В этом уроке будем учиться строить эпюры для балок, работающих на поперечный изгиб — эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Важно уметь правильно построить и проанализировать эти эпюры, потому что большинство современных инженерных сооружений состоят из элементов, которые работают на изгиб.
В статье рассмотрим 2 примера: один попроще — консольная балка, загруженная сосредоточенными силами и моментом, другой посложнее — двухопорная балка, загруженная распределённой нагрузкой.
Чтобы освоить материал этого урока, уже нужно знать, как определяются опорные реакции. Умеешь — отлично, но если же нет, то можешь изучить этот урок.
Подробно рассматривать в этом уроке нахождения реакций не будем, я буду приводить только их расчёт.
Поперечные силы и изгибающие моменты
При поперечном изгибе, в поперечных сечениях балки, возникает два внутренних силовых фактора (ВСФ) – поперечная сила (Q) и изгибающий момент (Mизг).
Наша задача, научиться определять их и строить эпюры. Чтобы потом, используя полученные эпюры, можно было проводить различные расчёты. Например, подбирать размеры поперечных сечений балки или проверять прочность балки, если эти размеры уже заданы и т. д.
Поперечные силы и изгибающие моменты определяются с помощью метода сечений. Когда балка мысленно рассекается на две части. Затем действие частей балки друг на друга заменяется внутренними силовыми факторами (ВСФ) – поперечными силами и изгибающими моментами. Потом путём рассмотрения равновесия одной из частей находятся ВСФ.
Если пока не очень понятно — это нормально, когда начнём это всё делать на практике, ты обязательно всё поймёшь!
Обозначения поперечных сил и изгибающих моментов
Теперь поговорим по поводу обозначений для поперечных сил и изгибающих моментов. Как правило, задачи в сопромате, и механике в целом, решаются относительно каких-то координатных осей. А поперечные силы и изгибающие моменты, имеют индексы в зависимости от выбранной системы координат.
Например, если выбрать следующие обозначения для координатных осей:
То, поперечная сила, будет обозначаться, как Qy (параллельна оси y), а изгибающий момент, как Mx (поворачивает относительно оси x). Это наиболее частый вариант. Однако, можно встретить обозначения – Qy, Mz или Qz, Mx. Самые ленивые, предпочитают подписывать данные величины, как просто Q и M. Как видишь, здесь всё зависит от предпочтений твоего преподавателя. Чтобы изучая этот урок, ты не привыкал (- а) к каким-то индексам, т. к. твой преподаватель тебя всё равно будет учить по-своему, я решил использовать в статье для поперечной силы, просто букву – Q, а для изгибающего момента – Mизг. Такое обозначение изгибающего момента, тоже используется часто, а сам индекс «изг» нужен, чтобы не путать внутренний – изгибающий момент, с внешними моментами, которые почти всегда подписываются просто буквой – M.
Расчётная схема балки
Также нужно понимать, что когда мы рассчитываем поперечные силы и изгибающие моменты, мы считаем их непросто для какой-то линии:
А подразумеваем, что мы рассчитываем некоторый элемент конструкции — балку, которая обязательно имеет некоторую форму, либо для которой впоследствии будет рассчитана эта форма, в зависимости от целей расчёта.
К примеру, балка может иметь прямоугольное поперечное сечение:
Если в расчётах эпюр при растяжении (сжатии) или кручении, форма стержня указывалась явно, и в этом был определённый смысл, так как те стержня имели ступенчатую форму – разную жёсткость на участках. То здесь, как правило, балки имеют одинаковое сечение, по всей длине, поэтому для экономии времени, балку показывают в виде такой линии. Затем, после построения эпюр, традиционно, для балки либо подбирается поперечное сечение из условия прочности, либо проверяется прочность уже заданного сечения.
Правила знаков для поперечных сил и изгибающих моментов
В этом разделе поговорим о правилах знаков для поперечных сил и изгибающих моментов. Для примера возьмём самую простую расчётную схему — консольную балку, загруженную сосредоточенной силой (F).
Расчётная схема
Предположим, что нужно определить поперечную силу и изгибающий момент в каком-то поперечном сечении. Пока не будем строить никаких эпюр, а просто поставим перед собой простейшую задачу — рассчитать внутренние силовые факторы (Q и Мизг) для одного, конкретного сечения. Например, рассмотрим сечение в заделке (А).
Чтобы вычислить внутренние силовые факторы для этого сечения, нужно учесть всю внешнюю нагрузку, либо справа от сечения, либо слева. Если учитывать нагрузку справа — нужно учесть силу F, а если учитывать нагрузку слева — нужно учесть тогда реакции в заделке. Чтобы не вычислять реакции, пойдём по короткому пути и учтём всю нагрузку — справа.
Правило знаков для поперечных сил
Поперечная сила в сечении будет равна алгебраической сумме всех внешних сил (с учётом знака) по одну сторону от рассматриваемого сечения.
А знаки внешних сил определяются следующим образом — если внешняя сила, относительно рассматриваемого сечения, стремится повернуть:
• ПО часовой стрелке, то её нужно учесть с «плюсом»;
• ПРОТИВ часовой стрелки — учитываем её с «минусом».
Таким образом, для нашего случая, поперечная сила в сечении A будет равна:
Правило знаков для изгибающих моментов
Изгибающий момент в сечении будет равен алгебраической сумме всех моментов внешних сил (с учётом знака) по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Перед тем как поговорить о правилах знаков для изгибающих моментов. Необходимо понять ещё одну особенность — когда на балку действует какая-то внешняя нагрузка, балка деформируется. При деформации балки принято различать «верхние волокна» и «нижние волокна», относительно линии (нейтральной оси), проходящей через центр тяжести поперечного сечения балки.
Одни волокна при поперечном изгибе, будут растягиваться, а другие сжиматься.
В нашем случае, «верхние волокна», как видишь, будут растянуты, а нижние – сжаты.
На основании этой особенности, часто используется следующее правило для изгибающих моментов — если момент силы стремится растянуть:
• верхние волокна, то учитываем его с «минусом»;
• нижние волокна, то нужно учесть его с «плюсом».
Не забываем, что мы ведём расчёт моментов, поэтому все силы нужно умножать на соответствующие плечи.
Таким образом, в нашем случае, изгибающий момент в сечении A будет равен:
Если на балку действуют сосредоточенные моменты, то правило знаков аналогичное:
Сосредоточенные моменты, конечно, уже не нужно ни на что умножать. Например, для верхней схемы, изгибающий момент в сечении A будет равен:
Как построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов ?
В пределах участков, и эпюра Q и эпюра M меняются по определённому закону. Границами участков являются точки приложения сил, моментов, а также начало и конец распределённой нагрузки (будем рассматривать во второй задаче). Поэтому, чтобы построить эпюры в пределах участка, сначала необходимо написать уравнения, которые будут описывать изменение поперечных сил и изгибающих моментов в пределах участка. А затем, подставляя в уравнения координаты начала и конца участка, получить значения на эпюрах в характерных точках, и построить эпюры на участке. Рассчитав таким образом все участки, можно построить эпюры для балки.
Чувствую, опять перегрузил тебя информацией…давай лучше, наконец, посмотрим, как это всё делается на практике 😉
Построение эпюр для консольной балки
В качестве первого примера, возьмём консольную балку, жёстко закреплённую с левого торца и загруженной следующим образом:
Будем рассчитывать балку справа налево.
Рассмотрим первый участок
Обозначим некоторое сечение 1-1 на расстоянии x1, от свободного торца балки, при этом x1 будет находиться в диапазоне: 0 ≤ x1 ≤ 4м.
Так как расчёт выполняется справа налево, то в уравнениях необходимо учесть всю нагрузку, которая находится правее рассматриваемого сечения. Как видишь, на этом участке действует всего лишь одна сила F. Её и будем учитывать.
Поперечные силы на первом участке
Сила F, относительно сечения 1-1, поворачивает ПО часовой стрелке, поэтому с учётом правила знаков, записываем её с «плюсом»:
Как видишь, поперечная сила будет постоянна на первом участке:
Уже можем отразить это на эпюре поперечных сил:
Изгибающие моменты на первом участке
Теперь запишем уравнение для изгибающих моментов. Сила F растягивает верхние волокна, поэтому с учётом правила знаков, нужно учесть момент силы F со знаком «минус»:
Здесь уже изгибающие моменты будут меняться по линейному закону. Как я уже писал, чтобы построить эпюру изгибающих моментов на участке, нужно вычислить значения на границах участка:
Откладываем полученные значения:
Расчёт второго участка
Переходим ко второму участку. Также будем рассматривать некоторое сечение 2-2, на расстоянии x2 от начала участка (0 ≤ x2 ≤ 6м). Здесь также нужно учесть ВСЮ нагрузку, которая находится справа от сечения 2-2.
Поперечные силы на втором участке
Теперь на участке будут действовать 2 силы (сосредоточенный момент — M, никак не влияет на эпюру поперечных сил), учитываем их с учётом правила знаков:
Теперь можем показать окончательную эпюру поперечных сил:
Изгибающие моменты на втором участке
Для изгибающих моментов, с учётом правила знаков, второе уравнение будет выглядеть следующим образом:
Вычисляем значения на границах второго участка:
Показываем окончательную эпюру изгибащих моментов:
Проверка построенных эпюр
Балку можно рассчитать и слева направо. При этом очевидно, должны получаться те же эпюры. Давай проверим себя и рассчитаем эту балку с другой стороны.
Определение реакций в жёсткой заделке
Первым делом, нам потребуется определить реакции в заделке:
Расчёт эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Рассчитываем все участки теперь слева направо:
Ожидаемо, получили те же эпюры поперечных сил и изгибающих моментов:
Причём не обязательно считать все участки балки только слева направо или справа налево. Можно считать балку с разных сторон:
Такой подход позволяет минимизировать расчёт: когда балка имеет много расчётных участков. Как раз так и будем считать вторую двухопорную балку.
Эпюра моментов со стороны растянутых или сжатых волокон
По построенной эпюре можно явно сказать, какие волокна балки будут растянуты, а какие сжаты. Это очень полезная информация, при проведении прочностных расчётов.
Причем сама эпюра была построенна со стороны растянутых волокон:
Однако, студентов некоторых специальностей учат строить эпюры, с другой стороны – со стороны сжатых волокон:
Как видишь, в первом случае, отрицательные значения на эпюре моментов откладываются выше нулевой линии, а во втором – ниже. При этом правила знаков для расчета эпюр и сами расчёты не меняются. Обычно эпюры «на растянутых волокнах» строят студенты — строители, а эпюры «на сжатых волокнах» строятся студентами машиностроительных специальностей. В конечном счёте с какой стороны ты будешь строить эпюры, будет зависеть от твоего преподавателя, как он учит. В своих уроках я буду строить эпюры моментов со стороны растянутых волокон.
Учёт распределённой нагрузки
Перед тем как пойдём дальше и рассмотрим вторую задачу – двухопорную балку, нужно научиться работать с распределённой нагрузкой.
Давай рассмотрим ещё одну простенькую схему — консольную балку, загруженную распределённой нагрузкой:
Определение поперечной силы и изгибающего момента в сечении A
Чтобы определить поперечную силу в сечении A, первым делом нужно «свернуть» распределённую нагрузку (q) до сосредоточенной силы. Для этого нужно интенсивность нагрузки (q) умножить на длину участка действия нагрузки.
После чего получим силу — ql, приложенную ровно посередине участка, на котором действует распределённая нагрузка:
Тогда поперечная сила QA будет равна:
Изгибающий момент Mизг, A будет равен:
Расчёт эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Для написания уравнений для расчёта эпюр рассмотрим сечение 1-1:
Уравнение для поперечных сил будет следующее:
Рассчитаем значения на эпюре поперечных сил:
Уравнение для изгибающих моментов будет следующее:
Тогда значения на эпюре будут такими:
На участке с распределённой нагрузкой, на эпюре изгибающих моментов всегда будет либо выпуклость, либо вогнутость. Так как эпюра на этом участке будет меняться по квадратичному закону.
Если эпюра моментов откладывается со стороны растянутых волокон, распределённая нагрузка будет направлена «внутрь вогнутости» (выпуклости) эпюры изгибающих моментов:
Если же эпюра моментов откладывается со стороны сжатых волокон, то наоборот:
Построение эпюр для двухопорной балки
А теперь давай рассмотрим более сложную схему – двухопорную балку, загруженную всеми типами нагрузок:
Определим реакции опор:
Рассчитываем первый участок:
Строим эпюры на первом участке:
Определение экстремума на эпюре моментов
Так как эпюра поперечных сил пересекает нулевую линию на первом участке, это значит, что в месте пересечения — на эпюре изгибающих моментов будет экстремум — точка, в которой эпюра моментов часто имеет наибольшее значение. Это значение, обязательно следует рассчитывать, потому — что экстремумы часто являются не только максимальными значениями в пределах участка, но и для всей балки в целом. Поэтому так важно, вычислять это значение, для дальнейшего проведения прочностных расчётов.
Чтобы найти экстремум, сначала нужно найти координату, где эпюра поперечных сил пересекает нулевую линию. Для этого уравнение для поперечных сил нужно приравнять к нулю:
Отсюда найти значение координаты:
Затем подставить это значение в уравнение для изгибающих моментов:
Теперь можем указать экстремум на эпюре:
Расчет эпюр на остальных участках
Расчёты остальных участков не вижу смысла комментировать, потому что здесь будет применяться всё то, о чём я уже рассказывал по ходу урока. Поэтому просто приведу решение:
Определение экстремума:
Оценка правильности построенных эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
И напоследок хочу рассказать как можно проверить себя – оценить правильность построенных эпюр визуально. Собственно так, как проверяют эпюры — преподаватели, ведь они не проверяют у всех студентов каждое уравнение, каждый знак или цифру, т.к. это бы занимало слишком много времени.
Вот несколько признаков, правильно построенных эпюр:
- На эпюре поперечных сил, в местах приложения сосредоточенных сил, должны быть скачки на величину этих сил.
- На эпюре изгибающих моментов, в местах приложения сосредоточенных моментов, должны быть скачки на величину этих моментов.
- Эпюра поперечных сил, на участках без распределённой нагрузки, должна быть постоянна. А на участках, где действует распределённая нагрузка – меняться по линейному закону.
- Эпюра изгибающих моментов, на участках без распределённой нагрузки, должна меняться по линейному закону или быть постоянна (если действуют только сосредоточенные моменты). А на участках, где действует распределённая нагрузка – иметь вогнутость или выпуклость.
Поперечная сила и изгибающий момент.
В поперечных сечениях балки возникает
поперечная сила Q и изгибающий моментM.
|
|
Разрежем балку на расстоянии Х.
Заменим действие отброшенной части
Q
M
Составим уравнения равновесия для |
→
→
∑МсечХ=0;
→
→
;
Можно вместо левой части рассмотреть
правую часть. Результат будет тот же,
но с обратным знаком.
В связи с этим для того, чтобы в одном и
том же сечении Q и M
имели одинаковые знаки независимо
от того какая часть рассматривается,
примем следующее
ПРАВИЛО ЗНАКОВ (см.
рисунок):
Поперечную силу будем считать
положительной,
если равнодействующая сила левее сечения
направлена вверх, а правее сечения
направлена вниз.
Изгибающий момент будет считаться
положительным,
если равнодействующий момент левых сил
направлен по ходу часовой стрелки, а
правых – против часовой стрелки.
Зависимость
между изгибающим моментом, поперечной
силой и интенсивностью распределенной
нагрузки.
|
|
Выделим из балки участок бесконечно
Ввиду малости участка распределенную
Составим уравнения равновесия:
|
примем равномерно распределенной
.
;
или
;
;
Пренебрегая бесконечно
малыми величинами второго порядка,
получаем:
или
Продифференцировав последнее
выражение по Х,
получаем:
;или
Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.
Внутренние усилия Q и M
зависят от координатыХ,поэтому удобно иметь графики зависимостиQ и M от расстоянияХ,эти графики называютсяэпюрамипоперечных сил и изгибающих моментов.
Построение эпюрQ и M
рассмотрим на частных примерах.
|
Положительные изгибающие моментыбудем откладывать в сторону растянутых |
Пример 1. Построить
1) Определяем опорные реакции:
2) Разбиваем балку на участки. Рассмотрим отдельные участки.
3) Участок 1: (рассекаем на расстоянии
Участок 2: (рассекаем на расстоянии
при . |
;
при
Пример 2. Построить
эпюры Q иM.
-
Определим опорные реакции:
Проверка
,
Следовательно, опорные реакции определены
верно.
2) Построим эпюры QиM:
Участок I:
Участок II:
Участок III:
|
|
Идем справа налево Из подобия треугольников . находим:
|
|
|
|
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Внутренние поперечная сила и изгибающий момент возникают в поперечных сечениях балки при её изгибе под действием внешних нагрузок.
Поперечным изгибом называется такой вид деформирования бруса, при котором внешние нагрузки действуют перпендикулярно к его продольной оси. Деформация изгиба заключается в искривлении оси бруса.
Брус с прямой осью, работающий на изгиб, называется балкой. Если плоскость действия внешних нагрузок проходит через ось балки и одну из главных центральных осей поперечного сечения, изгиб называется прямым. В этом случае ось балки искривляется в плоскости действия нагрузок и является плоской кривой.
В сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy
Правила контроля построения эпюр Q и М при изгибе (рис. 6.1).
Дифференциальные зависимости между q, Qy и Мх имеют вид:
- В сечении, где приложена сосредоточенная сила, — на эпюре Qy скачок по модулю равный этой силе, на эпюре Мх – излом навстречу силе.
- В сечении, где приложена сосредоточенная пара сил m — на эпюре Мх скачок по модулю равный этой паре сил. На эпюре Qy это не сказывается.
- Если на участке имеется равномерно распределенная нагрузка q, то Qy изменяется по линейному закону, Мх – по параболе, выпуклостью навстречу нагрузке q (Мх = Мэкстр – в сечении, где Qy меняет свой знак).
Рис. 6.1
Изгиб называется чистым, если в сечении балки возникает только изгибающий момент Мх.
Примеры решения задач >
Прочность и напряжения при изгибе >
Сохранить или поделиться с друзьями
Вы находитесь тут:
На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь
Подробнее
Решение задач и лекции по технической механике, теормеху и сопромату
Поперечная сила и изгибающий момент
При изгибе балки, вызванном действием приложенных к ней внешних моментов, в поперечных сечениях возникают внутренние силовые факторы — изгибающие моменты 
. Аналогичное явление имеет место в случае простого поперечного изгиба, если горизонтальный брус, лежащий на двух опорах, подвергнуть действию вертикальных нагрузок в продольной плоскости симметрии бруса. При этом наряду с изгибающим моментом в поперечных сечениях возникнет поперечная сила 
.
Рассмотрим методику определения изгибающего момента и поперечной силы. Пусть балка, лежащая на опорах 
и 
(рис. 2.24), нагружена вертикальными силами 
распределенной нагрузкой интенсивности 
и моментами 
действующими в вертикальной плоскости симметрии балки. Опорные реакции 
в точках и можно определить из уравнений равновесия всей балки.
Рассмотрим поперечное сечение 
балки, определяемое абсциссой 
. Указанное сечение делит внешние силы и моменты, приложенные к балке, на две взаимно уравновешивающиеся системы, из которых одна действует слева, а другая — справа от данного сечения.
Каждую из этих систем можно привести к центру тяжести 
рассматриваемого сечения. Тогда главный вектор и главный момент относительно центра сил, действующих слева от сечения, должны быть соответственно равны по модулю и противоположны по направлению главному вектору и главному моменту относительно того же центра сил, действующих справа от этого сечения. Указанные главный вектор 
и главный момент являются статическими эквивалентами внутренних сил, возникающих при изгибе в поперечном сечении.
Главный вектор внешних сил, действующих на балку по одну сторону от данного сечения, называется поперечной силой в данном сечении. Если некоторые силы, действующие на балку, не перпендикулярны к ее оси, то поперечной силой называется вертикальная составляющая главного вектора внешних сил, расположенных по одну сторону от данного сечения.
Ограничиваясь случаем параллельных сил, можем поперечную силу (обозначим ее через ) рассматривать как алгебраическую величину, имеющую положительное значение, если для левой части балки она направлена вверх, а для правой — вниз (рис 2.25, а), и отрицательное при противоположном направлении (рис. 2.25, б).
Таким образом, поперечная сила в любом поперечном сечении балки численно определяется как алгебраическая сумма сил, расположенных по одну сторону от сечения.
Для сечения (см. рис. 2.24) в соответствии с установленным правилом знаков имеем
Главный момент внешних сил, действующих на балку по одну сторону от данного сечения, относительно центра тяжести этого сечения, называют изгибающим моментом в данном сечении. Этот момент (обозначим его через ) будем рассматривать как алгебраическую величину, имеющую положительное значение, если он действует так, что ось балки изгибается выпуклостью вниз (рис. 2.25, в), и отрицательное в противоположном случае (рис. 2.25, г). Изгибающий момент в любом сечении балки численно определяется как алгебраическая сумма моментов, действующих на балку внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно центра тяжести этого сечения. При этом для левой части балки моменты сил считаются положительными, если они направлены по отношению к центру тяжести сечения по часовой стрелке, и отрицательными, если против часовой стрелки; для правой части — наоборот.
Таким образом, для сечения (см. рис. 2.24) имеем
Поперечная сила и изгибающий момент в общем случае зависят от положения сечения, т.е. от абсциссы . Найдем зависимость между величинами и , а также и . Для этого определим поперечную силу 
и изгибающий момент в сечении 
смещенном относительно сечения на бесконечно малое расстояние 
(см. рис. 2.24);
Определим изменения 
изгибающего момента и 
— поперечной силы при переходе от сечения к сечению . Вычитая соответственно (2.30) из (2.32) и (2.29) из (2.31), имеем
откуда, учитывая выражение (2.29), получаем
т.е. поперечная сила в данном сечении равна первой производной от изгибающего момента по абсциссе сечения (теорема Д. И. Журавского). Аналогично получим
т. е. вторая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна интенсивности распределенной нагрузки.
Полученные зависимости используют при построении эпюр изгибающих моментов и поперечных сил. Графики зависимости изгибающего момента и поперечной силы от координаты сечения называют эпюрами изгибающих моментов и поперечных сил. Эпюры дают наглядное представление о характере изменения изгибающего момента и поперечной силы по длине балки и позволяют устанавливать местонахождение опасных сечений.
Рассмотрим методику построения этих эпюр для простейших случаев нагружения.
Случай 1. Консольная балка нагружена сосредоточенной силой 
на конце консоли (рис. 2.26, а).
В месте защемления 
балки возникает реактивный момент 
и опорная реакция 
.
Составим уравнения равновесия сил, действующих на балку:
Отсюда
Определим изгибающий момент в сечении, расположенном на рас-стоянии от опоры . Силы, действующие слева от рассматриваемого сечения, создают момент
После подстановки значений реактивного момента и опорной реакции приходим к следующему уравнению:
При 
и 
получаем изгибающий момент соответственно у опоры и на конце балки:
Построим эпюру изгибающих моментов. Для этого выбираем нулевую линию, параллельную оси балки.
Откладывая в некотором масштабе 
от этой линии вниз (
< 0) под соответствующими сечениями балки найденные значения , получаем искомую эпюру (рис. 2.26, б). Так как зависимость от координаты сечения в данном случае является линейной, то эпюра изгибающих моментов представляет собой наклонную прямую. Абсолютная величина изгибающего момента достигает наибольшего значения у закрепленного конца балки.
Рассмотренную задачу можно решить проще, если за начало отсчета координаты сечения принять точку приложения силы 
и определять главный момент сил, находящихся справа от сечения. Обозначая новую координату сечения через 
имеем 
; на концах балки получаем
Для определения поперечных сил обратимся к теореме Журавского:
т. е. поперечная сила постоянна по всей длине балки. Эпюра поперечных сил в данном случае представляет собой прямую, параллельную нулевой линии и отстоящую от нее на расстоянии (рис. 2.26, в) в масштабе 
.
Случай 2. Консольная балка нагружена по всей длине равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью 
(рис. 2.27, а).
Реактивный момент в этом случае 
опорная реакция 
. Заменив равномерно распределенную нагрузку, действующую на правую часть балки, сосредоточенной силой, равной 
и действующей на расстоянии 
от выбранного сечения, имеем
Определим значение изгибающих моментов для характерных точек:
Как видно из уравнения (2.35), эпюра изгибающих моментов в данном случае представляет собой параболу второй степени, обращенную вогнутостью вниз и с вершиной в начале координат (рис. 2.27, б). Эта парабола может быть построена по точкам. Абсолютная величина изгибающего момента имеет наибольшее значение 
у защемленного конца балки. На основании теоремы Журавского
Из уравнения (2.36) следует, что эпюра поперечных сил наклонная прямая (рис. 2.27, в).
Случай 3. Балка на двух опорах нагружена сосредоточенной силой 
(рис. 2.28, а).
Составим уравнения равновесия балки:
Отсюда
Рассмотрим два сечения, определяемых координатами 
и 
. Первое сечение расположено между опорой 
и точкой приложения силы , второе — между опорой 
и точкой приложения силы .
Изгибающий момент в сечении I-I, если рассматривать левую часть балки.
Изгибающий момент в сечении II-II
т. е. изгибающий момент на двух участках балки определяется двумя линейными уравнениями, и, следовательно, эпюра изгибающих моментов состоит из двух отрезков прямой (рис. 2.28, б). Величина изгибающих моментов в характерных точках
Если сила 
приложена в середине пролета, т. е. 
то
Максимальный изгибающий момент в этом случае
Так как изгибающий момент выражается двумя линейными функциями координаты сечения, то из теоремы Журавского следует, что на каждом из двух участков между опорами и точкой приложения сосредоточенной нагрузки поперечная сила остается постоянной.
Действительно, для участка 
для участка 
Таким образом, эпюра поперечных сил представляет собой два прямолинейных отрезка, параллельных нулевой линии (рис. 2.28, в). В точке приложения нагрузки поперечная сила меняется скачкообразно.
Случай 4. Балка на двух опорах нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью (рис. 2.29, а).
Равнодействующая равномерно распределенной нагрузки равна 
и приложена в середине пролета балки. Поэтому
Изгибающий момент в сечении I-I на расстоянии 
от левой опоры
Изгибающий момент в характерных точках
Эпюра изгибающих моментов представляет собой параболу второй степени (рис. 2.29, б).
Величину поперечной силы в сечении I-I определяем как сумму внешних сил, действующих слева от сечения:
т. е. поперечная сила изменяется по линейному закону. Определим ее величину в характерных точках:
Эпюра поперечных сил представляет собой наклонную прямую, пересекающую нулевую линию в середине пролета балки (рис. 2.29, в).
Эта теория взята со страницы лекций по предмету «прикладная механика»:
Предмет прикладная механика
Возможно эти страницы вам будут полезны:
