Как найти половину квадратного корня

Методы вычисления квадратных корней — это вычислительные алгоритмы для вычисления приближённых значений главных (или неотрицательных) квадратных корней (обычно обозначаемых как , или ) вещественного числа. Арифметически это означает, что если дано число , процедура находит число, которое при умножении на себя даёт . Алгебраически это означает процедуру нахождения неотрицательного корня уравнения . Геометрически это означает построение стороны квадрата с заданной площадью.

Любое вещественное число имеет два корня^[1]. Главное значение квадратного корня большинства чисел является иррациональным числом с бесконечной последовательностью десятичных цифр. Как результат, десятичное представление любого такого квадратного корня может быть вычислено только приближённо с конечной точностью (знаков после запятой). Однако, даже если мы берём корень от полного квадрата целого числа, так что результат имеет конечное представление, некоторые процедуры, используемые для вычисления корня, могут вернуть лишь ряд приближений с возрастающей точностью.

Представление вещественного числа в виде цепной дроби может быть использовано вместо десятичного или двоичного разложения и это представление имеет свойство, что квадратный корень любого рационального числа (который не является полным квадратом) имеет период, то есть периодическое разложение, похожее на то, как рациональные числа имеют повторяющееся разложения десятичной системе счисления.

Большинство общепризнанных аналитических методов являются итеративными и состоят из двух шагов: нахождения подходящего начального значения с последующим итеративным уточнением пока не будет достигнут определённый критерий остановки. Начальным значением может быть любое число, но если оно ближе к конечному значению, число требуемых итераций потребуется меньше. Наиболее известным таким методом, да ещё и удобным для программирования, является метод Ньютона, который основывается на вычислении производной. Несколько методов, такие как обычное деление вручную по схеме Горнера или разложение в ряд, не требуют задание начального значения. В некоторых приложениях требуется найти целочисленный квадратный корень, который является квадратным корнем, округлённым до ближайшего целого (в этом случае может быть использована модифицированная процедура).

Используемый метод зависит от того, как результат будет использован (то есть, насколько точен должен быть результат) и какие средства есть под рукой. Методы можно грубо разбить на те, которые можно выполнить в уме, которые требуют карандаша и листа бумаги, или те, которые реализуются в виде программы и выполняются на компьютерах или других вычислительных устройствах. Могут приниматься в расчёт скорость сходимости (сколько итераций потребуется для достижения заданной точности), вычислительной сложности отдельных операций (таких как деление) или итераций, и распределение ошибок (точность результата).

Процедуры поиска квадратных корней (в частности, корня из 2) известны по меньшей мере со времён древнего Вавилона (17-й век до нашей эры). Метод Герона из Египта первого века был первым проверяемым алгоритмом для вычисления квадратного корня. Современные аналитические методы начались разрабатываться после принятия арабских цифр в Западной Европе в Раннем Ренессансе. В настоящие дни почти все вычислительные устройства имеют функцию быстрого и точного вычисления квадратного корня в виде встроенной конструкции языка программирования, библиотечной функции или аппаратного оператора, которые основываются на описанных ниже процедурах.

Начальная оценка[править | править код]

Многие итеративные алгоритмы вычисления квадратного корня требуют задания начального случайного значения. Это значение должно быть ненулевым положительным числом. Оно должно быть между 1 и , числом, квадратным корень которого мы ищем, поскольку квадратный корень должен быть в этих пределах. Если начальное значение очень далеко от корня, алгоритму потребуется больше итераций. Если начать с (или с ), будет отработано лишних примерно итераций просто для получения порядка корня. Поэтому полезно иметь грубую оценку корня, которая может иметь слабую точность, но зато легко вычисляется. В общем случае чем точнее оценка, тем быстрее сходимость. Для метода Ньютона (называемого также вавилонским или методом Герона), начальное значение несколько большее корня даёт более быструю сходимость, по сравнению с начальным значением, меньшим корня.

Вообще говоря, оценка рассматривается на произвольном интервале, в котором известно, что в нём содержится корень (таком как ). Получение лучшей оценки вовлекает либо получение более узких границ интервала, либо лучшего функционального приближения к Последнее обычно означает использование для аппроксимации многочленов более высокого порядка, хотя не все аппроксимации используют многочлены. Общие методы оценки бывают скалярные, линейные, гиперболические и логарифмические. Десятичная система счисления обычно используется для оценки в уме или на бумаге. Двоичная система счисления более пригодна для компьютерных оценок. При оценке экспонента и мантисса обычно обрабатываются отдельно.

Десятичная оценка[править | править код]

Обычно число выражается в экспоненциальном виде как , где , а n — целое число, тогда оценкой возможного квадратного корня может быть , где .

Скалярные оценки[править | править код]

Скалярные методы делят весь диапазон на интервалы и оценка в каждом интервале представлена одним числом. Если диапазон рассматривается как один интервал, то арифметическое среднее (5,5) или геометрическое среднее ( являются приемлемыми оценками. Абсолютная и относительная оценка для этих оценок будет отличаться. В общем случае отдельное число будет очень неточно. Более точные оценки разбивают диапазон на два и более интервалов, но скалярная оценка продолжает оставаться очень грубой.

Для двух интервалов, разбитых геометрически, квадратный корень можно оценить как^[2].

Эта оценка имеет максимальную абсолютную погрешность в точке = 100 и максимальную относительную ошибку в 100% в точке = 1.

Например, для с разложением , оценка будет . , с абсолютной ошибкой 246 и относительной ошибкой почти 70%.

Линейная оценка[править | править код]

Лучшей оценкой и стандартным методом является линейное приближение функции на малой дуге. Если, как и выше, степень выделена из числа , а интервал сокращён до , можно использовать секущую или касательную где-то вдоль дуги для аппроксимации, но прямая регрессии метода наименьших квадратов будет более точной.

Прямая, получающаяся методом наименьших квадратов, минимизирует среднее расстояние между оценкой и значением функции. Её уравнение — . После преобразования и округления коэффициентов для упрощения вычислений получим

Это лучшая оценка в среднем, которую можно получить одной попыткой линейной аппроксимации функции в интервале . Оценка имеет максимальную абсолютную ошибку 1,2 в точке a=100 и максимальную относительную ошибку в 30% в точках S=1 и 10^[3].

Чтобы разделить на 10, вычитаем единицу из показателя степени или, образно говоря, передвигаем десятичную запятую на одну позицию влево. Для этой формулы любая добавленная константа, равная 1 плюс маленькое приращение, даёт удовлетворительную оценку, так что запоминать точное число нет необходимости. Аппроксимация (округлённая или не округлённая) с помощью одной прямой, стягивающей область по точности даёт не более одного верного знака. Относительная ошибка более чем 1/2², так что даёт менее 2 битов информации. Точность сильно ограничена, поскольку область охватывает два порядка, что достаточно большая величина для такого рода оценок.

Существенно лучшую оценку можно получить при помощи кусочно–линейной аппроксимации, то есть с помощью нескольких отрезков, которые приближают поддугу исходной дуги. Чем больше отрезков используется, тем лучше приближение. Наиболее употребительно применение касательных. Критичным моментом является как делить дугу и где располагать точки касания. Действенным методом деления дуги от y=1 до y=100 является геометрический — для двух интервалов границей интервалов является квадратный корень исходного интервала, 1*100, то есть и . Для трёх интервалов будут кубические корни — , и , и так далее. Для двух интервалов является очень удобным числом. Легко получить касательные прямые в точках касания и . Их уравнения: и . Обращая уравнения, получим, что квадратные корни равны и . Тогда для :

Максимальные абсолютные значения оказываются в правых границах интервалов, в точках a=10 и 100, и равны 0,54 и 1,7 соответственно. Максимальные относительные ошибки появляются на концах интервалов, в точках a=1, 10 и 100, и равны 17%. 17% или 0,17. Они больше, чем 1/10, так что метод даёт точность менее одной значащей цифры.

Гиперболическая оценка[править | править код]

В некоторых случаях может оказаться действенной гиперболическая оценка, поскольку гипербола также является выпуклой кривой и может лежать вдоль дуги Y = x² лучше, чем прямая. Гиперболическая оценка вычислительно более сложная, поскольку для неё нужно деление на число с плавающей запятой. Почти оптимальной гиперболической аппроксимацией к x² на интервале является . После преобразования получим . Тогда для :

Деление с плавающей запятой должно быть с точностью до одного десятичного знака, поскольку вся оценка даёт такую точность, и такое деление можно выполнить в уме. Гиперболическая оценка в среднем лучше, чем скалярная или линейная оценка. Её максимальная абсолютная ошибка составляет 1,58 в точке 100, а максимальная относительная ошибка составляет 16,0% в точке 10. Для худшего случая a=10 оценка равна 3,67. Если начать с 10 и применять итерации Нютона-Рапсона напрямую, требуется две итерации, которые дают 3,66, прежде чем достичь точности гиперболической оценки. Для более типичного случая наподобие 75 гиперболическая оценка даёт 8,00 и требуется 5 итераций Ньютона-Рапсона с начальным значением 75, чтобы получить более точный результат.

Арифметическая оценка[править | править код]

Метод, аналогичный кусочно-линейной аппроксимации, но использующий лишь арифметические операции вместо алгебраических уравнений, использует таблицу умножения в обратную сторону — квадратный корень чисел между 1 и 100 где-то между 1 и 10, так что, поскольку мы знаем, что 25 является точным квадратом (5 × 5) и 36 является точным квадратом (6 × 6), то квадратный корень из числа, которое больше 25, но меньше 36, начинается с цифры 5. Аналогично для чисел между другими квадратами. Этот метод даёт правильный первый знак, но точность его всего одна цифра — первая цифра квадратного корня из 35, например, равна 5, но сам корень из 35 почти равен 6.

Лучше делить интервал между двумя квадратами пополам. Так что корень любого числа между 25 и половины пути до 36 (что есть 30,5) оценивается как 5, остальные числа, большие 30,5 вплоть до 36 оцениваются как 6^[4]. Процедура требует очень мало арифметики для нахождения середины двух произведений из таблицы. Вот таблица таких чисел:

a	nearest square	est.
1 to 2,5	1 (= 12)	1
2,5 to 6,5	4 (= 22)	2
6,5 to 12,5	9 (= 32)	3
12,5 to 20,5	16 (= 42)	4
20,5 to 30,5	25 (= 52)	5
30,5 to 42,5	36 (= 62)	6
42,5 to 56,5	49 (= 72)	7
56,5 to 72,5	64 (= 82)	8
72,5 to 90,5	81 (= 92)	9
90,5 to 100	100 (= 102)	10

Конечной операцией будет умножение оценки k на степень десятки, делённой пополам, так что для ,

Метод даёт точность в одну значащую цифру, поскольку он округляет до лучшей первой цифры.

Метод можно распространить до 3 значащих цифр в большинстве случаев, интерполируя между ближайшими квадратами. Если , то примерно равен k плюс дробь, равная разности a и , делённой на разность между двумя квадратами:

где

Конечной операцией, как и выше, служит умножение результата на степень десятки, делённой пополам

Число k есть десятичная цифра, а R есть дробь, которую следует превратить в десятичную. Дробь имеет обычно одну цифру в числителе и одну или две цифры в знаменателе, так что преобразование в десятичную дробь можно провести в уме.

Пример: найти квадратный корень из 75. , так что a равно 75, а n равно 0. Исходя из таблицы умножения квадратный корень мантиссы должен быть 8 с дробью, поскольку , а , слишком велико. Так что k равно 8 с дробью является десятичным представлением R. Дробь R имеет в числителе и в знаменателе. 11/17 чуть меньше, чем 12/18, что равно 2/3 или 0,67, так что 0,66 является хорошим предположением (здесь можно ограничиться и предположением поскольку ошибка мала). Так что оценка корня равна . √75 до трёх значащих цифр будет 8,66, так что оценка до трёх значащих цифр хорошая. Не все оценки с помощью такого метода столь точны, но они довольно близки.

Двоичная оценка[править | править код]

Когда работа ведётся в двоичной системе счисления (скажем, в процессоре компьютера), выражается как , где , квадратный корень можно оценить величиной

что является регрессией методом наименьших квадратов по 3 старшим битам. имеет максимальную абсолютную ошибку 0,0408 в точке =2 и максимальную относительную ошибку в 3,0% в точке =1. Для вычислений удобна округлённая оценка (поскольку коэффициенты являются степенями 2)

^[5]

которая имеет максимальную абсолютную ошибку 0,086 в точке 2 и максимальную относительную ошибку в 6,1% в точках и .

Для двоичное приближение даёт Поскольку , оценка даёт абсолютную ошибку в 19 и относительную ошибку 5,3%. Относительная ошибка чуть меньше 1/2⁴, так что приближение даёт точность до 4+ бит.

Оценку для с точностью до 8 бит можно получить путём просмотра таблицы по старшим 8 битам , учитывая, что старший бит задаётся неявно в большинстве представлений чисел с плавающей запятой, а младшие биты после 8 бит должны быть округлены. Таблица содержит 256 байт заранее вычисленных 8-битных квадратных корней. Например, для индекса 11101101₂, что в десятичной системе равно 1,8515625₁₀, значение в таблице равно 10101110₂, что в десятичной системе равно 1,359375₁₀, квадратному корню числа 1,8515625₁₀ с точностью до 8 бит (2+ десятичных знака).

Вавилонский метод[править | править код]

Возможно первым алгоритмом, используемым для аппроксимации , является метод, известный как вавилонский метод, несмотря на то, что нет никаких прямых свидетельств, за исключением гипотетических умозаключений, что вавилонские математики использовали этот метод^[6]. Метод известен также как метод Герона, по имени греческого математика первого столетия Герона, который дал первое явное описание метода в своей работе 60 года Метрика^[7].Основная методика заключается в том, что если x больше квадратного корня неотрицательного вещественного числа S то будет меньше корня и наоборот. Так что среднее этих двух чисел резонно ожидать более близким к корню (формальное доказательство этого факта основывается на неравенстве о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом, которое показывает, что это среднее всегда больше квадратного корня, что обеспечивает сходимость). Метод эквивалентен использованию метода Ньютона для решения уравнения .

Точнее, если x является начальным приближением для , а ошибка в нашей оценке, такая что , мы можем раскрыть скобки и получим

поскольку .

Следовательно, мы можем компенсировать ошибку и обновить нашу старую оценку

Поскольку вычисленная ошибка не была точной, она станет нашим следующим приближением. Процесс обновления продолжается пока не достигнем нужной точности. Это алгоритм с квадратичной сходимостью, что означает, что число верных цифр приближения (грубо говоря) удваивается с каждой итерацией. Работает он так:

1. Начинаем с любого положительного начального значения (чем ближе к истинному квадратному корню числа S, тем лучше).
2. Положим равным среднему между и (используем среднее арифметическое для аппроксимации среднего геометрического).
3. Повторяем шаг 2 пока не достигнем нужной точности.

Алгоритм можно представить следующим образом:

Алгоритм работает также хорошо и для p-адических чисел, но не может быть использован для отождествления вещественных квадратных корней с p-адичными квадратными корнями. Можно, например, построить последовательность рациональных чисел, полученных этим методом, которая сходится к +3 в случае вещественных чисел, но к -3 в 2-адичных числах.

Пример[править | править код]

Для вычисления √S, где S = 125348, с точностью до шести значащих цифр используем метод грубой оценки, описанный выше

Поэтому .

Сходимость[править | править код]

Предположим, что x₀ > 0 и S > 0. Тогда для любого n x_n > 0. Относительная ошибка^[en] x_n определена как

а тогда

Теперь можно показать, что

а следовательно

а отсюда следует гарантированная сходимость и эта сходимость квадратичная.

Сходимость в худшем случае[править | править код]

Если использовать метод грубой оценки с вавилонским методом, то наихудшие случаи точности в нисходящей последовательности:

А тогда в любом случае

Ошибки округления ослабляют сходимость. Рекомендуется хранить по меньшей мере одну лишнюю цифру выше желаемой точности x_n, чтобы минимизировать ошибки округления.

Метод Бакхшали[править | править код]

Этот метод для поиска приближения квадратного корня был написан в древнеиндийской рукописи, называемой манускриптом Бакхшали. Метод эквивалентен двум итерациям вавилонского метода с начальным значением x₀. Таким образом, алгоритм является квадратично сходящимся, что означает, что число верных знаков приближения увеличивается примерно в четыре раза с каждой итерацией^[8]. Представление алгоритма в современной нотации следующее: Следует вычислить , пусть x₀² будет начальным приближением к корню S. Последовательно выполняются итерации

Это можно использовать для построения рационального приближения к квадратному корню, начав с целого числа. Если — это целое число, выбранное так, что близко к S, и — это разность, абсолютная величина которой минимизируется, то первую итерацию можно записать следующим образом:

Метод Бакхшали может быть обобщён для вычисления произвольного корня, включая дробные корни^[9].

Пример[править | править код]

Используем тот же пример, что был приведён для вавилонского метода. Пусть Тогда первая итерация даёт

Аналогично вторая итерация даёт

Цифра за цифрой[править | править код]

Это метод последовательного поиска каждой цифры квадратного корня. Метод медленнее вавилонского, но имеет некоторые преимущества

• Он проще для вычислений вручную.
• Каждый найденный знак корня заведомо верный, то есть он не будет изменён на следующих итерациях.
• Если представление квадратного корня имеет конечное число цифр, алгоритм завершается после последней найденной цифры. Таким образом, он может быть использован для проверки, что данное число является полным квадратом.
• Алгоритм работает в любой системе счисления, и естественно, работа алгоритма зависит от выбранной системы счисления.

Палочки Непера включают дополнительные средства для выполнения этого алгоритма. Алгоритм вычисления n-го корня цифра за цифрой^[en] является обобщением этого метода.

Основной принцип[править | править код]

Рассмотрим сначала случай нахождения квадратного корня из числа Z, являющегося квадратом двузначного числа XY, где X — это цифра десятков, а Y — цифра единиц. Имеем:

Сначала определим значение X. X — это наибольшая цифра, такая что X² не превосходит Z, от которого отброшены две последние цифры.

На следующей итерации соединяем пару цифр, умножая X на 2 и помещая результат в позицию десятков, а затем пытаемся найти, чему же равно Y.

Поскольку в нашем случае ответом является точный квадратный корень, алгоритм останавливается.

Та же идея может быть распространена на вычисление произвольного квадратного корня. Представим, что мы можем найти квадратный корень из N как сумму n положительных чисел, таких что

Путём многократного использования тождества

правую часть можно представить в виде

Это выражение позволяет нам найти квадратный корень последовательным подбором значений . Предположим, что числа уже подобраны, тогда m-й член задаётся выражением , где является найденным приближением к квадратному корню. Теперь каждый новый подбор должен удовлетворять рекурсии

так что для всех при начальном значении Если найден точный квадратный корень. Если нет, то сумма даёт подходящую аппроксимацию к квадратному корню и будет ошибкой аппроксимации.

Например, в десятичной системе мы имеем

где являются указателями положения цифр, а коэффициенты . На каждом m-м шаге вычисления квадратного корня находится приближённый квадратный корень. Величина и суммируемые члены задаются формулами

Поскольку указатели положения имеют чётную степень 10, нам нужно работать только с парой старших цифр в оставшемся члене на любом m-м шаге. Раздел ниже систематизирует эту процедуру.

Очевидно, что подобный метод может быть использован для вычисления квадратного корня в любой системе счисления, не обязательно в десятичной. Например, нахождение цифра за цифрой квадратного корня в двоичной системе довольно эффективно, поскольку значение ищется в малом наборе цифр {0,1}. Это делает вычисление более быстрым, поскольку на каждом шаге значение либо равно для , либо для . Факт, что имеется всего две возможности для также делает проще процесс выбора значения на m-м шаге вычислений. Это потому, что нам нужно лишь проверить, что для Если это условие выполняется, мы берём ; а если не выполняется, то берём Также факт, что умножение на 2 осуществляется сдвигом влево, помогает при вычислениях.

Десятичная система счисления[править | править код]

Запишем исходное число в десятичном виде. Числа, записываются по аналогии алгоритму деления столбиком, и, как и в длинном делении, квадратный корень будет писаться в верхней строке. Теперь разобьём цифры на пары, начиная с запятой, в обе стороны от неё. Десятичная запятая квадратного корня будет на десятичной запятой квадрата. Одна цифра квадратного корня записывается над парой цифр квадрата.

Начиная с крайне левой позиции выполняем следующую процедуру для каждой пары цифр:

1. Сносим вниз старшую пару ещё неиспользованных цифр (если все цифры использованы, пишем “00”) и записываем их справа от остатка предыдущего шага (на первом шаге остатка нет). Другими словами, умножаем остаток на 100 и добавляем две цифры. Это будет текущим значением c.
2. Находим p, y и x следующим образом:
3. Вычитаем y из c для образования нового остатка.
4. Если остаток равен нулю и нет больше цифр, которые можно спустить вниз, алгоритм останавливается. В противном случае возвращаемся на шаг 1 и выполняем следующую итерацию.

Примеры[править | править код]

Находим квадратный корень из 152,2756.

          1  2. 3  4 
       /
     /  01 52,27 56

         01                   1*1 <= 1 < 2*2                 x = 1
         01                     y = x*x = 1*1 = 1
         00 52                22*2 <= 52 < 23*3              x = 2
         00 44                  y = (20+x)*x = 22*2 = 44
            08 27             243*3 <= 827 < 244*4           x = 3
            07 29               y = (240+x)*x = 243*3 = 729
               98 56          2464*4 <= 9856 < 2465*5        x = 4
               98 56            y = (2460+x)*x = 2464*4 = 9856
               00 00          Алгоритм останавливается: Ответ 12,34

Двоичная система счисления[править | править код]

Этот раздел использует формализм раздела «Вычисление цифра за цифрой» с небольшими изменениями, что , а каждое равно или .
Теперь мы пробегаем по всем от вниз до и строим приближённое решение в виде суммы всех , для которых мы найдём значение.
Чтобы определить, равно ли значению или , мы берём . Если (то есть квадрат нашего приближения включая не превосходит исходного квадрата), то полагаем , в противном случае полагаем и .
Чтобы избежать возведения в квадрат на каждом шаге, мы запоминаем разность и обновляем её на каждой итерации, полагая с .
Первоначально мы устанавливаем для наибольшего с .

В качестве дополнительной оптимизации сохраняем и , два члена в случае, когда не нуль, в отдельных переменных , :

и можно эффективно обновлять на каждом шаге:

Заметим, что

, что является конечным результатом, возвращаемым функцией, представленной ниже.

Реализация алгоритма на языке C^[10]:

int32_t isqrt(int32_t n) 
{ assert(("входное значение должно быть неотрицательным", n > 0));
  int32_t x = n;    // 
  int32_t c = 0;    // 
  //  начинается с наибольшей степени четырёх <= n
  int32_t d = 1 << 30; // Второй старший бит устанавливаем в 1.
                        // То же самое, что ((unsigned)INT32_MAX + 1) / 2.
  while (d > n) d >>= 2;
  while (d != 0)    // для 
  { if (x >= c + d) // если , то 
    { x -= c + d;       // 
     c = (c >> 1) + d;  // 
   } else
          c >>= 1;      // 
    d >>= 2;            // 
  }
  return c;             // 
}

Можно реализовать более быстрый алгоритм как в двоичной, так и в десятичной системе счисления, если использовать таблицы для выбора, то есть реализация принципа использование больше памяти сокращает время исполнения^[11].

Экспоненциальное тождество[править | править код]

Карманные калькуляторы обычно реализуют хорошие программы вычисления экспоненты и натурального логарифма. Вычисление квадратного корня S тогда производится с помощью свойств логарифмов () и экспоненты ():

Или в более общем случае:

Знаменатель дроби n соответствует степени корня. В случае квадратного корня знаменатель равен 2. То же самое тождество используется для вычисления квадратного корня с помощью таблиц логарифмов или логарифмических линеек.

Такой метод вычисления квадратного корня удобен для калькуляторов, поскольку они обычно не критичны ко времени выполнения операции. Однако ресурсоемкость данного метода делает его малопригодным для использования в ЭВМ, где простые арифметические операции должны обладать минимальными задержками. Тем не менее описанный метод вычисления квадратного корня применялся в ЭВМ ZX Spectrum.

Итеративный метод с двумя переменными[править | править код]

Этот метод применим для поиска квадратного корня из и лучше всего сходится для .
Это, однако, не является существенным ограничением для вычислений на компьютерах, поскольку в представлениях двоичных чисел с плавающей запятой и с фиксированной запятой тривиально умножить на целую степень числа 4, с последующей коррекцией на нужную степень 2 путём изменения экспоненты или сдвигом соответственно. Таким образом, может быть сдвинуто в пределы . Более того, приведённый ниже метод не использует делений общего вида, а только сложение, вычитание, умножение и деление на степень двойки. Последнее из этих действий тривиально реализуется. Недостатком метода является накопление ошибки, в отличие от итеративных методов с одной переменной, таких как вавилонский.

Начальный шаг метода

Итерационные шаги

Тогда (при ).

Заметим, что сходимость , а потому и , квадратична.

Доказательство метода достаточно простое. Сначала перепишем итерационное определение как

.

Теперь «в лоб» доказывается, что

а потому сходимость к желаемому результату обеспечивается сходимостью к 0, что, в свою очередь, вытекает из .

Этот метод разработали около 1950 года М. В. Уилкс, Д. Дж. Уилер и С. Гилл^[12] для использования в EDSAC, одном из первых электронных компьютеров^[13]. Позднее метод был обобщён на неквадратные корни^[14].

Итеративные методы вычисления обратного к квадратному корню числа[править | править код]

Далее приведены итеративные методы вычисления обратного к квадратному корню из S числа, то есть . Если такое значение найдено, находим просто умножением: . Эти итерации используют только умножение и не используют деления. Потому методы быстрее, чем вавилонский метод. Однако методы нестабильны, если начальное значение не близко к обратному к корню значению, итерации расходятся. Поэтому может быть выгодным сначала сделать итерацию вавилонским методом для грубой оценки корня перед началом использования этих методов.

Алгоритм Гольдшмидта[править | править код]

Некоторые компьютеры используют алгоритм Гольдшмидта для одновременного вычисления и .
Алгоритм Гольдшмидта находит быстрее, чем итерация Ньютона-Рапсона, на компьютерах с операциями совмещённого умножения-сложения и имеющих либо конвейерный процессор плавающей запятой, либо два независимых процессора плавающей запятой^[15].

Первый способ записи алгоритма Гольдшмидта начинается с

(обычно используется поиск в таблице)

и осуществляются итерации

пока не окажется достаточно близко к 1 или не будет проведено фиксированное число итераций. Итерации сходятся к

,

.

Заметим, что можно опустить вычисление или , а если оба значения желательны, то можно использовать в конце вместо вычисления на каждой итерации.

Второй способ, использующий операции совмещённого умножения-сложения начинается с

(обычно используется поиск в таблице)

и осуществляются итерации

пока не станет достаточно близко к 0, либо не будет осуществлено фиксированное число итераций. Значения сходятся к

.

Ряды Тейлора[править | править код]

Если N является приближением к , лучшее приближения может быть найдено использованием ряда Тейлора функции квадратного корня:

Порядок сходимости равен числу используемых членов ряда. При использовании двух членов метод эквивалентен вавилонскому методу. При использовании трёх членов каждая итерация использует почти столько же операций, сколько использует приближение Бакхшали, но сходимость слабее. Поэтому этот метод не является особенно эффективным способом вычисления. Для максимизации скорости сходимости, следует выбрать N так, чтобы было как можно меньше.

Разложение в цепную дробь[править | править код]

Квадратичные иррациональности (числа вида , где a, b и c целые числа), и, в частности, квадратные корни из целых чисел, имеют периодические цепные дроби^[en]. Иногда целью является не нахождение численного значения квадратного корня, а его разложение в цепную дробь, а следовательно его рационального приближения. Пусть S будет положительным числом, корень из которого требуется найти. Теперь пусть a будет начальным приближением, а r будет остаточным членом, тогда мы можем записать Поскольку мы имеем , мы можем выразить квадратный корень из S как

Применяя это выражение для к знаменателю дроби, получим

Следуя этим путём мы получаем обобщённую непрерывную дробь^[en] для квадратного корня

Первым шагом вычисления такой дроби для получения квадратного корня является подстановки для корня и выбор числа знаменателей. Например, в канонической форме равен 1 и для √2, равен 1, так что численно непрерывной дробью для 3 знаменателей будет

Шаг 2. Непрерывная дробь свёртывается снизу вверх, один знаменатель за раз, чтобы получить рациональную дробь, числитель и знаменатель которой являются целыми числами. Процесс свёртывания тогда выглядит следующим образом (беря первые три знаменателя):

Наконец (шаг 3), делим числитель на знаменатель рациональной дроби, чтобы получить приближённое значение корня:

округлено до трёх знаков.

Действительное значение корня √2 равно 1,41 с точностью до трёх значащих цифр. Относительная ошибка равна 0,17%, так что рациональная дробь хороша почти до трёх знаков. Если брать больше знаменателей, получим последовательное улучшение приближения — четыре знаменателя дают дробь , что даёт почти 4 цифры точности, и т.д.

Непрерывные дроби доступны в таблицах по меньшей мере для малых чисел и общеизвестных констант. Для произвольных чисел в десятичной системе счисления предварительно вычисленные значения, скорее всего, бесполезны. Следующая таблица малых рациональных дробей, называемых подходящими дробями, полученных из канонических непрерывных дробей для нескольких констант:

√S	цепная дробь	~десятичное	Подходящие дроби
√2		1,41421
√3		1,73205
√5		2,23607
√6		2,44949
√10		3,16228
		1,77245
		1,64872
		1,27202

Примечание: Перечислены все подходящие дроби вплоть до знаменателя 99.

В общем виде чем больше знаменатель рациональной дроби, тем лучше аппроксимация. Также можно доказать, что отсечение непрерывной дроби приводит к рациональной дроби, с лучшим приближением к корню любой дроби со знаменателем, меньшим или равным знаменателю этой дроби. Например, никакая дробь со знаменателем, не превосходящем 70, не будет так же хороша, как аппроксимация к √2 числом 99/70.

Метод последовательности Люка[править | править код]

Последовательность Люка первого рода определяется рекуррентным отношением

и его характеристическим многочленом является

, он имеет дискриминант и корни

Всё это даёт следующее положительное значение

. Так что если мы хотим получить , мы можем выбрать и , а затем вычислить используя и для больших значений .
Наиболее эффективный способ вычисления и —

Итог:

а тогда при :

Аппроксимации, зависящие от представления в виде числа с плавающей запятой[править | править код]

Число представляется в виде числа с плавающей запятой как . Этот формат записи называется также экспоненциальной записью. Квадратный корень из этого числа равен и аналогичные формулы могут быть представлены для кубических корней и логарифмов. Это не упрощает задачу, но если требуется только аппроксимация, то является хорошей оценкой порядка мантиссы. Далее, понимаем, что некоторые степени p могут оказаться нечётными, тогда для вместо работы с дробными степенями основания умножаем на него и вычитаем единицу из степени, делая её чётной. Уточнённое представление превращается в , так что квадратный корень будет равен .

Если взять лишь целую часть мантиссы, она может принимать значения от 1 до 99 и это можно использовать в качестве индекса в таблице из 99 предварительно вычисленных корней для завершения оценки. Компьютер, использующий шестнадцатеричное основание может потребовать большей таблицы, но при использовании основания 2 таблица будет состоять лишь из трёх величин — возможными битами целой части уточнённого представления мантиссы могут быть 01 (если степень чётная, так что нет никакого сдвига, и заметим, что нормализованное число с плавающей точкой всегда имеет ненулевую старшую цифру), или, если степень была нечётной, 10 или 11, это два первых бита исходной мантиссы. Тогда 6,25 (= 110,01 в двоичном представлении) нормализуется к с чётной степенью, так что парой битов мантиссы будет 01, в то время как 0,625 (= 0,101 в двоичном представлении) нормализуется к с нечётной степенью, так что требуется преобразование числа к , а тогда парой бит будет 10. Заметим, что младший бит порядка отражается в старший бит сгруппированной парами мантиссы. Чётная степень имеет нулевой младший бит и уточнённая мантисса будет начинаться с нуля, в то время как нечётная степень имеет 1 в младшем бите и уточнённая мантисса будет начинаться с 1. Таким образом, когда степень делится пополам, это эквивалентно тому, что младший бит порядка сдвигается в первый бит попарно сгруппированной мантиссы.

Таблица с тремя элементами может быть расширена для включения дополнительных бит мантиссы. Однако в случае компьютеров вместо вычисления интерполяции в таблице часто лучше искать более простой способ вычислений, дающий те же результаты. Всё теперь зависит от точных деталей формата представления чисел и от операций, которые доступны для получения частей числа и работы с ними. Например, Фортран содержит функцию EXPONENT(x) для получения степени. Усилия, потраченные на получение хорошего начального приближения окупаются за счёт исключения дополнительных итераций процесса уточнения, которые потребовались бы в случае плохого приближения.

Многие компьютеры следуют стандарту IEEE для чисел с плавающей запятой^[en] (или достаточно близкое представление) и очень быстрое приближение для квадратного корня может быть получено в качестве стартового значения метода Ньютона. Техника данного приближения вытекает из факта, что формат плавающего числа (по основанию два) аппроксимирует логарифм по основанию 2. То есть,

Так что для 32-битного числа с плавающей запятой в формате IEEE (в котором степень имеет смещение^[en] на 127^[16]) вы можете получить приближённый логарифм путём интерпретации числа как 32-битного целого, умножения его на и вычета смещения 127, то есть

Например, число 1,0 в шестнадцатеричной системе имеет вид 0x3F800000, что можно представить как , если рассматривать его как целое. Используя вышеприведённую формулу вы получите , как и ожидалось от . Аналогичным образом вы получите 0,5 из 1,5 (=0x3FC00000).

Чтобы получить квадратный корень, делим логарифм на 2 и преобразуем результат обратно. Ниже программа демонстрирует идею. Заметим, что младший бит порядка намеренно переводится в мантиссу. Одним из способов обоснования шагов этой программы, в предположении что является смещением степени, а является числом запоминаемых бит в мантиссе, заключается в доказательстве

/* Предполагаем, что плавающее число имеет формат IEEE 754 */
#include <stdint.h>
float sqrt_approx(float z)
{
	union { float f; uint32_t i; } val = {z};	/* Преобразуем тип не меняя битового представления */
	/*
	 * Для обоснования работы кода докажите, что
	 * ((((val.i / 2^m) - b) / 2) + b) * 2^m = ((val.i - 2^m) / 2) + ((b + 1) / 2) * 2^m)
	 * где
	 * b = смещение степени
	 * m = число бит в мантиссе
	 */
	val.i -= 1 << 23;	/* Вычитаем 2^m. */
	val.i >>= 1;		/* Делим на 2. */
	val.i += 1 << 29;	/* Добавляем ((b + 1) / 2) * 2^m. */

	return val.f;		/* Интерпретируем снова как плавающее */
}

Три арифметические операции, образующие ядро функции можно представить в одну строку. Дополнительное уточнение может быть добавлено для уменьшения максимальной относительной ошибки. Таким образом, три операции, не включая приведение к вещественному, можно переписать как

	val.i = (1 << 29) + (val.i >> 1) - (1 << 22) + a;

где a — смещение для уменьшения ошибок аппроксимации. Например, с a = 0 результаты точны для чётных степеней двойки 2 (например, 1,0), но для других чисел результат будет несколько великоват (например, 1,5 для 2,0 вместо 1,414… с ошибкой 6%). При a = −0x4B0D2 максимальная относительная ошибка сокращается до ±3,5%.

Если приближение нужно использовать как начальное значение для метода Ньютона в уравнении , то обратная форма, показанная в следующем разделе, предпочтительнее.

Обратное значение квадратного корня[править | править код]

Вариант описанной выше процедуры представлен ниже и он может быть использован для вычисления обратного к квадратному корню, то есть . Этот вариант написал Грег Уолш. Приближение сдвигом даёт относительную ошибку менее 4% и ошибка уменьшается до 0,15% после одной итерации метода Ньютона^[17]. В компьютерной графике это очень эффективный способ нормализации вектора.

float invSqrt(float x) {
    float xhalf = 0.5f * x;
    union {
        float x;
        int i;
    } u;
    u.x = x;
    u.i = 0x5f375a86 - (u.i >> 1);
    /* Следующая строка может быть повторена произвольное число раз для увеличения точности */
    u.x = u.x * (1.5f - xhalf * u.x * u.x);
    return u.x;
}

Некоторые СБИС реализуют нахождение обратной величины к квадратному корню с помощью полиномиальной оценки с последующей итерацией Голдшмидта^[18].

Корень из отрицательного или комплексного числа[править | править код]

Если , то его главный корень равен

Если , где a и b вещественные числа и , то его главный корень равен

Это можно проверить возведением в квадрат^[19][20]. Здесь

является модулем числа S. Главный корень комплексного числа определяется как корень с неотрицательной вещественной частью.

См. также[править | править код]

• Алгоритм альфа max плюс бета min^[en]
• Целочисленный квадратный корень

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

СсылкиWeisstein, Eric W. Square root algorithms (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.[править | править код]

• Square roots by subtraction
• Integer Square Root Algorithm by Andrija Radović
• Personal Calculator Algorithms I : Square Roots (William E. Egbert), Hewlett-Packard Journal (may 1977) : page 22
• Калькулятор для обучения квадратному корню

Факт 1.
(bullet) Возьмем некоторое неотрицательное число (a) (то есть (ageqslant 0)). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа (a) называется такое неотрицательное число (b), при возведении которого в квадрат мы получим число (a): [sqrt a=bquad text{то же самое, что }quad a=b^2] Из определения следует, что (ageqslant 0, bgeqslant 0). Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть (100^2=10000geqslant 0) и ((-100)^2=10000geqslant 0).
(bullet) Чему равен (sqrt{25})? Мы знаем, что (5^2=25) и ((-5)^2=25). Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то (-5) не подходит, следовательно, (sqrt{25}=5) (так как (25=5^2)).
Нахождение значения (sqrt a) называется извлечением квадратного корня из числа (a), а число (a) называется подкоренным выражением.
(bullet) Исходя из определения, выражения (sqrt{-25}), (sqrt{-4}) и т.п. не имеют смысла.
 

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от (1) до (20): [begin{array}{|ll|}
hline
1^2=1 & quad11^2=121 \
2^2=4 & quad12^2=144\
3^2=9 & quad13^2=169\
4^2=16 & quad14^2=196\
5^2=25 & quad15^2=225\
6^2=36 & quad16^2=256\
7^2=49 & quad17^2=289\
8^2=64 & quad18^2=324\
9^2=81 & quad19^2=361\
10^2=100& quad20^2=400\
hline end{array}]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
(bullet) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть [sqrt apmsqrt bne sqrt{apm b}] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, (sqrt{25}+sqrt{49}), то первоначально вы должны найти значения (sqrt{25}) и (sqrt{49}), а затем их сложить. Следовательно, [sqrt{25}+sqrt{49}=5+7=12] Если значения (sqrt a) или (sqrt b) при сложении (sqrt
a+sqrt b) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме (sqrt
2+ sqrt {49}) мы можем найти (sqrt{49}) – это (7), а вот (sqrt
2) никак преобразовать нельзя, поэтому (sqrt 2+sqrt{49}=sqrt
2+7). Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя
 
(bullet) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть [sqrt acdot sqrt b=sqrt{ab}quad text{и}quad
sqrt a:sqrt b=sqrt{a:b}] (при условии, что обе части равенств имеют смысл)
Пример: (sqrt{32}cdot sqrt 2=sqrt{32cdot
2}=sqrt{64}=8);
 
(sqrt{768}:sqrt3=sqrt{768:3}=sqrt{256}=16);
 
(sqrt{(-25)cdot (-64)}=sqrt{25cdot 64}=sqrt{25}cdot sqrt{64}=
5cdot 8=40).
 
(bullet) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем (sqrt{44100}). Так как (44100:100=441), то (44100=100cdot 441). По признаку делимости число (441) делится на (9) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, (441:9=49), то есть (441=9cdot 49).
Таким образом, мы получили: [sqrt{44100}=sqrt{9cdot 49cdot 100}=
sqrt9cdot sqrt{49}cdot sqrt{100}=3cdot 7cdot 10=210] Рассмотрим еще один пример: [sqrt{dfrac{32cdot 294}{27}}=
sqrt{dfrac{16cdot 2cdot 3cdot 49cdot 2}{9cdot 3}}= sqrt{
dfrac{16cdot4cdot49}{9}}=dfrac{sqrt{16}cdot sqrt4 cdot
sqrt{49}}{sqrt9}=dfrac{4cdot 2cdot 7}3=dfrac{56}3]
(bullet) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения (5sqrt2) (сокращенная запись от выражения (5cdot
sqrt2)). Так как (5=sqrt{25}), то [5sqrt2=sqrt{25}cdot sqrt2=sqrt{25cdot 2}=sqrt{50}] Заметим также, что, например,
1) (sqrt2+3sqrt2=4sqrt2),
2) (5sqrt3-sqrt3=4sqrt3)
3) (sqrt a+sqrt a=2sqrt a).

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число (sqrt2) мы не можем. Представим, что (sqrt2) – это некоторое число (a). Соответственно, выражение (sqrt2+3sqrt2) есть не что иное, как (a+3a) (одно число (a) плюс еще три таких же числа (a)). А мы знаем, что это равно четырем таким числам (a), то есть (4sqrt2).
 

Факт 4.
(bullet) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака (sqrt {} ) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа (16) можно, потому что (16=4^2), поэтому (sqrt{16}=4). А вот извлечь корень из числа (3), то есть найти (sqrt3), нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст (3).
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа (sqrt3, 1+sqrt2, sqrt{15}) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа (pi) (число “пи”, приблизительно равное (3,14)), (e) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно (2,7)) и т.д.
(bullet) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой (mathbb{R}).
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.
 

Факт 5.
(bullet) Модуль вещественного числа (a) – это неотрицательное число (|a|), равное расстоянию от точки (a) до (0) на вещественной прямой. Например, (|3|) и (|-3|) равны 3, так как расстояния от точек (3) и (-3) до (0) одинаковы и равны (3).
(bullet) Если (a) – неотрицательное число, то (|a|=a).
Пример: (|5|=5); (qquad |sqrt2|=sqrt2).
 
(bullet) Если (a) – отрицательное число, то (|a|=-a).
Пример: (|-5|=-(-5)=5); (qquad |-sqrt3|=-(-sqrt3)=sqrt3).
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число (0), модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная (x) (или какая-то другая неизвестная), например, (|x|), про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: (|x|).
 
(bullet) Имеют место следующие формулы: [{large{sqrt{a^2}=|a|}}] [{large{(sqrt{a})^2=a}},
text{ при условии } ageqslant 0] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что (sqrt{a^2}) и ((sqrt a)^2) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда (a) – положительное число или ноль. А вот если (a) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо (a) число (-1). Тогда (sqrt{(-1)^2}=sqrt{1}=1), а вот выражение ((sqrt {-1})^2) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что (sqrt{a^2}) не равен ((sqrt a)^2)!
 
Пример: 1) (sqrt{left(-sqrt2right)^2}=|-sqrt2|=sqrt2), т.к. (-sqrt2<0);

(phantom{00000}) 2) ((sqrt{2})^2=2).
 
(bullet) Так как (sqrt{a^2}=|a|), то [sqrt{a^{2n}}=|a^n|] (выражение (2n) обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) (sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64)
2) (sqrt{(-25)^2}=|-25|=25) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен (-25); но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) (sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8) (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
(bullet) Для квадратных корней верно: если (sqrt a<sqrt b), то (a<b); если (sqrt a=sqrt b), то (a=b).
Пример:
1) сравним (sqrt{50}) и (6sqrt2). Для начала преобразуем второе выражение в (sqrt{36}cdot sqrt2=sqrt{36cdot 2}=sqrt{72}). Таким образом, так как (50<72), то и (sqrt{50}<sqrt{72}). Следовательно, (sqrt{50}<6sqrt2).
2) Между какими целыми числами находится (sqrt{50})?
Так как (sqrt{49}=7), (sqrt{64}=8), а (49<50<64), то (7<sqrt{50}<8), то есть число (sqrt{50}) находится между числами (7) и (8).
3) Сравним (sqrt 2-1) и (0,5). Предположим, что (sqrt2-1>0,5): [begin{aligned}
&sqrt 2-1>0,5 big| +1quad text{(прибавим единицу к обеим
частям)}\[1ex]
&sqrt2>0,5+1 big| ^2 quadtext{(возведем обе части в
квадрат)}\[1ex]
&2>1,5^2\
&2>2,25 end{aligned}] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и (sqrt 2-1<0,5).
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве (-3<sqrt2) нельзя (убедитесь в этом сами)!
 
(bullet) Следует запомнить, что [begin{aligned}
&sqrt 2approx 1,4\[1ex]
&sqrt 3approx 1,7 end{aligned}] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел!
 
(bullet) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем (sqrt{28224}). Мы знаем, что (100^2=10,000), (200^2=40,000) и т.д. Заметим, что (28224) находится между (10,000) и (40,000). Следовательно, (sqrt{28224}) находится между (100) и (200).
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между (120) и (130)). Также из таблицы квадратов знаем, что (11^2=121), (12^2=144) и т.д., тогда (110^2=12100), (120^2=14400), (130^2=16900), (140^2=19600), (150^2=22500), (160^2=25600), (170^2=28900). Таким образом, мы видим, что (28224) находится между (160^2) и (170^2). Следовательно, число (sqrt{28224}) находится между (160) и (170).
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце (4)? Это (2^2) и (8^2). Следовательно, (sqrt{28224}) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем (162^2) и (168^2):
(162^2=162cdot 162=26224)
(168^2=168cdot 168=28224).
Следовательно, (sqrt{28224}=168). Вуаля!

Наличие квадратных корней в выражении усложняет процесс деления, однако существуют правила, с помощью которых работа с дробями становится значительно проще.

Единственное, что необходимо все время держать в голове —  подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители. В процессе деления квадратных корней мы упрощаем дробь. Также, напомним, что корень может находиться в знаменателе.

Метод 1. Деление подкоренных выражений

Алгоритм действий:

Записать дробь

Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней.

144÷36, это выражение следует переписать так: 14436

Использовать один знак корня

В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще.

Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня.

14436. Это выражение следует записать так: 14436

Разделить подкоренные выражения

Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня.

14436=4, запишем это выражение так: 14436=4

Упростить подкоренное выражение (если необходимо)

Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение.

Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа.

Метод 2. Разложение подкоренного выражения на множители

Алгоритм действий:

Записать дробь

Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители. 

8÷36, переписываем так 836

Разложить на множители каждое из подкоренных выражений

Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.

836=2×2×26×6

Упростить числитель и знаменатель дроби

Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня.

2266×62×2×2, из этого следует: 836=226

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня)

В математике существуют правила, по которым оставлять корень в знаменателе — признак плохого тона, т.е. нельзя. Если в знаменателе присутствует квадратный корень, то избавляйтесь от него. 

Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться.

Упростить полученное выражение (если необходимо)

Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить. Упрощайте такие выражения, как и любую дробь.

26 упрощается до 13; таким образом 226упрощается до 123=23

Метод 3. Деление квадратных корней с множителями

Алгоритм действий:

Упростить множители

Напомним, что множители представляют собой числа, стоящие перед знаком корня. Для упрощения множителей понадобится разделить или сократить их. Подкоренные выражения не трогайте!

432616. Сначала сокращаем 46: делим на 2 и числитель, и знаменатель: 46=23.

Упростить квадратные корни

Если числитель нацело делится на знаменатель, то делите. Если нет, то упрощайте подкоренные выражения, как и любые другие.

32 делится нацело на 16, поэтому: 3216=2

Умножить упрощенные множители на упрощенные корни

Помним про правило: не оставлять в знаменателе корни. Поэтому просто перемножаем числитель и знаменатель на этот корень.

23×2=223

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня в знаменателе)

Метод 4. Деление на двучлен с квадратным корнем

Алгоритм действий:

Определить, находится ли двучлен (бином) в знаменателе

Напомним, что двучлен представляет собой выражение, которое включает 2 одночлена. Такой метод имеет место быть только в случаях, когда в знаменателе двучлен с квадратным корнем.

15+2— в знаменателе присутствует бином, поскольку есть два одночлена.

Найти выражение, сопряженное биному

Напомним, что сопряженный бином является двучленом с теми же одночленами, но с противоположными знаками. Чтобы упростить выражение и избавиться от корня в знаменателе, следует перемножить сопряженные биномы.

5+2и 5-2 – сопряженные биномы.

Умножить числитель и знаменатель на двучлен, который сопряжен биному в знаменателе

Такая опция поможет избавиться от корня в знаменателе, поскольку произведение сопряженных двучленов равняется разности квадратов каждого члена биномов: (a-b)(a+b)=a2-b2

Советы: 

1. Если вы  работаете с квадратными корнями смешанных чисел, то преобразовывайте их в неправильную дробь. 
2. Отличие сложения и вычитания от деления — подкоренные выражения в случае деления не рекомендуется упрощать (за счет полных квадратов).
3. Никогда (!) не оставляйте корень в знаменателе.
4. Никаких десятичных дробей или смешанных перед корнем — необходимо преобразовать их в обыкновенную дробь, а потом упростить.
5. В знаменателе сумма или разность двух одночленов? Умножьте такой бином на сопряженный ему двучлен и избавьтесь от корня в знаменателе.

Это умение очень пригодится на ЕГЭ и ОГЭ, потому как калькулятором пользоваться нельзя, подбором, умножая в столбик, получается долго и муторно, а в восьмой раз в туалет уже никто не выпустит.

Так что смотрим и запоминаем, чтобы потом научить своих детей, которым наверняка не рассказывали это в школе, но это сильно сэкономит время на экзаменах.

Этот способ подойдет для тех чисел, из которых корень извлекается целым числом. Именно поэтому этот способ очень удобен как раз для ОГЭ и ЕГЭ, потому как там не дают корни, из которых корень не извлекается (часть С не в счет).

Покажу на примерах. Кому удобнее смотреть видео, смотрите.

Допустим нам надо извлечь корень из числа 54756. Дальше листаем галерею, смотрим подписи к фотографиям и запоминаем алгоритм.

Второй пример. Извлечем корень из числа 259081. Попробуйте сами. На втором слайде будет решение.

На первый взгляд схема весьма непростая, но стоит один-два раза попробовать извлечь корни таким образом самостоятельно и вы будете щелкать такие задачи, как семечки. Попробуйте извлечь корень из 112225; 210681 и 998001.

С числами поменьше, всё ещё проще, даже писать ничего не придется. Можно в уме вычислять. Вот, например, как извлечь корень из 3136? Понятно, что грани две, поэтому в ответе двухзначное число. Первая цифра в ответе — это 5, потому что 5²=25, а 6²=36>31. Так как 3136 заканчивается на 6, а при возведении в квадрат шестерку могут давать только 4 или 6, ответом будет либо 54, либо 56. Как выбрать? Давайте вспомним чему равен 55². Если не помните, то это легко посчитать (подробно читайте тут), надо в конце записать 25, а в начале 5•6=30 Итого 55²=3025. 3025<3136, а так как корень должен извлекаться нацело, значит ответ 56.

Аналогично извлекаем корень из 4624. 6²=36, а 7²=49, поэтому первая цифра ответа — 6. При возведении в квадрат четверку на конце дают только 2 и 8, то есть ответ 62 или 68. Чтобы выбрать, мы должны сравнить подкоренное число с 65². 6•7=42, дописываем в конце 25 и получаем 65²=4225. 4225<4624 следовательно √4624=68.

Ну и последний корень попробуйте снова извлечь самостоятельно. Чему равен √2116? Проверьте себя по картинке ниже.

И не забываем о том, что у меня появился канал на Ютубе. Заходите в гости и подписывайтесь.

Ещё интересно: Два простых способа быстрого сложения и вычитания в уме

Простой и очень быстрый способ возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Будешь считать быстрее калькулятора

90% европейских выпускников не смогли решить задачу, которую решили российские восьмиклассники