Как найти положение точки на траектории

Решение задачи (РГР) К1 «Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения» по разделу «кинематика» теоретической механики.

Пример определения для заданного момента времени положения точки на траектории, скорости, полного, касательного и нормального ускорения, радиуса кривизны траектории и вида траектории движения точки, если движение точки задано уравнениями.

Задача
Движение точки M задано уравнениями:
Уравнения движения точки в координатной форме
Требуется:
Установить вид траектории движения точки M, и для момента времени t = t1 = 0,5 с найти:

  1. положение точки на траектории,
  2. скорость, полное, касательное и нормальное ускорения,
  3. радиус кривизны траектории.

Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >

Решение

Расчет траектории движения точки

Уравнения движения можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки.

Другие видео

Чтобы узнать вид траектории в координатной форме, надо получить прямую зависимость между переменными x и y, для этого избавимся от параметра времени t, выразив его, например, из первого уравнения и подставив во второе.
Получение зависимости y от x
Получилось квадратное уравнение. То есть точка движется по параболе.
Построим траекторию движения, рассчитав несколько её точек.
Построение траектории движения точки

Положение точки на траектории

Определим положения точки в начале движения и в заданный момент времени.
Для этого в исходные уравнения подставляем соответственно сначала 0
Расчет начального положения точки
а затем, половину секунды.
Координаты точки на траектории в заданный момент времени
Положение точки на ее траектории в заданный момент обозначим буквой M, и все остальные параметры будем рассчитывать для неё.
Перемещение точки по траектории

Расчет скорости точки

Направление и величину скорости точки определим как векторную сумму её проекций на оси координат.
Вектор скорости точки
Здесь i, j — орты осей x и y.
vx, vy — проекции вектора скорости на оси координат.

Проекции вектора скорости получим, взяв первые производные по времени t от соответствующих заданных уравнений движения точки.
Проекции вектора скорости точки
Далее выбрав масштаб, из точки M последовательно и с учетом знака, откладываем оба вектора.
Проекции вектора скорости на оси координат
Сам вектор скорости получим, соединив точку M с концом второго вектора и направив его по ходу движения точки.
Направление вектора скорости точки
Здесь надо отметить, что вектор скорости всегда должен располагаться по касательной к траектории. Любое другое положение будет указывать на ошибки в расчетах.

Рассчитаем модуль вектора скорости
Расчет модуля вектора скорости

Расчет ускорений точки

Проекции полного ускорения точки на оси координат определяются как вторая производная от исходных уравнений движения точки.
Расчет проекций вектора полного ускорения
Здесь, ax, ay – проекции ускорения точки на оси координат.

В этом примере, горизонтальная проекция ускорения оказалась равной нулю, поэтому его модуль и направление будут совпадать с вертикальной.
Модуль полного ускорения
Проекции ускорения точки
Касательная составляющая полного ускорения это производная скорости точки по времени.

Ее можно рассчитать по этой формуле.
Модуль касательного ускорения точки
Вектор касательного ускорения всегда направлен по линии вектора скорости.
Нормальное, касательное и полное ускорения точки
Положительная величина говорит об ускоренном движении точки и тогда направления скорости и касательного ускорения совпадают.
В противном случае они разнонаправлены, и движение точки замедляется.

Модуль нормального ускорения определим по формуле Пифагора, так как векторы касательного и центростремительного ускорений всегда взаимно перпендикулярны.
Модуль нормального ускорения

Расчет радиуса кривизны траектории

Осталось найти только радиус кривизны траектории в точке M, который равен отношению квадрата скорости к модулю нормального ускорения.
Расчет радиуса кривизны траектории
Радиус кривизны траектории точки

Результаты расчетов

Результаты вычислений для заданного момента времени t1=0,5c приведены в таблице:
Результаты расчетов
На рисунке показано положение точки M в заданный момент времени и векторы скорости и ускорений в выбранном масштабе.
Кинематика точки в заданный момент времени

Вектор v строим по составляющим vx и vy, причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории.

Вектор a строим по составляющим ax и ay и затем раскладываем на составляющие векторы aτ и an. Совпадение величин aτ и an, найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит критерием правильности решения.

Другие примеры решения задач >

Уравнения
движения являются одновременно
уравнениями траектории точки в
параметрической форме. Для получения
уравнения траектории из уравнений
движения необходимо исключить параметр
t
:

sin
(t
) =
;
cos
(t
) =

. (1)

Если
обе части каждого равенства возвести
в квадрат и сложить, то получим уравнение
эллипса:



= 1. (2)

Горизонтальная
полуось эллипса =
2 м, вертикальная полуось эллипса b
= 4 м, а координаты его центра
= 3 м; =
0. Траекторию точки строим в масштабе
на рисунке (рисунок 3).

4.2.2 Определение положения точки на траектории

Для
определения положения точки на траектории
в уравнения ее координат подставляем
соответствующее время.

В
начальный момент времени при t
= 0 из этих уравнений получим:

=
3 м , =
4 м.

В
заданный момент времени при =
1 c:

=
2 sin


+ 3 = 4,4 м ;

=
4 cos


= 2,8 м.

По
вычисленным координатам показываем
положения точек ,

на
траектории (рисунок 3).

3.3.2.3 Определение скорости и ускорения точки

Скорость
и ускорение точки найдем по их проекциям
на оси координат

;
;
(3)

;
.
(4)

Тогда
начальный момент времени при t
= 0 получим:

м/с;;

=
1,57 м/с .;м/;

.

Рисунок 3

В
заданный момент времени при
: ; ;

;

; ;

.

Выбираем
масштаб скорости и ускорения и строим
векторы скорости и ускорения и их
проекции для точек
(рисунок 46). Величину выбранного масштаба
необходимо указать на рисунке.

4.2.4 Определение касательного, нормального ускорения точки

и радиуса кривизны траектории

При
движении точки по криволинейной
траектории ускорение точки можно
выразить через проекции на естественные
оси: касательную и нормаль ,

где

– касательное ускорение точки

;
(5)


нормальное ускорение ;
(6)

где

радиус кривизны траектории.

Нормальное
ускорение можно вычислить, зная полное
ускорение точки и его касательную
составляющую

.
(7)

Подставляем
в формулы (3.17), (3.18), (3.19) значения величин,
найденных для соответствующих моментов
времени. В начальный момент времени при
:

; ;

.

В
заданный момент времени при :

;
;

.

В
выбранном масштабе ускорений показываем
проекции ускорения точек
на естественные оси координат (рисунок
46), что позволяет осуществить проверку
решения.

На
графике необходимо иметь соблюдение
условия:

.

      1. Пример решения
        задачи К2

Механизм
состоит из ступенчатых колес 1 и 2,
связанных между собой ременной передачей,
колеса 2 и 3 находятся в зацеплении,
колесо 1 находится в зацеплении с зубчатой
рейкой 4, груз 5 находится на конце нити,
намотанной на шкив 3 радиуса
(рисунок 4).

Определить
скорости точек В и С, ускорение груза
5, ускорение точки А и угловое ускорение
колеса 2 в момент времени t
= 2 c,
если заданы закон движения рейки

и
размеры колес



Решение

1. Рейка 4 совершает поступательное движение по закону

Определим
скорость движения рейки .

При

Ускорение
рейки найдем из соотношения .

Знак
ускорения не совпадает со знаком
скорости, следовательно, рейка движется
замедленно.

2.
Точка К, лежащая на ободе колеса ,
движется со скоростью,

равной скорости
рейки, находящейся в зацеплении с
колесом, т.е.

Учитывая,
что ,
определим угловую скорость колеса 1:

.

При

.

Определим
угловое ускорение колеса 1: .

Ускорение точки
А ступенчатого колеса 1найдем из
выражения :

,
Скорость точки С, лежащей на ободе
колеса 3 радиуса ,
находим по формуле: .

5.Ускорение
груза 5 равно касательному ускорению
точки N
колеса 3:

.

6.
Найденные параметры движения точек и
звеньев механизма изображаем на рисунке
(рисунок 4).

где
.

.

.

Рисунок 4

3.
Колеса радиусов
и
связаны бесконечным ремнем. При отсутствии
проскальзывания скорости всех точек
ремня одинаковы, т.е.

а
угловые скорости и угловые ускорения
валов 1 и 2 обратно пропорциональны
радиусам колес:


, тогда

;

Скорость точки В,
лежащей на ободе колеса 2, рассчитываем
по формуле

.

4.
Колеса радиусов
и
находятся в зацеплении друг с другом,
поэтому угловую скорость и угловое
ускорение колеса 3 найдем из соотношений:

;
.

Содержание:

  1. Кинематика – основные понятия и определения
  2. Кинематика точки
  3. Способы задавания движения точки
  4. Векторный способ
  5. Координатный способ
  6. Натуральный способ
  7. Связь между различными способами задавания движения точки
  8. Скорость движения точки
  9. Определение скорости точки в случае задавания ее движения векторным способом
  10. Определение скорости точки в случае задавания ее движения координатным способом
  11. Скорость движения точки в декартовых координатах
  12. Скорость движения точки в полярных координатах
  13. Скорость точки с натурального способа задания ее движения
  14. Годограф скорости точки
  15. Ускорение движения точки
  16. Ускорение точки с векторного способа задания ее движения
  17. Ускорение точки при задании ее движения координатным способом
  18. Ускорение точки с натурального способа задавания ее движения
  19. Отдельные случаи движения точки
  20. Примеры на определение кинематических характеристик движения точки
  21. Задачи по кинематике с решениями и примерами
  22. Кинематика точки и её задачи
  23. Порядок решения задач по кинематике точки
  24. Примеры решения задач по кинематике точки с решением
  25. Задания темы К1
  26. К1.6. Пример решения задания темы К1
  27. Кинематика – полная лекция с формулами и теорией с примерами
  28. Кинематика точки
  29. Траектория и уравнения движения точки
  30. Координатный способ описания движения точки
  31. Определение траектории точки при координатном способе описания ее движения
  32. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе описания ее движения
  33. Порядок решения задач по кинематике точки
  34. Естественный способ описания движения точки
  35. Определение скорости и ускорения точки при естественном способе описания ее движения
  36. Краткие исторические сведенья про развитие кинематики
  37. Введение в кинематику
  38. Три способа задания движения точки
  39. Векторный способ
  40. Координатный способ
  41. Натуральный способ
  42. Скорость движения точки
  43. Скорость точки в прямоугольной декартовой системе координат
  44. Скорость точки в полярных координатах
  45. Скорость точки при натуральном способе заданный движения
  46. Секторная скорость
  47. Ускорение точки
  48. Определение ускорения в прямоугольной декартовой системе координат
  49. Ускорение точки в полярных координатах
  50. Ускорение точки при натуральном способе задания движения
  51. Отдельные случаи движения точки
  52. Криволинейные координаты. Коэффициенты Ламе
  53. Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах
  54. Основные понятия кинематики
  55. Кинематика материальной точки
  56. Способы задания движения материальной точки
  57. Векторный способ задания движения материальной точки
  58. Траектория движения точки
  59. Скорость движения точки
  60. Ускорение движения точки
  61. Координатный способ задания движения материальной точки
  62. Траектория движения точки
  63. Скорость движения точки
  64. Ускорение движения точки

Кинематика – это раздел механики, изучающий математическое описание движения идеализированных тел, без рассмотрения причин движения. Исходные понятия кинематики – пространство и время. Например, если тело движется по окружности, то кинематика предсказывает необходимость существования центростремительного ускорения без уточнения того, какую природу имеет сила, его порождающая. Причинами возникновения механического движения занимается другой раздел механики – динамика.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Кинематика – основные понятия и определения

Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение материальных объектов (точек и тел) без связи с причинами, которые вызывают это движение (не учитывается масса подвижного тела и силы, которые вызывают его движение).

Итак, в кинематике изучается механическое движение с геометрической точки зрения. Название «кинематика» происходит от греческого слова «кинема», что означает движение.

Под механическим движением понимается изменение положения одного твердого тела с течением времени по отношению к любому другому телу, которая происходит в пространстве. Это означает, что при изучении движения тела или точки мы должны указать, в отношении которого другого тела рассматриваем движение, то есть связать с последним систему отсчета и считать ее условно неподвижной. Выбор системы отсчета в кинематике произвольный и определяется целью исследования.

Движение одних тел относительно других происходит в пространстве и времени. Пространство в классической механике является абсолютным: оно везде непрерывное, однородное и изотропное , то есть свойства пространства в различных его точках одинаковы, а в каждой точке – одинаковые во всех направлениях.

Геометрические свойства пространства определяются системой аксиом и теорем Евклида. Пространство рассматривается трехмерным, в нем существует понятие о расстоянии между двумя точками или длины отрезка прямой. За единицу длины в системе СІ принято метр (м). Эталон метра был изготовлен в 1795 французским механиком Борда и сохраняется в Севре близ Парижа. Одна из копий международного стандарта метра находится в Палате мер в Москве.

Время в классической механике считается универсальным, то есть одинаковым в любых системах отсчета и независимым от движения одних систем отсчета относительно других. Время является скалярной непрерывно переменной величиной. За единицу времени принимается секунда (с), которая равна примерно 1/86 400 части средней земных суток (земные сутки – это период обращения Земли вокруг собственной оси и равна 24 ч.). При измерении времени в кинематике различают такие понятия, как начальный момент времени, промежуток времени, момент времени. Отсчет времени ведется от некоторого начального момента времени, выбор которого в каждой задачи оговаривается. Время,
проходит между двумя физическими явлениями, называется промежутком времени.

Граница между двумя смежными промежутками времени называется моментом времени.

Понятие об абсолютном пространстве и абсолютное (универсальное) время введено в науку основоположником классической механики И. Ньютоном в знаменитом труде «Математические начала натуральной философии» (1687). Согласно ньютоновской теории пространство и время существуют объективно, независимо друг от друга и не зависят от свойств движущейся материи.

В начале ХХ в. появляется релятивистская механика, основанная на теории относительности. Теория относительности развита в научных трудах Дж. К. Максвелла (1831-1879), Х. А. Лоренца (1853-1928), А. Пуанкаре (1854-1912) и А. Эйнштейна (1879-1955). Принципы теории относительности корне меняют понятие о пространстве и времени. Абстрактному пространству противопоставляется физическое пространство, в котором геометрические свойства пространства и свойства времени сочетаются со свойствами движущейся материи. Время не является универсальным, а имеет «местное» значение. Универсальной постоянной величиной для всех систем является скорость света. Однако
релятивистская механика не исключает классическую механику, а лишь указывает на ее ограниченность и несправедливость ее законов там, где скорость движения тела соизмерима со скоростью света.

Итак, евклидово пространство и универсальное время, принятые в классической механике, лишь приближенно отражают реальные свойства пространства и времени. Однако, как показывает опыт, для тел, скорости движения которых незначительны по сравнению со скоростью света, это приближение дает вполне достаточную для практики точность.

В кинематике используются понятия материальной точки, системы материальных точек, абсолютно твердого тела, которые были введены в статике. Понятие материальной точки и геометрической точки в кинематике совпадают, поскольку масса точки не учитывается. Поэтому в дальнейшем будем употреблять термин «точка». Кроме этих понятий, в кинематике следует различать между собой такие понятия, как перемещение и движение.

Перемещением точки или тела называется переход его в пространстве с одного положения в другое произвольным способом за определенный промежуток времени.
Перемещение полностью определяется начальным и конечным положением точки или тела и промежутком времени. Движением называется переход точки или тела из одного положения в другое определенным способом и в определенной зависимостю от времени. Это означает, что любому положению точки или тела в пространстве соответствует определенный момент времени. Эта связь между положением точки или тела в пространстве и времени определяется законом движения. Если можно определить положение точки или тела в пространстве в любой момент времени, то считается известным закон ее движения.

Основная задача кинематики заключается в том, чтобы, зная закон движения точки или тела, установить основные кинематические характеристики движения. К основным кинематическим характеристикам движения относятся траектории, скорости и ускорения точек тела, а также угловая скорость и угловое ускорение тела. Кинематика делится на кинематику точки и кинематику твердого тела. Изучение кинематики начинается с изучение движения отдельной точки, а затем изучают движение твердого тела.

Кинематика точки

Кинематика точки — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.

Способы задавания движения точки

Задать движение точки – это значит установить совокупность таких параметров, с помощью которых можно однозначно определить положение точки в пространстве в любой момент времени.

Движение точки в пространстве можно задать тремя способами: векторным, координатным и натуральным.

Векторный способ

Кинематика в теоретической механике

Положение точки в пространстве в каждый момент времени можно определить с помощью
радиус-вектора Кинематика в теоретической механикепроведенного с неподвижной точки О пространства в движущуюся точку М.

Каждому моменту времени t, а следовательно, и положению точки М, соответствует определенное значение радиусавектора Кинематика в теоретической механикето есть радиус-вектор является векторной
функцией времени Кинематика в теоретической механике

Уравнение (2.1) называют векторным уравнением движения точки. Оно одновременно является и уравнением траектории точки М.

Траекторией движения точки называется геометрическое место последовательных
положений подвижной точки в пространстве. В данном случае это будет геометрическое место концов радиус-вектора Кинематика в теоретической механикеточки М, то есть годограф радиусавектора Кинематика в теоретической механике. Следовательно, при векторном способе задавания движения точки траектории точки являются годограф радиус-вектора Кинематика в теоретической механике.

Векторный способ задавания движения точки преимущественно применяется при теоретических исследованиях.

Координатный способ

Кинематика в теоретической механике

Положение точки по отношению к любой системе отсчета полностью определяется ее координатами. Если задать координаты точки как известные функции времени в некоторой системе отсчета, то это дает определить ее положение в пространстве в произвольный момент времени. Таким образом задания движения точки называется координатным.

Рассмотрим движение точки в декартовой системе координат. Положение точки М в пространстве будет известным, если задано значение трех ее декартовых координат Кинематика в теоретической механике (рис. 2.2). Каждому моменту времени t соответствуют определенные значения координат точки Кинематика в теоретической механикеЧтобы определить положение точки в пространстве в произвольный момент времени, нужно задать зависимости

Кинематика в теоретической механике

Уравнение (2.2) являются уравнениями движения точки в координатной форме и
одновременно параметрическими уравнениями траектории точки. Исключив параметр t из этих уравнений, получим уравнение траектории движения точки в координатной форме.
Если точка движется в плоскости, то, приняв ее за плоскостьКинематика в теоретической механике будем иметь два уравнения движения

Кинематика в теоретической механике

В случае прямолинейного движения точки положения ее определяется одним уравнением

Кинематика в теоретической механике

при условии, что ось Кинематика в теоретической механике совпадает с траекторией точки.

Кинематика в теоретической механике

Если движение точки происходит в плоскости, то иногда целесообразно использовать полярную систему координат (рис. 2.3). Для этого из телом отсчета свяжем полярную ось Кинематика в теоретической механикеПоложение точки М будет известным, если заданы ее полярные координаты: радиус Кинематика в теоретической механике и полярный угол φ между полярной осью и направлением ОМ. Уравнения движения точки М задаются зависимостями

Кинематика в теоретической механике

Полярный угол φ считается положительным, если его отчисляют от полярной оси Кинематика в теоретической механике к радиусу r против часовой стрелки. Радиус r, как расстояние от точки О до точки М, имеет только положительное значение. Формулы, связывающие полярные координаты с декартовыми, имеют вид

Кинематика в теоретической механике

Координатный способ определения движения точки применяют как во время теоретических исследований, так и при решении конкретных задач.

Кроме декартовой и полярной систем координат в механике часто применяют еще и такие системы, как цилиндрическая и сферическая.

Натуральный способ

Пусть точка М описывает в пространстве некоторую кривую АВ (рис. 2.4), которая является траекторией точки. Для того, чтобы определить положение точки М на траектории в произвольный момент времени, выберем на ней начало отсчета О и установим положительный и отрицательный направления движения.

Кинематика в теоретической механике

Тогда положение точки М на траектории однозначно определится криволинейной координатой Кинематика в теоретической механике, которая называется дуговой координатой.

Каждому моменту времени соответствует определенное положение точки М на траектории, а следовательно, и определенное значение дуговой координаты, то есть,
дуговая координата является функцией времени

Кинематика в теоретической механике

Уравнение (2.7) выражает закон движения точки М по траектории, но не определяет положение ее в пространстве. 

Итак, по натуральному способу определения движения точки положения ее в пространстве задается совокупностью следующих параметров: траекторией точки, началом отсчета дуговой координаты, направлением положительного отсчета дуговой координаты, законом движения по траектории в виде (2.7).

Не следует утотожнюваты значение дуговой координаты с пройденным точкой путем. На рис. 2.5, а точка в начальный момент времени Кинематика в теоретической механикенаходилась в положении Кинематика в теоретической механике а в момент времени t – в положении М.

Кинематика в теоретической механике

Значение дуговой координаты Кинематика в теоретической механике, а пройденный точкой путь Кинематика в теоретической механике Значение дуговой координаты и пройденный точкой путь совпадают только тогда, когда движение точки начинается с начала отсчета О и происходит в одном направлении по незапертой траектории (рис. 2.5, б).

Заметим, что функции, которые входят в равенства (2.1), (2.2), (2.5), (2.7), по самой природе движения должны быть однозначными, непрерывными и хотя бы дважды дифференцированными.

Связь между различными способами задавания движения точки

Между различными способами задания движения точки существует взаимосвязь. Установим его между векторным и координатным способами.

Пусть задано векторное уравнение движения точки (2.1), где радиус-вектор Кинематика в теоретической механике отложенный от недвижимого центра А. Выберем декартову систему координат, начало которой совместим с центром О (рис. 2.6).

Кинематика в теоретической механике

Тогда координаты точки М равны проекциям радиус-вектора Кинематика в теоретической механике этой же точки на координатные оси

Кинематика в теоретической механике

Если же, наоборот, задано уравнение (2.2), а нужно составить векторное уравнение, то, введя орты координатных осейКинематика в теоретической механике (рис. 2.6), получим

Кинематика в теоретической механике

Покажем, что существует связь между координатным и натуральным способами определения движения точки. Пусть движение точки задано уравнениями (2.2), которые одновременно являются и параметрическими уравнениями траектории. Исключив из них параметр t, получим уравнение траектории. Решая, например, последнее уравнение
системы (2.2) по t, получим Кинематика в теоретической механике Подставляя это соотношение в первые два уравнения, получим

Кинематика в теоретической механике

Как известно из аналитической геометрии, линии в пространстве отвечают два уравнения с тремя координатами, то есть уравнение (2.10) являются уравнениями траектории точки в декартовых координатах.
Установим закон движения по траектории. Пусть за промежуток времени dt произошел прирост дуговой координаты dS, равный дифференциала длины дуги S. По известным формулам дифференциальной геометрии элемент дуги dS исчисляется

Кинематика в теоретической механике где Кинематика в теоретической механикедифференциалы координат точки, определяемые Кинематика в теоретической механике

Тогда Кинематика в теоретической механике

Замечания. В механике производная по времени обозначается точкой над функцией. Например,Кинематика в теоретической механике 

Интегрируя выражение (2.11) в промежутке от Кинематика в теоретической механике до бегущей значение t, получим закон движения точки по траектории Кинематика в теоретической механике

Знак «плюс» или «минус» перед интегралом ставится в зависимости от направления движения точки: если точка движется в сторону выбранного положительного направления отсчета дуговой координаты, то ставится знак «плюс», в противном случае – «минус». Начало отсчета дуговой координаты совпадает с начальным положением точки на траектории.

Скорость движения точки

Одной из основных кинематических характеристик движения точки является ее скорость. Скоростью точки называется векторная величина, которая характеризует в каждый момент времени изменение положения и направление движения точки в данной системе отсчета.
Определим скорость точки при различных способах задания ее движения.

Определение скорости точки в случае задавания ее движения векторным способом

Пусть в момент времени t положение точки М определяется радиусомвектором Кинематика в теоретической механике а в момент Кинематика в теоретической механике радиусом-вектором Кинематика в теоретической механике (рис. 2.7). Тогда перемещение точки за промежуток времени Кинематика в теоретической механике определится вектором Кинематика в теоретической механике который будет направлен по хорде Кинематика в теоретической механике 

Кинематика в теоретической механике

Из рис. 2.7 видно, что Кинематика в теоретической механике то есть вектор Кинематика в теоретической механикеперемещения точки М является приростом Кинематика в теоретической механике радиус-вектора Кинематика в теоретической механике за промежуток времени Кинематика в теоретической механике

Введем понятие о средней скорости точки за некоторый промежуток времени. Отношение вектора перемещения Кинематика в теоретической механике к промежутку времени Кинематика в теоретической механикеза который произошло это перемещение, называется средней скоростью точки

Кинематика в теоретической механике

Вектор Кинематика в теоретической механике совпадает по направлению с вектором Кинематика в теоретической механике Очевидно, что чем меньший промежуток Кинематика в теоретической механике тем точнее средняя скорость Кинематика в теоретической механике будет характеризовать движение точки. Чтобы получить действительную характеристику движения, введем понятие скорости точки в заданный момент времени. Скоростью точки в данный момент времени называется векторная величина, которая является границей, к которой следует Кинематика в теоретической механике при Кинематика в теоретической механике.

Кинематика в теоретической механике

Итак, вектор скорости точки в заданный момент времени равен первой производной по времени от радиус-вектора точки

Кинематика в теоретической механике

Поскольку при Кинематика в теоретической механике точка Кинематика в теоретической механике приближается к точке М, а хордаКинематика в теоретической механике – до касательной, проведенной в точке к траектории движения, то и вектор скорости Кинематика в теоретической механике в заданный момент времени направляется по касательной к траектории в сторону движения точки. То есть, вектор скорости точки Кинематика в теоретической механике направленный по касательной к годографу радиус-вектора Кинематика в теоретической механике
Единицей измерения скорости в системе СІ является метр в секунду (м / с).

Определение скорости точки в случае задавания ее движения координатным способом

При координатном способе задания движения точки модуль и направление скорости находят через проекции ее на оси координат, согласно следующей теореме: проекции скорости точки на неподвижные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Скорость движения точки в декартовых координатах

Рассмотрим определение скорости точки в случае задавания ее движения координатным
способом в декартовой системе координат. 

Пусть движение точки М задано в системе координат Кинематика в теоретической механике уравнениями (2.2). Тогда, согласно с (2.9), имеем Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Учитывая, что орты Кинематика в теоретической механике Кинематика в теоретической механикепостоянные для выбранной системы координат по величине и направлению, скорость точки согласно (2.15) равна Кинематика в теоретической механике

С другой стороны, разложив вектор скорости Кинематика в теоретической механикена компоненты по осям координат (рис. 2.8), получим Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике проекции вектора скорости Кинематика в теоретической механике на координатные оси.

Сравнивая формулы (2.16) и (2.17), находим Кинематика в теоретической механике

Итак, проекции вектора скорости точки на оси декартовой системы координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки.

Как видно из рис. 2.8, модуль вектора скорости и его направляющие косинусы определяются по формулам

Кинематика в теоретической механике

Формулы (2.18) и (2.19) аналитически определяют вектор скорости точки в декартовой системе координат.

Скорость движения точки в полярных координатах

Рассмотрим способ определения скорости точки, когда ее движение задано в полярных координатах уравнениями (2.5). Для этого введем единичные вектора: Кинематика в теоретической механике который
направлен по радиусу ОМ от точки О до точки М, и Кинематика в теоретической механикенаправление которого получим поворотом вектора Кинематика в теоретической механике на угол Кинематика в теоретической механике в направлении роста угла φ, то есть против хода
часовой стрелки (рис. 2.9).

 Кинематика в теоретической механике

Тогда Кинематика в теоретической механике. Скорость точки согласно (2.15) Кинематика в теоретической механике

Выразим векторы Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике через ортыКинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механикедекартовых координат и полярный угол φ

Кинематика в теоретической механике

Найдем производные по времени от полученных выражений для Кинематика в теоретической механикеиКинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Тогда формула (2.20) принимает вид Кинематика в теоретической механике

Выражение (2.22) является расписанием вектора скорости точки на две составляющие,
которые называются соответственно радиальной Кинематика в теоретической механикеи трансверсальной Кинематика в теоретической механике скоростями (рис. 2.9)

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике

Проекции радиальной и трансверсальной скоростей на оси полярной системы координат, положительные направления которых совпадают с направлениями единичных векторов Кинематика в теоретической механике
  и Кинематика в теоретической механикеравны

 Кинематика в теоретической механике

В зависимости от знаков производных Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике радиальная и трансверсальная скорости могут быть положительными и отрицательными. Модуль и направление вектора скорости точки найдем по формулам 

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механикеугол образованный вектором скорости Кинематика в теоретической механикес положительным радиальным направлением.

Скорость точки с натурального способа задания ее движения

Определим скорость движения точки, считая, что движение задано натуральным способом, то есть известные траектория движения, начало и направление отсчета дуговой координаты и уравнения движения точки по траектории Кинематика в теоретической механике Положение точки на траектории определим соответствующим радиусом-вектором Кинематика в теоретической механике который будет функцией дуговой координаты (рис. 2.10), то есть Кинематика в теоретической механике

Поскольку дуговая координата является функцией времени, то радиус-вектор Кинематика в теоретической механике будет
сложной функцией времени

 Кинематика в теоретической механике

Если за промежуток времени Кинематика в теоретической механике точка переместится из положения Кинематика в теоретической механике в Кинематика в теоретической механике то Кинематика в теоретической механикеесть приростом дуговой координаты, а Кинематика в теоретической механике является приростом радиусавектора Кинематика в теоретической механикекоторый равный Кинематика в теоретической механике На основании формул (2.14) и (2.26)
вектор скорости Кинематика в теоретической механике определится

Кинематика в теоретической механике

Рассмотрим векторную величинуКинематика в теоретической механике

Как известно из дифференциальной геометрии, предел отношения длины дуги до хорды, что стягивает ее, по модулю равен единице, а предельное положение хорды Кинематика в теоретической механике совпадает с касательной к кривой в точке M, поэтому Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике единичный вектор касательной к кривой, направленный в сторону увеличения дуговой координаты.

Действительно, при Кинематика в теоретической механике векторКинематика в теоретической механике направленный в сторону увеличения дуговой
координаты (рис. 2.10, а), а при Кинематика в теоретической механикевектор Кинематика в теоретической механике направленный противоположно вектору Кинематика в теоретической механике (рис. 2.10, б). Итак, в обоих случаях направление вектора Кинематика в теоретической механикене зависит от знака дуговой координаты и направляется в сторону увеличения дуговой координаты. 

Кинематика в теоретической механике

Учитывая вышеизложенное, формулу (2.27) можно записать в виде Кинематика в теоретической механике

Модуль (величина) скорости

 Кинематика в теоретической механике

Формула (2.27) определяет вектор скорости точки с натурального способа задания ее движения. Умножив скалярно почленно это равенство на вектор Кинематика в теоретической механике получим

Кинематика в теоретической механике

или, поскольку Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Итак, производная Кинематика в теоретической механике  является проекцией вектора скорости на касательную к
траектории и формулу (2.27) можно записать в виде Кинематика в теоретической механике

Алгебраическое значение скорости точки – это проекция вектора скорости на касательную ось. Она определяется формулой (2.30). 

Если Кинематика в теоретической механике то точка движется в направлении роста дуговой координаты и направление скорости Кинематика в теоретической механикесовпадает с направлением орта Кинематика в теоретической механикеПри Кинематика в теоретической механике точка движется в направлении падения дуговой координаты и вектор скоростиКинематика в теоретической механикепротивоположный направлению орта Кинематика в теоретической механике

Годограф скорости точки

Пусть точка М движется по криволинейной траектории. скорость точки при этом будет меняться как по величине, так и по направлению. На рис. 2.11, а показан ряд положений точки М на траектории и ее скорости Кинематика в теоретической механике в этих положениях.

Кинематика в теоретической механике Кинематика в теоретической механике

Выберем произвольную неподвижную точку Кинематика в теоретической механике в пространстве и перенесем к ней
параллельно самим себе векторы скоростей (рис. 2.11, б).Поскольку вектор Кинематика в теоретической механике является непрерывной функцией времени, то в конце перенесенных векторов образуют кривую, которая называется годографом вектора скорости. 

Итак, годографом скорости называется геометрическое место концов векторов скорости подвижной точки, отложенных от произвольной точки пространства.

Найдем уравнение годографа скорости. Для этого через неподвижную точку Кинематика в теоретической механикепроведем оси декартовой системы координат Кинематика в теоретической механике (Рис. 2.12).

Кинематика в теоретической механике

Радиусом-вектором произвольной точки N на годограф будет вектор скорости Кинематика в теоретической механике а координаты точки равны проекциям вектора Кинематика в теоретической механикена оси координат:

Кинематика в теоретической механике

Параметрические уравнения годографа скорости точки запишем в виде: 

Кинематика в теоретической механике

Ускорение движения точки

Рассмотрим ускорение точки, которое также является одной из основных кинематических характеристик ее движения. Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение вектора скорости точки по величине и направлению с течением времени. Найдем ускорение точки при различных способах задания ее движения.

Ускорение точки с векторного способа задания ее движения

Пусть подвижная точка М в момент времени t имеет скорость Кинематика в теоретической механике а в момент времениКинематика в теоретической механике и занимает положение Кинематика в теоретической механике(Рис. 2.13, а).

Кинематика в теоретической механике

Найдем прирост Кинематика в теоретической механикевектора скорости за промежуток времени Кинематика в теоретической механике Для этого перенесем к точке М вектор Кинематика в теоретической механике оставляя неизменными его модуль и направление, и Кинематика в теоретической механике найдем как разность векторов Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Отношение прироста вектора скорости Кинематика в теоретической механикедо времени Кинематика в теоретической механике за который происходит этот прирост, называется вектором среднего ускорения точки за этот промежуток времени:

Кинематика в теоретической механике

Формула (2.31) указывает на то, что вектор Кинематика в теоретической механике имеет такой же направление, как и вектор Кинематика в теоретической механикеИзобразим его на рис. 2.13, а в точке М. Видим, что вектор Кинематика в теоретической механике направлен в сторону вогнутости траектории. Очевидно, что вектор среднего ускорения отражает изменение скорости тем точнее, чем меньшем промежутке времени он отвечает. Поэтому естественно рассмотреть границу, к которой приближается среднее ускорение Кинематика в теоретической механике
когда соответствующий промежуток времени Кинематика в теоретической механикестремится к нулю. Эту границу называют ускорением точки в заданный момент времени:

Кинематика в теоретической механике

Зависимость (2.32) с учетом (2.15) запишем в виде 

Кинематика в теоретической механике

Итак, вектор ускорения точки в заданный момент времени равна первой производной по времени от вектора скорости точки, или второй производной по времени от радиус-вектора этой точки.

Установим направление вектора ускорения. Для этого построим годограф вектора скорости на рис. 2.13, б. Вектор среднего ускорения Кинематика в теоретической механикенаправленный по хорде Кинематика в теоретической механикеКогда Кинематика в теоретической механике то точка Кинематика в теоретической механике приближается к точке N и секущая Кинематика в теоретической механике совпадает в предельном положении с касательной к годографа скорости. Из этого следует, что вектор ускорения точкиКинематика в теоретической механике направляется по касательной к годографа скорости. Если этот вектор перенести на траекторию движения точки (рис. 2.13, а), то видно, что он направлен в сторону вогнутости траектории. 

Стоит заметить, что приведенный выше способ нахождения направления ускорения представляет лишь теоретический интерес. во время практического решения задач пользуются удобными методами нахождения направления ускорения, которые будут приведены ниже. Единицей измерения ускорения в системе СІ является метр в секунду в
квадрате Кинематика в теоретической механике

Ускорение точки при задании ее движения координатным способом

1. Ускорение движения точки в декартовых координатах

Определим ускорение точки в декартовой системе координат.

Кинематика в теоретической механике
Пусть движение точки М задано в системе координатКинематика в теоретической механике (рис. 2.14) уравнениями
Кинематика в теоретической механике Запишем выражение для радиуса-вектора движущейся точки Кинематика в теоретической механике

На основании (2.33) и, учитывая, что векторы Кинематика в теоретической механикеимеем Кинематика в теоретической механике

Разложим вектор Кинематика в теоретической механике на составляющие по осям координатКинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике проекции вектора ускорения на оси координат.
Сравнивая (2.34) и (2.35), получимКинематика в теоретической механике

Учитывая (2.18), формулы (2.36) можно записать в виде Кинематика в теоретической механике

Итак, проекции вектора ускорения на декартовы оси координат равны вторым производным по времени от соответствующих координат точки или первым производным по времени от проекций скорости на соответствующие оси.

Модуль вектора ускорения и его направляющие косинусы определяются по формулам Кинематика в теоретической механике

2. Ускорение движения точки в полярных координатах
Пусть движение точки М в плоскости задано в полярных координатах Кинематика в теоретической механике Используя равенство (2.22), определим ускорение точки в полярных координатах 

Кинематика в теоретической механике

Но согласно (2.21)

Кинематика в теоретической механике

Учтя выражения этих производных в формуле (2.39) и сведя подобные слагаемые, получим выражение для ускорения точки Кинематика в теоретической механике

Из формулы (2.40) видно, что проекции ускорения на радиальный и трансверсально направления соответственно равны

Кинематика в теоретической механике

Поскольку Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механикевзаимно перпендикулярны, то модуль полного ускорения найдем по формуле Кинематика в теоретической механике

Для определения направления вектора ускорения найдем угол γ, образованный вектором Кинематика в теоретической механике с положительным радиальным направлением

Кинематика в теоретической механике

Ускорение точки с натурального способа задавания ее движения

Прежде чем перейти к определению ускорения точки с натурального способа задания ее движения, напомним некоторые положения дифференциальной геометрии, касающихся теории кривых в трехмерном пространстве.

1. Натуральная система координат

Кинематика в теоретической механике

На пространственной кривой АВ, которая является траекторией движения точки, рассмотрим два близкие положение точки Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике (Рис. 2.15). Проведем в этих точках
касательные к кривой, орты которых обозначим соответственно Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механикеПеренесем вектор 
Кинематика в теоретической механикепараллельно самому себе в точку М и через векторы Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механикепроведем плоскость І. Предельное положение этой плоскости при приближении точки Кинематика в теоретической механике  к Кинематика в теоретической механике называется
ристической плоскостью.

Через точку М перпендикулярно к касательной Кинематика в теоретической механике проведем плоскость, которая называется нормальной плоскостью (плоскость ІІ на рис. 2.15). Очевидно, что любая прямая, проведенная в этой плоскости через точку М, будет перпендикулярна к Кинематика в теоретической механикето есть будет нормали кривой.

Линия пересечения ристической и нормальной плоскости называется главной нормалью кривой. Плоскость, проведенная через точку М перпендикулярно к главной нормали, называется спрямною плоскостью (плоскость ІІІ на рис. 2.15). Линия пересечения спрямнои и нормальной плоскости называется бинормаллю кривой. Соприкасающаяся, нормальная и спрямна плоскости образуют натуральный трехгранник.

Итак, в каждой точке кривой можно провести три взаимно перпендикулярные направления и принять их за координатные оси: касательную, направленную в сторону увеличения дуговой координаты; главную нормаль, направленную в сторону вогнутости кривой, и бинормаль, направленную перпендикулярно касательной и главной нормали так, чтобы образовывать с ними правую систему осей. Орты этих осей обозначаются соответственно Кинематика в теоретической механике Эти оси образуют натуральную систему координат с началом в подвижной точке, а следовательно, и движутся вместе с ней, оставаясь взаимно перпендикулярными.

2. Кривизна кривой

В п. 2.3.3 было показано, что орт Кинематика в теоретической механикекасательной оси направляется в сторону роста дуговой координаты и определяется по формуле

Кинематика в теоретической механике

Модуль орта Кинематика в теоретической механикепостоянный, равный единице, но направление Кинематика в теоретической механикеменяется при перемещении точки по криволинейной траектории, то есть орт Кинематика в теоретической механикеявляется изменяемым вектором. Поскольку его направление зависит от положения точки на траектории, то орт Кинематика в теоретической механикебудет векторной функцией дуговой координаты S, то есть Кинематика в теоретической механике

Проследим, чему равно отношение прироста орта Кинематика в теоретической механике к приросту дуговой координаты Кинематика в теоретической механике Для этого на криволинейной траектории движения точки возьмем два близких ее положения Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механикекоторым соответствуют значение дуговых координат (рис. 2.16)

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Проведем орты Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике касательных в этих точках. Определим прирост орта Кинематика в теоретической механике на участке дуги Кинематика в теоретической механике Для этого перенесем в точку М орт Кинематика в теоретической механике Как видно из рис. 2.16, Кинематика в теоретической механике

Разделив Кинематика в теоретической механике на прирост дуговой координаты Кинематика в теоретической механикеполучим векторКинематика в теоретической механике характеризующий поворот касательной к кривой на отрезке дуги Кинематика в теоретической механикеВектор Кинематика в теоретической механике направлен так, как вектор Кинематика в теоретической механикето есть в сторону вогнутости кривой и размещен в плоскости векторов Кинематика в теоретической механике Граница, к которой следует вектор Кинематика в теоретической механикепри Кинематика в теоретической механике называется вектором кривизны траектории в данной точке, то есть  Кинематика в теоретической механике

Определим модуль вектора кривизны Кинематика в теоретической механике Для этого рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный ортами Кинематика в теоретической механике и вектором Кинематика в теоретической механике (Рис. 2.16). Модуль вектора Кинематика в теоретической механикенайдем как длину основания в этом треугольнике Кинематика в теоретической механике

Угол Кинематика в теоретической механике образованный сторонами Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механикеназывается углом смежности. При малом расстоянии между точками Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике угол смежности также мал, а следовательно, Кинематика в теоретической механике

Тогда Кинематика в теоретической механике

С дифференциальной геометрии известно, что предел отношения угла смежности Кинематика в теоретической механикек приросту дуговой координатыКинематика в теоретической механике при Кинематика в теоретической механикеравна кривизне кривой K, то есть Кинематика в теоретической механике где ρ – радиус кривизны траектории в данной точке М. Итак, Кинематика в теоретической механике

Установим направление вектора кривизны Кинематика в теоретической механикеГраничным положением плоскости треугольника, образованного векторами Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике есть соприкасающаяся плоскость. Итак, вектор Кинематика в теоретической механике лежит в соприкасающихся плоскости. Угол β, образованный вектором
Кинематика в теоретической механике с касательной в точке М, определится из вышеперечисленного равнобедренного треугольника

Кинематика в теоретической механике

При приближении точки Кинематика в теоретической механике к точке М угол смежности Кинематика в теоретической механике направляется к нулю, поэтому

Кинематика в теоретической механике

Поскольку вектор кривизны лежит в соприкасающихся плоскости и перпендикулярно к орту Кинематика в теоретической механикето он направлен по главной нормали к центру кривизны кривой. Представим вектор кривизны Кинематика в теоретической механике в виде

Кинематика в теоретической механике

3. Определение ускорения движения точки. Касательное и нормальное ускорение

Определим ускорение точки с натурального способа задания ее движения. Используя формулы (2.33) и (2.28), получим Кинематика в теоретической механике

Определим, какой смысл имеет вектор Кинематика в теоретической механике Как было показано выше, вектор Кинематика в теоретической механикеявляется функцией дуговой координаты S, которая в свою очередь является функцией времени t. Итак, вектор Кинематика в теоретической механике можно рассматривать как сложную функцию времени t.
Поэтому Кинематика в теоретической механике

Учитывая формулы (2.47) и (2.45), выражение (2.46) запишем Кинематика в теоретической механике

Из формулы (2.48) следует, что ускорение состоит из двух векторов. Первое слагаемое Кинематика в теоретической механикеявляется вектором, направленным по касательной к траектории, и называется касательным ускорением Кинематика в теоретической механике 

Кинематика в теоретической механике

Второе слагаемое Кинематика в теоретической механикеявляется вектором, направленным по главной нормали, и называется нормальным ускорением Кинематика в теоретической механике 

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, полное ускорение точки равна векторной сумме касательного и
нормального ускоренного:

Кинематика в теоретической механике

Выясним, который кинематический смысл имеют две составляющие ускорения. Алгебраическое значение касательного ускорения согласно (2.49) и (2.30) можно записать в виде

Кинематика в теоретической механике

Как видно из формулы (2.52), касательное ускорение характеризует изменение скорости точки по величине и равна второй производной по времени от дуговой координаты или первой производной по времени от алгебраической величины скорости точки.

Направление касательного ускорения Кинематика в теоретической механике зависит от знака производной Кинематика в теоретической механике

Если знак производной совпадает со знаком алгебраической величины скорости Кинематика в теоретической механике
то вектор Кинематика в теоретической механике совпадает по направлению с вектором скорости Кинематика в теоретической механике(рис. 2.17, а) и движение точки будет ускоренным. В случае, когда знаки производной Кинематика в теоретической механике и алгебраической величины скорости Кинематика в теоретической механике разные, вектор Кинематика в теоретической механике напрямляеться противоположно вектору Кинематика в теоретической механике(рис. 2.17, б) и движение точки будет замедленным.

Кинематика в теоретической механике

Скалярный множитель в формуле (2.50) есть всегда положительным, поэтому величина (модуль) нормального ускорения равен 

Кинематика в теоретической механике

Вектор Кинематика в теоретической механикевсегда напрямляеться по главной нормали к центру кривизны и характеризует изменение скорости по направлению.

Поскольку векторы Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике перпендикулярны между собой, то модуль полного ускорения определим по формуле 

Кинематика в теоретической механике

Вектор полного ускорения Кинематика в теоретической механике напрямляеться по диагонали прямоугольника, построенного на векторах Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике а угол, образованный этим вектором с радиусом кривизны траектории ρ, определится по формуле 

Кинематика в теоретической механике

Замечания. Вектор полного ускорения Кинематика в теоретической механике лежит в соприкасающихся плоскостях, а это значит, что его проекции на оси натуральной системы координат равны:

Кинематика в теоретической механике

Если движение точки задано координатным способом, а необходимо определить ее касательное и нормальное ускорения, то сначала по формулам (2.19) и (2.38) определяют модули скорости и ускорения точки 

Кинематика в теоретической механике

Формуле (2.52) можно придать другой вид:

Кинематика в теоретической механике

или

Кинематика в теоретической механике

где знак «плюс» в ответе избирается, если Кинематика в теоретической механикеа знак «минус» – в противном случае.

Нормальное ускорение точки определяется по формуле (2.54) Кинематика в теоретической механике

Радиус кривизны траектории находим из формулы (2.53): 

Кинематика в теоретической механике

Зависимости для кинематических характеристик движения точки при различных
способах задания движения сведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Кинематические характеристики движения точки

Кинематика в теоретической механике

Отдельные случаи движения точки

Проследим, как зависит характер движения точки от значений касательного и нормального ускорение.

1. Если во время движения точки в течение некоторого промежутка времени ее нормальное и касательное ускорение равны нулюКинематика в теоретической механике то и полное ускорение точки на этом промежутке времени будет равно нулю Кинематика в теоретической механикеВ этом случае точка движется равномерно и прямолинейно Кинематика в теоретической механикеДействительно, если Кинематика в теоретической механикеа это значит, что траектория движения прямая. Когда Кинематика в теоретической механикето есть движение равномерное.

2. Если в течение некоторого промежутка времени касательное ускорение точки равно нулюКинематика в теоретической механике а нормальное ускорение не равно нулю Кинематика в теоретической механикето происходит изменение скорости точки только по направлению, то есть точка движется равномерно по криволинейной траектории Кинематика в теоретической механике В этом случае полное ускорение точки равно нормальному ускорению

Кинематика в теоретической механике

Найдем уравнение равномерного движения точки. Пусть в начальный момент времени точка находилась на расстоянии Кинематика в теоретической механике от начала отсчета на траектории. Из формулы (2.30) имеем 

Кинематика в теоретической механике

Интегрируя это уравнение в соответствующих пределах, получим:

Кинематика в теоретической механике

Уравнением равномерного движения точки по траектории будет

Кинематика в теоретической механике

Замечания. если Кинематика в теоретической механике только в определенный момент времени, то движение
точки неравномерно, а в данный момент времени скорость ее достигает экстремального значения (если Кинематика в теоретической механике меняет знак).

3. Если во время движения точки в течение некоторого промежутка времени нормальное ускорение точки равно нулю Кинематика в теоретической механикеа касательное ускорение не равно нулю Кинематика в теоретической механике то скорость точки Кинематика в теоретической механике а значит, Кинематика в теоретической механике и точка движется прямолинейно и неравномерно.

Ускорение точки в этом случае Кинематика в теоретической механике(рис. 2.18). причем, если направление векторов Кинематика в теоретической механике
и Кинематика в теоретической механике совпадает, то есть знаки Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике одинаковы, то движение точки будет ускоренным (рис. 2.18, а).

Если же направления векторов Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механикепротивоположные, то есть знаки Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике есть
разные, то движение точки будет замедленным (рис. 2.18, б). Если Кинематика в теоретической механикетолько в определенный момент времени, то движение точки не является прямолинейным. В этот момент времени она или проходит точку перегиба траектории Кинематика в теоретической механике (рис. 2.18, в), или
меняет направление движения на противоположноеКинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

4. Если в течение некоторого промежутка времени касательное и нормальное ускорение не равно нулю Кинематика в теоретической механике Кинематика в теоретической механике то скорость точки меняется как по величине, так и по направлению. В этом случае точка совершает криволинейное неравномерное движение. Модуль ускорение точки определим по формуле (2.54).

5. Если во время движения точки по траектории касательное и нормальное ускорение не равно нулю Кинематика в теоретической механикеи касательное ускорение постоянное по модулю, то есть Кинематика в теоретической механике то движение точки будет равномерным криволинейным.
Найдем уравнение равномерного движения точки по траектории, считая, что в начальный момент времени Кинематика в теоретической механике начальная скорость точки равнялась Кинематика в теоретической механике а начальное значение дуговой координаты Кинематика в теоретической механике
Согласно формуле (2.52) 

Кинематика в теоретической механике

Разделим переменные величины и проинтегрируем уравнение в пределах, что соответствуют начальном и бегущей положениям точки:

Кинематика в теоретической механике

Выражение (2.58) является законом изменения скорости по ровносменного движения точки.

Поскольку Кинематика в теоретической механикеилиКинематика в теоретической механике

Проинтегрируем последнее выражение и получим:

Кинематика в теоретической механике

откуда Кинематика в теоретической механике

Зависимость (2.59) является уравнением ровносменного движения точки по траектории.
ПриКинематика в теоретической механике движение будет равноускооренное при Кинематика в теоретической механике – ровнозамедленный.

Отдельные случаи движения точки в зависимости от ее кинематических параметров
приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Отдельные случаи движения материальной точки

Кинематика в теоретической механике

Примеры на определение кинематических характеристик движения точки

Задача 2.1. В механизме эллипсограф ползуны А и В соединены между собой линейкой АВ и могут двигаться по двум взаимно-перпендикулярных направлениях (рис. 2.19).

Механизм приводится в движение кривошипом ОС, который вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг точки О.
Найти уравнение траектории, скорость, уравнение годографа скорости и ускорения точки М линейки АВ, если: 

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Решение. Как было показано выше, для нахождения кинематических характеристик движения точки необходимо иметь уравнение ее движения, заданные одним из способов. В данной задачи уравнения движения точки М непосредственно не заданы, а потому
решения ее необходимо начинать с нахождения этих уравнений.

Составим уравнения движения точки в декартовой системе координат. для этого оси Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике направим вдоль ОВ и ОА. Найдем координаты Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механикеточки М, как функции времени t.
Из рис. 2.20 видно, что

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Согласно условию задачи Кинематика в теоретической механикеТогда уравнение движения точки М имеют вид Кинематика в теоретической механике

Для определения уравнения траектории точки М исключим время t из уравнений движения
(Здесь и далее индекс М не пишем) 

Кинематика в теоретической механике

Обе части этих равенств поднимем к квадрату и почленно добавим.
Получим 

Кинематика в теоретической механике

Итак, траектории точки М будет эллипс с полуосями а, b.

Для определения скорости точки М в произвольный момент времени используем формулы (2.18) и (2.19). тогда

Кинематика в теоретической механике

Направление вектора Кинематика в теоретической механике в любой момент времени определяется по формулам

Кинематика в теоретической механике

Найдем уравнение годографа скорости по формулам

Кинематика в теоретической механике

Исключим из этих уравнений параметр t:

Кинематика в теоретической механике

Годографом скорости является эллипс с полуосями Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике
Ускорение точки М найдем за его проекциями на оси координат по формулам (2.37), (2.38)

Кинематика в теоретической механике

Итак, ускорение точки пропорционально ее расстоянию от начала координат OM = r.
Направление вектора ускорения определим за направляющими косинусами

Кинематика в теоретической механике

Заметим, что в данной задаче величины Кинематика в теоретической механикеиКинематика в теоретической механикеявляются направляющими косинусами радиус-вектора Кинематика в теоретической механике точки М. Поэтому вектор ускорения Кинематика в теоретической механикенаправлен по линии ОМ, но противоположно вектору Кинематика в теоретической механикео чем свидетельствует знак минус при проекциях Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике

Задача 2.2. Движение точки задано уравнениями Кинематика в теоретической механике(X, у – в сантиметрах, t – в секундах). Определить уравнение траектории точки и для момента времени t = 2 с найти положение точки на траектории, ее скорость, осязаемое, нормальное и полное ускорения, а также радиус кривизны траектории в этом положении точки.

Решение. Заданные уравнения движения точки являются параметрическими уравнениями
траектории. Исключим из них время t и получим

Кинематика в теоретической механике

Поскольку время Кинематика в теоретической механике то уравнение траектории точки запишется

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Итак, траекторией точки является правая ветвь параболы (рис. 2.21). Покажем на ней положение точки М. При Кинематика в теоретической механике Определим проекции скорости точки на оси координат

Кинематика в теоретической механике

Модуль скорости точки равен Кинематика в теоретической механике

Ускорение точки определим аналогично по проекциями на оси координат

Кинематика в теоретической механике

Величина касательного ускорения по формуле (2.52) равна 

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Найдем нормальное ускорение точки по формуле Кинематика в теоретической механике

Радиус кривизны траектории в данной точке М по формуле (2.53) равна

Кинематика в теоретической механике

Векторы Кинематика в теоретической механике изображены на рис. 2.21.

Задача 2.3. Точка движется по окружности радиуса R = 20 см по законуКинематика в теоретической механике (S в сантиметрах, t – в секундах). Найти скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки в момент Кинематика в теоретической механике

Решение. Как видно из условия задачи, движение точки задано натуральным способом. Алгебраические величины скорости и касательного ускорения равны Кинематика в теоретической механике

При Кинематика в теоретической механике скорость Кинематика в теоретической механикекасательное ускорение Кинематика в теоретической механике

Таким образом, полное ускорение точки в данный момент времени равна ее нормальном ускорению Кинематика в теоретической механике

Задача 2.4. Самолет приземляется со скоростью 108 км / ч.  Проехав 100 м, он остановился. Считая движение самолета прямолинейным и ровнозамедленным определить его ускорения. 

Решение. Поскольку движение самолета ровнозамедленное то касательное ускорениеКинематика в теоретической механике Согласно формулам (2.58) и (2.59) Кинематика в теоретической механике

В данной задачи Кинематика в теоретической механике

Время движения самолета к остановке и пройденный им путь определим, принимая конечные условия движения: при Кинематика в теоретической механике

Тогда Кинематика в теоретической механике

Откуда Кинематика в теоретической механике

Поскольку Кинематика в теоретической механике то есть ровнозамедленное движение самолета.

Задачи по кинематике с решениями и примерами

В данной части кроме минимума теоретических знаний, какими должен овладеть студент по кинематике, приводятся примеры решения различных задач, исходные данные в
индивидуального расчетного-графического задания и образец его выполнения.

Задачи расчетно-графического задания охватывают материал следующих тем кинематики:

  • – кинематика точки (тема КИ);
  • – поступательное и вращательное движения тела (тема К2);
  • – плоское движение тела (тема К3);
  • – сложное движение точки (тема К4).

Задачи 1,3 и 4 объединены в общие выходные данными.

Графические построения к заданию по кинематике выполняются на листе бумаги формата А3.

Вариант расчетно-графического задания определяется двумя цифрами, которые представляют собой две последние цифры номера зачетной книжки или задаются преподавателем.

Для тем К1, К3 и К4 первая цифра шифра определяет номер варианта в таблице К1, а вторая – в таблице К2. Для темы К2 первая цифра шифра определяет номер рисунка (рис.
К2.2), а вторая – вариант в таблице К3.

Кинематика точки и её задачи

Краткие сведения из теории:

Кинематика – раздел теоретической механики, в котором изучаются геометрические свойства механического движения материальных тел без учета условий и причин, которые вызывают или меняют это движение, то есть без учета масс тел и сил  которые действуют на эти тела.

Основной задачей кинематики точки является обозначение ее движения и определения основных характеристик этого движения: траектории, пройденного пути, перемещения, скорости и ускорение в любой момент времени относительно выбранной
системы отсчета.

При координатном способе определения движения точки его кинематические уравнения выражены зависимостью координат точки от времени. В прямоугольной (декартовой) системе координат Кинематика в теоретической механике эти уравнения имеют вид:
Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике
Когда точка движется в плоскости, например, Кинематика в теоретической механике то система уравнений упрощается до двух:
Кинематика в теоретической механике
Траекторией точки называется линия, которая описывается подвижной точкой в пространстве. Траектория точки выражается уравнением в виде  зависимости между ее координатами:

Кинематика в теоретической механике

При координатном способе определения движения скорость точки определяется через ее проекции на координатные оси:

Кинематика в теоретической механике

а величина (модуль) скорости соответственно равна:
Кинематика в теоретической механике

Вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки. Единицей измерения скорости в системе СИ есть метр в секунду: Кинематика в теоретической механике

Ускорение точки – векторная величина, которая характеризует быстроту изменения скорости со временем.

При координатном способе определения движения точки проекции ускорения точки на координатные оси равны:
Кинематика в теоретической механике
Величина (модуль) ускорения вычисляется по формулой:
Кинематика в теоретической механике
Единицей измерения ускорения в системе СИ является метр в секунду в квадрате: Кинематика в теоретической механике
Если известна траектория точки и выбрана естественная система координат Кинематика в теоретической механике (ось Кинематика в теоретической механике направить за касательной, а ось Кинематика в теоретической механике перпендикулярно к Кинематика в теоретической механике в сторону центра кривизны) то ускорение точки (рис. К1.1) можно разложить на составляющие тангенциальную (или касательную) за осью Кинематика в теоретической механике и нормальную (или

центростремительную) по оси Кинематика в теоретической механике

Тангенциальное ускорение Кинематика в теоретической механике направленное вдоль касательной траектории и по модулю равна:
Кинематика в теоретической механике
При этом, если величины Кинематика в теоретической механике и V имеют одинаковые знаки, то векторы Кинематика в теоретической механике
и Кинематика в теоретической механике направлены в одну сторону, если же величины Кинематика в теоретической механике и V имеют разные знаки, векторы Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике направлены в разные стороны.

Если дифференцировать по времени выражение скорости точки при ее движении в плоскости Кинематика в теоретической механике то получим:

Кинематика в теоретической механике

Нормальное Кинематика в теоретической механике ускорение всегда направлено вдоль нормали до траектории в сторону центра кривизны и равняется:
Кинематика в теоретической механике
где Кинематика в теоретической механике радиус кривизны траектории в данной точке.

Полное же ускорение через нормальную и тангенциальную составляющую соответственно равно:

Кинематика в теоретической механике
 

Порядок решения задач по кинематике точки

При решении задач на определение скорости и ускорение точки нужно придерживаться следующего порядка:

1. Выбрать систему координат.

2. Составить уравнение движения точки в выбранной системе координат.

3. Дифференцируя уравнение движения точки определить проекции вектора скорости на оси координат, его величину и направление.

4. Дифференцируя уравнение проекции скорости, определить проекции вектора ускорения на оси координат, его величину и направление.

Примеры решения задач по кинематике точки с решением

Задача 1

Движение точки на плоскости определяется уравнениями:
Кинематика в теоретической механике
Определить уравнение траектории и направление движения точки.
 

Решение.  Уравнение траектории указано в параметрической форме, координаты Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике зависят от параметра Кинематика в теоретической механике (времени).

Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, то есть в виде зависимости Кинематика в теоретической механике необходимо исключить из обоих уравнений движения время Кинематика в теоретической механике

Возведем квадрат левые и правые части уравнений движения:
Кинематика в теоретической механике
или
Кинематика в теоретической механике
Добавим эти уравнения:
Кинематика в теоретической механике
Поскольку 

Кинематика в теоретической механике
Уравнением траектории точки является эллипс с центром в начале системы координат, большая полуось которого равняется 5-ти единицам длины (по оси Кинематика в теоретической механике), а малая (по оси Кинематика в теоретической механике) – 3-ом единицам длины (рис.1).

Кинематика в теоретической механике
В начальный момент времени Кинематика в теоретической механике точка находится в положении
Кинематика в теоретической механике с координатами:
Кинематика в теоретической механике
В начальный момент движения (при росте Кинематика в теоретической механике координата Кинематика в теоретической механике начнет увеличиваться, а координатаКинематика в теоретической механике– уменьшаться.

Таким образом, точка будет двигаться за ходом часовой стрелки.
 

Ответ:

а) уравнение траектории Кинематика в теоретической механике
б) точка движется по ходу часовой стрелки.
 

Задача 2

В механизме (рис.1) тело ОА (кривошип) вращается вокруг неподвижного шарнира О, а тело В(ползун) движется обратно-поступательно по оси Кинематика в теоретической механикеТочка А тела АВ (шатуна) движется по траектории точки А кривошипа, а точка В – по траектории ползуна.
 

Определить уравнение движения и траекторию средней
точки М шатуна и уравнения движения ползуна В, если в начальный момент ползун находился в крайнем правом положении; кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью Кинематика в теоретической механике

Решение. Для определения траектории точки М изобразим механизм в произвольном положении и составим уравнение ее движения в координатной форме.
Из рис. 1 видно, что:

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике
Поскольку треугольник ОАВ равнобедренный (ОА = АВ), углы АВС и АОС равны между собой и равны Кинематика в теоретической механике

Из треугольника ОАС найдем расстояние OC:
Кинематика в теоретической механикеиз треугольника MBD расстояния CD и MD:
Кинематика в теоретической механике
Тогда:
Кинематика в теоретической механике
Если учесть числовые данные, то уравнения движения точки М приобретут вид:
Кинематика в теоретической механике

Для нахождения траектории точки М возведем уравнение движения к квадрату и добавим:
Кинематика в теоретической механике
Учитывая, что Кинематика в теоретической механике получим выражение для уравнения траектории:
Кинематика в теоретической механике
Таким образом, траекторией точки будет эллипс, одна полуось которого, по оси Кинематика в теоретической механике составляет 1,2 м, а вторая, по оси Кинематика в теоретической механике 0,4 м.

Определим координаты точки В:
Кинематика в теоретической механике
Таким образом, уравнение движения ползуна В будет иметь вид:

Кинематика в теоретической механике
Ответ:  Кинематика в теоретической механике
 

Задача 3

Точка движется по кругу радиусом R =4 м. Путь в метрах, который проходит точка по траектории, в любой момент времени определяется уравнением: Кинематика в теоретической механике

Определить величину ускорения точки и угол Кинематика в теоретической механике который образуют между собой векторы скорости и ускорения в момент времени, когда величина скорости
равняется 6 Кинематика в теоретической механике
Решение. Изобразим траекторию с точкой М в произвольном положении (рис.1).

Кинематика в теоретической механике
Скорость Кинематика в теоретической механике направим по касательной к кругу, нормальное ускорение Кинематика в теоретической механике
– к центру круга, а касательное Кинематика в теоретической механике по скорости, принимая, что оно положительное.

Угол Кинематика в теоретической механике между векторами скорости Кинематика в теоретической механике и полного ускорение Кинематика в теоретической механике равняется:
Кинематика в теоретической механике
Найдем величину нормального ускорения:
Кинематика в теоретической механике
Функциональные зависимости для скорости и касательного ускорения найдем по уравнению движения точки:
Кинематика в теоретической механике
Поскольку для вычисления ускорения надо знать время, когда скорость будет равняться 6 м/с, то из первого уравнения получим:
Кинематика в теоретической механике
Величина касательного ускорения:
Кинематика в теоретической механике
Тогда:
Кинематика в теоретической механике
Полное ускорение точки:
Кинематика в теоретической механике
Ответ:  Кинематика в теоретической механике
 

Задания темы К1

Кинематические уравнения движения точки А тела, что движется в плоскости Кинематика в теоретической механике  имеет вид :
Кинематика в теоретической механике
Коэффициенты Кинематика в теоретической механикеприведены в таблице К1, а коэффициенты Кинематика в теоретической механике и время Кинематика в теоретической механике в таблице К2. Координаты Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике заданные в метрах.

Определить: уравнение траектории, скорость, ускорение точки А и радиус кривизны траектории точки в момент времени Кинематика в теоретической механике Изобразить на рисунке в декартовой системе
координат Кинематика в теоретической механике траекторию точки и ее положение в момент времени Кинематика в теоретической механике Показать составляющие скорости и ускорения, параллельные осям координат, полную
скорость и ускорение, касательное и нормальное ускорение.

Кинематика в теоретической механике

К1.6. Пример решения задания темы К1

Рассмотрим пример при таких исходных данных и коэффициентах: Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике
1. Определение кинематических уровней движения точки А
Подставим значение соответствующих коэффициентов в уравнение (К1.12), тогда:
Кинематика в теоретической механике

После вычислений получим:
Кинематика в теоретической механике
Полученные выражения и являются искомыми кинематическими уравнениями движения точки А.
 

2. Определение уравнения траектории точки А

Для определения уравнения траектории удалим из уравнений (1) параметр Кинематика в теоретической механике С этой целью перенесем в этих уровнях свободный член в левую часть, поделим на коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях и оба уравнения возведем в квадрат. Добавив правые и левые части уравнений и с учетом того, что
Кинематика в теоретической механике получим

Кинематика в теоретической механике

Полученное выражение является уравнением траектории точки А и
представляет собой эллипс с полуосями, по оси Кинематика в теоретической механике с =4,8 м и по
оси Кинематика в теоретической механике d =1,6 м. Центр эллипса лежит в точке с координатами: Кинематика в теоретической механике

Для определения положения точки А на траектории в момент времени Кинематика в теоретической механике подставим значение Кинематика в теоретической механике в уравнение (1):
Кинематика в теоретической механике

3. Определение скорости точки А

Поскольку проекция скорости на ось равна производной по времени от соответствующей координаты (К1.4), то:

Кинематика в теоретической механике

В момент времени Кинематика в теоретической механике получим:

Кинематика в теоретической механике

Отрицательное значение проекции Кинематика в теоретической механике означает, что составляющая Кинематика в теоретической механикевектора полной скорости  Кинематика в теоретической механике направлена в сторону отрицательных значений оси Кинематика в теоретической механике
 

4. Определение ускорения точки А и радиуса кривизны траектории.

Воспользовавшись выражениями (2) определим проекции ускорения точки А на оси Кинематика в теоретической механике и 
Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

В момент времени Кинематика в теоретической механике получаем:

Кинематика в теоретической механике
Полное ускорение в момент времени Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике
Знаки минус перед значениями проекций Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике означают, что составляющие Кинематика в теоретической механике
и  Кинематика в теоретической механике вектора полного ускорение  Кинематика в теоретической механике направленные в стороны отрицательных значений соответствующих осей координат.

Из формул (К1.9, К1.11) определим величины тангенциального и нормального ускорения:
Кинематика в теоретической механике
По известной скорости Кинематика в теоретической механике и величиной нормального ускорения Кинематика в теоретической механике из формулы (К1.10) найдём радиус кривизны траектории для этого положения точки:
Кинематика в теоретической механике

5. Графические построения
По результатам расчетов строится чертеж (черта К1.2).

Поскольку полученные размеры измеряются в метрах, а на чертеже откладываются в миллиметрах, то постройки выполняются в определенном масштабе (это же касается и отрезков, которые  изображают на чертежах векторы скоростей и ускорений). Для этого сначала необходимо определить масштабные коэффициенты длин Кинематика в теоретической механике скоростей Кинематика в теоретической механике
и ускорений Кинематика в теоретической механике

Масштабным коэффициентом Кинематика в теоретической механике называется отношение действительной величины к отрезку в миллиметрах, который будет изображать эту величину на чертеже.

Отрезок, изображающий определенную величину на чертеже, подбирают произвольно исходя из следующих соображений:

  • чертеж должен иметь определенные размеры (не быть очень большим, или очень маленьким);
  • по возможности величина масштабного коэффициента должна иметь одну значимую цифру.

По определенными масштабными коэффициентами надо перечислить действительные величины найденных параметров в отрезки, которые будут изображать эти величины на чертеже, и только после этого выполнять построения на чертеже.

Выберем масштабный коэффициент длин Кинематика в теоретической механике При разрешении задачи были определены следующие линейные размеры:
Кинематика в теоретической механике
Выберем любой из этих размеров, например Кинематика в теоретической механике Пусть эту координату на чертеже будет изображать отрезок Кинематика в теоретической механике Тогда масштабный коэффициент длин Кинематика в теоретической механике будет равняться:

Кинематика в теоретической механике

При этом отрезки, которые будут изображать на чертеже линейные величины равны:

Кинематика в теоретической механике

Выберем масштабный коэффициент скоростей Кинематика в теоретической механике

При решении задачи были найдены скорости:

Кинематика в теоретической механике

Выберем любую из этих скоростей, например Кинематика в теоретической механике Пусть эту скорость на чертеже будет изображать отрезок Кинематика в теоретической механике  Тогда масштабный коэффициент скоростей Кинематика в теоретической механике будет равняться:

Кинематика в теоретической механике

При этом отрезки, которые будут изображать на чертеже составляющие скорости будут равняться:

Кинематика в теоретической механике

Выберем масштабный коэффициент ускорений Кинематика в теоретической механике
При решении задачи были найдены ускорения:
Кинематика в теоретической механике

Выберем любое из этих ускорений, например
Кинематика в теоретической механике Пусть это ускорение на чертеже будет изображать отрезок Кинематика в теоретической механикеТогда масштабный коэффициент ускорений Кинематика в теоретической механике будет равняться:
Кинематика в теоретической механике

При этом отрезки, которые будут изображать на чертеже составляющие ускорения будут равны:

Кинематика в теоретической механике

На чертежах (рис К1.2):

1. С произвольной точки О под прямым углом одна к второй проводим координатные оси Кинематика в теоретической механикеи  Кинематика в теоретической механике

2. Строим траекторию точки по известным полуосям эллипса Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике и координатами центра Кинематика в теоретической механике Кинематика в теоретической механике

3. Показываем точку А в момент времени Кинематика в теоретической механике за ее координатами на оси Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике

4. По известным отрезкам Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механикепроекций изображаем параллельные к осям координат составляющие Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике скорости (если проекция отрицательная, то составляющая направлена против положительного направления соответствующей оси);

5. Определяем скорость точки Кинематика в теоретической механике через составляющие по правилу параллелограмма

6. По известным отрезкам Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике проекций изображаем параллельные к осям координат составляющие Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике ускорение (если проекция ускорения отрицательная, то составляющая направлена против положительного направления
соответствующей оси);

7. Определяем ускорение точки Кинематика в теоретической механикечерез составляющие по правилу параллелограмма;

8. Изображаем составляющие ускорения Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике в естественной системе координат.

9. По известным направлением Кинематика в теоретической механике и радиусом кривизны Кинематика в теоретической механике определяем положение центра кривизны эллипса в точке А (точка Кинематика в теоретической механике).

Следует помнить , что вектор скорости направлен по касательной траектории точки, а вектор ускорения – в сторону кривизны траектории.

Кинематика в теоретической механике

Кинематика – полная лекция с формулами и теорией с примерами

Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение тел с геометрической точки зрения, то есть без учета их масс и сил, что на них действуют.

Движение тел в кинематике рассматривают по отношению к некоторой системе координат, которая связана с другим телом, например, с Землей.

Основная задача кинематики заключается в том, что по уравнениям, которые определяют закон движения данного тела, надо найти все кинематические характеристики движения тела (траектории различных точек, их скорости и ускорения).

Кинематика делится на кинематику точки и кинематику твердого тела.

В первом разделе учебного пособия рассматриваются следующие темы кинематики:

  • Кинематика точки.
  • Поступательное движение тела.
  • Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси.
  • Плоское движение тела.
  • Сложное движение точки.

На изучение этих тем отводится восемь занятий.

Кинематика точки

Кинема́тика точки  — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.

Траектория и уравнения движения точки

Описать движение точки – это значит указать правило, по которому в любой момент времени Кинематика в теоретической механике можно определить положение точки в пространстве.

Различают три способы описания движения точки: координатный; векторный; естественный.

Координатный способ описания движения точки

Положение точки Кинематика в теоретической механике в пространстве при координатном способе описание движения определяется тремя координатами: Кинематика в теоретической механике (рис.1.1).

Кинематика в теоретической механике

Если точка движется, то эти координаты со временем непрерывно меняются.

Таким образом, для описания движения точки достаточно задать функциональные зависимости вида:

Кинематика в теоретической механике

Уравнения (1.1) называются уравнениями движения точки в прямоугольных координатах.

Движение точки в плоскости, например Кинематика в теоретической механике, определяется двумя уравнениями движения:

Кинематика в теоретической механике

Для описания прямолинейного движения точки, например, по оси Кинематика в теоретической механике , достаточно одного уравнения:

Кинематика в теоретической механике

Определение траектории точки при координатном способе описания ее движения

Траекторией называется та совокупность точек, через которые последовательно проходит тело во время движения в данной системе отсчета.

Траектория – одна из основных характеристик, которая дает представление о движении в целом. Первым признаком, по которому выполняется распределение движений на разные виды, является траектория.

Определение траектории является одной из важных частей задач механики.

В зависимости от формы траектории движение относят к прямолинейному или криволинейному движению.

Уравнение движения точки Кинематика в теоретической механике можно рассматривать как уравнение траектории в параметрической форме.

Для того, чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, надо из уравнений движения исключить время Кинематика в теоретической механике . Так, исключив Кинематика в теоретической механике из уравнений движения (1.2), получим одно уравнение вида:

Кинематика в теоретической механике

которое представляет собой уравнение линии на плоскости Кинематика в теоретической механике.

Если исключить время Кинематика в теоретической механике из уравнений движения (1.1), то получим уравнение вида:

Кинематика в теоретической механике

Каждое из уравнений системы (1.5) является уравнением некоторой поверхности, а вместе – уравнением траектории, которая представляет собой линию пересечения этих поверхностей.

Определение скорости и ускорения точки при координатном способе описания ее движения

Скорость точки – векторная величина, которая характеризует изменение положения точки в пространстве с течением времени.

Ускорение точки – векторная величина, которая характеризует изменение вектора скорости с течением времени.

В случае координатного способа описания движения точки по известным зависимостям для координат точки (1.1) сначала определяют проекции вектора скорости на координатные оси:

Кинематика в теоретической механике

а затем модуль скорости точки:

Кинематика в теоретической механике

Направление вектора скорости Кинематика в теоретической механике определяется через направляющие косинусы углов, которые этот вектор образует с соответствующими осями координат:

Кинематика в теоретической механике

Проекции вектора ускорения на координатные оси соответственно равны:

Кинематика в теоретической механике

Модуль вектора ускорения определяется по формуле:

Кинематика в теоретической механике

Направление вектора ускорения Кинематика в теоретической механике также определяется через направляющие косинусы углов, которые вектор образует с соответствующими осями координат:

Кинематика в теоретической механике

Порядок решения задач по кинематике точки

Решение задач на определение закона движения точки и уравнения ее траектории выполняется в такой последовательности:

  1. Выбирается неподвижная система координат, начало которой определяют, исходя из условий задачи.
  2. По условиям задачи в избранной системе координат составляют уравнение движения точки, то есть находят зависимость координат точки от времени.
  3. Из составленных уравнений движения точки можно определить ее положение в любой момент времени, установить направление ее движения, найти траекторию и т.д.

Если по условию задачи надо определить скорость и ускорение точки, то лучше придерживаться такой последовательности:

  1. Выбрать систему координат.
  2. В выбранной системе координат составить уравнения движения (иногда они заданы в условиях задачи).
  3. По уравнениям движения точки определить проекции скорости на оси системы координат, величину скорости и ее направление.
  4. Определить проекции ускорения точки на оси системы координат, величину ускорения и его направление.

Примеры решения задач

Задача №1

Движение точки на плоскости определяется уравнениями:

Кинематика в теоретической механике

Определить уравнение траектории и направление движения точки.

Решение. Уравнение траектории задано в параметрической форме, координаты Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике зависят от параметра Кинематика в теоретической механике (времени). 

Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, то есть в виде зависимости Кинематика в теоретической механике, необходимо исключить из обоих уравнений движения время Кинематика в теоретической механике.

Возведем в квадрат левые и правые части уравнений движения:

Кинематика в теоретической механике

или

Кинематика в теоретической механике

Сложим эти уравнения:

Кинематика в теоретической механике

Поскольку Кинематика в теоретической механике то

Кинематика в теоретической механике

Уравнением траектории точки является эллипс с центром в начале системы координат, большая полуось которого равна 5-ти единицам длины (по оси Кинематика в теоретической механике), а малая (по оси Кинематика в теоретической механике) – 3-м единицам длины (рис.1.2).

Кинематика в теоретической механике(Направление движения точки)

В начальный момент времени Кинематика в теоретической механике точка находится в положении Кинематика в теоретической механике с координатами:

Кинематика в теоретической механике

В начальный момент движения (при росте Кинематика в теоретической механике) координата Кинематика в теоретической механике начнет увеличиваться, а координата Кинематика в теоретической механике − уменьшаться. Таким образом, точка будет двигаться по ходу часовой стрелки.

Ответ: а) уравнение траектории Кинематика в теоретической механике б) точка движется по ходу часовой стрелки.

Задача №2

В механизме (рис.1.3) тело Кинематика в теоретической механике (кривошип) вращается вокруг неподвижного шарнира Кинематика в теоретической механике , а тело Кинематика в теоретической механике (ползун) движется возвратно-поступательно по оси Кинематика в теоретической механике . Точка Кинематика в теоретической механике тела Кинематика в теоретической механике (шатуна) движется по траектории точки Кинематика в теоретической механике кривошипа, а точка Кинематика в теоретической механике – по траектории ползуна.

Кинематика в теоретической механике

Определить уравнение движения и траекторию средней точки Кинематика в теоретической механике шатуна и уравнение движения ползуна Кинематика в теоретической механике, если в начальный момент ползун находился в крайнем правом положении; кривошип Кинематика в теоретической механике вращается с постоянной угловой скоростью Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике

Решение. Для определения траектории точки Кинематика в теоретической механике изобразим механизм в произвольном положении и составим уравнение ее движения в координатной форме.

С рис. 1.3 видно, что:

Кинематика в теоретической механике

Поскольку треугольник Кинематика в теоретической механике равнобедренный (Кинематика в теоретической механике), то углы Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике равны между собой и равны Кинематика в теоретической механике.

Из треугольника Кинематика в теоретической механике найдем расстояние Кинематика в теоретической механике:

Кинематика в теоретической механике

а из треугольника Кинематика в теоретической механике расстояния Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике:

Кинематика в теоретической механике

Тогда:

Кинематика в теоретической механике

Если подставить числовые данные, то уравнения движения точки Кинематика в теоретической механике приобретут вид:

Кинематика в теоретической механике

Для нахождения траектории точки Кинематика в теоретической механике возведем уравнение движения к квадрату и сложим:

Кинематика в теоретической механике

Учитывая, что Кинематика в теоретической механике, получим выражение для уравнения траектории:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, траекторией точки будет эллипс, одна полуось которого, по оси Кинематика в теоретической механике , составляет 1,2 м , а вторая, по оси Кинематика в теоретической механике – 0,4 м.

Определим координаты точки Кинематика в теоретической механике:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, уравнение движения ползуна Кинематика в теоретической механике будет иметь вид:

Кинематика в теоретической механике

Ответ. Кинематика в теоретической механике

Задача №3

Движение точки Кинематика в теоретической механике задано уравнениями:

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике, Кинематика в теоретической механике – в метрах; Кинематика в теоретической механике – в секундах.

Определить траекторию точки, величину и направление скорости и величину и направление ускорения в момент времени Кинематика в теоретической механике

Решение. Для определения траектории точки Кинематика в теоретической механике возведем к квадрату левые и правые части уравнений движения и сложим их:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, уравнение траектории будет иметь вид:

Кинематика в теоретической механике

Траекторией точки Кинематика в теоретической механике будет круг радиусом 10 м с центром в начала системы координат.

Проекции вектора скорости на оси координат равны:

Кинематика в теоретической механике

Модуль вектора скорости:

Кинематика в теоретической механике

Проекции вектора ускорения на оси координат равны:

Кинематика в теоретической механике

Модуль вектора ускорения:

Кинематика в теоретической механике

Из полученных зависимостей следует, что модули скорости и ускорения не зависят от времени, а их проекции на оси являются функциями времени.

Определим для момента времени Кинематика в теоретической механике положение точки на траектории и величины проекций скорости и ускорения.

При Кинематика в теоретической механике угол под знаками косинуса и синуса в уравнениях проекций равен:

Кинематика в теоретической механике

С учетом найденного угла получим:

Кинематика в теоретической механике

На рис.1.4 показана траектория точки, положение точки в момент времени Кинематика в теоретической механике и составляющие векторов скорости и ускорения.

Кинематика в теоретической механике

Составляющие векторы Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике направлены против направления соответствующих осей, поскольку их проекции на эти оси отрицательны.

Ответ. Кинематика в теоретической механике

Задача №4

Движение точки задано уравнениями:

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике – постоянные величины.

Определить уравнение траектории, скорость и ускорение точки, как функцию радиуса-вектора Кинематика в теоретической механике

Решение. Уравнение траектории в координатной форме найдем, исключив время из уравнений движения точки.

Сначала уравнение движения преобразуем в вид:

Кинематика в теоретической механике

Возведем записанные уравнения к квадрату и вычтем от первого второе:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, уравнение траектории точки будет иметь вид:

Кинематика в теоретической механике

Определим проекции вектора скорости на координатные оси:

Кинематика в теоретической механике

Поскольку по условию задачи:

Кинематика в теоретической механике

то 

Кинематика в теоретической механике

Тогда:

Кинематика в теоретической механике

Определим проекции вектора ускорения на координатные оси:

Кинематика в теоретической механике

Учитывая, что Кинематика в теоретической механике, то 

Кинематика в теоретической механике

Ответ. Кинематика в теоретической механике

Задачи, которые рекомендуются для самостоятельной работы: 11.2; 11.5; 12.13 [2].

Естественный способ описания движения точки

Естественный способ описания движения точки заключается в следующем.

  1. Любым способом (уравнением, графически, указанием) задается траектория точки Кинематика в теоретической механике (рис.1.5) .
  2. На траектории выбирается некоторая точка Кинематика в теоретической механике как начало отсчета дуги и положительное направление вдоль траектории (на рис. 1.5 слева направо).
  3. Положение точки Кинематика в теоретической механике на траектории однозначно определяется длиной дуги Кинематика в теоретической механике, которую берут с соответствующим знаком. При движении точки по траектории каждому моменту времени Кинематика в теоретической механике соответствует определенное значение Кинематика в теоретической механике.

Таким образом, для определения положения точки на траектории достаточно задать зависимость:

Кинематика в теоретической механике

которая называется естественным уравнением движения.

Естественным способом описания движения точки удобно пользоваться в том случае, когда известна траектория точки.

Определение скорости и ускорения точки при естественном способе описания ее движения

В случае естественного способа описания движения точки по известному уравнению движения (1.12) модуль вектора скорости определяют по формуле:

Кинематика в теоретической механике

Направлен вектор скорости по касательной к траектории точки в сторону отсчета координаты Кинематика в теоретической механике (рис.1.6), если Кинематика в теоретической механике, и в противоположную сторону, если Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

При определении ускорения с точкой Кинематика в теоретической механике связывают подвижную систему координат Кинематика в теоретической механике  (рис.1.7): тангенциальную ось Кинематика в теоретической механике направляют по касательной к траектории в сторону скорости точки; нормальную ось Кинематика в теоретической механике – по внутренней нормали к траектории (то есть, в сторону центра ее кривизны).

Ускорение Кинематика в теоретической механике раскладывают на составляющие Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике по осям выбранной системы координат, которые соответственно называют касательной (тангенциальной) и нормальной (центростремительной) составляющими ускорение.

По модулю эти ускорения, соответственно, равны:

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике – радиус кривизны траектории.

Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны (по направлению оси Кинематика в теоретической механике ), а касательное ускорение – по оси Кинематика в теоретической механике, если Кинематика в теоретической механике и в противоположную сторону, если Кинематика в теоретической механике.

Нормальное ускорение характеризует изменение направления скорости с течением времени.

Если траекторией точки является прямая линия, то есть Кинематика в теоретической механике, то Кинематика в теоретической механике и вектор скорости не будет менять своего направления.

Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине с течением времени.

Если точка движется равномерно Кинематика в теоретической механике то Кинематика в теоретической механике, а путь, пройденный точкой, определяют по формуле:

Кинематика в теоретической механике

В случае равномерно ускоренного движения точки Кинематика в теоретической механике скорость точки и путь, который пройден ею, определяют по формулам:

Кинематика в теоретической механике

В приведенных формулах Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике – соответственно, начальные значения скорости и пройденного пути, а сами формулы можно получить путем интегрирования зависимости для Кинематика в теоретической механике (1.14).

Примеры решения задач

Задача №1

Точка движется по окружности радиусом Кинематика в теоретической механике Закон ее движения по траектории:

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике – в секундах, Кинематика в теоретической механике – в метрах.

Определить величину и направление скорости, касательное и нормальное ускорение точки в момент времени Кинематика в теоретической механике

Решение. Для определения модуля скорости найдем производную от Кинематика в теоретической механике по времени:

Кинематика в теоретической механике

В момент времени Кинематика в теоретической механике:

Кинематика в теоретической механике

Скорость точки направлена по касательной к окружности в сторону, которая противоположная положительному направлению отсчета дуги Кинематика в теоретической механике .

Определим величину касательного ускорения:

Кинематика в теоретической механике

В момент времени Кинематика в теоретической механике:

Кинематика в теоретической механике

Вычислим величину нормального ускорения в момент времени Кинематика в теоретической механике:

Кинематика в теоретической механике

Ответ. Кинематика в теоретической механике

Задача №2

Точка движется по окружности радиусом Кинематика в теоретической механике. Путь в метрах, который проходит точка по траектории в любой момент времени определяется уравнением:

Кинематика в теоретической механике

Определить величину ускорения точки и угол Кинематика в теоретической механике, который образуют между собой векторы скорости и ускорения в момент времени, когда величина скорости равна Кинематика в теоретической механике

Решение. Изобразим траекторию с точкой Кинематика в теоретической механике в произвольном положении (рис.1.8). Скорость Кинематика в теоретической механике направим по касательной к окружности, нормальное ускорение Кинематика в теоретической механике – к центру окружности, а касательное Кинематика в теоретической механике – по скорости, принимая, что оно положительное.

Кинематика в теоретической механике

Угол Кинематика в теоретической механике между векторами скорости Кинематика в теоретической механике и полного ускорения Кинематика в теоретической механике будет равен:

Кинематика в теоретической механике

Найдем величину нормального ускорения:

Кинематика в теоретической механике

Функциональные зависимости для скорости и касательного ускорения найдем по уравнению движения точки:

Кинематика в теоретической механике

Поскольку для вычисления касательного ускорения надо знать время, когда скорость будет равна Кинематика в теоретической механике, то с первого уравнение получаем:

Кинематика в теоретической механике

Величина касательного ускорения:

Кинематика в теоретической механике

Тогда:

Кинематика в теоретической механике

Полное ускорение точки:

Кинематика в теоретической механике

Ответ. Кинематика в теоретической механике

Задача №3

Уравнение движения пальца шарнира Кинематика в теоретической механике кривошипно-ползунного механизма (рис.1.9) во время его пуска имеют вид: 

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике – в метрах; Кинематика в теоретической механике – в секундах.

Кинематика в теоретической механике

Определить скорость, касательное и нормальное ускорение пальца.

Решение. Уравнения для определения касательного и нормального ускорения имеют вид:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, для определения Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике необходимо знать радиус кривизны траектории Кинематика в теоретической механике и зависимость скорости Кинематика в теоретической механике от времени Кинематика в теоретической механике .

Для вычисления Кинематика в теоретической механике найдем проекции скорости на координатные оси:

Кинематика в теоретической механике

Скорость пальца кривошипа будет равна:

Кинематика в теоретической механике

Вычислим величину касательного ускорения:

Кинематика в теоретической механике

Для определения радиуса кривизны траектории найдем ее уравнение. Чтобы исключить параметр Кинематика в теоретической механике из уравнений движения (1), возведем в квадрат правые и левые части уравнений, а затем их сложим:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, траекторией пальца будет окружность радиусом Кинематика в теоретической механике

Величина нормального ускорения Кинематика в теоретической механике будет равна :

Кинематика в теоретической механике

Ответ. Кинематика в теоретической механике

Задача №4

Уравнения движения материальной точки имеют вид:

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике – постоянные величины.

Определить касательное и нормальное ускорение точки.

Решение. Касательное ускорение точки определяется по формуле:

Кинематика в теоретической механике

При координатном способе описания движения скорость точки через проекции равна:

Кинематика в теоретической механике

Подставим выражение для Кинематика в теоретической механике в уравнение для Кинематика в теоретической механике:

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике – проекции скорости на координатные оси; Кинематика в теоретической механике – проекции ускорения на координатные оси.

Проекции скорости и ускорения на координатные оси определим по формулам для координатного способа описания движения:

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Тогда касательное ускорение точки будет равно:

Кинематика в теоретической механике

Для определения нормального ускорения воспользуемся полным ускорением точки, которое уже было найдено, исходя из формул координатного способа описания движения.

Поскольку:

Кинематика в теоретической механике

то:

Кинематика в теоретической механике

Подставив под корень выражение для Кинематика в теоретической механике, получим:

Кинематика в теоретической механике

Ответ. Кинематика в теоретической механике

Задача №5

Точка Кинематика в теоретической механике движется по окружности радиусом Кинематика в теоретической механике таким образом, что полное ускорение все время пропорционально квадрату скорости и направлено под тупым углом к ней. Движение начинается с начальной скоростью Кинематика в теоретической механике и начальным ускорением Кинематика в теоретической механике

Определить, за какое время скорость точки уменьшится вдвое, и какой путь при этом она пройдет.

Решение. Изобразим траекторию с точкой Кинематика в теоретической механике в произвольном положении (рис.1.10).

Кинематика в теоретической механике

Скорость Кинематика в теоретической механике направим по касательной к траектории, а полное ускорение Кинематика в теоретической механике под углом Кинематика в теоретической механике к скорости.

Полное ускорение Кинематика в теоретической механике разложим на нормальное Кинематика в теоретической механике и касательное Кинематика в теоретической механике по правилу параллелограмма.

По условию задачи:

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике – коэффициент пропорциональности.

Поскольку это равенство должно выполняться и в начальный момент времени Кинематика в теоретической механике, то:

Кинематика в теоретической механике

Откуда:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, закон изменения полного ускорения точки под время движения будет иметь вид:

Кинематика в теоретической механике

Определим функциональные зависимости от скорости для нормального и касательного ускорений точки:

Кинематика в теоретической механике

В уравнении для Кинематика в теоретической механике было взято отрицательное значение корня, поскольку полное ускорение образует тупой угол с направлением скорости (рис.1.10), то есть касательное ускорение будет направлено противоположно скорости и движение точки будет замедлено.

Для определения времени движения и пройденного точкой пути воспользуемся зависимостью для касательного ускорения:

Кинематика в теоретической механике

Разделим переменные и проинтегрируем это выражение:

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике – постоянная интегрирования.

Постоянную интегрирования Кинематика в теоретической механике найдем из начальных условий, когда Кинематика в теоретической механике

Откуда:

Кинематика в теоретической механике

Функциональная зависимость для скорости будет иметь вид:

Кинематика в теоретической механике или Кинематика в теоретической механике

По условию задачи в конечный момент времени Кинематика в теоретической механике скорость точки уменьшится вдвое, то есть:

Кинематика в теоретической механике

Тогда время движения точки будет равно:

Кинематика в теоретической механике

Для определения пройденного точкой пути воспользуемся уравнениями:

Кинематика в теоретической механике

Разделим переменные и проинтегрируем:

Кинематика в теоретической механике

где Кинематика в теоретической механике – постоянная интегрирования.

Поскольку в начальный момент Кинематика в теоретической механике, то:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, для пути Кинематика в теоретической механике получим следующую зависимость:

Кинематика в теоретической механике

За промежуток времени Кинематика в теоретической механике путь, пройденный точкой, будет составлять:

Кинематика в теоретической механике

Краткие исторические сведенья про развитие кинематики

Появление первых исследований по кинематике связаны с изобретением огнестрельного оружия. Внимание исследователей привлекали вопросы определения траектории полета снаряда, уточнение понятий о неравномерном и криволинейном движении точки. Леонардо да Винчи (1452 1519) первым изучил вопрос о свободном вертикальном падении тяжелого тела. Но только благодаря трудам Г. Галилея (1564 1642) развитие механики непосредственно связывается с запросами тогдашней техники. Г. Галилей ввел понятие об ускорении и доказал, что траекторией движения снаряда, брошенного в пустоте под некоторым углом к ​​горизонту, является парабола. Законы, установленные Г. Галилеем, нашли свое дальнейшее развитие в трудах Э. Торричелли (1608 1647), который получил формулу для определения скорости падение тела. И. Кеплер (1571 1630) установил кинематические законы движения планет. X. Гюйгенс (1629-1695) впервые обратил внимание на возможность разложения ускорения на касательное и нормальное, строгое доказательство которого дал Л. Эйлер (1707 -1783). Л. Эйлеру принадлежат основополагающие исследования по кинематике точки при естественном способе задания движения, по кинематике вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Развитие кинематики системы точек тесно связано с именем Ж. Лагранжа (1736 1813).

Бурный рост машиностроения в XIX в. способствовал новому развитию кинематики как науки. Глубокие исследования по кинематике твердого тела принадлежат французским ученым М. Шалю (1793 1886), Л. Пуансо (1777 1859), Г. Корюлис  (1792 1843). В России основателем научной школы по кинематике механизмов был выдающийся математик П. Л. Чебышев (1821 1894). Его научное наследие в этом направлении разрабатывали советские ученые, среди которых отметим Н. И. Мерцалова (1860 1948), И. И. Артоболевского (1905-1978), А. П. Котельникова (1865-1944), Н. Б. Делоне (1856-1931), Д. С.  Зерновая (1860-1922), Л. В. Ассура (1878 1920) и др.  Н. Е. Жуковскому (1847-1921) принадлежит много работ по теоретической механике, в том числе и по кинематике, в которых широко используются геометрические методы доказательства различных теорем.  Глубокие исследования по кинематике провел В. Н. Лигин (1846-1910).

В XX в. развитие авиации, судостроения, ракетной и космической техники, создание роботов-манипуляторов, гибких автоматизированных производств дали новый толчок в развитии кинематики твердых тел и пространственных механизмов. Исследования связаны с именами А. Н. Крылова, А. Ю. Ишлинского, В. М. Кошлякова, Пола, А. П. Бойчука и др.

Введение в кинематику

Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается движение системы материальных точек с геометрической точки зрения, в частности движение абсолютно твердого тела и материальной точки независимо от действующих на них сил.

Кинематику называют также геометрией движения, поскольку в ней рассматриваются геометрические свойства движения. Кинематика изучает зависимости между пространственно-временными характеристиками механического движения. Механические движения, изучаемые в кинематике, происходят в пространстве и времени. Диалектический материализм рассматривает пространство и время как формы существования материи. “Обе эти формы существования материи без материи являются ничем, пустыми представлениями, абстракциями, что существуют только в нашей голове “. Пространство и время неразрывно связаны между собой, их единство проявляется в движении. В. И. Ленин писал: “В мире нет ничего, кроме движущейся материи, и подвижная материя не может двигаться иначе, чем в пространстве и времени “. Понятие же пространства, времени и движущейся материи в классической механике, основанной на законах Ньютона, формально не связаны друг с другом и являются только первым  приближением к реальным объективным формам существования материи, которые позже математически строго установлены теорией относительности.

Отметим, что в теоретической механике пространство, в котором происходит движение тел рассматривается как трехмерное, и все измерения выполняются на основании методов евклидовой геометрии.  В теоретической механике время считается одинаковым в любых системах отсчета (системах координат),  и не зависит от движения этих систем относительно друг друга. Время обозначается буквой Кинематика в теоретической механике и рассматривается как непрерывно переменная величина,  которая применяется в качестве аргумента.  В кинематике при изменении времени различают такие понятия, как промежуток времени и начальный момент времени.

Промежутком времени называют течение времени между двумя физическими явлениями.
 Моментом времени называют границу между двумя смежными промежутками времени.
 Начальным моментом времени называют момент времени, с которого начинается отсчет.
 Теория относительности привела к новым представлений о пространстве и времени, которые в значительной степени отличаются от представлений классической механики. Вместе с тем, для случаев движения тела со скоростями, значительно меньше
скорость света, трехмерное евклидово пространство и универсальное время являются полноценными и достаточно точными абстракциями реального времени и реального пространства.  Следовательно, можно утверждать, что теоретическое и практическое значение классической механики остается огромным и в наше время, поскольку позволяет найти достаточно высокое приближение к объективно существующих реальным формам
бытия, подтверждается современным развитием техники, в частности космонавтики, робототехники и др.

Изучая движение тела, всегда следует знать, относительно какого другого тела, которое называется телом отсчета, рассматривается это движение. Совокупность тела отсчета, с которым связана система координат, и часов называют системой отсчета. Эта система может быть как подвижной, так и условно неподвижной. Точки тела, которые движутся осуществляют в общем случае различные движения. Поэтому в первую очередь возникает необходимость изучить движение отдельных точек тела.

В кинематике нет  разницы, какое  движение осуществляет выбрана система координат относительно других тел, не входящих в пределы решаемой задачи, однако всегда следует обращать внимание на то, что характер наблюдательного движения во многом зависит от выбора системы координат. Например, поршень двигателя внутреннего сгорания осуществляет относительно корпуса автомобиля прямолинейное, колебательное движение, а относительно дороги, по которой движется автомобиль с постоянной скоростью, – синусоидальный. 

В классической механике постулируется наличие системы отсчета, относительно которой пространство однородно и изотропно, а время -однородно.

В этой системе координат изолированная материальная точка может неограниченно долго
находиться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Такую ​​систему отсчета называют инерциальной. Системы отсчета, не имеющие указанных свойств, называют неинерциальными. Все системы отсчета, находящихся в состоянии покоя или движутся поступательно, равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, являются также инерциальными.
 Движение геометрического образа тела по отношению к выбранной системы отсчета считается известным, если можно определить его положение относительно этой системы в любой произвольный момент времени.  Зависимость параметров, характеризующих положение геометрического образа относительно системы отсчета, от времени определяется соответствующими уравнениями, которые называют законом движения тела.

Поскольку движение геометрического образа тела будет известным, когда будет известен закон движения всех его точек, изучению движения любого геометрического образа,  предшествует изучению движения одной его точки.  Эта логика лежит в основе разделения кинематики на такие разделы, как кинематика точки, кинематика твердого тела и кинематика совокупности твердых тел и точек.

Три способа задания движения точки

Основной задачей кинематики точки являются изучение зависимости между произвольными положениями подвижной точки в пространстве и времени. Эта зависимость определяет закон движения точки. Закон движения точки считается известным, если можно определить положение точки в пространстве в любой момент времени. Для определения положения точки в пространстве выбирают некоторую систему отсчета (систему координат). Линия, которую описывает точка при своем движении, называется траекторией. Если траектория точки – прямая линия, то движение точки называется прямолинейным, если траектория точки кривая, то – криволинейным. Движение точки относительно выбранной системы отсчета считают заданным, если известно, с помощью какого способа можно определить положение точки в любой момент времени. Основными пространственно-временными (кинематическими) характеристиками  движения точки являются ее положение, скорость и ускорение. Исходя из этого, основная задача кинематики точки заключается в нахождении способов задания ее положения и методов определения скорости и ускорение. Движение точки можно определить тремя способами: векторным, координатным и натуральным.
 

Векторный способ

Положение точки можно определить с помощью радиуса- вектора Кинематика в теоретической механике (рис. 7.1), проведенного с некоторой заданной неподвижной точки О в данную точку М. При движении точки радиус-вектор Кинематика в теоретической механике меняется по величине и направлению. Каждому моменту времени t соответствует определенное значение Кинематика в теоретической механике. Итак, Кинематика в теоретической механике является функцией времени t, Кинематика в теоретической механике

Функцию Кинематика в теоретической механике считают однозначной,  потому что рассматриваемая точка в данный момент времени может находиться только в одном месте пространства. Кроме того, Кинематика в теоретической механике должна быть непрерывной функцией. В большинстве задач механики эта функция дважды дифференцированная функция времени t. Уравнения Кинематика в теоретической механике называется кинематическим уравнением движения точки в векторной форме. Это уравнение выражает закон движения точки, а также уравнение траектории точки в векторной форме.

Кинематика в теоретической механике

Кривую, которую описывает конец любого вектора при условии, что начало его находится
все время в одной и той же точке, называют годографом вектора. Итак, траектория точки является  годографом радиус-вектора Кинематика в теоретической механике.
 

Координатный способ

Этот способ определения движения точки заключается в том, что задаются координаты точки как функции времени (Рис. 7.1):

Кинематика в теоретической механике                                                                                                     (7.1)

Между векторным и координатным способами задания движения существует такая связь:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                                    (7.2)

где Кинематика в теоретической механике– орты (единичные вектора), соответственно направленные по осям координат Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике (рис. 7.1).

На том же основании, что и Кинематика в теоретической механике функции Кинематика в теоретической механикеоднозначные, непрерывные и имеют непрерывные производные.

Уравнение (7.1) является также уравнением траектории точки в параметрической форме. Исключив из уравнения (7.1) параметр Кинематика в теоретической механике, получим уравнение траектории в явной форме. Отметим, что кроме декартовой системы координат могут применяться и другие – криволинейные системы координат, в частности полярные, цилиндрические, сферические, тому подобное,

Если движение точки задано в полярных координатах (рис. 7.2), то в этом случае следует
задать как функции времени координаты Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                         (7.3)

где Кинематика в теоретической механике – полярный радиус, Кинематика в теоретической механике – угол между полярной осью и полярным радиусом. Исключив параметр Кинематика в теоретической механике из уравнения (7.3) получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                          (7.4)

В трехмерном пространстве применяются также цилиндрические (рис. 7.3) и сферические
(рис. 7.4) координаты. Уравнения движения точки в цилиндрических координатах имеет вид:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                          (7.5)

Кинематика в теоретической механике

В сферических координатах положение точки определяется полярным радиусом Кинематика в теоретической механике, углами Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике (полюсный угол), а уравнение движения точки имеет вид:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                             (7.6)

Переход от декартовых координат к полярным,  цилиндрическим, сферическим и наоборот иметь вид (рис. 7.2-7.4): полярные:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                               (7.7)

цилиндрические:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                        (7.8)

сферические:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                           (7.9)

Отметим, что во всех приведенных тут криволинейных координатах Кинематика в теоретической механике

Натуральный способ

Если траектория точки известна заранее (например, траектория движения поезда, трамвая, троллейбуса и т.п.), то для определения закона ее движения в пространстве достаточно задать положение точки на траектории. Поэтому одну из точек Кинематика в теоретической механике на траектории берут за начало отсчета дуговых координат, поскольку положение подвижной точки М определяется ее ориентировочным расстоянием s, которое отсчитывается по дуге траектории от выбранной точки отсчета (рис. 7.5). Итак, s является функцией времени: Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Приведенное уравнение определяет закон движения точки по траектории. Функция Кинематика в теоретической механике будет однозначной, непрерывной и дифференцируемой. Заметим, что дуговая координата точки s в общем случае отличается от пути Кинематика в теоретической механике, который прошла  точка по траектории. Если промежуток времениКинематика в теоретической механике, в течение которого движется точка, разбить на малые промежутки времени Кинематика в теоретической механике, в каждом из которых точка движется в одном направлении, то путь Кинематика в теоретической механике, пройденный точкой, можно вычислить по формуле:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                           (7.10)

Если движение точки задано координатным способом, то пройденный путь определяется
 формулою:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                            (7.11)

поскольку модуль дифференциала дуги:

Кинематика в теоретической механике

Уравнения Кинематика в теоретической механике называют уравнением пройденного пути. Кривая, построенная на плоскости Кинематика в теоретической механике, что выражает зависимостьКинематика в теоретической механике называется графиком пути, а кривая Кинематика в теоретической механике на плоскости Кинематика в теоретической механике – графиком движения (рис. 7.6).

Кинематика в теоретической механике

Скорость движения точки

Важной характеристикой движения точки является ее скорость. Понятие скорости точки в
равномерном прямолинейном движении относится к элементарным понятиям.
Движение точки называется равномерным, если приращения радиус-вектора точки за одинаковые промежутки времени будут равными между собой. Для равномерного прямолинейного движения:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                              (7.12)

где Кинематика в теоретической механике – постоянный вектор, который называется средней скоростью движения точки за
промежуток времени Кинематика в теоретической механике. Из соотношения (7.12) видно, что скорость равномерного прямолинейного движения является физической величиной, и определяет перемещение точки за единицу времени:Кинематика в теоретической механике Направление вектора Кинематика в теоретической механике  приведено на рис. 7.7.

Рассмотрим теперь неравномерное криволинейное движение точки.
 Пусть точка М произвольно движется по некоторой кривой и в момент времени Кинематика в теоретической механике занимает положение М, а через довольно короткий промежуток времени Кинематика в теоретической механике она занимает положение Кинематика в теоретической механике (рис. 7.8). Положение точки М определяется радиусом- вектором Кинематика в теоретической механике, а положение точки Кинематика в теоретической механике – радиус-векторомКинематика в теоретической механике Вектор перемещения точки Кинематика в теоретической механике можно получить также как результат некоторого фиктивного равномерного прямолинейного движения точки из Кинематика в теоретической механике в Кинематика в теоретической механике, которое характеризуется средней скоростью:

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Направление вектора Кинематика в теоретической механике совпадает с направлением вектора Кинематика в теоретической механике (рис. 7.8). Очевидно,
что средняя скорость лишь приближенно отражает характер истинного движения точки.
 Чтобы получить скорость Кинематика в теоретической механике в данный момент времени или в данной точке, следует перейти к пределу:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                                (7.13)

Следовательно, скорость точки равна первой производной радиус-вектора точки по времени. За единицу скорости берут 1 м/с. Скорости точки можно дать и другое определение. Скоростью точки в некоторый момент времени t называется физическая величина, которая зависит от времени и позволяет приближенно определить перемещение Кинематика в теоретической механике при достаточно малом промежутке  времени,  как результат прямолинейного и равномерного движения.  Действительно, если Кинематика в теоретической механике разложить в ряд Тейлора в точке М, получим:

 
Кинематика в теоретической механике                                                                                                       (7.14)

Отсюда, ограничившись величинами первого порядка малость и перейдя к пределу, получим формулу (7.13) для скорости.

Скорость точки в прямоугольной декартовой системе координат

Если движение точки задано координатным способом Кинематика в теоретической механике, то скорость точки определяется ее проекциями на оси координат. Действительно, разложив вектор скорости и радиус-вектор по ортах координатных осей (рис. 7.9), получим

Кинематика в теоретической механике                                                                                                      (7.15)

где х, у, z – координаты подвижной точки; Кинематика в теоретической механике, Кинематика в теоретической механике– проекции скоростей на оси координат.
 По определению скорости в соответствии с формулой (7.13) имеем:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                     (7.16)

Подставив в формулу (7.16) значение Кинематика в теоретической механике из (7.15), получим:
Кинематика в теоретической механике                                                                                                (7.17)

откуда:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                 (7.18)

Итак, проекции скорости на оси координат равны первым производным по времени
от соответствующих координат точки.

Модуль скорости:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                         (7.19)

Кинематика в теоретической механике

или

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                                     (7.20)

Направление скорости находим по направляющим косинусам:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                       (7.21)

При движении точки ее скорость в общем случае изменяется во времени. Каждому моменту времени соответствует определенный вектор скорости, направленный по касательной к траектории. Рассмотрим ряд положений точки на траектории, обозначив соответствующие значения ее  скорости через Кинематика в теоретической механике(рис. 7.10, а). Выберем произвольную неподвижную точку О (рис. 7.10, б) и перенесем все векторы скорости параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали с точкой А. Поскольку вектор Кинематика в теоретической механике меняется со временем непрерывно, то  концы перенесенных векторов Кинематика в теоретической механикеобразуют сплошную кривую, которая называется годографом вектора скорости.

Зная проекции скорости Кинематика в теоретической механике на оси декартовой системы координат, которые являются координатами точек на годограф, то есть:

Кинематика в теоретической механике

получим в параметрической форме уравнения годографа вектора скорости. Исключив
параметр t из этих уравнений, найдем уравнение годографа вектора скорости в явной форме.

Кинематика в теоретической механике

Скорость точки в полярных координатах

Если движение точки в плоскости Оху задано в полярных координатах Кинематика в теоретической механикето, согласно (7.7),

Кинематика в теоретической механике                                                                                                       (7.22)

Дифференцируя затем х и у, найдем проекции скорости Кинематика в теоретической механике на оси декартовой системы координат:

                        Кинематика в теоретической механике                                                                              (7.23)

где Кинематика в теоретической механике – проекция скорости на радиальное направление, Кинематика в теоретической механике– проекция скорости на  трансверсальное направление (рис. 7.11), перпендикулярное к радиальному.

При этом модуль скорости:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                    (7.24)

Выражение для скорости в полярных координатах можно получить и иначе – введением ортов Кинематика в теоретической механике(рис. 7.11).

Кинематика в теоретической механике

Радиус-вектор Кинематика в теоретической механике который определяет положение точки, может быть подан в видеКинематика в теоретической механике При движении меняется как направление Кинематика в теоретической механике, так и величина радиуса-вектора Кинематика в теоретической механикепоэтому, по определению скорости (7.13), имеем:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                        (7.25)

Для определения производной единичного вектора Кинематика в теоретической механике воспользуемся выражениями единичных векторов Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике через единичные векторыКинематика в теоретической механике иКинематика в теоретической механике неподвижных координатных осей (рис. 7.11):

Кинематика в теоретической механике                                                                                                           (7.26)

Продифференцировав соотношение (7.26) и учитывая, что Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике, найдем:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                     (7.27)

Воспользовавшись соотношением (7.27), подадим выражение для скорости в виде:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                          (7.28)

Итак, найдены проекции скорости на радиальное  Кинематика в теоретической механикеи трансверсальное  Кинематика в теоретической механике направления.
 Спроектировав их на координатные оси с помощью двух соотношений (7.26), получим выражение (7.23). 

Скорость точки при натуральном способе заданный движения

Как уже отмечалось, движение точки является заданным в натуральной форме, если известны ее траектория и закон (уравнения) движения по траектории Кинематика в теоретической механике (см. рис. 7.5). Каждой точке траектории соответствует определенный радиус-вектор Кинематика в теоретической механике (рис. 7.12), который можно рассматривать как сложную функцию времени Кинематика в теоретической механикепоэтому формулу (7.13) для скорости представим в виде:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                                        (7.29)

Рассмотрим вектор Кинематика в теоретической механике Поскольку Кинематика в теоретической механикето модуль Кинематика в теоретической механике

Вектор Кинематика в теоретической механике (рис. 7.12) направленный по секущей Кинематика в теоретической механике предельное положение которой является касательной к траектории исследуемой точки.
Итак, Кинематика в теоретической механике                                                                                      (7.30)

Кинематика в теоретической механике

С учетом (7.30) получим следующее выражение для скорости при натуральном способе задания движения точки:

 Кинематика в теоретической механике                                                                                                        (7.31)

Умножив скалярно обе части выражения (7.31) на орт Кинематика в теоретической механике получим Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике Поскольку Кинематика в теоретической механике то Кинематика в теоретической механике Скалярное произведение в правой части этого выражения равно проекции скорости на касательную к траектории точки, то есть:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                      (7.32)

Следовательно, вектор скорости точки при натуральном способе задания движения точки, будет иметь вид:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                            (7.33)

Если Кинематика в теоретической механике, то точка движется в положительном направлении, если Кинематика в теоретической механике то в отрицательном.

Секторная скорость

Секторная скорость Кинематика в теоретической механике характеризует степень изменение во времени площади S, описанной радиус-вектором Кинематика в теоретической механике подвижной точки (рис. 7.12), Пусть в момент времени t точка занимает положение М, которое определяется радиусом-вектором Кинематика в теоретической механике, а через промежуток времени Кинематика в теоретической механике – положение Кинематика в теоретической механике, радиус-вектор которого равна Кинематика в теоретической механике. Элементарная площадь Кинематика в теоретической механике, образованная при этом, равна модулю векторного произведения:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                           (7.34)

или   Кинематика в теоретической механике

Если ввести вектор Кинематика в теоретической механике, равный элементарной площади и направленный  перпендикулярно к плоскости Кинематика в теоретической механике, то очевидно, что:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                             (7.35)

откуда по определению секторной скорости Кинематика в теоретической механике, поделив обе части выражения (7.35) на Кинематика в теоретической механике, получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                         (7.36)

или, с учетом (7.13):

Кинематика в теоретической механике                                                                                                            (7.37)

Тогда величина секторной скорости:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                           (7.38)

Понятие секторной скорости впервые ввел И. Кеплер при выводе второго закона
движения планет вокруг Солнца. Второй закон Кеплера имеет место и при движении искусственных спутников вокруг Земли. Согласно этому закону радиусы-векторы планет, проведенные из центра Солнца, описывают за равные промежутки времени равные площади, то есть скорость есть величина постоянная.
 Итак, секторная скорость равна половине векторного произведения радиуса-вектораКинематика в теоретической механике на скорость Кинематика в теоретической механике подвижной точки. Векторному равенству (7.37) соответствуют три скалярные равенства в декартовой системе координат Кинематика в теоретической механике (рис. 7.9):

Кинематика в теоретической механике Кинематика в теоретической механике                                                        (7.39)

Площадь сектора Кинематика в теоретической механике (рис. 7.12) можно выразить иначе:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                          (7.40)

где Кинематика в теоретической механике– малый угол между Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике(Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике).

Пренебрегая величинами второго порядка малости, последней формуле придадим вид:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                           (7.41)

Поделив обе части этого равенства на Кинематика в теоретической механике и перейдя к пределу, получим такое соотношение дня определения секторной скорости:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                              (7.42)

Последняя формула выражает секторную скорость в полярных координатах и ​​широко используется в небесной механике и при изучении движения искусственных спутников
Земли.

Ускорение точки

Ускорением точки в инерциальной системе отсчета называют меру изменения скорости точки, которая равны производной скорости этой точки по времени.
 Рассмотрим два любых близкие положение точки Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механикена траектории. Скорость в точке М обозначим через Кинематика в теоретической механике, а в точке Кинематика в теоретической механике – через Кинематика в теоретической механике (рис. 7.13). Геометрическое приращение  вектора скорости Кинематика в теоретической механике за промежуток времени Кинематика в теоретической механике найдем, построив в точке М вектор, равный Кинематика в теоретической механике, и соединив концы векторов Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике. Отношение Кинематика в теоретической механике к Кинематика в теоретической механике является средним ускорением Кинематика в теоретической механике точки за промежуток времени Кинематика в теоретической механике:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                      (7.42)

Направление вектора Кинематика в теоретической механике совпадает с направлением Кинематика в теоретической механике(рис. 7.13).

Переходя в (7.43) к пределу Кинематика в теоретической механике ,найдем ускорение Кинематика в теоретической механике точки в данный момент времени:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                            (7.44)

С учетом выражения  (7.13) формулу ускорения запишем в виде:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                        (7.45)

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

Единицей ускорения в Кинематика в теоретической механике является Кинематика в теоретической механике.Поскольку ускорение данной точки равно первой производной скорости по времени, то оно направлено по касательной к годографу скорости (рис. 7.14).

Определение ускорения в прямоугольной декартовой системе координат

Если движение точки задано координатным способом, то есть уравнениями Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике то, разложив векторы  Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механикепо ортах координатных осей, получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                     (7.46)

где Кинематика в теоретической механике – проекции ускорения на оси координат. На основании (7.45)

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике               (7.47)

Откуда:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                               (7.48)

Итак, проекции ускорения на недвижимые оси координат равны первым производным соответствующих проекций скорости по времени на те же оси, или вторым производным, соответствующих координат подвижной точки по времени.
 Модуль ускорения и его направляющие косинусы запишем в виде:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                 (7.49)

Кинематика в теоретической механике                                                                                                               (7.50)

Ускорение точки в полярных координатах

Пусть движение точки М в плоскости Оху задано в полярных координатах Кинематика в теоретической механике
 (рис. 7.15). Декартовые координаты выражаются через полярные по формулам Кинематика в теоретической механике
Кинематика в теоретической механике Найдем проекции Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике ускорения Кинематика в теоретической механике точки на радиальный и трансверсальный направления (рис. 7.15). Выразим сначала проекции ускорения Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике на оси декартовых координат через проекции ускорения на радиальное Кинематика в теоретической механике и трансверсальное Кинематика в теоретической механике направления:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                             (7.51)

Учитывая зависимость между полярными и декартовыми координатами, получим:Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике         (7.52)

Сравнивая соответствующие выражения для Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике найдем:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                         (7.53)

Модуль ускорения определим по формуле:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                                        (7.54)

Обозначив через Кинематика в теоретической механике угол, образованный ускорением Кинематика в теоретической механике с ортом Кинематика в теоретической механике (рис. 7.15), определим направление ускорения Кинематика в теоретической механикеточки по формуле:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                          (7.55)

Кинематика в теоретической механике

Заметим, что формулы (7.53) можно также получить непосредственным дифференцированием выражения (7.28) для скорости Кинематика в теоретической механике, воспользовавшись соотношениями (7.27). 

Ускорение точки при натуральном способе задания движения

Предварительно приведем некоторые сведения из дифференциальной геометрии.
 Натуральные оси и натуральный трехгранник. Кинематические характеристики движения точки тесно связаны с геометрическими свойствами траектории. Как известно из дифференциальной геометрии, в каждой точке кривой есть три взаимно перпендикулярных направления: касательная, главная нормаль и бинормаль, единичные вектора (или орты) которых обозначим соответственно Кинематика в теоретической механике Орт Кинематика в теоретической механике направлен в сторону положительного отсчета дуговой координаты Кинематика в теоретической механике и, орт Кинематика в теоретической механике – в сторону вогнутости траектории, орт Кинематика в теоретической механике направлен так, чтобы Кинематика в теоретической механике образовывали правую систему координат. Указанные оси (касательная, главная нормаль и бинормаль) называются натуральными.

Итак, натуральные оси – это подвижные оси, связанные с подвижной точкой М, образующие правую прямоугольную систему координат (натуральный трехгранник) (рис. 7.16).  Плоскость, проходящая через главную нормаль Кинематика в теоретической механике и бинормаль Кинематика в теоретической механике, называется нормальной. Координатная плоскость, проходящая через касательную Кинематика в теоретической механике и главную нормаль Кинематика в теоретической механике, называется соприкасающейся, а плоскость, проходит через касательную Кинематика в теоретической механике и бинормаль Кинематика в теоретической механике, -спрямляющей (рис. 7.16). Если рассматриваемая кривая является плоской, то она расположена в соприкасающейся плоскости.

Кинематика в теоретической механике

Кривизна кривой.  Угол, образует дугу Кинематика в теоретической механикемежду двумя касательными в двух любых точках М и Кинематика в теоретической механике на кривой называется углом смежности. Обозначим его через Кинематика в теоретической механике. Отношение Кинематика в теоретической механике к элементу дуги Кинематика в теоретической механике называется средней кривизной кривой Кинематика в теоретической механике на отрезке Кинематика в теоретической механике (рис. 7.12):

Кинематика в теоретической механике                                                                                                       (7.56)

Предел этого отношения при Кинематика в теоретической механикеназывается кривой Кинематика в теоретической механикев данной точке:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                            (7.57)

В общем случае кривизна кривой не является постоянной величиной и изменяется от точки
к точке. Величина Кинематика в теоретической механике, обратная к  кривизне в данной точке М, называется радиусом
кривизны кривой в этой точке:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                         (7.58)

Очевидно, что:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                           (7.59)

Ускорение точки при натуральном способе задания движения определяется по теореме.
 Теорема. Полное ускорение точки равно векторной сумме касательного (тангенциального) и нормального ускорений.
 Доказательство. Пусть движение точки задано натуральным способом. Тогда вектор скорости подадим в виде (7.33). Учитывая это и соблюдая определения ускорения при векторном способе задания движения точки, получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                        (7.60)

Первое слагаемое является вектором, направленным по касательной Кинематика в теоретической механике, он называется касательной, или тангенциальной составляющей ускорения и обозначается Кинематика в теоретической механике.  Итак,

Кинематика в теоретической механике                                                                                                         (7.61)

Как следует из (7.61), касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине и равно первой производной от проекции скорости на касательную или второй производной от дуговой координаты по времени.  Чтобы определить второе слагаемое, представим его в виде:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                        (7.62)

Кинематика в теоретической механике

Рассмотрим предварительно тождество Кинематика в теоретической механике и продифференцируем его по Кинематика в теоретической механике, получим Кинематика в теоретической механике. С этого выплывает, что вектора Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике– перпендикулярные. Поскольку вектор Кинематика в теоретической механике всегда направленным в сторону вогнутости траектории (рис. 7.17, а) и лежит в
 соприкасающихся плоскостях, то вектор Кинематика в теоретической механике так же лежит в соприкасающейся плоскости, направленный в сторону вогнутости траектории и перпендикулярный к Кинематика в теоретической механике, то есть направленный по главной нормали Кинематика в теоретической механике к центру кривизны траектории.

Определим теперь модуль вектора Кинематика в теоретической механике С равнобедренного треугольника Кинематика в теоретической механике (рис. 7.17, а) выплывает, что Кинематика в теоретической механике где Кинематика в теоретической механике– угол смежности. Тогда:Кинематика в теоретической механике

Следовательно:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                        (7.63)

Таким образом,  с учетом (7.62) и (7.63) второе слагаемое выражения (7.60) будет выглядеть так:

Кинематика в теоретической механике

и называется нормальным ускорением и обозначается  Кинематика в теоретической механике, то есть:

Кинематика в теоретической механике                                                                                             (7.64)

Отсюда следует, что нормальное ускорение Кинематика в теоретической механике направлено в сторону вогнутости траектории к центру кривизны, и характеризует изменение скорости по направлению.
 Поскольку составляющие вектора Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механикележат в соприкасающейся  плоскости, то и вектор Кинематика в теоретической механике так же  расположен в соприкасающейся  плоскости. Поэтому проекция полного ускорения Кинематика в теоретической механике на бинормаль Кинематика в теоретической механикеИтак, на основании (7.60), (7.61) и (7.64) (рис. 7.17, б) окончательно получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                   (7.65)

что и нужно было доказать.

Модуль полного ускорения:

Кинематика в теоретической механике                                                                                              (7.66)

Направление вектора Кинематика в теоретической механике по углу Кинематика в теоретической механике, который образуется между вектором Кинематика в теоретической механике и вектором Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

Если движение точки задано координатным способом, то, воспользовавшись выражениями (7.64) и (7.66), нетрудно получить следующее выражение для радиуса кривизны:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                                      (7.67)

Заметим так же, что выражение (7.61) для касательного ускорения, можно представить в таком виде:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

С учетом последнего выражения (7.67) для радиуса кривизны можно записать так:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                                                  (7.68)

В случае плоского движения, когда Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике формула (7.68) приобретает очень простую форму:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                           (7.69)

Если движение задано в полярной системе координат, то можно убедиться, что формулу для кривизны траектории можно записать в виде:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                          (7.70)

Приведем еще формулу для радиуса кривизны в случае, когда уравнение плоской кривой задано в явной форме Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике                                                                                                                   (7.71)

В завершении приведем формулы Френе, которые дают возможность установить связь между ортами Кинематика в теоретической механике и радиус-вектором Кинематика в теоретической механике.

В параграфе 7.7. выражение (7.30) (рис. 7.12) дает соотношение:Кинематика в теоретической механике

Из  последней формулы и выражения (7.63) получим: Кинематика в теоретической механике

Поскольку бинормаль Кинематика в теоретической механике перпендикулярная к нормали Кинематика в теоретической механике , и касательной Кинематика в теоретической механике то очевидно:

Кинематика в теоретической механике

Приведенные соотношения и являются формулами Френе.

Отдельные случаи движения точки

Прямолинейное движение. Если во время движения точки нормальное ускорение Кинематика в теоретической механике равно нулю, то движение точки будет  прямолинейным.  Действительно, если Кинематика в теоретической механике,то  Кинематика в теоретической механике и  Кинематика в теоретической механикето есть траекторией является прямая. В этом случае полное ускорение равно касательному: Кинематика в теоретической механике

Если при криволинейном движении точки в данный момент времени нормальное ускорение равна нулю Кинематика в теоретической механике, то точка в этот  момент времени находится в точке перегиба траектории.

Равномерное криволинейное движение.  Если во время движения точки касательное ускорение равна нулю Кинематика в теоретической механике, то проекция скорости Кинематика в теоретической механике не меняется. ДействительноКинематика в теоретической механике В этом случае точка движется равномерно по кривой, а полное ускорение точки равно нормальному: Кинематика в теоретической механике

Равномерное прямолинейное движение.  Если во время движения точки ее ускорение равно нулю  Кинематика в теоретической механике, то движение является равномерным и прямолинейным, поскольку скорость в этом случае не меняется ни по величине, ни по направлением.

Равнопеременное криволинейное движение. Если во время движения точки по некоторой кривой, касательное ускорение будет постоянным по величине Кинематика в теоретической механике то движение точки называется равнопеременным криволинейным движением. Причем, если ускорение Кинематика в теоретической механике совпадает с направлением скорости, то движение точки называется равноускоренным, если Кинематика в теоретической механике направлено в сторону, противоположную скорости, – равнозамедленным.

Найдем скорость и закон движения точки Кинематика в теоретической механике в случае равномерного движения. Поскольку Кинематика в теоретической механикето Кинематика в теоретической механике Постоянную интегрирования определим из начальных условий движения: при Кинематика в теоретической механике Следовательно, Кинематика в теоретической механике Подставив значение Кинематика в теоретической механике получим Кинематика в теоретической механике

Поскольку Кинематика в теоретической механике то Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике Отсюда путем интегрирования найдем закон движения точки:

Кинематика в теоретической механике

Постоянную интегрирования Кинематика в теоретической механике определим из начальных условий движения: при Кинематика в теоретической механике Следовательно, Кинематика в теоретической механике Поэтому: Кинематика в теоретической механике

Прямолинейные гармонические колебания точки. Пусть точка движется по прямой, например по оси Ох, и ее расстояние от начала координат меняется по закону:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                          (7.72)

где Кинематика в теоретической механике– постоянные.

Движение точки является колебательным между положениями точки Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механикеКолебания, которые определяются законом (7.72), называются гармоничными колебаниями. Величина а называется амплитудой колебаний и является крупнейшим отклонением точки от центра колебаний Кинематика в теоретической механикеА. Промежуток времени Кинематика в теоретической механике на протяжении которого точка совершает полное колебание, называется периодом колебаний; величина Кинематика в теоретической механике – круговой частотой колебаний (более полно теорию колебаний изложены в части IV) Кинематика в теоретической механике – фазой колебаний, Кинематика в теоретической механике – начальной фазой колебаний.

Пример 1. Найти уравнение траектории, скорость, ускорение и радиус кривизны в момент Кинематика в теоретической механике,  если уравнения движения точки имеют следующий вид: Кинематика в теоретической механике

 Решение. Уравнение траектории задается в параметрической форме Исключив параметр Кинематика в теоретической механике найдем Кинематика в теоретической механике а это в свою очередь является уравнением траектории в явной форме: Кинематика в теоретической механике

Итак, траекторией точки будет эллипс с полуосями Кинематика в теоретической механике Поскольку движение точки задано координатным способом, то скорость и ускорение найдем по их проекциями на оси координат:

Кинематика в теоретической механике

Определим модули и направления скорости и ускорения:

Кинематика в теоретической механике

При Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

Аналогично

Кинематика в теоретической механике

При Кинематика в теоретической механике Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

Радиус кривизны определяется по формуле (7.67):

Кинематика в теоретической механике где 

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

При Кинематика в теоретической механике

Пример 2. Точка движется по кругу радиусом Кинематика в теоретической механикем. Закон ее движения по траектории Кинематика в теоретической механике Найти величину скорости, касательного, нормального и полного ускорений точки
в момент времени Кинематика в теоретической механике

Решение. Поскольку движение точки задано натуральным способом, то скорости точки определяются в виде Кинематика в теоретической механике, а при Кинематика в теоретической механике Соответственно касательное и нормальное ускорение Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике при Кинематика в теоретической механике получим Кинематика в теоретической механике

Полное ускорение точки Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

Пример 3. По заданным уравнениям движения точки найти ее траекторию, скорость, ускорение и радиус кривизны.Кинематика в теоретической механике

Решение. Для нахождения траектории точки возведем х и у в квадрат и добавим их,
тогда получимКинематика в теоретической механике Итак, траекторией движения точки есть круг (рис. 7.18).
 Для нахождения скорости и ускорения вычислим сначала их проекции на оси:

Кинематика в теоретической механике

Теперь легко вычислить величины скорости и ускорения:Кинематика в теоретической механике

Траектория точки показана на рис. 7.18. Очевидно, что радиус кривизны равен радиусу окружности Кинематика в теоретической механике, то есть Кинематика в теоретической механике 

Убедимся в этом с помощью формул. Используем формулу (7.70). В этом случае:

Кинематика в теоретической механике следовательно Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Пример 4. Движимое колесо радиусом Кинематика в теоретической механике (рис. 7.19, а) катится без скольжения с помощью
кривошипа ОА внутри неподвижного колеса радиусом R. Составить уравнение траектории точки М подвижного колеса. Для частного случая Кинематика в теоретической механике (рис. 7.19, б) определить скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки Кинематика в теоретической механике если кривошип вращается равномерно.
 Решение. Расположим в точке О  начало неподвижных осей Кинематика в теоретической механике  и Кинематика в теоретической механике. Обозначим через Кинематика в теоретической механике
мгновенное значение угла между кривошипом ОА и осью Ох. Поскольку по условиям задачи качения происходит без скольжения, то дуги ВС и CM должны быть равными. Таким образом,

Кинематика в теоретической механике                                                                                                                                         (1)

где Кинематика в теоретической механике – угол поворота движимого колеса.

Кинематика в теоретической механике

Отметим, что кривошип ОА и движимое колесо вращаются в противоположных направлениях.
 Обозначив через Кинематика в теоретической механикеи Кинематика в теоретической механике координаты точки М, получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                     (2)

Подставив в (2) из (1) выражение Кинематика в теоретической механике через Кинематика в теоретической механике, найдем необходимый нам закон движения точки М:

Кинематика в теоретической механике

Уравнение (3) представляют собой в параметрической форме уравнения гипоциклоида – кривой, описываемой точкой окружности, катящейся без скольжения внутри второго круга.
 Дальнейшее исследование нужно провести для случае Кинематика в теоретической механике считая, что кривошип ОА вращается равномерно, то есть Кинематика в теоретической механике, где Кинематика в теоретической механике некоторая постоянная величина, которую называют круговой частотой. В этом случае уравнение (3) приобретают вид:

Кинематика в теоретической механике                                                                                              (4)

Дальше получим:

Кинематика в теоретической механике

Следовательно, Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике Радиус кривизны найдем по формуле (7.69). Поскольку Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике знаменатель формулы (7.69) равен нулю, следовательно, Кинематика в теоретической механике Это означает, что точка М в этом случае движется по прямой ОВ (рис. 7.19,б).

Криволинейные координаты. Коэффициенты Ламе

  Криволинейными координатами точки называется система независимых параметров, однозначно определяющих ее положение. Обозначим криволинейные координаты через Кинематика в теоретической механике Примером могут быть  полярные, сферические или цилиндрические координаты. Так, в случае сферических координат Кинематика в теоретической механике В Случае цилиндрических координат Кинематика в теоретической механике полярных координат Кинематика в теоретической механике

Уравнения движения точки в криволинейных координатах будут выглядеть так: 

Кинематика в теоретической механике                                                                                                           (7.73)

Эти функции должны быть непрерывными и однозначными и хотя бы дважды дифференцируемыми. Пусть радиус-вектор, определяющий положение точки М, которая задана координатами  Кинематика в теоретической механике проведена с произвольно выбранного центра О (рис. 7.20). тогда:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                         (7.74)

Кинематика в теоретической механике

Проекции радиус-вектора на оси декартовой системы координат также являются функциями Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике  то есть:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                    (7.75)

Если в функциях (7.75) только одна координата Кинематика в теоретической механике переменная, а две другие имеют фиксированное значение, то получим уравнение координатной линии, которое соответствует изменению координаты Кинематика в теоретической механике (рис. 7.20):

Кинематика в теоретической механике                                                                                                    (7.76)

Аналогично определяются координатные линии, соответствующие изменению Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике.
 В каждой точке пространства пересекаются три координатные линии, касательные к которым в указанной точке, проведенные в сторону увеличения координат, называются координатными осями Кинематика в теоретической механике Координатные оси в общем случае определяют не ортогональную криволинейную систему.
 Если в уравнениях (7.75) менять две координаты при фиксированной третий, то полученные поверхности называются координатными. Уравнение координатных поверхностей имеют вид:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                    (7.77)

Каждое из этих уравнений определяет в соответствии поверхности Кинематика в теоретической механике. Плоскости, которые касаются в некоторой точке М координатных плоскостей, называются координатами. Координатные оси лежат в соответствующих координатных плоскостях.
 Определим теперь орты Кинематика в теоретической механике координатных осей. Для этого рассмотрим движение точки по координатной линии, соответствующей изменению координаты Кинематика в теоретической механике. Пусть в момент
времени t точка находится в положении Кинематика в теоретической механике (Рис. 7.21). Вектор,Кинематика в теоретической механике вычисленный в точке Кинематика в теоретической механике
направленный по касательной к координатной линии Кинематика в теоретической механике  то есть он направлен по координатной оси Кинематика в теоретической механике в сторону увеличения Кинематика в теоретической механике.  Поскольку:

Кинематика в теоретической механике

то

Кинематика в теоретической механике

Отсюда единичный вектор Кинематика в теоретической механике

Аналогично можно получить формулы для Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике. Следовательно, единичные вектора криволинейной координатной системы Кинематика в теоретической механикеопределяются по формулам:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                     (7.78)

где

Кинематика в теоретической механике                                                                                                       (7.79)

Как видно из формул (7.79), Кинематика в теоретической механике являются функциями криволинейных координат Кинематика в теоретической механике и
называются коэффициентами Ламе или дифференциальными параметрами Ламе.
 Применяя формулы (7.78), можно определить косинусы криволинейных координатных осей с осями декартовых координат. Действительно, введя единичные вектора декартовых координатных осей Кинематика в теоретической механике получим:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

     Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                                           (7.80)

     Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

Будем рассматривать только ортогональные криволинейные координаты, координатные оси которых взаимно перпендикулярны. Условиями ортогональности является равенство нулю скалярных произведений единичных векторов, то есть Кинематика в теоретической механике или:

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике                                                                                                                        (7.81)

Покажем, что коэффициенты Ламе являются множителями при дифференциалах координат в выражениях дифференциалов дуг соответствующих координатных линий. Действительно, найдем формулу, по которой определяется дифференциал дуг кривой в системе ортогональных координат. Для этого сначала определим элементарное перемещение:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                    (7.82)

Тогда

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

или, учитывая ортогональность криволинейных координат (7.81), получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                     (7.83)

поскольку Кинематика в теоретической механике согласно (7.78)

На основании полученной формулы легко перейти к определению коэффициентов Ламе. Получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                              (7.84)

Последние выражения можно получить, поочередно предполагая изменение только одной криволинейной координаты и считая две другие фиксированными.
 Пример 5. Определить коэффициенты Ламе, если движение точки задано в цилиндрической (рис. 7.3)Кинематика в теоретической механике или в сферической (рис. 7.4) Кинематика в теоретической механике системах координат.

Решение. В цилиндрической системе координат получим: Кинематика в теоретической механике

Следовательно, Кинематика в теоретической механике Аналогично в сферической системе координат Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике Отсюда Кинематика в теоретической механике

Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах

На основании (7.13) и с учетом зависимости (7.74) получим следующее выражение для скорости в криволинейных координатах:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                                         (7.85)

Из формулы (7.78) получим

Кинематика в теоретической механике

С учетом этих соотношений получим

Кинематика в теоретической механике                                                                                                       (7.86)

Это равенство можно рассматривать как разложение скорости по единичным ортах осей
криволинейной системы координат, то есть:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                       (7.87)

Поскольку рассматривается случай ортогональной криволинейной системы координат,
то модуль скорости находим по формуле:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                         (7.88)

Для определения ускорения точки в криволинейных координатах найдем сначала проекции вектора ускорения на координатные оси, учитывая соотношение (7.78):

Кинематика в теоретической механике                                                                                                   (7.89)

Не тяжело убедиться, что правую часть этих равенств можно представить в виде:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                    (7.90)

Для дальнейшего преобразования формулы (7.90) получим очевидные тождества, которые вытекают из выражений (7.86) и (7.78):

Кинематика в теоретической механике

или 

Кинематика в теоретической механике                                                                                                       (7.91)

Продифференцировав по времени выражение Кинематика в теоретической механике как сложную функцию переменных Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                     (7.92)

Определив затем из выражения (7.85) частные производные Кинематика в теоретической механике и сравнив их с последними соотношениями (7.92), получим такие тождества:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                      (7.93)

Подставив в  (7.90) значение Кинематика в теоретической механике с тождества (7.91) и Кинематика в теоретической механике (7.93), получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                    (7.94)

Преобразуем дальше скалярные произведения  Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике к виду:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                    (7.95)

Подставив соотношения (7.95) в (7.94), найдем проекции ускорений точки на оси криволинейной системы координат:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                              (7.96)

Введем сокращенное обозначение, согласно (7.88),

Кинематика в теоретической механике                                                                                                    (7.97)

окончательно получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                               (7.98)

Отметим, что как будет показано в динамике, выражение Кинематика в теоретической механике в данном случае является кинетической энергией единичной массы, а выражение Кинематика в теоретической механике – левой частью уравнения Лагранжа второго рода.

Пример 6. Движение точки задано в цилиндрической системе координат Кинематика в теоретической механике Найти выражения для ускорения и скорости точки.

Решение. Учитывая связь декартовых координат с цилиндрическими, получимКинематика в теоретической механике По формулам (7.84) найдем коэффициенты Ламе. Действительно, поскольку Кинематика в теоретической механике то Кинематика в теоретической механикеСледовательно, Кинематика в теоретической механике Кинематика в теоретической механике Теперь по формулах (7.87) найдем проекции скоростей:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

откуда Кинематика в теоретической механике

Затем определим ускорение точки. Для этого составив выражение для функции:

Кинематика в теоретической механике

Вычислим Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике для того, чтобы воспользоваться формулой (7.98):

Кинематика в теоретической механике

Теперь по формуле (7.98) найдем проекции ускорения на оси заданной криволинейной системы координат:

Кинематика в теоретической механике

Пример 7. Найти выражения для скорости и ускорение точки, движение которой задано в сферической системе координат (рис. 7.4).
 Решение. Криволинейными координатами в этом случае является Кинематика в теоретической механике
которые связаны следующими соотношениями с декартовыми: Кинематика в теоретической механике

Для выражения коэффициентов Ламе, воспользуемся выражениями (7.79). Для этого найдем сначала частные производные Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Подставив эти производные в формулы (7.79), получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                (1)

Дальше по формуле (7.87) получим:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                              (2)

Для нахождения соответствующих проекций ускорения вычислим сначала вспомогательную функцию Кинематика в теоретической механике по формуле (7.97), воспользовавшись (1):

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                           (3)

Проведем вспомогательные вычисления согласно операциям формулы (7.98):

Кинематика в теоретической механике                                                                                                    (4)

Подставив выражения (4) в (7.98), получим:

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                                                                         (5)

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике  

Выражения (2) и (5) будут решениями этой задачи.

Пример 8. Самолет, который принято за точку, движется относительно земной поверхности, которая принята  за сферу радиусом R со скоростью на заданной высоте h так, что ее северная и восточная составляющие соответственно равны Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике (рис. 7.22). Найти ускорение самолета относительно Земле, не учитывая ее собственного вращения.

Кинематика в теоретической механике
 Решение. Отметим, что ортогональная система криволинейных координат Кинематика в теоретической механикеявляется декартовой системой координат, которая жестко связаны с Землей и которую называют географической. Из условий у нас есть:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                                 (1)

Поскольку самолет летит на одной высоте, то очевидно, что Кинематика в теоретической механике Подставив (1) в формулы для Кинематика в теоретической механике примера 7, получим:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Пример 9. При условиях задачи 8 найти ускорение самолета относительно неподвижной системы координат Кинематика в теоретической механике с учетом суточного вращения Земли с угловой скоростью  Кинематика в теоретической механике
 Решение. С рис. 7.23 видим, что вращение Земли даст дополнительно две составляющие угловые скорости Кинематика в теоретической механике

Что касается угловых скоростей, которые характеризуются криволинейными координатами
Кинематика в теоретической механикето, как видно из рис. 7.23, угловая скорость Кинематика в теоретической механике направлена ​​по той же оси, что и Кинематика в теоретической механике
поэтому угловые скорости, характеризующих изменения координат Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике, будут иметь вид:

Кинематика в теоретической механике                                                                                                          (1)

где Кинематика в теоретической механике Кинематика в теоретической механике                                                                                (2)

Кинематика в теоретической механике

Итак, для вычисления ускорения самолета в неподвижной системе координат с учетом суточного вращения Земли нужно в формулу примера 7 подставить значение Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике, которые определяются  выражением (1).  В результате получим:

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                    (3)

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике         

Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике                 (4)Кинематика в теоретической механике

Выражения  (3) и (4) и будут решением задачи.

Основные понятия кинематики

Кинематика изучает движение материальных объектов как моделей реальных тел (точка, твердое тело, материальная система) с геометрической точки зрения, как геометрических образов, без изложения причин, вызывающих это движение. Такой подход не требует учета инерционных и силовых характеристик: масса и момент инерции, сила и момент силы.

Движение является формой существования материального мира, а механическое движение, простейшая форма движения материи — один из результатов взаимодействия материальных тел. Под ним понимают изменение положения тел в пространстве в течении времени по отношению к другому телу, с которым связана система отсчета.

Пространство, в котором происходит движение геометрических моделей в форме
перечисленных материальных объектов, считается абсолютным, метрические
особенности которого независимы от движения в нем материи в разных точках и
направлениях (однородность и изотропность пространства). Такое пространство
воспринимается как трехмерное, так что каждой точке абсолютного пространства
соответствуют, например, в декартовой системе, три координаты. Единицей измерения пространства в Международной системе единиц СИ является метр (1 м). 1 метр — это Кинематика в теоретической механике
млн. часть длины земного меридиана.

Свойство абсолютного времени — однородность и универсальность, оно одинаково всплывает во всех точках пространства, на всех телах. Поэтому можно
произвольно выбирать начало отсчета времени и измерять интервалы между
отдельными промежутками или моментами времени. Единицей измерения времени является секунда (1 с). 1 секунда — это Кинематика в теоретической механике тыс. часть суток.

Под абсолютным пространством и временем вводится понятие системы отсчета. Это совокупность системы координат, неизменно связанной с некоторым телом отсчета, и устройством с периодическим процессом для измерения времени (часы).

Во множественном числе систем отсчета, в которых можно постулировать пространство и время как абсолютные, выбираются так называемые инерциальные системы отсчета, в которых изолированная материальная точка может неограниченно долго находиться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения под действием системы
уравновешенных сил.

Если некоторая система отсчета служит за инерциальную с заданной степенью точности, то можно указать бесконечное количество инерциальных систем отсчета, движущихся относительно выбранной системы поступательно, равномерно и прямолинейно.

При решении задач небесной механики, исчислении траекторий спутников принимается гелиоцентрическая система отсчета с началом в центре масс Солнечной системы и осями координат, направленными на неподвижные звезды.

При решении многих технических задач по инерциальную принимают за систему отсчета, связанную с центром Земли (геоцентрическая система отсчета).

Движение геометрической модели относительно выбранной системы отсчета считается известным, если можно определить его положение относительно этой системы в любой момент времени. При этом различают момент времени и промежуток времени. Промежуток времени — это течение времени между двумя физическими явлениями. Момент времени — это граница между двумя смежными промежутками времени.

Положение модели относительно данной системы отсчета определяется
соответствующими параметрами, а ее движение — кинематическими уравнениями,
выражают изменение этих параметров как функций времени.

Основная задача кинематики заключается в том, чтобы по известным кинематическим уравнениям движения определить кинематические характеристики этого движения: траектории точек, их линейные скорости и ускорения; угловые скорости и ускорения тела.

Поскольку каждое тело состоит из материальных точек, то естественно начать кинематику по изучению движения материальной точки.

Кинематика материальной точки

Для того, чтобы изучать движение материальной точки, необходимо выбрать способ его задания. Существует несколько способов задания движения материальной точки.

Кинематически задать движение или закон движения точки значит указать такой способ, позволяющий определить положение этой точки относительно данной системы отсчета в любой момент времени.

Способы задания движения материальной точки

Для задания движения материальной точки можно применить один из трех следующих способов:

1. Векторный;

2. Координатный;

3. Натуральный.

Рассмотрим последовательно указанные способы.

Векторный способ задания движения материальной точки

Этот способ нашел широкое применение в теоретических расчетах. Рассмотрим сущность этого способа.

Предположим, что произвольная материальная точка M движется в пространстве по некоторой траектории AB (рис. 2.1). Возьмем в пространстве прямоугольную декартову систему координат Oxyz с единичными векторами (ортами) на соответствующих осях Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике. С начала системы координат точки В проведем к подвижной точке M радиус-вектор Кинематика в теоретической механике. При движении точки M ее радиус-вектор Кинематика в теоретической механике будет с течением времени изменяться по величине (модулем) и направлением. Таким образом, если будет задан закон изменения радиус-вектора Кинематика в теоретической механике подвижной точки M как функция времени, то движение материальной точки считается заданным векторным способом. Математически это можно записать так:

Кинематика в теоретической механике = Кинематика в теоретической механике (t),

где t — время.

Соотношение называется кинематическим уравнением движения материальной точки в векторной форме. Одновременно это выражение можно рассматривать как уравнение траектории движения.

Найдем в принятой системе координат Oxyz величину радиус-вектора Кинематика в теоретической механике, для чего спроектируем его на оси координат:

Кинематика в теоретической механике = x(t) Кинематика в теоретической механике + y(t) Кинематика в теоретической механике + z(t) Кинематика в теоретической механике

где x(t), y(t), z(t) — текущие значения координат конца радиус-вектора Кинематика в теоретической механике или координаты подвижной точки M.

Кинематика в теоретической механике

Определим кинематические характеристики подвижной точки М.

Траектория движения точки

Траекторией АВ движения материальной точки М является геометрическое место концов радиус-вектора Кинематика в теоретической механике или непрерывная линия, которую описывает точка при своем движении относительно данной системы отсчета.

Введем понятие годографа векторной функции Кинематика в теоретической механике(t) по скалярному аргументу t. Это кривая, которая намечается концом вектора Кинематика в теоретической механике при непрерывном изменении времени t, когда начало вектора остается в фиксированной точке О. То есть, годограф описывает концы векторов Кинематика в теоретической механикеКинематика в теоретической механике, … ,Кинематика в теоретической механике,  что соответствуют конкретным положением точки M в процессе движения. Это касается не только радиус-векторов, а и векторов скоростей, ускорений тому подобное. В данном случае годограф совпадает с траекторией АВ.

Скорость движения точки

Вторая кинематическая характеристика — скорость движения материальной точки M, показывает, как быстро и в каком направлении меняется ее положение в пространстве.

Скорость — это векторная величина, характеризующая степень изменения перемещения по времени.

Единица измерения скорости — Кинематика в теоретической механике или Кинематика в теоретической механике.

Для определения этой кинематической характеристики рассмотрим движение
материальной точки М. Считаем, что точка М движется по произвольной траектории АВ (рис. 2.1). За некоторый промежуток времени ∆t точка переместилась из положения М в положение M1 (радиус-вектор Кинематика в теоретической механике). Для того чтобы определить перемещение точки М за промежуток времени ∆t, соединим точки М и M1 и получим вектор ∆Кинематика в теоретической механике, который является геометрической разницей между векторами Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике. Тогда средняя скорость точки M за промежуток времени ∆t (согласно определения) равна:

Кинематика в теоретической механике

По направлению вектор Кинематика в теоретической механике будет совпадать с вектором ∆Кинематика в теоретической механике, то есть он расположен вдоль хорды MM1 в сторону движения точки M.

Если рассмотреть границу средней скорости Кинематика в теоретической механике при условии, что ∆стремится к нулю (∆t → 0), то скорость точки M в любой момент времени t будет равна:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, при векторном способе задания движения материальной точки ее скорость является первой производной от радиус-вектора точки по времени.

Направление вектора скорости Кинематика в теоретической механике точки — по касательной к траектории и направлен в сторону ее движения.

Ускорение движения точки

Третья кинематическая характеристика — ускорение движения материальной точки M, показывает, как быстро и в каком направлении меняется ее скорость движения.

Ускорение — это векторная величина, характеризующая степень изменения вектора скорости по времени.

Единица измерения ускорения — Кинематика в теоретической механике.

Определим ускорение материальной точки M. Рассмотрим движение точки по произвольной траектории AB (рис. 2.2). В положении М скорость точки была Кинематика в теоретической механике. За некоторый промежуток времени ∆t точка переместилась в положение М1, а ее скорость изменилась и равна Кинематика в теоретической механике. Указанные векторы скоростей точки будут направлены по касательным к траектории. Найдем прирост скорости за данный промежуток времени. Для этого перенесем параллельно вектор скорости Кинематика в теоретической механике в положение М. Соединим концы векторов Кинематика в теоретической механике и Кинематика в теоретической механике и получим вектор ∆Кинематика в теоретической механике. Отношение прироста ∆Кинематика в теоретической механике вектора Кинематика в теоретической механике к промежутку времени ∆t согласно определению ускорения будет средним ускорением подвижной материальной точки М. А именно:

Кинематика в теоретической механике

Вектор Кинематика в теоретической механике, будет параллельным вектору ∆Кинематика в теоретической механике.

Для получения мгновенного ускорения материальной точки необходимо рассмотреть бесконечно малый промежуток времени (то есть ∆t → 0), а все выражение свести к границе:

Кинематика в теоретической механике

Кинематика в теоретической механике

Если подставить в значение скорости точки уравнение выше, то будем иметь:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, при векторном способе задания движения материальной точки ее ускорение равно первой производной от скорости движения точки по времени, или второй производной от радиус-вектора точки по времени.

Вектор ускорения Кинематика в теоретической механике материальной точки будет направлен в сторону вогнутости траектории, то есть к ее центру кривизны. Более подробно о направлении вектора ускорения материальной точки будет дальше.

Координатный способ задания движения материальной точки

Этот способ задания движения материальной точки широко используется при решении задач, в технических расчетах.

При таком способе задания движения материальной точки заранее задаются координаты материальной точки как функции времени. Если выбрать в пространстве прямоугольную декартову систему координат Oxyz, то при движении точки M все три ее координаты будут меняться со временем (рис. 2.1). Для того, чтобы знать положение точки в любой момент времени, а также для определения ее кинематических характеристик, необходимо задать выражения этих координат как функции времени:

x = x(t),

y = y(t),

z = z(t).

Эти параметрические уравнения, в которых роль параметра играет время t, является
кинематическими уравнениями движения точки в прямоугольной декартовой системе
координат (или законом движения точки в координатной форме) и определяют суть данного способа.

Следует заметить, что если движение материальной точки осуществляется в одной плоскости xOy, то в уравнениях закон изменения координаты z уже не нужен и уравнение приобретает следующий вид:

x = x(t),

y = y(t),

Если материальная точка совершает прямолинейное движение, то достаточно выбрать одну ось координат, например Ox, совместив ее с направлением движения, тогда это движение будет описано одним уравнением:

x = x(t).

Определим кинематические характеристики движения материальной точки при данном способе задания ее движения.

Траектория движения точки

Уравнения выше фактически являются уравнениями траектории движения материальной точки в параметрической форме, в которых, как было сказано выше, роль параметра играет время t. Для нахождения траектории движения в обычной форме необходимо исключить из уравнений движения время t, то есть получить зависимость между самими координатами. Это можно сделать несколькими способами. Например, подстановкой или подъемом обеих частей уравнений квадрату и почленно добавлением (если уравнения содержат тригонометрические функции).

Пример:

Движение материальной точки осуществляется в плоскости xOy и заданный такими уравнениями:

x = 2t, м,

y = 12t2, м,

Определить траекторию движения точки.

Решение.

Траекторию движения материальной точки можно определить одним из двух способов:

а) задать разные моменты времени и изобразить координаты точки х, у на графике;

б) исключить время t из заданных уравнений движения. Так, из первого уравнения время будет равняться t = Кинематика в теоретической механике. Тогда после подстановки времени во второе уравнение, будем иметь:

yКинематика в теоретической механике  = 3x.

Таким образом, траектории движения точки является парабола с вершиной, которая
расположена в начале координат и осью симметрии yO.

Пример:

Движение материальной точки задано уравнениями:

x = 3sin t см,

y = 3cos t см,

где t — в секундах.

Определить траекторию движения точки.

Решение.

Уравнение траектории движения можно определить, если исключить время t с уравнений движения. Перепишем уравнение движения материальной точки следующим образом:

Кинематика в теоретической механике

Поднося к квадрату и добавляя отдельно левые и правые части этих выражений, получим:

Кинематика в теоретической механике

или

x2 + y2 = 32.

Итак, уравнением траектории движения материальной точки будет уравнения
окружности радиусом R = 3 см с центром в начале координат.

Скорость движения точки

Для определения скорости движения материальной точки при координатном способе задания используем основные положения, которые были полученные при рассмотрении векторного способа задания движения материальной точки. С этой целью, подставив выражение в выражение, получим:

Кинематика в теоретической механике

С другой стороны, вектор скорости Кинематика в теоретической механике (как и любой другой вектор) можно в принятой системе координат Oxyz представить через его проекции на оси координат. А именно:

Кинематика в теоретической механике

где vx, vy, и vz — проекции вектора скорости на соответствующие оси координат.

Если рассмотреть и сравнить выражения, то можно увидеть, что есть возможность приравнять коэффициенты при единичных векторах Кинематика в теоретической механике,  Кинематика в теоретической механике ,Кинематика в теоретической механике и получить такие выражения для проекций вектора скорости на соответствующие оси координат:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, проекции вектора скорости материальной точки на координатные оси равны первым производным по времени от соответствующих координат.

Если известны проекции вектора скорости на оси координат, то есть возможность составить их геометрически и получить модуль вектора скорости v материальной точки:

Кинематика в теоретической механике

Направление вектора скорости Кинематика в теоретической механике определяется через направляющие косинусы углов, которые этот вектор образует с соответствующими осями координат:

Кинематика в теоретической механике

Зная направляющие косинусы, через арккосинус находят сами углы.

Ускорение движения точки

Для определения ускорения движения материальной точки при координатном способе задания движения ведем себя аналогично, как и в случае определения скорости движения. А именно: значение радиус-вектора Кинематика в теоретической механике подставим в выражение, определим вторую производную и найдем ускорение

Кинематика в теоретической механике

С другой стороны, вектор ускорения Кинематика в теоретической механике можно в принятой системе координат Oxyz представить в виде его проекций на оси координат. А именно:

Кинематика в теоретической механике

Если сравнить уравнения, то можно написать такие соотношения:

Кинематика в теоретической механике

Таким образом, проекции вектора ускорения материальной точки на оси координат равны вторым производным по времени от соответствующих координат.

Если известны проекции вектора ускорения на оси координат, то есть возможность составить их геометрически и получить модуль самого вектора:

a = Кинематика в теоретической механике.

Направление вектора Кинематика в теоретической механике также определяется через направляющие косинусы:

Кинематика в теоретической механике

Используя значение направляющих косинусов, через арккосинус находят сами углы.

Таким образом, при координатном способе задания движения материальной точки, если это движение осуществляется в пространстве, ее скорость Кинематика в теоретической механике и ускорение Кинематика в теоретической механикеопределяются соответственно с помощью выражений. Если движение осуществляется в плоскости, то во всех этих выражениях отбрасывается одна координата, а если прямолинейно, то отбрасываются две координаты.

Услуги по теоретической механике:

  1. Заказать теоретическую механику
  2. Помощь по теоретической механике
  3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

  1. Статика
  2. Система сходящихся сил
  3. Момент силы
  4. Пара сил
  5. Произвольная система сил
  6. Плоская произвольная система сил
  7. Трение
  8. Расчет ферм
  9. Расчет усилий в стержнях фермы
  10. Пространственная система сил
  11. Произвольная пространственная система сил
  12. Плоская система сходящихся сил
  13. Пространственная система сходящихся сил
  14. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
  15. Естественный способ задания движения точки
  16. Центр параллельных сил
  17. Параллельные силы
  18. Система произвольно расположенных сил
  19. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
  20. Кинематика твердого тела
  21. Движения твердого тела
  22. Динамика материальной точки
  23. Динамика механической системы
  24. Динамика плоского движения твердого тела
  25. Динамика относительного движения материальной точки
  26. Динамика твердого тела
  27. Кинематика простейших движений твердого тела
  28. Общее уравнение динамики
  29. Работа и мощность силы
  30. Обратная задача динамики
  31. Поступательное и вращательное движение твердого тела
  32. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
  33. Сферическое движение твёрдого тела
  34. Движение свободного твердого тела
  35. Сложное движение твердого тела
  36. Сложное движение точки
  37. Плоское движение тела
  38. Статика твердого тела
  39. Равновесие составной конструкции
  40. Равновесие с учетом сил трения
  41. Центр масс
  42. Колебания материальной точки
  43. Относительное движение материальной точки
  44. Статические инварианты
  45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
  46. Динамика системы материальных точек
  47. Общие теоремы динамики
  48. Теорема об изменении кинетической энергии
  49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
  50. Потенциальное силовое поле
  51. Метод кинетостатики
  52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

Содержание:

Координатный способ определения движения точки:

При координатном способе определения движения точки должны быть даны уравнения движения, т. е. заданы координаты точки как функции времени:
Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Задание движения точки в прямоугольных координатах

Как известно из курса аналитической геометрии, положение точки M в пространстве может быть определено положением ее проекций P, Q и R на три взаимно перпендикулярные оси (рис. 84), называемые осями координат.

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике
Рис. 84

Положение точки P на оси Ox вполне определяют абсциссой х. Совершенно так же положение точек Q и R определяют ординатой у и аппликатой z.

Если точка M движется относительно осей xOyz, то проекции Р, Q и R перемещаются по осям и координаты точки M изменяются.

Для определения движения точки M нужно знать ее координаты для каждого мгновения, выразить их в функциях времени.

x = x(t),    (58′)
y = y(t),    (58″)
z = z(t), (58″‘)

Эти функции непрерывны, так как точка не может из одного положения перейти в другое, минуя промежуточные. Они должны быть однозначны, так как точка занимает в пространстве в каждое мгновение только одно положение.

Соотношения (58) называют кинематическими уравнениями движения точки в прямоугольных координатах, а способ определения движения точки посредством соотношений (58) называют координатным способом определения движения точки. Это название неточно, потому что, кроме прямолинейных прямоугольных координат, существует множество других координатных систем.

Если траектория точки лежит в одной плоскости, то движение точки определяют двумя уравнениями в системе координат xОy: x=x(t), y=y(t).

Следовательно, при координатном способе задания движения точки в пространстве нужно задать ее три координаты, а на плоскости—две координаты как функции времени. Если точка движется прямолинейно, то, приняв прямую, по которой она движется, за ось абсцисс, мы определим движение точки одним уравнением

x = x(t).

Если движение точки задано в координатной форме, то для определения ее траектории надо из уравнений движения исключить время

Уравнение траектории

Можно определить траекторию точки, если в уравнениях движения (58) давать аргументу t различные значения и, вычислив соответствующие значения функций, отмечать положения точки по ее координатам. Следовательно. кинематические уравнения движения точки (58) можно
рассматривать как уравнения ее траектории в параметрической форме, а время — как независимый переменный параметр.

Однако более удобно получить уравнение траектории, исключив время из уравнений (58). В самом деле, траекторией называют геометрическое место всех положений движущейся точки, но в геометрии нет понятия времени, а поэтому для получения уравнения траектории нужно из кинематических уравнений движения (58) исключить время t. Если точка движется в плоскости, то, исключив время из уравнений (58′) и (58″), мы получим соотношение, связывающее х и у:

f(x, у) = 0.    (59)

Это уравнение плоской кривой—траектории точки. Если же движение задано тремя уравнениями (58), то, исключив время, получим два уравнения между тремя координатами:
Координатный способ определения движения точки в теоретической механике    (59/)

выражающие, как известно из аналитической геометрии, кривую (траекторию) в пространстве. Точнее говоря, уравнения (59) или (59′) выражают кривую, которая полностью или в некоторой своей части является геометрическим местом всех положений движущейся точки.

Иногда бывает нужно выразить в естественной форме движение точки, заданное в прямоугольных координатах уравнениями (58), и, кроме уравнения траектории, дать также уравнение (51) движения точки по траектории. Чтобы его получить, надо продифференцировать уравнения (58) и полученные дифференциалы координат точки подставить в известную из курса высшей математики формулу, выражающую абсолютную величину элемента дуги:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике    (60)

Проинтегрировав (60), мы получим уравнение (51), выражающее длину дуги s как функцию времени, или, что то же, закон движения точки по траектории.

Задача №1

По заданным уравнениям движения точки в координатной форме найти уравнение траектории и уравнение движения по траектории:

1)    х = 5 cos 2t,       y = 3+5sin 2t;
2)    x=21,2 sin2 t,    у = 21,2 cos 2t.

В обоих примерах за единицу длины принят сантиметр, за единицу времени — секунда.

Решение. Чтобы определить уравнение траектории по уравнениям движения, перенесем во втором из заданных уравнений 3 влево, возведем оба уравнения в квадрат и, сложив, получим

x2 + (y-3)2 = 25.

Это уравнение окружности с центром в точке: x = 0, y = +3.

Чтобы получить закон движения, продифференцируем заданные уравнения: dx=—10 sin 2t dt, dy = 10 cos 2t dt.

Возводя в квадрат, складывая, извлекая квадратный корень и интегрируя, находим закон движения по траектории:
s=10t + C, где C = s0.

2) Исключим время из уравнений движения во втором примере:

x+y = 21,2.

Это уравнение первого порядка относительно х и у, следовательно, траектория-прямая линия. Прямая отсекает на положительных направлениях осей координат отрезки по 21,2 см. Однако не вся прямая служит траекторией точки: из заданных уравнений видно, что х и у должны быть всегда положительны и не могут быть больше 21,2 см каждый, поэтому траекторией точки является лишь отрезок прямой x+y = 21,2, лежащей в первом квадранте (рис. 85).

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике
Рис. 85

На этом примере мы видим, что траекторией точки иногда является лишь часть линии, выражаемой уравнением траектории.

Продифференцируем уравнения движения:

dx = 21,2 ∙ 2 sin t cos t dt,
dy = 21,2 ∙ 2 sin t cos t dt.

Теперь no формуле (60) нетрудно найти элемент дуги траектории:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

ля получения уравнения (51) движения точки по траектории остается лишь проинтегрировать найденное выражение. Интегрируем и подставляем начальные условия (при t= 0, s0 = 0):

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Ответ. Уравнения траекторий x2+(y-3)2= 25 и x+y=21,2; уравнения движения по траектории s=10t+s0 и s = 30 sin 2t.

Задача №2

Движение точки задано уравнениями:
х = x’ cos φ (t)—y’ sin φ (t),
y = x’ sin φ (t) + y’ cos φ (t),

где х’ и у’ — некоторые постоянные величины, a φ(t)— любая функция времени. Определить траекторию точки.

Решение. Возведем каждое из уравнений в квадрат, а затем сложим их:

x2 + y2 = χ‘2 + y‘2.

По условию, х’ и у’ — постоянные. Обозначая сумму их квадратов через r2, получим

x2 + y2 = r2.

Ответ. Окружность с центром в начале координат радиуса Координатный способ определения движения точки в теоретической механике.

Задача №3

Поезд длиной l м сначала идет по горизонтальному пути (рис. 86, а), а потом поднимается в гору под углом 2α к горизонту. Считая поезд однородной лентой, найти траекторию его центра тяжести.

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике
Рис. 86

Решение. Для решения задачи нужно определить координаты центра тяжести поезда, найти уравнения движения центра тяжести и исключить из них время.

Направим оси координат по внутренней и внешней равиоделяшнм угла 2α (рис. 86, б). Траектория центра тяжести поезда не зависит от скорости поезда. Для простоты подсчетов предположим, что он идет равномерно со скоростью υ м/сек и в начальное мгновение t=0 подошел к горе.

Тогда за время t сек на гору поднимется υt м состава поезда и останется на горизонтальном пути l — υt м. Будем считать, что единица длины поезда весит γ. 

Применяя формулы (48), найдем координаты центра тяжести поезда:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Координаты центра тяжести представлены здесь как функции времени, следовательно, полученные соотношения являются уравнениями движения центра тяжести поезда. Определяя t (или υt) из первого уравнения и подставляя во второе, найдем уравнение траектории:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Ответ. Парабола.

Задача №4

Мостовой кран движется вдоль цеха согласно уравнению х = t; по крану катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению у = 1,5t (х и у—в м, t — в сек). Цепь укорачивается со скоростью t>=0,5. Определить траекторию центра тяжести груза (в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости хОу, ось Oz направлена вертикально вверх).

Решение. В условии задачи даны лишь два уравнения движения и вертикальная скорость груза:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

откуда dz = 0,5dt, и легко получаем третье уравнение:

z = 0,5t

Определив t из первого уравнения, подставим во второе и в третье:

y= 1,5x, z = 0,5x

Координаты груза должны удовлетворять одновременно обоим уравнениям, т. е. траектория лежит одновременно в обеих плоскостях и является линией их пересечения.
Ответ. Прямая.

Алгебраическая величина скорости проекции точки на координатную ось равна первой производной от текущей координаты по времени:
Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось

Пусть движение точки M определяется тремя уравнениями:
x =x(t),    (58′)
y = y(t),   (58″)
z = z(t).    (58″‘)

По мере движения точки M в пространстве ее проекции P, Q и R движутся по своим прямолинейным траекториям, т. е. по осям координат, и их движения вполне соответствуют движению точки М.

Так, координата (абсцисса) точки P всегда равна абсциссе точки М, а координаты точек QnR всегда равны ординате и аппликате точки М. Следовательно, при движении точки M в пространстве согласно уравнениям (58) точка P движется по оси Ox согласно уравнению (58′), а точки Q и R— соответственно по осям Oy и Oz согласно уравнениям (58″) и (58″‘).

Таким образом, движение точки M в пространстве можно разложить на три прямолинейных движения ее проекций P, Q и R.

Определим скорость υp точки P при движении этой точки по ее прямолинейной траектории Ох, иными словами, определим скорость проекции точки M на ось Ох.

Алгебраическая величина скорости выражается по формуле (53), причем дифференциалом расстояния точки P является дифференциал абсциссы х, а поэтому

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике    (61)

Следовательно, алгебраическая величина скорости проекции P точки M на координатную ось равна первой производной от текущей координаты х по времени t. Она положительна, если точка P движется в положительном направлении оси Ох, и отрицательна, если точка P движется в отрицательном направлении.
Аналогично получаем алгебраические скорости проекций Q и R на ось Oy и на ось Oz:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике    (61″)

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике     (61″‘)   

Чтобы получить векторы скоростей проекций, надо умножить величины (61) на единичные векторы:
Координатный способ определения движения точки в теоретической механике     (61)   

Алгебраическая величина скорости проекции точки на ось равна проекции скорости той же точки на туже ось:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Скорость проекции и проекция скорости

Пусть точка М за бесконечно малый отрезок времени dt передвинулась по своей траектории на элемент дуги ds, абсолютную величину которого выразим формулой (60):
Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

где dx, dy и dz — проекции элемента дуги на оси координат, или, Что то же, элементарные приращения координат точки М.

На рис. 87 эти элементы условно изображены конечными отрезками. Как видно из чертежа, косинусы углов, составляемых элементарным перемещением (а следовательно, и скоростью точки), с осями х, у и z соответственно равны

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике     (62)   

Величина скорости точки M может быть определена по (53):

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Чтобы определить проекцию скорости Координатный способ определения движения точки в теоретической механике на какую-либо ось, надо умножить абсолютную величину скорости на косинус угла между  направлением скорости и направлением этой оси. Таким образом, для проекций скорости точки M на оси координат имеем:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике   (63′)

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике   (63″)

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике    (63″‘)

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике
Рис. 87

Равенства (63) словами нужно читать так: проекция скорости точки на ось равна алгебраической скорости проекции точки на ту же ось.

Задача №5

Доказать, что проекция Координатный способ определения движения точки в теоретической механике скорости Координатный способ определения движения точки в теоретической механике точки M (х, у, z) иа плоскость хОу равняется скорости Координатный способ определения движения точки в теоретической механике, с которой движется по плоскости проекция M1 (х, у, О) точки M на ту же плоскость.

Решение. Скорость Координатный способ определения движения точки в теоретической механикеточки M составляет с осью Oz угол γυ, следовательно, угол, составляемый ею с плоскостью хОу, равен 90° — yυ п косинус этого угла равен sinγυ. Поэтому модуль проекции скорости точки M на плоскость хОу

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Подводя Координатный способ определения движения точки в теоретической механикепод радикал и выражая cosγυ, по формуле (62), мы убедимся, что проекция скорости на плоскость равна по величине скорости проекции:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Направления векторов Координатный способ определения движения точки в теоретической механике и Координатный способ определения движения точки в теоретической механикетоже совпадают, так как направляющие косинусы их одинаковы. Теорема доказана.

Модуль скорости точки равен квадратному корню из суммы квадратов проекций скорости на оси координат:
Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Модуль скорости. Возведем в квадрат каждое из равенств:
Координатный способ определения движения точки в теоретической механике   (63)

и сложим их:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице и

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

или

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике   (64)

Перед радикалом взят положительный знак, так как величина скорости (ее модуль) всегда положительна. В этом ее существенное отличие от алгебраической величины скорости (53), характеризующей скорость точки при движении по заданной траектории и имеющей знак « + » или «—» в зависимости от направления движения. Величину (64) иногда называют полной скоростью.

Направление скорости можно определить по направляющим косинусам скорости:
Координатный способ определения движения точки в теоретической механике Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Направляющие косинусы скорости

Равенство (64) позволяет определить модуль скорости точки, движение которой задано уравнениями (58). Направление скорости определяется по косинусам углов, составляемых положительными направлениями осей координат с направлением скорости. Значения этих косинусов, называемых направляющими косинусами скорости, мы получим из уравнений (63):

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике   (62′)

где Координатный способ определения движения точки в теоретической механике, Координатный способ определения движения точки в теоретической механике и Координатный способ определения движения точки в теоретической механике — производные от х, у и z по t.

Если точка движется в плоскости хОу, то γυ = 90o, cosγυ = 0 и cos αυ = sin βυ.

Задача №6

Уравнения движения суть

 Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Определить траекторию и скорость.

Решение. Из уравнений движения следует, что х и у всегда больше нуля.
Для определения уравнения траектории возведем каждое из уравнений движения в квадрат и составим разность

x2 – у2 = a2

Для определения скорости найдем сначала ее проекции:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

а затем уже и полную скорость.

Ответ. Траектория — ветвь гиперболы x2 – у2 = a2 — расположена в области положительных значений х; скорость Координатный способ определения движения точки в теоретической механике.

Задача №7

Движение точки задано уравнениями

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

причем ось Ox горизонтальна, ось Oy направлена по вертикали вверх, υ0, g и Координатный способ определения движения точки в теоретической механике—величины постоянные. Найти траекторию точки, координаты наивысшего ее положения, проекции скорости на координатные оси в тот момент, когда точка находится на оси Ох.

Решение. Уравнения описывают движение тела, брошенного со скоростью υ0 под углом α0 к горизонту (к оси Ох).
Чтобы найти уравнение траектории, определим время из первого уравнения и подставим найденное значение во второе; получим

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

уравнение параболы, проходящей через начало координат (рис. 88).

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике
Рис. 88

Чтобы определить координаты наивысшего положения, мы можем применить известные из дифференциального исчисления правила нахождения максимума функции, т. е. взять производную Координатный способ определения движения точки в теоретической механике, приравняв ее нулю, определить значение х и, подставив его в уравнение траектории, определить соответствующее значение у, убедившись при этом, что вторая производная Координатный способ определения движения точки в теоретической механике. Однако мы найдем координаты наивысшего положения точки другим методом, для чего, продифференцировав по времени уравнения движения точки, найдем проекции ее скорости:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Первое из этих уравнений показывает, что проекция скорости на горизонтальную ось постоянна и равна проекции начальной скорости.

Исследование второго уравнения убеждает, что проекция скорости на вертикальную ось в начальное мгновение положительна и равна υsin α0; затем, по мере увеличения t, проекция υy уменьшается, оставаясь положительной до мгновения Координатный способ определения движения точки в теоретической механике, когда υy обращается в нуль, после чего υy становится отрицательной, возрастая по абсолютной величине с течением времени t.

Таким образом, точка движется вправо, сначала поднимаясь, затем опускаясь. Мгновение Координатный способ определения движения точки в теоретической механике, при котором точка кончила подниматься, но еще не начала опускаться, соответствует максимальному подъему точки. В это мгновение скорость горизонтальна и Координатный способ определения движения точки в теоретической механике. Подставляя найденное значение t в уравнения движения, найдем координаты наивысшей точки траектории:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Определим проекции скорости в мгновение, когда точка находится на оси Ох. В это мгновение ордината точки равна нулю. Приравняем пулю второе из уравнений движения:
Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Точка находится на оси Ox два раза: при t=0 при Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Первое значение t соответствует началу движения, второе —падению точки на ось Ох. Второе значение равно времени всего полета, и оно вдвое больше полученного нами ранее времени наивысшего подъема: время падения равно времени подъема.

Подставляя значение t=0 в уравнения, определяющие проекции скорости, найдем проекции скорости в начальное мгновение:

υx = + υ0 cos α0, υy = + υ0 sin α0.

Подставляя второе из найденных значений t, найдем скорости в момент падения:

υx = + υ0 cos α0, υy = – υ0 sin α0.

Ответ: 1) Парабола Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

2) Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

3) υx = υ0 cos α0, υy = Координатный способ определения движения точки в теоретической механикеυ0 sin α0.

причем верхний знак соответствует началу движения, а нижний—концу.

Задача №8

По осям координат (рис. 89) скользят две муфты A и B, соединенные стержнем AB длиной l. Скорость В равна υB.

При каком положении муфт скорость муфты А вдвое больше υB?

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Рис. 89

Решение. Координата точки А связана с координатой точки В соотношением

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Считая х и у функциями времени и продифференцировав это равенство по времени, найдем зависимость между скоростями обеих точек:
Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Но Координатный способ определения движения точки в теоретической механике и по условию надо, чтобы величина Координатный способ определения движения точки в теоретической механике была равна 2υB, т. е.

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

откуда после алгебраических преобразований получаем ответ.

Ответ: Координатный способ определения движения точки в теоретической механике (см. задачи № 57 и 89, где даны другие решения).

Проекция ускорения точки на координатную ось равна первой производной по времени от проекции скорости на ту же ось или второй производной от текущей координаты по времени:
Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Ускорение проекции и проекция ускорения

Ускорение характеризует изменение скорости точки в данное мгновение. Оно выражается пределом отношения изменения вектора скорости к соответствующему промежутку времени при стремлении этого промежутка времени к нулю.

Для того чтобы определить ускорение точки M при ее движении в пространстве, рассмотрим сначала движение по оси Ox точки Р, являющейся проекцией точки M на эту ось.

Пусть в некоторое мгновение t алгебраическая величина скорости точки P была υх, а в мгновение tl = t + Δt стала υx+∆υx. Тогда ускорение точки P по величине и по знаку выразится пределом

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Если знаки υx и ap одинаковы, то движение точки P ускоренное, а если различны, то замедленное.

Аналогично выразятся ускорения проекций Q и R точки M на другие координатные оси:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Проекции υx, υy и υz сами являются производными по времени от координат точки, поэтому ускорения проекций можно выразить вторыми производными по времени от координат точки. Эти равенства характеризуют не только величины, но и знаки ускорений проекций. Иными словами, они выражают изменение алгебраических скоростей проекций P, Q и R в мгновение t.

Только что доказанная теорема о равенстве алгебраической скорости проекции точки на ось и проекции скорости той же точки на ту же ось справедлива для любого момента времени. Следовательно, эта теорема относится не только к скорости, но и к ее изменению в любое мгновение, т. е. к ускорению. Это значит, что написанные выше равенства выражают также проекции ax, ау и аz ускорения а точки M на оси координат Ox, Oy и Oz:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике   (65)

где cosαa, cosβa и cosγa—направляющие косинусы ускорения.

Можно рассматривать эти величины (65) как векторы, направленные по осям координат:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике   (65′)

Модуль ускорения точки равен квадратному корню из суммы квадратов проекций ускорения на оси координат:
Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Величина ускорения при координатном способе задания движения точки

Возведем в квадрат каждое из равенств:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

и затем сложим их:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

откуда 

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике   (66)

Перед радикалом взят знак плюс, так как модуль вектора—величина положительная. Ускорение точки в отличие от проекций ускорения на оси координат или на другие направления обычно называют полным ускорением. Поэтому равенство (66) можно прочитать так: величина полного ускорения точки равна квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Направление ускорения можно определить по направляющим косинусам ускорения:
Координатный способ определения движения точки в теоретической механикеКоординатный способ определения движения точки в теоретической механике

Направляющие косинусы ускорения

Направление ускорения определяют по косинусам углов, составляемых положительными направлениями осей координат с вектором ускорения. Формулы направляющих косинусов получаем из уравнений (65):
Координатный способ определения движения точки в теоретической механике   (67′)

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике   (67”)

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике   (67”’)

Для определения направления ускорения в каждом конкретном случае надо сначала найти ускорение проекций по (65), для чего необходимо дважды продифференцировать уравнения движения (58), затем найти величину ускорения по (66), а потом определить направляющие косинусы ускорения по (67).

Направление ускорения обычно не совпадает с направлением скорости, и направляющие косинусы (67) ускорения только при прямолинейном ускоренном движении точки постоянно равны направляющим косинусам (62) скорости.

Если точка движется в плоскости хОу, то γa = 90o, cosγa = 0, cosα0 = sin βa.

Задача №9

Точка M движется в системе координат хОу согласно уравнениям х= r cos πt, y=r sinπt, где х и у—в см, a t — в сек. Найти уравнение траектории точки М, ее скорость, направляющие косинусы скорости, ускорение, направляющие косинусы ускорения. Для значений времени t=0; 0,25; 0,5; 0,75, …. 2 сек дать чертежи положений точки M, вектора скорости и вектора ускорения.

Решение. Из уравнения движения видно, что координаты точки M являются проекциями на соответствующие оси радиуса-вектора r, составляющего с осью абсцисс угол πt:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Для определения траектории точки исключаем время из уравнений движения. Получаем уравнение окружности

x2 + y2 = r2

Найдем теперь проекции скорости на оси координат, для чего продифференцируем по времени уравнения движения:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

откуда по (64) получаем модуль скорости

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Величина скорости точки M постоянна.

Направляющие косинусы скорости определим по формуле (62′):

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Эти соотношения показывают, что направление скорости непрерывно меняется и что скорость перпендикулярна радиусу-вектору, проведенному из центра О в точку М.

Ускорение точки M найдем по его проекциям, для чего продифференцируем выражения, полученные для проекций скорости:
Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

откуда по (66) получаем величину ускорения

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости не только по величине, но и по направлению, поэтому, несмотря на постоянство модуля скорости точки М, ускорение этой точки не равно нулю. Как видно из полученного

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике
Рис. 90

равенства, величина полного ускорения постоянна. Направление ускорения определим по направляющим косинусам согласно (67):
Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Направление ускорения точки M противоположно направлению радиуса-вектора.
Положения точки M в различные мгновения показаны на рис. 90, а, векторы скорости — на рис. 90,6 и векторы ускорения — на рис. 90, в.

Ответ. Точка M движется по окружности радиуса r против часовой стрелки с постоянной по величине скоростью υ = rπ и с постоянным по величине ускорением a = rπ2.

Задача №10

Снаряд выбрасывается из орудия с начальной скоростью υ=1600 м/сек под утлом α0 = 55o к горизонту. Определить теоретическую дальность и высоту обстрела, учитывая, что ускорение свободно падающих тел g = 9,81 м/сек2.

Решение. Сначала составим уравнения движения снаряда в координатной форме, направив оси, как показано на чертеже (см. рис. 88), для этого определим проекции ускорения:
Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Разделив переменные, интегрируем:
υх= С1, υy = – gt + С2

Подставляя вместо переменных величин их начальные значения, увидим, что C1 и C2 равны проекциям начальной скорости:

1600 cos 55o = C1, 1600 sin 55o = – gt + C2.

Подставим их в уравнения, полученные для проекций скорости:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Разделяя переменные и интегрируя, найдем

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

При t = 0 координаты снаряда были: х =0, у = 0. Подставляя эти данные, найдем, что C3 = O и C4 = O. Значения cos 55° и sin 55° найдем в тригонометрических таблицах. Уравнения движения снаряда примут вид:

Координатный способ определения движения точки в теоретической механике

Далее поступим, как при решении задачи № 42: приравняв вертикальную скорость нулю, найдем время подъема снаряда (t= 133,7 сек); подставляя это значение t в уравнение движения по оси Оу, найдем теоретическую высоту обстрела (h = 87 636 м); удваивая время /, найдем время полета снаряда (t = 267,4 сек); подставляя это значение- в уравнение движения по оси Ох, найдем теоретическую дальность обстрела (l = 245 393 м).
Ответ. l = 245 км; h = 87,5κм.

  • Касательное и нормальное ускорения точки
  • Основные законы динамики
  • Колебания материальной точки
  • Количество движения
  • Пара сил в теоретической механике
  • Приведение системы сил к данной точке
  • Система сил на плоскости
  • Естественный и векторный способы определения движения точки

Добавить комментарий