Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №36. Формулы половинного аргумента.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) Формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса половинного аргумента;
2) Преобразовывать тригонометрические выражений на основе использования формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса половинного аргумента;
3) Решение уравнения с использованием формулы синуса, косинуса половинного аргумента.
Глоссарий по теме
Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла, так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла при помощи тригонометрических функций угла α.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Сегодня мы узнаем формулы, позволяющие нам по известным значениям ; находить ; ; . Их называют формулы половинного аргумента.
Повторим формулу косинуса двойного аргумента .
А если учесть, что и , то получим ещё две формулы, которые нам сегодня понадобятся:
и
Пример. а) Найти , если .
Вычислим по формуле
б) Найти , если .
Вычислим по формуле .
, получаем
(1) формула синуса половинного аргумента.
Запишем формулу косинуса двойного угла, где в виде
(2) формула косинуса половинного угла.
По формулам (1) и (2) можно найти или , если известны значения и положение угла , т.е. в какой координатной четверти он находится, чтобы определить знак выражения или .
Эти формулы ещё имеют название «формулы понижения степени», так как в левой части находится вторая степень синуса и косинуса, а в правой – первая, т.е. степень понизилась. Но будьте внимательны: степень понижается, а аргумент удваивается.
Например, .
Пример. Известно, что . Найдите ; ;
1) найдём по формуле: ; .
По условию . Разделив обе части неравенства на 2, получаем , значит угол во второй четверти, здесь синус положительный. .
2) ; найдём по формуле ,
Мы уже выяснили, что угол во второй четверти, косинус отрицательный.
3) Так как тангенс это отношение синуса на косинус, то
- Выведем формулу для тангенса половинного аргумента. Для этого разделим левую часть формулы (1) на левую часть формулы (2) и правую часть формулы (1) на правую часть формулы (2).
сократим на 2 , и учитывая, что , получим:
формула тангенса половинного аргумента (3).
Так как котангенс это число, взаимообратное тангенсу, то
Пример. Найти и , если известно, что и .
По формуле (3) находим , а Найдём положение угла
По условию ,( разделим на 2)
, угол в первой четверти, тангенс положительный, , а .
Для этого используем формулу синуса двойного угла , заменив в ней х на . Получаем , учтём, что , то
, разделим числитель и знаменатель на , получаем:
(4)
(5)
Пример. Найти , если .
По формуле (5) .
С помощью доказанных на этом уроке формул можно не только вычислять значения выражений, но и упрощать выражения, доказывать тождества и решать тригонометрических уравнений.
Пример. Доказать тождество .
Представим , а , преобразуем левую часть тождества
, но , то
Левая часть равна правой части, тождество доказано.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1.Известно, что и . Найдите ; ;
Установите соответствие между множествами значений А и В:
А В
а) 1)
б) cos 2)
в) tg 3)
г) ctg 4)3
5)
Ответ:
Подсказка: используйте формулы половинного аргумента и определение тангенса и котангенса.
№2. Известно, что . Найти ;
Установите соответствие между множествами значений А и В:
А В
а) 1)
б) ; 2)
в) 3)
г) ; 4)
Ответ:
Подсказка: используйте формулы половинного аргумента.
№3.Вычислите
Ответ:12.
Подсказка: используйте формулу синуса двойного угла, где .
№4. Известно, что , Найти ;
Установите соответствие между множествами значений А и В:
А В
а) 1)
б) ; 2)
в) 3)
г) ; 4)
Ответ:
Подсказка: используйте формулы половинного аргумента, зависимость синуса от косинуса, определения тангенса и котангенса.
№5.Вычислите .
Ответ: 0,5.
Подсказка: используйте формулу половинного аргумента.
№6. Известно, что. Найти ;
Установите соответствие между множествами значений А и В:
А В
а) 1)
б) ; 2)
в) 3)-
г) ; 4)
Ответ:
Подсказка: используйте формулы половинного аргумента, определения тангенса и котангенса.
№7. Вычислите и установите соответствие между множествами значений А и В:
А В
а) ; 1)
б) ; 2)
в) ; 3) 0,25
Ответ:
Подсказка: используйте формулу синуса и косинуса двойного угла, где .
№8.Упростите выражения и установите соответствие между множествами выражений А и В:
А В
а); 1)
б); 2)
в) ; 3)
Ответ:
Подсказка: используйте формулу синуса и косинуса двойного угла, где и определение тангенса.
№9*. Упростите выражение .
Выберите правильный ответ:1)2)3)2.
Ответ:2)
Подсказка: используйте формулу синуса двойного угла, где .
№10*. Известно, что . Найти ;
Установите соответствие между множествами значений А и В:
А В
а) 1)
б) ; 2)
в) 3)
г) ; 4)
Ответ:
Подсказка: используйте формулы половинного аргумента, зависимость синуса от косинуса, определения тангенса и котангенса.
№11*.Вычислите .
Ответ:1,5.
Подсказка: используйте формулы синуса двойного угла, где ; квадрата суммы и основное тригонометрическое тождество.
№12*.Известно, что , Найти ;
Установите соответствие между множествами значений А и В:
А В
а) 1)
б) ; 2)
в) 3)
г) ; 4)
Ответ:
Подсказка: используйте формулы половинного аргумента, зависимость синуса от косинуса, определения тангенса и котангенса.
№13*.Вычислите. Установите соответствие между множествами значений А и В:
А В
а) 1)
б) ; 2)
в) 3)
г) ; 4)
Ответ:
Подсказка: используйте формулу синуса и косинуса двойного угла, где и определение тангенса и котангенса.
№14*.Решите уравнения и выберите верный ответ:
1); 2);3)
Ответ: 2)
Подсказка: используйте формулу половинного аргумента, разделив предварительно обе части уравнения на 2.
Проверочная работа:
№1.
а) Известно, что , ,
Вычислите и установите соответствие между множествами А и В:
А В
а) ; 1)
б) cos; 2)
в) ; 3)
г) ; 4)
5)2
Ответ:
Подсказка: используй формулы половинного аргумента и определение тангенса и котангенса.
б) Известно, что , ,
Вычислите и установите соответствие между множествами А и В:
А В
а) ; 1)
б) cos; 2)
в) ; 3)
г) ; 4)
5)
Ответ:
Подсказка: используй формулы половинного аргумента и определение тангенса и котангенса.
№2.Вычислите: а); б)
Ответ: а) 5; б) 6
Подсказка: используйте формулу тангенса двойного угла, где .
№3.
а)Упростите выражение:
Выберите верный ответ:1)
Ответ: 1)
б) Упростите выражение:
Выберите верный ответ:1)
Ответ: 1)
Подсказка: используйте определение тангенса и котангенса, основное тригонометрическое тождество, формулу синуса и косинуса двойного угла, где .
Формулы половинного угла (аргумента) представляют собой противоположность формулам двойного угла , так как они выражают синус, косинус, тангенс и котангенс угла α2 при помощи тригонометрических функций угла α. В статье раскрыты формулы половинного угла и добавлены их доказательства с примерами решений.
Список формул половинного угла
Стандартные формулы половинного угла:
sin2α2=1-cosα2cos2α2=1+cosα2tg2α2=1-cosα1+cosαctg2α2=1+cosα1-cosα
Формулы для sin и cos половинного угла справедливы при любом значении заданного угла α. Формулу для tg любого угла αопределяет tgα2, значение угла α≠π+2π·z при z равном любому целому числу ( выражение 1+cosα с таким же значением α не должно принимать значение 0). Формула ctg угла считается справедливой для любого угла α, где половинный угол имеет место быть, α≠2π·z.
Самые значимые формулы половинного угла для квадратов тригонометрических функций выводятся через положительное или отрицательное значение арифметического квадратного корня. Имеем формулы половинного угла:
sinα2=±1-cosα2, cosα2=±1+cosα2, tgα2=±1-cosα1+cosα, ctgα2=±1+cosα1-cosα
Знак «-» указывает, что тригонометрическая функция принадлежит определенной четверти угла α2.
Применим формулы на практике.
Доказательство формул половинного угла
Доказательство формул половинного угла основывается на формулах cos двойного угла cosα=1-2·sin2α2 и cosα=2·cos2α2-1. Упростив первое выражение по sin2α2, получим саму формулу половинного угла sin2α2=1-cosα2, второе выражение по cos2α2 получим cos2α2=1+cosα2.
Чтобы доказать формулы половинного угла для tg и ctg угла α2, необходимо применить основные тригонометрические тождества tgα2=sinα2cosα2 и ctgα2=cosα2sinα2, к ним необходимо добавить формулы половинного угла cos и sin, которые доказали выше. При подстановке получим выражения, имеющие вид:
tg2α2=sin2α2cos2α2=1-cosα21+cosα2=1-cosα1+cosα;ctg2α2=cos2α2sin2α2=1-cosα21+cosα2=1+cosα1-cosα;
Все формулы половинного угла были доказаны.
Примеры использования
Покажем применение формул половинного угла при решении примера.
Известно, что cos30°=32. Необходимо вычислить значение cos 15 градусов, используя формулы половинного угла.
Решение
Данный пример рассматривает применение формулы половинного угла для косинуса, имеющей вид cos2α2=1+cosα2.
Следуя из условия, подставляем числовые значения и получаем: cos215°=1+cos30°2=1+322=2+34. После получения значения косинуса 15 градусов, необходимо найти само значение косинуса. Для этого вспомним, что угол в 15 градусов принадлежит первой четверти. Там косинус угла имеет положительное значение ( чтобы вспомнить знаки тригонометрических функций, необходимо повторить теорию знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям). Следуя из вышесказанного, имеем cos215°=2+34, тогда cos 15°=2+34=2+32. Ответ: cos 15°=2+32.
Применяя формулу половинного угла, стоит учитывать тот факт, что угол может быть не явного вида α2 и α, а потребует дальнейшего приведения к стандартному виду. Главное условие – нахождение аргумента в правой части формул половинного угла было в 2 раза больше, чем в левой. Иначе применение формулы будет невозможно.
Если формула позволит записывать данное равенство таким образом sin27α=1-cos14α2 или sin2 5α17=1-cos10α172, то формула будет применима.
Для правильного преобразования и применения формул половинного аргумента необходимо досконально изучить свойства тригонометрических функций. Не любое выражение поддается такому преобразованию в тригонометрии. Необходимо внимательно следить за значениями углов тригонометрических функций и их нахождение в четвертях для определения знака для выражения.
Все формулы половинного угла в тригонометрии:
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Формулы двойного и половинного аргумента. Универсальная подстановка
- Формулы двойного аргумента
- Формулы половинного аргумента
- Формулы универсальной подстановки
- Примеры
п.1. Формулы двойного аргумента
Выведем формулы двойного аргумента, исходя из формул суммы (см. §13 и §14 данного справочника)
begin{gather*} sin2alpha=sin(alpha+alpha)=sinalpha cosalpha+cosalpha sinalpha=2sinalpha cosalpha\ cos2alpha=cos(alpha+alpha)=cosalpha cosalpha-sinalpha sinalpha=cos^2alpha-sin^2alpha\ tg2alpha=tg(alpha+alpha)=frac{tgalpha+tgalpha}{1-tgalphacdot tgalpha}=frac{2tgalpha}{1-tg^2alpha} end{gather*}
Умножим полученное выражение на котангенс вверху и внизу дроби, и получим еще одно полезное выражение:
begin{gather*} tg2alpha=frac{2tgalpha}{1-tg^2alpha}=frac{2tgalpha}{1-tg^2alpha}cdot{ctgalpha}{ctgalpha}=frac{2}{ctgalpha-tgalpha}\ ctg2alpha=ctg(alpha+alpha)=frac{ctgalphacdot ctgalpha-1}{ctgalpha+ctgalpha}=frac{ctg^2alpha-1}{2ctgalpha}=frac{ctgalpha-tgalpha}{2} end{gather*}
begin{gather*} sin2alpha=2sinalpha cosalpha\ cos2alpha=cos^2alpha-sin^2alpha=2cos^alpha-1=1-2sin^2alpha\ tg2alpha=frac{2tgalpha}{1-tg^2alpha}=frac{2}{ctgalpha-tgalpha}\ ctg2alpha=frac{ctg^2alpha-1}{2ctgalpha}=frac{ctgalpha-tgalpha}{2} end{gather*}
Например:
Найдем (sin2alpha) и (tg2alpha), если (sinalpha=0,8, fracpi2ltalphaltpi)
Угол (alpha) во 2-й четверти, косинус отрицательный:
(cosalpha=-sqrt{1-sin^2alpha}=-sqrt{1-0,8^2}=-0,6)
(tgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}=frac{0,8}{-0,6}=-frac43)
Синус двойного угла: (sin2alpha=2sinalpha cosalpha=2cdot 0,8cdot(-0,6)=-0,96)
Тангенс двойного угла: (tg2alpha=frac{2tgalpha}{1-tg^2alpha}=frac{2cdot left(-frac43right)}{1-left(-frac43right)^2}=frac{-frac83}{1-frac{16}{9}}=frac83 : frac79=frac83cdotfrac97=frac{24}{7}=3frac37)
п.2. Формулы половинного аргумента
По формуле двойного аргумента для косинуса: (cos2alpha=2cos^2alpha-1)
Заменим слева угол (2alpharightarrow alpha), а справа угол (alpharightarrowfrac{alpha}{2}).
Получаем: begin{gather*} cosalpha=2cos^2frac{alpha}{2}-1Rightarrow 2cos^2frac{alpha}{2}=1+cosalphaRightarrow cos^2frac{alpha}{2}=frac{1+cosalpha}{2} end{gather*} Из другой формулы двойного аргумента для косинуса: (cos2alpha=1-2sin^2alpha), получаем: begin{gather*} cosalpha=1-2sin^2frac{alpha}{2}Rightarrow 2sin^2frac{alpha}{2}=1-cosalphaRightarrow sin^2frac{alpha}{2}=frac{1-cosalpha}{2} end{gather*} Для квадрата тангенса и котангенса половинного угла: begin{gather*} tg^2frac{alpha}{2}=frac{sin^2frac{alpha}{2}}{cos^2frac{alpha}{2}}=frac{1-cosalpha}{1+cosalpha}, ctg^2frac{alpha}{2}=frac{1}{tg^2frac{alpha}{2}}=frac{1+cosalpha}{1-cosalpha} end{gather*}
begin{gather*} sin^2frac{alpha}{2}=frac{1-cosalpha}{2}, cos^2frac{alpha}{2}=frac{1+cosalpha}{2}\ tg^2frac{alpha}{2}=frac{1-cosalpha}{1+cosalpha}, ctg^2frac{alpha}{2}=frac{1+cosalpha}{1-cosalpha} end{gather*}
Например:
Найдем (cosfrac{alpha}{2}) и (ctgfrac{alpha}{2}), если (sinalpha=-frac{-sqrt{3}}{2}, piltalphaltfrac{3pi}{2})
Угол (alpha) в 3-й четверти, косинус отрицательный: (cosalpha=-frac12)
Половинный угол (fracpi2ltfrac{alpha}{2}ltfrac{3pi}{4}) во 2-й четверти, косинус отрицательный:
(cosfrac{alpha}{2}=-sqrt{frac{1+cosalpha}{2}}=-sqrt{frac{1-frac12}{2}}=-frac12)
Котангенс тоже отрицательный:
(ctgfrac{alpha}{2}=-sqrt{frac{1+cosalpha}{1-cosalpha}}=-sqrt{frac{1-frac12}{1+frac12}}=-frac{1}{sqrt{3}})
п.3. Формулы универсальной подстановки
Любую тригонометрическую функцию можно выразить через тангенс половинного угла.
Для тангенса формула универсальной подстановки получается из формулы двойного угла: $$ tgalpha=frac{2tgfrac{alpha}{2}}{1-tg^2frac{alpha}{2}} $$ Тогда котангенс через тангенс половинного угла: $$ ctgalpha=frac{1-tg^2frac{alpha}{2}}{2tgfrac{alpha}{2}} $$ Для синуса: $$ sinalpha=2sinfrac{alpha}{2}cosfrac{alpha}{2}=2frac{sinfrac{alpha}{2}}{cosfrac{alpha}{2}}cos^2frac{alpha}{2}=2tgfrac{alpha}{2}cos^2frac{alpha}{2}=frac{2tgfrac{alpha}{2}}{1+tg^2frac{alpha}{2}} $$ Для косинуса: $$ cosalpha=frac{sinalpha}{tgalpha}=frac{2tgfrac{alpha}{2}}{1+tg^2frac{alpha}{2}} : frac{2tgfrac{alpha}{2}}{1-tg^2frac{alpha}{2}}=frac{1-tg^2frac{alpha}{2}}{1+tg^2frac{alpha}{2}} $$
begin{gather*} sinalpha=frac{2tgfrac{alpha}{2}}{1+tg^2frac{alpha}{2}}\ \ cosalpha=frac{1-tg^2frac{alpha}{2}}{1+tg^2frac{alpha}{2}}\ \ tgalpha=frac{2tgfrac{alpha}{2}}{1-tg^2frac{alpha}{2}}\ \ ctgalpha=frac{1-tg^2frac{alpha}{2}}{2tgfrac{alpha}{2}} end{gather*}
Универсальная подстановка эффективна при решении тригонометрических уравнений, а также интегрировании.
п.4. Примеры
Пример 1. Вычислите:
a) begin{gather*} 2cosfrac{pi}{8}sinfrac{7pi}{8}=2cosfrac{pi}{8}sinleft(pi-frac{pi}{8}right)=2cosfrac{pi}{8}sinfrac{pi}{8}=sinfrac{pi}{4}=frac{sqrt{2}}{2} end{gather*}
б) begin{gather*} 6cos^2frac{pi}{12}-3=3left(2cos^2frac{pi}{12}-1right)=3cdot cosfrac{pi}{6}=3cdot frac{sqrt{3}}{2}=frac{3sqrt{3}}{2} end{gather*}
в) begin{gather*} cos^4frac{23pi}{12}-sin^4frac{13pi}{12}=cos^4left(2pi-frac{pi}{12}right)-sin^4left(pi+frac{pi}{12}right)=cos^4frac{pi}{12}-sin^4frac{pi}{12}=\ =left(cos^2frac{pi}{12}-sin^2frac{pi}{12}right)underbrace{left(cos^2frac{pi}{12}+sin^2frac{pi}{12}right)}_{=1}=cos^2frac{pi}{12}-sin^2frac{pi}{12}=cosfrac{pi}{6}=frac{sqrt{3}}{2} end{gather*}
г) begin{gather*} ctgfrac{7pi}{8}+tgfrac{7pi}{8}=ctgleft(pi-frac{pi}{8}right)+tgleft(pi-frac{pi}{8}right)=-ctgfrac{pi}{8}-tgfrac{pi}{8}=\ =-left(frac{cosfrac{pi}{8}}{sinfrac{pi}{8}}+frac{sinfrac{pi}{8}}{cosfrac{pi}{8}}right)=-frac{cos^2frac{pi}{8}+sin^2frac{pi}{8}}{sinfrac{pi}{8}cdot cosfrac{pi}{8}}=-frac{1}{frac12 sinfrac{pi}{4}}=-frac{1}{frac12cdot frac{sqrt{2}}{2}}=-frac{4}{sqrt{2}}=-2sqrt{2} end{gather*}
д) begin{gather*} frac{1+ctg15^{circ}}{1-ctg15^{circ}}=frac{1+ctg15^{circ}}{1-ctg15^{circ}}cdot frac{sin15^{circ}}{sin15^{circ}}=frac{sin15^{circ}+cos15^{circ}}{sin15^{circ}-cos15^{circ}}=\ =frac{(sin15^{circ}+cos15^{circ})^2}{(sin15^{circ}-cos15^{circ})(sin15^{circ}+cos15^{circ})}=frac{sin^2 15^{circ}+2sin15^{circ}cos15^{circ}+cos^2 15^{circ}}{sin^2 15^{circ}-cos^2 15^{circ}}=\ =-frac{1+2sin15^{circ}cos15^{circ}}{cos^2 15^{circ}-sin^2 15^{circ}}=-frac{1+sin30^{circ}}{cos30^{circ}}=-frac{1+frac12}{frac{sqrt{3}}{2}}=-frac{3}{sqrt{3}}=-sqrt{3} end{gather*}
e*) begin{gather*} sinfrac{pi}{10}sinfrac{3pi}{10}=frac{2cosfrac{pi}{10}}{2cosfrac{pi}{10}}cdot sinfrac{pi}{10}sinfrac{3pi}{10}=frac{left(2cosfrac{pi}{10}sinfrac{pi}{10}right)}{2cosfrac{pi}{10}}sinfrac{3pi}{10}=\ =frac{sinfrac{pi}{5}}{2cosfrac{pi}{10}}sinleft(frac{pi}{2}-frac{pi}{5}right)=frac{sinfrac{pi}{5}cosfrac{pi}{5}}{2cosfrac{pi}{10}}=frac{sinfrac{2pi}{5}}{4cosleft(frac{pi}{2}-frac{2pi}{5}right)}=frac{sinfrac{2pi}{5}}{4sinfrac{2pi}{5}}=frac14 end{gather*}
Пример 2.Упростите выражение:
a) begin{gather*} frac{1-tg^2alpha}{1+tg^2alpha}=frac{1-tg^2alpha}{frac{1}{cos^2alpha}}=(1-tg^2alpha)cos^2alpha=cos^2alpha-sin^2alpha=cos2alpha end{gather*}
б) begin{gather*} cos^4left(2alpha+frac{5pi}{2}right)-sin^4left(2alpha-frac{3pi}{2}right)=cos^4left(2alpha+2pi+frac{pi}{2}right)-sin^4left(2alpha-2pi+frac{pi}{2}right)=\ =cos^4left(2alpha+frac{pi}{2}right)-sin^4left(2alpha+frac{pi}{2}right)=sin^4 2alpha-cos^4 2alpha=\ =(sin^2 2alpha-cos^2 2alpha)underbrace{(sin^2 2alpha+cos^2 2alpha)}_{=1}=sin^2 2alpha-cos^2 2alpha=-cos4alpha end{gather*}
в) begin{gather*} sin2alpha+2sin^2left(alpha-frac{5pi}{4}right)=sin2alpha+1-cosleft(2left(alpha-frac{5pi}{4}right)right)=\ =sin2alpha+1-cosleft(2alpha-frac{5pi}{2}right)=sin2alpha+1-cosleft(2alpha-2pi-fracpi2right)=\ =sin2alpha+1-cosleft(2alpha-fracpi2right)=sin2alpha+1-sin2alpha=1 end{gather*}
г) begin{gather*} frac{ctgalpha(sin2alpha-sinalpha)}{cos2alpha-cosalpha+1}=frac{frac{cosalpha}{sinalpha}(2sinalpha cosalpha-sinalpha)}{cos2alpha-cos alpha+1}=frac{cosalpha(2cosalpha-1)}{cos2alpha-cosalpha+1}=\ =frac{2cos^2alpha-cosalpha}{2cos^2alpha-1-cosalpha+1}=frac{2cos^2alpha-cosalpha}{2cos^2alpha-cosalpha}=1 end{gather*}
д) begin{gather*} frac{tg^2left(2alpha-fracpi4right)-1}{tg^2left(2alpha-frac{5pi}{4}right)+1}=frac{tg^2left(2alpha-fracpi4right)-1}{tg^2left(2alpha-fracpi4-piright)+1}=frac{tg^2left(2alpha-fracpi4right)-1}{tg^2left(2alpha-fracpi4right)+1}=\ =left(tg^2left(2alpha-fracpi4right)-1right)cos^2left(2alpha-fracpi4right)=sin^2left(2alpha-fracpi4right)-cos^2left(2alpha-fracpi4right)=\ =-cos2left(2alpha-fracpi4right)=-cosleft(4alpha-fracpi2right)=-sin4alpha end{gather*}
Пример 3.Найдите:
a) (sin2alpha) и (ctg2alpha), если (cosalpha=frac{12}{13}, -fracpi2ltalphalt 0)
Угол (alpha) в 4-й четверти, синус отрицательный: (sinalpha=-sqrt{1-cos^2alpha}=-sqrt{1-left(frac{12}{13}right)^2}=-frac{5}{13})
Котангенс: (ctgalpha=frac{cosalpha}{sinalpha}=frac{12}{13} : left(-frac{5}{13}right)=-frac{12}{5}=-2,4)
Синус двойного угла: (sin2alpha=2sinalpha cosalpha=2cdot left(-frac{5}{13}right)cdot frac{12}{13}=-frac{120}{169})
Котангенс двойного угла: (ctg2alpha=frac{ctg^2alpha-1}{2ctgalpha}=frac{left(-frac{12}{5}right)^2-1}{2cdotleft(-frac{12}{5}right)}=frac{144-25}{25} : left(-frac{24}{5}right)=-frac{119}{5cdot 24}=-frac{119}{120})
Ответ: (-frac{120}{169}) и (-frac{119}{120})
б) (tg^2left(fracpi4+alpharight)), если (sin2alpha=frac15) begin{gather*} tg^2left(fracpi4+alpharight)=left(tgleft(fracpi4+alpharight)right)^2=left(frac{tgfracpi4+tgalpha}{1-tgfracpi4cdot tgalpha}right)^2=left(frac{1+tgalpha}{1-tgalpha}right)^2=\ =left(frac{1+tgalpha}{1-tgalpha}cdot frac{cosalpha}{cosalpha}right)^2=left(frac{cosalpha+sinalpha}{cosalpha-sinalpha}right)^2=frac{cos^2alpha+2sinalpha cosalpha+sin^2alpha}{cos^2alpha-2sinalpha cosalpha+sin^2alpha}=\ =frac{1+2sinalpha cosalpha}{1-2sinalpha cosalpha}=frac{1+sin2alpha}{1-sin2alpha} end{gather*} Подставляем:
(tg^2left(fracpi4+alpharight)=frac{1+frac15}{1-frac15}=frac64=1,5)
Ответ: 1,5
в) ( frac{sin(60^{circ}+alpha)}{4sinleft(15^{circ}+fracalpha4right)sinleft(75^{circ}-fracalpha4right)}), если (sinleft(30^{circ}+fracalpha2right)=0,8, 0^{circ}ltalphalt 90^{circ}) begin{gather*} frac{sin(60^{circ}+alpha)}{4sinleft(15^{circ}+fracalpha4right)sinleft(75^{circ}-fracalpha4right)}=frac{sin(60^{circ}+alpha)}{4sinleft(15^{circ}+fracalpha4right)sinleft(90^{circ}-left(15^{circ}+fracalpha4right)right)}=\ =frac{sin(60^{circ}+alpha)}{4sinleft(15^{circ}+fracalpha4right)cosleft(15^{circ}+fracalpha4right)}=frac{sin(60^{circ}+alpha)}{2sinleft(2left(15^{circ}+fracalpha4right)right)}=frac{sin(60^{circ}+alpha)}{2sinleft(30^{circ}+fracalpha2right)}=\ =frac{2sinleft(30^{circ}+fracalpha2right)cosleft(30^{circ}+fracalpha2right)}{2sinleft(30^{circ}+fracalpha2right)}=cosleft(30^{circ}+fracalpha2right) end{gather*} Нужно найти косинус при известном синусе. $$ 0^{circ}ltalphalt 90^{circ}Rightarrow 0^{circ}ltfracalpha2lt 45^{circ}Rightarrow 30^{circ}+fracalpha2lt 75^{circ} $$ Угол (left(30^{circ}+fracalpha2right)) в 1-й четверти, косинус положительный:
$$ cosleft(30^{circ}+fracalpha2right)=sqrt{1-sin^2left(30^{circ}+fracalpha2right)}=sqrt{1-0,8^2}=0,6 $$ Ответ: 0,6
г) ( sin2alpha), если (frac{2cosalpha+3sinalpha}{3cosalpha-2sinalpha}=-2) begin{gather*} frac{2cosalpha+3sinalpha}{3cosalpha-2sinalpha}=frac{frac{2cosalpha+3sinalpha}{cosalpha}}{frac{3cosalpha-2sinalpha}{cosalpha}}=frac{2+3tgalpha}{3-2tgalpha}=-2\ 2+3tgalpha=-2(3-2tgalpha)\ 3tgalpha-4tgalpha=-6-2\ tgalpha=8\ sin2alpha=2sinalpha cosalpha=2frac{sinalpha}{cosalpha}cos^2alpha=2tgalphacdot cos^2alpha=frac{2tgalpha}{1+tg^2alpha} end{gather*} Подставляем: (sin2alpha=frac{2cdot 8}{1+8^2}=frac{16}{65})
Ответ: (frac{16}{65})
Пример 4*.Упростите:
a) ( cosfrac{pi}{33}cosfrac{2pi}{33}cosfrac{4pi}{33}cosfrac{8pi}{33}cosfrac{16pi}{33} )
Умножим и разделим на (sinfrac{pi}{33}): begin{gather*} frac{sinfrac{pi}{33}cosfrac{pi}{33}}{sinfrac{pi}{33}}cosfrac{2pi}{33}cosfrac{4pi}{33}cosfrac{8pi}{33}cosfrac{16pi}{33}=frac{sinfrac{2pi}{33}cosfrac{2pi}{33}}{2sinfrac{pi}{33}}cosfrac{4pi}{33}cosfrac{8pi}{33}cosfrac{16pi}{33}=\ =frac{sinfrac{4pi}{33}cosfrac{4pi}{33}}{4sinfrac{pi}{33}}cosfrac{8pi}{33}cosfrac{16pi}{33}=frac{sinfrac{8pi}{33}cosfrac{8pi}{33}}{8sinfrac{pi}{33}}cosfrac{16pi}{33}=frac{sinfrac{16pi}{33}cosfrac{16pi}{33}}{16sinfrac{pi}{33}}=\ =frac{sinfrac{32pi}{33}}{32sinfrac{pi}{33}}=frac{sinleft(pi-frac{pi}{33}right)}{32sinfrac{pi}{33}}=frac{sinfrac{pi}{33}}{32sinfrac{pi}{33}}=frac{1}{32} end{gather*} Ответ: (frac{1}{32})
б) ( sin18^{circ}sin54^{circ} ) begin{gather*} sin18^{circ}sin54^{circ}=sin18^{circ}sin(90^{circ}-36^{circ})=sin18^{circ}cos36^{circ}=frac{sin18^{circ}cos18^{circ}cos36^{circ}}{cos18^{circ}}=\ =frac{sin36^{circ}cos36^{circ}}{2cos18^{circ}}=frac{sin72^{circ}}{4cos18^{circ}}=frac{sin72^{circ}}{4cos18^{circ}}=frac{sin(90^{circ}-18^{circ})}{4cos18^{circ}}=frac{cos18^{circ}}{4cos18^{circ}}=frac14 end{gather*} Ответ: (frac14)
в) ( sqrt{2+sqrt{2+2cos4alpha}} ), где (0le alphalefracpi2) begin{gather*} sqrt{2+sqrt{2+2cos4alpha}}=sqrt{2+sqrt{2(1+cos4alpha)}}=sqrt{2+sqrt{2cdot 2cos^2 2alpha}}=\ =sqrt{2+2cdot |cos2alpha|}=sqrt{2(1+|cos2alpha|)}= left[ begin{array} {l l} sqrt{2(1+cos2alpha)}, cos2alphageq 0\ sqrt{2(1-cos2alpha)}, cos2alphalt 0 end{array} right. =\ = left[ begin{array} {l l} sqrt{2cdot 2cos^2alpha}, 0leq 2alphaleqfracpi2\ sqrt{2cdot 2sin^2alpha}, fracpi2lt 2alphaleq pi end{array} right. = left[ begin{array} {l l} 2cosalpha, 0leq alphaleqfracpi4\ 2sinalpha, fracpi4lt alphaleq fracpi2 end{array} right. end{gather*} Ответ: (2cosalpha) при (0leq alphaleqfracpi4; 2sinalpha) при (fracpi4lt alphaleq fracpi2)
г) ( 4(sin^4x+cos^4x)-4(sin^6x+cos^6x)-1 )
Основное тригонометрическое тождество: (sin^2x+cos^2x=1)
Возведём в квадрат: begin{gather*} (sin^2x+cos^2x)^2=sin^4x+cos^4x+2sin^2x cos^2x=1\ sin^4x+cos^4x=1-frac{(2sinx cosx)^2}{2}=1-frac{sin^2 2x}{2} end{gather*} Возведём в куб: begin{gather*} (sin^2x+cos^2x)^3=sin^6x+cos^6x+3sin2x cos^4x+3sin^4x cos^2x=1\ sin^6x+cos^6x = 1-3sin^2x cos^2xunderbrace{(cos^2x+sin^2x)}_{=1}=\ =1-frac34(2sinx cosx)^2=1-frac{3sin^2 2x}{4} end{gather*}
begin{gather*} sin^4x+cos^4x=1-frac{sin^2 2x}{2}\ \ sin^6x+cos^6x = 1-frac{3sin^2 2x}{4} end{gather*}
Подставляем: begin{gather*} 4left(1-frac{sin^2 2x}{2}right)-4left(1-frac{3sin^2 2x}{4}right)=1=4-2sin^2 2x-4+3sin^2 2x-1=\ =sin^2 2x-1=-cos^2 2x end{gather*} Ответ: (-cos^2 2x)
Формулы половинного угла (половинного аргумента) – это часть от всех основных тригонометрических формул. Они выражают функции синус, косинус, тангенс, котангенс угла `frac{alpha}2` через эти ж функции аргумента `alpha`. Они, можно сказать, противоположны формулам двойного угла. Ниже приведены все формулы половинных углов, их вывод, а также примеры решения задач с их использованием.
Список всех формул половинного угла
Их можно встретить записанными в двух видах. В первом каждая из тригонометрических функций выражается через радикал:
`sin frac alpha 2=pm sqrt{frac {1-cos alpha}2}`
`cos frac alpha 2=pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}`
`tg frac alpha 2=pm sqrt{frac {1-cos alpha}{1+cos alpha}}=` `frac {sin alpha}{1+cos alpha}=frac {1-cos alpha}{sin alpha}`
`ctg frac alpha 2=pm sqrt{frac {1+cos alpha}{1-cos alpha}}=` `frac {sin alpha}{1-cos alpha}=frac {1+cos alpha}{sin alpha}`
Знак «+» или «-» перед корнями зависит от того, в какую из координатных четвертей попадает угол `frac{alpha}2`.
Во втором варианте имеем дело с квадратами тригонометрических функций половинного угла:
`sin^2 frac alpha 2=frac {1-cos alpha}2`
`cos^2 frac alpha 2=frac {1+cos alpha}2`
`tg^2 frac alpha 2=frac {1-cos alpha}{1+cos alpha}`
`ctg^2 frac alpha 2=frac {1+cos alpha}{1-cos alpha}`
Формула синуса и косинуса половинного угла имеет место при любом угле `alpha`.
Формула тангенса половинного угла справедлива для тех углов `alpha`, при которых определен `tg frac alpha 2`, то есть при ` alphanepi+2pi n, n in Z`.
Формула котангенса выполняется для тех `alpha`, при которых определен `ctg frac alpha 2`, то есть при ` alphane 2pi n, n in Z`.
С помощью следующего набора формул можно выразить каждую из тригонометрических функций угла `alpha` через тангенс половинного угла.
`sin alpha= frac{2tgfrac{alpha}{2}}{1 + tg^{2}frac{alpha}{2}},` ` alphane pi +2pi n, n in Z`
`cos alpha= frac{1 — tg^{2}frac{alpha}{2}}{1 + tg^{2}frac{alpha}{2}},` ` alpha ne pi +2pi n, n in Z`
`tg alpha= frac{2tgfrac{alpha}{2}}{1 — tg^{2}frac{alpha}{2}},` ` alpha ne pi +2pi n, n in Z,` ` alpha ne frac{pi}{2}+ pi n, n in Z`
`ctg alpha = frac{1 — tg^{2}frac{alpha}{2}}{2tgfrac{alpha}{2}},` ` alpha ne pi n, n in Z,` `alpha ne pi + 2pi n, n in Z`
Вывод формул половинного угла
Формула косинуса и синуса половинного угла выводится из формул косинуса двойного угла `cos 2alpha=1-2 sin^2 alpha` и `cos 2alpha=2 cos^2 alpha-1`. Запишем их в следующем виде: `cos alpha=1-2 sin^2 frac alpha 2` и `cos alpha=2 cos^2 frac alpha 2-1`. Выразив из первого равенства ` sin frac alpha 2` получим `sin frac alpha 2=pm sqrt{frac {1-cos alpha}2}`. Аналогично разрешив второе равенство относительно ` cos frac alpha 2` в результате будем иметь `cos frac alpha 2=pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}`.
Формулы тангенса и котангенса половинного угла можно вывести, используя определения этих функций в виде `tg frac alpha 2=frac{sinfrac alpha 2}{cos frac alpha 2}` и `ctg frac alpha 2=frac{cos frac alpha 2}{sin frac alpha 2}`, а также две уже доказанные выше формулы для синуса и косинуса.
В результате будем иметь: `tg frac alpha 2=frac{sinfrac alpha 2}{cos frac alpha 2}=` `frac{pm sqrt{frac {1-cos alpha}2}}{pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}}=` `pm sqrt{frac {1-cos alpha}{1+cos alpha}}` и `ctg frac alpha 2=frac{cosfrac alpha 2}{sin frac alpha 2}=` `frac{pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}}{pm sqrt{frac {1-cos alpha}2}}=` `pm sqrt{frac {1+cos alpha}{1-cos alpha}}`.
Примеры использования при решении задач
Пример 1. Найти `cos 15^circ`, если известно, что `cos 30^circ=frac{sqrt3}2`.
Решение. Формула половинного угла для тригонометрической функции косинус имеет вид `cos^2 frac alpha 2=frac {1+cos alpha}2`. Подставив известные значения, имеем `cos^2 15^circ=frac {1+cos 30^circ}2=` `frac{1+frac{sqrt3}2}2=frac{2+sqrt3}4`. Имея значение `cos^2 15^circ`, найдем `cos 15^circ`. Поскольку угол 15 градусов лежит в первой координатной четверти, а косинус в этой четверти имеет знак «+», то `cos 15^circ=sqrt{frac{2+sqrt3}4}=` `frac{sqrt{2+sqrt3}}2`.
Ответ. `cos 15^circ=frac{sqrt{2+sqrt3}}2`.
Пример 2. Вычислить значение выражения `4cos frac {alpha}2+2cos alpha+5`, если `cos alpha=frac {1}8`.
Решение. Используя ту же формулу, что и в первом примере (`cos frac alpha 2=pm sqrt{frac {1+cos alpha}2}`) и известное значение косинуса, упростим выражение: `4sqrt{frac {1+cos alpha}2}+2cos alpha+5=4sqrt{frac {1+frac {1}8}2}+2 cdot frac {1}8+5=` `4sqrt{frac {9}16}+frac{1}4+5=8frac{1}4`.
Ответ. `4cos frac {alpha}2+2cos alpha+5=8frac{1}4`.
Еще несколько примеров с подробным объяснением посмотрите на видео:
В большинстве случаев формулы половинного угла используются при преобразовании тригонометрических выражений.
Материалы по теме:
- Тригонометрические формулы: косинус, синус и тангенс двойного угла
- Формулы понижения степени в тригонометрии: вывод и примеры
- Все формулы по тригонометрии
- Формулы приведения тригонометрических функций
Загрузка…
Формулы половинного угла (аргумента) онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно получить формулы половинного угла (и другие формулы) тригонометрических функций. Для получения формулы выберите нужную тригонометрическую функцию, выберите нужный аргумент, нажав на аргумент в формуле. В результате получится формула для этой функции и аргумента. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Формулы половинного угла (аргумента) − теория, доказательство, примеры
Формулы половинного угла выражают тригонометрические функции синус, косинус, тангенс и котангенс угла через тригонометрические функции угла . Выведем формулы половинного угла для функций синус, косинус, тангенс, котангенс. Воспользуемся следующими формулами двойного угла (подробнее смотрите на странице Формулы двойного и тройного угла (аргумента) онлайн):
Подставим в (1) и (2) . Тогда имеем
Из равенств (3) и (4) найдем соответвсвенно и :
Следовательно:
Равенства (5) и (6) (или (7) и (8)) являются формулами половинного угла для функций синус и косинус. Для выведения формул для тангенса и котангенса запишем основные тригонометрические тождества для этих функций:
Тогда
Откуда:
Отметим, что в знак формулах (7), (8), (11) и (12) совпадает со знаком тригонометрической функции для угла .
Выражения (11) и (12) являются формулами половинного угла для функций тангенс и котангенс. Отметим, что определен тогда, когда (т.е. , где Z -множество целых чисел). определен тогда, когда (т.е. ).
Выведем другие формулы для половинного угла тангенса и котангенса. Для этого воспользуемся формулами (9) и (10).
Вторая формула для тангенса половинного угла:
или
Третья формула для тангенса половинного угла:
или
Вторая формула для котангенса половинного угла:
или
Третья формула для котангенса половинного угла:
или
Заметим, что формулы (15) и (16) можно также получить, учитывая равенство (или ).
Примеры применения формул половинного угла (аргумента)
Пример. Вычислить используя формулу половинного угла.
Решение. Воспользуемся формулой (7). Так как знак синуса угла 15° положительно, то берем формулу (7) со знаком “+”:
Ответ: