Как найти полупериметр призмы - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Призма

Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.

Многоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ – называются основаниями призмы.

Параллелограммы $АА_1В_1В, ВВ_1С_1С$ и т.д.- боковыми гранями.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

$С_1Н$ – высота

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$P_{осн}$ – периметр основания;

$S_{осн}$ – площадь основания;

$S_{бок}$ – площадь боковой поверхности;

$S_{п.п}$ – площадь полной поверхности;

$h$ – высота призмы.

$S_{бок}=P_{осн}·h$

$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}$

$V=S_{осн}·h$

В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

$S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ – высота, проведенная к стороне $а$
$S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ – соседние стороны, $α$ – угол между этими соседними сторонами.
Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ – это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
$S=p·r$, где $r$ – радиус вписанной окружности
$S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ – радиус описанной окружности
Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ – катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

1. Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ – смежные стороны.

2. Ромб

$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ – диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ – длина стороны ромба, а $α$ – угол между соседними сторонами.

3. Трапеция

$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ – основания трапеции, $h$ – высота трапеции.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим площади правильных многоугольников:

1. Для равностороннего треугольника $S={a^2√3}/{4}$, где $а$ – длина стороны.

2. Квадрат

$S=a^2$, где $а$ – сторона квадрата.

3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

$S=6·S_{треугольника}={6·a^2√3}/{4}={3·a^2√3}/{2}$, где $а$ – сторона правильного шестиугольника.

Пример:

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными $10$ и $24$, а её боковое ребро равно $20$.

Решение:

Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб.

Распишем формулу площади полной поверхности:

$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}=P_{осн}·h+2S_{ромба}$

В прямой призме высота равна боковому ребру, следовательно, $h=С_1С=20$

Чтобы найти периметр основания, надо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся, при пересечении диагоналей и воспользуемся теоремой Пифагора.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$.

$АВ=√{5^2+12^2}=√{25+144}=√{169}=13$

$Р=13·4=52$

Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

$S_{основания}={d_1·d_2}/{2}={10·24}/{2}=120$

Далее подставим все найденные величины в формулу полной поверхности и вычислим ее:

$S_{п.п}=P_{осн}·h+2S_{ромба}=52·20+2·120=1040+240=1280$

Ответ: $1280$

Цилиндр – это та же призма, в основании которой лежит круг.

$S_{бок}=P_{осн}·h=2πRh$

$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}=2πRh+2πR^2=2πR(h+R)$

$V=S_{осн}·h=πR^2 h$

Подобные призмы: при увеличении всех линейных размеров призмы в $k$ раз, её объём увеличится в $k^3$ раз.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$MN$ – средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

$MN {//} AC, MN = {AC}/{2}$

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ – коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$AC^2+BC^2=AB^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ – противолежащий катет; $ВС$ – прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ – противолежащий катет; $АС$ – прилежащий катет.

Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	${1}/{2}$	${√2}/{2}$	${√3}/{2}$
$cosα$	${√3}/{2}$	${√2}/{2}$	${1}/{2}$
$tgα$	${√3}/{3}$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	${√3}/{3}$

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

${a}/{sinα}={b}/{sinβ}={c}/{sinγ}=2R$, где $R$ – радиус описанной около треугольника окружности.

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosα;$

$b^2=a^2+c^2-2·a·c·cos⁡β;$

$c^2=b^2+a^2-2·b·a·cosγ.$

Источник

Содержание

Как найти периметр призмы
Что такое призма?
Периметр призмы
Зачем вам нужно рассчитывать периметр призмы?
Пример задачи: периметр прямоугольной призмы
Как найти площадь прямоугольной призмы
Как найти площадь треугольной призмы
Как найти высоту призмы
Призма
Призма
Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:
В основании лежит треугольник.
В основании лежит четырехугольник
1. Прямоугольник
2. Ромб
3. Трапеция
Рассмотрим площади правильных многоугольников:
Подобие треугольников
Прямоугольный треугольник и его свойства:
Теорема Пифагора
Теорема синусов
Теорема косинусов

Как найти периметр призмы

Вы можете увидеть призмы как на уроке математики, так и на протяжении всей вашей повседневной жизни. Кирпич — это прямоугольная призма. Упаковка апельсинового сока — это тип призмы. Коробка из ткани представляет собой прямоугольную призму. Амбары представляют собой тип пятиугольной призмы. Пентагон — это пятиугольная призма. Аквариум представляет собой прямоугольную призму. Этот список можно продолжать и продолжать.

Призмы по определению — это сплошные объекты с одинаковыми концевыми формами, одинаковыми сечениями и плоскими боковыми гранями (без кривых) И хотя большинство математических задач и примеров из реальной жизни, касающихся вычислений призмы, связаны с формулой объема или формулой площади поверхности, прежде чем вы сможете это сделать, вам нужно сначала понять один расчет: периметр призмы.

Что такое призма?

Общее определение призмы — это трехмерная сплошная форма, которая имеет следующие характеристики:

Это многогранник (то есть это сплошная фигура).
Поперечное сечение объекта является одинаковым по всей длине объекта.
Это параллелограмм (четырехсторонняя форма, в которой противоположные стороны параллельны друг другу).
Грани объекта плоские (без изогнутых граней).
Две концевые формы идентичны.

Название призмы происходит от формы двух концов, которые известны как основания. Это может быть любая форма (кроме кривых или кругов). Например, призма с треугольными основаниями называется треугольной призмой. Призма с прямоугольными основаниями называется прямоугольной призмой. Этот список можно продолжить.

Рассматривая характеристики призм, это исключает сферы, цилиндры и конусы как призмы, потому что они имеют изогнутые грани. Это также устраняет пирамиды, потому что они не имеют одинаковых основных форм или идентичных поперечных сечений повсюду.

Периметр призмы

Говоря о периметре призмы, вы на самом деле имеете в виду периметр базовой формы. Периметр основания призмы такой же, как периметр вдоль любого поперечного сечения призмы, поскольку все поперечные сечения одинаковы по всей длине призмы.

Периметр измеряет сумму длин любого многоугольника. Таким образом, для каждого типа призмы вы найдете сумму длин любой формы, являющейся основанием, и это будет периметр призмы.

Например, формула для нахождения периметра треугольной призмы будет суммой трех длин треугольника, составляющего основание, или:

Периметр треугольника = a + b + c, где a , b и c — три длины треугольника.

Это будет периметр формулы прямоугольной призмы:

Периметр прямоугольника: 2l + 2w, где l — длина прямоугольника, а w — ширина.

Примените стандартные расчеты периметра к базовой форме призмы, и это даст вам периметр.

Зачем вам нужно рассчитывать периметр призмы?

Поиск периметра призмы не кажется слишком сложным, если вы понимаете, о чем идет речь. Однако периметр является важным расчетом, который учитывает формулы площади и объема поверхности для некоторых призм.

Например, это формула для определения площади поверхности правой призмы (правая призма имеет идентичные основания и стороны, которые все прямоугольные):

Площадь поверхности = 2b + ph

где b равно площади основания, p равно периметру основания, а h равно высоте призмы. Вы можете видеть этот периметр, необходимый для определения площади поверхности.

Пример задачи: периметр прямоугольной призмы

Допустим, у вас есть проблема с правильной прямоугольной призмой, и вас попросили найти периметр. Вам даны следующие значения:

Чтобы найти периметр, используйте формулу для нахождения периметра прямоугольной призмы, поскольку имя говорит о том, что основание представляет собой прямоугольник:

Периметр = 2l + 2w = 2 (75 см) + 2 (10 см) = 150 см + 20 см = 170 см

Затем вы можете продолжить, чтобы найти площадь поверхности, потому что у вас есть высота, у вас есть периметр основания, и это считается, что эта призма является правой призмой.

Площадь основания равна длине × ширине (как всегда для прямоугольника), которая равна:

Площадь основания = 75 см × 10 см = 750 см 2

Теперь у вас есть все значения для расчета площади поверхности:

Площадь поверхности = 2b + ph = 2 (750 см 2 ) + 170 см (5 см) = 1500 см 2 + 850 см = 2350 см 2

Как найти площадь прямоугольной призмы

Два одинаковых конца прямоугольной призмы являются прямоугольниками, и в результате четыре стороны между концами также являются двумя парами одинаковых прямоугольников. Поскольку прямоугольная призма имеет шесть прямоугольных граней или сторон, площадь ее поверхности является суммой шести граней, и поскольку каждая грань имеет одинаковую противоположность, .

Как найти площадь треугольной призмы

Призма определяется как сплошная фигура с равномерным поперечным сечением. Существует много различных типов призм, от прямоугольных до круглых и треугольных. Вы можете найти площадь поверхности любого типа призмы с простой формулой, и треугольные призмы не являются исключением. Может быть полезно понять, как рассчитать .

Как найти высоту призмы

Два основания призмы могут определять ее форму, но высота призмы определяет ее размер. Призмы — это многогранники, трехмерные тела с двумя одинаковыми и параллельными многоугольными основаниями или концами. Высота призмы — это расстояние между двумя ее основаниями и является важным измерением при расчете .

Источник

Призма

Многоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ – называются основаниями призмы.

Параллелограммы $АА_1В_1В, ВВ_1С_1С$ и т.д.- боковыми гранями.