Как найти полупериметр в равнобедренном треугольнике

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник – треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник – треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник – треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d47a8b7597e3a77 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Как найти площадь треугольника

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

• квадратный миллиметр (мм 2 );
• квадратный сантиметр (см 2 );
• квадратный дециметр (дм 2 );
• квадратный метр (м 2 );
• квадратный километр (км 2 );
• гектар (га).

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

[spoiler title=”источники:”]

http://mathvox.ru/geometria/treugolniki/treugolniki-glava-6/perimetr-i-poluperimetr-ravnobedrennogo-treugolnika/

http://skysmart.ru/articles/mathematic/ploshad-treugolnika

[/spoiler]

Полупериметр равнобедренного треугольника Калькулятор

Search
Дом	математика ↺
математика	Геометрия ↺
Геометрия	2D геометрия ↺
2D геометрия	Треугольник ↺
Треугольник	Равнобедренный треугольник ↺
Равнобедренный треугольник	Периметр равнобедренного треугольника ↺

Полупериметр равнобедренного треугольника Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Стороны равнобедренного треугольника: 9 метр –> 9 метр Конверсия не требуется
Основание равнобедренного треугольника: 6 метр –> 6 метр Конверсия не требуется

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

12 метр –> Конверсия не требуется

2 Периметр равнобедренного треугольника Калькуляторы

2 Периметр равнобедренного треугольника Калькуляторы

Полупериметр равнобедренного треугольника формула

Полупериметр равнобедренного треугольника = (2*Стороны равнобедренного треугольника+Основание равнобедренного треугольника)/2

s = (2*S_Legs+S_Base)/2

Что такое равнобедренный треугольник?

Равнобедренный треугольник — это треугольник с двумя сторонами одинаковой длины, которые называются катетами. Третья сторона треугольника называется основанием. Угол при вершине — это угол между катетами и углами с основанием, так как одна из их сторон называется углами при основании.

Что такое полупериметр и как его вычислить?

.Полупериметр равнобедренного треугольника равен половине суммы длин всех сторон треугольника. Его формула S = (ab)/2, где S — полупериметр, a — длина равной стороны, а b — другая сторона треугольника.

Вычислить периметр, и площадь равнобедренного треугольника Вам поможет просмотр готовых ответов к заданиям из ВНО подготовки. Таким образом Вы убиваете двух зайцев, готовитесь к ВНО и учитесь решать примеры на равнобедренные треугольники.

Пример 31.29 В равнобедренному треугольнике центр вписанного круга делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 12:5, а боковая сторона равна 60. Найти периметр треугольника.
Решение: Пусть имеем равнобедренный треугольник ABC, у которого AC=BC=60 – боковые стороны.

В ΔABC вписано окружность с центром в точке O, причем CO:HO=12:5 (по условию). Проведем радиус вписанной окружности OK к стороне BC, тогда OK⊥BC (по свойству). Пусть HO=5x – радиус вписанной окружности, тогда OK=HO=5x и CO=12x.
Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔAHC (∠H=90) и ΔOKC (∠K=90). У них острые углы при вершине C одинаковые (ведь HC – высота, медиана и биссектриса).
Отсюда следует, что треугольники ΔAHC и ΔOKC подобные, а поэтому их соответствующие стороны пропорциональны:
AC/CO=AH/ОК
отсюда

Поскольку HC – медиана, то AB=2•AH=2•25=50.
Найдем периметр равнобедренного треугольника ΔABC
PΔABC =2•AC+AB=2•60+50=170.
Ответ: 170.

Пример 31.30 Периметр равнобедренного треугольника равен 108 см, а основание – 30 см. Найти (в см) площадь треугольника и радиус вписанной окружности.
Решение: Пусть задан равнобедренный треугольник ABC, у которого AC=BC – боковые стороны, AB=30 см – основа и PΔABC=108 см – периметр (по условию).

Найдем боковую сторону ​​ΔABC :
​P_ΔABC=2•AC+AB=108, отсюда
AC=BC=(PΔABC-AB):2=(108-30):2=39 (см).
Проведем высоту CM к основанию AB равнобедренного ΔABC (CM⊥AB), тогда по свойству, CM – медиана и биссектриса, то есть AM=BM=AB2=30/2=15 (см).
В прямоугольном ΔAMC (∠M=90) по теореме Пифагора найдем катет CM – высоту ΔABC AM^2+CM^2=AC^2, отсюда

Вычислим площадь равнобедренного треугольника ΔABC по классической формуле:
(см²).
Найдем полупериметр ΔABC:
(см).
Определим радиус вписанной окружности в ΔABC по формуле:
r=S/p=540/54=10(см).
Ответ:540; 10.

Пример 31.31 Основание равнобедренного треугольника равно 12, а высота, проведенная к основанию – 8. Найти площадь треугольника и радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение Имеем равнобедренный треугольник ABC, у которого AC=BC – боковые стороны, AB=12 – основание и CM=8 – высота, проведенная к основанию AB, CM⊥AB (по условию). Тогда по свойству, CM – медиана и биссектриса, то есть
AM=BM=AB/2=12/2=6 .

В прямоугольном ΔAMC (∠M=90) по теореме Пифагора найдем гипотенузу AC – боковую сторону ΔABC:
AC^2=AM^2+CM^2, отсюда

Найдем площадь ΔABC по формуле:

Полупериметр треугольника ΔABC:

Вычислим радиус вписанной окружности в треугольнике ABC по формуле:
r=S/p=48/16=3 .
Ответ: S=48, r=3.

Пример 31.35 Найти площадь равнобедренного треугольника с точностью до 0,01 см², если высота, проведенная к боковой стороне, равна 12 см, а другая высота – 9 см.
Решение Пусть имеем равнобедренный треугольник ABC, у которого AC=BC – боковые стороны, AB – основа и CM=9 см – высота, проведенная к основанию AB, CM⊥AB, AK=12 см – высота, проведенная к боковой стороне BC, AK⊥BC (по условию).

По свойству высоты проведенной к основанию равнобедренного ΔABC имеем:
AB=2BM.
Запишем формулы для вычисления площади ΔABC:

Отсюда BC=0,75*AB=0,75*2*BM=1,5BM, следовательно BC=1,5•BM .
В прямоугольном треугольнике ΔBMC(∠M=90) по теореме Пифагора найдем катет BM:

Тогда AB=2•BM=36√5/5 (см).

Найдем площадь равнобедренного ΔABC с точностью до 0,01:

Ответ: 72,45.

Задача 1 Центр окружности, вписанной в треугольник, делит высоту проведенную к основанию на отрезки 13 и 5 см. Найти периметр треугольника.
Решение Поскольку центр круга (точка O), вписанного в треугольник ABC, лежит на высоте BM, то ΔABC – равнобедренный.

​AB=BC – боковые стороны, AC – основа равнобедренного треугольника ΔABC, BM – высота равнобедренного треугольника ABC, проведенная к основанию AC (BM⊥AC). По свойству AM=CM, отсюда AC=2CM.
По условию задания BM=BO+OM=13+5=18 см. OM=OK=5 см – радиус вписанной окружности. По свойству вписанной в треугольник окружности OK⊥BC.
Рассмотрим прямоугольный треугольник OBK, у которого ∠BOK=90, OK=5 см – катет, OB=13 см – гипотенуза. По теореме Пифагора найдем катет BK:
OB^2=BK^2+OK^2, отсюда

Рассмотрим прямоугольные треугольники OBK (∠BOK=90) и CBM (∠BMC=90).
В них ∠OBK=∠MBC (то есть острый угол при вершине B общий, а потому ровный). Отсюда следует, что прямоугольные ΔOBK и ΔBCM – подобные треугольники.
По свойству подобия треугольников (стороны подобных треугольников пропорциональны) имеем BK/BM=OK/CM, отсюда 12/18=5/CM, CM=5•18/12=7,5 см.
По свойству окружности, вписанной в треугольник, имеем KC=CM=7,5 см.
Вычислим длины сторон равнобедренного ΔABC:
AC=2CM=2•7,5=15 см;
AB=BC=BK+KC=12+7,5=19,5 см.
Вычислим периметр треугольника ΔABC:
P_ΔABC=AB+BC+AC=19,5+19,5+15=54 см.
Ответ: 54 см.

На сайте опубликовано около 1000 задач на различные геометрические фигуры. Помощь понятны как для школьника в 10-11 классе, так и для студента. Если есть желание, можете дополнить любую статью качественными задачами.
Все в Ваших руках, берите и учитесь!

Полупериметр многоугольника — это половина его периметра. Хотя полупериметр является очень простой производной периметра, он столь часто появляется в формулах для треугольников и других геометрических фигур, что ему выделили отдельное наименование. Если полупериметр оказывается в какой-либо формуле, его, обычно, обозначают буквой p.

Треугольники[править | править код]

Полупериметр чаще всего используется для треугольников. Формула полупериметра для треугольника со сторонами a, b и c

Свойства[править | править код]

В любом треугольнике вершина и точка касания вневписанной окружности на противоположной стороне делят периметр треугольника на две равные части, то есть на два пути, длина каждого из которых равна полупериметру. На рисунке показаны стороны A, B, C и точки касания A’, B’, C’, тогда

Три отрезка, соединяющих вершины с противоположными точками касания, пересекаются в одной точке — точке Нагеля.

Если рассмотреть отрезки, соединяющие середины сторон с точками, отстоящими (вдоль сторон) от этой середины на полупериметр, то эти отрезки пересекаются в одной точке — центре окружности Шпикера, которая является окружностью, вписанной в медианный треугольник^[en]. Центр Шпикера является центром тяжести сторон треугольника.

Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника делит периметр пополам в том и только в том случае, когда она делит пополам площадь.

Полупериметр треугольника равен периметру его медианного треугольника^[en].

Из неравенства треугольника вытекает, что длина наибольшей стороны треугольника не превосходит полупериметр.

Формулы с полупериметром[править | править код]

Площадь K любого треугольника является произведением радиуса его вписанной окружности и полупериметра:

Площадь треугольника можно вычислить исходя из его полупериметра и длин сторон a, b, c по формуле Герона:

Радиус описанной окружности R треугольника можно также вычислить из его полупериметра и длин сторон:

Эту формулу можно вывести из теоремы синусов.

Радиус вписанной окружности равен

Теорема котангенсов даёт котангенсы половин углов в вершинах треугольника в терминах полупериметра, сторон и радиуса вписанной окрухности.

Длина биссектрисы внутреннего угла, противоположного стороне a, равна^[1]

В прямоугольном треугольнике радиус вневписанной окружности на гипотенузе равен полупериметру. Полупериметр равен сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного радиуса описанной. Площадь прямоугольного треугольника равна , где a и b — катеты.

Четырёхугольники[править | править код]

Формула для полупериметра четырёхугольника со сторонами a, b, c и d

Одна из формул для треугольников, использующая полупериметр, применима также и к описанным четырёхугольникам, которые имеют вписанную окружность и сумма длин противоположных сторон которых равна полупериметру. А именно, это формула площади фигуры:

Простейшая форма формулы Брахмагупты для площади четырехугольника вписанного в окружность имеет вид, близкий к формуле Герона для площади треугольника:

Соотношение Бретшнайдера обобщает формулу для всех выпуклых четырёхугольников:

где и  — два противоположных угла.

Четыре стороны бицентрального четырёхугольника^[en] являются четырьмя решениями уравнения четвёртой степени, параметрами которого являются полупериметр, радиус вписанной окружности и радиус описанной.

Правильные многоугольники[править | править код]

Площадь выпуклого правильного многоугольника равна произведению его полупериметра на расстояние от центра до одной из сторон.

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. — Dover Publ., 2007. (Переиздание книги 1929 года)

Ссылки[править | править код]

• Weisstein, Eric W. Semiperimeter (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.