Как найти полу площадь треугольника

Как найти полу площадь треугольника

Как найти площадь треугольника

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

  • квадратный миллиметр (мм 2 );
  • квадратный сантиметр (см 2 );
  • квадратный дециметр (дм 2 );
  • квадратный метр (м 2 );
  • квадратный километр (км 2 );
  • гектар (га).

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

  1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
  2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
  3. Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

  1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
  2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
  3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
  4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
  5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
  6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
  7. Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

[spoiler title=”источники:”]

http://mozgan.ru/Geometry/AreaTriangle

http://vsvoemdome.ru/obrazovanie/kak-nayti-ploschad-treugolnika

[/spoiler]

Источник

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Треугольник с тремя сторонами

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

– полупериметр треугольника; a,b,c – стороны треугольника.

Через основание и высоту

Треугольник с основанием и высотой

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

a – основание треугольника; h – высота треугольника.

Через две стороны и угол

Треугольник с двумя сторонами и углом

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

a,b – стороны треугольника; α – угол между сторонами.

Через сторону и два прилежащих угла

Треугольник со стороной и двумя углами

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
<

a– сторона треугольника; α и β – прилежащие углы.

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

a, b – катеты треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Площадь равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

a, b – стороны треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Площадь равнобедренного треугольника

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

a – основание равнобедренного треугольника; α – угол между сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

a – сторона равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Площадь равностороннего треугольника

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

h – высота равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Площадь равностороннего треугольника

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

r – радиус вписанной окружности равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Площадь равностороннего треугольника

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

r – радиус описанной окружности равностороннего треугольника.

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Площадь треугольника

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

a, b, c – стороны треугольника; r – радиус описанной окружности треугольника.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Площадь треугольника

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

p – полупериметр треугольника;a, b, c – стороны треугольника; r – радиус вписанной окружности треугольника.

Источник

Фо́рмула Герона — формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a,b,c:

{displaystyle S={sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}},

где p — полупериметр треугольника: {displaystyle p={tfrac {1}{2}}cdot (a+b+c)}.

Формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название героновых, простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Доказательство 1 (тригонометрическое):

Доказательство 2 (на основе теоремы Пифагора):

Треугольник со сторонами a, b, c и высотой

h, разделяющей основание

c на

d и (c − d).

По теореме Пифагора имеем следующие равенства для гипотенуз: a2 = h2 + (c − d)2 и b2 = h2 + d2 — см. рисунок справа. Вычитая из первого равенства второе, получаем a2 − b2 = c2 − 2cd. Это уравнение позволяет нам выразить d через стороны треугольника:

{displaystyle d={frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}}

Для высоты h у нас было равенство h2 = b2 − d2, в которое можно подставить полученное выражение для d и применить формулы для квадратов:

{displaystyle {begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-left({frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}right)^{2}={frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\&={frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})}{4c^{2}}}={frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\end{aligned}}}

Замечая, что {displaystyle b+c-a=2p-2a}, a+b+c=2p, a+b-c=2p-2c, {displaystyle a-b+c=2p-2b}, получаем:

{displaystyle {begin{aligned}h^{2}&={frac {2(p-a)cdot 2pcdot 2(p-c)cdot 2(p-b)}{4c^{2}}}={frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2}}}end{aligned}}}

Используя основное равенство для площади треугольника {displaystyle S={frac {ch}{2}}} и подставляя в него полученное выражение для h, в итоге имеем:

{displaystyle {begin{aligned}S={sqrt {{frac {c^{2}}{4}}cdot {frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2}}}}}={sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}end{aligned}}}

ч.т.д.

Вариации и обобщения[править | править код]

  • Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде[1]:
    -16S^{2}={begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\a^{2}&0&c^{2}&1\b^{2}&c^{2}&0&1\1&1&1&0end{vmatrix}}={begin{vmatrix}a&b&c&0\b&a&0&c\c&0&a&b\0&c&b&aend{vmatrix}}
Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера[en] для вычисления гиперобъёма симплекса.
через длины высот h_{a}, h_{b} и h_{c} и полусумму их обратных величин H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2[3]:

S^{-1}=4{sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}};
через углы треугольника alpha , beta и gamma , полусумму их синусов {displaystyle s=(sin alpha +sin beta +sin gamma )/2} и диаметр описанной окружности {displaystyle D={tfrac {a}{sin alpha }}={tfrac {b}{sin beta }}={tfrac {c}{sin gamma }}}[4]:

S=D^{2}{sqrt {s(s-sin alpha )(s-sin beta )(s-sin gamma )}}.
  • Площадь вписанного в окружность четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:
    S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}},
где p={frac {a+b+c+d}{2}} — полупериметр четырёхугольника; в данном случае треугольник оказывается предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Та же формула Брахмагупты через определитель[5]:

S={frac {1}{4}}{sqrt {-{begin{vmatrix}a&b&c&-d\b&a&-d&c\c&-d&a&b\-d&c&b&aend{vmatrix}}}}
где:

{displaystyle {begin{aligned}a&={sqrt {xYZ}}\b&={sqrt {yZX}}\c&={sqrt {zXY}}\d&={sqrt {xyz}}\X&=(w-U+v),(U+v+w)\x&=(U-v+w),(v-w+U)\Y&=(u-V+w),(V+w+u)\y&=(V-w+u),(w-u+V)\Z&=(v-W+u),(W+u+v)\z&=(W-u+v),(u-v+W)end{aligned}}}.
где theta _{s}={frac {theta _{a}+theta _{b}+theta _{c}}{2}} — полупериметр.

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Heron’s Formula. Архивная копия от 5 сентября 2015 на Wayback Machine From MathWorld–A Wolfram Web Resource.
  2. ↑ Benyi, Arpad, “A Heron-type formula for the triangle, « Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326.
  3. ↑ Mitchell, Douglas W., “A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle, ” Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
  4. ↑ Mitchell, Douglas W., “A Heron-type area formula in terms of sines, ” Mathematical Gazette 93, March 2009, 108—109.
  5. ↑ Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39
  6. ↑ W. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», [1] Архивная копия от 27 июня 2013 на Wayback Machine, pp. 16-17.
  7. ↑ Маркелов С. Формула для объёма тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132

Литература[править | править код]

  • § 258 в А. П. Киселёв, Геометрия по Киселёву, arΧiv:1806.06942 [math.HO].
  • Николаев Н. О площади треугольника // В.О.Ф.Э.М.. — 1890. — № 108. — С. 227—228.
  • Raifaizen, Claude H. A Simpler Proof of Heron’s Formula (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1971. — Vol. 44. — P. 27—28. — доказательство формулы Герона на основе теоремы Пифагора
Источник

Формулы площади треугольника

Через основание и высоту


$$S= frac{1}{2} ah $$
(S) — площадь треугольника

(a) — основание

(h) — высота


(a =)   
(h =)

Через две стороны и угол


$$S= frac{1}{2} ab sin alpha $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

( alpha ) — угол между сторонами (a) и (b)


(a =)   
(b =)   
( alpha =)

Формула Герона


$$S= sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

(c) — сторона

(p) — полупериметр, (p= frac{a+b+c}{2})


(a =)   
(b =)   
(c =)

Через радиус вписанной окружности


$$S= rp $$
(S) — площадь треугольника

(r) — радиус вписанной окружности

(a) — сторона

(b) — сторона

(c) — сторона

(p) — полупериметр, (p= frac{a+b+c}{2})


(r =)   
(p =)

Через радиус описанной окружности


(S= frac{abc}{4R} )

(S) — площадь треугольника

(R) — радиус описанной окружности

(a) — сторона

(b) — сторона

(c) — сторона


(a =)  
(b =)

(c =)  
(R =)

Площадь прямоугольного треугольника


$$S= frac{1}{2} ab $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона


(a =)   
(b =)

Площадь прямоугольного треугольника


$$S= de $$
(S) — площадь треугольника


(d =)   
(e =)

Формула Герона для прямоугольного треугольника


$$ S= (p-a)(p-b) $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

(p) — полупериметр, (p= frac{a+b+c}{2})


(a =)   
(b =)   
(p =)

Площадь равнобедренного треугольника


$$S= frac{1}{2} a^2 sin alpha$$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(alpha) — угол между боковыми сторонами


(a =)   
( alpha =)

Площадь равнобедренного треугольника

<
$$S= frac{1}{2} ab sin alpha $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

(alpha) — угол между боковыми сторонами и основанием


(a =)   
(b =)   
( alpha =)

Площадь равнобедренного треугольника


$$S= frac{b^2}{4tg frac{ alpha }{2}} $$
(S) — площадь треугольника

(b) — сторона

(alpha) — угол между боковыми сторонами и основанием


(b =)   
(alpha =)

Формула Герона для равнобедренного треугольника

a =   
b =

Площадь равностороннего треугольника


$$S= frac{ sqrt{3}a^2}{4} $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона


(a =)

Площадь равностороннего треугольника


$$S= frac{3 sqrt{3}R^2}{4}$$
(S) — площадь треугольника

(R) — радиус описанной окружности


(R =)

Площадь равностороннего треугольника


$$S= 3 sqrt{3}r^2 $$
(S) — площадь треугольника

(r) — радиус вписанной окружности


(r =)

Площадь равностороннего треугольника


$$S= frac{h^2}{sqrt{3}}$$
(S) — площадь треугольника

(h) — высота


(h =)

Источник

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Популярные единицы измерения площади:

  • квадратный миллиметр (мм2);

  • квадратный сантиметр (см2);

  • квадратный дециметр (дм2);

  • квадратный метр (м2);

  • квадратный километр (км2);

  • гектар (га).

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Альтернативный текст для изображения

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Реши домашку по математике на 5.

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Пройдите тест и узнайте, какие темы отделяют от пятёрки по математике

Добро пожаловать в школу магии.

О нет! Мальчик-молния случайно попал в школьные часы. Теперь они отстают. Мы все можем задержаться в школе

Жми на стрелки сверху, чтобы путешествовать в истории→

‌

Одна ученица когда-то была в школьной кладовке и видела там схему часов

Но в кладовку просто так не попадёшь→

‌

Реши два примера от волшебной статуи на входе в кладовку

frac{1}{7} + frac{3}{7} =

frac{4}{7}

frac{5}{7}

frac{4}{14}

frac{2}{7}

frac{4}{15} – frac{1}{15} =

frac{1}{3}

frac{1}{5}

frac{3}{30}

frac{1}{10}

‌

Схема у нас!

Деталь можно сделать из проволоки и формы для заливки металла. Найди их на картинке

‌

Теперь осталось взять инструменты у садовника! Он обменяет их на волшебные бобы для его сада

‌

Для починки часов нужны: молоток, отвертка и плоскогубцы.

Ты можешь либо одолжить у садовника набор, либо отдельные инструменты, либо и то, и другое. Какое минимальное количество волшебных бобов ты можешь отдать садовнику?

Ответ:

562 боба

400 бобов

553 боба

‌

Деталь имеет форму прямоугольника со сторонами 5 см и 12 см. Найди периметр и площадь детали, чтобы посчитать, сколько проволоки для неё понадобится

Периметр прямоугольника равен

40 см

26 см

22 см

34 см

Площадь прямоугольника равна

50 см^2

46 см^2

60 см^2

62 см^2

‌

Мальчик-молния выплавил деталь, часы должны работать! Но они почему-то не идут… Кажется, одной шестерёнки не хватает — она куда-то упала

‌

В коробке, шкатулке, ящике и банке находятся пыльца, волчий корень, золото и шестерёнка. Шестерёнка и пыльца не в коробке, ёмкость с волчьим корнем стоит между ящиком и ёмкостью с золотом, в банке не волчий корень и не шестерёнка. Шкатулка стоит около банки и ёмкостью с пыльцой. В какой ёмкости что находится?

Соедини ёмкости с содержимым на картинках ниже

Шестерёнка
Золото
Волчий корень
Пыльца

‌

Ура, мы вставили последнюю шестеренку, и часы пошли! Сегодня уроки закончатся вовремя. Спасибо тебе за помощь!

Дальше узнаешь свои результаты →

‌

Формулы площади для любого треугольника

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где

— основание,

— высота.

треугольник с отмеченной высотой

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними.

, где

,

— стороны,

— угол между ними.

треугольник с углом в основании

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где

,

,

— стороны,

— радиус описанной окружности.

радиус описанной окружности

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны.

, где

,

,

— стороны,

— радиус вписанной окружности.

радиус вписанной окружности

, где

— полупериметр.

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где

— сторона,

и

— прилежащие углы.

треугольник с двумя отмеченными углами

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где

,

,

— стороны,

— полупериметр, который можно найти по формуле:

треугольник со сторонами a, b, c

Для прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника чаще всего используют одну формулу — половину произведения катетов. Потому что их всегда можно найти с помощью правил тригонометрии или теоремы Пифагора.

, где

,

— стороны.

треугольник с углом 90°

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где

— гипотенуза,

— любой из прилегающих острых углов.

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где

— катет,

— прилежащий угол.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где

— гипотенуза,

— радиус вписанной окружности.

радиус вписанной окружности в треугольник

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где

,

— части гипотенузы.

Площадь треугольника вписанного в окружность

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где

,

— катеты,

— полупериметр, который можно найти по формуле:

Площадь прямого треугольника по формуле Герона

Для равнобедренного треугольника

Ниже мы покажем разные формулы для площади равнобедренного и равностороннего треугольника, их редко используют, но их легко вывести самому. Попробуйте сделать это самостоятельно.

Вычисление площади через основание и высоту

, где

— основание,

— высота, проведенная к основанию.

площадь через основание и высоту

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними.

, где

— боковая сторона,

— угол между боковыми сторонами.

площадь через боковые стороны и угол между ними

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где

— радиус описанной окружности.

радиус описанной окружности равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где

— радиус вписанной окружности.

радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника через сторону

, где

— сторона.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

, где

— высота.

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица формул нахождения площади треугольника

В задачах встречаются разные фигуры, и кажется, что нужны разные формулы. Но на самом деле, зная всего несколько формул для треугольника и пользуясь теоремами и свойствами геометрии, можно найти площадь любой фигуры.

таблица формул для определения площади треугольника

Скачать таблицу

Но что делать, если нужно решить контрольную по математике или геометрии быстро, а вы плохо знаете конкретную тему? Закажите контрольную по математике онлайн у специалистов, которые помогут быстро выполнить задание и пояснят решение.

Источник

Добавить комментарий