, используя дифференциал функции.
Приближённые вычисления, выполненные с его помощью, могут дать новые направления дальнейшего изучения объектов и их разработок.
Понятие и геометрический смысл дифференциала
Пусть y = f (x) имеет производную не равную нулю.
Применяя свойства предела функции, получают равенство.
После умножения обеих частей на приращение аргумента Δx, образуется тождество:
в котором в правой части записано слагаемое, являющееся бесконечно малой одного порядка с Δx, далее идет слагаемое более высокого порядка.
Определение 1
Дифференциалом функции y = f (x) первого порядка называется главная часть её приращения f′(x)Δx, которую обозначают dy (или d(f(x)). Для наглядного представления и понимания определения рассматривается касательная к графику функции y = f(x) в точке x.
Когда значение переменной сдвигается по построенной прямой (получает приращение) на некоторую малую величину Δx, значение второй координаты точки тоже меняется.
Значит, дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной, когда её абсцисса меняется на величину Δx.
Определение 2
Дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка. Таким же рекуррентным образом вводятся понятия дифференциалов более высоких порядков.
Формы записи дифференциала
Для нахождения дифференциала независимой переменной рассматривают функцию y = x, учитывая, что x’ = 1, а, следовательно:
- dx = Δx
Отсюда получается формула:
- dy = f'(x)dx
Для второго порядка вводится обозначение d2y.
Свойства дифференциала
Существующая таблица производных помогает выделить некоторые свойства дифференциалов, например, для суммы, произведения, частного получаются следующие правила:
Одним из важных свойств является инвариантность (неизменность) формы записи, независимо от того, является ли функция элементарной или композицией элементарных (сложной). Фактически:
Полный дифференциал функции
Математика не ограничивается множеством функций одного независимого аргумента. Рассматриваются зависимости от двух и более переменных.
Определения похожи, отличается вид главной части. Рассматриваются несколько слагаемых. Например, если z = f(x;y) то
Последнее равенство есть формула полного дифференциала. Для функции нескольких переменных сохраняется принцип построения.
Если рассматривают приращения только по одной переменной, то приходят к понятию частных дифференциалов.
Высшая математика позволяет находить приближённо общий корень системы уравнений, пользуясь дифференциальным исчислением, делать прикидку результатов, прогнозировать получаемое.
Источник: https://nauka.club/matematika/algebra/differentsial-funktsii.html
Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида:
- P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, где левая часть является полным дифференциалом какой-либо функции двух переменных.
Обозначим неизвестную функцию двух переменных (её-то и требуется найти при решении уравнений в полных дифференциалах) через F и скоро вернёмся к ней. Первое, на что следует обратить внимание: в правой части уравнения обязательно должен быть нуль, а знак, соединяющий два члена в левой части, должен быть плюсом.
Второе — должно соблюдаться некоторое равенство, которое является подтверждением того, что данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Эта проверка является обязательной частью алгоритма решения уравнений в полных дифференциалах (он во втором параграфе этого урока), так процесс поиска функции F достаточно трудоёмкий и важно на начальном этапе убедиться в том, что мы не потратим время зря.
Итак, неизвестную функцию, которую требуется найти, обозначили через F. Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Следовательно, если уравнение является уравнением в полных дифференциалах, левая часть уравнения представляет собой сумму частных дифференциалов. Тогда по определению:
- dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.
Вспоминаем формулу вычисления полного дифференциала функции двух переменных:
Решая два последних равенства, можем записать:
Первое равенство дифференцируем по переменной «игрек», второе — по переменной «икс»:
Так как, получим, что является условием того, что данное дифференциальное уравнение действительно представляет собой уравнение в полных дифференциалах.
Алгоритм решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
Шаг 1. Убедиться, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции F(x, y), необходимо и достаточно, чтобы . Иными словами, нужно взять частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения и частную производную по y другого слагаемого и, если эти производные равны, то уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Шаг 2. Записать систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:
Шаг 3. Проинтегрировать первое уравнение системы — по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:
, где — пока неизвестная функция от y.
Альтернативный вариант (если так интеграл найти проще) — проинтегрировать второе уравнение системы — по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом так же восстанавливается функция F:
, где — пока неизвестная функция от х.
Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцировать по y (в альтернативном варианте — по x) и приравнять ко второму уравнению системы:
а в альтернативном варианте — к первому уравнению системы:
Из полученного уравнения определяем (в альтернативном варианте ).
Шаг 5. Результат шага 4 интегрировать и найти (в альтернативном варианте найти ).
Шаг 6. Результат шага 5 подставить в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием функцию F. Произвольную постоянную C чаще записывают после знака равенства — в правой части уравнения. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Оно, как уже говорилось, имеет вид F(x, y) = C.
Источник: https://function-x.ru/differential_equations5.html