Как найти половину диагонали трапеции если

Диагонали трапеции

Свойства диагоналей трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM. 

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции.

Данный отрезок параллелен основаниям трапеции.

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD – BC)/2

или

LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции – являются подобными.

Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными – они равны.

Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны. 

Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это – треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны, то есть треугольники являются равновеликими.

Свойства трапеции, достроенной до треугольника

Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований. 

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей ( KO/ON ) будет равно соотношению оснований трапеции ( BC/AD ).

KO / ON = BC / AD

Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

Далее приведены формулы, отображающие зависимость между сторонами, углами трапеции и величиной ее диагоналей. Эти формулы пригодятся для решения задач по геометрии на тему “диагонали трапеции”

Далее, в формулах используются следующие обозначения:

a, b – основания трапеции

c, d – боковые стороны трапеции

d1 d2 – диагонали трапеции

α β – углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

 

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований. Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

2. Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

3. Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции,  одна боковая сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Примечание. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа – задайте вопрос на форуме.

Задача.

Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение.

Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам – AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC

9 / 6 = 24 / BC

BC = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ: 16 см

Задача.

В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение.

Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая – то обозначим длину AM = a, длину  KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK – прямоугольник.

Значит

AD = AM+BC+KD

a + 8 + b = 24

a = 16 – b

Треугольники DBM и ACK – прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

h² + (24 – a)² = (5√17)²

и

h² + (24 – b)² = 13²

Учтем, что a = 16 – b , тогда в первом уравнении

h² + (24 – 16 + b)² = 425

h²  = 425 – (8 + b)²

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:

425 – (8 + b)² + (24 – b)²  = 169

-(64 + 16b + b)² + (24 – b)² = -256

-64 – 16b – b² + 576 – 48b + b²  = -256

-64b = -768

b = 12

Таким образом, KD = 12

Откуда

h²  = 425 – (8 + b)² = 425 – (8 + 12)² = 25

h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований

, где a b – основания трапеции, h – высота трапеции

S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см²

Ответ: площадь трапеции равна 80 см².

0
 

 Трапеция (задачи про основания) |

Описание курса

| Прямоугольная трапеция 

Трапеция и ее свойства

Т. А. Унегова

Определения:

Трапеция — это называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные — боковыми сторонами трапеции.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований трапеции к прямой, содержащей другое основание.

Трапеция называется вписанной в окружность, если каждая ее вершина принадлежит окружности.

Трапеция называется описанной вокруг окружности, если каждая ее сторона касается окружности.

Трапеция называется равнобедренной (равнобокой, равнобочной), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Теоремы о средней линии и диагоналях трапеции

Теорема 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: .

Теорема 2. Диагонали трапеции делят среднюю линию трапеции на три отрезка. Средний из них равен полуразности оснований, а два крайних равны между собой: .

Теорема 3. Средняя линия треугольника, составленного из диагоналей и суммы оснований трапеции, равна средней линии трапеции: .

Теорема 4. Четыре точки: середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений ее боковых сторон — лежат на одной прямой.

Эта теорема называется также «Замечательное свойство трапеции».

Теорема 5. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Два из них, содержащие боковые стороны, равновелики (имеют равные площади), а два других, содержащие основания, подобны.

Теоремы о площади трапеции

Теорема 6. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: .

Теорема 7. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту: .

Теорема 8. Площадь трапеции (как и всякого выпуклого четырехугольника) равна половине произведения ее диагоналей на синус угла между ними: , где (Вместо можно брать

Теорема 9. Если в трапецию можно вписать окружность, то (как и для всякого описанного многоугольника) площадь трапеции равна произведению ее полупериметра на радиус вписанной окружности: . Таким образом, .

Теорема 10. Площадь трапеции равна площади треугольника, составленного из диагоналей и суммы оснований этой трапеции. (Сравни эту теорему и теорему 3.)

Теоремы о вписанных и описанных трапециях

Теорема 11. Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. И наоборот, если трапеция равнобедренная, то около нее можно описать окружность.

Теорема 12. Если трапеция описана около окружности, то сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон.

Задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Трапеция

Задача 1.

Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны .

Решение:

Высота трапеции— это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины . Так как сторона квадратной клетки равна , то по теореме Пифагора получаем, что .

Ответ: 2.

Задача 2.

Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол . Найдите площадь трапеции.

Решение:

Углы ABC и BAH — односторонние, их сумма равна , и тогда BAH

Из ABH найдем высоту BH. Катет, лежащий против угла в , равен половине гипотенузы. Получаем, что BH = 3,5.

Площадь трапеции равна .

Ответ: 42.

Задача 3.

Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции ее диагональ.

Решение:

Что можно увидеть на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция ABCD, и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, ABC и ACD, в которых проведены средние линии.

Напомним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны. Из ACD находим, что

Ответ: 5.

Задача 4.

Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Решение:

Проведем PQ — среднюю линию трапеции, PQ = 2,5 и . Отсюда получаем, что середина отрезка AC, то есть PM — средняя линия треугольника ABC и PM = 1. Аналогично, NQ = 1.

Ответ: 0,5.

Задача 5.

Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

Решение:

Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть

Периметр трапеции равен

Ответ: 23.

Задача 6.

В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC является биссектрисой острого угла трапеции и образует со стороной CD угол . Найдите углы трапеции.

Решение:

Пусть CAD , тогда CAB и BAD , так как трапеция равнобедренная.

Сумма углов , откуда

Итак, , а.

Ответ: .

Задача 7.

В равнобедренной трапеции основания равны 10 м и 24 м, боковая сторона 25 м. Найдите высоту трапеции.

Решение:

В равнобедренной трапеции проведем высоты. Получим прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Тогда основание каждого треугольника равно 7 и Отсюда,

Ответ: 24.

Задача 8.

Тупой угол равнобедренной трапеции равен , а высота, проведенная из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Проведем две высоты. Они разделят трапецию на три части: прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника с острым углом .

Каждый треугольник равнобедренный, поэтому h = 1,4.

Нетрудно видеть, что верхнее основание трапеции равно 2, а нижнее — 4,8. Отсюда площадь трапеции равна .

Ответ: 4,76.

Задача 9.

Площадь трапеции равна 60м а основания 8 м и 12 м. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Так как площадь трапеции , то , откуда h = 6.

Ответ: 6.

Задача 10.

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны и равны Найдите площадь трапеции.

Решение:

Проведем CE BD и DE — продолжение AD.

Так как BCDE — параллелограмм, то CE = a.

По теореме 10 получим, что .

Ответ:

Задач 11.

В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD и является биссектрисой угла A.

Найдите AD, если периметр трапеции равен 20, а угол D равен .

Решение:

По условию задачи в прямоугольном ACD

D , следовательно, CAD .

Так как AC — биссектриса, то CAB , откуда DAB , то есть, трапеция равнобедренная. BCA CAD как накрест лежащие, поэтому ABC — равнобедренный.

Обозначим длины боковых сторон ABC буквой x.

Тогда AB = BC = CD = x, и AD = 2x, так как в прямоугольном ACD против угла в лежит катет, равный половине гипотенузы.

Таким образом, периметр трапеции, равный 20, составляет 5x, отсюда

x = 4 и AD = 8.

Ответ: 8.

Задача 12.

В равнобедренной трапеции ABCD с острым углом меньшее основание BC равно 2, а боковая сторона AB равна 10. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке M. Во сколько раз площадь трапеции больше площади треугольника BCM?

Решение:

Нетрудно видеть, что BCM равносторонний и BM = 2, тогда AM = 12 и BCM подобен ADM c коэффициентом .

Пусть, , тогда

Площадь трапеции будет равна

Ответ: 35.

Задача 13.

Сумма углов при одном из оснований трапеции равна . Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований, если основания равны 6 и 10.

Решение:

Продолжим боковые стороны до пересечения в точке E и отметим точки F и G — середины оснований трапеции.

Так как сумма углов при основании трапеции равна , то , поэтому EF и EG — медианы в прямоугольных треугольниках BEC и AED соответственно.

Известно, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, значит

Ответ: 2.

Задача 14.

Найдите радиус окружности, вписанной в равнобочную трапецию, если средняя линия трапеции равна 10, а ее площадь 24.

Решение:

Так как площадь трапеции равна , а высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть то , откуда .

Ответ: 1,2.

Задача 15.

Периметр прямоугольной трапеции равен 32, а большая боковая сторона равна 10. Найдите радиус r вписанной в трапецию окружности.

Решение:

По свойствам описанной трапеции сумма ее боковых сторон равна сумме оснований, поэтому

откуда

Сторона AB равна диаметру окружности, поэтому .

Ответ: 3.

Задача 16.

Около окружности описана трапеция, сумма боковых сторон которой равна 40. Найдите длину ее средней линии.

Решение:

Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований. Если трапеция описана вокруг окружности, то в ней сумма оснований равна сумме боковых сторон, поэтому

Ответ: 20.

Задача 17.

В окружность вписана трапеция так, что диаметр окружности служит основанием трапеции, а вершины другого основания делят полуокружность на три равные части. Найдите тупые углы трапеции. Ответ выразите в градусах.

Решение:

Так как AD — диаметр окружности, то дуга ABCD равна . Она делится на три равные части по

Вписанный угол D опирается на дугу ABC, которая равна , отсюда и, стало быть,

Ответ: 120.

Трапеция, ее свойства, формулы площади, высоты, сторон.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.

Трапеция (понятие, определение)

Видеоурок “Трапеция”

Виды трапеций

Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота

Свойства трапеции

Свойства равнобедренной трапеции

Формулы трапеции

Трапеция (понятие, определение):

Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον – «столик» от τράπεζα – «стол») – это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две стороны не параллельны.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, и стороны не равны между собой.

Рис. 1. Трапеция

Выпуклым четырёхугольником называется четырёхугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

@ https://youtu.be/Q4EpXexoMrM

Виды трапеций:

Равнобедренная трапеция или равнобокая трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Рис. 2. Равнобедренная трапеция

Прямоугольная трапеция – это трапеция, один из углов при боковой стороне которой прямой.

Прямоугольная трапеция – это трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне.

Рис. 3. Прямоугольная трапеция

Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота:

Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а две другие – непараллельные – боковыми сторонами.

Рис. 4. Трапеция 

AD и BC – основания трапеции, AB и CD – боковые стороны трапеции.

AD – большее основание трапеции, BC – меньшее основание трапеции.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средняя линия.

Рис. 5. Трапеция и срединная линия

Расстояние между основаниями трапеции называется высотой трапеции.

Рис. 6. Трапеция

Высота трапеции (h) определяется формулой:

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.

Свойства трапеции:

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Рис. 7. Трапеция и срединная линия

MN || BC, MN || AD,

l = (a + b) / 2 

2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии. 

Рис. 8. Трапеция

MN = (b – a) / 2 

3. Сумма внутренних углов трапеции (и любого другого четырёхугольника) равна 360° .

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна  180° . 

Рис. 9. Трапеция 

4. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Рис. 9. Трапеция

5. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

 Рис. 10. Трапеция

AB = BK

6. Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Рис. 11. Трапеция

∠BAD + ∠CDA = 90°, MN = (AD – DC) / 2 

7. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.

Рис. 12. Трапеция

AB + CD = AD + BC 

В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

Рис. 13. Трапеция 

Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).

Рис. 14. Трапеция

MN = (AB + CD) / 2,

MN = (AD + BC) / 2

8. Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника.

Два из них, прилежащие к основаниям, подобны.

Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь.

Рис. 15. Трапеция

Треугольники BCO и AOD подобны. Коэффициент подобия треугольников (k) находится как отношение оснований трапеции.  k = AD / BC. Отношение площадей этих подобных треугольников есть k².

Треугольники ABO и CDO имеют одинаковую площадь.

9. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями.

Рис. 16. Трапеция

BC : AD = OC : AO = OB : DO

10. Диагонали трапеции d₁ и d₂ связаны со сторонами соотношением:

d₁² + d₂² = 2ab + c ² + d ²    

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.

11. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основания трапеции, так же делит диагонали пополам.

Рис. 17. Трапеция

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,

KL – средняя линия

Рис. 17. Трапеция

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,

KL – средняя линия, UV – отрезок, который соединяет основания трапеции

12. Средняя линия разбивает трапецию на две трапеции, площади которых соотносятся как:

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, S₁ и S₂ – площади образованных трапеций, в результате разделения средней линией.

Рис. 18. Трапеция

S₁ – площадь трапеции MBCN,

S₂ – площадь трапеции AMND

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям, тем самым, является осью симметрии равнобедренной трапеции.

2. Высота, опущенная из вершины на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований.

3. Углы при любом основании равнобедренной трапеции равны.

4. Сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°.

5. Длины диагоналей равнобедренной трапеции равны.

6. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

7. При перпендикулярности диагоналей в равнобедренной трапеции ее высота равна полусумме оснований.

Формулы трапеции:

Пусть a – большее основание трапеции, b – меньшее основание трапеции, c – левая сторона трапеции, d – правая сторона трапеции, α и β – углы при нижнем основании трапеции, d₁ и d₂ – диагонали трапеции, m – средняя линия трапеции, h – высота трапеции, γ и δ – углы между диагоналями трапеции, S – площадь трапеции, P – периметр трапеции.

Формулы для определения сторон трапеции:

Через среднюю линию и одно из оснований трапеции:

a = 2m – b

b = 2m – a

Через высоту и углы при нижнем основании трапеции:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a – h · (ctg α + ctg β)

Через боковые стороны и углы при нижнем основании:

a = b + c·cos α + d·cos β

b = a – c·cos α – d·cos β

Через высоту и углы при нижнем основании трапеции:

Формулы для определения средней линии трапеции:

Через длины оснований трапеции:

Через площадь и высоту трапеции:

Формулы для определения высоты трапеции:

Через сторону и прилегающий угол при нижнем основании трапеции:

h = c·sin α = d·sin β

Через диагонали трапеции и углы между ними:

Через диагонали трапеции, углы между ними и среднюю линию трапеции:

Через площадь и длины оснований трапеции:

Через площадь и длину средней линии трапеции:

Формула для определения периметра трапеции:

P = a + b + c + d

Формулы для определения площади трапеции:

Через основания и высоту трапеции:

Через среднюю линию и высоту трапеции:

S = m · h

Через диагонали трапеции и угол между ними:

Через все стороны трапеции:

С помощью формулы Герона для трапеции:

Как называется объемная трапеция?

Если трапецию изобразить в объеме, то такая фигура будет напоминать усеченную пирамиду.

В правильной усеченной пирамиде боковые грани являются равнобокими трапециями.

Квадрат

Овал

Полукруг

Прямой угол

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Ромб

Трапеция

Тупой угол

Шестиугольник

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Видео https://youtu.be/Q4EpXexoMrM

Коэффициент востребованности
6 409

Диагональ выпуклого четырехугольника – это отрезок, соединяющий 2 противолежащие вершины. В
зависимости от типа геометрической фигуры диагональ обладает особыми свойствами, которые необходимо
знать и уметь применять на практике, так как большинство решений задач основывается именно на них. В
данной статье рассмотрены пути определения диагоналей, проведенных в трапеции.

Основные свойства фигуры и проведенных диагоналей способствуют выведению сокращенных формул, которые
помогут в решении задач по геометрии повышенного уровня. Рассмотрим несколько способов нахождения
искомого отрезка.

Вычисление через нижнее основание, боковую сторону и угол между ними

Зная длину стороны, большего основания трапеции и противолежащий по отношению к диагонали угол, можно
быстро найти результат благодаря формуле:

D = √(a² + b² — 2ac * cos β)

где c — сторона трапеции, a — основание, β – угол между ними.

Пример. В трапеции проведена диагональ, противолежащий к ней острый угол равен 75
градусам. Прилежащие к данному углу основание и сторона трапеции равны 6,1 и 7 см. Найти проведенный
отрезок. D = √(6,1² + 7³ —  2 * 6,1 * 7 * cos75°) = 8 см – искомая
величина.

Вычисление через известные длины четырех сторон трапеции

Допустим, что a, b – основания, c и d – боковые стороны. Значение диагонали с учетом этих данных
легко можно найти, подставив их в формулу:

D =√(c² + ab — a * (c² — d²) / (a — b))

где a, b — основания, c, d — боковые стороны трапеции.

Пример. Дана трапеция с боковыми сторонами 6 и 5 см, основаниями 4 и 8 см. Нужно
найти диагональ, которая лежит против угла. Применим данную формулу для решения: D = √(36 + 4 * 8 — 4(36 — 25) / (8 — 4)) = √(36 + 32 — 44 / 4) = 7,5 см
– неизвестная диагональ.

Вычисление через высоту, нижнее основание и угол при нижнем основании

Зная длину проведенной в трапеции высоты к нижнему основанию, значение которого также известно, и
один из двух углов при нижнем основании фигуры, можно найти диагональ, применив формулу:

D = √(h² + (a — h * ctg β)²)

где h — высота, a — нижнее основание, β – внутренний угол при основании.

Пример. К нижнему основанию трапеции равному 7 м проведена высота, длина которой 8
м. Известен угол между нижним основанием и боковой стороной — 71°. Найти диагональ,
противолежащую известному углу. D = √(64 + (7 — 8 * ctg 71°)²) = 9 м
– длина искомого отрезка.

Вычисление через высоту, верхнее основание и угол при нижнем основании

В данном случае не нужно тратить время на поиски нижнего основания трапеции, стоит воспользоваться
формулой:

D = √(h² + (b + h * ctg α)²)

где b – длина верхнего основания трапеции.

Пример. К нижнему основанию трапеции проведена высота длиной 6 мм. Длина верхнего
основания фигуры равна 4 мм, а внутренний угол — 71°. Найти: значение диагонали трапеции,
проходящей через вершину известного угла. D = √(36 + (4 + 6 * ctg 71°)²) = 8,5 мм.

Вычисление через высоту, нижнее основание и боковую сторону

Если известна длина одной из боковых сторон, нижнее основание и высота, проведенная к нему,
необходимо применить формулу:

D = √(a² + c² — 2a * √(c² — h²))

где a – нижнее основание трапеции, c – боковая сторона, h — высота.

Пример. В трапеции проведена высота длиной 8 см к нижнему основанию длиной 7 см.
Известно, что одна из боковых сторон равна 9 см. Найти: диагональ, противолежащую острому углу между
нижним основанием и известной боковой стороной. D = √(49 + 81 — 14√81 — 64) = √(130 — 14√17) = √72,3 = 8,5 см
– искомая величина.

Вычисление через высоту, основании и другую известную диагональ

Кроме данных о высоте, верхнем и нижнем основании, одной из диагоналей, необходимо значить величину
углов, образующихся при пересечении диагоналей трапеции. Известно, что углы между отрезками
считаются смежными, а значит их синусы равны. Таким образом, подставляем все данные в формулу:

D = h(a+b) / d * sin α

где a, b – основания трапеции, α – острый или тупой угол между диагоналями, h — высота.

Пример. Дана трапеция с основаниями 15 и 5 мм. Проведена высота длиной 10 мм, а
длина большей диагонали равна 20 мм. Найти: вторую диагональ, если известно, что угол при
пересечении отрезков равен 60°. D = 20(15 + 5) / 20 * sin 60° = 20 / sin 60° = 11,54 мм.

Вычисление через площадь трапеции и другую известную диагональ

Здесь также понадобится значение угла между данными отрезками. Способ нахождения через известную
площадь фигуры и другую диагональ имеет формулу вида:

D = 2S / d * sin α

где S – площадь, α – угол, d — известная диагональ

Пример. Дана трапеция площадью 87 мм² с диагональю длиной 14,7 мм. Как найти
неизвестную диагональ, если угол между отрезками равен 65 градусам. D = 2 * 87 / 14,7 * sin 65° = 174 / 14,7 * sin 65° = 13 мм
– искомая величина.

Вычисление через высоту, среднюю линию и другую известную диагональ

Средняя линия трапеции – это отрезок, проходящий через середины боковых сторон данного
четырёхугольника. Через это значение искомая диагональ находится по формуле:

D = 2 * mh / d * sin α

где буквой m обозначается средняя линия трапеции, h — высота, d — известная
диагональ.

Пример. Диагонали трапеции, одна из которых равна 19 мм, пересекаются под углом 65
градусов. Проведена средняя, длина которой 8 мм, а высота трапеции равна 15,5 мм. Найти: вторую
диагональ. D = 2 * 8 * 15,5 / 19 * sin 65° = 13 * sin 65° = 14,4 мм –
длина неизвестной диагонали.

Диагональ равнобедренной трапеции через основания и боковую сторону

Равнобедренная трапеция – часто встречающийся вид данного четырёхугольника. Основными признаками
равнобедренной фигуры служит равенство внутренних углов при основании, а также равенство диагоналей.
Найти диагональ, проведенную в равнобедренной трапеции, можно несколькими способами. К примеру,
вычислить искомую величину можно по формуле:

D = √(c² + a * b)

где c – известная боковая сторона, a и b – верхнее и нижнее основание трапеции.

Пример. Углы трапеции при основаниях, равных 8 и 18 см, имеют одинаковую градусную
меру. Одна из боковых сторон равна 6 см. Найти: диагональ. Из равенства углов делаем вывод, что дана
равнобедренная трапеция. Затем подставляем известные значения в формулу: D = √(36 + 8 * 18) = √180 = 13,4 см
– длина диагоналей равнобедренной трапеции.

Диагональ равнобедренной трапеции через высоту и среднюю линию

Зная длину высоты и отрезок, проходящий через середины сторон равнобедренной трапеции, можно легко
найти искомую величину по формуле:

D = √(h² + m²)

где буквой m обозначена средняя линия, а h — высота.

Пример. В трапеции проведена высота длиной 7 м, диагонали равны. Как найти
диагонали, если известна длина средней линии – 9 м? Из равенства диагоналей можно сделать вывод, что
трапеция равнобедренная. А значит, что для быстрого решения нужно воспользоваться выше указанной
формулой: D = √(7² + 9²) = √(49+81) = √130 = 14,4 м – диагонали трапеции.

Диагональ равнобедренной трапеции через высоту, верхнее и нижнее основание

Формула нахождения искомого отрезка при помощи высоты и известных величин оснований имеет следующий
вид:

D = √(h² + (a² + b²) / 4)

где a и b – верхнее и нижнее основание равнобедренной трапеции, h — высота.

Пример. Дана равнобедренная трапеция, в которой к нижнему основанию проведена высота
длиной 7 см. Основания – 5 и 11 см. Найти: диагонали. D = √(7² +(5² + 11²) / 4) = √(49 + 146 / 4) = √85,5 = 10,6 см
– длина диагоналей.

Диагональ равнобедренной трапеции через площадь и угол между диагоналями

Как уже говорилось, синусы углов, образованных пересечением диагоналей, равны, так как углы являются
смежными. Поэтому для вычисления по следующей формуле, необходим любой из этих углов. Формула:

D = √2*S / sin α

где S — площадь, sin α — угол между диагоналями.

Пример. Дана равнобедренная трапеция, площадь которой равна 86 мм². Найти: длину
диагоналей, один из углов при пересечении которых равен 120 градусам. D = √(2 * 86 / sin 120°) = √(172 / sin 120°) = 14 мм.

Диагональ прямоугольной трапеции через основание и сторону

В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон расположена перпендикулярно основаниям (под углом
90°). Зная одно из оснований такого четырёхугольника и боковую сторону, можно легко найти диагональ,
применив следующую формулу:

D = √(a² + c²)

где a – основание, c — сторона.

Пример. Внутренний угол трапеции между боковой стороной и основаниями равен 90
градусам. Сторона равна 20 м, нижнее основание – 15 м. Найти: диагональ трапеции, противолежащую
прямому углу. Исходя их известных данных, делаем вывод, что дана прямоугольная трапеция. Затем
подставляем значения в формулу: D = √(20²+15²) = 25 м. Аналогичный способ
решения можно применить для того случая, когда известна длина верхнего основания.

Диагональ прямоугольной трапеции через основание и высоту

В данном случае высота равна боковой стороне, перпендикулярной основанию, поэтому вместо стороны в
формулу просто подставляется значение высоты при необходимости:

D = √(a² + h²)

где a — основание, h — высота.

Пример. Дана прямоугольная трапеция с высотой равной 15 см и основанием — 10
см. Найти: диагональ. D = √(15² + 10²) = 18 см.

Трапеция – выпуклая плоская геометрическая фигура, которая представляет собой четырёхугольник.
Обязательным условием данного вида является параллельность двух сторон (они называются основаниями).
Как и упоминалось выше, в зависимости от боковых сторон трапеция может быть равнобедренной и
прямоугольной.

Рассмотрим некоторые свойства четырёхугольника, знание которых необходимо для решения самых
простейших задач:

• В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон.
• Средняя линия параллельна основаниям, M=(a+b)/2, где a и b – основания.
• На одной прямой лежат точки пересечения диагоналей и продолжения длин боковых сторон.

Диагональ, построенная в данной фигуре, отличается следующими свойствами:

• Диагонали разделяют фигуру на 2 подобных треугольника, углы которых равны, а стороны
  пропорциональны.
• Проведенные диагонали также образуют 2 идентичных треугольника, стороны которых совпадают со
  сторонами трапеции.
• Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий основания фигуры, делится в
  пропорции, равной соотношению оснований фигуры.
• Отрезок, проходящий через середины диагоналей, делит боковые стороны трапеции на 2 равные
  части.

В решении задач значение диагонали поможет определить немалое количество нужных величин: высота,
площадь, периметр, все стороны и среднюю линию трапеции, внутренние углы. Хорошие навыки применения
тригонометрических функций способствуют быстрой скорости решения по данных формулам, которые
значительно облегчают и ускоряют процесс.