Задача выделения полного квадрата заключается в преобразовании квадратного многочлена следующим образом:
где
и
неизвестные параметры которые требуется определить.
Для определения неизвестных параметров
и
,
преобразуем приведенное выше равенство следующим образом:
и далее, раскроем скобки:
Для того, чтобы приведённое выше равенство соблюдалось, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:
В полученной системе уравнений, первое уравнение обозначает верное тождество при любых значениях параметра
,
поэтому его можно исключить. Из второго уравнения выражаем параметр
и подставляем полученное выражение в третье уравнение системы:
Упрощаем третье уравнение системы и выражением из него значение параметра
:
Подставляем полученные значения
и
в самое первое уравнение и получаем формулу для
выделения полного квадрата
из квадратного многочлена:
Необходимость выделения полного квадрата часто возникает при
решении задач интегрирования рациональных функций. Кроме того, выделив полный квадрат, можно получить формулу для
решения квадратных уравнений.
Наш онлайн калькулятор выделяет полный квадрат для многочлена второй степени с описанием подробного хода решения на русском языке.
решить уравнение
x2 − 6x − 7 = 0
.
Решение:
выделим в левой части полный квадрат.
Для применения второй формулы необходимо получить выражение
x2 − 6x +9 = 0
.
Поэтому запишем выражение
x2 − 6x
в следующем виде:
x2−6x =x2−2⋅x⋅3
.
В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа (x), а второе — удвоенное произведение (x) на (3).
Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить
32
.
Итак, прибавим и отнимем в левой части уравнения
32
, чтобы выделить полный квадрат.
Подставим в уравнение и применим формулу
a2−b2=a−b⋅a+b
.
Ответ: (– 1); (7).
§2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена
Описание метода выделения полного квадрата
Выражения вида 2×2+3x+5, `-4x^2+5x+7` носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида ax2+bx+c, где a,b,ca, b, c – произвольные числа, причём a≠0.
Рассмотрим квадратный трёхчлен x2-4x+5. Запишем его в таком виде: x2-2·2·x+5.Прибавим к этому выражению 22 и вычтем 22, получаем: x2-2·2·x+22-22+5. Заметим, что x2-2·2·x+22=(x-2)2, поэтому
x2-4x+5=(x-2)2-4+5=(x-2)2+1.
Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена».
Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена 9×2+3x+1.
Заметим, что 9×2=(3x)2, `3x=2*1/2*3x`. Тогда
`9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`.
Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем
`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.
Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.
Разложите на множители квадратный трёхчлен 4×2-12x+5.
Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена:
2×2-2·2x·3+32-32+5=2x-32-4=(2x-3)2-22.
Теперь применяем формулу a2-b2=(a-b)(a+b), получаем:
(2x-3-2)(2x-3+2)=(2x-5)(2x-1).
Разложите на множители квадратный трёхчлен -9×2+12x+5.
-9×2+12x+5=-9×2-12x+5. Теперь замечаем, что 9×2=3×2, -12x=-2·3x·2.
Прибавляем к выражению 9×2-12x слагаемое 22, получаем:
-3×2-2·3x·2+22-22+5=-3x-22-4+5=-3x-22+4+5==-3x-22+9=32-3x-22.
Применяем формулу для разности квадратов, имеем:
-9×2+12x+5=3-3x-23+(3x-2)=(5-3x)(3x+1).
Разложите на множители квадратный трёхчлен 3×2-14x-5.
Мы не можем представить выражение 3×2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:
`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3)^2-5/3)=`
`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^2-8/3)^2)=`
`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1)`.
Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
Рассмотрим квадратный трёхчлен x2-x+3. Выделяем полный квадрат:
`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.
Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена -16×2+8x+6.
Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: -16×2+8x+6=-4×2-2·4x·1+1-1+6=-4x-12-1+6==-4x-12+7.
При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно 7, а при `x!=1/4` из числа 7 вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее 7. Таким образом, число 7 является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.
Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `{x^2+2x-15}/{x^2-6x+9}` и сократите эту дробь.
Заметим, что знаменатель дроби x2-6x+9=x-32. Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена.
x2+2x-15=x2+2·x·1+1-1-15=x+12-16=x+12-42==(x+1+4)(x+1-4)=(x+5)(x-3).
Данную дробь привели к виду `{(x+5)(x-3)}/(x-3)^2` после сокращения на (x-3) получаем `(x+5)/(x-3)`.
Разложите многочлен x4-13×2+36 на множители.
Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата.
`x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=`
`=(x^2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`
`=(x^2-13/2)^2-(5/2)^2=(x^2-13/2-5/2)(x^2-13/2+5/2)=`
`=(x^2-9)(x^2-4)=(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)`.
Разложите на множители многочлен 4×2+4xy-3y2.
Применяем метод выделения полного квадрата. Имеем:
(2x)2+2·2x·y+y2-y2-3y2=(2x+y)2-2y2==(2x+y+2y)(2x+y-2y)=(2x+3y)(2x-y).
Применяя метод выделения полного квадрата, разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь `{8x^2+10x-3}/{2x^2-x-6}`.
`8x^2+10x-3=8(x^2+10/8 x-3/8)=8(x^2+2*5/8 x+(5/8)^2-(5/8)^2-3/8)=`
`=8((x+5/8)^2-25/64-24/64)=8((x+5/8)^2-(7/8)^2)=`
`=8(x+5/8+7/8)(x+5/8-7/8)=8(x+12/8)(x-2/8)=`
`=8(x+3/2)(x-1/4)=(2x+3)(4x-1)`.
Преобразуем знаменатель дроби:
`2x^2-x-6=2(x^2-x/2-6/2)=2(x^2-2*1/4 x+(1/4)^2-(1/4)^2-6/2)=`
`=2((x-1/4)^2-(7/4)^2)=2(x-1/4-7/4)(x-1/4+7/4)=`
`=2(x-2)(x+3/2)=(x-2)(2x+3)`.
Имеем: `{(2x+3)(4x-1)}/{(x-2)(2x+3)}={4x-1}/{x-2}`.
Уважаемые читатели, в этой статье мы познакомимся с техникой выделения полного квадрата, применяемой при решении рациональных уравнений.
Хотя настоящая статья входит в цикл публикаций, посвящённых учащимся 10-11 классов, метод решения задач, о котором пойдёт речь, может показаться интересным не только этой аудитории, а например, ученикам младших классов, проходящих квадратичную функцию, или студентам вузов, изучающих аналитическую геометрию и математический анализ и строящих кривые и поверхности 2 порядка.
В предыдущих шести статьях цикл (ссылки к ним я прикреплю ниже) мы уже рассмотрели 15 видов рациональных уравнений.
16. Уравнения, решаемые методом выделения полного квадрата
Что происходит в уравнении после того, как полный квадрат окажется выделенным? Возможны 2 ситуации: либо уравнение сведётся к уравнению, решаемому методом “простой” замены, либо к однородному уравнению. Алгоритмы решения таких уравнений описаны мною в предыдущих статьях цикла.
А теперь посмотрим, какие виды рациональных уравнений можно решать методом выделения полного квадрата.
А вот теперь, действительно, сложное уравнение, решаемое методом выделения полного квадрата.
А теперь я предложу Вам уравнения для самостоятельного решения.
Ответы для проверки я прикреплю в разделе “Комментарии”.
Вы можете всегда задать вопрос, если что-то не понятно.
Эпизод 1. Рациональные уравнения с одним неизвестным: простейшие, решаемые методами разложения на множители и замены (не специальной).
Эпизод 2. Рациональные уравнения с одним неизвестным: специальные замены.
Эпизод 3. Рациональные уравнения с одним неизвестным: метод подбора рациональных корней.
Эпизод 4. Рациональные уравнения с одним неизвестным: с заменой суммы почти обратных слагаемых.
Эпизод 5. Рациональные уравнения с одним неизвестным: симметрические, возвратные.
Эпизод 6. Рациональные уравнения с одним неизвестным: с применением формулы бинома Ньютона и однородные.
Вы находитесь на дружелюбном канале.
Уважайте себя. С уважением, автор.
#математика #егэ по математике #егэ математика профиль #школьное образование #репетитор по математике
Метод основывается на формуле сокращённого умножения, которую изучают ещё в 7 классе:
Когда нам попадается такое выражение, что мы можем воспользоваться этой формулой, мы встречаем то, что называется полный квадрат. Например:
Однако так везёт не всегда. К примеру, следующее выражение, как видно после простого преобразования, состоит из полного квадрата и ещё некоторой «добавки»:
Вот такое преобразование, когда мы преобразуем выражение в полный квадрат + ещё что-то, и называется выделением полного квадрата. Сейчас разберёмся, всегда ли можно такое провернуть, и зачем это всё-таки нужно.
1. Произвольный квадратный трёхчлен
Можно заметить, что выше мы рассматривали только выражения, которые являются квадратными трёхчленами. Хочется задаться вопросом: если нам дали какой-то произвольный квадратный трёхчлен, можно ли в нём выделить полный квадрат? Ответ: да! И для этого есть общий метод, который мы сейчас разберём на примере написанного «от балды» квадратного трёхчлена.
- Берём наш трёхчлен и выносим старший коэффициент за скобку из всех выражений с x, чтобы x² оказался с коэффициентом 1:
- Выражение с x надо представить в виде 2·x·число:
- А потом нужно (фокус-покус!) добавить число², и его же вычесть — тем самым, в сумме мы ничего не изменим:
- Но зато то, что выделено жёлтым, это теперь полный квадрат! И мы можем преобразовать выражение вот так:
- Наконец, осталось только раскрыть скобки, и мы получим итоговое выражение с выделенным полным квадратом:
2. Корни квадратного трёхчлена
Что нам это дало? Мы теперь очень много можем сказать про изначальное выражение. Например, если мы хотим найти его корни, то это очень просто сделать:
Если проделать это с произвольным квадратным трёхчленом, то получится как раз всем известная формула корней через дискриминант!
3. Минимум и максимум
Преобразование
позволяет изучить квадратный трёхчлен на минимум и максимум. Слева совершенно непонятно, какое наименьшее значение он может принимать. Однако в форме как справа всё совершенно очевидно: квадрат — всегда число неотрицательное! А значит, минимальное значение, которое трёхчлен может принять, есть
Более того, понятно, при каком значении x оно достигается: надо, чтобы квадрат был нулём, то есть
4. Наконец, задачка из ЕГЭ😋
Задание 11. Найдите наименьшее значение функции
В первую очередь, заметим, что если a больше b, то и 7^a больше 7^b. Поэтому для того, чтобы найти наименьшее значение всей функции достаточно найти наименьшее значение квадратного трёхчлена, стоящего в степени, и потом возвести 7 в соответствующую степень. Попробуем:
Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно 2 и достигается при значении x равном 1. Значит, ответ: 7²=49.
