Полупериметр многоугольника — это половина его периметра. Хотя полупериметр является очень простой производной периметра, он столь часто появляется в формулах для треугольников и других геометрических фигур, что ему выделили отдельное наименование. Если полупериметр оказывается в какой-либо формуле, его, обычно, обозначают буквой p.
Треугольники[править | править код]
В любом треугольнике расстояние вдоль сторон от вершины до точки касания вневписанной окружности на противоположной стороне равно полупериметру.
Полупериметр чаще всего используется для треугольников. Формула полупериметра для треугольника со сторонами a, b и c
Свойства[править | править код]
В любом треугольнике вершина и точка касания вневписанной окружности на противоположной стороне делят периметр треугольника на две равные части, то есть на два пути, длина каждого из которых равна полупериметру. На рисунке показаны стороны A, B, C и точки касания A’, B’, C’, тогда
Три отрезка, соединяющих вершины с противоположными точками касания, пересекаются в одной точке — точке Нагеля.
Если рассмотреть отрезки, соединяющие середины сторон с точками, отстоящими (вдоль сторон) от этой середины на полупериметр, то эти отрезки пересекаются в одной точке — центре окружности Шпикера, которая является окружностью, вписанной в медианный треугольник[en]. Центр Шпикера является центром тяжести сторон треугольника.
Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника делит периметр пополам в том и только в том случае, когда она делит пополам площадь.
Полупериметр треугольника равен периметру его медианного треугольника[en].
Из неравенства треугольника вытекает, что длина наибольшей стороны треугольника не превосходит полупериметр.
Формулы с полупериметром[править | править код]
Площадь K любого треугольника является произведением радиуса его вписанной окружности и полупериметра:
Площадь треугольника можно вычислить исходя из его полупериметра и длин сторон a, b, c по формуле Герона:
Радиус описанной окружности R треугольника можно также вычислить из его полупериметра и длин сторон:
Эту формулу можно вывести из теоремы синусов.
Радиус вписанной окружности равен
Теорема котангенсов даёт котангенсы половин углов в вершинах треугольника в терминах полупериметра, сторон и радиуса вписанной окрухности.
Длина биссектрисы внутреннего угла, противоположного стороне a, равна[1]
В прямоугольном треугольнике радиус вневписанной окружности на гипотенузе равен полупериметру. Полупериметр равен сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного радиуса описанной. Площадь прямоугольного треугольника равна 
, где a и b — катеты.
Четырёхугольники[править | править код]
Формула для полупериметра четырёхугольника со сторонами a, b, c и d
Одна из формул для треугольников, использующая полупериметр, применима также и к описанным четырёхугольникам, которые имеют вписанную окружность и сумма длин противоположных сторон которых равна полупериметру. А именно, это формула площади фигуры:
Простейшая форма формулы Брахмагупты для площади четырехугольника вписанного в окружность имеет вид, близкий к формуле Герона для площади треугольника:
Соотношение Бретшнайдера обобщает формулу для всех выпуклых четырёхугольников:
где 
и 
— два противоположных угла.
Четыре стороны бицентрального четырёхугольника[en] являются четырьмя решениями уравнения четвёртой степени, параметрами которого являются полупериметр, радиус вписанной окружности и радиус описанной.
Правильные многоугольники[править | править код]
Площадь выпуклого правильного многоугольника равна произведению его полупериметра на расстояние от центра до одной из сторон.
Примечания[править | править код]
- ↑ Johnson, 2007, с. 70.
Литература[править | править код]
- Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. — Dover Publ., 2007. (Переиздание книги 1929 года)
Ссылки[править | править код]
- Weisstein, Eric W. Semiperimeter (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
From Wikipedia, the free encyclopedia
In geometry, the semiperimeter of a polygon is half its perimeter. Although it has such a simple derivation from the perimeter, the semiperimeter appears frequently enough in formulas for triangles and other figures that it is given a separate name. When the semiperimeter occurs as part of a formula, it is typically denoted by the letter s.
Motivation: triangles[edit]
In any triangle, the distance along the boundary of the triangle from a vertex to the point on the opposite edge touched by an excircle equals the semiperimeter.
The semiperimeter is used most often for triangles; the formula for the semiperimeter of a triangle with side lengths a, b, c
Properties[edit]
In any triangle, any vertex and the point where the opposite excircle touches the triangle partition the triangle’s perimeter into two equal lengths, thus creating two paths each of which has a length equal to the semiperimeter. If A, B, B’, C’ are as shown in the figure, then the segments connecting a vertex with the opposite excircle tangency (AA’, BB’, CC’, shown in red in the diagram) are known as splitters, and
The three splitters concur at the Nagel point of the triangle.
A cleaver of a triangle is a line segment that bisects the perimeter of the triangle and has one endpoint at the midpoint of one of the three sides. So any cleaver, like any splitter, divides the triangle into two paths each of whose length equals the semiperimeter. The three cleavers concur at the center of the Spieker circle, which is the incircle of the medial triangle; the Spieker center is the center of mass of all the points on the triangle’s edges.
A line through the triangle’s incenter bisects the perimeter if and only if it also bisects the area.
A triangle’s semiperimeter equals the perimeter of its medial triangle.
By the triangle inequality, the longest side length of a triangle is less than the semiperimeter.
Formulas invoking the semiperimeter[edit]
For triangles[edit]
The area A of any triangle is the product of its inradius (the radius of its inscribed circle) and its semiperimeter:
The area of a triangle can also be calculated from its semiperimeter and side lengths a, b, c using Heron’s formula:
The circumradius R of a triangle can also be calculated from the semiperimeter and side lengths:
This formula can be derived from the law of sines.
The inradius is
The law of cotangents gives the cotangents of the half-angles at the vertices of a triangle in terms of the semiperimeter, the sides, and the inradius.
The length of the internal bisector of the angle opposite the side of length a is[1]
In a right triangle, the radius of the excircle on the hypotenuse equals the semiperimeter. The semiperimeter is the sum of the inradius and twice the circumradius. The area of the right triangle is 
where a, b are the legs.
For quadrilaterals[edit]
The formula for the semiperimeter of a quadrilateral with side lengths a, b, c, d is
One of the triangle area formulas involving the semiperimeter also applies to tangential quadrilaterals, which have an incircle and in which (according to Pitot’s theorem) pairs of opposite sides have lengths summing to the semiperimeter—namely, the area is the product of the inradius and the semiperimeter:
The simplest form of Brahmagupta’s formula for the area of a cyclic quadrilateral has a form similar to that of Heron’s formula for the triangle area:
Bretschneider’s formula generalizes this to all convex quadrilaterals:
in which α and γ are two opposite angles.
The four sides of a bicentric quadrilateral are the four solutions of a quartic equation parametrized by the semiperimeter, the inradius, and the circumradius.
Regular polygons[edit]
The area of a convex regular polygon is the product of its semiperimeter and its apothem.
Circles[edit]
The semiperimeter of a circle, also called the semicircumference, is directly proportional to its radius r:
The constant of proportionality is the number pi, π.
See also[edit]
- Semidiameter
References[edit]
- ^ Johnson, Roger A. (2007). Advanced Euclidean Geometry. Mineola, New York: Dover. p. 70. ISBN 9780486462370.
External links[edit]
- Weisstein, Eric W. “Semiperimeter”. MathWorld.
Полупериметр многоугольника — это половина его периметра. Хотя полупериметр является очень простой производной периметра, он столь часто появляется в формулах для треугольников и других геометрических фигур, что ему выделили отдельное наименование. Если полупериметр оказывается в какой-либо формуле, его, обычно, обозначают буквой s.
Содержание
- 1 Треугольники
- 1.1 Свойства
- 1.2 Формулы с полупериметром
- 2 Четырёхугольники
- 3 Правильные многоугольники
- 4 Примечания
- 5 Литература
- 6 Ссылки
Треугольники
В любом треугольнике расстояние вдоль сторон от вершины до точки касания вневписанной окружности на противоположной стороне равно полупериметру.
Полупериметр чаще всего используется для треугольников. Формула полупериметра для треугольника со сторонами a, b и c
Свойства
В любом треугольнике вершина и точка касания вневписанной окружности на противоположной стороне делят периметр треугольника на две равные части, то есть на два пути, длина каждого из которых равна полупериметру. На рисунке показаны стороны A, B, C и точки касания A’, B’, C’, тогда
Три отрезка, соединяющих вершины с противоположными точками касания, пересекаются в одной точке — точке Нагеля.
Если рассмотреть отрезки, соединяющие середины сторон с точками, отстоящими (вдоль сторон) от этой середины на полупериметр, то эти отрезки пересекаются в одной точке — центре окружности Шпикера, которая является окружностью, вписанной в медианный треугольник[en]. Центр Шпикера является центром тяжести сторон треугольника.
Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника делит периметр пополам в том и только в том случае, когда она делит пополам площадь.
Полупериметр треугольника равен периметру его медианного треугольника[en].
Из неравенства треугольника вытекает, что длина наибольшей стороны треугольника не превосходит полупериметр.
Формулы с полупериметром
Площадь K любого треугольника является произведением радиуса его вписанной окружности и полупериметра:
Площадь треугольника можно вычислить исходя из его полупериметра и длин сторон a, b, c по формуле Герона:
Радиус описанной окружности R треугольника можно также вычислить из его полупериметра и длин сторон:
Эту формулу можно вывести из теоремы синусов.
Радиус вписанной окружности равен
Теорема котангенсов даёт котангенсы половин углов в вершинах треугольника в терминах полупериметра, сторон и радиуса вписанной окрухности.
Длина биссектрисы внутреннего угла, противоположного стороне a, равна[1]
В прямоугольном треугольнике радиус вневписанной окружности на гипотенузе равен полупериметру. Полупериметр равен сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного радиуса описанной. Площадь прямоугольного треугольника равна , где a и b — катеты.
Четырёхугольники
Формула для полупериметра четырёхугольника со сторонами a, b, c и d
Одна из формул для треугольников, использующая полупериметр, применима также и к описанным четырёхугольникам, которые имеют вписанную окружность и сумма длин противоположных сторон которых равна полупериметру. А именно, это формула площади фигуры:
Простейшая форма формулы Брахмагупты для площади вписанной окружности имеет вид, близкий к формуле Герона для площади треугольника:
Соотношение Бретшнайдера обобщает формулу для всех выпуклых четырёхугольников:
где и — два противоположных угла.
Четыре стороны бицентрального четырёхугольника[en] являются четырьмя решениями уравнения четвёртой степени, параметрами которого являются полупериметр, радиус вписанной окружности и радиус описанной.
Правильные многоугольники
Площадь выпуклого правильного многоугольника равна произведению его полупериметра на расстояние от центра до одной из сторон.
Примечания
- ↑ Johnson, 2007, с. 70.
Литература
- Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. — Dover Publ., 2007. (Переиздание книги 1929 года)
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Semiperimeter (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
В геометрии полупериметр многоугольника равен половине его периметр. Хотя полупериметр имеет такое простое происхождение от периметра, он достаточно часто встречается в формулах для треугольников и других фигур, поэтому ему дается отдельное название. Когда полупериметр входит в состав формулы, он обычно обозначается буквой s.
Содержание
- 1 Треугольники
- 1.1 Свойства
- 1.2 Формулы, вызывающие полупериметр
- 2 Четырехугольники
- 3 Правильные многоугольники
- 4 Ссылки
- 5 Внешние ссылки
Треугольники
В любом треугольнике расстояние вдоль границы треугольника от вершины до точки на противоположном ребре, касающейся вневписанной окружности, равно полупериметру.
Полупериметр чаще всего используется для треугольников; формула полупериметра треугольника с длинами сторон a, b и c равна
- s = a + b + c 2. { displaystyle s = { frac {a + b + c} {2}}.}
Свойства
В любом треугольнике, любой вершине и точке, где противоположная вневписанная окружность касается треугольника, разделяющего периметр треугольника на две равные длины, таким образом создавая два пути, каждый из которых имеет длину, равную полупериметру. Если A, B, C, A ‘, B’ и C ‘такие, как показано на рисунке, то отрезки, соединяющие вершину с противоположным касанием вневписанной окружности (AA’, BB ‘и CC’, показаны красным на рисунке диаграмму) известны как разделители и
s = | A B | + | A ′ B | = | A B | + | A B ′ | = | A C | + | A ′ C | { displaystyle s = | AB | + | A’B | = | AB | + | AB ‘| = | AC | + | A’C |}
- = | A C | + | A C ′ | = | B C | + | B ′ C | = | B C | + | B C ′ |. { displaystyle = | AC | + | AC ‘| = | BC | + | B’C | = | BC | + | BC’ |.}
Три разделителя совпадают в Точка Нагеля треугольника.
A разделитель треугольника – это отрезок прямой, делящий пополам периметр треугольника и имеющий одну конечную точку в середине одной из трех сторон. Таким образом, любой нож, как и любой разделитель, делит треугольник на две дорожки, длина каждой из которых равна полупериметру. Три кливера совпадают в центре круга Шпикера, который является вписанной окружностью среднего треугольника ; центр Шпикера – это центр масс всех точек на краях треугольника.
Линия, проходящая через центр треугольника, делит периметр пополам тогда и только тогда, когда она также делит площадь пополам.
Полупериметр треугольника равен периметру его среднего треугольника.
Согласно неравенству треугольника длина самой длинной стороны треугольника меньше полупериметра.
Формулы, использующие полупериметр
Площадь A любого треугольника является произведением его внутреннего радиуса (радиуса вписанной в него окружности) и его полупериметра:
- A = rs. { displaystyle A = rs.}
Площадь треугольника также можно рассчитать по его полупериметру и длинам сторон a, b, c с использованием формулы Герона :
- A = s (s – a) (s – б) (з – в). { displaystyle A = { sqrt {s left (sa right) left (sb right) left (sc right)}}.}
радиус описанной окружности R треугольника можно также рассчитать по полупериметру и длинам сторон:
- R = abc 4 s (s – a) (s – b) (s – c). { displaystyle R = { frac {abc} {4 { sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}}}.}
Эта формула может быть получена из закона синусов.
Внутренний радиус равен
- r = (s – a) (s – b) (s – c) s. { displaystyle r = { sqrt { frac {(sa) (sb) (sc)} {s}}}.}
Закон котангенсов дает котангенсы полууглов в вершинах треугольника в терминах полупериметра, сторон и внутреннего радиуса.
Длина внутренней биссектрисы угла, противоположной стороне длины a, составляет
- t a = 2 b c s (s – a) b + c. { displaystyle t_ {a} = { frac {2 { sqrt {bcs (sa)}}} {b + c}}.}
В прямоугольном треугольнике радиус вневписанная окружность на гипотенузе равна полупериметру. Полупериметр – это сумма внутреннего радиуса и двойного радиуса описанной окружности. Площадь прямоугольного треугольника равна (s – a) (s – b) { displaystyle (s-a) (s-b)}, где a и b – ноги.
Четырехугольники
Формула полупериметра четырехугольника с длинами сторон a, b, c и d:
- s = a + b + c + d 2. { displaystyle s = { frac {a + b + c + d} {2}}.}
Одна из формул площади треугольника, включающая полупериметр, также применима к касательным четырехугольникам, которые имеют вписанной окружности и в которой (согласно теореме Пито ) пары противоположных сторон имеют длины, суммируемые с полупериметром, а именно площадь является произведением внутреннего радиуса и полупериметра:
- K = rs. { displaystyle K = rs.}
Простейшая форма формулы Брахмагупты для площади циклического четырехугольника имеет форму, аналогичную формуле Герона для площади треугольника:
- К = (s – a) (s – b) (s – c) (s – d). { displaystyle K = { sqrt { left (sa right) left (sb right) left (sc right) left (sd right)}}.}
Формула Бретшнайдера обобщает это ко всем выпуклым четырехугольникам:
- K = (s – a) (s – b) (s – c) (s – d) – abcd ⋅ cos 2 (α + γ 2), { Displaystyle К = { sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd) -abcd cdot cos ^ {2} left ({ frac { alpha + gamma} {2}} right)}},}
, в котором α { displaystyle alpha ,}
и γ { displaystyle gamma ,}
являются двумя противоположными углы.
Четыре стороны двухцентрового четырехугольника являются четырьмя решениями уравнения четвертой степени, параметризованных полупериметром, внутренним радиусом и радиусом описанной окружности.
Правильные многоугольники
Площадь выпуклого правильного многоугольника является произведением его полупериметра и его апофемы.
Ссылки
Внешние ссылки
полупериметр — половина периметра фигуры.
* Для вычисления периметра многоугольника нужно просуммировать длины всех его сторон.
* Для вычисления периметра окружности — воспользоваться формулой длины окружности.
* Периметр более сложных фигур определяется методами математического анализа (интегрированием уравнения кривой, описывающей границу фигуры) .
Для измерения периметра применяется специальное устройство — курвиметр. Он состоит из зубчатого ролика известного диаметра на ручке и счетчика пройденного количества зубцов. Для измерения длины кривой по ней прокатывают роликом курвиметра.
* Периметр — Википедия
* Курвиметр — Википедия
* Как найти периметр квадрата?
* Как найти длину окружности?
Периметр (в области безопасности) — это сама замкнутая граница, окружающая охраняемую территорию, а не ее длина (как в геометрии) . Одна из важнейших задач службы безопасности — охрана периметра. В рамках охраны периметра регистрируются всех пересечения периметра, совершаемых на законных основаниях и пресекаются несанкционированные пересечения периметра. В случае, еслина охраняемую территорию можно попасть через третье измерение (с воздуха, через шахты, по лестницам и т. п. ) понятие охраны периметра трактуют расширительно, включая все возможные пути проникновения.
Примерами охраны периметра служат:
* охрана Государственной границы;
* охрана мест заключения;
* охрана территории предприятия или склада.
Для охраны периметра охраняемую область окружают препятствиями (стенами, заборами, колючей проволокой, минными полями и т. п. ) и средствами контроля их нарушения (видеонаблюдение, электромагнитные сканеры, датчики движения, контрольно-следовые полосы и т. п.) . В древности охрана периметра часто реализовывалась возведением крепостей со стенами, рвами с водой и дозорными башнями. Крепости часто строили у воды, что облегчало охрану периметра, покрайней мере, с одной стороны.
