Как найти полуокружность круга

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Фигура	Рисунок	Определения и свойства
Окружность
Дуга
Круг
Сектор
Сегмент
Правильный многоугольник

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Площадь круга
Площадь сектора
Площадь сегмента

Площадь круга

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Длина окружности

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дуги

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Длина окружности

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Длина окружности

О чем эта статья:

6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Если вы не знаете, как обозначается длина окружности, то знак окружности выглядит вот так – l

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Как найти длину окружности через диаметр

Хорда — это отрезок, который соединяет две точки окружности.

Диаметр — хорда, которая проходит через центр окружности. Формула длины окружности через диаметр:

π— число пи — математическая константа, примерно равная 3,14

d — диаметр окружности

Как найти длину окружности через радиус

Радиус окружности — отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Формула длины окружности через радиус:

π — число пи, примерно равное 3,14

r – радиус окружности

Это две основные формулы для вычисления длины окружности. Ниже мы покажем еще несколько формул, которые вы сможете доказать самостоятельно, пользуясь основными формулами и свойствами геометрических фигур.

Как вычислить длину окружности через площадь круга

Если вам известна площадь круга, вы также можете узнать длину окружности:

π — число пи, примерно равное 3,14

S — площадь круга

Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника

Как измерить окружность, если в нее вписан прямоугольник:

π — число пи, примерно равное 3,14

d — диагональ прямоугольника

Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата

Давайте рассмотрим, как найти длину окружности, если она вписана в квадрат и нам известна сторона квадрата:

π – математическая константа, примерно равная 3,14

a – сторона квадрата

Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника

Можно найти, чему равна длина окружности, если в нее вписан треугольник и известны все три его стороны, а также известна его площадь:

π — математическая константа, она примерно равна 3,14

a — первая сторона треугольника

b — вторая сторона треугольника

c — третья сторона треугольника

S — площадь треугольника

Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника

Можно определить, чему равна длина окружности, если круг вписан в треугольник, и известны следующие параметры: площадь треугольника и его полупериметр.

Периметр — это сумма всех сторон треугольника. Полупериметр равен половине этой суммы, то есть чтобы его найти, вам нужно рассчитать периметр и поделить его на два.

π — математическая константа, примерно равная 3,14

S — площадь треугольника

p — полупериметр треугольника

Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника

Разбираемся, как в этом случае измерить окружность. Для этого необходимо посчитать, сколько сторон у многоугольника, а также знать длину стороны многоугольника. Напомним, что у правильного многоугольника все стороны равны, как у квадрата.

Формула вычисления длины окружности:

π — математическая константа, примерно равная 3,14

a — сторона многоугольника

N — количество сторон многоугольника

Задачи для решения

Давайте тренироваться! Двигаемся от простого к сложному:

Задача 1. Найти длину окружности, диаметр которой равен 5 см.

Решение. Итак, нам известен диаметр окружности, значит для вычисления длины заданной окружности берем формулу:

Подставляем туда известные переменные и получается, что длина окружности равна

Задача 2. Чему равна длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороною a = 4√3 дм

Решение. Радиус окружности равен Подставим туда наши переменные и получим

Теперь, когда нам известен радиус окружности и есть формула длины окружности через радиус l=2πr, мы можем подставить наши данные и получить решение задачи.

Обучение на курсах по математике поможет закрепить полученные знания на практике.

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Определение окружности

• Отрезки в окружности

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/dlina-okruzhnosti

[/spoiler]

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Содержание страницы:

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности.

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности.

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

M N – диаметр.

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

∪ A B = ∪ C D = α

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

l = 2 π R

Длина дуги окружности, на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

Была ли эта статья полезной?

На этой странице вы узнаете

• Где в ловце снов спрятана хорда?
• В чем отличие окружности от пиццы? 
• Почему если мы хотим что-то сильно поменять, то лучше разворачивать жизнь на 180 градусов, а не на 360? 

Оглянитесь вокруг: геометрические фигуры окружают нас повсюду, а в математике и вовсе встречаются почти в каждом задании. Не стали исключением и окружность и круг, которые попадают в задачки чаще, чем может показаться. Поэтому эта статья будет полезна: овладеете всеми премудростями, необходимыми для жизни и экзаменов.

Обруч и окружность

Давайте вспомним один из предметов инвентаря художественной гимнастики  – обруч. Это узкое кольцо большого диаметра, внутри которого ничего нет. Обруч состоит только из “контура”, то есть из того самого кольца.  Именно с помощью обруча мы приближаемся к термину “окружность”. 

Окружность – это замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от центра. 

Разберем чуть подробнее, что значит фраза “равноудалены от центра”. Допустим, мы точно знаем, где центр нашего обруча, и через этот центр натянем много-много ленточек. Тогда окажется, что длина каждой ленточки от центра до обруча будет одинаковой. 

То есть окружность состоит из бесконечного множества точек, которые располагаются на равном расстоянии от центра. 

Элементы окружности

Радиус – это отрезок, построенный от центра окружности до любой точки на окружности. 

Если вспомнить обруч с ленточками, то одна ленточка – это радиус. Радиус обозначается буквой R. В окружности можно построить множество радиусов, и все они будут равны между собой.

Диаметр – это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности. 

Можно сразу заметить, что диаметр будет состоять из двух радиусов, которые проведены по разные стороны от центра окружности. 

Диаметр обозначается буквой D и равняется двум радиусам.

D = 2R

Хорда – это отрезок, соединяющий две любые точки на окружности. При этом хорда не обязательно проходит через центр окружности. 

Таким образом, хорда может иметь любой размер и любое направление, главное, чтобы ее начало и конец лежали на окружности. 

Рассмотрим свойства хорды. 

1 свойство. При пересечении двух хорд произведения их отрезков равны. 

Пусть в окружности проведены хорды АВ и CD, которые пересекаются в точке О. Тогда выполняется равенство АО * ОВ = СО * OD.  

2 свойство. Равные хорды стягивают равные дуги. 

3 свойство. Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ей дуги пополам. 

Если диаметр CD перпендикулярен хорде АВ, то АЕ = ЕВ. 

Рассмотрим, почему выполняется это свойство. Достроим треугольник АОВ, в котором АО и ОВ – радиусы. Радиусы в окружности равны, следовательно, треугольник равнобедренный. 

Рассмотрим ОЕ – высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию. 

Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой, следовательно, ОЕ – медиана, а значит АЕ = ЕВ. 

Дуга – это часть окружности, началом и концом которой являются две произвольные точки. 

Допустим, из нашего обруча вырежут какую-то часть. Тогда и вырезанная часть, и оставшаяся часть будут дугами.

Пицца и круг

Мы рассмотрели окружность. Тут уже может возникнуть вопрос: чем круг отличается от окружности? 

Круг – это геометрическая фигура, которая ограничена окружностью. 

Элементы круга

Рассмотрим элементы круга. 

Радиус, диаметр хорды в круге имеют такие же определения, как и в окружности. Поскольку мы теперь рассматриваем не только контур, а всю фигуру, то появляются новые элементы. 

Предположим, к нам в гости пришли друзья, и теперь нужно разделить пиццу между всеми. Разумеется, мы разрежем ее на несколько кусочков. 

Форма кусочков пиццы очень напоминает сектор круга. 

Сектор – это часть круга, которую ограничивают радиусы и дуга. 

При этом два радиуса делят круг на два сектора: один больший, а другой меньший. На рисунке один из них закрашен фиолетовым, а другой белым. 

Если мы захотим отрезать только один кусочек пиццы, то и отрезанный кусочек, и оставшаяся пицца будут секторами круга. 

Теперь разрежем пиццу иначе. Отрежем кусочек по прямой, не проходя через ее середину: 

Таким образом, мы отрежем уже не сектор, а сегмент от пиццы. 

Сегмент – это часть круга, которая ограничена хордой и дугой. 

Причем одна хорда является границей для двух сегментов: и отрезанный кусочек пиццы, и оставшаяся часть будут сегментами. На рисунке ниже один сегмент закрашен фиолетовым, а другой белым. 

Подведем итог:
И в окружности, и в круге можно встретить радиус, диаметр, хорду и дугу. В круге дополнительно появляются сектор и сегмент. 

Формулы для окружности и круга

Мы рассмотрели окружности и круг, а также их элементы, однако ни одну задачу не получится решить без формул. Давайте рассмотрим их. 

Однако перед этим необходимо ввести еще несколько терминов. 

Длина окружности – это длина кривой, которая образует окружности. 

Если мы с помощью сантиметровой ленты измерим длину нашего обруча, то как раз получим длину окружности. 

Длина дуги – это длина части кривой, которая образует окружность. 

Отличие от длины окружности только в том, что тут измеряется не вся кривая, а только ее часть. 

В таблице ниже приведены основные формулы, которые могут встретиться при решении задач. 

Дуга окружности

Дугу можно измерять не только в единицах измерения длины, но и в градусах. Вся дуга окружности имеет градусную меру 360^(circ). Тогда половина дуги окружности будет равняться 180. 

При этом дуга, равная 180^(circ), называется полуокружностью. Полуокружность ограничивается двумя концами диаметра.  

Думаем, хоть раз в жизни вы слышали  фразу “повернуться на 180^(circ) градусов” или “поменять свое мнение на 180^(circ) градусов”. Это означает, что человек меняет свое мнение буквально на противоположное. Рассмотрим на примере окружности: пусть человек стоит в точке А. Ему нужно пройти по окружности ровно 180^(circ). 

Поскольку человеку нужно пройти полуокружность, то она ограничивается диаметром. Достроим диаметр АВ, тогда наш человек окажется в точке В, то есть на противоположной стороне окружности. 

А если он дважды пройдет полуокружность, то снова окажется в точке А, то есть пройдет дугу в 2 * 180 = 360 градусов.

Поэтому если человек будет находиться в точке О и захочет повернуться на 180 градусов, то вместо точки А он будет смотреть на точку В. При повороте на 360 градусов, человек снова будет смотреть на точку А. 

Углы в окружности

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности. При этом угол опирается на дугу окружности. 

На рисунке угол АОВ будет центральным. 

Свойство центрального угла: 

• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. 

Например, дуга АВ равна 36^(circ), тогда угол АОВ также равен 36^(circ). 

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности. Вписанный угол также должен опираться на дугу окружности. 

На рисунке угол АСВ – вписанный. 

Свойства вписанного угла окружности:

• Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. 

Например, дуга АВ равна 50^(circ), тогда угол АСВ равен 25^(circ).  

• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 

Пусть углы АСВ, АЕВ и АКВ опираются на душу АВ. Тогда эти углы будут равны между собой. 

• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90^(circ). 

Вспомним, что диаметр делит окружность на две полуокружности, градусные меры которых равны 180^(circ). Тогда вписанный угол будет равняться 180^(circ) : 2 = 90^(circ). 

Также важно заметить, что вписанный угол равен половине центрального угла. При этом данные углы обязательно должны опираться на одну дугу. 

Это легко доказать, если вспомнить, что:

• центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается, 
• вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. 

Следовательно, (∠ACB = frac{1}{2}∠AOB).

Фактчек

• Окружность – это замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от центра. Элементами окружности являются радиус, диаметр, хорда, дуга. 
• Круг – это геометрическая фигура, которая ограничена окружностью. Помимо радиуса, диаметра и хорды, в круге может встретиться сегмент и сектор. 
• Вся дуга окружности имеет величину 360 градусов. Тогда половина дуги будет равняться 180 градусам. 
• В окружности встречаются центральные и вписанные углы. При этом вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, а центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Как следствие, если центральный и вписанный углы опираются на одну дугу, то центральный угол равен двум вписанным углам. 

Проверь себя

Задание 1. 
Что такое окружность? 

1. Замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от центра;
2. Геометрическая фигура, которая ограничена замкнутой кривой, все точки которой равноудалены от центра;
3. Геометрическая фигура, которая имеет круглую форму;
4. Часть плоскости, ограниченная замкнутой кривой, все точки которой равноудалены от центра. 

Задание 2. 
Что такое диаметр окружности?

1. Это отрезок, соединяющий центр окружности и любую точку на окружности;
2. Это отрезок, соединяющий две произвольные точки на окружности;
3. Это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проведенный через центр окружности;
4. Это половина дуги окружности.

Задание 3.
По какой формуле можно найти длину окружности?

1. (l = frac{R}{180} * n) 
2. (C=2 pi R)
3. C=2R
4. (l = pi R)

Задание 4. 
На окружности выделили дугу в 60 градусов. Какую часть от всей окружности занимает эта дуга?

1. (frac{1}{2})
2. (frac{1}{3})
3. (frac{1}{6})
4. (frac{1}{4})

Задание 5. 
Вписанный угол равен 50 градусов. Чему равен центральный угол, опирающийся на ту же дугу?

1. 200
2. 50
3. 100
4. 150

Ответы: 1. – 1 2. – 3 3. – 2 4. – 3 5. – 3