Как найти полупериметр треугольника с вписанной окружностью - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Треугольник вписанный в окружность

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac<1><2>ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Свойства

Центр вписанной в треугольник окружности
находится на пересечении биссектрис.
В треугольник, вписанный в окружность,
можно вписать окружность, причем только одну.
Для треугольника, вписанного в окружность,
справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
и Теорема Пифагора.
Центр описанной около треугольника окружности
находится на пересечении серединных перпендикуляров.
Все вершины треугольника, вписанного
в окружность, лежат на окружности.
Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

Проведем серединные
перпендикуляры — HO, FO, EO.
O — точка пересечения серединных
перпендикуляров равноудалена от
всех вершин треугольника.
Центр окружности — точка пересечения
серединных перпендикуляров — около
треугольника описана окружность — O,
от центра окружности к вершинам можно
провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности

Как найти площадь треугольника через радиус вписанной окружности?

Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной в этот треугольник окружности на на его полупериметр.

Формула для нахождения площади треугольника через радиус вписанной окружности:

окружность (O; r) — вписанная,

Рассмотрим треугольник AOC.

(как радиус, проведенный в точку касания).

Следовательно, OF — высота треугольника AOC.

Так как площадь треугольника ABC равна сумме площадей этих треугольников, то

Что и требовалось доказать.

Если требуется найти площадь треугольника через его периметр, формулу записывают так:

где P — периметр треугольника, r — радиус вписанной в этот треугольник окружности.

2 Comments

Полезно, вспомнить курс школьной геометрии.
Разработчики сайта дерзайте дальше.

Как найти площадь треугольника

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

квадратный миллиметр (мм 2 );
квадратный сантиметр (см 2 );
квадратный дециметр (дм 2 );
квадратный метр (м 2 );
квадратный километр (км 2 );
гектар (га).

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

[spoiler title=”источники:”]

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности

http://skysmart.ru/articles/mathematic/ploshad-treugolnika

[/spoiler]

Источник

Как найти площадь треугольника через радиус вписанной окружности?

Формула для нахождения площади треугольника через радиус вписанной окружности:

$[p = frac{{a + b + c}}{2}]$

Дано:

∆ ABC,

окружность (O; r) — вписанная,

AB=c, BC=a, AC=b,

$[p = frac{{a + b + c}}{2}]$

Доказать:

$[{S_{Delta ABC}} = pr]$

Доказательство:

Рассмотрим треугольник AOC.

(как радиус, проведенный в точку касания).

Следовательно, OF — высота треугольника AOC.

По формуле

$[S = frac{1}{2}a{h_a}]$

$[{S_{Delta AOC}} = frac{1}{2}AC cdot OF = frac{1}{2}br.]$

Аналогично найдем

площади

треугольников

AOB и BOC:

$[{S_{Delta AOB}} = frac{1}{2}AB cdot OD = frac{1}{2}cr,]$

$[{S_{Delta BOC}} = frac{1}{2}BC cdot OK = frac{1}{2}ar.]$

Так как площадь треугольника ABC равна сумме площадей этих треугольников, то

$[{S_{Delta ABC}} = {S_{Delta AOC}} + {S_{Delta AOB}} + {S_{Delta BOC}} = ]$

$[ = frac{1}{2}br + frac{1}{2}cr+frac{1}{2}ar = frac{{a + b + c}}{2} cdot r = pr.]$

Что и требовалось доказать.

Если требуется найти площадь треугольника через его периметр, формулу записывают так:

$[S = frac{1}{2}P cdot r,]$

где P — периметр треугольника, r — радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Источник

Как найти площадь любого треугольника

Вспоминаем геометрию: формулы для произвольных, прямоугольных, равнобедренных и равносторонних фигур.

Как найти площадь любого треугольника

Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.

Зная сторону и высоту

Умножьте сторону треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a — сторона треугольника.
h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.

Зная две стороны и угол между ними

Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
Найдите синус угла между выбранными сторонами.
Перемножьте полученные числа.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a и b — стороны треугольника.
α — угол между сторонами a и b.

Зная три стороны (формула Герона)

Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
Найдите произведение полученных чисел.
Умножьте результат на полупериметр.
Найдите корень из полученного числа.

S — искомая площадь треугольника.
a, b, c — стороны треугольника.
p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).

Зная три стороны и радиус описанной окружности

Найдите произведение всех сторон треугольника.
Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

S — искомая площадь треугольника.
R — радиус описанной окружности.
a, b, c — стороны треугольника.

Зная радиус вписанной окружности и полупериметр

Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.

S — искомая площадь треугольника.
r — радиус вписанной окружности.
p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Как найти площадь прямоугольного треугольника

Посчитайте произведение катетов треугольника.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.

Как найти площадь равнобедренного треугольника

Умножьте основание на высоту треугольника.
Поделите результат на два.

S — искомая площадь треугольника.
a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.

Как найти площадь равностороннего треугольника

Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
Поделите результат на четыре.

S — искомая площадь треугольника.
a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.

Читайте также 🧠👨🏻‍🎓✍🏻

7 причин полюбить математику
ТЕСТ: Помните ли вы геометрию?
10 хитрых головоломок со спичками для тренировки воображения
Интересные математические факты для тех, кто хочет больше узнать о мире вокруг
ТЕСТ: Сможете ли вы решить простые математические примеры?

Источник

Формулы площади треугольника

Через основание и высоту

$$S= frac{1}{2} ah $$
(S) — площадь треугольника

(a) — основание

(h) — высота

(a =)
(h =)

Через две стороны и угол

$$S= frac{1}{2} ab sin alpha $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

( alpha ) — угол между сторонами (a) и (b)

(a =)
(b =)
( alpha =)

Формула Герона

$$S= sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

(p) — полупериметр, (p= frac{a+b+c}{2})

(a =)
(b =)
(c =)

Через радиус вписанной окружности

$$S= rp $$
(S) — площадь треугольника

(r) — радиус вписанной окружности

(a) — сторона

(b) — сторона

(p) — полупериметр, (p= frac{a+b+c}{2})

(r =)
(p =)

Через радиус описанной окружности

(S= frac{abc}{4R} )

(S) — площадь треугольника

(R) — радиус описанной окружности

(a) — сторона

(b) — сторона

(a =)
(b =)

(c =)
(R =)

Площадь прямоугольного треугольника

$$S= frac{1}{2} ab $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

(a =)
(b =)

Площадь прямоугольного треугольника

$$S= de $$
(S) — площадь треугольника

(d =)
(e =)

Формула Герона для прямоугольного треугольника

$$ S= (p-a)(p-b) $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

(p) — полупериметр, (p= frac{a+b+c}{2})

(a =)
(b =)
(p =)

Площадь равнобедренного треугольника

$$S= frac{1}{2} a^2 sin alpha$$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(alpha) — угол между боковыми сторонами

(a =)
( alpha =)

Площадь равнобедренного треугольника

<
$$S= frac{1}{2} ab sin alpha $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(b) — сторона

(alpha) — угол между боковыми сторонами и основанием

(a =)
(b =)
( alpha =)

Площадь равнобедренного треугольника

$$S= frac{b^2}{4tg frac{ alpha }{2}} $$
(S) — площадь треугольника

(b) — сторона

(alpha) — угол между боковыми сторонами и основанием

(b =)
(alpha =)

Формула Герона для равнобедренного треугольника

a =
b =

Площадь равностороннего треугольника

$$S= frac{ sqrt{3}a^2}{4} $$
(S) — площадь треугольника

(a) — сторона

(a =)

Площадь равностороннего треугольника

$$S= frac{3 sqrt{3}R^2}{4}$$
(S) — площадь треугольника

(R) — радиус описанной окружности

(R =)

Площадь равностороннего треугольника

$$S= 3 sqrt{3}r^2 $$
(S) — площадь треугольника

(r) — радиус вписанной окружности

(r =)

Площадь равностороннего треугольника

$$S= frac{h^2}{sqrt{3}}$$
(S) — площадь треугольника

(h) — высота

(h =)

Источник

Треугольник (чёрный) с вписанной окружностью (синей), инцентр (I), вневписанными окружностями (оранжевые), эксцентры (J_A,J_B,J_C), внутренние биссектрисы (красные) и внешние биссектрисы (зелёные)

Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника, касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность, которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника.

Вневписанная окружность треугольника — окружность, лежащая вне треугольника и касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон^[en]. Любой треугольник имеет три различные вневписанные окружности, каждая из которых касается своей стороны треугольника.
Центром вневписанной окружности является пересечение биссектрисы одного внутреннего угла^[en] и биссектрис двух других внешних углов^[en]. Поскольку биссектриса внутреннего угла перпендикулярна биссектрисе смежного внешнего угла, центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанных окружностей образуют ортоцентричную систему^[en]^[1].

Не все многоугольники с числом сторон более трёх имеют вписанную окружность. Те, которые имеют, называются описанными.

Связь с площадью треугольника[править | править код]

Радиусы вписанных и вневписанных окружностей имеют тесную связь с площадью треугольника^[2].

Вписанная окружность[править | править код]

Пусть имеет вписанную окружность радиуса r с центром I.
Пусть a — длина BC, b — длина AC, а c — длина AB.
Пусть вписанная окружность касается AB в некоторой точке C′, тогда
является прямым.
Тогда радиус C’I будет высотой треугольника
.
Таким образом,

имеет основание длины c и высоту r, а следовательно, его площадь равна
${tfrac {1}{2}}cr$ .
Подобным же образом

имеет площадь
${tfrac {1}{2}}br$
и

имеет площадь ${tfrac {1}{2}}ar$ .
Поскольку эти три треугольника разбивают , получаем, что

${displaystyle Delta ={frac {1}{2}}(a+b+c)r=pr,}$

где Delta — площадь , а ${displaystyle p={frac {1}{2}}(a+b+c)}$ — его полупериметр.

Чтобы получить альтернативную формулу, рассмотрим . Это прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен r, а другой равен ${displaystyle rcdot mathrm {ctg} {frac {angle A}{2}}}$ . То же самое верно для . Весь треугольник состоит из 6 таких треугольников, и общая площадь составляет:

${displaystyle Delta =r^{2}cdot (mathrm {ctg} {frac {angle A}{2}}+mathrm {ctg} {frac {angle B}{2}}+mathrm {ctg} {frac {angle C}{2}})}$

Вневписанные окружности[править | править код]

Пусть вневписанная окружность, касающаяся стороны AB, касается продолжения стороны AC в точке G, и пусть радиус этой окружности равен $r_{c}$ , а её центр — $I_{c}$ . Тогда $I_{c}G$ является высотой треугольника $triangle ACI_{c}$ ,
так что $triangle ACI_{c}$ имеет площадь ${tfrac {1}{2}}br_{c}$ . По тем же причинам
$triangle BCI_{c}$
имеет площадь
${tfrac {1}{2}}ar_{c}$ ,
а $triangle ABI_{c}$
имеет площадь
${tfrac {1}{2}}cr_{c}$ .
Тогда

${displaystyle Delta ={frac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(p-c)r_{c}}$

Таким образом, ввиду симметрии,

${displaystyle Delta =pr=(p-a)r_{a}=(p-b)r_{b}=(p-c)r_{c}}$

По теореме косинусов получаем

$cos A={frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

Комбинируя это с тождеством $sin ^{2}A+cos ^{2}A=1$ , получим

$sin A={frac {sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}$

Но $Delta ={tfrac {1}{2}}bcsin A$ , так что

${displaystyle {begin{aligned}Delta &={frac {1}{4}}{sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\&={frac {1}{4}}{sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\&={sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},end{aligned}}}$

и это формула Герона вычисления площади треугольника по его сторонам.

Комбинируя формулу Герона с , получим

${displaystyle r^{2}={frac {Delta ^{2}}{p^{2}}}={frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}$

Аналогично, ${displaystyle (p-a)r_{a}=Delta }$ даёт

${displaystyle r_{a}^{2}={frac {p(p-b)(p-c)}{p-a}}}$

Из этих формул видно, что вневписанные окружности всегда больше вписанной и наибольшая окружность соответствует самой длинной стороне, а самая наименьшая из вневписанных окружностей соответствует самой маленькой стороне. Дальнейшее комбинирование формул приводит к:^[3]

$Delta ={sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.$

Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно ${frac {pi }{3{sqrt {3}}}}$ , и равенство достигается только на правильных треугольниках^[4].

Связанные построения[править | править код]

Окружность девяти точек и точка Фейербаха[править | править код]

Теорема Эйлера об окружности Эйлера. Середины отрезков высот от ортоцентра до вершин треугольника называются точками Эйлера. Основания медиан, основания высот и точки Эйлера лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек^[5].

Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей, а также вписанной окружности в четырёх разных точках. Одна из них – точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха.

Треугольник и точка Жергонна[править | править код]

Треугольник ΔABC с вписанной окружностью (синяя), и её центр (синий, I), треугольник точек касания (красный, ΔT_aT_bT_c) и точка Жергонна (зелёная, Ge)

Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах.
Эти вершины обозначим T_A, и т. д..
Точка T_A лежит напротив вершины A.

Этот треугольник Жергонна T_AT_BT_C известен также как треугольник касаний треугольника ABC.

Три прямые AT_A, BT_B и CT_C пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7). Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга^[en] с выколотым центром^[6].

Интересно, что точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна. Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова^[7].

Трилинейные координаты вершин треугольника касаний задаются формулами

вершина $A=0:sec ^{2}left({frac {B}{2}}right):sec ^{2}left({frac {C}{2}}right)$
вершина $B=sec ^{2}left({frac {A}{2}}right):0:sec ^{2}left({frac {C}{2}}right)$
вершина $C=sec ^{2}left({frac {A}{2}}right):sec ^{2}left({frac {B}{2}}right):0$

Трилинейные координаты точки Жергонна

$sec ^{2}left({frac {A}{2}}right):sec ^{2}left({frac {B}{2}}right):sec ^{2}left({frac {C}{2}}right)$

или, эквивалентно, по теореме синусов,

${frac {bc}{b+c-a}}:{frac {ca}{c+a-b}}:{frac {ab}{a+b-c}}$

Точка Жергонна является изотомическим сопряжением точки Нагеля.

Треугольник и точка Нагеля[править | править код]

Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника ABC определяется вершинами T_A, T_B и T_C, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка X_A противоположна стороне A, и т. д. Описанная вокруг треугольника T_AT_BT_C окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта). Три прямые AT_A, BT_B и CT_C делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля Na — X(8).

Трилинейные координаты точек касания треугольника вневписанными окружностями задаются формулами

вершина $A=0:csc ^{2}left({frac {B}{2}}right):csc ^{2}left({frac {C}{2}}right)$
вершина $B=csc ^{2}left({frac {A}{2}}right):0:csc ^{2}left({frac {C}{2}}right)$
вершина $C=csc ^{2}left({frac {A}{2}}right):csc ^{2}left({frac {B}{2}}right):0$

Трилинейные координаты точки Нагеля задаются формулами

$csc ^{2}left({frac {A}{2}}right):csc ^{2}left({frac {B}{2}}right):csc ^{2}left({frac {C}{2}}right)$

или, эквивалентно, по теореме синусов,

${frac {b+c-a}{a}}:{frac {c+a-b}{b}}:{frac {a+b-c}{c}}$

Точка Нагеля является изотомическим сопряжением точки Жергонна.

Трилинейные координаты вписанных треугольников[править | править код]

Трилинейные координаты вершин треугольника, образованного основаниями биссектрис, задаются формулами

вершина
вершина
вершина

Трилинейные координаты треугольника, образованного точками касания сторон внеописанными окружностями, задаются формулами

вершина
вершина
вершина

Уравнения окружностей[править | править код]

Пусть x : y : z — координаты точки в трилинейных координатах, и пусть u = cos²(A/2), v = cos²(B/2), w = cos²(C/2). Четыре окружности, описанные выше, можно задать любым из двух указанных способов^[8]:

Вписанная окружность:

$u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0$

$pm {sqrt {x}}cos {frac {A}{2}}pm {sqrt {y}}cos {frac {B}{2}}pm {sqrt {z}}cos {frac {C}{2}}=0$

A-внешневписанная:

$u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy=0$

$pm {sqrt {-x}}cos {frac {A}{2}}pm {sqrt {y}}cos {frac {B}{2}}pm {sqrt {z}}cos {frac {C}{2}}=0$

B-внешневписанная:

$u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy=0$

$pm {sqrt {x}}cos {frac {A}{2}}pm {sqrt {-y}}cos {frac {B}{2}}pm {sqrt {z}}cos {frac {C}{2}}=0$

C-внешневписанная:

$u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy=0$

$pm {sqrt {x}}cos {frac {A}{2}}pm {sqrt {y}}cos {frac {B}{2}}pm {sqrt {-z}}cos {frac {C}{2}}=0$

Другие свойства вписанной окружности[править | править код]

Некоторые формулы с радиусом вписанной окружности[править | править код]

Радиус вписанной окружности не больше одной девятой суммы высот треугольника^[9].

Неравенство Эйлера: радиус вписанной окружности не превосходит половины радиуса описанной окружности и равенство имеет место лишь для равностороннего треугольника^[10].

Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длиной x и y, y и z, z и x. Тогда вписанная окружность имеет радиус^[11]

$r={sqrt {frac {xyz}{x+y+z}}}$

и площадь треугольника равна

Если высоты, опущенные на стороны a, b и c есть h_a, h_b и h_c, то радиус вписанной окружности r равен одной трети гармонического среднего этих высот, то есть

$r={frac {1}{h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}}.$

Произведение радиуса вписанной окружности r и радиуса описанной окружности R треугольника со сторонами a, b и c равен^[1]

$rR={frac {abc}{2(a+b+c)}}.$

Некоторые связи сторон, радиусов вписанной окружности и описанной окружностей^[12]:

$ab+bc+ca=s^{2}+(4R+r)r,$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=2s^{2}-2(4R+r)r.$

Любая прямая, проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна^[13].

Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности^[14].

Формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей[править | править код]

Теорема Эйлера[править | править код]

Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике^[10]:

$(R-r_{in})^{2}=d^{2}+r_{in}^{2},$

где R и r_in являются радиусами описанной и вписанной окружностей соответственно, а d — расстояние между центрами этих окружностей.

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

$(R+r_{ex})^{2}=d^{2}+r_{ex}^{2},$

где r_ex — радиус одной из вневписанных окружностей, а d — расстояние между центрами описанной и вневписанной окружностей^[15]^[16]^[17]

Возводя в квадрат и приводя подобные из первой формулы Эйлера выше имеем:

Квадрат расстояния от центра вписанной окружности I до центра описанной O задаётся уравнением^[18]

$OI^{2}=d^{2}=R(R-2r_{in}),$

${displaystyle OI^{2}={frac {abc,}{a+b+c}}left[{frac {abc,}{(a+b-c),(a-b+c),(-a+b+c)}}-1right]}$

Аналогично для второй формулы:

$d^{2}=R(R+2r_{ex}).$

Другие формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей[править | править код]

Расстояние от центра вписанной окружности до центра N окружности девяти точек равно^[18]

$IN={frac {1}{2}}(R-2r)<{frac {1}{2}}R.$

Расстояние от вершины до точек касания вписанной окружности на прилегающих сторонах равно полусумме длин прилегающих сторон минус половина противолежащей стороны^[19]. Так, для вершины B и прилежащих точек касания T_A и T_C,

$BT_{A}=BT_{C}={frac {BC+AB-AC}{2}}.$

Если обозначить центр вписанной окружности треугольника ABC буквой I, мы получим^[20]

${frac {IAcdot IA}{CAcdot AB}}+{frac {IBcdot IB}{ABcdot BC}}+{frac {ICcdot IC}{BCcdot CA}}=1$

и^[21]

$IAcdot IBcdot IC=4Rr^{2}.$

Теорема Мансиона (составная часть Теоремы о трезубце). Середины трёх отрезков, соединяющих центр вписанной окружности с центрами вневписанных окружностей лежат на описанной окружности^[10].

Теорема Харкорта. Пусть треугольник задан своими вершинами A, B и C, противоположные вершинам стороны имеют длины a, b и c, площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ‘, b ‘ и c ‘, при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда

$aa^{prime }+bb^{prime }+cc^{prime }=2K.$

Другие свойства вневписанных окружностей[править | править код]

Следующее отношение выполняется для радиуса r вписанной окружности, радиуса R описанной окружности, полупериметра s и радиусов вневписанных окружностей r_a, r_b, r_c^[12]:

$r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r,$

$r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}=s^{2},$

$r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}=(4R+r)^{2}-2s^{2},$

Окружность, проходящая через центры вневписанных окружностей, имеет радиус 2R^[12].

Если H — ортоцентр треугольника ABC, то^[12]

$r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=AH+BH+CH+2R,$

$r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}.$

Вершины A, B и C треугольника ABC являются основаниями высот треугольника J_AJ_B,J_C,

где J_AJ_B,J_C — центры вневписанных окружностей^[10].

Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности^[14].
Центр Шпикера треугольника является радикальным центром его вневписанных окружностей^[22]. Если из центра Шпикера треугольника провести 6 касательных к 3 вневписанным окружностям треугольника, то все их длины будут равны между собой.

Окружность Аполлония[править | править код]

Определение окружности Аполлония[править | править код]

Точка Аполлония и окружность Аполлония

Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно E_A, E_B, E_C (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зеленым цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно E_A, E_B и E_C (см. рисунок)^[23].

Радиус окружности Аполлония[править | править код]

Радиус окружности Аполлония равен ${frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}$ , где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника^[24].

Определение точки Аполлония Ap[править | править код]

Точка Аполлония Ap в Энциклопедии центров треугольника у Кларка Кимберлинга (Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)) именуется как центр треугольника под именем X(181).
Точка Аполлония Ap или X(181) определяется следующим образом:

Пусть A’ , B’ и C’ есть точки касания окружности Аполлония E с соответствтвующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA’ , BB’ и CC’ пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.

Изогональное сопряжение[править | править код]

Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника^[25].

Ортоцентр треугольника изогонально сопряжён центру описанной окружности этого треугольника^[25].

Обобщение на другие многоугольники[править | править код]

Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вневписанную окружность. Они называются внеописанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важное свойство отмечает теорема Уркхарта. Она утверждает:
Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то

{displaystyle AB+BC=AD+DCquad Leftrightarrow quad AE+EC=AF+FC.}

См. также[править | править код]

Вневписанная окружность
Внеописанный четырёхугольник
Вписанная окружность
Вписанные и описанные фигуры для треугольника
Вписанное коническое сечение^[en]
Вписанная сфера
Высота треугольника
Замечательные точки треугольника
Инцентр или Центр вписанной окружности
Окружность
Описанная окружность
Описанный четырёхугольник
Ортоцентр
Степень точки относительно окружности
Теорема Мансиона
Теорема о трезубце
Теорема Тебо 2 и 3
Теорема Харкорта
Точки Аполлония
Степень точки относительно окружности
Центр Шпикера
Центроид
Центроид треугольника
Эллипс Мандарта
Эллипс Штейнера

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. — Dover, 2007 (оригинал — 1929).. — С. 189, #298(d).
↑ H.S.M. Coxeter. Introduction to Geometry. — 2. — Wiley, 1961..
↑ Marcus Baker. A collection of formulae for the area of a plane triangle. — January 1885. — Т. part 1, vol. 1(6). — С. 134-138.. См. также часть 2 в томе. 2(1), Сентябрь 1885, 11-18.)
↑ D. Minda, S. Phelps. Triangles, ellipses, and cubic polynomials // American Mathematical Monthly. — October 2008. — Вып. 115. — С. 679-689: Theorem 4.1..
↑ С. И. Зетель. Новая геометрия треугольника. — Москва: УЧПЕДГИЗ, 1962. — С. 52-53 Глава III.
↑ Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. The locations of triangle centers // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 57-70..
↑ Deko Dekov. Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. — 2009. — Т. 1. — С. 1–14.. Архивировано 5 ноября 2010 года.
↑ William Allen Whitworth. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. — 2012. — С. 210-215. — (Forgotten Books).
↑ Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. The Secrets of Triangles. — Prometheus Books, 2012. — С. 289.
↑ ¹ ² ³ ⁴ А. Д. Куланин, С. Н. Федин. Геометрия треугольника в задачах. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — ISBN 978-5-397-00786-3.
↑ Thomas Chu. The Pentagon. — Spring, 2005. — С. 45, задача 584..
↑ ¹ ² ³ ⁴ Amy Bell. Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 335–342.
↑ Dimitrios Kodokostas. Triangle Equalizers // Mathematics Magazine. — 2010. — Вып. 83, April. — С. 141-146..
↑ ¹ ² Мякишев, 2002, с. 11, п. 5.
↑ Roger Nelson. Euler’s triangle inequality via proof without words // Mathematics Magazine. — February 2008. — Вып. 81(1). — С. 58-61.
↑ R. A. Johnson. Modern Geometry. — Boston: Houghton Mifflin, 1929. — С. 187.
↑ Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Euler’s formula and Poncelet’s porism // Forum Geometricorum. — 2001. — Вып. 1. — С. 137–140..
↑ ¹ ² ³ William N. Franzsen. The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Т. 11. — С. 231–236..
↑ Mathematical Gazette, July 2003, 323—324.
↑ Patricia R. Allaire, Junmin Zhou, Haishen Yao. Proving a nineteenth century ellipse identity // Mathematical Gazette. — 2012. — Вып. 96, March. — С. 161-165..
↑ Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 1980. — С. 121,#84.
↑ Odenhal, 2010, с. 35—40.
↑ Darij Grinberg, Paul Yiu. The Apollonius Circle as a Tucker Circle // Forum Geometricorum. — 2002. — Вып. 2. — С. 175-182.
↑ Milorad R. Stevanovi´c. The Apollonius circle and related triangle centers // Forum Geometricorum. — 2003. — Вып. 3. — С. 187-195..
↑ ¹ ² В. В. Прасолов. Точки Брокара и изогональное сопряжение. — М.: МЦНПО, 2000. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-49-9.

Литература[править | править код]

Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.
Clark Kimberling. Triangle Centers and Central Triangles // Congressus Numerantium. — 1998. — Вып. 129. — С. i-xxv, 1-295.
Sándor Kiss. The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles // Congressus Numerantium. — 2006. — Вып. 6. — С. 171—177.
Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.

Ссылки[править | править код]

Derivation of formula for radius of incircle of a triangle
Weisstein, Eric W. Incircle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Сайты с интерактивным содержанием[править | править код]

Triangle incenter Triangle incircle Incircle of a regular polygon With interactive animations
Constructing a triangle’s incenter / incircle with compass and straightedge An interactive animated demonstration
Equal Incircles Theorem at cut-the-knot
Five Incircles Theorem at cut-the-knot
Pairs of Incircles in a Quadrilateral at cut-the-knot
An interactive Java applet for the incenter

Источник