Как найти полюс прямой

Как найти полюс прямой

Полюс и поляра

Рассмотрим овальную
квадрику ХТ∙Q∙Х
= 0 и точки А
и В
не принадлежащие квадрике.

Пусть
M
и L
точки пересечения квадрики и прямой
(АВ).

Определение:
Если (AB,ML)=-1,
то говорят что овальная квадрика
гармонически разделяет пару АВ,
или точки А
и В
гармонически
сопряжены
относительно овальной квадрики.

На прямой (АВ)
рассмотрим репер R(A,B,M),
тогда в этом репере и точки А,
В
,
М

 и пусть
точка L
.

Если (AB,ML)=
-1, тогда =
-1 α
= 1 и β
= -1 , т.е. L
.

Таким образом,
М = А+В
и L = А –
В.

Значит, для точек
пересечения прямой (АВ)
с квадрикой
.

Но

являются корнями уравнения λ²∙а
+ 2∙λ∙μ∙с
+ μ²∙b=0,

где а
= АТ∙Q∙А,
b = ВТ∙Q∙В,
с = А Т∙Q∙В
= ВТ∙Q∙А.

По теореме Виета
сумма корней равна среднему коэффициенту,
взятому с противоположным знаком:
+=
– с


с = 0

АТ∙Q∙В
= ВТ∙Q∙А
= 0 – условие
гармонической сопряженности точек А
и В
относительно квадрики.

Фиксируем точку
А

КВП. Рассмотрим все прямые проходящие
через эту точку в каждом случае будет
своя точка В
гармонически сопряженная с А
относительно овальной квадрики. Сделаем
точку В
переменной, по условию гармонической
сопряженности точек относительно
овальной квадрики получим: АТ∙Q∙Х
= 0
– это уравнение I степени, то есть прямая,
причем это прямая единственна. Эту
прямую будем называть полярой точки
А.
Если точка А

КВП, то уравнение АТ∙Q∙Х
= 0
определяет касательную к квадрике в
точке А.

Определение:
Полярой
точки А
называется прямая, состоящая из точек
гармонически сопряженных с данной
точкой относительно овальной квадрики.

Вывод:
Полярой
точки А
является прямая, которая имеет
уравнение: АТ∙Q∙Х
= 0
и

в случае А

КВП является касательной к овальной
квадрике,

в случае А

КВП состоит из точек гармонически
сопряженных с точкой А
относительно овальной квадрики.

Определение:
Уравнение
АТ∙Q∙Х
= 0
называется уравнением
поляры
точки А
относительно овальной квадрики.

Если уравнение
прямой а∙Х=0,
тогда λ∙а
=
АТ∙Q
(с точностью до пропорциональности).

λ∙а
= АТ∙Q


λ∙а∙Q-1
= АТ∙Q∙Q-1


μ∙АТ=
а∙Q-1
или μ∙А=
Q-1
∙аТ

(Почему существует
Q-1
и почему (Q-1)Т=
Q-1
 ? )

Вывод:
Для любой прямой существует точка, для
которой эта прямая является полярой
относительно квадрики.

Определение:
Точка, для которой данная прямая
относительно овальной квадрики является
полярой, называется полюсом
прямой.

Свойства:

1. Если точка А
внешняя по отношению к овальной квадрике,
то ее поляра проходит через точки касания
касательных проведенных из точка А
к КВП.

Доказательство.
Координаты точек касания Х1
и Х2
находятся из системы
,
первое уравнение это уравнение квадрики,
второе уравнение это уравнение поляры,
а значит это точки пересечения поляры
и квадрики. □

2. Если точка и
прямая инцидентны, то их поляра и полюс
тоже инцидентны.

Доказательство.
Пусть а –
поляра точки
А
и В –
полюс прямой b,

значит λ∙а
= АТ∙Q
и μ∙В=
Q-1
∙bТ. Докажем,
что А

b


B

a.

Уравнение прямой
b∙Х
= 0, тогда А

b


b∙А
=0.

Найдем
а∙В=(АТ∙Q)∙(Q-1∙b)=АТ∙(Q∙Q-1)∙bТ=АТ∙Е∙bТ=АТ∙bТ=(А∙b)Т=0
– это означает, что точка В
 лежит на
прямой а. □

Замечание:
Свойство 2 позволяет находить полюс
прямой. Выбрав на данной прямой две
любые точки и построив их поляры, точка
их пересечения будет полюсом данной
прямой.

Задача.
Дана квадрика х1²
– 2∙х2²+
4∙х2∙х3
=0 . Найти уравнение поляры для А
и координаты полюса прямой b:
х1+х2–2∙х3=0.

Решение. Q=


Q-1=

λ∙а=АТ∙Q=(
1: 3 :-1) ∙=(1
:-8: 6)

х1
–8∙х2+6∙х3=0.

μ∙В=Q-1∙bТ=∙=
В=.

Задача.
Дана квадрика 2∙х1²
+ х3²
– 2∙х1∙х2
-2∙х1∙х3
=0 . Найти уравнения касательных к квадрике
из точки А.

Решение.
Воспользуемся свойством (1). Q=. Найдем
уравнение поляры.

λ∙а
= АТ∙Q=(
1: 8 : 5 )∙=(
-11 : -1 : 4 )

11∙х1
+ х2
– 4∙х3
=0.

Найдем точки
пересечения квадрики поляры.

D=100–96
= 4
и
.
и

В
и С
– точки пересечения поляры и квадрики,
тогда прямые (АВ)
и (АС)
будут касательными.

(АВ)
:
=0 –
7∙х1
– х2
+ 3∙х3
=0.

(АС)
:
=0 17∙х1
+ х2
–
5∙х3
=0.

Определение:
Трехвершинник называется автополярным
относительно овальной квадрики, если
каждая его вершина является полюсом
противоположной стороны.

Замечание:
Автополярных трехвершинников может
быть много.

Теорема.
Для того чтобы уравнение овальной
квадрики было каноническим необходимо
и достаточно, чтобы ΔЕ1Е2Е3
был автополярным относительно данной
квадрики.

Доказательство.
Необходимость:

Дано q11
∙х1²
+
q22∙х2²
+ q33∙х3²
=0
.

Доказать что
ΔЕ1Е2Е3
автополярный трёхвершинник.

Достаточность: Найти
матрицу Q
, используя то, что точка Е1

является полюсом
прямой (Е2Е3
) и т.д. (самостоятельно).

Определение:
Четырехвершинник называется вписанным
в овальную квадрику, если его вершины
инцидентны квадрике.

Теорема.
Если четырехвершинник вписан в овальную
квадрику, тогда диагональный трехвершинник
является автополярным относительно
квадрики.

Доказательство.
Пусть АВСD –
четырёхвершинник
вписанный в овальную квадрику и ΔPQR
– диагональный
трёхвершинник.

Докажем, что Р
– полюс
прямой (QR).

По гармоническим
свойствам полного четырехвершинника
гармоническими будут: (CB,PK)=(AD,PN)=
-1, т.е. точки K
и N
гармонически
сопряжены с точкой Р
относительно овальной квадрики, а значит
они принадлежат поляре точки Р.
В тоже время точки K
и N
лежат на
прямой (QR)


(QR)
– поляра точки Р.
Для точек Q
 и R
доказательство аналогично. □

Замечание:
Эта теорема позволяет строить поляру
точки если она не инцидентна овальной
квадрике.

Задачи на
построение

Задача 1.
Дана овальная
квадрика и точка Р
ей не
инцидентная.
Построить поляру точки Р.

Решение.
Пусть для определенности Р
– внешняя точка. Необходимо восстановить
какой-либо четырёхвершинник инцидентный
овальной квадрике, так чтобы точка Р
 была одной
из диагональных точек. Через точку P
проводим две произвольные прямые а
и b
так чтобы они пересекали квадрику: а
∩ КВП =А,
В, b
∩ КВП = С,
D.

АВСD
– является вписанным четырехвершинником
и точка P
является диагональной точкой. Строим
две другие диагональные точки:
(АС)∩(ВD)=Q,
и
(АD)∩(ВС)=R.

Прямая (RQ)
является полярой.

Замечание:
В некоторых случаях одну из диагональных
точек построить сложно, она может выйти
за пределы чертежа. В этом случае можно
построить ещё один какой-либо
четырехвершинник вписанный в овальную
квадрику.

Замечание:
Если P
– внутренняя точка построение аналогичное.

Задача 2.
Дана овальная квадрика и прямая а.
Построить полюс прямой.

Решение.
Воспользуемся свойством (2).

На прямой а
возьмем две различные точки В
и С, построим
их поляры – b
и с (см.
пред. задачу).

b ∩ с = А –
полюс прямой а
.

Задача
3.
Дана овальная квадрика и точка А
ей инцидентная, построить поляру точки.

Решение.
Поляра точки в этом случае будет
касательной.

Воспользуемся
свойством (2): если через точку А
провести какую-либо прямую b,
то её полюс – В
пройдет через поляру точки А.

Построение полюса
прямой – задача 2.

Задача
4.
Дана овальная квадрика и точка А.
Через точку А
провести касательную к квадрике.

Решение.

1. А
– внутренняя
точка – касательных нет.

2 А

КВП – касательная является полярой
(см. задачу 3).

3. А
– внешняя
точка – касательные две. По свойству
(1), если а
поляра точки А,
тогда а ∩
КВП = В
и С –
эти точки являются точками касания.
Т.е. (АВ)
и (АС)
– касательные.

Задача 5.
Дана овальная квадрика и прямая
а , касающаяся
квадрики, построить полюс прямой.

Решение.
Полюс прямой в этом случае будет точкой
касания.

Воспользуемся
свойством (2). Если на данной прямой а
взять какую-либо точку В,
то её поляра – b
пройдет через полюс прямой а.

Построение поляры
точки – задача 1.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Макеты страниц

Мы доказали в § 2, что если точка есть точка (нераспадающейся) кривой , определенной уравнением

то прямая

т. е. прямая с координатами

есть касательная к кривой (1) в ее точке Но прямую с координатами (2) можио рассматривать для любой точки независимо от того, лежит ли точка P на кривой (1) или нет. Эта прямая (2) называется полярой точки относительно кривой (1). Поляра точки P, лежащей на касательная к кривой в точке P.

Замечание 1. Это определение поляры годится как для нераспадающейся кривой второго порядка, так и для распадающейся на пару пересекающихся прямых.

Одиако во втором случае не будет определена поляра точки координаты которой удовлетворяют системе уравнений

Единственной такой точкой P является точка пересечения обеих прямых, на которые распалась данная кривая. В этом и двух следующих параграфах мы не будем рассматривать кривые, распадающиеся на пару слившихся прямых.

Будем теперь предполагать (если не оговорено противное), что кривая у нераспадающаяся. Тогда

и уравнения (2) однозначно разрешаются относительно

Другими словами, если дана произвольная прямая, координаты которой обозначим через , то существует единственная точка имеющая прямую своей полярой. Эта точка называется полюсом прямой

Пусть какая-нибудь точка плоскости. Тогда уравнение (2), которое можно записать в виде

представляет собою условие для того, чтобы точка лежала на поляре точки P. Но выражение симметрично относительно троек чисел поэтому равенство (3) выражает также условие того, что точка лежит на поляре точки X. Итак, имеем следующий основной результат.

Теорема 8 (теорема взаимности). Если точка X лежит на поляре точки P, то и точка P лежит на поляре точки X.

Пусть прямая q с координатами есть поляра точки Р. Обозначим через точки пересечения прямой q с кривой (1) (эти точки могут быть различными или совпадающими, действительными или мнимыми) (рис. 248).

Точка лежит на поляре точки P; значит, по теореме взаимности точка P лежнт на поляре точки т. е. на касательной К кривой (1) в точке

Другими словами, точка есть точка прикосновения касательной, проведенной из точки P.

Рис. 248.

Итак, всякая точка пересечения поляры точки P с кривой (1) есть точка прикосновения касательной, проведенной из точки P. Так как имеется две точки пересечении поляры точки P с кривой (1), то из точки P можно провести к кривой (1) две касательные — одна будет касаться нашей кривой в точке другая — в . Доказана

Теорема 9. Из каждой точки P плоскости можно провести к кривой (1) две касательные, совпадающие между собою, если точка P лежит на кривой, и только в этом случае. Поляра точки P есть прямая, соединяющая точки прикосновения обеих касательных, проведенных к кривой (1) из точки P.

Тот же факт можно высказать и так:

Полюс прямой q есть точка пересечения двух касательных, проведенных к кривой (1) в точках пересечения прямой q с кривой (1).

Это определение гголяры и полюса не зависит от того, каким именно уравнением и в какой системе координат мы определим данную кривую второго порядка.

Приведенное определение годится независимо от того, будут ли касательные, проведенные из точки P, действительными или мнимыми. Однако рисунок осуществим, конечно, лишь если касательные из точки P действительные. В этом случае говорим, что точка P лежит вне кривой (1).

Если же касательные к кривой (1), проведенные из точки P, мнимые, то мы говорим, что точка P лежит внутри кривой (1); в этом случае рисунок уже не имеет реального смысла. Спрашивается: как в этом случае свести построение поляры точки P к построению касательных?

Для этого проведем через точку две какие-нибудь прямые АВ и АВ (рис. 249), точки пересечения этих прямых с кривой (1) обозначим через А, В, соответственно А, В. Касательные в точках А, В, А, В к нашей кривой обозначим соответственно через . Точку пересечения прямых а и b обозначим через С, точку пересечения прямых а и обозначим через С. Прямая и есть поляра точки P.

В самом деле, прямая АВ есть поляра точки С, и P лежит на этой поляре; так как P лежит на поляре точки С, то точка С лежит на поляре точки P; точно так же точка P лежит на поляре точки С, значит, точка С лежит на поляре точки P. Поляра точки P, таким образом, проходит через обе точки С и С, а значит, эта поляра есть прямая .

Это построение применимо не только к случаю, когда P — внутренняя точка кривой (1) (см. рис. 249), а к любому случаю. На рис. 250 наше построение сделано для точки P, внешней к кривой (1).

Рис. 249.

Определение поляры точки и полюса прямой относительно данной нераспадающейся кривой второго порядка (1) устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми точками и всеми прямыми проективной плоскости: каждой точке X плоскости соответствует вполне определенная прямая этой плоскости, а именно поляра точки X; каждая прямая является полярой лишь одной точки (своего полюса). Если точка X дана своими однородными координатами

то координаты ее поляры находятся по формулам:

Обратно, если дана прямая своими координатами то координаты ее полюса находятся по формулам:

где коэффициенты получаются, если решить уравнения (4) относительно (что возможно, так как матрица есть матрица, обратная к матрице

Рис. 250.

Только что описанное соответствие между точками и прямыми плоскости называется полярным соответствием, порожденным данной нераспадающейся кривой второго порядка (1). При полярном соответствии сохраняется отношение инцидентности между точками и прямыми, именно в этом заключается содержание теоремы 8. Эта теорема может быть сформулирована и так:

Теорема 8. Если данная точка X пробегает некоторую прямую d, то ее поляра пробегает весь пучок прямых с центром в полюсе D прямой

Обратно, если прямая пробегает весь пучок прямых с центром в данной точке D, то ее полюс X пробегает прямую d, а именно поляру точки

В самом деле, если точка X пробегает поляру d точки D, то точка D лежит на поляре каждой из точек X, т. е. поляры всех точек X пробегают весь пучок прямых с центром

Другое определение поляры. Пусть снова

есть уравнение кривой второго порядка.

Назовем две точки сопряженными относительно кривой , если точки М и образуют пару точек, гармонически сопряженную к паре точек пересечения прямой MN с кривой , т. е. если

Параметрическое уравнение прямой MN может быть записано в виде

а координаты точек пересечения P и Q определяются подстановкой в эти уравнения значений отношение которых определяется из квадратного уравнения

где

Корни уравнения (7) обозначаем через и так что теперь

Из формулы (10) § 8 главы XXI нам известно, что четверка точек М, N, P, Q тогда и только тогда будет гармонической, когда

т. е. если в квадратном уравнении (7) коэффициент . А это значит, что

Если теперь точка дана, а точка определена требованием быть гармонически сопряженной точке М относительно кривой , то координаты точки N, которые мы теперь будем обозначать через должны удовлетворять уравнению

Но это уравнение есть не что иное, как уравнение поляры точки М относительно кривой

Итак:

Теорема 10. Поляра точки М относительно данной кривой второго порядка есть геометрическое место точек, гармонически сопряженных с точкой М относительно этой кривой .

Теорема 10 может рассматриваться как новое определение поляры. Это определение может быть перенесено и на случай распадающейся кривой второго порядка. Существенно при этом, что уравнение поляры точки есть

что тоже может быть принято за определение поляры. Однако при обращении в нуль дискриминанта А формы соответствие между полярой и полюсом перестает быть однозначным.

Замечание 2. Если кривая распалась на пару различных прямых , пересекающихся в некоторой точке О, то, как мы знаем, определенное этой кривой полярное соответствие между точками и прямыми плоскости перестает быть взаимно однозначным. Тем не менее для каждой точки М, отличной от точки О, имеется единственная поляра, и эта поляра проходит через точку О. Для самой точки О поляра перестает быть определенной (если угодно, можно считать любую прямую, проходящую через точку О, касательной, а следовательно, и полярой этой точки).

1

Оглавление

  • ПРЕДИСЛОВИЕ
  • ГЛАВА I. КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ
  • § 1. Отношение отрезков
  • § 2. Направленные отрезки (векторы); их отношение
  • § 3. Ось. Алгебраическое значение (координата) вектора на оси
  • § 4. Сложение векторов на прямой
  • § 5. Система координат на прямой
  • § 6. Деление отрезка в данном отношении
  • § 7. Пропорциональность пар чисел
  • § 8. Бесконечно удаленная точка прямой
  • § 9. Пропорциональность двух последовательностей, состоящих из и чисел
  • ГЛАВА II. ВЕКТОРЫ
  • § 1. Равенство векторов. Свободный вектор
  • § 2. Линейные операции над векторами (сложение и умножение на число)
  • § 3. Проекции
  • § 4. Коллинеарные и компланарные векторы; координаты вектора относительного данного базиса
  • § 5. Линейная зависимость и независимость векторов
  • § 6. Геометрический смысл линейной зависимости векторов
  • § 7. Векторные многообразия
  • ГЛАВА III. АФФИННАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
  • § 1. Определение аффинной системы координат
  • § 2. Перенос начала координат
  • § 3. Деление отрезка в данном отношении
  • ГЛАВА IV. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
  • § 1. Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками. Уравнение окружности и сферы
  • § 2. Скалярное произведение векторов; угол между двумя векторами
  • § 3. Угол от одного вектора до другого на плоскости
  • § 4. Полярная система координат на плоскости
  • § 5. Полярная система координат в пространстве
  • ГЛАВА V. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
  • § 1. Направляющий вектор и угловой коэффициент прямой (в произвольной аффинной системе координат). Уравнение прямой
  • § 2. Расположение двух прямых на плоскости
  • § 3. Частные случаи общего уравнения прямой
  • § 4. Векторная и параметрическая форма уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
  • § 5. Задача: когда прямая Ax+By+C=0 на плоскости проходит через точку пересечения двух заданных прямых A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0?
  • § 6. Две полуплоскости, определяемые данной прямой на плоскости
  • § 7. Прямая на плоскости в прямоугольной системе координат. Нормальное уравнение прямой на плоскости
  • § 8. Расстояние от точки до прямой (на плоскости)
  • § 9. Углы, образуемые двумя прямыми на плоскости
  • § 10. Прямая в пространстве, снабженном прямоугольной системой координат
  • ГЛАВА VI. ПАРАБОЛА. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА
  • § 1. Парабола
  • § 2. Определение и каноническое уравнение эллипса
  • § 3. Параметрическая запись уравнения эллипса; построение эллипса по точкам. Эллипс как результат сжатия окружности к одному из ее диаметров
  • § 4. Эллипс как проекция окружности и как сечение круглого цилиндра
  • § 5. Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы
  • § 6. Основной прямоугольник и асимптоты гиперболы
  • § 7. Директрисы эллипса и гиперболы
  • § 8. Фокальный параметр эллипса и гиперболы. Уравнение при вершине
  • § 9. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
  • ГЛАВА VII. ДЕТЕРМИНАНТЫ
  • § 1. Плошадь ориентированного параллелограмма и треугольника
  • § 2. Детерминант второго порядка. Матрицы
  • § 4. Разложение детерминанта третьего порядка по элементам какой-либо строки. Приложение к системе трех уравнений с тремя неизвестными (правило Крамера)
  • § 5. Системы трех уравнений с тремя неизвестными с детерминантом системы, равным нулю
  • § 6. Арифметическое n-мерное векторное многообразие (пространство). Общее определение матрицы. Детерминанты любого порядка
  • § 7. Разложение детерминанта n-го порядка по элементам данной строки (данного столбца)
  • § 8. Правило Крамера для решений систем и уравнений с n неизвестными
  • § 9. Общее определение миноров матрицы. Теорема Лапласа
  • § 10. Умножение детерминантов
  • § 11. Детерминант n-го порядка как линейная нечетная нормированная функция от n векторов
  • ГЛАВА VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. МАТРИЦЫ
  • § 1. Переход от одной аффинной системы координат к другой
  • § 2. Перемножение матриц. Новое определение обратной матрицы
  • § 3. Переход от одной прямоугольной системы координат к другой
  • § 4. Действия над матрицами в общем случае
  • ГЛАВА IX. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ (ПРОДОЛЖЕНИЕ): ОРИЕНТАЦИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА; УГЛЫ ЭЙЛЕРА; ОБЪЕМ ОРИЕНТИРОВАННОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА; ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
  • § 1. Ориентация пространства (плоскости)
  • § 2. Углы Эйлера
  • § 3. Объем ориентированного параллелепипеда
  • § 4. Векторное произведение двух векторов
  • ГЛАВА X. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
  • § 1. Уравнения плоскости
  • § 2. Множество решений системы двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными
  • § 3. Взаимное расположение двух плоскостей
  • § 4. Прямая как пересечение двух плоскостей
  • § 5. Пучок плоскостей
  • § 6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
  • § 7. О двух полупространствах, определяемых данной плоскостью
  • § 8. Плоскость в прямоугольной системе координат; нормальное уравнение плоскости; расстояние от точки до плоскости
  • § 9. Угол между прямой и плоскостью; угол между двумя плоскостями
  • § 10. Две задачи
  • ГЛАВА XI. ДВИЖЕНИЯ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
  • § 1. Определение движений и аффинных преобразований
  • § 2. Преобразование векторов при аффинном преобразовании плоскости и пространства. Основные свойства аффинных преобразований
  • § 3. Аналитическое выражение аффинных преобразований
  • § 4. Сохранение отношений площадей и объемов при аффинных преобразованиях
  • § 5. Получение собственных аффинных преобразований посредством деформации тождественного преобразования. Следствия
  • § 6. Движения как изометрические преобразования
  • § 7. Преобразования подобия
  • § 8. Классификация движений прямой и плоскости
  • ГЛАВА XII. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (МНОГООБРАЗИЯ) ЛЮБОГО КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ИЗМЕРЕНИЙ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ
  • § 1. Определение векторного пространства
  • § 2. Размерность. Базис. Координаты
  • § 3. Теорема об изоморфизме между любыми двумя векторными пространствами одной и той же конечной размерности n
  • § 4. Подпространства векторного пространства. Дальнейшие теоремы о линейной зависимости векторов и о базисе векторного пространства
  • § 5. Алгебраическая (в частности, прямая) сумма подпространств
  • § 6. Линейные отображения векторных пространств
  • § 7. Теорема о ранге матрицы
  • § 8. Системы линейных однородных уравнения
  • ГЛАВА XIII. ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ НА ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
  • § 1. Линейные функции
  • § 2. Билинейные функции и билинейные формы
  • § 3. Матрица билинейной и квадратичной формы и ее преобразование при переходе к новому базису (при преобразовании переменных)
  • § 4. Ранг билинейной и квадратичной формы (билинейной и квадратичной функции)
  • § 5. Существование канонического базиса для всякой квадратичной и всякой билинейной функции («приведение квадратичных форм к каноническому виду»)
  • ГЛАВА XIV. ТОЧЕЧНО-ВЕКТОРНОЕ АФФИННОЕ n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
  • § 1. Определение n-мерного аффинного пространства
  • § 2. Системы координат. Арифметическое пространство. Изоморфизм всех n-мерных пространств между собою
  • § 3. r-мерные плоскости n-мерного аффинного пространства; r-мерные параллелепипеды
  • § 4. Геометрически независимые системы точек. Барицентрические координаты. Симплексы
  • § 5. Системы линейных уравнений
  • § 6. Аффинные преобразования n-мерного аффинного пространства
  • ГЛАВА XV. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ. КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ И КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО
  • § 1. Определение алгебраических линий и поверхностей
  • § 2. Преобразование многочлена второй степени при преобразовании координат
  • § 3. Аффинная эквивалентность линий и поверхностей
  • § 4. Комплексная плоскость
  • § 5. Прямая линия на комплексной плоскости
  • § 6. Замечание о действительных и мнимых линиях
  • § 7. Комплексное пространство
  • § 8. Распадающиеся линии и поверхности. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения
  • § 9. Несколько заключительных замечаний о линиях и поверхностях
  • ГЛАВА XVI. Различные виды кривых второго порядка
  • § 1. О линиях, определяемых уравнениями второй степени с двумя неизвестными
  • § 2. Инварианты многочлена второй степени
  • § 3. Центральный случай
  • § 4. Параболический случай
  • § 5. Аффинная классификация кривых второго порядка
  • § 6. Несколько заключительных замечаний
  • ГЛАВА XVII. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
  • § 1. Пересечение алгебраической кривой с прямой. Асимптотические направления и асимптоты алгебраической кривой
  • § 2. Теорема единственности для кривых второго порядка. Пучок кривых второго порядка
  • § 3. Асимптотические направления кривых второго порядка
  • § 4. Пересечение кривой второго порядка с прямой иеасимптотического направления. Касательные
  • § 5. Пересечение кривой второго порядка с прямой асимптотического направления. Геометрическая характеристика асимптотических и неасимптотических направлений
  • § 6. Центр кривой второго порядка
  • § 7. Диаметры кривой второго порядка
  • § 8. Взаимно сопряженные векторы (направления). Диаметры и касательные
  • § 9. Вид уравнения кривой, если оси координат имеют сопряженные направления
  • § 10. Второе доказательство теоремы единственности. О полноте системы ортогональных инвариантов
  • § 11. Оси симметрии и главные направления кривой второго порядка
  • § 12. Основная теорема об аффинных преобразованиях
  • ГЛАВА XVIII. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
  • § 1. Распадающиеся поверхности
  • § 2. Цилиндрические поверхности
  • § 3. Конусы второго порядка
  • § 4. Эллипсоиды и гиперболоиды
  • § 5. Параболоиды
  • § 6. Прямолинейные образующие
  • ГЛАВА XIX. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. I (ПЕРЕСЕЧЕНИЕ С ПЛОСКОСТЬЮ И С ПРЯМОЙ; АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ; КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ; ЦЕНТР)
  • § 1. Ранг и детерминант малой и большой матрицы многочлена второй степени
  • § 2. Пересечение поверхности второго порядка с плоскостью
  • § 3. Пересечение поверхности второго порядка с прямой. Асимптотические направления. Касательные прямые и касательная плоскость. Особые точки поверхности второго порядка
  • § 4. Асимптотические направления, конус асимптотических направлений, прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
  • § 5. Центр поверхности второго порядка
  • ГЛАВА XX. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. II (ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ; ОСОБЫЕ И ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ; АФФИННАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ)
  • § 1. Диаметральные плоскости. Особые направления
  • § 2. Диаметральные плоскости поверхностей различных видов
  • § 3. Сопряженные направления
  • § 4. Уравнение поверхности второго порядка относительно координатной системы с сопряженными направлениями осей
  • § 5. Теорема единственности
  • § 6. Главные направления
  • § 7. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка
  • § 8. Аффинная классификация поверхностей второго порядка
  • ГЛАВА XXI. ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
  • § 1. Перспективное соответствие между плоскостью и связкой
  • § 2. Однородные координаты точек на плоскости и лучел в связке
  • § 3. Координаты прямой; арифметическая проективная плоскость; общее определение проективной плоскости
  • § 4. Принцип двойственности для проективной плоскости
  • § 5. Проективная система координат в связке и на проективной плоскости
  • § 6. Проективные преобразования и отображения проективной плоскости
  • § 7. Проективные координаты на прямой. Проективные отображения прямой
  • § 8. Двойное отношение
  • ГЛАВА XXII. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
  • § 1. Определение. Теорема единственности
  • § 2. Пересечение кривой второго порядка с прямой. Касательные; асимптоты
  • § 3. Пучок кривых второго порядка. Второе доказательство теоремы единственности. Теорема Паскаля. Теорема Штейнера
  • § 4. Поляры и полюсы
  • § 5. Коррелятивное, в частности полярное, соответствие. Тангенциальное уравнение кривой
  • § 6. Диаметры как поляры несобственных точек
  • § 7. Автополярный треугольник
  • § 8. Проективная классификация кривых второго порядка
  • ГЛАВА XXIII. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
  • § 1. Проективное пространство; его плоскости и прямые
  • § 2. Проективные координаты. Проективные преобразования.
  • § 3. Понятие об n-мерном проективном пространстве
  • § 4. Поверхности второго порядка в проективном пространстве. Теорема единственности
  • § 5. Пересечение поверхности второго порядка с плоскостью и с прямой. Касательные прямые. Касательная плоскость. Прямолинейные образующие
  • § 6. Полюсы и полярные плоскости
  • § 7. Проективная классификация поверхностей второго порядка
  • § 8. Распределение по проективным классам поверхностей различных аффинных классов. Проективно-аффинная классификация поверхностей второго порядка
  • ГЛАВА XXIV. ЕВКЛИДОВО n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
  • § 1. Введение. Ортогональные матрицы
  • § 2. Положительно определенные симметричные билинейные функции в векторном пространстве
  • § 3. Определение евклидовых пространств и простейших относящихся к ним понятий
  • § 4. Неравенство Коши—Буняковского и его следствия. Углы
  • § 5. Подпространства евклидовых пространств. Ортогональное дополнение к данному подпространству
  • ГЛАВА XXV. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
  • § 1. Инвариантные подпространства и собственные векторы линейного оператора в любом векторном пространстве
  • § 2. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства
  • § 3. Движения трехмерного евклидова пространства
  • § 4. Преобразования подобия. Дальнейшие проблемы
  • § 5. Самосопряженные операторы
  • § 6. Теорема о структуре произвольного линейного преобразования евклидова пространства
  • § 7. Билинейные и квадратичные формы в евклидовых пространствах
  • § 8. (n-1)-мерные многообразия (поверхности) второго поряд] в -мерном аффинном и евклидовом пространствах
  • ПРИБАВЛЕНИЕ. ПЕРЕСТАНОВКИ, МНОЖЕСТВА И ИХ ОТОБРАЖЕНИЯ; ГРУППЫ
  • § 1. Перестановки
  • § 2. Множества
  • § 3. Отображения или функции
  • § 4. Разбиение множества на подмножества. Отношение эквивалентности
  • § 5. Определение группы
  • § 6. Простейшие теоремы о группах
  • § 7. Эквивалентность подмножеств данного множества по отношению к дайной группе его преобразований
  • ЗАДАЧИ
  • Задачи к главе IV
  • Задачи к главе V
  • Задачи к главе VI
  • Задачи к главе VIII
  • Задачи к главе IX
  • Задачи к главе X
  • Задачи к главе XI
  • Задачи к главе XII
  • Задачи к главе XIII
  • Задачи к главе XIV
  • Задачи к главе XV
  • Задачи к главам XVI и XVII
  • Задачи к главе XVIII
  • Задачи к главам XIX и XX
  • Задачи к главе XXI
  • Задачи к главе XXII
Источник

Прямая в полярных координатах

Прямая в полярных координатах вне полюса

Для получения уравнения прямой в полярных координатах рассмотрим рисунок, на котором полюс лежит вне прямой.

Прямая в полярных координатах вне полюса

Прямая в полярных координатах вне полюса

Согласно этого рисунка прямую в полярных координатах можно представить следующим уравнением:

[ ρ = frac{P}{cos(φ-α)} ]

Здесь

ρ, φ полярные координаты,
P, α Константы – полярные параметры прямой,
P Длина нормали опущенной из полюса на прямую,
α Угол между полярной осью и нормалью к прямой.

Это уравнение получается если рассмотреть треугольник OKM и посмотреть определение косинуса

Прямая в полярных координатах проходящая через полюс

Прямая в полярных координатах проходящая через полюс

Прямая в полярных координатах проходящая через полюс

Однако когда P = 0, то прямая проходит через полюс и уравнение (1) больше не описывает прямую.
Для описания прямой проходящей через полюс достаточно угла между прямой и полярной осью.

[ φ = φ_0 ]

Построить прямую в полярных координатах

построить прямую в полярных координатах

Прямая в полярных координатах

 стр. 125
Источник

Поляра точки P относительно невырожденной кривой второго порядка — множество точек N, гармонически сопряжённых с точкой P относительно точек M1 и M2 пересечения кривой второго порядка секущими, проходящими через точку P[1].

Поляра является прямой линией.
Точку P называют полюсом поляры.
Всякая невырожденная линия 2-го порядка определяет биекцию точек проективной плоскости и множества её прямых — поляритет или полярное преобразование.

Свойства[править | править код]

Построение поляры точки P относительно окружности в виде хорды NN’

  • Если точка P лежит «вне» линии 2-го порядка (то есть через точку P можно провести две касательные к линии), то поляра проходит через 2 точки касания данной линии 2-го порядка с прямыми, проведёнными через точку P. Например, на рис. справа показано построение поляры точки P относительно красной окружности в виде синей хорды NN’. Показана 1 зеленая касательная PN к ней.
  • Если точка P лежит на кривой 2-го порядка, то поляра является прямой, касательной к данной кривой в этой точке.
  • Поляра точки P проходит через её инверсию относительно соответствующей кривой. Более того, если поляра пересекает эту кривую в двух точках, то инверсия является серединой хорды с концами в этих точках. Например, на рис. справа P’ есть инверсия точки P относительно красной окружности.
  • Поляры всех точек, лежащих на прямой, проходящих через центр соответствующей кривой, параллельны между собой. В случае параболы центр считается бесконечно удалённым, прямая должна быть параллельна её оси.
  • Если поляра точки P проходит через точку Q, то поляра точки Q проходит через точку Р.

Трилинейные поляры треугольника[править | править код]

Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки.

  • Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра
  • Трилинейной полярой центра вписанной окружности служит ось внешних биссектрис.
  • Трилинейные поляры точек, лежащих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это — точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид)[источник не указан 2620 дней].
  • Чевианный треугольник — треугольник, тремя вершинами которого являются три основания чевиан исходного треугольника.

История[править | править код]

Термин «поляра» ввёл Жергонн.

Вариации и обобщения[править | править код]

Аналогично определяется поляра (полярная плоскость) некоторой точки относительно невырожденной поверхности 2-го порядка.

Понятие поляры относительно линии второго порядка обобщается на линии n-го порядка.
При этом заданной точке плоскости ставится в соответствие n-1 поляр относительно линии n-го порядка.
Первая из этих поляр является линией порядка n-1, вторая, являющаяся полярой заданной точки относительно первой поляры, имеет порядок n-2 и т. д. и, наконец, (n-1)-я поляра является прямой линией.

  • Трилинейную поляру точки Y , изогонально сопряжённой с точкой X, называют центральной линией точки X.
  • Понятие центральной линии точки X ввёл Кларк Кимберлинг в своих статьях[2][3].

См. также[править | править код]

  • Трилинейные поляры треугольника
  • Центральная линия (геометрия)

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Савёлов А. А. Замечательные кривые. Томск: Кр. знамя, 1938
  2. ↑ Kimberling, Clark. Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1994. — June (vol. 67, no. 3). — P. 163—187. — doi:10.2307/2690608.
  3. ↑ Kimberling, Clark. Triangle Centers and Central Triangles (неопр.). — Winnipeg, Canada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. — С. 285.

Литература[править | править код]

  • Харалампиев С. Ц. Полюс и поляра относительно окружности // Квант. — 1986. — № 7. — С. 32-34.
  • Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд., М., 1978;
  • Постников М. М., Аналитическая геометрия, М., 1973
Источник

Полюсы и поляры

Полюсы и поляры

        Полярой точки Р относительно линии 2-го порядка L называется множество точек Q таких, что точки Р, О и точки пересечения прямой PQ с линией L образуют гармоническую четвёрку (см. Гармоническое расположение). Поляра является прямой линией. Точка Р по отношению к своей поляре называется полюсом. Аналогично определяются полюсы и полярные плоскости относительно поверхности 2-го порядка. П. и п. удовлетворяют принципу взаимности, т. е., если поляра точки Р проходит через точку Q, то поляра точки Q проходит через точку Р. Если линия L является невырожденной, то относительно этой линии любая прямая имеет определённый полюс и любому полюсу соответствует определённая поляра. Т. о. устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками и прямыми (являющееся частным случаем коррелятивного преобразования (См. Коррелятивное преобразование)). П. и п. применяются в проективной геометрии (См. Проективная геометрия) при классификации линий и поверхностей 2-го порядка.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
1969—1978.

Смотреть что такое “Полюсы и поляры” в других словарях:

  • Поляры — (нем. Polare, от лат. Polus, греч. pólos ось, полюс)         см. Полюсы и поляры …   Большая советская энциклопедия

  • Взаимные поляры* — начертим на плоскости какую либо кривую второго порядка и из какой либо точки А проведем (см. черт.) две касательные к этой прямой; прямая аа 1, проходящая через точки касания, называется полярой полюса А относительно взятой кривой. Другой полюс… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Взаимные поляры — начертим на плоскости какую либо кривую второго порядка и из какой либо точки А проведем (см. черт.) две касательные к этой прямой; прямая аа1, проходящая через точки касания, называется полярой полюса А относительно взятой кривой. Другой полюс В …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Кривая второго порядка — Кривая второго порядка  геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Содержание 1 История 2 …   Википедия

  • Кривая 2-го порядка — Кривая второго порядка  геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a13x + 2a23y + a33 = 0, в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.… …   Википедия

  • Кривые второго порядка — Кривая второго порядка  геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a13x + 2a23y + a33 = 0, в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.… …   Википедия

  • Фокальная ось — Кривая второго порядка  геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a13x + 2a23y + a33 = 0, в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.… …   Википедия

  • Фокальная хорда — Кривая второго порядка  геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a13x + 2a23y + a33 = 0, в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.… …   Википедия

  • Фокальный параметр — Кривая второго порядка  геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида a11x2 + a22y2 + 2a12xy + 2a13x + 2a23y + a33 = 0, в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.… …   Википедия

  • Преобразование —         одно из основных понятий математики, возникающее при изучении соответствий между классами геометрических объектов, классами функций и т.п. Например, при геометрических исследованиях часто приходится изменять все размеры фигур в одном и… …   Большая советская энциклопедия

Источник

Добавить комментарий