Как найти положение оси проекций х

Как найти положение оси проекций х

21

[1, с. 3–5]; [2, с. 53–61];

[3, с. 6–8]; [4, гл. 2, § 7];

[5, гл. 6, § 32–37]; [6, гл. 1, § 3–4];

§1. Система двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций

Обратимость чертежа, т. е. однозначное определение положения точки в пространстве по ее проекциям, может быть обеспечена проецированием на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций.

1.Для получения изображения объекта на плоскости выбирается ортогональное (прямоугольное) проецирование.

2.Для преобразования изображений, полученных на взаимно перпендикулярных плоскостях, изображение на одну плоскость, следует считать

неподвижным (плоскость 2), а плоскость 1 – вращающейся вокруг оси до совмещения с плоскостью 2.

3. Пространство делится на четверти двумя взаимно-перпендикуляр- ными плоскостями.

Рассмотрим две взаимно перпендикулярные плоскости проекций

(рис. 2.1).

Плоскость 1, расположенную горизонтально, называют горизонтальной плоскостью проекций, вертикальную плоскость 2 – фронтальной плоскостью проекций. Х – линия пересечения плоскостей проекций, которую называют осью проекций. Ось проекций делит каждую плоскость на две полуплоскости, условно назовем их: 1 – «положительную и отрицательную», 2 – «положительную и отрицательную». Плоскости делят окружающее пространство на четыре четверти – I, II, III, IV (рис. 2.1 и 2.2).

22

– 1

– 2

Рис. 2.1

Рис. 2.2

§ 2. Точка в системе двух плоскостей проекций

1 и 2

Рассмотрим построение проекций некоторой точки А, расположенной в первой четверти системы 1/ 2 (рис. 2.3). Проведя из А перпендикуляры (проецирующие лучи из бесконечно удаленных центров S1 и S2) к плоскостям проекций 1 и 2, получаем проекции точки А: горизонтальную проекцию А1, и фронтальную проекцию А2.

Если спроецировать отрезки лучей АА1 из центра S2 и АА2 из центра S1 , то получаем две взаимно перпендикулярные прямые А2Ах и А1Ах, соответственно. Эти прямые принято называть линиями связи проекций.

Таким образом, точка А в пространстве характеризуется двумя проекциями А2 и А1 на плоскости 1 и 2 и двумя линиями связи А2Ах и А1Ах

(рис. 2.4).

Проверим, верна ли обратная задача.

Если даны проекции А1, А2 некоторой точки А, то определяют ли они

положение точки в пространстве (рис. 2.4).

Решение:

1. Восстановим из точки А1

перпендикуляр к плоскости

1 (рис. 2.5).

2. Восстановим из точки А2

перпендикуляр к плоскости

2 (рис. 2.6).

S1

S1

S2

S2

23

3. Фигура АА1АхА2 имеет:

Ах = 90

– по условию 2

1

А2 = 90

– по построению

АА1АхА2 – прямоугольник

А1 = 90

– по построению

Следовательно, точка А есть точка, принадлежащая двум пересекающимся перпендикулярам, лежащим в одной плоскости, и она единственная.

Таким образом, доказано, что две проекции определяют положение точки в пространстве.

§ 3. Образование комплексного чертежа (эпюра)

Для удобства пользования полученными изображениями от пространственной системы плоскостей перейдем к плоскостной.

Для этого:

1. Применим способ вращения плоскости 1 вокруг оси Х до совмещения с плоскостью 2 (рис. 2.7).

2. Совмещаем плоскости 1 и 2 в одну плоскость чертежа (рис. 2.8) Проекции А1 и А2 располагаются на одной линии связи перпендикулярной оси Х. Эта линия называется линией проекционной связи (рис. 2.9).

24

Условные границы плоскостей проекций

Рис. 2.9

Так как плоскость проекций считается бесконечной в пространстве, то границы плоскости 1, 2 можно не изображать (рис. 2.10).

Рис. 2.10

В результате совмещения плоскостей 1 и 2 получается комплексный чертеж или эпюр (от франц. epure чертеж), т.е. чертеж в системе 1 и 2 или в системе двух плоскостей проекций. Заменив наглядное изображение эпюром, мы утратили пространственную картину расположения плоскостей проекций и точки. Но эпюр обеспечивает точность и удобоизмеряемость изображений при значительной простоте построений. Чтобы

25

представить по эпюру пространственную картину, требуется работа воображения: например, по рис. 2.11 надо представить картину, изображенную на рис. 2.12.

При наличии на комплексном чертеже оси проекций по проекциям А1 и А2 можно установить положение точки А относительно 1 и 2 (см. рис. 2.5 и 2.6). Сравнивая рис. 2.11 и 2.12 нетрудно установить, что отрезок А2 АХ

– расстояние от точки А до плоскости 1, а отрезок А1АХ – расстояние от точки А до 2. Расположение А2 выше оси проекций означает, что точка А расположена над плоскостью 1. Если А1 на эпюре расположена ниже оси проекций, то точка А находится перед плоскостью 2.

§ 4. Характеристика положения точки в системе 1 и 2

Точка, заданная в пространстве, может иметь различные положения относительно плоскостей проекций (рис. 2.13).

Рассмотрим возможные варианты расположения точки в пространстве первой четверти:

26

1. Точка расположена в пространстве I четверти на любом расстоянии от оси Х и плоскостей 1 2, например точки А, В (такие точки называются точками общего положения) (рис. 2.14 и рис. 2.15).

Точка А

Точка В

AX

A2

X

BX

B2

X

B1

A

1

Рис. 2.14

Рис. 2.15

2. Точка С принадлежит плоскости

2, точка D – плоскости

1 (рис. 2.16

и рис. 2.17).

Точка С

Точка D

С2

С

D

D

2

X

X

X

СХ

С1

D1

D

Рис. 2.16

Рис. 2.17

3. Точка K принадлежит одновременно и плоскости 1 и

2, то есть

принадлежит оси Х (рис. 2.18):

Точка K

XK KХ K1 K2

Рис. 2.18

На основании вышеизложенного можно сделать следующий вывод:

1. Если точка расположена в пространстве I четверти, то ее проекция А2 расположена выше оси Х, а А1 – ниже оси Х; А2А1 – лежат на одном перпендикуляре (линии связи) к оси Х (рис. 2.14).

27

2.

Если точка принадлежит плоскости

2, то ее проекция С2

С (сов-

падает с самой точкой С) а проекция С1

Х (принадлежит оси Х) и совпа-

дает с СХ: С1 СХ.

3.

Если точка принадлежит плоскости

1, то ее проекция D1

на эту

плоскость совпадает с самой точкой D

D1, а проекция D2 принадлежит

оси Х и совпадает с DХ: D2

DХ.

4.

Если точка принадлежит оси Х,

то все ее проекции совпадают и

принадлежат оси Х: К К1

К2 КХ.

Задание:

1. Дать характеристику положения указанных точек в системе двух плоскостей проекций (рис. 2.19).

A2

B2

D2

C2

D1

Ax

B

1

B

x

C

Dx

E

2

E

x

X

x

A1

C1

E1

Рис. 2.19

2. Сравнить положение точек относительно плоскостей проекций 1 и 2 и между собой. Сравнение ведется по характеристикам или признакам. Для точек эти характеристики есть расстояние до плоскостей 1; 2 (рис. 2.20).

A2

B2

C2

D2

X

Ax

Bx

Cx

Dx

A1

B1

C1

D1

Рис. 2.20

28

Применение вышеизложенной теории при построении изображений точки может быть осуществлено различными способами:

словами (вербальное);

графически (чертежи);

наглядное изображение (объемное);

плоскостное (комплексный чертеж).

Умение переводить информацию с одного способа на другой способствует развитию пространственного мышления, т.е. с вербального в наглядное (объемное), а затем в плоскостное, и наоборот.

Рассмотрим это на примерах (табл. 2.1 и табл. 2.2).

Таблица 2.1

Примеры изображения точек в системе двух плоскостей проекций

Четверть

Наглядное

Комплексный

Характерные

пространства

изображение

чертеж

признаки

Фронтальная про-

екция точки А вы-

I

ше оси Х, горизон-

тальная проекция

точки А ниже оси

X

Фронтальная и го-

II

ризонтальная про-

екции точки B вы-

ше оси Х

Фронтальная про-

екция точки С ниже

III

оси Х, горизон-

тальная проекция

точки C

выше оси X

29

Окончание табл. 2.1

Фронтальная и го-

IV

ризонтальная про-

екции точки D ниже

оси Х

Таблица 2.2

Примеры изображения точек,

принадлежащих плоскостям проекций

1

и

2

Положение

Наглядное

Комплексный

Характерные

точки

изображение

чертеж

признаки

Точка А

А1

– ниже оси Х,

принадлежит

А2

– на оси X

плоскости

1

Точка B

B1

– выше оси X,

принадлежит

B2

– на оси X

плоскости

1

Точка С

С2

– выше оси X,

принадлежит

С1

– на оси Х

плоскости

2

Точка D

D1

– на оси X,

принадлежит

D2

– ниже оси X

плоскости

2

Точка Е принадлежит оси X

x

x

E1

совпадает с

E2

и принадле-

жит оси X

Задача № 1

Построить комплексный чертеж точки А, если:

1)

точка расположена во II четверти и равноудалена от плоскостей 1 и

2.

2)

точка расположена в III четверти, и ее расстояние до плоскости

1 в

два раза больше, чем до плоскости 2.

3)

точка расположена в IV четверти, и ее расстояние до плоскости

1

больше, чем до плоскости 2.

Задача № 2

1. Построить наглядное изображение точек в четвертях: а) А – общего положения в III четверти;

б) В – общего положения в IV четверти;

в) С – во второй четверти, если ее расстояние от 1 равно 0; г) D – в I четверти, если ее расстояние от 2 равно 0.

Задача № 3

Построить комплексный чертеж точек А, В, С, D (см. задачу 2).

§ 5. Система трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций

На практике исследования и построения изображений система двух взаимно перпендикулярных плоскостей не всегда дает возможность однозначного решения. Так, например, если переместить точку А вдоль оси Х, то ее изображение не изменится.

Положение точки в пространстве (рис. 2.21) изменилось (рис. 2.23), а изображения на комплексном чертеже остались без изменений (рис. 2.22

и рис. 2.24).

31

Рис. 2.21

Рис. 2.22

Рис. 2.23

Рис. 2.24

Для решения данной задачи вводят систему трех взаимно перпендикуляр-

ных плоскостей, так как при составлении чертежей, например машин и их ча-

стей, требуется не два, а больше изображений. На этом основании в некото-

рые построения при решении задач необходимо вводить в систему

1,

2

и

другие плоскости проекций.

Рассмотрим три взаимно перпендикулярные плоскости 1, 2, 3(рис. 2.25).

Вертикальная плоскость

3 называется профильной плоскостью про-

екции. Пересекаясь между собой, плоскости

1, 2, 3 образуют оси проек-

ций, при этом пространство делится на

–

3

z

8 октантов.

– y

2

1

2 = x;

– 1

1

3 = у;

II

VI

I

0

3

V

3 = z;

-X

III X

2

VII

0 – точка пересечения осей проекций.

IV

VIII

1

Эти плоскости делят все простран-

– 2

y

ство на VIII частей, которые называются

– z

октантами (от лат. okto восемь). Плоско-

Рис. 2.25

сти не имеют толщины, непрозрачны и

Рис.

2.25

бесконечны.

Наблюдатель находится в

32

первой четверти (для систем

1, 2) или первого октанта (для систем

1,

2, 3) в бесконечном удалении от плоскостей проекций.

§ 6. Точка в системе 1, 2,

3

Построение проекций некоторой точки А, расположенной в I октанте,

на

три взаимно перпендикулярные плоскости 1, 2, 3 показано

на

рис. 2.26. Используя совмещение плоскостей проекций с плоскостью

2 и

применяя способ вращения плоскостей, получаем комплексный чертеж точки А (рис. 2.27): АА1 1; АА 2 2; АА 3 3, где А3 – профильная проекция точки А; АХ, Аy, АZ – осевые проекции точки А. Проекции А1, А2, А3 называются соответственно фронтальной, горизонтальной и профильной проекцией точки А.

z

z

2

2

A2

Az

3

A

Az

3

A2

A

Ax

0

Ay

3

A3

x

y

Ay

x

O

Ax

A1

A1

Ay

1

y

1

y

Рис. 2.26

Рис. 2.27

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси x, y, z, проекции которых можно рассматривать как систему декартовых координат: ось Х называется осью абцисс, ось y – осью ординат, ось Z – осью аппликат, точка пересечения осей, обозначаемая буквой О, есть начало координат.

Так, зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте. Для получения комплексного чертежа применим способ вращения

плоскостей 1 и 3 (как показано на рис. 2.26) до совмещения с плоскостью 2. Окончательный вид всех плоскостей в первом октанте приведен на рис. 2.27, а дополненный проградуированными осями на рис. 2.28

33

Рис. 2.28

Рассмотрим рис. 2.29, где точка пространства А задана координатами (5;4;6) в условных единицах. Эти координаты положительны, и сама она находится в первом октанте. Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели осуществляется с помощью координатного прямоугольного параллелограмма. Для этого на осях координат откладываем отрезки, соответственно отрезкам длины: ОАх = 5, OАy = 4, OАz = 6. На этих отрезках (ОАx, ОАy, ОАz), как на ребрах, строим прямоугольный параллелепипед. Одна из его вершин будет определять заданную точку А.

z

2

Az

A2

A

3

A3

O

x

Ax

1 A1

Ay

y

Рис. 2.29

Говоря о системе трех плоскостей проекций для построения на комплексном чертеже точки (рис. 2.29), необходимо отметить следующее.

Первое

1)две проекции точки принадлежат одной линии связи;

2)две проекции точки определяют положение третьей ее проекции;

3)линии связи перпендикулярны соответствующей оси проекций.

34

Второе

Любая точка пространства задается координатами. По знакам координат можно определить октант, в котором находится заданная точка. Для этого воспользуемся табл. 2.3, в которой рассмотрены знаки координат в 1–4 октантах (5–8 октанты не представлены, они имеют отрицательное значение х, а y и z повторяются).

Таблица 2.3

x

Y

z

Октант

+

+

+

I

+

_

+

II

+

_

_

III

+

+

_

IV

Образование комплексного чертежа в системе трех плоскостей проек-

ций осуществляется совмещением плоскостей

1,

2, 3 (рис. 2.30).

z

– y1

2

1

3

2

3

1

-x

x

0

– y3

y3

1

2

3

1

2

3

-z

y1

Рис. 2.30

Ось у в этом случае имеет два положения:

y1 c плоскостью 1, y3 c

плоскостью 3.

Горизонтальная и фронтальная проекции точки располагаются на линии проекционной связи, перпендикулярной оси x, фронтальная и профильная проекции – на линии проекционной связи, перпендикулярной к оси z.

Расстояние точки от плоскости проекций измеряются аналогично отрезкам на эпюре (рис. 2.31).

35

z

– y1

A2

Az

A3

x Ax

0

Ay -x

-y3

y3

Ay A1 -z y1

Рис. 2.31

При построении проекции точки в пространстве и на комплексном чертеже могут применяться различные алгоритмы.

1. Алгоритм построения наглядного изображения точки, заданной координатами (рис. 2.30):

1.1.Соотнести знаки координат x, y, z с данными табл. 2.3.

1.2.Определить четверть, плоскость или ось, где расположена точка.

1.3.Выполнить наглядное (аксонометрическое) изображение четверти.

1.4.Отложить координаты точки на осях АХ, АY, АZ.

1.5.Построить проекции точки на плоскостях 1, 2, 3.

1.6. Построить перпендикуляры к плоскостям 1, 2, 3 в точках проекции А1, А2, А3.

1.7.Точка пересечения перпендикуляров есть искомая точка А.

2.Алгоритм построения комплексного чертежа точки

в системе трех плоскостей проекций 1, 2, 3, заданной координатами (рис. 2.31)

2.1.Определить по координатам октант, в котором расположена точка.

2.2.Определить механизм совмещения плоскостей.

2.3.Построить комплексный чертеж четверти.

2.4.Отложить координаты точки на осях x, y, z (АХ, АY, АZ).

2.5.Построить проекции точки на комплексном чертеже.

36

§ 7. Комплексный чертеж и наглядное изображение точки в I–IV октантах

Рассмотрим пример построения точек А, В, С, D в различных октантах

(табл. 2.4).

Таблица 2.4

Октант

Наглядное изображение

Комплексный чертеж

z

Az

A2

A3

A

O

Ax

I

Ay

x

у

A1

z;-y1

3

B2

B3

Bz

2

z

B1

By

B

B3

II

B2

O

1

Bz

-y

x;-y3

Bx

By

-y3

By

B1

-z;y1

x

Bx

O

z;-y1

1

Cy

C1

C1

Cy

x

Cx

O

C3

C

Cx

Cy

O

III

C2

Cz

x;-y3

-y3

C3

3

C2

Cz

2

-z;y1

-z

37

Окончание табл. 2.4

x

Dx

O

z;-y1

1

Dy

D1

Dx

O

Dy

y

Dz

x;-y3

-х; y3

IV

D2

2

D

D3

D1

Dy

-z

Dz

D3

3

D2

-z;y1

Примеры решения задач в I октанте

Дано А1; А2

Построить А3

z

z

A2

A2

A3

x

O

у

x

O

y

A1

у

A1

y

Дано А2; А3

Построить А1

z

z

A2

A3

A2

A3

x

O

y

x

O

y

y

A1

y

Дано А1; А3

Построить А2

z

A3

A2

z

O

O

A3

x

y

x

y

A1

A1

y

y

38

Рассмотрим алгоритм построения точки А (табл. 2.5)

Таблица 2.5

Алгоритм построения точки А

по заданным координатам А (x = 5, y = 20, z = -9)

Вербальная форма

Графическая форма

Соотнести знаки координат x, y, z с

Согласно табл. 2.3,

данными табл. 2.3

это знаки 4-го октанта

x

0

1

y

Построить наглядное

(аксонометрическое)

изображение 4-го октанта

–

2

-z

3

x

0

1

y

Определить механизм

совмещения плоскостей

–

2

-z

3

x

0

y

Построить комплексный чертеж

1 – 2

4-го октанта

3

-z

39

Продолжение табл. 2.5

x

Ax

0

Aу

1

y

Отложить координаты точки

Az

–

2

На осях: x = 5, y = 20, z = -9

-z

3

x

Ax 0

Ay y

Az

Перенести координаты точки на оси

– 2

комплексного чертежа

1

3

-z

x

Ax

0

1

Построить горизонтальную,

A1

Ay

фронтальную и профильную

A2

Az

y

проекции точки А (табл. 2.4)

–

2

A3

-z

A

3

x

Ax

0

Ay y

Построить проекции

A2

Az

точки А (А1, А2, А3)

A3

A1

на комплексном чертеже

Ay

(табл. 2.4)

1

– 2

3

-z

В следующих главах мы будем рассматривать образы: прямые и плоскости только в первой четверти. Хотя все рассматриваемые способы можно применить в любой четверти, а также октанте.

40

Выводы

Таким образом, на основании теории Г. Монжа, можно преобразовать пространственное изображение образа (точки) в плоскостное.

Эта теория основывается на следующих положениях:

1. Все пространство делится на 4 четверти с помощью двух взаимно перпендикулярных плоскостей 1 и 2 либо на 8 октантов при добавлении третьей взаимно-перпендикулярной плоскости 3.

2.Изображение пространственного образа на эти плоскости получается

спомощью прямоугольного (ортогонального) проецирования.

3.Для преобразования пространственного изображения в плоскост-

ное считают, что плоскость

2 – неподвижна, а плоскость

1 вращается

вокруг оси x так,

что положительная полуплоскость 1

совмещается с от-

рицательной полуплоскостью

2, отрицательная часть

1 – с положитель-

ной частью 2.

4. Плоскость

3 вращается вокруг оси z (линии пересечения плоско-

стей) до совмещения с плоскостью 2 (см. рис. 2.30).

Изображения,

получающиеся на плоскостях 1,

2 и

3 при прямо-

угольном проецировании образов, называются проекциями. Плоскости 1, 2 и 3 вместе с изображенными на них проекциями, образуют плоскост-

ной комплексный чертеж или эпюр.

Линии, соединяющие проекции образа осям x, y, z, называются линиями проекционной связи.

Для более точного определения образов в пространстве может быть применена система трех взаимно перпендикулярных плоскостей 1, 2, 3.

В зависимости от условия задачи можно выбрать для изображения либо систему 1, 2, либо 1, 2, 3.

Систему плоскостей 1, 2, 3 можно соединить с системой декартовых координат, что дает возможность задавать объекты не только графическим или (вербальным) образом, но и аналитическим (с помощью цифр).

Такой способ изображения образов, в частности точки, дает возможность решать такие позиционные задачи, как:

–расположение точки относительно плоскостей проекций (общее положение, принадлежность плоскости, оси);

41

–положение точки в четвертях (в какой четверти расположена точка);

–положение точек относительно друг друга, (выше, ниже, ближе, дальше относительно плоскостей проекций и зрителя);

–положение проекций точки относительно плоскостей проекций (равноудаление, ближе, дальше).

–Метрические задачи:

–равноудаленность точки от плоскостей проекций;

–отношение удаления точки от плоскостей проекций (в 2–3 раза, больше, меньше);

–определение расстояния точки от плоскостей проекций (при введении системы координат).

Вопросы для самоанализа

1.Линией пересечения каких плоскостей является ось z?

2.Линией пересечения каких плоскостей является ось y?

3.Как располагается линия проекционной связи фронтальной и профильной проекции точки? Покажите.

4.Какими координатами определяется положение проекции точки: горизонтальной, фронтальной, профильной?

5.В какой четверти располагается точка F (10; –40; –20)? От какой плоскости проекций точка F удалена дальше всего?

6.Расстоянием от какой проекции до какой оси определяется удаление

точки от плоскости 1? Какой координатой точки является это расстояние?

Основные понятия, которые необходимо знать:

–система двух и трех плоскостей проекций;

–фронтальная проекция, горизонтальная проекция, профильная проекция точки, комплексный чертеж точки (эпюр);

–линии проекционной связи, четверти в 2-х и октанты в 3-х плоскостях проекций, их элементы.

Способы деятельности, которыми надо уметь пользоваться:

–алгоритм построения точки, заданной координатами в системе трех плоскостей проекций в пространстве и на комплексном чертеже;

–построение третьей проекции по двум заданным.

42

Расчетно-графическая работа № 1.

Построение наглядного изображения и комплексного чертежа точки в системе трех плоскостей проекций

Задания (выполняются в соответствии с вариантом, указанным в нижеследующей таблице)

1.По заданным координатам построить три проекции точек А, В, С.

2.Определить положение точек в системе 3 плоскостей проекций

3.Выполнить наглядные изображения и комплексный чертеж данных точек.

Варианты РГР № 1

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x

20

30

10

60

0

50

10

30

10

20

30

20

30

10

60

0

50

10

30

10

20

60

0

50

10

А

y

30

10

-10

0

10

15

30

-10

30

0

-15

30

10

-10

0

10

15

30

-10

30

0

0

10

15

30

42

z

10

-20

-30

-40

-50

-10

-35

40

-45

10

50

10

-20

-30

-45

-50

-10

-35

40

-45

10

-45

-50

-10

-35

x

10

0

40

30

20

0

10

15

50

0

60

10

0

40

30

20

0

10

15

50

0

30

20

0

10

В

y

0

-50

45

45

-25

25

40

40

-15

35

10

0

-50

45

45

-25

25

40

40

-15

35

45

-25

25

40

z

15

40

25

60

40

-20

45

40

20

0

5

15

40

25

60

40

-20

45

40

20

0

60

40

-20

45

x

20

15

55

55

35

30

55

15

60

50

25

20

15

55

55

35

30

55

15

60

50

55

35

30

55

С

y

25

-30

-10

30

60

-60

60

55

-50

0

-10

25

-30

-10

30

60

-60

60

55

-50

0

30

60

-60

60

z

30

40

-15

20

10

10

-60

20

50

-15

0

30

40

-15

20

10

10

-60

20

50

-15

20

10

10

-60

Примечание.

1.Каждый лист оформляется рамкой и надписью в соответствии с прил. 1.

2.Образец выполнения графической работы приведен в прил. 2.

3.Координаты точек даны в мм.

43

ГЛАВА 3 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ЛИНИИ

[4, гл. 2, § 10–14];

[5, гл. 7, § 38–40]; [6, гл. 2, § 5–6];

[7, гл. 2, подразделы 2.1–2.3]

§ 1. Общие положения

Линия – это одномерный геометрический образ, имеющий длину; множество всех последовательных положений движущейся точки. По определению Эвклида: “Линия же – длина без ширины”.

Положение прямой линии в пространстве определяется положением двух ее точек. Чтобы спроецировать прямую линию в общем случае, надо спроецировать две ее точки и соединить полученные проекции. Прямая в пространстве может быть расположена произвольно. Рассмотрим различные положения прямой относительно плоскостей проекций 1, 2, 3

(рис. 3.1).

Прямые линии

Прямые общего положения

Прямые частного положения

Прямые

Прямые

уровня

проецирующие

Горизонталь

Фронталь

Профиль

Горизонтально проецирующая прямая

Фронтально проецирующая прямая

Профильно проецирующая прямая

Рис. 3.1

44

§ 2. Прямая общего положения в системе трех плоскостей проекций 1, 2, 3

Определение

Наглядное

Комплексный

изображение

чертеж

Прямой общего положе-

z

ния называется

прямая,

не

z

B2

параллельная ни

одной

из

2

B2

B3

плоскостей проекций 1, 2,

3.

B3

AB – прямая в пространстве;

B

3

A2

A3

A1B1 – горизонтальная про-

A

A

A3

x

O

екция прямой;

x

2

y

A2B2 – фронтальная проек-

A1

A

ция прямой;

1

1

B1

A3B3 – профильная проек-

y

B1

y

ция прямой

§ 3. Прямые частного положения

Прямые частного положения – это прямые, которые либо параллельны (табл. 3.1), либо перпендикулярны одной из плоскостей проекций (табл. 3.2).

Прямые уровня

Всякую прямую, параллельную плоскости проекций, называют прямой линией уровня. В начертательной геометрии различают три основные линии уровня: горизонталь, фронталь и профильную линии

Таблица 3.1

Прямые уровня

Определение

Наглядное

Комплексный

изображение

чертеж

Горизонталью называ-

z

z

ют всякую прямую

ли-

A2

2

B2

A3

нию,

параллельную го-

B

A

B2

3

ризонтальной плоскости

2

A3

3

1: A2B2

Оx;

A

Ax

B x 0

Ay Bу

x

A3B3

y.

Ax

B x

B

B3

y

A1B1

–

натуральная ве-

x

A1

личина отрезка,

A1

B y

1

B1

y

– угол наклона к 2

1

B1

y

45

Окончание табл. 3.1

Фронталью называют

z

z

прямую линию, парал-

Bz

3

лельную фронтальной

B3

B2

Bz

B2

B

B3

плоскости

2:

A2

2

2

Az

A3

A1B1

Оx; A2B2 – нату-

A z

x

A 3

Ax

Bx

y

ральная величина;

A y

B y

y

А3B3

z;

A2

B x

B 1

A1

B

A

1

y

– угол наклона к

1

x

A1

1

A x

Профильной линией

z

Az

z

называют прямую ли-

2

A2

A3

нию, параллельную

A z

A z

B3

профильной плоскости

A

A 3

B2

Bz

A x

B x

Ay

By

3; A2B2 z; A1B1 y;

3

x

y

A3B3 – натуральная ве-

B2

B z

A1

Ay

личина отрезка,

A x B x

0

B1

x

В y

A y

B3

A 1

– угол наклона к

1;

B

– угол наклона к

1

B 1

B y

y

2

Прямые проецирующие

Проецирующими прямыми линиями называют прямые, расположенные перпендикулярно к плоскостям проекций 1, 2, 3 (прямые двойного уровня – их второе определение). Различают три основные проецирующие прямые: горизонтальная, фронтальная и профильная.

Если прямая перпендикулярна какой-либо из плоскостей проекций, то на эту плоскость она проецируется в виде точки. Две другие ее проекции параллельны осям и равны натуральной величине отрезка (табл. 3.2).

46

Таблица 3.2

Проецирующие прямые

Определение

Наглядное

Комплексный чертеж

изображение

Горизонтально

проеци-

A2

2

рующей прямой называют

A2

прямую,

перпендикулярную

B2

A

к плоскости

1; A2B2 – нату-

B2

х

ральная

величина

AB,

в

B

плоскости

1 отрезок

АВ х

O

A1

B1

проецируется в точку А1

В1

A1

B

1

1

2

A2

B2

A2 B2 B

Фронтально проецирую-

A

щей прямой называют пря-

мую, перпендикулярную к

х

плоскости

2; AB

2 и

х

O

B1

AB , А В

– натуральная

B1

1

1 1

A1

величина В, в плоскости

2

1

отрезок проецируется в

A1

точку А2

В2

z

z

Профильно проецирую-

2

A2

B2

A3

B3

щей прямой называют пря-

мую, перпендикулярную к

A2

B2

3

плоскости 3; АВ

1 и

A3

B3

х

O

у

АВ

2, А1В1

A

B

x

и А2В2 – натуральные

A1

B1

величины отрезка АВ, А3В3

B1

A1

у

в точку А3 В3

При сравнительном анализе изображений прямых частного положения на комплексном чертеже (табл. 3.1 и 3.2) следует учитывать:

1. Прямая уровня проецируется в натуральную величину на ту плоскость, которой она параллельна. Две остальные ее проекции обязательно параллельны соответствующим осям проекций.

47

2.Проекция прямой уровня к той плоскости, которой она параллельна, составляет с осями проекций углы, равные углам наклона линии уровня с другими соответствующими плоскостями проекций.

3.Если прямая перпендикулярна плоскости проекций, то ее проекцией на эту плоскость является точка, а другие проекции располагаются перпендикулярно соответствующим осям проекций.

§4. Построение третьей проекции отрезка по двум заданным

В нашем примере мы будем рассматривать построение прямой общего положения в первой четверти (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Вербальная форма

Графическая форма

1. Прямая AB задана двумя проекциями А1В1 и

A2

z

А2В2. Необходимо построить третью проекцию А3В3

B2

x

Ax

Bx

O

y

A1

B1

y

2. Построить третью проекцию точки А – А3:

а) на оси z и y отложить координаты

a)

точки А: Az и Aу

A2

z

Az

B2

x

Ax

Bx

O

y

Ay

A1

B1

y

48

Продолжение табл. 3.3

б) построить Ау для профильной проекции

б)

A2

z

Az

B2

x

Ax

Bx

O

Ay

y

A1

Ay

B1

y

в) построить перпендикуляры из Аz и Ay. Обозна-

в)

чить полученную профильную проекцию точки А3

z

A2

A3

Az

B2

x

Ax

Bx

O

y

Ay

A1

Ay

B1

y

3. Построить третью проекцию точки В3:

а) на осях z и y отложить координаты точки В: Вz и

а)

Ву

z

A2

A3

Az

B2

Bz

x

Ax

Bx

O

y

Ay

A1

Ay

By

B1

y

49

Окончание табл. 3.3

б) построить Ву для профильной проекции точки В

б)

z

A2

A3

Az

B2

Bz

x

Ax

Bx

O

y

Ay

By

A1

Ay

B1

By

y

в) построить перпендикуляры:

в)

ВzВ3

z.

ВyВ3

y.

z

Обозначить профильную проекцию точки В3

A2

A3

Az

B2

Bz

B3

x

Ax

Bx

O

y

Ay

By

A1

Ay

B1

By

y

4. Соединить полученные проекции А3 и В3 – это и

z

будет проекция отрезка АВ на плоскость 3

A2

A3

B2

B3

x

O

y

A1

B1

y

50

Задача № 1

При решении задач использовать алгоритм построения третьей проекции прямой по двум заданным (табл. 3.3).

1. По двум заданным проекциям построить третью на рис. 3.1–3.9:

A2 z

B2

A1

B1 y

Рис. 3.1

B2 z

A2

x

O

y

B1

A1

y

Рис. 3.4.

z A3

B3

B1

y

A2

B

z

A

z

2

2

B2

x

O

y

x

O

y

A1

A1

B1

y

B1

y

Рис. 3.2

Рис. 3.3

A2

B2

z

A2 B2

z

x

O

y

x

O

y

B1

A1

B1

y

A1

y

Рис. 3.5. Рис. 3.6.

A1

z

z

A2

B2

A3 B3

B2

x

O

y

x

O

y

B1

A1

y

y

Рис. 3.7

Рис. 3.8

Рис. 3.9

Задача № 2

Установить на каком из комплексных чертежей отрезок является натуральной величиной, а на каком чертеже можно определить н.в. углов наклона отрезка прямой к плоскостям проекций (рис. 3.1–рис. 3.9)?

51

§ 5. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения на комплексном чертеже

Для определения натуральной величины отрезка прямой линии общего положения по ее проекциям применяют метод прямоугольного треугольника.

Рассмотрим последовательность этого положения (табл. 3.4).

Вербальная форма

Определить на комплексном чертеже Аz, Bz, Ay, By:

z – разность расстояний от точек А и В до плоскости 1;

y – разность расстояний от точек А и В до плоскости 2

Взять любую точку проекции прямой АВ, провести через нее перпендикуляр к отрезку:

а) либо перпендикуляр к А2В2 через точку В2 или

А2; б) либо перпендикуляр к А1В1 через точку В1 или

А1

На этом перпендикуляре от точки В2 отложить y

Или от точки B1 отложить z

Таблица 3.4

Графическая форма

B2

A2

z=z B-zA

12

Ax

Bx

x

11

A1

y=y B-yA

B1

B2

A2

z

12

Ax

Bx

x

11

A1

y

B1

52

Окончание табл. 3.4

Соединить A2 и В*; A1 и В’

5. Обозначить натуральную величину отрезка АВ (гипотенузу треугольника):

|АВ| = А1В’ = А2В*

6.Отметить углы наклона к плоскости проекции

1 и 2:

α – угол наклона отрезка АВ к плоскости

1;

β – угол наклона отрезка АВ к плоскости

2

53

При решении подобной задачи находить натуральную величину отрезка можно только один раз (либо на 1, либо на 2). Если требуется определить углы наклона прямой к плоскостям проекций, то данное построение выполняется дважды – на фронтальной и горизонтальной проекциях отрезка.

§ 6. Принадлежность точки прямой

C2

B2

Точка принадлежит прямой, если ее про-

A2

екции принадлежат одноименным проекциям

прямой (рис. 3.10).Точка С принадлежит от-

X

резку АВ, так как С2 принадлежит фронталь-

ной проекции отрезка, а С1 – горизонтальной

A1

проекции отрезка.

C1

B1

Определить, принадлежит ли точка С отрезку прямой АВ.

Рис. 3.11

Задача № 2

Найти вторую проекцию точки В, если она принадлежит прямой а (рис.

3.12–3.15).

54

Выводы

На основе теории Монжа можно преобразовать пространственное изображение не только точки, но и более сложных объектов, в частности прямой линии и ее отрезка.

Для получения проекций отрезка АВ строят проекции его концовточек А и В – А1В1; А2В2; А3В3. Соединив одноименные проекции точек, получают проекции отрезка А1В1 – на плоскость 1; А2В2 – на плоскость 2; А3В3 – на плоскость 3. Проекции концов отрезков связаны линиями проекционной связи.

Точка принадлежит отрезку прямой, если ее проекции располагаются на одноименных проекциях этого отрезка.

Отрезок прямой относительно плоскостей проекций может быть:

–отрезком общего положения (углы наклона отрезка к плоскостям проекций произвольные);

–отрезком уровня (параллельным какой-либо плоскости проекций);

–проецирующим отрезком (перпендикулярным какой-либо плоскости проекций).

Отрезок может быть задан как в системе 1 2, так и в 1 2 3. По двум заданным проекциям всегда можно построить третью.

Отрезок в пространстве характеризуется длиной и углом наклона к плоскостям проекций.

55

Для отрезков уровня и проецирующих эти величины определяются на самом комплексном чертеже, так как натуральная величина известна и является одной из проекций отрезка.

Для нахождения натуральной величины отрезка общего положения и углов его наклона к плоскостям проекций применяется метод прямоугольного треугольника.

Вопросы для самоанализа

1.Что характерно для прямых, если они параллельны какой-либо плоскости проекции?

2.Какая проекция прямой будет параллельна оси Оx, если эта пря-

мая параллельна 1?

3.Если одна из проекций прямой есть точка, что это за прямая?

4.Когда прямая проецируется на плоскость в натуральную величину?

5.Как определить натуральную величину отрезка общего положения?

6.Что определяют z и y?

Основные понятия, которые необходимо знать:

–проекция прямой, отрезка;

–прямая общего положения;

–прямые уровня (горизонталь, фронталь, профильная прямая);

–проецирующие прямые (горизонтально-проецирующая, фронталь- но-проецирующая, профильно-проецирующая).

Способы деятельности, которыми надо уметь пользоваться:

1.Построение третьей проекции отрезка по двум заданным.

2.Нахождение натуральной величины отрезка способом прямоугольного треугольника.

56

Расчетно-графическая работа № 2. Определение натуральной величины отрезка прямой

Задания

1.По заданным координатам (в мм) построить две проекции отрезка прямой.

2.Определить натуральную величину отрезка АВ и углы наклона к плоскостям проекций 1 и 2.

Варианты РГР № 2

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

56

x

0

10

15

30

0

60

60

65

10

25

30

10

30

60

60

0

50

10

30

10

20

60

0

50

10

A

y

45

50

10

35

45

65

40

5

0

30

40

15

20

10

10

10

15

30

10

30

0

0

10

15

30

z

30

20

0

10

30

10

25

40

0

50

45

30

20

0

10

30

20

0

0

10

15

30

50

10

35

x

45

25

25

40

45

20

80

80

15

40

25

45

25

25

40

45

45

25

5

15

10

5

5

0

10

B

y

60

40

20

45

60

30

65

10

55

35

10

0

50

45

30

20

0

10

30

20

0

10

30

25

40

z

55

35

30

55

55

45

75

15

25

15

5

15

40

25

45

25

25

40

45

5

25

40

10

0

45

Примечание. Образец выполнения расчетно-графической работы № 2 (прил. 3)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Модель положения точки в системе π1, π2, π3 (рис. 16) аналогична модели, которую можно построить, зная прямоугольные координаты 1) этой точки, т. е. числа, выражающие ее расстояния от трех взаимно перпендикулярных плоскостей — плоскостей координат. Прямые, по которым пересекаются плоскости координат, называются осями координат. Точка пересечения осей координат называется началом координат и обозначается буквой О2). Для осей координат будем применять обозначения, показанные на рис. 16.

Плоскости координат в своем пересечении образуют восемь трехгранных углов, деля пространство на восемь частей — восемь октантов 3). На рис. 16 изображен один из октантов. Показано образование отрезков, определяющих координаты некоторой точки А: из точки А проведены перпендикуляры к каждой из плоскостей координат.

1) Иначе — «декартовы координаты». Система координат Декарта может быть прямоугольной и косоугольной; здесь рассматривается прямоугольная система. Декарт (1596— 1650) — французский математик и философ.

2) Начальная буква латинского слова «origo» — начало.

3) Octo {лат.) — восемь.

Первая координата точки А, называемая ее абсциссой 1), выразится числом, полученным от сравнения отрезка АА'” (или равного ему отрезка ОАx на оси х) с некоторым отрезком, принятым за единицу масштаба. Также отрезок АА” (или равный ему отрезок 0Аy на оси у) определит вторую координату точки А, называемую ординатой 2); отрезок АА’ (или равный ему отрезок 0Az на оси z) — третью координату, называемую аппликатой 3).

При буквенном обозначении координат абсцисса указывается буквой х, ордината — буквой у, аппликата — буквой z.

Построенный на рис. 16 параллелепипед называют параллелепипедом координат данной точки А. Построение точки по заданным ее координатам сводится к построению трех ребер параллелепипеда координат, составляющих трехзвенную ломаную линию (рис. 24). Надо отложить последовательно отрезки 0Аx, АxА’ и А’А или 0Аy, А А'” и А”А и т. п., т. е. точку А можно получить шестью комбинациями, в каждой из которых должны быть все три координаты.

На рис. 24 для наглядного изображения взята известная из курса черчения средней школы проекция, называемая кабинетной 4). В ней оси х и z взаимно перпендикулярны, а ось у является продолжением биссектрисы угла xOz. В кабинетной проекции отрезки, откладываемые по оси у или параллельно ей, сокращаются вдвое.

Рис. 16 показывает, что построение проекций точки сопровождается построением отрезков, определяющих координаты этой точки, если принять плоскости проекций за плоскости координат. Каждая из проекций точки А определяется двумя координатами этой точки; например, положение проекции А’ определяется координатами х и у.

Положим, дана точка А (7; 3; 5); эта запись означает, что точка А определяется координатами x = 7, у = 3, z = 5. Если масштаб для построения чертежа задан или выбран, то (рис. 25) откладывают на оси х от некоторой точки О отрезок ОАx, равный 7 единицам, и на перпендикуляре к этой оси, проведенном из точки Аx, отрезки АxА’ = 3 ед. и АxА” — 5 ед. Получаем проекции А’ и А”. Для построения достаточно взять только ось х.

Принимая оси проекций за оси координат, можно найти координаты точки по данным ее проекциям. Например, на рис. 18 отрезок ОАx выражает абсциссу точки А, отрезок АxА’ — ее ординату, отрезок АxА” — аппликату.

Если задается лишь абсцисса, то этому соответствует плоскость, параллельная плоскости, определяемой осями у и z. Действительно, такая плоскость является геометрическим местом точек, у которых абсциссы равны заданной величине (рис. 26, плоскость ?).

1) Abscissa (лат.) — отсеченная, отделенная.

2) Ordinata (лат.) — от ordinatim ducta (лат.) — подряд проведенная.

3) Applicata (лат.) — приложенная.

4) Кабинетная проекция относится к числу косоугольных (подробнее см. в § 75).

Если задаются две координаты, то этим определяется прямая, параллельная соответствующей координатной оси. Например, имея заданными абсциссу и ординату, получаем прямую, параллельную оси z (на рис. 26 это прямая АВ). Она является линией пересечения двух плоскостей ? b ? где ? — геометрическое место точек с равными ординатами. Прямая АВ служит геометрическим местом точек, у которых равны между собой абсциссы и равны между собой ординаты.

Если задаются все три координаты, то этим определяется точка. На рис. 26 показана точка К, полученная в пересечении трех плоскостей, из которых ? есть геометрическое место точек по заданной абсциссе, ? — по заданной ординате и у — по заданной аппликате.

Точка может находиться в любом из восьми октантов (нумерацию октантов см. на рис. 27). Следовательно, нужно знать не только расстояние данной точки от той или иной плоскости координат, но и направление, по которому надо это расстояние отложить; для этого координаты точек выражают относительными числами. Мы будем применять для отсчета координат систему знаков, указанную на рис. 27, т. е. будем применять систему координат, называемую «правой». Правая система характеризуется тем, что поворот на 90° «положительного» луча О (рис. 27) в сторону «положительного» луча Оy происходит против часовой стрелки (при условии, что мы смотрим на плоскость хОу сверху).

В системе, называемой «левой», «положительный» луч Ох направлен от точки О вправо.

———-

При изображении тел обычно принимают в качестве плоскостей координат не плоскости проекций, а систему некоторых трех взаимно перпендикулярных плоскостей, непосредственно связанных с данным телом, например грани прямоугольного параллелепипеда, две грани и плоскость симметрии и т. п. Для такой системы координат встречается название «внутренняя».

Источник

Лекция № 2. Точка

1. Проекции точки на две плоскости проекций

Рассмотрим проекции точек на две плоскости, для чего возьмем две перпендикулярные плоскости (рис. 4), которые будем называть горизонтальной фронтальной и плоскостями. Линию пересечения данных плоскостей называют осью проекций. На рассмотренные плоскости спроецируем одну точку А с помощью плоской проекции. Для этого необходимо опустить из данной точки перпендикуляры Аа и A на рассмотренные плоскости.

Проекцию на горизонтальную плоскость называют горизонтальной проекцией точки А, а проекцию а́ на фронтальную плоскость называют фронтальной проекцией.

Точки, которые подлежат проецированию, в начертательной геометрии принято обозначать с помощью больших латинских букв А, В, С. Для обозначения горизонтальных проекций точек применяют малые буквы а, b, с… Фронтальные проекции обозначают малыми буквами со штрихом вверху а́, b́, с́…

Применяется также и обозначение точек римскими цифрами I, II,… а для их проекций — арабскими цифрами 1, 2… и 1́, 2́…

При повороте горизонтальной плоскости на 90° можно получить чертеж, в котором обе плоскости находятся в одной плоскости (рис. 5). Данная картина называется эпюром точки.

Через перпендикулярные прямые Аа и Аа́ проведем плоскость (рис. 4). Полученная плоскость является перпендикулярной фронтальной и горизонтальной плоскостям, потому что содержит перпендикуляры к этим плоскостям. Следовательно, данная плоскость перпендикулярна линии пересечения плоскостей. Полученная прямая пересекает горизонтальную плоскость по прямой аах, а фронтальную плоскость — по прямой а́ах. Прямые аах и а́ах являются перпендикулярными оси пересечения плоскостей. То есть Аааха́ является прямоугольником.

При совмещении горизонтальной и фронтальной плоскостей проекции а и а́ будут лежать на одном перпендикуляре к оси пересечения плоскостей, так как при вращении горизонтальной плоскости перпендикулярность отрезков аах и а́ах не нарушится.

Получаем, что на эпюре проекции а и а́ некоторой точки А всегда лежат на одном перпендикуляре к оси пересечения плоскостей.

Две проекции а и а́ некоторой точки А могут однозначно определить ее положение в пространстве (рис. 4). Это подтверждается тем, что при построении перпендикуляра из проекции а к горизонтальной плоскости он пройдет через точку А. Точно так же перпендикуляр из проекции а́ к фронтальной плоскости пройдет через точку А, т. е. точка А находится одновременно на двух определенных прямых. Точка А является их точкой пересечения, т. е. является определенной.

Рассмотрим прямоугольник Aaaха́ (рис. 5), для которого справедливы следующие утверждения:

1) Расстояние точки А от фронтальной плоскости равно расстоянию ее горизонтальной проекции а от оси пересечения плоскостей, т. е.

Аа́ = аах;

2) расстояние точки А от горизонтальной плоскости проекций равно расстоянию ее фронтальной проекции а́ от оси пересечения плоскостей, т. е.

Аа = а́ах.

Иначе говоря, даже без самой точки на эпюре, используя только две ее проекции, можно узнать, на каком расстоянии от каждой из плоскостей проекций находится данная точка.

Пересечение двух плоскостей проекций разделяет пространство на четыре части, которые называют четвертями (рис. 6).

Ось пересечения плоскостей делит горизонтальную плоскость на две четверти — переднюю и заднюю, а фронтальную плоскость — на верхнюю и нижнюю четверти. Верхнюю часть фронтальной плоскости и переднюю часть горизонтальной плоскости рассматривают как границы первой четверти.

При получении эпюра вращается горизонтальная плоскость и совмещается с фронтальной плоскостью (рис. 7). В этом случае передняя часть горизонтальной плоскости совпадет с нижней частью фронтальной плоскости, а задняя часть горизонтальной плоскости — с верхней частью фронтальной плоскости.

На рисунках 8-11 показаны точки А, В, С, D, располагающиеся в различных четвертях пространства. Точка А расположена в первой четверти, точка В — во второй, точка С — в третьей и точка D — в четвертой.

При расположении точек в первой или четвертой четвертях их горизонтальные проекции находятся на передней части горизонтальной плоскости, а на эпюре они лягут ниже оси пересечения плоскостей. Когда точка расположена во второй или третьей четверти, ее горизонтальная проекция будет лежать на задней части горизонтальной плоскости, а на эпюре будет находиться выше оси пересечения плоскостей.

Фронтальные проекции точек, которые расположены в первой или второй четвертях, будут лежать на верхней части фронтальной плоскости, а на эпюре будут находиться выше оси пересечения плоскостей. Когда точка расположена в третьей или четвертой четверти, ее фронтальная проекция — ниже оси пересечения плоскостей.

Чаще всего при реальных построениях фигуру располагают в первой четверти пространства.

В некоторых частных случаях точка (Е) может лежать на горизонтальной плоскости (рис. 12). В этом случае ее горизонтальная проекция е и сама точка будут совпадать. Фронтальная проекция такой точки будет находиться на оси пересечения плоскостей.

В случае, когда точка К лежит на фронтальной плоскости (рис. 13), ее горизонтальная проекция k лежит на оси пересечения плоскостей, а фронтальная ḱ показывает фактическое местонахождение этой точки.

Для подобных точек признаком того, что она лежит на одной из плоскостей проекций, служит то, что одна ее проекция находится на оси пересечения плоскостей.

Если точка лежит на оси пересечения плоскостей проекций, она и обе ее проекции совпадают.

Когда точка не лежит на плоскостях проекций, она называется точкой общего положения. В дальнейшем, если нет особых отметок, рассматриваемая точка является точкой общего положения.

2. Отсутствие оси проекций

Для пояснения получения на модели проекций точки на перпендикулярные плоскости проекций (рис. 4) необходимо взять кусок плотной бумаги в форме удлиненного прямоугольника. Его нужно согнуть между проекциями. Линия сгиба будет изображать ось пересечения плоскостей. Если после этого согнутый кусок бумаги вновь расправить, получим эпюр, похожий на тот, что изображен на рисунке.

Совмещая две плоскости проекций с плоскостью чертежа, можно не показывать линию сгиба, т. е. не проводить на эпюре ось пересечения плоскостей.

При построениях на эпюре всегда следует располагать проекции а и а́ точки А на одной вертикальной прямой (рис. 14), которая перпендикулярна оси пересечения плоскостей. Поэтому, даже если положение оси пересечения плоскостей остается неопределенным, но ее направление определено, ось пересечения плоскостей может находиться на эпюре только перпендикулярно прямой аа́.

Если на эпюре точки нет оси проекций, как на первом рисунке 14 а, можно представить положение этой точки в пространстве. Для этого проведем в любом месте перпендикулярно прямой аа́ ось проекции, как на втором рисунке (рис. 14) и согнем чертеж по этой оси. Если восстановить перпендикуляры в точках а и а́ до их пересечения, можно получить точку А. При изменении положения оси проекций получаются различные положения точки относительно плоскостей проекций, но неопределенность положения оси проекций не влияет на взаимное расположение нескольких точек или фигур в пространстве.

3. Проекции точки на три плоскости проекций

Рассмотрим профильную плоскость проекций. Проекции на две перпендикулярные плоскости обычно определяют положение фигуры и дают возможность узнать ее настоящие размеры и форму. Но бывают случаи, когда двух проекций оказывается недостаточно. Тогда применяют построение третьей проекции.

Третью плоскость проекции проводят так, чтобы она была перпендикулярна одновременно обеим плоскостям проекций (рис. 15). Третью плоскость принято называть профильной.

В таких построениях общую прямую горизонтальной и фронтальной плоскостей называют осью х, общую прямую горизонтальной и профильной плоскостей — осью у, а общую прямую фронтальной и профильной плоскостей — осью z. Точка О, которая принадлежит всем трем плоскостям, называется точкой начала координат.

На рисунке 15а показана точка А

Конец ознакомительного фрагмента.

Источник

Положение точки в пространстве. Плоскости проекций.

Чертежи геометрических объектов в задачах по начертательной геометрии выполняют в двух или трех проекциях.

Плоскость проекций – двухмерна, а пространство – трехмерно. Невозможно на одной плоскости точно изобразить вид какой-либо объемной детали со всех сторон – спереди, сверху, сбоку. Поэтому эти виды изображают в трех ракурсах, которые называют проекциями.

Самый простой геометрический объект – это точка. Точку никак нельзя измерить – у нее нет ни длины, ни ширины, ни высоты, ни площади, ни объема. И все же – это полноценный геометрический объект – у нее есть точно определенное положение в пространстве, которое определяется координатами.

На рисунке 1 представлена часть пространства, ограниченная тремя взаимно-перпендикулярными плоскостями, которые имеют названия:

· Горизонтальная плоскость проекций, обозначается буквой Н. Можно представить, что это плоскость письменного стола.

· Фронтальная плоскость проекций – V. Эта плоскость расположена вертикально перед наблюдателем (плоскость классной доски).

· Профильная плоскость проекций W, вертикальная плоскость справа от наблюдателя.

Рисунок 1. Точка А в пространственной системе координат.
Рисунок 1. Точка А в пространственной системе координат.

Пересекаясь между собой, плоскости проекций образуют прямые, которые называют координатными осями и обозначают буквами X,Y,Z. Они пересекаются в точке О, начале координат. Назовем этот трехгранный угол условно Моделью пространства.

Точка А занимает определенное место в пространстве (рис. 1), она находится на расстоянии 15 мм от плоскости W, на расстоянии 30 мм от плоскости V, и на расстоянии 42 мм от плоскости Н. Эти расстояния измеряются вдоль осей и являются координатами точки А:

XA = 15;

YA = 30;

ZA = 42.

Эту запись можно сделать короче: А(15,30,42). Как видим, в скобках указывают сначала координату Х, затем Y, затем Z. Проекции точки А на плоскости H, V и W обозначают соответственно А₁, А₂, А₃. Нужно всегда помнить, что точка – одна, а проекции у нее – три.

Чтобы показать положение точки на чертеже, трехмерную модель пространства как бы «разрезают» по оси У и разворачивают на плоскость. (Поэтому на проекционном чертеже получается «две» оси У).

Проекционный чертеж точки А с координатами 15, 30, 42 показан на рисунке 2 и выглядит гораздо проще, чем рисунок, изображающий точку А в трехмерной модели пространства. На горизонтальной плоскости проекций отражаются координаты Х и У,, на фронтально плоскости – координаты Х и Z, на профильной плоскости отражены координаты Z и У.

Рисунок 2. Проекционный чертеж точки А (15, 30, 42)
Рисунок 2. Проекционный чертеж точки А (15, 30, 42)

Точка А находится в той области пространства, где все три координаты положительны. Однако, как известно, пространство бесконечно, и плоскости проекций также бесконечны. На рисунке 3 показано расположение в пространстве и проекционный чертеж точки В, которая лежит ниже горизонтальной плоскости проекций, а значит, координата ZВ имеет отрицательное значение.

Рисунок 3. Положение в пространстве и чертеж точки В(15, 30, -17).
Рисунок 3. Положение в пространстве и чертеж точки В(15, 30, -17).

Координаты точки В следующие:

XВ = 15;

YВ = 30;

ZВ = -17.

Упражнение 1.

На рисунке 4 показан чертеж (эпюр) точек С,D, E, F. Напишите, каким точкам соответствуют указанные координаты:

____(30, 10, -50);

____(20, -65, -40);

____(70, 45, 20);

____(-35, 30, 25).

Самостоятельно постройте на чертеже следующие точки: G(15, 40, 80); K(45, -20, 0); L(0, 40, -10).

Рисунок 4. Задание к упражнению 1.
Рисунок 4. Задание к упражнению 1.
Источник

Начертательная геометрия это наука изучающая методы изображения реальных пространственных объектив – зданий, сооружений, деталей машин – состоящих из совокупности точек, линий, поверхностей и методы решения геометрических задач по данным изображениям.

Содержание:

  1. Предмет, задачи и метод начертательной геометрии
  2. Изображение прямой линии в ортогональных проекциях
  3. Прямые частного положения
  4. Следы прямой
  5. Взаимное положение прямых. Понятие конкурирующих точек
  6. Задание плоскости в ортогональных проекциях. Следы плоскости
  7. Прямые и точки в плоскости
  8. Главные линии плоскости
  9. Плоскости частного положения
  10. Изображение простейших геометрических поверхностей
  11. Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей. Проекции прямого угла
  12. Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей
  13. Перпендикулярность прямой и плоскости
  14. Перпендикулярности двух плоскостей
  15. Параллельность прямой и плоскости
  16. Пересечение двух плоскостей
  17. Пересечение многогранника проецирующей плоскостью
  18. Решение метрических задач
  19. Решение метрических задач методами преобразования проекций
  20. Способ плоско-параллельного перемещения
  21. Способ замены плоскостей проекций
  22. Тени в ортогональных проекциях
  23. Тень прямой общего положения
  24. Тени прямых частного положения
  25. Тени плоских фигур
  26. Тень окружности
  27. Тени поверхностей. Понятие собственной и падающей тени
  28. Тени в ортогональных проекциях
  29. Тени схематизированного здания, состоящего из призматических форм
  30. Тени фрагментов зданий
  31. Тень падающая от трубы на крышу
  32. Тень от барьера на ступенях лестницы
  33. Аксонометрия
  34. Стандартные виды аксонометрических проекций
  35. Построение аксонометрического изображения
  36. Задача 1.
  37. Тени в аксонометрии
  38. Задача 2.
  39. Задача 3.
  40. Классификация, образование и изображение кривых поверхностей
  41. Линейчатые поверхности
  42. Развертываемые линейчатые поверхности
  43. Неразвертываемые линейчатые поверхности
  44. Поверхности вращения
  45. Линейчатые поверхности вращения
  46. Нелинейчатые поверхности вращения (криволинейные)
  47. Поверхности переноса
  48. Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью
  49. Пересечение кривых поверхностей плоскостью
  50. Пересечение прямой линии с поверхностью
  51. Примеры построения пересечение прямой с различными поверхностями
  52. Пример 1.
  53. Пример 2.
  54. Пример 3.
  55. Взаимное пересечение поверхностей
  56. Пересечение двух многогранников
  57. Пересечение гранной и кривой поверхности
  58. Пересечение двух кривых поверхностей
  59. Пересечение поверхностей вращения. Метод вспомогательных секущих сфер
  60. Максимальный радиус сферы
  61. Теорема Монжа
  62. Развертка поверхностей
  63. Развертка поверхностей
  64. Построение разверток развертываемых поверхностей
  65. Построение приближенной развертки неразвертываемых поверхностей
  66. Решение задач с примерами посмотроения по начертательной геометрии
  67. Задача 1.
  68. Задача 2.
  69. Тени основных геометрических форм – цилиндра и конуса
  70. Тени поверхностей вращения. Способ касательных конусов и цилиндров
  71. Построение контура собственной тени на торе осуществляется по восьми точкам.
  72. Построение падающих теней на комбинированных поверхностях вращения
  73. Метод биссекторного экрана
  74. Тень от квадратной плиты на колонну
  75. Построение падающих теней на архитектурных деталях
  76. Проекции с числовыми отметками. Область применения и сущность способа проецирования
  77. Проекции точек
  78. Проекции прямых. Определение натуральной величины и следа отрезка прямой
  79. Интервал и уклон прямой
  80. Взаимное положение двух прямых
  81. Проекции плоскостей. Задание плоскостей. Взаимное положение двух плоскостей
  82. Взаимное положение двух плоскостей
  83. Проекции поверхностей. Задание поверхностей. Пересечение поверхности плоскостью
  84. Пересечение поверхности плоскостью
  85. Профиль поверхности
  86. Построение границ земельных работ. Построение сечения вертикальной плоскостью рельефа с планировкой профиля

Начерта́тельная геоме́трия — инженерная дисциплина, представляющая двумерный геометрический аппарат и набор алгоритмов для исследования свойств геометрических объектов.

Начерта́тельная геоме́трия — наука, изучающая пространственные фигуры при помощи их проецирования (проложения) перпендикулярами на некоторые три плоскости, которые рассматриваются затем совмещёнными одна с другой. wikipedia.org

Предмет, задачи и метод начертательной геометрии

Вместе с этим решается и очень существенная задача – развитие пространственного воображения. Метод начертательной геометрии – метод проекций. Так как любой предмет можно рассматривать как совокупность множества точек, то сущность метода проецирования рассмотрим на примере точки. Прямоугольные проекции и координаты точек. Эпюр (чертеж) Г.Монжа Изображение проекций точек при различном их положении в пространстве Для построения проекции точки, зададим плоскость П1 – плоскость проекций и точку А – оригинал (любая точка пространства). Проведем через точку А проецирующий луч (АА1) до пересечения с плоскостью П1 в точке А1. Точка А1 и является проекцией точки А на плоскость П1 (рисунок 1.1). Если проецирующий луч АА1 перпендикулярен плоскости проекций П1, то проецирование называется прямоугольным, а точка А1 называется прямоугольной или ортогональной проекцией точки А.

Начертательная геометрия

На рисунке 1.1 видно, что одна проекция точки не определяет ее положения в пространстве, так как в точку А1 проецируются все точки проецирующего луча АА1. Для того чтобы положение точки в пространстве было определено, возьмем три взаимно перпендикулярные плоскости П1 , П2 , П3 (рисунок 1.2).

Начертательная геометрия

П1 – горизонтальная плоскость проекции; П2 – фронтальная плоскость проекций; П3 – профильная плоскость проекций. Плоскости проекций пересекаясь дают оси проекций – x12; y13; z23. Спроецируем ортогонально точку А на эти плоскости проекций. Получим соответственно: А1 – горизонтальная проекция точки А; А2 – фронтальная проекция точки А; А3 – профильная проекция точки А.

В трехмерном пространстве положение точки определяется тремя (декартовыми) координатами А (xА; yА; zА). Совместив декартовую систему координат с осями проекций, получим начало координат – точку О. Ось ОХ совместим с осью x12, ось ОY – с осью y13, ось ОZ – с осью z23. Горизонтальная плоскость проекции П1 совместится с координатной плоскостью OXY, П2 ≡ XOZ, П3 ≡ YOZ. Тогда точка А и ее проекции определяться координатами:

Начертательная геометрия

По чертежу видно, что две проекции точки полностью определяют положение точки в пространстве, так как содержат все три координаты. Для перехода от пространственного чертежа к плоскому, плоскость П1 повернем вокруг оси х12 до совмещения с плоскостью П2. При этом звенья ломаной АХА1 и АХА2 образуют прямую А1А2 перпендикулярную оси x12. Линия А1А2 называется линией связи проекций А1 и А2.

Плоский чертеж состоящий из горизонтальной А1 и фронтальной А2 проекций точки А, расположенных на линии связи А1А2 перпендикулярной оси x12 называется эпюром (ортогональным чертежом) и носит имя основателя начертательной геометрии Г.Монжа (рисунок 1.3).

Начертательная геометрия

Иногда возникает необходимость подвум проекциям построить третью. На рисунке 1.4 показано построение профильной проекции А3 по двум заданным горизонтальной А1 и фронтальной А2 с помощью постоянной линии чертежа k123.

Начертательная геометрия

Плоскости П1 и П2 делят все пространство на четыре четверти, отмеченные на рисунке 1.5 римскими цифрами I, II, III и IV. Точки могут находиться в любой четверти, лежать на плоскостях проекций или на осях.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Необходимо освоить две задачи:

Первая – по паре проекций точек находящихся на плоскостях проекций определить положение точки в пространстве.

Вторая – по положению точки в пространстве изобразить ее парой проекций.

На рисунке 1.5 точка А находится в I четверти. Все ее координаты имеют положительное значение – фронтальная проекция находится над осью x12, горизонтальная – под осью.

Начертательная геометрия

Точка В, находится во II четверти. Ее координата yВ – отрицательна – обе проекции находится над осью. У точки С, находящейся в III четверти отрицательными будут координаты yС и zС.

Фронтальная проекция находится под осью x12, горизонтальная – над осью. У точки D, находящейся в IV четверти, отрицательная координата zD – обе проекции находится под осью x12. У точки Е, находящейся на плоскости П2, координата yЕ = 0, откуда следует, что ее горизонтальная проекция Е1 лежит на оси x12 (если точка лежит на какой-то плоскости проекций, то одна из ее проекций обязательно лежит на оси). Точка К лежит на оси x12, координаты xК и yК равны нулю, а проекции К1 и К2 совпадают (К1 ≡ К2).

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Изображение прямой линии в ортогональных проекциях

Положение прямой линии в пространстве определяется двумя ее точками. А из свойств параллельного проецирования известно, что проекции прямых авляются прямыми линиями. Поэтому, для построения прямой (m) достаточно построить проекции двух её точек (А и В) и одноименные проекции точек соединить прямыми (рисунок 1.6). Отсюда можно сделать вывод если точка лежит на прямой, то ее проекции лежат на соответствующих проекциях прямой. Если эта точка делит отрезок АВ в каком либо отношении, то в том же отношении проекции точки делят проекции отрезка.

Начертательная геометрия

Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения. На чертеже ни одна из проекций такой прямой не параллельна оси (рисунок 1.6). Длина ортогональной проекции отрезка прямой общего положения всегда меньше длины самого отрезка.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Прямые частного положения

Прямые параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций называются прямыми частного положения.

Различают два вида прямых частного положения:

  • – прямые уровня – прямые параллельные плоскостям проекций;
  • – проецирующие прямые – прямые перпендикулярные плоскостям проекций.

Прямые уровня (рисунок 1.7).

  • а) Горизонтальная прямая – прямая параллельная горизонтальной плоскости П1;
  • б) Фронтальная прямая – прямая параллельная фронтальной плоскости П2;
  • в) Профильная прямая – прямая параллельная профильной плоскости П3.

Начертательная геометрия

На плоскость проекций, которой прямая уровня параллельна, она проецируется в натуральную величину. Проецирующие прямые (рисунок 1.8).

Начертательная геометрия

а) горизонтально-проецирующая прямая – прямая перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций П1; б) фронтально-проецирующая прямая – прямая перпендикулярная фронтальной плоскости проекций П2;

в) профильно-проецирующая прямая – прямая перпендикулярная профильной плоскости проекций П3.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Следы прямой

Следами прямой АB называются точки пересечения ее с плоскостями проекций (рисунок 1.9). Точка Н – горизонтальный след прямой АВ. Точка F – фронтальный след прямой АВ. Так как следы прямой это точки лежащие на плоскостях проекций, то одна из проекций следа находится на оси x12.

Начертательная геометрия

Поэтому для определения на эпюре горизонтального следа прямой (рисунок 1.10) необходимо продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью Х12 и отметить точку Н2 . Из этой точки провести линию проекционной связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой. Получим точку Н1 . Точки Н1 и Н2 определяют горизонтальный след прямой. Аналогично определяется фронтальный след прямой F (F1, F2).

Начертательная геометрия

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Взаимное положение прямых. Понятие конкурирующих точек

Две прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. Их положение в пространстве устанавливается взаимным расположением одноименных проекций.

Если в пространстве две прямые параллельны, то их одноименные проекции также параллельны (рисунок 1.11а).

Параллельность профильных прямых не всегда очевидна. Хотя их горизонтальные и фронтальные проекции параллельны, сами прямые могут быть не параллельны. Для определения их взаимного положения можно построить профильную проекцию. (рисунок 1.11б).

Начертательная геометрия

Пересекающиеся прямые – это прямые, имеющие общую точку, следовательно, если прямые в пространстве пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций лежат на одной линии проекционной связи (рисунок 1.12). Скрещивающиеся прямые не имеют общей точки, поэтому точки пересечения их одноименных проекций не лежат на одной линии проекционной связи (рисунок 1.13).

Пары точек, у которых какие-либо одноименные проекции совпали, т.е. они лежат на одном проецирующем луче, называются конкурирующими (одна из них «закрывает» другую). Точки M и N – горизонтально-конкурирующие, точки K и L – фронтально-конкурирующие. Из двух конкурирующих точек видна та, у которой больше одна из координат (две другие совпадают).

Например, координата Z у точки М больше, чем у точки N , следовательно, прямая а в этом месте расположена выше прямой в и будет видима при взгляде сверху, т.е. на горизонтальной проекции. Аналогично, у точки L координата Y больше, чем у точки К, следовательно, в этом месте прямая а расположена ближе к зрителю и будет видима на фронтальной проекции. Определение видимости конкурирующих точек позволит нам в дальнейшем определять видимость прямой относительно плоскости.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задание плоскости в ортогональных проекциях. Следы плоскости

Положение плоскости в пространстве определяется тремя не лежащими на одной прямой точками, прямой и не лежащей на ней точкой, двумя параллельными или пересекающимися прямыми, плоской фигурой. Примеры задания плоскости даны на рисунке 1.14.

Начертательная геометрия

Все изображенные на рисунке 1.14 плоскости являются плоскостями общего положения. Плоскостью общего положения называется плоскость не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций. Плоскость также можно задать следами. Следами плоскости называются линии пересечения плоскости с плоскостями проекций (рисунок 1.15).

Начертательная геометрия

Т.к. следы плоскости – прямые линии, то для их построения достаточно найти две точки принадлежащие им. Если прямые лежат в плоскости, то их следы лежат на следах плоскости. Следовательно для построения следов плоскости достаточно построить следы двух прямых лежащих в этой плоскости (рисунок Фронтальным следом плоскости ά называется линия ее пересечения с фронтальной плоскостью проекций П2 . Обозначается фронтальный след буквой f 1ά. Фронтальная проекция этого следа f2ά совпадает с самим следом, а горизонтальная f1ά лежит на оси х12 .

Горизонтальный след плоскости – линия пересечения с горизонтальной плоскостью проекций П1 . Аналогично горизонтальный след плоскости hά совпадает со своей горизонтальной проекцией h1ά, а его фронтальная проекция лежит на оси х12 . Они имеют общую точку на оси х – точку схода следов.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Прямые и точки в плоскости

Точка лежит в плоскости, если она лежит на прямой принадлежащей этой плоскости. Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости.

Начертательная геометрия

На рисунке 1.17а. фронтальная проекция точки К выбрана произвольно в плоскости ά (∆АВС). Для построения горизонтальной проекции через К2 проведена произвольная прямая проходящая через точки 12 и А2 принадлежащие плоскости ά. Построив горизонтальные проекции точки 11 проведем горизонтальную проекцию прямой принадлежащей плоскости ά и по линии связи найдем на ней горизонтальную проекцию К1. Аналогично построена точка К принадлежащая плоскости Начертательная геометрия (рисунок 1.17б) и плоскости Начертательная геометрия (рисунок 1.17в).

Главные линии плоскости

Главными линиями плоскости называются ее горизонтали, фронтали и линии наибольшего ската. Горизонтали плоскости – это прямые, принадлежащие плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций – h (h1, h2) . Все горизонтали плоскости параллельны между собой и параллельны горизонтальному следу плоскости. Фронтальные проекции горизонталей параллельны оси Х12 (рисунок 1.18).

Начертательная геометрия

Фронтали плоскости – это прямые, принадлежащие плоскости и параллельны фронтальной плоскости проекций – f (f1, f2). Все фронтали плоскости параллельны между собой и параллельны фронтальному следу плоскости. Горизонтальные проекции фронталей параллельны оси Х12 (рисунок 1.19).

Начертательная геометрия

Плоскости частного положения

Плоскости как и прямые относительно плоскостей проекций могут занимать частное положение. Плоскости, перпендикулярные или параллельные одной из плоскостей проекций, называются плоскостями частного положения.

Плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются проецирующими (рисунок 1.20).

Начертательная геометрия

а) горизонтально проецирующая плоскость ά (∆АВС); б) фронтально проецирующая плоскость δ (∆ DEF); в) профильно проецирующая плоскость θ (∆ KLM). Плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций, называются плоскостями уровня (рисунок 1.21).

Начертательная геометрия

а) горизонтальная плоскость уровня β, заданная треугольником АВС; б) фронтальная плоскость уровня ε заданная пересекающимися прямыми mn; в) профильная плоскость уровня γ, заданная треугольником KLM.

Изображение простейших геометрических поверхностей

Многогранники представляют собой совокупность отрезков прямых и плоских фигур. На рисунке 1.22 изображены: а) трехгранная прямая призма. б) трехгранная пирамида.

Начертательная геометрия

На рисунке 1.23 изображены простейшие кривые поверхности: а) прямой круговой цилиндр. б) прямой круговой конус.

Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей. Проекции прямого угла

Величина угла между двумя пересекающимися прямыми в общем случае на проекциях искажается. В натуральную величину этот угол будет проецироваться в том случае, если плоскость угла параллельна одной из плоскостей проекций. Тогда другие проекции сторон угла совпадают и параллельны оси проекций (рисунок 2.1). Начертательная геометрия

Прямой угол проецируется в натуральную величину, если одна из его сторон параллельна одной из плоскостей проекций (рисунок 2.2).

Начертательная геометрия

Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей

Прямая относительно плоскости может занимать следующие положения: – лежать в плоскости (что рассматривалось ранее); – быть ей параллельна; – пересекать плоскость; – быть перпендикулярной плоскости (т.е. пересекать под прямым углом).

Две плоскости могут быть – взаимно параллельными, – пересекающимися; – взаимно перпендикулярными.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в этой плоскости. Так как прямой угол между прямыми линиями проецируется на плоскость проекций без искажения, если одна из прямых параллельна этой плоскости проекций, то пересекающимися прямыми плоскости, которые нужно взять для построения перпендикуляра, могут быть только ее горизонталь и фронталь.

Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости, если ее фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции фронтали плоскости, а горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости. На рисунке 2.3 через точку А(А1;А2) проведена прямая, перпендикулярная плоскости ά(∆ВСD). В плоскости ά проведены горизонталь h (h1,h2) и фронталь f (f1,f2) , затем через А1 проведена горизонтальная проекция перпендикуляра p1 под прямым углом к h1, а через точку А2 фронтальная проекция перпендикуляра p2 под прямым углом к f2. Прямые p1 и p2 есть проекции искомого перпендикуляра р.

Перпендикулярности двух плоскостей

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит перпендикуляр к другой. Пусть через данную прямую m необходимо провести плоскость, перпендикулярную плоскости ά заданной треугольником ∆ВСD (рисунок 2.4). Для решения задачи достаточно на прямой m взять произвольную точку А и провести через нее прямую р, перпендикулярную данной плоскости ά. Пересекающиеся прямые m и р образуют плоскость β, которая содержит прямую р, перпендикулярную плоскости ά, следовательно, плоскости β и ά взаимно перпендикулярны.

Начертательная геометрия

Начертательная геометрия

Параллельность прямой и плоскости

Условие параллельности прямой и плоскости: Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, принадлежащей этой плоскости. Рассмотрим пример решения задачи на параллельности прямой и плоскости.

Задача: построить фронтальную проекцию прямой n, проходящей через точку А и параллельной плоскости ά (∆KLM). Для решения задачи: Проводим горизонтальную проекцию прямой l1 в плоскости Начертательная геометрия

Строим фронтальную проекцию l2. Через точку А2 проводим n2 параллельную l2. Таким образом получим: Начертательная геометрия

Параллельность двух плоскостей Условие параллельности двух плоскостей: две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Изображенные на рисунке 2.6 плоскости Начертательная геометрия взаимнопараллельны, т.к. Начертательная геометрияНачертательная геометрия

Пересечение прямой и плоскости Задача на нахождение точки пересечения прямой линии с плоскостью является первой основной позиционной задачей курса начертатель- ной геометрии.

Алгоритм решения задачи (рисунок 2.7):

  • 1. Прямую l заключаем во вспомогательную плоскость σ (удобнее всего в проецирующую);
  • 2. Находим линию пересечения (1-2) вспомогательной плоскости с заданной ά;
  • 3. Отмечаем точку пересечения К найденной линии пересечения (1-2) с заданной прямой l ;
  • 4. Определяем видимость прямой l ;

На основании данного алгоритма определим точку пересечения прямой l с плоскостью ά(∆ВСD) (рисунок 2.8) и с плоскостью Начертательная геометрия (рисунок 2.9).

Пересечение двух плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой линии, поэтому для её построения достаточно найти две точки одновременно принадлежащие двум плоскостям. Рассмотрим несколько случаев построения линии пересечения двух плоскостей. 1-й случай – пластины непрозрачные заданы с нахлёстом (рисунок 2.10). Задача сводится к нахождению точек пере-сечения прямых m и n с плоскостью Начертательная геометрия

Соединив точки пересечения К и М получим линию пересечения плоскости Начертательная геометрия с плоскостью Начертательная геометрия Видимость определяется по конкурирующим точкам.

2-й случай – плоскости заданы на некотором расстоянии, что не дает возможность определить линии пересечения двух плоскостей первым способом. В этом случае используется метод плоскостей-посредников.

Алгоритм решения задачи (рисунок 2.11): 1. Заданные плоскости ά и β рассекаем вспомогательной плоскостью посредником ε; 2. Определяем линию пересечения 1-2 плоскости ά с плоскостью σ и линию пересечения 3-4 плоскости β с плоскостью ε; 3. Определяем точку К – точку пересечения линий 1-2 и 3-4, принадлежащую плоскостям ά и β; 4. Аналогичным образом находим точку L с помощью плоскости посредника σ; 5. Соединив две точки К и М, получим линию пересечения двух плоскостей ά и β. Видимость при этом не определяется.

Начертательная геометрия

3-й случай – пересекающиеся плоскости общего положения заданы следами пересекающимися в пределах чертежа (рисунок 2.12). В данном случае в качестве плоскостейпосредников могут быть использованы плоскость проекций П1 и П2.

Начертательная геометрия

Пересечение многогранника проецирующей плоскостью

Так как секущая плоскость горизонтально-проецирующая, то фронтальную проекцию сечения можно построить, определив точку пересечения каждого ребра с плоскостью σ (рисунок 2.13)

Начертательная геометрия

Решение метрических задач

Метрические задачи К метрическим задачам относятся задачи на определение натуральной величины отрезков, расстояний углов, площадей плоских фигур. Определение натуральной величины отрезка и углов наклона к плоскостям проекций методом прямоугольного треугольника Натуральная величина отрезка равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка, а вторым – разность расстояний концов отрезка от той плоскости, на которой ведется построение. При этом угол между гипотенузой и катетом проекций является углом наклона отрезка к той плоскости, на которой ведется построение. На рисунке 3.1 построение натуральной величины выполнено на горизонтальной проекции. Поэтому одним катетом прямоугольного треугольника, является горизонтальная проекция А1В1, второй равен разности координат z точек А и В. Угол α между н.в. (натуральной величиной) и катетом проекций равен углу наклона отрезка АВ к плоскости проекций П1. Если необходимо определить угол наклона отрезка АВ к плоскости П2, то построение прямоугольного треугольника ведется на фронтальной проекции.

Решение метрических задач методами преобразования проекций

Положения геометрических образов, при которых расстояния и углы не искажаются на плоскостях проекций Метрические характеристики объектов на чертежах не искажаются, если геометрические образы занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Приведем некоторые из них. 1. Прямая проецируется в натуральную величину, если она параллельна плоскости проекций (рисунок 3.2). β– угол наклона к плоскости П2

Начертательная геометрия

2. Расстояние от точки до прямой проецируется в натуральную величину, если прямая проецирующая (рисунок 3.3).

Начертательная геометрия

3. Расстояние между параллельными прямыми проецируется в натуральную величину, если прямые проецирующие (рисунок 3.4).

Начертательная геометрия

4. Расстояние между скрещивающимися прямыми проецируется в натуральную величину, если одна из прямых проецирующая (рисунок 3.5).

Начертательная геометрия

5. Угол между плоскостями (двугранный угол) проецируется в натуральную величину, если ребро угла проецирующее (рисунок 3.6).

Начертательная геометрия

6. Угол наклона плоскости к плоскости проекций проецируется в натуральную величину, если плоскость проецирующая (рисунок 3.7)

Начертательная геометрия

7. Расстояние от точки до плоскости проецируется в натуральную величину, если плоскость проецирующая (рисунок 3.8)

Начертательная геометрия

8. Любая плоская фигура проецируется в натуральную величину, если она параллельна плоскости проекций (рисунок 3.9а,б)

Начертательная геометрия

Таким образом, для решения метрических задач целесообразно данный объект привести в частное положение с тем, чтобы на одной из новых проекций получить более простое решение задачи. Для такого перехода и служат способы преобразования проекций. Существует несколько способов преобразования проекций: способ вращения вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекций, способ плоскопараллельного перемещения, способ замены плоскостей проекций и др.

Четыре основных задачи преобразования проекций. Этими способами решаются четыре основные задачи:

  • Задача 1. Прямую общего положения преобразуем в линию уровня (одно преобразование).
  • Задача 2. Прямую общего положения преобразуем в проецирующую (два преобразования)
  • Задача 3. Плоскость общего положения преобразуем в проецирующую (одно преобразование)
  • Задача 4. Плоскость общего положения преобразуем в плоскость уровня (два преобразования)

Решение 1-ой и 2-ой задачи преобразования проекций методом вращения, плоскопараллельного перемещения и замены плоскостей проекций Способ вращения Способ вращения заключается в том, что геометрические образы вращаются вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекций до занятия ими какого-либо частного положения относительно плоскостей проекций. При этом одна проекция точки перемещается по окружности, вторая – по прямой параллельной оси проекций. На рисунке 3.10 вокруг оси Начертательная геометрия вращаем отрезок АВ до положения параллельного плоскости П1 (1 задача). Далее вращением вокруг оси

Начертательная геометрия полученный отрезок до положения перпендикулярного плоскости Начертательная геометрия отрезок спроецируется в точку Начертательная геометрия

Способ плоско-параллельного перемещения

Способ плоскопараллельного перемещения является разновидностью способа вращения (вращение без закрепленных осей), т.е. положение объекта можно преобразовывать путем перемещения его параллельно одной плоскости проекций, одновременно изменяя его положение относительно другой плоскости проекций до занятия им какого-либо частного положения.

На рисунке 3.11 сначала АВ переводим из общего положения в положение горизонтальное. При этом Начертательная геометрия должно быть равно по величина Начертательная геометрия находим в пересечении вертикальных линий связи и линий Начертательная геометрия параллельных оси х12 (1 задача). Далее отрезок Начертательная геометрия перемещаем до положения перпендикулярного оси х12. При этом Начертательная геометрия На фронтальной проекции отрезок спроецируется в точку Начертательная геометрия (2 задача).

Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что старая система плоскостей проекций заменяется на новую, с таким расчетом, чтобы относительно новой системы плоскостей, геометрический образ занял какое-то частное положение. При этом нужно помнить, что линии связи будут перпендикулярны относительно новой оси проекций и расстояния от новой оси проекций до новой проекции точки равно расстоянию от старой проекции точки до старой оси. На рисунке 3.12 произведена первая замена – плоскость П2 заменена на новую фронтальную плоскость П4 параллельную прямой АВ. При этом новая ось х14 проводится параллельно проекции А1В1. Линии связи проводятся перпендикулярно оси х14 и на них от х14 откладываются координаты z точек А и В (1 задача).

Далее прямую АВ преобразуем в проецирующую.

Для этого проводим новую ось х54 перпендикулярно проекции А4В4. Т.к. А1В1 параллельна оси х14, расстояние до проекций А5 и В5 будет одинаковое и прямая спроецируется в точку Начертательная геометрия

Решение 3-ой и 4-ой задачи преобразования проекций методом плоскопараллельного перемещения и замены плоскостей проекций Так как метод вращения является более громоздким, рассмотрим решение 3-ей и 4-ой задачи преобразования методом плоскопараллельного перемещения и методом замены плоскостей проекций. Способ плоскопараллельного перемещения

Начертательная геометрия

Для того чтобы плоскость из общего положения перевести в проецирующее, нужно иметь ввиду, что при этом ее горизонталь или фронталь должна быть перпендикулярна плоскости проекций. Поэтому на рисунке 3.13 проведена горизонталь h(h1,h2). Далее h1 располагаем перпендикулярно оси х12. Откладываем на ней отрезок А1L1 и циркулем строим треугольник А1‘В1‘С1‘ равный по величине А1В1С1. На фронтальной проекции треугольник спроецируется в линию (3 задача).

Чтобы плоскость треугольника перевести в положение плоскости уровня, достаточно полученную фронтальную проекцию А2‘В2‘С2‘ расположить параллельно оси х12, при этом на горизонтальной проекции треугольник спроецируется в натуральную величину (4-я задача) Способ замены плоскостей проекций

При решении задачи методом замены (рисунок 3.14) новую ось х14 проводим перпендикулярно горизонтали h1, тогда на новую фронтальную плоскость П4, треугольник спроецируется в линию, т.е. станет перпендикулярным (3-я задача). Чтобы плоскость перевести в положение плоскости уровня, необходимо новую ось х54 провести параллельно плоскости А4В4С4. На новую плоскость П5 треугольник спроецируется в натуральную величину. Для того, чтобы методами преобразования решить любую метрическую задачу, необходимо определить какую из четырех основных задач преобразования необходимо решать в каждом конкретном случае.

Начертательная геометрия

Тени в ортогональных проекциях

Проекционные чертежи архитектурных объектов выполненные в одних линиях, не дают достаточно полного представления о запроектированном объекте. Для придания объемности и наглядности ортогональным чертежам зданий и сооружений выполняется построение теней.

Тени строятся от естественного освещения, т.е. солнца. Так как солнце практически бесконечно удаленная точка, то лучи принимаются параллельными. За направление лучей принимается диагональ куба грани которого совпадают с плоскостями проекций, а её проекции являются диагоналями граней куба, т.е. квадратов (см. рисунок 4.1). Истинный угол наклона будет равен 35°, а проекции лучей располагаются под углом 45° к оси (см. рисунок 4.1).

Начертательная геометрия

Тенью точки на плоскости является точка пересечения светового луча, проведенного через данную точку, с плоскостью. Если тень точки падает на плоскость проекций, то для её построения используется способ следа луча. Т.е. через проекции точки проводим проекции лучей и строим след. На рисунке 4.2 след луча фронтальный, следовательно тень падает на фронтальную плоскость – А21.

Начертательная геометрия

Кроме этого может быть использован метод выноса. Особенно важен этот метод при построении теней на фасадах зданий. Вынос – это расстояние от точки до фронтальной плоскости или плоскости фасада, если тень строится на фасаде. На рисунке 4.3 y – это вынос.

Начертательная геометрия

Тень прямой общего положения

Тенью прямой на плоскость является линия пересечения лучевой плоскости, проведенной через прямую с заданной плоскостью. Т.е. тенью прямой на плоскость является прямая линия. Поэтому для построения тени прямой на плоскость, достаточно построить тени двух ее точек. Если же тень от прямой падает на две плоскости, то она имеет точку излома, лежащую на линии пересечения плоскостей. В данном случае точка излома лежит на оси (рисунок 4.4). Для ее нахождения, необходимо строить мнимую тень (В1t), т.е. определить горизонтальный след луча проведенного через точку В.

Начертательная геометрия

Тени прямых частного положения

Тени прямых частного положения на плоскостях проекций располагаются всегда определенно и часто служат «опорными» при построении теней различных деталей, включающих такие прямые. Рассмотрим эти случаи. Тень от прямой, на плоскость ей параллельную, располагается параллельно прямой, т.е. параллельно проекции прямой на эту плоскость и равна ей по величине (рисунок 4.5).

Начертательная геометрия

Тень от прямой на плоскость, ей перпендикулярную, располагается по проекции луча, т.е. под углом 450 (рисунок 4.6). Если точка лежит на плоскости, то тень совпадает с самой точкой и такая точка называется сама себе тень. В нашем случае это точка В.

Начертательная геометрия

Тень на фронтальной плоскости от горизонтальной прямой, расположенной под углом 450 к ней, вертикальна (рисунок 4.7)

Начертательная геометрия

Тени плоских фигур

Чтобы построить тень от плоской фигуры, например треугольника, падающую на плоскости проекций достаточно построить тени от вершин (рисунок 4.8). Т.к. тень падает на две плоскости необходимо определять линию излома тени, а, следовательно, построить мнимую тень от вершины В.

Начертательная геометрия

Тень от плоской фигуры, на плоскость ей параллельную, изображается фигурой равной ей по величине. Поэтому достаточно построить тень от одной точки и вычертить тень в виде той же фигуры. Так, для построения тени от окружности (рисунок 4.9) достаточно определить тень от центра и вычертить тень в виде такой же окружности.

Начертательная геометрия

Тень окружности

Тень окружности обычно строится по восьми точкам. Из них четыре – точки касания окружности к сторонам описанного около окружности квадрата, и четыре – точки пересечения окружности с диагоналями этого квадрата (рисунок 4.10). Тень от квадрата – параллелограмм, диагональ которого BD вертикальна. Точки 1,3,5,7 точки касания к параллелограмму. Точки, лежащие на диагоналях, делят радиус в отношении 0,707. Они могут быть получены без горизонтальной проекции. Для этого на радиусе строим равнобедренный треугольник с углами при основании 450 и дугой окружности определяем положение точек 2,8 и 4,6. Проведем из них лучи до пересечения с диагоналями. Полученные восемь точек соединяем плавной линией, которая будет эллипсом. Практически тень окружности по восьми точкам строят без горизонтальной проекции, которая здесь приведена только для пояснения.

Тени поверхностей. Понятие собственной и падающей тени

Для поверхностей характерны следующие понятия: Собственная тень (ф) – неосвещенная часть поверхности (предмета) рисунок 4.11. Контур собственной тени (m) – граница между освещенной и неосвещенной частью поверхности (предмета). Падающая тень (фt) – тень падающая от одного предмета на другой, или на плоскость. Контур падающей тени (mt) – контур, ограничивающий падающую тень.

Начертательная геометрия

Фактически контур падающей тени – это тень от контура собственной тени. Поэтому, обычно, сначала определяют контур собственной тени, а затем уже строят падающую.

Рассмотрим примеры построения теней трехгранной призмы (рисунок 4.12) и прямого кругового конуса (рисунок 4.13). Проведя лучи на горизонтальной проекции касательные к крайним ребрам призмы, определяем контур собственной тени. Она является пространственной ломаной 1,2,3,4,5. Т.к. точки 1 и 5 лежат на плоскости П1 они являются тенями. Поэтому для построения контура падающей тени, достаточно построить тени точек 2,3,4.

Проанализировав построенную тень, мы видим, что тени от ребер 1,2 и 5,4 совпадают с направлением лучей, т.к. они перпендикулярны к плоскости П1. А тени от ребер 2,3 и 3,4 параллельны этим ребрам и равны по величине, т.к. они параллельны плоскости. Учитывая это, построение контуров падающих теней многогранников может быть значительно упрощено.

Для конуса логично сначала построить падающую тень, а затем собственную (рисунок 4.13). Для построения падающей тени, строим тень от вершины конуса (S1t). Из полученной точки проводим касательные к окружности основания. Эти касательные образуют, контур падающей тени (она является тенями от образующих конуса). Поэтому, соединив точки А и В с вершиной конуса S получим границы собственной тени конуса. А затем уже строим фронтальную проекцию контура собственной тени. Аналогично строятся тени пирамидальных поверхностей.

Начертательная геометрия

Тени в ортогональных проекциях

Способ лучевых сечений: для построения тени точки М на плоскость α (∆АВС) (рисунок 5.1), проведем через точку М луч и определим точку пересечения луча с плоскостью α. Задача сводится к нахождению точки пересечения прямой (луча) с плоскостью. Через луч проводим горизонтально-проецирующую лучевую плоскость σ. Строим линию пересечения 1-2 плоскости σ и заданной плоскости α. Определяем точку пересечения луча с полученной линией пересечения. Эта точка Mt (M1t, M2t) и будет тенью точки М на плоскости α. Способ обратного луча Рассмотрим построение тени от двух прямых SF и SB на непрозрачную пластинку ECDF. (рисунок 5.2). Тень от проецирующей прямой SА строится, аналогично предыдущему примеру (рисунок 5.1), методом лучевых сечений. На горизонтальной проекции тень совпадает с направлением луча, на фронтальной – идет по лучевому сечению. Тень от точки S на пластину ESDF не падает. Для построения тени от наклонной прямой SB на пластину ESDF, необходимо построить сначала тень падающую на плоскость П1. Для чего строим тень от точки S падающую на П1 и полученную точку S1t, соединяем с точкой В1, т.к. точка В лежит на плоскости П1.

Начертательная геометрия

Начертательная геометрия

Далее строим тень от пластины ESDF на плоскость П1, для чего строим тени точек С и D и соединяем их с точками Е1 и F1, лежащими на плоскости П1. Полученные тени пересекаются B1S1t и C1tD1t в точке 41t . Из точки пересечения теней проводим обратный луч под углом 450 на прямую C1D1. По вертикальной линии связи находим фронтальную проекцию этой точки. Обратите внимание, что точки 1 и 3, являются точками излома теней падающих на горизонтальную плоскость и на наклонную плоскость α.

Необходимо отметить что данную задачу можно решить используя построение мнимой тени от точки S на пластину ESDF (рисунок 5.3).

Начертательная геометрия

Тени схематизированного здания, состоящего из призматических форм

Здание состоит из двух призматических форм (рисунок 5.4). Обычно сначала строятся тени от двух этих форм падающие на плоскость П1 (т.е. на землю).

Начертательная геометрия

Для построения падающих теней определяем контур собственной тени каждой из призм (рисунок 5.4б). Высотная часть здания представляет прямую призму, контур собственной тени которой 1,2,3,4,5, причем точки 1 и 5 лежат на плоскости, поэтому тени строим от трех точек 2,3,4. Контур собственной тени второй призмы – 6,7,8,9. Точка 6 лежит на П1, поэтому строим тени от точек 7,8,9 (рисунок 5.4а). Т.к. две полученные тени пересекаются, определяем общий контур тени. Видим, что точки 2t и 9t являются мнимыми. Поэтому тень от точки 2 очевидно упадет на пристройку, а точка 9 будет в тени и фактически тень не отбросит.

Для построения тени падающей от высотной части здания на пристройку используем метод лучевых сечений. Заключаем луч, проведенный через точку 2 в плоскость δ. Строим сечение призмы – пристройки плоскостью δ. Луч, проведенный из точки 2, пересекает линию сечения в точке 2t(21t, 22t). Т.е. тень падает на наклонную плоскость. Тень от вертикальной прямой 1,2, на горизонтальной проекции совпадает с направлением луча, на фронтальной идет по сечению. Тень от прямой 2,3 на фронтальной проекции совпадает с направлением луча, на горизонтальной идет по сечению.

При построении теней зданий очень важно помнить положение теней прямых частного положения, это значительно упрощает процесс построения.

Тени фрагментов зданий

К фрагментам зданий относятся ниши, козырьки, трубы, лестницы и т.п. Рассмотрим построение теней некоторых из них.

Начертательная геометрия

Две изображенные ниши относятся к нишам с плоским днищем, т.е. контур ниши отбрасывает тень на плоскость днища ниши параллельной контуру. Поэтому тени в нишах с плоским днищем повторяют контур ниши. Для построения таких теней достаточно построить тень одной точки, как показано на примере (рисунок 5.5). Если дан лишь фасад здания, необходимо знать глубину ниши и тень построить методом выноса.

В цилиндрической нише (рисунок 5.6) сначала определяем собственную тень. Для чего удобнее провести нормаль (т.е. радиус под углом 450). Получим контурную образующую собственной тени. Падающую тень будет отбрасывать две прямые кромки ниши – вертикальная и продольная. Тень от вертикальной прямой падает на ось ниши. Тень от продольной прямой будет представлять четверть окружности.

Начертательная геометрия

Из этого чертежа можно сделать вывод: тень от продольной прямой на фасаде с вертикальными образующими зеркально повторяется план. Этот вывод позволяет построить тень на фасаде от свеса крыши, построив тень одной точки (тень точки 1 на рисунке 5.7). Остальной контур тени зеркально повторяет план.

Начертательная геометрия

Тень падающая от трубы на крышу

На рисунке 5.8 дана труба призматической формы. Тень строится методом лучевых сечений. Если отсутствует план здания, то нужно иметь ввиду, что тени от вертикальных прямых на фасаде имеют угол наклона равный углу наклона ската крыши Начертательная геометрия

Начертательная геометрия

Тень от барьера на ступенях лестницы

Контур собственной тени барьера (рисунок 5.9), отбрасывающий тень на ступени представляет собой две прямые – горизонтально- проецирующую 1,2 и фронтально-проецирующую 2,3. Из точек 1 и 3 начинается тень. Следовательно, необходимо построить тень точки 2. Для построения падающей тени используется метод лучевых секущих плоскостей.

Аксонометрия

Ортогональные проекции, обладая рядом достоинств, имеют также и определенные недостатки, главным из которых является отсутствие наглядности полученных изображений.

Более наглядными, достаточно простыми по начертанию и позволяющими выполнять измерения, являются аксонометрические проекции. Аксонометрические проекции, также как и ортогональные, строятся по принципу параллельного проецирования, но на одну плоскость. Аксонометрией называется метод отображения пространства на плоскость вместе с системой координат и изображение, полученное этими методом.

На рисунке 6.1, показан принцип получения аксонометрии, точки А. Точка А связана с системой прямоугольных координат OXYZ. На осях отложены единичные отрезки Начертательная геометрия Это натуральные масштабные единицы. Начертательная геометрия – направление проецирования. Начертательная геометрия – плоскость аксонометрических проекций (иногда называется картинной плоскостью). По направлению проецирования, спроецируем единичные отрезки на аксонометрическую плоскость проекций, получим аксонометрическую систему координат Начертательная геометрия Точка Начертательная геометрия – аксонометрическая проекция точки А, Точка Начертательная геометрия – аксонометрия горизонтальной проекции А1, называемой вторичной проекцией. Отрезки Начертательная геометрия на аксонометрических осях могут быть не равны между собой и не равны е. Они являются единицами измерения по аксонометрическим осям – аксонометрические масштабные единицы. Отношения аксонометрических единиц к натуральным называются показателями искажения по аксонометрическим осям.

  • Начертательная геометрия коэффициент искажении по оси X‘;
  • Начертательная геометрия коэффициент искажения по оси Y‘
  • Начертательная геометрия коэффициент искажения по оси Z‘

Основной теоремой аксонометрии является теорема “Польке-Шварца”: всякий невырождающийся полный четырехугольник можно считать параллельной проекцией тетраэдра наперед заданной формы. С доказательством теоремы можно познакомиться в учебнике (1, 2). Эта теорема позволяет установить зависимость между углом проецирования и коэффициентами искажения. Типы аксонометрических проекций В зависимости от угла проецирования Начертательная геометрия аксонометрия делится на два типа: прямоугольная и косоугольная. Если направление проецирования является перпендикулярным к плоскости аксонометрических проекций – аксонометрия называется прямоугольной Начертательная геометрия в противном случае – косоугольной Начертательная геометрия

По показателям искажения аксонометрия делится на три типа. Если все показатели искажения равны, т.е. Начертательная геометрия аксонометрия называется изометрией. Если два показателя искажения равны, т.е. Начертательная геометрия то аксонометрия называется диметрией. Если все показатели искажения различны, т.е. Начертательная геометрия то аксонометрия называется триметрией. Натуральные показатели искажения по аксонометрическим осям в прямоугольной изометрии одинаковы и равны 0,82. В прямоугольной диметрии Начертательная геометрия

Однако, при построении аксонометрии натуральные коэффициенты заменяют приведенными, т.е. выраженными целыми числами, что дает увеличение аксонометрического изображения, но на наглядность не влияет.

Стандартные виды аксонометрических проекций

В таблице 6.1 приведены наиболее применяемые стандартные виды аксонометрических проекций.

Начертательная геометрия

Построение аксонометрического изображения

Задача 1.

Даны ортогональные проекции схематизированного здания (рисунок 6.2). Построить прямоугольную изометрию.

Начертательная геометрия

Прежде всего, выбираем положение ортогональных осей для получения более наглядного изображения (рисунок 6.2). Строим оси аксонометрических проекций под углом 1200 (рисунок 6.3). Построение аксонометрии начинаем с плана, т.е. со вторичной проекции. Так как коэффициенты искажения равны 1, то измеряем, координаты X и Y каждой точки плана и откладываем их на аксонометрических осях. Прямые параллельные в ортогональных проекциях будут оставаться параллельными и в аксонометрии. После построения плана откладываем все высоты параллельно оси Z, т.е. вертикально. Соединив полученные точки с учетом видимости, получим аксонометрию здания.

Тени в аксонометрии

Для придания более наглядного и реалистического изображения архитектурным объектам строят тени. Для построения теней задается положение луча света и его вторичной проекции. В принципе направление лучей выбирается произвольным.

На рисунке 6.4 показано построение тени точки А. Через горизонтальную проекцию А1 проводим луч параллельный вторичной проекции луча ℓ1. Через саму точку А – луч параллельный лучу ℓ. В пересечении лучей получаем At – тень точки А падающую на горизонтальную плоскость. Так как аксонометрия является параллельной проекцией, как и ортогональные проекции, то все закономерности, отмеченные в разделе тени в ортогональных проекциях справедливы и для аксонометрии.

Начертательная геометрия

Например: Тень от прямой перпендикулярной плоскости совпадает с направлением проекции луча на эту плоскость. Тень от прямой параллельной плоскости ей параллельна и равна по величине. Тень от прямой на плоскость, которую она пересекает, проходит через эту точку пересечения и т.п.

Задача 2.

Построим тени аксонометрии схематизировано здания (рисунок 6.5). Принимаем направление лучей ℓ и ℓ1 под углом 450. Определяем контур собственной тени при данном освещении. Для высотной части, как и в ортогональных проекциях, контур собственной тени 1,2,3,4,5. Для пристройки – 6,7,8,9. Сначала строим тени падающие на горизонтальную плоскость, т.е. на землю. Затем строим тень, падающую от высотной части на пристройку, используя метод лучевых сечений. Сечение представляет трапецию. Тень от точки 2 падает на наклонную плоскость. По построению мы видим, что тень от ребра 1,2 падает на землю, затем на стену вертикальную и на крышу, т.е. идет по сечению. Далее, чтобы построить тень от прямой 2,3 на наклонной плоскости, находим точку пересечения прямой 2,3 с наклонной плоскостью и соединяет 2t с этой точкой. При оформлении чертежа нужно всегда иметь ввиду, что собственная тень всегда светлее падающей.

Задача 3.

Построить тени козырька на плоскость стены (рисунок 6.6)

Начертательная геометрия

Козырек призматический. При заданном направлении лучей определяем контур собственной тени 1,2,3,4,5. Точки 1 и 5 лежит на стене, поэтому строим тени точек 2,3,4. Для построения теней используется метод лучевых секущих плоскостей. Через вторичные проекции точек 21,31,41, проводим лучи параллельны ℓ1, через точки 2,3,4 лучи параллельные ℓ. Находим точки пересечения лучей с плоскостью стены. Соединяем полученные точки отрезками прямых. В принципе можно было определить всего лишь одну точку 2t , т.к. прямые 2,3 и 3,4 параллельны плоскости стены и тени от них им параллельны и равны по величине.

Классификация, образование и изображение кривых поверхностей

В архитектурно-строительной практике широко применяются пространственные криволинейные формы, основу которых представляют различные кривые поверхности в их “чистом” геометрическом виде или составленные из нескольких поверхностей. При выборе исходной поверхности архитектор должен в совершенстве знать геометрию этих поверхностей: их основные характеристики, свойства, принципы образования и изображения и др. Классификация поверхностей на протяжении длительного периода была предметом научных исследований, но пока не удалось установить единую систему, так как за ее основу могут быть взяты разные критерии: характер образующей, признак развертывания и прочее.

В данной лекции приводится один из примеров классификации.

Начертательная геометрия

Линейчатые поверхности

Поверхность можно представить образованной перемещением какой-либо линии (образующей) по второй линии (направляющей). Если образующая прямая линия, то поверхность называется линейчатой, в противном случае – нелинейчатой или кривой. Линейчатые поверхности делятся на развертываемые и не развертываемые.

Развертываемые линейчатые поверхности

К развертываемым линейчатым поверхностям относятся: цилиндрическая, коничеcкая и поверхность с ребром возврата Цилиндрическая поверхность образуется параллельным перемещением прямой – образующей по какой-либо криволинейной направляющей (рисунок 7.1).

Если направляющая – замкнутая линия, поверхность называется замкнутой. Линия пересечения плоскостью, перпендикулярной образующим, называется нормальным сечением. Все виды нормального сечения уточняют название поверхности: круговая, эллиптическая, параболическая и др.

Начертательная геометрия

Коническая поверхность образуется перемещением прямой (образующей), проходящей через одну неподвижную точку – вершину, по криволинейной направляющей (рисунок 7.2). Неподвижная точка делит образующую на две полупрямые и поэтому поверхность образует две полости. Коническая поверхность, как и цилиндрическая, может быть замкнутой. Если направляющая является окружностью, а вершина расположена на перпендикуляре, восста- новленном в центре окружности, то поверхность называется прямым круговым конусом или поверхностью вращения. В противном случае коническая поверхность называется поверхностью второго порядка.

Начертательная геометрия

Поверхность с ребром возврата (торс) образуется при перемещении прямой линии в пространстве, которая все время остается касательной к некоторой пространственной кривой линии, называемой ребром возврата (рисунок 7.3). Эта поверхность двупольная, так как точка касания образует две полупрямые.

Начертательная геометрия

Неразвертываемые линейчатые поверхности

К неразвертываемым линейчатым поверхностям относятся поверхности с плоскостью параллелизма: цилиндроиды, коноиды и гиперболические параболы и др. Цилиндроид – поверхность, полученная перемещением прямой образующей, которая все время остается параллельной определенной плоскости, называемой плоскостью параллелизма, по двум кривым направляющим (рисунок 7.4).

  • l – образующая;
  • m, n – направляющие;
  • σ – плоскость параллелизма.

Начертательная геометрия

Коноид – поверхность, полученная перемещением прямой образующей, которая все время остается параллельной плоскости параллелизма, по двум направляющим, одна из которых прямая, вторая кривая (рисунок 7.5).

  • l – образующая;
  • m, n – направляющие;
  • σ – плоскость параллелизма.

Начертательная геометрия

Гиперболический параболоид – поверхность, полученная перемещением прямолинейной образующей, которая все время остается параллельной плоскости параллелизма по двум прямым направляющим (рисунок 7.6)

  • l – образующая;
  • m, n – направляющие;
  • σ – плоскость параллелизма.

Начертательная геометрия

Поверхности вращения

Поверхности вращения образуются вращением какой-либо линии вокруг прямой, называемой осью вращения. Поверхности вращения делятся на линейчатые, когда образующая прямая и нелинейчатые, когда образующая кривая. Точки образующей при вращении дают окружности, называемые параллелями, из которых наибольшая – экватор, наименьшая – горловина. Плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность по меридианам. Меридиан, лежащий в плоскости параллельной плоскости проекций называется главным.

Линейчатые поверхности вращения

В зависимости от положения прямой образующей по отношению к оси вращения, линейчатые поверхности делятся на цилиндрическую, коническую и однополостный гиперболоид вращения. Цилиндрическая поверхность образуется вращением вокруг оси прямой – образующей, параллельной оси вращения (рисунок 7.7).

Коническая поверхность образуется вращением вокруг оси прямой – образующей, которая пересекает ось (рисунок 7.8).

Начертательная геометрия

Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением прямой – образующей, скрещивающейся с осью вращения. На рисунке 7.9 построен однополостный гиперболоид вращения.

Для построения этой поверхности изображено двенадцать положений образующей. Главным меридианом гиперболоида вращения будет гипербола.

Поэтому если гиперболу вращать вокруг оси, также получим гиперболоид вращения.

Начертательная геометрия

Нелинейчатые поверхности вращения (криволинейные)

В зависимости от формы образующей и положения оси вращения получается тот или иной вид поверхности: сфера (рисунок 7.10а), тор (рисунок 7.10б), эллипсоид (рисунок 7.10в) и т.п.

Начертательная геометрия

Винтовые поверхности образуются винтовым движением прямой или кривой линии. В первом случае поверхность будет линейчатой, во втором – криволинейной. Рассмотрим построение некоторых из них. Винтовой коноид (прямой геликоид) – образуется перемещением прямой – образующей по двум направляющим – оси и винтовой линии. Плоскостью параллелизма в этом случае является плоскостью проекций П1 (рисунок 7.11). Для построения взято двенадцать положений образующей.

Винтовой коноид является основой для построения винтовой лестницы. Развертывающийся геликоид (эвольвентный геликоид) – относится к поверхностям с ребром возврата. Ребром возврата является винтовая линия. Прямая-образующая перемещается по винтовой линии, оставаясь к ней касательной. Известно,

Начертательная геометрия

что если соединить следы касательных к винтовой линии на плоскости перпендикулярной оси, получим эвольвенту окружности. Поэтому, определив фронтальное положение этих следов мы можем построить фронтальные проекции касательных к винтовой линии (рисунок 7.12). Наклонный геликоид – образуется перемещением прямой образующей, которая все время остается параллельной направляющему конусу, по двум направляющим – винтовой линии и оси (рисунок 7.13).

Для построения поверхности наклонного геликоида сначала строим направляющий конус с образующими, а затем уже строим ряд образующих поверхностей, параллельных образующим конуса.

Поверхности переноса

Поверхности переноса образуются поступательным переносом одной кривой линии вдоль другой (рисунок 7.14). Каркасные поверхности, задаются некоторым числом дискретных каркасов. Примером, является обшивка автомобилей, самолетов, кораблей и т.п.

Начертательная геометрия

Топографическая поверхность представляется рядом горизонталей поверхности (рисунок 7.15).

Начертательная геометрия

Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью

В пересечении поверхности плоскостью образуется линия называемая сечением. Сечением многогранника является многоугольник. Для его построения необходимо определить точку пересечения каждого ребра с плоскостью и соединить полученные точки с учетом ви- димости. Фактически решение такой задачи рассматривалось в лекции 2 (рисунок 2.13).

В данной лекции рассмотрим построение линии сечения пирамиды плоскостью Ϭ (рисунок 8.1). Так как плоскость Ϭ фронтальнпроецирующая, фронтальная проекция сечения совпадает с плоскостью Ϭ. Точки 1,2,3 – точки пересечения боковых ребер пирамиды с плоскостью Ϭ. Поэтому достаточно построить горизонтальные проекции этих точек. Точки 11 и 31 находятся по вертикальным линиям связи на ребрах A1S1 и C1S1. Так как ребро SB профильное, для нахождения точки 21 через проекцию 22 проведем прямую 2242, лежащую на грани ASB и параллельную AB. Построив, горизонтальную проекцию определим положение проекции 21. Соединив, полученные точки, получим треугольник. Треугольник видимый, т.к. все грани пирамиды видимые.

Начертательная геометрия

Пересечение кривых поверхностей плоскостью

В зависимости от положения секущей плоскости, различают следующие виды конических сечений (рисунок 8.2):

Построение линии сечения конуса по окружности и треугольнику не вызывает затруднений. Для окружности – замеряем радиус, для треугольника – находим точки пересечения с основанием. Построения показаны на рисунок 8. 2. Для построения сечений конуса по эллипсу, параболе, гиперболе, необходимо определить несколько точек, принадлежащих линии сечения. Для нахождения этих точек используется метод плоскостей посредников.

Алгоритм решения задачи состоит в следующем:

  • а) проводят плоскости посредники;
  • б) строят линии пересечения посредников с данной поверхностью и с плоскостью;
  • в) определяют точки пересечения между собой полученных линий;
  • г) соединяют полученные точки с учетом видимости.

Для примера рассмотрим построение конуса по эллипсу (рисунок 8.3). Т.к. плоскость Ϭ фронтально-проецирующая, необходимо построить горизонтальную проекцию сечения. В первую очередь строятся опорные точки сечения, в данном случае высшая и низшая точка сечения, лежащая на контурных образующих (1 и 2). 1,2 – большая ось эллипса. Чтобы сечение получилось правильным, необходимо найти положение малой оси 3,4. Для нахождения горизонтальной проекции 31, 41, через фронтальные проекции точек проводим вспомогатель- ную горизонтальную плоскость посредник, которая рассекает конус по окружности. Таким же образом строим промежуточные точки 5,6,7,8. Полученные точки соединяем плавной кривой линией.

Аналогично строятся линии пересечения других поверхностей плоскостями. Гораздо проще строить сечения поверхностей, проецирующими плоскостями, поэтому, если задана плоскость общего положения, имеет смысл выполнить замену плоскостей проекций, перпендикулярно заданной плоскости, а затем уже строить сечение.

Начертательная геометрия

Пересечение прямой линии с поверхностью

Для определения точек пересечения прямой линии с поверхностью применяется метод вспомогательных секущих плоскостей (рисунок 8.4) Алгоритм решения задачи следующий:

  • 1. Через прямую ℓ проводим вспомогательную секущую плоскость Ϭ.
  • 2. Строим линию пересечения m плоскости Ϭ с заданной поверхностью Ф.
  • 3. Определяем точки пересечения К и М прямой ℓ с построенной линией пересечения m. Это и будут искомые точки пересечения прямой ℓ с поверхностью.
  • 4. Определяем видимость прямой.

Нужно подчеркнуть, что вспомогательная плоскость выбирается такой, чтобы сечение поверхности было простейшим

Начертательная геометрия

Рассмотрим несколько примеров на определение точек пересечения прямой с поверхностью.

Примеры построения пересечение прямой с различными поверхностями

Пример 1.

Построить точки пересечения прямой ℓ с поверхностью наклонной трехгранной призмы (рисунок 8.5). Последовательность решения следующая: 1. Через прямую ℓ проводим вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость Ϭ. 2. Строим линию пересечения плоскости Ϭ и призмы. Сечением является треугольник 1, 2, 3. 3. Определяем точки пересечения прямой ℓ с треугольником сечения (точки L и М). 4. Определяем видимость прямой ℓ.

Пример 2.

Поострить точки пересечения прямой ℓ с поверхностью наклонного цилиндра (рисунок 8.6). Ход решения:

1. Через прямую ℓ проводим вспомогательную плоскость Начертательная геометрия параллельную образующим цилиндра. Плоскость α – общего положения, где m параллельна образующим цилиндра. 2. Строим линию пересечения плоскости α с поверхностью цилиндра. Плоскость параллельная образующим цилиндра рассечет цилиндр по параллелограмму. Для его построения определяем линию пересечения 1,2 плоскости α с плоскостью основания цилиндра. Из точек пересечения линии 1,2 с

Начертательная геометрия

окружностью основания проводим образующие цилиндра. 3. определяем точки пересечения К1 и М1 прямой ℓ1 с линией сечения. Фронтальные проекции точек К2 и М2 определяем по линиям связи. 4. Устанавливаем видимость прямой.

Пример 3.

Построить точки пересечения прямой с поверхностью конуса (рисунок 8.7) Ход решения. 1. Через прямую ℓ проводим плоскость Начертательная геометрия общего положения проходящую через вершину конуса. Такая плоскость пересекает конус по треугольнику. 2. Строим линию сечения конуса плоскостью α. Для этого определяем линию пересечения плоскости α с плоскостью основания конуса (точки 1 и 2, соответственно точки пересечения прямых ℓ и m с плоскостью основания). Горизонтальная проекция линии пересечения 1,2 пересекает окружность основания. Полученные точки соединяем с вершиной конуса. 3. Определяем точки К1 и М1 пересечения прямой ℓ1 с полученным сечением. Фронтальные проекции определяем по линиям связи. 4. Устанавливаем видимость прямой ℓ. Пример 4. Построить точки пересечения прямой ℓ с поверхностью сферы (рисунок 8.8) Последовательность решения: 1. Через прямую ℓ проводим горизонтально-проецирующую плоскость δ. 2. Для построения линия пересечения сферы плоскостью α выполняем замену фронтальной плоскости проекций П2 на П4 параллельную плоскости δ. Строим окружность радиуса R (фигура сечения) и новую проекцию прямой А4В4. 3. Определяем точки пересечения К4 М4 прямой ℓ4 и окружности сечения. Далее, используя линии проекционной связи строим проекции точек К1, М1 и К2, М2.

Начертательная геометрия

4. Определяем видимость прямой ℓ,

Начертательная геометрия

Взаимное пересечение поверхностей

Общие положения При пересечении поверхностей образуется линия, которую принято называть линией взаимного пересечения поверхностей. Эта линия пересечения принадлежит одновременно двум поверхностям. Поэтому построение линии пересечения сводится к определению точек одновременно принадлежащих обеим поверхностям. Для нахождения таких точек используется в общем случае метод вспомогательных секущих поверхностей. Сущность способа заключается в следующем: Пусть задано две поверхности Начертательная геометрия (рисунке 9.1)

Общий алгоритм построения линии пересечения поверхностей:

  • 1. Введем вспомогательную поверхность Ф.
  • 2. Строим линии пересечения поверхности Ф с поверхностями Начертательная геометрия
  • 3. Определяем точки пересечения К и М, построенных линий пересечения a и b.
  • 4. Многократно повторяя эту операцию, найдем ряд точек, принадлежащих одновременно двум поверхностям.
  • 5. Соединяем последовательно точки с учетом видимости.

В качестве посредников могут быть приняты как поверхности, так и плоскости, но целесообразно выбирать такие, которые дают наиболее простые линии пересечения с заданными поверхностями.

Начертательная геометрия

Пересечение двух многогранников

Для построения линии пересечения двух многогранников необходимо определить точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго, затем ребер второго с гранями первого. Полученные точки соединить отрезками прямой с учетом видимости. На рисунке 9.2 заданы поверхности трехгранной призмы DEFD‘E‘F‘ и трехгранной пирамиды SABC. Так как призма фронтальнопроецирующая, фронтальная проекция линии пересечения совпадает с гранями призмы, поэтому необходимо построить только горизонтальную проекцию. Для этого определяем точки пересечения ребер пирамиды с гранями призмы. Ребро SС пересекает грани призмы в точках 1 и 2, ребро SB – в точках 3 и 4, ребро SA не пересекает призму. Затем определяем точки пересечения ребер призмы с гранями пирамиды.

По чертежу видим, что только ребро DD‘ пресекает поверхность пирамиды. Для определения точек пересечения 5 и 6 через ребро DD‘ про- водим горизонтальную плоскость, которая пересекает пирамиду по треугольнику. Точки 5 и 6 получаем, как пересечение DD‘ с построенным треугольником. Полученные точки соединяем с учетом видимости. Видимой считается тот отрезок прямой, который принадлежит двум видимым граням поверхностей.

Как видим, линия пересечения двух многогранников представляет собой пространственную ломаную линию. В том случае, когда обе гранные поверхности общего положения, последовательность соединения точек вызывает затруднение. Поэтому для соединения точек используется диаграмма Ананова – условные развертки поверхностей (см. учебник).

Пересечение гранной и кривой поверхности

Линия пересечения гранной и кривой поверхности, представляет собой пространственную кривую линию, с точками излома на ребрах многогранника.

Начертательная геометрия

Поэтому сначала определяем точки пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью, а затем промежуточные точки и соединяем их с учетом видимости. На рисунке 9.3 заданы поверхности трехгранной призмы и кругового конуса. Так как призма фронтальнопроецирующая, фронтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией боковых граней призмы, поэтому необходимо построить только горизонтальную проекцию линии пересечения. Сначала определяем точки пересечения ребер призмы АА‘, ВВ‘, СС‘ с поверхностью конуса, а затем находим промежуточные точки, принадлежащие линиям пересечения. Для нахождения точек пересечения, используем горизонтальные плоскости посредники, так как они пересекают конус по окружностям, а призму по прямым линиям. Как видим, в данном случае линия пересечения распадается на две отдельные части.

Пересечение двух кривых поверхностей

Линия пересечения двух кривых поверхностей, представляет пространственную кривую линию. Поэтому для ее построения необходимо определить ряд точек принадлежащих этой лини.

На рисунке 9.4 заданы поверхности конуса и сферы. Точки строятся при помощи горизонтальных плоскостей посредников, которые рассекают обе поверхности по окружностям. Обязательно находим опорные точки, к которым относятся высшая и низшая точки линии пересечения и точки границы видимости. Так как оси поверхностей лежат в одной

Начертательная геометрия

фронтальной плоскости, контурные образующие поверхностей пересекаются в точках 1 и 2 – это и будет высшая и низшая точки. Точки границы видимости лежат на экваторе сферы, поэтому точки 3 и 3‘ находим с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости, проходящей через центр сферы. Она рассекает сферу по экватору, а конус по параллели радиуса R. Взаимно пересекаясь, они и дают точки 3 и 3‘ фронтальную проекцию определяем по вертикальной линии связи на плоскости δ. Затем берем еще две вспомогательные плоскости расположенные выше и ниже плоскости δ и выполняя, аналогичные построения определяем точки 4 и 4‘, 5 и 5‘. Полученные точки соединяем с учетом видимости.

Пересечение поверхностей вращения. Метод вспомогательных секущих сфер

Способ вспомогательных секущих сфер применяется при следующих условиях:

  • 1. Пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения.
  • 2. Оси этих поверхностей пересекаются.
  • 3. Оси поверхностей параллельны одной из плоскостей проекций.

Перед рассмотрением этого способа разберем понятие соосных поверхностей. Соосными называются поверхности вращения, имеющие общую ось. Соосные поверхности пересекаются по окружностям перпендикулярным оси вращения. На рисунке 9.5 приведены некоторые из них. Именно то, что поверхности пересекаются по окружностям, которые проецируются в линии и используется в методе сфер.

Начертательная геометрия

Начертательная геометрия

Рассмотрим пример на рисунок 9.6. Даны поверхности вращения – конус и цилиндр. Так как оси лежат в одной плоскости, можно определить точки пересечения контурных образующих в точках 1 и 2, как в предыдущем примере. Однако, для нахождения промежуточных точек, вспомогательные секущие плоскости не подходят, т.к. горизонтальные плоскости рассекут цилиндр по эллипсам, фронтально-проецирующие – конус по эллипсам. А сам эллипс строить непросто. Поэтому именно в этом случае удобно использовать в качестве посредников – сферы. За центр вспомогательных сфер, принимается точка пересечения осей заданных поверхностей. Далее необходимо определить, размеры радиусов вспомогательных секущих сфер.

Максимальный радиус сферы

Rmax – это расстояние от центра сфер до наиболее удаленной точки пересечения контурных образующих (в данном случае точка 1). Минимальный радиус сферы Rmin – радиус сферы, которая вписана в одну из поверхностей, а другую пересекает. В данном случае минимальная сфера вписана в конус. Минимальная сфера касается поверхности конуса по окружности, а цилиндр пересекает по окружности. Нужно, иметь ввиду, что проекции окружностей пересечения перпендикулярны осям вращения. Эти две окружности пересекаются в точке 32. Фактически таких точек две, они совпадают на фронтальной проекции. Для построения промежуточных точек берем

Начертательная геометрия

рем вспомогательные сферы радиусов в пределах от Rmin до Rmax. Они пересекают и поверхность цилиндра, и поверхность конуса по окружностям, которые пересекаясь дают промежуточные точки. Полученные точки соединяются плавной линией. Здесь построена только фронтальная проекция. Для построения горизонтальной проекции, если это необходимо, точки строят как лежащие на окружностях полученных радиусов.

Теорема Монжа

Рассмотрим вариант, когда минимальная сфера касается двух поверхностей вращения. В этом случае для построения линии пересечения поверхностей используется теорема Г.Монжа, которая формулируется так: Если две поверхности вращения второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечении линий касания. В соответствии с этой теоремой линии пересечения конуса и цилиндра описанного около сферы (рисунок 9.7) будут плоскими кривыми – эллипсами, фронтальные проекции которых изображаются прямыми 1242 и 2232, проходящими через 5252‘ – точки линий пересечения окружностей касания.

Начертательная геометрия

Развертка поверхностей

  • • Развертка поверхностей. Общие сведения.
  • • Построение разверток развертываемых поверхностей: способом триангуляции, способом раскатки, способом нормального сечения.
  • • Построение приближенной развертки неразвертываемых поверхностей.
  • • Решение задач.

Развертка поверхностей

Общие сведения Разверткой поверхности называется плоская фигура, полученная путем совмещения элементов поверхности с плоскостью. Если для поверхности можно построить её развертку точно без складок и разрывов, то поверхность называется развертываемой, в противном случае – неразвертываемой. К развертываемым поверхностям относятся все гранные, а из линейчатых только – цилиндрические, конические и поверхности с ребром возврата.

Построение разверток развертываемых поверхностей

Существуют следующие способы построения разверток развертываемых поверхностей:

  • 1. Способ триангуляции (треугольников);
  • 2. Способ раскатки;
  • 3. Способ нормального сечения.

Способ триангуляции (треугольников) применяется для построения разверток пирамидальных и конических поверхностей. Они выполняются по одному принципу. Каждая грань пирамиды представляет треугольник и для построения развертки необходимо определить натуральные величины всех сторон треугольника. По найденным натуральным величинам сторон вычерчиваются последовательно треугольные грани. Коническая поверхность, заменяется вписанной в нее, пирамидальной и решение задачи ведется аналогично пирамиде. Рассмотрим пример, построения развертки, конической поверхности (рисунок 10.1) Для построения развертки в конус вписываем двенадцатигранную пирамиду. Т.к. по условию конус расположен симметрично относительно оси, построим половину развертки.

Образующие конуса имеют разную длину, поэтому натуральную величину определяем вращением до положения параллельного фронтальной плоскости проекций. Только образующие S1 и S7, проецируются в натуральную величину. По полученным натуральным величинам образующих и размерам хорд окружности основания, между образующими, строим половину развертки, состоящую из шести треугольников вписанной в конус пирамиды. Точки основания соединяем плавной кривой линией.

Начертательная геометрия

Способ раскатки применяется для построения разверток призматической и цилиндрической поверхности. И если поверхность цилиндрическая, то в нее вписывается призматическая поверхность. Поэтому принцип построения этих разверток одинаков.

Рассмотрим пример построения развертки наклонной треугольной призмы (рисунок 10. 2)

Развертку можно выполнять только в том случае, если боковые ребра призмы параллельны плоскости проекций, как на рисунке 10.2. В противном случае, сначала выполняется преобразование (методом замены строится новая проекция на плоскость параллельную ребрам). При выполнении развертки методом раскатки точки А2 , В2, С2 перемещаются по перпендикулярам к боковым ребрам призмы. А натуральные величины отрезков СВ, ВА, АС берутся из горизонтальной проекции, т.к. основание призмы параллельно плоскости П1. Боковые ребра остаются на развертке параллельными, т.к. каждая грань призмы является параллелограммом.

Начертательная геометрия

Способ нормального сечения используется также для построения разверток призматической и цилиндрической поверхностей. Рассмотрим построение развертки призмы изображенной на рисунке 10.3а. Для этого построим нормальное сечение – сечение перпендикулярное боковым ребрам призмы (∆1,2,3).

Определим натуральную величину этого сечения, расположив его параллельно плоскости проекций П1. Для построения развертки боковой поверхности призмы, строим периметр треугольника нормального сечения (рисунок 10.3б). Через точки сечения 1,2,3,1 проводим боковые ребра перпендикулярно сечению и откладываем на них натуральную величину, которая берется из фронтальной проекции рисунка 10.3а.

Соединив построенные точки, получим развертку боковой поверхности данной призмы (рисунок 10.3б).

Начертательная геометрия

Построение приближенной развертки неразвертываемых поверхностей

Когда надо развернуть неразвертывающуюся поверхность ее заменяют развертывающейся (цилиндрической, конической, одной или несколькими), имеющей общие линии с данной. Такая замена называется аппроксимацией, а полученная развертка – условной или приближенной. Рассмотрим построение такой развертки на примере полусферы (рисунок 10.4).

Начертательная геометрия

Полусферическую поверхность разделим меридиональными плоскостями на дольки (на 12 частей). По высоте сферу делим на несколько частей параллелями. Возьмем одну дольку, ось которой параллельна фронтальной проекции и развернем ее в плоскую фигуру, ось которой будет равна 1/4 длины окружности (рисунок 10.5).

Через точки 1,2,3,4 проводим перпендикуляры к оси дольки и на них откладываем от оси в обе стороны половину ширины каждой дольки измеренную на горизонтальной проекции. Полная развертка составит двенадцать таких долек.

Если развертывающаяся долька начинается с экватора, то на развертке линия экватора изобразится прямой (рисунок 10.5). Если же долька начинается какой-то параллелью, то на развертке эта параллель изобразится окружностью. Например, параллель, проходящая через точку 3. Для нахождения радиуса этой окружности на фронтальной проекции необходимо провести касательную прямую в точке 3, к окружности до пересечения с осью сферы Начертательная геометрия И при построении дольки через точку 3 проводим дугу радиуса Начертательная геометрия (рисунок 10.6).

Решение задач с примерами посмотроения по начертательной геометрии

Задача 1.

Построить развертку усеченного прямого кругового цилиндра (рисунок 10.7а)

Начертательная геометрия

Развертка боковой поверхности цилиндра строится фактически методом нормального сечения, т.к. основание цилиндра перпендикулярно оси. Окружность основания развертывается в прямую линию равную длине окружности (πD). Можно ее построить, отложив размер хорд, соединяющих точки основания. Конечно, длина будет тем точнее, чем на большее число частей разбита окружность. Кривая сечения на развертке изобразится синусоидой (рисунок 10.7б) Для построения полной развертки необходимо к развертке боковой поверхности добавить основание и натуральную величину сечения.

Задача 2.

Построить развертку усеченного прямого кругового конуса (рисунок 10.8а). Так как в прямом круговом конусе все образующие одинаковой длины, развертка представляет собой сектор окружности с радиусом равным длине образующей конуса ℓ, а длина дуги равная длине окружности основания конуса (рисунок 10.8б). Поэтому, разделив окружность основания на 12 частей и затем, отложив на дуге сектора таких же 12 частей, получим развертку.

Начертательная геометрия

Угол α также можно определить по формуле:

Начертательная геометрия

где d – диаметр основания.

Собственные тени поверхностей вращения • Тени основных геометрических форм цилиндра и конуса. • Тени поверхностей вращения. Способ касательных конусов и цилиндров. • Тени форм, применяемых в архитектурном проектировании: – тени сферы – тора (валика) – тороида (скоции)

Тени основных геометрических форм – цилиндра и конуса

Мы уже рассматривали построение собственных теней простейших геометрических поверхностей – цилиндра и конуса. Для цилиндра теневые образующие определяются двумя лучевыми плоскостями касательными к поверхности цилиндра. Для конуса теневые образующие определяются после построения падающей тени на плоскость основания. В данной лекции рассмотрены рациональные приемы определения границ собственной тени прямого кругового цилиндра (рисунок 11.1) и кругового конуса (рисунок 11.2).

Тень цилиндра может быть построена без плана, т.е. без горизонтальной проекции, что очень удобно в архитектурном проектировании. Теневые образующие проходят через точки А2, В2 отстоящие от оси цилиндра на 0,707 его радиуса (рисунок 11.1) Рациональный прием построения собственной тени кругового конуса приведен на рисунке 11.2. Для прямого конуса выполняются следующие построения (рисунок 11.2а). На основании конуса как на диаметре строится половина окружности. Из нижней точки окружности 1 проводится прямая 1,2 параллельная левой контурной образующей конуса. Из полученной точки 2 проводится прямые под углом 450 к основанию конуса до пересечения с окружностью в точках А и В. Спроецировав точки А и В на основание конуса, определим границы собственной тени А2 S2 , В2 S2.

Для перевернутого конуса, обратного, построения аналогичны предыдущему (рисунок 11.2б). Отличаются тем, что из точки 1 проводится прямая 1,2 параллельная правой образующей конуса.

Следует обратить внимание на величину части поверхности, находящейся в собственной тени: для прямого конуса она меньше половины, для обратного – больше.

Начертательная геометрия

Круговые конусы с наклоном образующих под углом 450 и 350 имеют важное значение при построении собственных теней поверхностей вращения.

Построение теней конуса с углом наклона образующей 450 приведено на рисунке

Начертательная геометрия

При построении падающей тени на плоскость основания фронтальная проекция луча совпадает на фронтальной проекции с контурной образующей конуса. Для дальнейшего использования необходимо запомнить, что тень занимает: у прямого конуса – четверть поверхности, у обратного – три четверти поверхности.

Построение теней конуса с углом наклона образующей 350 приведено на рисунке 11.5. На рисунке 11.4 показано построение угла 350. ABCD – квадрат. Строим прямоугольник со стороной равной диагонали квадрата. Диагональ этого прямоугольника наклонена к горизонтали под углом 350. Из построения тени конуса с углом наклона образующей 350 видно, что границей тени будет служить одна образующая SA (теоретически), располагающаяся на фронтальной проекции под углом 450. Практически прямой конус будет полностью освещен, а обратный – весь в тени. Образующая SA называется бликовой образующей. Положение образующих – границы тени таких двух конусов надо твердо усвоить, т.к. они будут часто встречаться в последующем, в качестве вспомогательных операций при построении теней.

Начертательная геометрия

Тени поверхностей вращения. Способ касательных конусов и цилиндров

Построение контура собственной тени поверхностей вращения осуществляется при помощи способа касательных конусов и цилиндров. Этот способ заключается в следующем: берется конус или цилиндр касательный к поверхности вращения (т.е. описанный или вписанный в данную поверхность); на окружности касания отмечаются точки границы собственных теней касательных поверхностей; эти точки будут принадлежать и границе собственной тени заданной поверхности на той же окружности прикосновения, т.е. на той же параллели. Используя, таким образом, несколько конусов и цилиндров, определяется необходимое количество точек контура собственной тени. Для поверхностей второго порядка достаточно восьми точек, используя один цилиндр (2 точки), прямой и обратный конус с образующей под углом 450 (4 точки), прямой и обратный конус с углом наклона образующей 350 (2 точки)

Начертательная геометрия

На рисунке 11.6 построения контура собственной тени выполнены следующим образом. Точки 1 и 2 получены как на цилиндре. Точки 3 и 4 найдены как на касательном конусе с углом наклона образующей 450 Точку касания 3 точно можно определить, проведя нормаль (радиус) из центра дуги очерка поверхности под углом 450. Точка 4 лежит на одной горизонтали с точкой 3. Точка 5 найдена как на касательном конусе с углом наклона образующей 350. Для ее построения из центра дуги очерка поверхности проводим прямую под углом 350 к оси поверхности вращения. Точка пересечения с очерком даст точку А – точку касания конуса с образующей под углом 350. Проводим из точки касания эту образующую перпендикулярно радиусу до пересечения с осью поверхности вращения в точке S. Из точки S проводим прямую под углом 450 до пересечения с основанием конуса (горизонталь проведенная через точку А2).

Промежуточные точки 6 и 7 найдены на линии касания конуса произвольного угла наклона образующей. Построение выполнено аналогично рисунку 11.2а. Тени форм, применяемых в архитектурном проектировании Тени сферы (рисунок 11.7)

Начертательная геометрия

Собственная тень проецируется на плоскость П2 и П1 одинаковыми эллипсами. На рисунке 11.7 показано построение эллипса на фронтальной проекции. Точки 1 и 2 находятся как на цилиндре. Точки 3 и 4, 5 и 6 – как на прямом и обратном конусе с углом образующей 450, причем диаметр 5,3 является большой ось эллипса. Точки 7 и 8 определяются на касательном конусе с углом образующей 350. Точки 9 и 10 строятся симметрично 7 и 8 относительно большой оси. Точки 11 и 12 принадлежат малой оси эллипса, которая перпендикулярна большой оси 5,3. Построение точек осуществляется следующим образом. Из точки 5 проводим дугу радиусом сферы до пересечения с контуром. Полученные точки соединяем с точкой 3. Эти прямые пересекут малую ось в точках 11 и 12.

Тени тора (валика) (рисунок 11.8).

Построение контура собственной тени на торе осуществляется по восьми точкам.

Начертательная геометрия

Точки 1 и 2 определяются как на цилиндре. Точки 3 и 4, 5 и 6 определяются как на прямом и обратном конусе с углом наклона образующей 450. Точки 7 и 8 получены на касательном прямом и обратном конусе с углом наклона образующей 350. Необходимо помнить, что вершина конуса всегда лежит на оси поверхности вращения.

Начертательная геометрия

Построение контура собственной тени скоции осуществляется также по восьми точкам. Только касательные конусы и цилиндр являются вписанными в данную поверхность. Точки 1 и 2 находятся как на цилиндре. Точки 3 и 4, 5 и 6 как на обратном и прямом конусе, соответственно, с углом наклона образующей 450. Высшая и низшая точки 7 и 8 определяются с использованием касательных конусов с углом наклона образующей под углом 350.

Построение падающих теней на комбинированных поверхностях вращения

Рассмотрим построение теней на комбинированной поверхности вращения типа «Ваза» (рисунок 12.1). Комбинированная поверхность состоит из тора, цилиндров, сферы, скоции. Для того, чтобы построить, падающие тени, прежде всего необходимо построить собственные тени, так как контур падающей тени, есть тень от контура собственной тени. Построение собственных теней элементов поверхности вазы были рассмотрены в предыдущей лекции №11: тор (рисунок 11.8), цилиндр (рисунок 11.1), сфера (рисунок 11.7), скоция (рисунок 11.9). Необходимо отметить некоторые закономерности контуров собственных теней: – на линии касания двух разных поверхностей контуры собственных теней этих поверхностей имеют точки перелома (точки 62 и 62‘ на линии касания цилиндра и сферы). Линия падающей тени при этом будет плавной; – когда две соосные поверхности имеют общую линию пересечения, то контуры собственных теней не будут иметь общей точки (точки D2 и 122 на линии пересечения сферы и цилиндра).

Далее приступаем к построению падающих теней. Тень от контура собственной тени тора 12 52 42 32 22 падает на освещенную поверхность цилиндра. Для ее построения используется метод вспомогательного осевого экрана. При этом точки 12 и 22 лежат на осевом экране. Точка 52, лежащая в лучевой плоскости, отбросит тень на ось (5t). Тень 4t и 3t от точек 42 и 32 строится методом выноса. Контур 12 5t 4t 3t 22 – контур тени падающей на фронтальный экран. Пересекая левую образующую цилиндра он дает точку А2t. На одной горизонтали с А2t находим В2t на оси. Высшая точка падающей тени 52t определяется следующим образом.

Находится горизонталь пересечения конуса с углом образующей 350 с цилиндром. Луч проведенный из точки 52 под углом 450 с этой горизонталью и дает точку 52t. Точку С2t – точку исчезновения тени – определяем обратным лучом, построив тень от образующей цилиндра на фронтальный экран. При этом нужно иметь ввиду, что линия контура падающей тени в точке исчезновения (С2t) должна быть касательна к проекции луча.

Начертательная геометрия

Далее строим тень, падающую от сферы на цилиндр. Тень начинается из точек E2 и D2. Строим тень от сферы на фронтальный экран. Контур тени, пересекая образующую цилиндра, дает точку N2t. Точку M2t находим на оси на одной горизонтали с N2t. Точку L2t определяем обратным лучом, построив тень образующей цилиндра на фронтальный экран. Нужно обратить внимание на то, что контур падающей тени Начертательная геометрия будет касательным к линии пересечения поверхностей сферы и цилиндра, а в точке L2t касательным к проекции луча. Далее строим тень от нижнего основания цилиндра, падающую на скоцию (тороид). Для этого строим тень от окружности на фронтальный экран – Начертательная геометрия

Пересекаясь с контуром скоции, она дает точки K2t и 16t. Точка R2t лежит на одной горизонтали с K2t. Для нахождения высшей точки падающей тени – 132t, точку 152 соединяем с 13t. Эта прямая является образующей конуса с углом 350. Строим горизонталь пересечения этого конуса с поверхностью скоции и находим на ней точку пересечения луча проведенного из точки 132. Соединя- ем полученные точки K2t 132t R2t 16t с таким расчетом, чтобы в точке исчезновения тени F2t, контур тени касался проекции луча.

Метод биссекторного экрана

В некоторых случаях для построения падающих теней на поверхностях вращения удобно использовать вспомогательный биссекторный экран. Эта биссекторная плоскость удобна тем, что тень на нее от горизонтальной окружности проецируется также окружностью радиуса 0,707 данной. Способ биссекторных экранов применяется в сочетании со способом обратных лучей. Для примера рассмотрим построения тени от круглой плиты на круглую колонну (рисунок 12.2). Тень от окружности плиты на биссекторный экран – окружность радиуса R. Тень от левой контурной образующей колонны падает на середину левого радиуса цилиндра Начертательная геометрия

Тень от бликовой образующей колонны 2 падает на ось цилиндра. Тень от средней образующей 3 падает на середину правого радиуса цилиндра. Тень образующей 5 совпадает с тенью образующей 3 при обратном луче. Находим точки пересечения теней образующих, падающих на биссекторный экран, с тенью от плиты и обратными лучами, определяем их положения на соответствующих образующих. На рисунке 12.2 горизонтальная проекция дана только для пояснения построений. Фактически построения могут быть выполнены только по фронтальной проекции.

Начертательная геометрия

Тень от квадратной плиты на колонну

Тень от квадратной плиты на цилиндрическую колонну (рисунок 12.3) фактически является тенью от двух прямых 1-2 – фронтально-проецирующей и 2-3 – профильно-проецирующей (по отношению к фасаду – продольной). Нам из предыдущего материала известно, что тень от продольной прямой зеркально повторяется план, т.е. является окружностью того же радиуса, что и колонна. А тень от проецирующей прямой совпадает с направлением луча. Поэтому очевидно, что построение тени можно выполнить по одной фронтальной проекции, т.е. фасаду.

Начертательная геометрия

Построение падающих теней на архитектурных деталях

Метод цилиндрических экранов Метод глубинных координат • Тени капители колонны. Способ цилиндрических экранов. Способ глубинных координат. • Тени в цилиндрической нише со сферическим верхом.

Начертательная геометрия

Построение тени капители (рисунок 13.1) представляет собой комплексную задачу, объединяющую ранее построенные тени на отдельных частях. Собственные тени на цилиндре и на валике (тор), падающая тень от валика на колонну (цилиндр) выполнена аналогично рисунку 12.1. А построение падающей тени от квадратной плиты на валик строится способом цилиндрических экранов или глубинных координат. Сначала построим тень, от квадратной плиты падающую на колонну.

Построение выполняется аналогично рисунку 12.3. В итоге, контур падающей тени на цилиндрической колонне, складывается из тени падающей от валика и квадратной плиты. Тень от продольной стороны квадрата представляет часть окружности радиуса R. Тень от проецирующей стороны квадрата совпадает с направлением луча, как на колоне, так и на валике. Необходимо построить тень от продольной стороны квадрата на валик. Точки 12t и 22t – точки исчезновения тени находим обратным лучом с фронтального осевого экрана.

Высшую точку 32t и низшую – 42t (мнимую) находим на параллелях проведенных из точек пересечения тени от проецирующей стороны квадрата на валике. Для построения промежуточных точек контура тени применяем вспомогательные цилиндрические экраны. Теневые точки 52t и 62t находим на линии пересечения цилиндрического экрана I с валиком, построив тень как на цилиндре радиуса R1. Аналогично строим теневые точки 72t и (82t), применив цилиндрический экран II радиуса R2. Полученные точки соединяем плавной кривой, учитывая, что в точках 12t и 22t лучи будут касательными к полученной кривой.

Промежуточные точки 52t, 62t и 72t, 82t можно также получить способом глубинных координат. Для этого берется ряд горизонтальных сечений. На примере сечение показано совпадающим с основанием цилиндрического экрана I. Для дальнейшего построения окружность сечения совмещается с фронтальной плоскостью. Определяется координата y, которая откладывается на линии сечения в обе стороны от оси для получения точек 52t и 62t. Аналогично строятся другие точки.

Тени в цилиндрической нише со сферическим верхом (рисунок 13.2) Прежде всего определяем контур собственной тени известными способами (рисунки 11.1, 11.7) Для построения падающей тени в данной комбинированной нише применяется метод фронтальных экранов. Суть метода заключается в том, что тень от окружности на плоскость ей параллельную является окружностью. Тень от контурной образующей цилиндра, а, следовательно, и от точки А падает на ось цилиндра. Необходимо определить промежуточные точки между В2 и А2t, принадлежащие контуру падающей тени от кромки сферической ниши – окружности. Для этого проводим ряд фронтальных экранов (I, II, III, IV). Строим линии пересечения фронтальных плоскостей (экранов) с поверхностью ниши. Определяем положение теней от центра окружности кромки ниши О на каждый из экранов. Из теней центров окружности выполняем засечки на соответствующих линиях сечения, радиусом сферы R.

Точка перегиба тени С, на окружности перехода поверхности цилиндра в поверхность сферы, может быть определена следующим образом. Из центра О проводим прямую с уклоном 2:1, которая определит положение точки С2 на кромке сферической ниши. Луч проведенный из точки С2 даст тень С2t.

Полученные точки соединяем плавной кривой линией.

Начертательная геометрия

Проекции с числовыми отметками. Область применения и сущность способа проецирования

Архитектор, проектируя здания и сооружения, всегда учитывает условия их расположения на отдельном участке местности. Нередко эти условия в определенной степени влияют на композиционные решения. Кроме чертежей, относящихся к зданию – планов, разрезов, фасадов и др. – проект должен включать все соображения по организации участка связи здания с рельефом местности. Эта часть проекта называется проектом вертикальной планировки. При разработке проекта вертикальной планировки требуется знания особого метода изображения объектов (рельефа), который получил название проекции с числовыми отметками. Сущность этого метода заключается в том, что объект (рельеф) ортогонально проецируется на одну горизонтальную плоскость. У проекций точек и линий ставятся числа, показывающие расстояния этих точек и линий от условно принятой плоскости проекции, которая называется нулевой. Эти числа и называются числовыми отметками.

Проекции точек

На рисунке 14.1 изображена горизонтальная основная плоскость П0. Точка А находится над плоскостью на высоте четырех единиц масштаба. А3 – проекция точки А на плоскость П0, где 3 – числовая отметка.

Точка С лежит на плоскости П0, поэтому ее проекция – С0. Точка В находится под плоскостью, поэтому ее проекция – В-2, где отметка 2 со зна- ком (-). Для перехода к плоскому чертежу, плоскость П0 совмещается с плоскостью чертежа, граница плоскости не указывается. На чертеже обязательно указывается масштаб. Числовая отметка каждой точки, по сути, заменяет фронтальную проекцию, т.е. соответствует коорди- нате Z (рисунок 14.2).

Начертательная геометрия

Проекции прямых. Определение натуральной величины и следа отрезка прямой

Прямая линия в проекциях с числовыми отметками задается своей проекцией на основную плоскость и отметками двух ее точек (рисунке 14.3). Эта прямая является прямой общего положения. Для нее можно, как и в ортогональных проекциях, определить натуральную величину, след на плоскости П0 и углом наклона к плоскости. Если прямую АВ совместить с плоскостью П0 вращением вокруг проекции А2В5, получим натуральную величину. При этом высоты точек необходимо в масштабе чертежа отложить на перпендикулярах к проекции прямой. Прямая, соединяющая полученные точки равна истинной величине отрезка. Точка пересечения натуральной величины отрезка с ее проекцией является горизонтальным следом Н0.

Угол между натуральной величиной и проекцией (φ), является истинной величиной угла наклона прямой к плоскости П. Градуирование прямой Градуирование прямой – построение на проекции прямой последовательного ряда точек с разностью отметок равной единице.

Начертательная геометрия

Если концы отрезков имеют целые числовые отметки, то градуирование можно произвести делением отрезка на равные части (рисунок 14.4). В противном случае лучше использовать способ “палетки“. Для этого параллельно прямой, проводим ряд прямых, отстоящих друг от друга на равном расстоянии произвольной величины (рисунок 14.5). Принимаем их за линии уровня и на перпендикулярах находим положение концов отрезка, аналогично нахождению натуральной величины. Отрезок АB пересекаясь с горизонталями даст положение точек с целями числовыми отметками, которые перепроицируем на проекцию прямой.

Начертательная геометрия

Интервал и уклон прямой

Расстояние между двумя точками горизонтальной проекции называется горизонтальным проложением L. На рисунке 14.6 – А2.5В4.2 . А расстояние измеренное по вертикали между этими точками, т.е. разность высот называется превышением (J). Уклоном прямой называется, отношение превышения и горизонтальному проложению. На рисунке 14.6 Начертательная геометрия Фактически это тангенс угла наклона прямой к основной плоскости П0. Интервал прямой – это заложение при превышении равном единице (ℓ). Начертательная геометрия Из этих отношений видно, что интервал величина обратная уклону: Начертательная геометрия Прямую таким образом можно задать направлением прямой, проекцией одной точки и ее интервалом или уклоном.

Прямые частного положения (рисунок 14.7) Если прямая параллельна плоскости, то она задается двумя точками с одинаковыми отметками (прямая АВ), вертикальная же прямая, т.е. перпендикулярная к плоскости П0, задается точкой с двумя разными отметками (прямая СD).

Взаимное положение двух прямых

Рассмотрим условия, при которых прямые будут взаимно параллельны, пересекающиеся или скрещивающие. Прямые взаимно параллельны, когда их проекции параллельны, уклоны (интервалы) взаимно равны и отметки возрастают в одну сторону (рисунок 14.8). Если прямые взаимно пересекаются, то их проекции также пересекаются в точке, которая, будучи отнесена к каждой из прямых имеет одинаковую отметку (рисунок 14.9). Если проекции прямых не удовлетворяют ни одному из этих условий, прямые являются скрещивающимися.

Начертательная геометрия

Проекции плоскостей. Задание плоскостей. Взаимное положение двух плоскостей

Плоскость в проекциях с числовыми отметками, также как и в ортогональных проекциях, может быть задана проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой, проекциями прямой и точки вне ее, проекциями двух параллельных или пересекающихся прямых или проекцией какой-либо плоской фигуры. Кроме этого, плоскость в проекциях с числовыми отметками можно задать масштабом уклонов. Рассмотрим рисунок 14.10.

Плоскость α является плоскостью общего положения. h0 – след плоскости α на плоскости П. Ряд горизонтальных плоскостей проведенных на расстоянии равном единице рассекут плоскость α по горизонталям (h1 , h2, h3 …). Линия наибольшего ската 0-3 перпендикулярна горизонталям. Проградуированная проекция линии наибольшего ската называется масштабом уклонов плоскости α и обозначается αi. Очевидно, что αi перпендикулярна следу плоскости h0 . Расстояние между проекциями смежных точек равно интервалу линии наибольшего ската, а следовательно и интервалу плоскости α. Через каждую из этих точек можно провести горизонталь перпендикулярно масштабу уклонов (рисунок 14.10). Угол φ между линией наибольшего ската и линией масштаба уклонов называется углом падения.

Начертательная геометрия

Угол ψ между направлением главного меридиана и следом плоскости (линией простирания), измеренной против часовой стрелки называется углом простирания.

Взаимное положение двух плоскостей

Две плоскости в пространстве могут пересекаться и быть взаимно параллельными. Если плоскости взаимно параллельны, то масштабы их уклонов взаимно параллельны, интервалы одинаковы и возрастают в одном направлении. Если масштабы уклонов не удовлетворяют хотя бы одному из этих условий, плоскости пересекаются.

Построение линии пересечения двух плоскостей в проекциях с числовыми отметками, как и в ортогональных проекциях, основано на методе вспомогательных секущих плоскостей. В качестве вспомогательных плоскостей берутся горизонтальные, которые пересекут заданные плоскости по одноименным горизонталям. Поэтому линию пересечения двух плоскостей находят определением точек пересечения двух пар горизонталей с одинаковыми отметками (рисунок 14.11).

Если углы наклона плоскостей к плоскости проекций одинаковы, то линия пересечения располагается по биссектрисе угла.

Начертательная геометрия

Для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью α, необходимо через прямую провести любую вспомогательную плоскость. Определить линию пересечения плоскости γ и вспомогательной. И затем определить точку пересечения прямой с построенной линией пересечения (рисунок 14.12).

Начертательная геометрия

Проекции поверхностей. Задание поверхностей. Пересечение поверхности плоскостью

В проекциях с числовыми отметками многогранники можно задать проекциями вершин с числовыми отметками. Например, на рисунке 14.13 изображена трехгранная пирамида, основание которой лежит на предметной плоскости. Если проградуировать одно из ребер пирамиды, можно получить горизонтали граней, а, следовательно, решать различные задачи. Кривые поверхности обычно задают проекциями их горизонталей. Например, прямой круговой конус может быть задан проекцией вершины и горизонталью основания (рисунок 14.14) проградиуровав, образующую можно провести ряд горизонталей конуса.

Начертательная геометрия

Топографическая поверхность (поверхность земли) может также задаваться горизонталями, только они являются незакономерными кривыми линиями, соединяющими точки с одинаковыми числовыми отметками (рисунок 14.15).

Начертательная геометрия

Пересечение поверхности плоскостью

Основной задачей при выполнении проекта вертикальной планировки, является задача на построение линии пересечения поверхности плоскостью и линии пересечения двух поверхностей. Принцип построении основан также на методе вспомогательных секущих плоскостей, которые рассекают и плоскость, и поверхность по одноименным горизонталям. Определив ряд точек пересечения одноименных горизонталей, получаем линию взаимного пересечения. На рисунке 14.16 дан пример построения линии пересечения плоскости β с рельефом земной поверхности.

Начертательная геометрия

Профиль поверхности

Пересечение топографической поверхности с проецирующей плоскостью называется профилем поверхности (рисунок 14.17). Секущая плоскость задана своей горизонтальной проекцией Е-Е. Для построения профиля выберем базовую горизонталь с отметкой, равной или немного ниже, минимальной отметки горизонтали местности, которая получается в сечении с плоскостью Е-Е. После проведения перпендикулярно следу плоскости линий связи, отложим на этих линиях отметки соответствующих горизонталей и соединим их плавной кривой. На профиль нанесем сетку горизонталей с учетом масштаба, принятого в плане.

Начертательная геометрия

Построение границ земельных работ. Построение сечения вертикальной плоскостью рельефа с планировкой профиля

Построить линию пересечения откосов горизонтальной строительной площадки с поверхностью земли. Отметка площадки +18.00. Уклон откосов выемки Начертательная геометриянасыпи Начертательная геометрия построить сечение вертикальной плоскостью рельефа с планировкой указанной плоскостью. Масштаб изображения 1 : 200 (рисунок 15.1) Для решения этой задачи, прежде всего, необходимо задать каждый откос площадки. Горизонталь поверхности земли 18 , является линией нулевых робот, а точки пересечения этой горизонтали с контуром площадки – точками нулевых работ. Слева от линии нулевых работ будет производиться выемка грунта, справа – насыпь. Каждый из откосов задаем масштабом уклонов, т.е. проводим линии наибольшего ската перпендикулярно кромкам площадки и градуируем их. Для этого определяем интервал выемки и насыпи : Начертательная геометрия

  • Строим линии пересечения откосов между собой. Так как плоские откосы имеют одинаковый уклон, линии пересечения будут биссектрисами углов 900. Линия пересечения конического откоса насыпи и плоского является параболой, поэтому для ее построения определяем точки пересечения одноименных горизонталей.

Откос выемки будет касаться к коническому откосу, линия касания горизонтальная. Далее находим линии пересечения каждого откоса с поверхность рельефа, для чего находим точки пересечения одноименных горизонталей откосов и земной поверхности. Для нахождения промежуточных точек, лежащих на линиях пересечения откосов, необходимо находить по одной мнимой точки за пределами откоса. Полученные линии пересечения, называются “границей земляных работ”. Для наглядности изображения линии бровки выделяются так называемыми “бергштрихами”, выполняемыми различной длины и толщины. “Бергштрихи” проводятся перпендикулярно горизонталям, а для конического откоса по радиусам, в сторону уклона. Сечение вертикальной плоскостью построено по линии А – А. На горизонтальной линии наносят точки пересечения этой плоскостью горизонталей рельефа и линий планировки и откладывают на вертикалях их отметки (рисунок 15.2). Соединив точки рельефа, получаем сечение рельефа, а соединив точки планировки, получаем сечение планировки.

Начертательная геометрия

Начертательная геометрия

Примеры и образцы решения задач:

  • Решение задач по инженерной графике
  • Решение задач по начертательной геометрии

Услуги по выполнению чертежей:

  1. Заказать чертежи
  2. Помощь с чертежами
  3. Заказать чертеж в компасе
  4. Заказать чертеж в автокаде
  5. Заказать чертежи по инженерной графике
  6. Заказать чертежи по начертательной геометрии
  7. Заказать черчение

Учебные лекции:

  1. Инженерная графика
  2. Оформление чертежей
  3. Чертеж общего вида и сборочный чертеж
  4. Техническое рисование
  5. Машиностроительные чертежи
  6. Геометрические построения
  7. Деление окружности на равные части
  8. Сопряжение линий
  9. Коробовые кривые линии
  10. Построение уклона и конусности
  11. Лекальные кривые
  12. Параллельность и перпендикулярность
  13. Методы преобразования ортогональных проекций
  14. Поверхности
  15. Способы проецирования
  16. Метрические задачи
  17. Способы преобразования чертежа
  18. Кривые линии
  19. Кривые поверхности
  20. Трёхгранник Френе
  21. Проецирование многогранников
  22. Проецирование тел вращения
  23. Развёртывание поверхностей
  24. Проекционное черчение
  25. Проецирование
  26. Проецирование точки
  27. Проецирование отрезка прямой линии
  28. Проецирование плоских фигур
  29. Способы преобразования проекций
  30. Аксонометрическое проецирование
  31. Проекции геометрических тел
  32. Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей
  33. Взаимное пересечение поверхностей тел
  34. Сечение полых моделей
  35. Разрезы
  36. Требования к чертежам деталей
  37. Допуски и посадки
  38. Шероховатость поверхностей и обозначение покрытий
  39. Разъемные и неразъемные соединения деталей
  40. Передачи и их элементы
Источник

Добавить комментарий