Как найти поперечное увеличение линзы

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Предложите, как улучшить StudyLib

(Для жалоб на нарушения авторских прав, используйте

другую форму
)

Электромагнитное излучение

а)
193 ►

Изображения линейного предмета в собирающей линзе (АВ — предмет, А’В’ — изображение):

а) d > 2F — действи
тельное, уменьшенное,
перевернутое;

б) Fвительное, увеличен
ное, перевернутое;

в) d<F — мнимое,
увеличенное, прямое

А		i 1	С			i
Г	*ч~		i?	В’ 2F
В	2F			f	\н
	AVW^	^2
		>	<		Г

н

в)	н	. 4	к С		i
	В’	>»ir	О”
	2F	FBA-		fN,	^2^ 2^
		t	‘	2х
	*

Геометрическая оптика

233

На рисунке 193 приведены возможные типы изображения А’В’ предмета АВ в собирающей линзе.

Для характеристики размера и ориентации изображения относительно предмета используют поперечное увеличение линзы.

Поперечное увеличение линзы — отношение координаты изображения к координатам предмета, отсчитываемым перпендикулярно главной оптической оси (в поперечном направлении):

Г=^. (176)

У*

Если предмет находится за двойным фокусом линзы (рис. 193, а), то y_d = h, y_f = Н, Н < h. При этом действительное изображение предмета оказывается перевернутым (Г < 0) и уменьшенным (|Г| < 1).

Если предмет находится между главным фокусом и двойным фокусом линзы (рис. 193, б), то y_d = h,y_f = H,H> п. При F < d < 2F действительное изображение предмета является перевернутым (Г < 0) и увеличенным (|Г| > 1).

Если предмет находится между главным фокусом и линзой (рис. 193, в), то y_d = Н, y_f = h, Н > h. При d < F мнимое изображение предмета является прямым (Г > 0) и увеличенным (|Г| > 1).

Таким образом, знак и модуль поперечного увеличения определяет взаимную ориентацию и относительный размер предмета и его изображения в линзе.

При прямом изображении предмета в линзе поперечное увеличение положительно (Г > 0), а при перевернутом — отрицательно (Г < 0).

При увеличенном изображении предмета в линзе модуль поперечно-^го увеличения больше единицы (|Г| > 1), а при уменьшенном — меньше единицы (|Г| < 1).

Построение изображений в собирающей линзе. Рассмотрим наиболее характерные примеры построения изображений предметов в линзе, а также графического определения фокусного расстояния и расположения линзы.

Точечный источник света, находящийся на главной оптической оси

Например, при d > 2F) (рис. 194, а). Для построения изображения точеч-

го источника S необходимо найти ход двух лучей, идущих от источни-

^{а Пос}ле преломления их линзой. Точка их пересечения S’ определяет по-

°ясение изображения предмета. В качестве одного из этих лучей можно

234

Электромагнитное излучение

а) б)

А 194

Построение изображений: а) точечного источника; б) линейного предмета

взять луч 1 (SO), падающий на линзу вдоль главной оптической оси и не испытывающий преломления. Это означает, что изображение S‘ точки S лежит на главной оптической оси. В качестве второго луча возьмем произвольный луч 2 (SK). Для построения преломленного луча KS‘ воспользуемся свойством параллельных лучей (см. рис. 189, а). Луч 3, параллельный лучу SK, проходящий через центр О линзы, не преломляясь, пересекает ее фокальную плоскость в точке F‘. Через эту же точку должен пройти луч 2, пересекающийся с лучом 1 в точке S‘, являющейся изображением точки S.

Линейный предмет, расположенный параллельно главной оптической оси. При построении изображения линейного предмета можно отдельно построить изображения его крайних точек, соединив их затем прямой линией. Однако более рациональным является другой способ построения (рис. 194, б). В качестве падающего луча, общего для точек А и В, удобно выбрать луч 1, проходящий через стрелку АВ. Луч 1 после преломления в линзе проходит через фокус. Именно на этом преломленном луче находится изображение точек А и В, и соответственно изображение А’В’ всего предмета. Для построения крайних точек А’ и В’ изображения воспользуемся лучами 2 и 3, выходящими из точек АиВи проходящими через центр О линзы без преломления. Пересечения этих лучей с преломленным лучом 1 определяют размер изображения А’В’ предмета.

Графическое определение положения оптического центра и главного фокуса линзы. Если известны положение и размер предмета и изображения, можно найти построением расположение линзы и ее фокусное расстояние. Предположим, что предмет h и его изображение Н в собирающей линзе располагаются относительно главной оптической оси линзы

Геометрическая оптика

235

так, как это показано на рисунке 195, а. В этом случае изображение предмета является увеличенным и прямым. Такое изображение возникает в собирающей линзе, если предмет располагается между линзой и ее главным фокусом (см. рис. 193, в). Сравнение рисунков 195, а и 193, в показывает, что линза должна находиться слева от предмета. Для удобства построим изображение такого предмета в линзе с известным фокусным расстоянием F (рис. 195, б) с помощью характерных лучей 1 и 2. По аналогии с рисунком 195, б выполним построение хода лучей (рис. 195, в). Пересечение продолжения прямой А’А с главной оптической осью дает положение оптического центра О и главной плоскости линзы MN. Проведем из точки А линию АК, параллельную О_г0₂, до пересечения с плоскостью MN. Пересечение продолжения прямой А’К с главной оптической осью будет главным фокусом линзы. Подобным образом можно находить положение и фокусное расстояние линзы при любых типах изображения предмета.

ВОПРОСЫ

1. Какие типы изображений возможны в собирающей линзе? Какие преобразования фронта волн, идущего от точечного источника, возможны в такой линзе?
2. Дайте определение поперечного увеличения линзы. Как величина поперечного увеличения собирающей линзы зависит от расстояния предмета до линзы?
3. Где находится изображение точечного источника, помещенного на главной оптической оси собирающей линзы?
4. Где находится изображение предмета, расположенного параллельно главной оптической оси собирающей линзы между фокусом и линзой?
5. Зная предмет и его действительное изображение в собирающей линзе (рис. 195, а), найдите построением оптический центр и главный фокус линзы.

0₂ О_х F

Oi

_к

Л^Л‘

н

о,
о

т

_Ж

7U*

и

о.

а)

б)

е)

А 195

Рчфическое определение фокусного расстояния:

> предмет h и его изображение Н; б) построение изображения предмета;

) определение фокусного расстояния

236

Электромагнитное излучение

~^~2F F О

196

_Л

о

▲ 197

F 2F

ВОПРОСЫ

Постройте изображение предмета, находящегося на главной оптической оси линзы (рис. 196). Постройте изображение предмета, находящегося между фокусом и оптическим центром линзы (рис. 197). Постройте изображение предмета, расположенного над главной оптической осью над фокусом (рис. 198). Найдите графически оптический центр и главный фокус собирающей линзы, если известно, что АВ — предмет, А’В’ — его изображение, 0^0₂— главная оптическая ось собирающей линзы (рис. 199). АВ — предмет, А’В’ — его изображение в собирающей линзе (рис. 200). Найдите построением оптический центр линзы, положение ее главной оптической оси и главный фокус линзы.

2F F О

F 2F

В О,

В’ о₂ А
В’

_V

198

199

200

§ 61. Формула тонкой собирающей линзы

Предмет за фокусом линзы (d > F). Введя основные характеристики изображения предмета в линзе, рассчитаем теперь, где оно находится. Расстояние / от изображения до линзы, как мы видели из рисунка 193, зависит от расстояния d предмета до линзы и ее фокусного расстояния F. Найдем взаимосвязь между d, F и f, называемую формулой тонкой линзы. Для этого запишем дважды модуль поперечного увеличения линзы из подобия треугольников на рисунке 193, а. АЛОВ со АА’ОВ’, поэтому

i ACFO со AA‘FB‘, тогда

_{|r| = f}

h

|Г| =

₌ f d’

f-F

(177)

(178)

Геометрическая оптика

237

Приравнивая правые части равенств (177) и (178), получаем

L –f~^F

d F ‘

Разделив на / обе части последнего равенства, получаем

1=1-1 d F f

Формула тонкой линзы имеет вид:

1 = 1+1 F d f

(179)

Формула тонкой линзы получена нами для случая d > 2F. Однако она может быть выведена аналогично и при F < d < 2F (рис. 193, б).

Предмет между линзой и фокусом (d < F). Рассмотрим теперь случай d < F (см. рис. 193, в) АЛОВ ™ АОА’В’, поэтому

a ACFO ™ AFB’A’, тогда

Я h	_ f d’
Я _ h	f + F F

Приравнивая выражения для отношения — , получаем формулу тонкой линзы

1 F

1 d

(180)

Сравнение выражений (179) и (180) показывает, что для расчетов Удобно использовать лишь одну формулу тонкой линзы (179) для любых расстояний от предмета до линзы. Однако, если изображение оказывается мнимым (d < F), считают, что f отрицательно (f < 0). Как видно из рисунка 193, действительное изображение находится с другой стороны от линзы, чем предмет (/ > 0), а мнимое — с той же стороны (f < 0).

Характеристики изображений в собирающих линзах. Выясним с помощью формулы линзы, на каком расстоянии / от линзы с фокусным Расстоянием F находится изображение предмета, расположенного на произвольном расстоянии от линзы. Из формулы (179) находим

f =

Fd d-F’

(181)

238

Электромагнитное излучение

Для построения графика f(d) преобразуем последнее выражение, добавив и вычтя F² в числителе дроби. Тогда

Окончательно,

/= Fd–F² + F² ₌ F(d –F) + F²
‘ d–F d–F

f = F +

F² d-F

(182)

Графиком зависимости f{d) является гипербола, сдвинутая на F вверх по оси ординат и вправо по оси абсцисс (рис. 201, а). При d = 0, / = 0, а при d = 2F, f = 2F. Область d < 0 не имеет физического смысла, так как d всегда положительно.

Определим теперь поперечное увеличение линзы при различных расстояниях d предмета от линзы, т. е. найдем зависимость Г(ё). Сравнение формул (176) и (177) показывает, что

(183)

Подставляя в формулу (183) вместо / выражение (181), получаем

F

T(d) = –

(184)

Графиком зависимости Г(о?) является отрицательная гипербола, смещенная по оси абсцисс вправо на F (рис. 201, б). Результаты анализа графиков f(d) и Г(с?) приведены в таблице 9.

ВОПРОСЫ

1. Выведите формулу линзы для случая, когда предмет находится за фокусом линзы (d>F).
2. Выведите формулу линзы для случая, когда предмет находится между фокусом и линзой (d < F).

a) f 2F F	! б) г	I, А 201 / Характеристики изо У бражений в собираю-р 2F щей линзе:
^—i ^ ■>
О	,F2F а О	1 ^ “7 а)расстояние от изо- i_ _ {,< бражения до линзы; / б) поперечное ‘/ увеличение

Геометрическая оптика

239

т_аблица 9

Характеристики изображений в собирающих линзах

в зависимости от расстояния d от предмета до линзы

Предмет	Изображение
Расстояние от линзы d	Расстояние от линзыf	Тип	Ориентация	Относительный размер
d>2F	F	Действительное	Перевернутое (Г<0)	Уменьшенное (|Г| < 1)
d = 2F	f=2F	Действительное	Перевернутое (Г<0)	Того же размера (|г| = 1)
F < d < 2F	f>2F	Действительное	Перевернутое (Г<0)	Увеличенное • (|Г| > 1)
d = F	/ = +oo
d	f<0;f	Мнимое	Прямое (Г>0)	Увеличенное (|Г| > 1)

1. При каком условии можно использовать формулу линзы, пригодную для любых расстояний от предмета до линзы?
2. Нарисуйте график зависимости /(d) для собирающей линзы и охарактеризуйте возможные типы изображений.
3. Нарисуйте график зависимости поперечного увеличения собирающей линзы и охарактеризуйте возможные типы изображений.

ЗАДАЧИ

¹ • Собирающая линза, находящаяся на расстоянии d = 1 м от лампы накаливания, дает
изображение ее спирали на экране на расстоянии f = 0,25 м от линзы. Найдите фо
кусное расстояние линзы. [20 см]

*■ Свеча находится на расстоянии d = 15 см от собирающей линзы с оптической силой
О = 10 дптр. На каком расстоянии от линзы следует расположить экран для получе
ния четкого изображения свечи? [30 см]

³– Какой должна быть оптическая сила проектора слайдов для их 100-кратного увели
чения на экране, находящегося на расстоянии 10 м от проектора? [10,1 дптр]

!40

Электромагнитное излучение

к Найдите минимально возможное расстояние между предметом и изображением,
если d > F. [4F]

>. Расстояние между двумя точечными источниками света / = 40 см. На каком расстоянии от одного из источников следует разместить между ними собирающую линзу с фокусным расстоянием F = 10 см, чтобы изображения источников в ней совпали?

[20 см]

) 62. Рассеивающие линзы

Фокусное расстояние, оптическая сила. Рассмотрим, как преломляет-я плоская световая волна, или пучок параллельных лучей, при нормаль-ом падении на плоско-вогнутую линзу (с показателем преломления п и адиусом кривизны R). Это означает, что лучи падают параллельно главой оптической оси (рис. 202). Условно линзу можно представить как со-окупность призм с различными углами преломления, поэтому будет азличным и преломление луча, попадающего на каждую из линз. Луч 1 е преломляется, так как падает практически на плоскопараллельную ластинку. Луч 2 падает на призму с меньшим преломляющим углом р, эм луч 3, падающий на призму с преломляющим углом а > р. Поэтому уч 2 меньше отклоняется от горизонтали, чем луч 3 (б_в < 5). В отличие г собирающей линзы, приближающей параллельные лучи к главной оп-тческой оси, рассеивающая линза отклоняет их в сторону от нее. Можно эказать, что продолжения преломленных лучей пересекаются на главой оптической оси в точке F, называемой мнимым главным фокусом гссеивающей линзы.

к 202

эеломление рассеивающей линзой лучей, параллельных главной оптической г. а) главный фокус линзы; б) связь фокусного расстояния с радиусом ивизны

Геометрическая оптика 241

Главный фокус рассеивающей линзы — точка на главной оптической оси, через которую проходят продолжения расходящегося пучка лучей, возникшего после преломления в линзе лучей, параллельных главной оптической оси.

Этот фокус является мнимым: расходящийся пучок лучей выходит как бы из него. Главный фокус рассеивающей линзы лежит по другую сторону от линзы, чем фокус собирающей (сравните рис. 202 и 187), поэтому фокусное расстояние рассеивающей линзы считается отрицательным F < 0.

Сравнение рисунков 202, б и 187, б показывает, что фокусное расстояние рассеивающей линзы связано с ее радиусом кривизны формулой (169) (см. § 58):

_H^hs)

Любую вогнутую линзу можно рассматривать как совокупность плоско-вогнутых линз. Можно показать, что для рассеивающей линзы с показателем преломления п и радиусами кривизны сферических поверхностей i?_x и R₂ справедлива формула (172), записанная в виде:

л-Н»-1>(5; ⁺ £) ⁽¹⁸⁵⁾

Для вогнутой поверхности радиус кривизны сферической поверхности считается отрицательным, для выпуклой — положительным. Соответственно отрицательным для рассеивающей линзы оказывается и фокусное расстояние, и оптическая сила.

Для рассеивающих линз оптическая сила отрицательна: D < 0.

Основные лучи для рассеивающей линзы. Рассмотрение преломления световых лучей рассеивающей линзой позволяет выделить важнейшие характерные лучи, достаточные для построения хода любого луча, падающего на линзу, а также для получения изображения предмета в линзе.

Луч, параллельный главной оптической оси, преломляясь в линзе, выходит как бы из мнимого главного фокуса.

Луч, падающий в направлении мнимого главного фокуса, находящегося за линзой (по принципу обратимости лучей), после преломления в линзе идет параллельно главной оптической оси.

Луч, идущий через оптический центр тонкой линзы, проходит через йее без преломления.

242

Электромагнитное излучение

Основные лучи для рассеивающей линзы:

а) характерные лучи; б) ход параллельных лучей

На рисунке 203, а показан ход характерных лучей для рассеивающей линзы и использовано ее условное обозначение.

Так же, как и для собирающей линзы, существует особенность преломления пучка параллельных лучей рассеивающей линзой.

Если пучок параллельных лучей падает на тонкую рассеивающую линзу под небольшим углом у к главной оптической оси, то продолжения преломленных лучей пересекаются в одной точке F‘ фокальной плоскости линзы (иногда называемой побочным фокусом) (рис. 203, б).

В отличие от собирающей линзы побочный фокус F‘ располагается в фокальной плоскости, находящейся перед линзой. Положение побочного фокуса определяется пересечением луча 2, проходящего через оптический центр О линзы, с этой фокальной плоскостью.

Известные свойства характерных и параллельных лучей позволяют построить ход произвольного луча /, падающего на рассеивающую линзу с фокусным расстоянием F (рис. 204, а). Для определения направления преломленного луча воспользуемся лучом 2, проходящим через оптический центр О параллельно падающему лучу 1. Луч 2 проходит линзу, не преломляясь, пересекая фокальную плоскость в побочном фокусе F‘.

Согласно свойству параллельных лучей после преломления луч 1 также пройдет через этот побочный фокус.

Найдем теперь направление падающего луча, если известен ход преломленного луча (рис. 204, б). По принципу обратимости лучей будем считать, что дано направление луча, падающего на линзу. Повторяя предыдущее построение с помощью луча 3, проходящего через оптический центр О линзы параллельно лучу 2, получим побочный фокус F‘, через который проходит продолжение падающего луча 2.

Геометрическая оптика

243

204 ►

Построение хода лучей в рассеивающей линзе:

а) падающий луч —
построение преломлен
ного луча;

б) преломленный луч —
построение падающего
луча

а)

ВОПРОСЫ

Объясните, как преломляются лучи, параллельные главной оптической оси, плосковогнутой линзой. Какую точку называют главным фокусом рассеивающей линзы? Как связано фокусное расстояние плоско-вогнутой линзы с радиусом кривизны ее поверхности и коэффициентом преломления материала линзы? Перечислите и нарисуйте основные характерные лучи в рассеивающей линзе. В чем особенности преломления параллельных лучей в рассеивающей линзе? Как построить ход преломленного луча, если известно направление луча, падающего на рассеивающую линзу?

ЗАДАЧ И

1.

2.

3.

5.

Плоско-вогнутая стеклянная линза (п = 1,5) имеет радиус кривизны Я= 20 см. Най
дите фокусное расстояние линзы и ее оптическую силу. [-40 см; -2,5 дптр]
Найдите оптическую силу стеклянной плоско-вогнутой линзы диаметром d = 4 см,
имеющей максимальную толщину Н = 4 мм и минимальную h = 2 мм. [-4,95 дптр]
Плоско-вогнутая линза имеет сферическую ограничивающую поверхность ради
усом 10 см. Фокусное расстояние линзы F = -20 см. Найдите абсолютный показа-

[1,5]

тель преломления материала, из которого сделана линза. Выпукло-вогнутая линза сделана из стекла (п^ = 1,5) с радиусом кривизны ограничивающих сферических поверхностей Я, = 20 см и Я₂ = -10 см. Найдите ее оптическую силу в воздухе и в сероуглероде (п₂ = 1,62).

[-2,5 дптр; +0,37 дптр] Известен ход падающего и преломленного рассеивающей лийзой лучей (рис. 205). Найдите построением главные фокусы линзы.

205

244

Электромагнитное излучение

§ 63. Изображение предмета в рассеивающей линзе

Изображение точечного источника. Изображение протяженного предмета складывается из изображений отдельных точек этого предмета. Поэтому построим сначала изображение светящейся точки А, находящейся на расстоянии h от главной оптической оси и на расстоянии d от линзы (рис. 206, а). Положение сферического фронта световой волны, излучаемой точкой А, определяется двумя лучами, выходящими из этой точки.

В качестве таких лучей удобно выбрать характерные лучи: луч 1, падающий параллельно главной оптической оси, и луч 2, проходящий через оптический центр О линзы. Продолжения преломленных лучей 1 и 2 пересекаются в точке А’, являющейся мнимым изображением точки А, находящимся на расстоянии /от линзы.

Рассеивающая линза всегда создает только мнимое изображение (независимо от расстояния между предметом и линзой).

1
/
2 ^N 1

В результате преломления света рассеивающая линза преобразует друг в друга расходящиеся (сходящиеся) сферические волновые фронты.

Рассеивающая линза может также преобразовывать плоскую волну в расходящуюся сферическую (а по принципу обратимости лучей и сходящуюся сферическую волну — в плоскую), как показано на рисунке 206, б.

Формирование изображения в рассеивающей линзе:

а) преобразование
сферической падающей
волны в сферическую
преломленную;

б) преобразование пло
ской падающей волны
в расходящуюся сфери
ческую

Поперечное увеличение линзы. Построим изображение линейного предмета, находящегося на расстоянии d от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F. Такое изображение находится путем построения изображений крайних точек предмета АВ (рис. 207). Для построения изображения точки А предмета воспользуемся двумя характерными лучами: лучом 1, параллельным главной оптической оси, и лу чом 2, проходящим через оптический центр О линзы.

Построив мнимое изображение А’, опускаем перпендикуляр на главную оптическую ось и на-

Геометрическая оптика

245

ходим точку В’, являющуюся мнимым изображением точки В. Мнимое изображение предмета в линзе находится по ту же сторону от линзы, что и предмет.

Поперечное увеличение рассеивающей линзы (см. формулу (176)) определяется отношением координаты y_f изображения к координате y_d предмета

Изображение линейного предмета в рассеивающей линзе

Из рисунка 207 видно, что Н < Л, т. е. |Г| < 1.

Изображение предмета в рассеивающей лин-

– мнимое, прямое (Г > 0), уменьшенное (|Г| < 1).

Принципы построения изображений предметов в рассеивающей линзе остаются теми же, что и для собирающей линзы (см. § 59).

Формула тонкой рассеивающей линзы. Подобно тому как мы это делали для собирающей линзы, найдем взаимосвязь между расстоянием d от предмета до линзы с фокусным расстоянием F и расстоянием / от изображения предмета до линзы.

Для этого запишем поперечное увеличение линзы из подобия тре-

угольников на рисунке 207: ААОВ ^ АА’ОВ’, поэтому Г =

Н h

1/1

(мы

1/1

(для рассеиваю-
учли, что / < 0). ACFO ™ AA‘FB‘, тогда Г = Ц = Щ—

п J<

щей линзы F < 0).

Приравняем правые части полученных выражений:

Ш – П

~ 1/1

d F •

Разделив обе части последнего равенства на |/|, получаем

1=1 JL

d |/| F–

Формула тонкой рассеиващей линзы имеет вид:

>1

1

d

1_

1/Г

(186)

“асто формулу (179) используют как для собирающей, так и для рас-ивающей линзы. При этом действительное фокусное расстояние счита-

246

Электромагнитное излучение

ется положительным F = F, мнимое — отрицательным F = –F, расстояние от линзы до действительного изображения определяется как положительное (/ = |/|), до мнимого как отрицательное (/ = -|/|)- Выясним с помощью формулы линзы (186), на каком расстоянии |/| от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F находится изображение предмета, расположенного на расстоянии d от линзы. Из формулы (186) находим

и- dF

(187)

W	,
о
-и / 1 • / / 1 f 1 /	1*1 d

а)

Характеристики изображения в рассеивающей линзе:

а) расстояние от изо
бражения до линзы;

б) поперечное увеличение

d+ F

Для построения графика f(d), преобразуем формулу (187), добавляя и вычитая F² в числителе дроби. Тогда

1Л²

1/1=1*1 –

d + F‘

Графиком полученной зависимости является отрицательная гипербола, сдвинутая на F вверх по оси ординат и влево по оси абсцисс (рис. 208, а). При d = 0, |/| = 0; а при d » F, |/| = |^| (т. е. чем дальше от линзы предмет, тем ближе к фокусу находится его изображение).

Определим теперь поперечное увеличение линзы при различных расстояниях d предмета от линзы, т. е. найдем зависимость T(d). Для рассеивающей линзы из определения (183) следует, что

F

П.0-И

d + F •

Графиком зависимости T(d) является гипербола, смещенная на F влево по оси абсцисс (рис. 208, б). При d = 0 Г = 1; при d = F Г = 0,5. Анализ графиков f(d) и Г((2), показывает, что изображение предмета в рассеивающей линзе всегда является мнимым, прямым (Г > 0), уменьшенным (|Г| < 1) и располагается между линзой и главным фокусом с той же стороны, от линзы, что и предмет.

ВОПРОСЫ

1. Какое преобразование фронта падающей волны может происходить в результате ее преломления рассеивающей линзой?
2. Какое изображение предмета получается в рассеивающей линзе?

Геометрическая оптика

247

1. Выведите формулу тонкой рассеивающей линзы.
2. Начертите график зависимости f(d) для рассеивающей линзы и объясните его.
3. Начертите график зависимости поперечного увеличения рассеивающей линзы T(d).

ЗАДАЧИ

F О

!
2.

3.

5.

Постройте изображение предмета в рассеивающей линзе (рис. 209).

Найдите графически оптический центр и главный фо
кус рассеивающей линзы, если известно, что АВ —
предмет, А’В’— его изображение, 0^0₂ — главная оп
тическая ось рассеивающей линзы (рис. 210).
Точечный источник света находится в главном фокусе
рассеивающей линзы (F = 10 см). На каком расстоянии
от линзы будет находиться его изображение? |>JLcmJ__ Д 209
На каком расстоянии от тонкой рассеивающей линзы
с фокусным расстоянием F = 20 см следует поместить
предмет, чтобы получить изображение, уменьшенное
в 3 раза? [40 см]

Сходящийся пучок лучей, проходя круглое отверстие
в непрозрачном экране, сходится на главной опти
ческой оси в точке А, находящейся на расстоянии
а = 4 см от отверстия. Если в отверстие вставить рас
сеивающую линзу, пучок сойдется в точке В на рас
стоянии Ъ = 6 см от отверстия. Найдите фокусное рас
стояние линзы. [12 см]

Л^

в

о.

Содержание:

Линзы:

На уроках природоведения вы. наверное, пользовались микроскопом. Кое-кто из ваших друзей (а может, и вы сами) имеет очки. Вероятнее всего, большинство из вас знакомы с биноклем, зрительной тру бой, телескопом. У всех этих приборов есть общее: их основной частью является линза.

Равные виды линз

Линзой (сферической*) называют прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями (в частности, одна из поверхностей может быть плоскостью). По форме линзы делятся на выпуклые (рис. 3.50) и вогнутые (рис. 3.51).

Если толщина линзы d во много раз меньше радиусов

Обычно выпуклые линзы являются собирающими: параллельные лучи, которые падают на собирающую линзу, пройдя сквозь нее, пересекаются в одной точке (рис. 3.53).

Вогнутые линзы чаще всего бывают рассеивающими: параллельные лучи после прохождения сквозь рассеивающую линзу выходят расходящимся пучком (рис. 3.54).

Линзы также бывают цилиндрическими, но встречаются такие линзы редко.

Характеристики линз

Проведем прямую, которая проходит через центры сферических поверхностей, ограничивающих линзу. Эту прямую называют главной оптической осью линзы. Точку линзы, которая расположена на главной оптической оси и через которую луч света проходит, не изменяя своего направления, называют оптическим центром линзы (рис. 3.55). На рисунках оптический центр линзы обычно обозначают буквой О.

Точку, в которой собираются после преломления лучи, параллельные главной оптической оси собирающей линзы, называют действительным фокусом собирающей линзы (рис. 3.56).

Если пучок лучей, параллельных главной оптической оси, направить на рассеивающую линзу, то после преломления они выйдут расходящимся пучком.

Однако их продолжения соберутся в одной точке на главной оптической оси линзы (рис. 3.57). Эту точку называют мнимым фокусом рассеивающей линзы.

На рисунках фокус линзы обозначают буквой F.

Расстояние от оптического центра линзы до фокуса называют фокусным расстоянием линзы.

Фокусное расстояние обозначается символом F и измеряется в метрах. Фокусное расстояние собирающей линзы договорились считать положительным (F>0), а рассеивающей — отрицательным (F<0).

Очевидно, что чем сильнее преломляющие свойства линзы, тем меньшим будет ее фокусное расстояние (рис. 3.58).

Физическая величина, характеризующая преломляющие свойства линзы и обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой линзы.

Оптическая сила линзы обозначается символом D и вычисляется по формуле
где F — фокусное расстояние линзы.

Единицей оптической силы является диоптрия

1 диоптрия (дптр) — это оптическая сила такой линзы, фокусное рас стояние которой равняется 1 м.

Если линза собирающая, то ее оптическая сила положительна. Оптическая сила рассеивающей линзы отрицательна. Например, оптическая сила линз в бабушкиных очках +3 дптр, а в маминых -3 дптр. Это означает, что в бабушкиных очках стоят собирающие линзы, а в маминых — рассеивающие.
 

Пример №1

Оптическая сила линзы равняется -1,6 дптр. Каково фокусное расстояние этой линзы? Эта линза собирающая или рассеивающая?

Дано:

Анализ физической проблемы

Для определения фокусного расстояния этой линзы воспользуемся формулой для вычисления оптической силы линзы. Поскольку 1)< 0, то линза рассеивающая.

Поиск математической модели, решение:

Определим числовое значение искомой величины:

Ответ: F = -62,5 см, линза рассеивающая.

Итоги:

Прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями, называют линзой. Линзы бывают собирающими и рассеивающими, а по форме — выпуклыми и вогнутыми.

Линза называется собирающей, если пучок параллельных лучей, падающий на нее, после преломления в линзе пересекается в одной точке. Эту точку называют действительным фокусом линзы.

Линза называется рассеивающей, если параллельные лучи, падающие на нее, после преломления в линзе идут расходящимся пучком, однако продолжения этих преломленных лучей пересекаются в одной точке. Эта точка называется мнимым фокусом линзы.

Физическая величина, характеризующая преломляющие свойства линзы и являющаяся обратной фокусному расстоянию линзы, называется оптической силой линзы = Оптическая сила линзы измеряется в диоптриях (дптр).
 

Формула тонкой линзы

Сейчас никого не удивляет, что можно увидеть бактерии и другие микроорганизмы, рассмотреть невидимые невооруженным глазом детали рельефа поверхности Луны или полюбоваться портретом, нарисованным на маковом зернышке. Все это стало возможным потому, что с по мощью линзы получают разные по размеру изображения предметов.

Изображение предмета, полученное с помощью линзы

Расположив последовательно зажженную свечу, собирающую линзу и экран, получим на экране четкое изображение пламени свечи (рис. 3.59). Изображение может быть как большим, так и меньшим, чем само пламя, или равным ему — в зависимости от расстояния между свечой и экраном. Чтобы выяснить, при каких условиях с помощью линзы образуется то или иное изображение предмета, рассмотрим приемы его построения.
 

Строим изображение предмета, которое дает тонкая линза

Любой предмет можно представить как совокупность точек. Каждая точка предмета, который светится собственным или

1. — луч, проходящий через оптический центр О линзы (не преломляется и не изменяет своего направления);
2. — луч, параллельный главной оптической оси / линзы (после преломления в линзе идет через фокус F);
3. — луч, проходящий через фокус F (после преломления в линзе идет параллельно главной оптической оси/линзы)
4. отраженным светом, испускает лучи во всех направлениях.

Для построения изображения точки S, получаемого с помощью линзы, достаточно найти точку пересечения , любых двух лучей, выходящих из точки S и проходящих сквозь линзу (точка и будет действительным изображением точки S). Кстати, в точке пересекаются все лучи, выходящие из точки S, однако для построения изображения достаточно двух лучей (любых из трех показанных на рис. 3.60).

Изобразим схематически предмет стрелкой АВ и удалим его от линзы на расстояние, большее, чем 2F (за двойным фокусом) (рис. 3.61, а). Сначала построим изображение точки В. Для этого воспользуемся двумя «удобными* лучами (луч 1 и луч 2). Эти лучи после преломления в линзе пересекутся в точке . Значит, точка является изображением точки В. Для построения изображения точки А из точки опустим перпендикуляр на главную оптическую ось /. Точка пересечения перпендикуляра и оси / и является точкой

Значит, и является изображением предмета АВ, полученное с помощью линзы. Мы видим: если предмет расположен за двойным фокусом собирающей линзы, то его изображение, полученное с помощью линзы, будет уменьшенным, перевернутым, действительным. Такое изображение получается, например, на пленке фотоаппарата (рис. 3.61, б) или сетчатке глаза.

На рис. 3.62, а показано построение изображения предмета АВ, полученного с помощью собирающей линзы, в случае, когда предмет расположен

Изображение предмета в этом случае будет увеличенным, перевернутым, действительным. Такое изображение позволяет получить проекционная аппаратура на экране (рис. 3.62, б).

Если поместить предмет между фокусом и линзой, то изображения на экране мы не увидим. Но, посмотрев на предмет сквозь линзу, увидим изображение предмета — оно будет прямое, увеличенное.

Используя «удобные лучи» (рис. 3.63, а), увидим, что после преломления в линзе реальные лучи, вышедшие из точки В, пойдут расходящимся пучком. Однако их продолжения пересекутся в точке В,. Напоминаем, что в этом случае мы имеем дело с мнимым изображением предмета. То есть если предмет расположен между фокусом и линзой, то его изображение бу дет увеличенным, прямым, мнимым, расположенным с той же стороны от линзы, что и сам предмет. Такое изображение можно получить с помощью лупы (рис. 3.63, б) или микроскопа.

Итак, размеры и вид изображения, полученного с помощью собирающей линзы, зависят от расстояния между предметом и этой линзой.

Внимательно рассмотрите рис. 3.64, на котором показано построение изображения предмета, полученного с помощью рассеивающей линзы. Построение показывает, что рассеивающая линза всегда дает мнимое, уменьшенное, прямое изображение предмета, расположенное с той же стороны от линзы, что и сам предмет.

Мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда предмет значительно больше, чем линза (рис. 3.65), или когда часть линзы закрыта непрозрачным экраном (например, линза объектива фотоаппарата). Как создается изображение в этих случаях? На рисунке видно, что лучи 2 и 3 при этом не проходят через линзу. Однако мы, как и раньше, можем использовать эти лучи для построения изображения, получаемого с помощью линзы. Поскольку реальные лучи, вышедшие из точки В, после преломления в линзе пересекаются в одной точке — то «удобные лучи*, с помощью которых мы строим изображение, тоже пересеклись бы в точке

Как выглядит формула тонкой линзы

Существует математическая зависимость между расстоянием d от предмета до линзы, расстоянием f от изображения предмета до линзы и фокусным расстоянием F линзы. Эта зависимость называется формулой тонкой линзы и записывается так:

Пользуясь формулой тонкой линзы для решения задач, следует иметь в виду: расстояние f (от изображения предмета до линзы) следует брать со знаком минус, если изображение мнимое, и со знаком плюс, если изображение действительное; фокусное расстояние F собирающей линзы положительное, а рассеивающей — отрицательное.

Пример №2

Рассматривая монету с помощью лупы, оптическая сила которой +5 дптр, мальчик расположил монету на расстоянии 2 см от лупы. Определите, на каком расстоянии от лупы мальчик наблюдал изображение монет

Дано:

d = 2 см = 0,02 м

D = + 5 дптр

f- ?

Анализ физической проблемы, поиск математической модели

Лупу можно считать тонкой линзой, поэтому чтобы найти расстояние от лупы до изображения, воспользуемся
формулой тонкой линзы Фокусное расстояние F неизвестно, но мы знаем, что (2), где

D — оптическая сила линзы, данная в условии задачи.
Решение и анализ результатов

Подставив формулу (2) в формулу (1), получаем

Проверим единицу:

Найдем числовое

Проанализируем результат: знак ♦-* говорит о том, что изображение является мнимым.

Ответ: f = -21 см, изображение мнимое.

Итоги:

В зависимости от вида линзы (собирающая или рассеивающая) и местоположения предмета относительно этой линзы получают разные изображения предмета с помощью линзы (см.таблицу):

Таким образом, по типу изображения можно судить так и о местоположении предмета относительно нее.

Расстояние d от предмета до линзы, расстояние f от изображения до линзы и фокусное расстояние F связаны формулой тонкой линзы:

Что такое линза

Многие люди носят очки. А задумывались ли вы над вопросами: что собой представляют стекла очков и какова их роль? Стекла очков есть не что иное, как линзы. Ни один оптический прибор (от простой лупы до сложных телескопов) не обходится без линз. Что же такое линза?

Линза представляет собой прозрачное тело, ограниченное криволинейными (чаще всего сферическими) или криволинейной и плоской поверхностями. Материалом для линз обычно служит оптическое или органическое стекло.

На рисунках 261, 262 представлены сечения линз двух типов: двояковыпуклой (см. рис. 261) и двояковогнутой (см. рис. 262). Одна из поверхностей линзы может быть плоской, как, например, на рисунке 263. Такие линзы называются плосковыпуклая (см. рис. 263, а) и плосковогнутая, (см. рис. 263, б).

Прямая, проходящая через центры сферических поверхностей (рис. 264), называется главной оптической осью линзы. Радиусы и есть радиусы кривизны поверхностей линзы (см. рис. 264).

Если толщина линзы мала но сравнению с радиусами кривизны ее поверхностей (см. рис. 264), то линза называется тонкой. Ее часто изображают Всякая тонкая линза имеет точку, проходя через которую, луч не меняет своего направления (лучи 1 и 2 на рисунке 264). Эта точка О называется оптическим центром линзы. В дальнейшем мы будем рассматривать только тонкие линзы, изготовленные из вещества, оптически более плотного, чем среда (воздух), в которой они находятся.

Как линзы меняют направление падающих на них лучей после преломления? Ответ получим с помощью опыта.

Направим на двояковыпуклую линзу (рис. 265, а) параллельно главной оптической оси лучи света. После преломления в линзе они пересекают главную оптическую ось в одной точке F. Значит, двояковыпуклая линза собирает преломленные лучи, поэтому такая линза называется собирающей. Также превращают параллельный пучок в сходящийся линзы 2, 3, изображенные на рисунке 270. При замене линзы на двояковогнутую (рис. 265, б) лучи после преломления в линзе расходятся, а центральный луч, как и в первом случае, не испытывает преломления. Итак, двояковогнутая линза рассеивает параллельный пучок падающих на нее лучей, поэтому такая линза называется рассеивающей. Рассеивают параллельный пучок и линзы 5, 6 (см. рис. 270).

Точка F (см. рис. 265, а, рис. 266, а), в которой пересекаются преломленные линзой лучи, падающие параллельно главной оптической оси, или их продолжения (см. рис. 265, б, рис. 266, б), называется главным фокусом линзы. Так как параллельные лучи можно пустить как с одной, так и с другой стороны линзы, то и главных фокуса у линзы два. Оба фокуса лежат на главной оптической оси симметрично относительно оптического центра линзы (см. рис. 266). А в какой точке собирает линза лучи, идущие под углом к главной оптической оси? Оказывается, в точке которая находится в плоскости (см. рис. 266, а), проходящей через главный фокус перпендикулярно главной оптической оси. Эта плоскость называется фокальной плоскостью, а точка  в отличие от главного фокуса, называется фокусом.

Обратите внимание, что у собирающей линзы в фокусе пересекаются сами преломленные лучи, несущие энергию, поэтому фокус называется действительным. У рассеивающей линзы в фокусе пересекаются продолжения преломленных лучей. Такой фокус называют мнимым.

Расстояние от оптического центра до главного фокуса называется фокусным расстоянием. Его тоже принято обозначать буквой F.

Линза, имеющая более выпуклые поверхности, преломляет лучи сильнее. Линза 1 (рис. 267, а) преломляет лучи сильнее, чем линза 2 (рис. 267, 6). Фокусное расстояние у линзы 1 меньше, чем у линзы 2.

Чтобы количественно оценить преломляющую способность линзы, введем величину, обратную фокусному расстоянию, и назовем ее оптической силой линзы (обозначается буквой D):

Оптическая сила измеряется в диоптриях (сокращенно дптр). Очевидно, что D = 1 дптр, если фокусное расстояние линзы F = 1 м.

А как оценивается оптическая сила рассеивающей линзы, у которой фокус мнимый? В этом случае фокусное расстояние считается отрицательным, а следовательно, и оптическая сила — отрицательной величиной.

Например, если F = -0,5 м, то оптическая сила

Теперь для вас не будет загадкой рекомендация врача-окулиста: «Вам нужны очки со стеклами +1,5 диоптрии или -2 диоптрии».
 

Для любознательных:

Не следует думать, что любая линза с выпуклой поверхностью будет обязательно собирающей, а с вогнутой — рассеивающей. Собирающей является всякая линза, у которой середина толще краев (например, линзы 2, 2, 3 на рисунке 270), а рассеивающей — линза, у которой середина тоньше краев (см. рис. 270, линзы 4, 5, 6). И не забывайте, что все наши рассуждения справедливы, если вещество линзы (стекло) имеет большую оптическую плотность, чем окружающая среда (воздух).

В природе собирающими линзами являются капельки росы, в быту — наполненные водой прозрачные сосуды — кувшин, пластиковая бутылка. Подумайте и ответьте, какие это линзы.

Главные выводы:

1. Линзы меняют направление падающих на них лучей после преломления, за исключением тех, которые проходят через оптический центр линзы.
2. Собирающая линза после преломления делает параллельный пучок лучей сходящимся, рассеивающая линза — расходящимся.
3. Лучи, идущие параллельно главной оптической оси, после преломления в собирающей линзе пересекаются в главном фокусе. В рассеивающей линзе в главном фокусе пересекаются продолжения преломленных лучей.
4. Величина, обратная фокусному расстоянию, определяет оптическую силу линзы.

Построение изображений в тонких линзах

Глядя в окуляр микроскопа на уроках биологии, задумывались ли вы, как получается увеличенное изображение клеток? Главными частями микроскопа являются линзы. Именно они позволяют получать увеличенное или уменьшенное (например, в фотоаппарате) изображение предмета.

Какие изображения предмета создает линза?

Проведем опыт. На столе расположим экран, собирающую линзу и зажженную свечу (рис. 271, а), удаленную от линзы на расстояние б/, большее, чем удвоенное фокусное, т. е. d > 2F. Будем передвигать экран до тех пор, пока не увидим на нем четкое изображение пламени свечи. Чем оно отличается от изображения, которое мы увидим в зеркале, поместив перед ним эту же свечу? Во-первых, оно уменьшенное, во-вторых, перевернутое. Ио самое главное, что это изображение, в отличие от мнимого изображения в зеркале, реально существует. На экране концентрируется энергия света. Чувствительный термометр, помещенный в изображение пламени свечи, покажет повышение температуры. Поэтому полученное в линзе изображение называют действительным, в отличие от мнимых изображений, наблюдаемых в плоском зеркале.

Подтвердим сказанное построением (рис. 271, б). Для получения изображения точки А достаточно использовать два луча, ход которых после преломления в линзе известен. Луч 1 идет параллельно главной оптической оси и после преломления в линзе проходит через главный фокус. Луч 2 идет через оптический центр и не меняет своего направления после прохождения сквозь линзу. Точка А’, являющаяся пересечением прошедших линзу лучей и 2′, есть действительное изображение точки А. Заметим, что через точку А пройдет и любой другой преломленный луч идущий от точки А, благодаря чему энергия, излученная точкой А пламени свечи, будет сконцентрирована в точке А’.

Продолжим опыт. Поставим свечу на расстоянии d = 2F. Перемещая экран, мы увидим на нем действительное, перевернутое изображение пламени свечи, но размер его будет равен размеру пламени самой свечи (рис. 272). Сделайте сами построение изображения для этого случая.

Передвигая свечу ближе к линзе (F < d < 2F) и удаляя экран, мы увидим на нем действительное, перевернутое, увеличенное изображение пламени свечи (построение сделайте сами).

Наконец поставим свечу на расстоянии d от линзы, меньше фокусного, т. е. d

А какие изображения предмета дает рассеивающая линза? Пусть параллельно главной оптической оси надает луч 1 (рис. 275). После линзы преломленный луч идет так, что только его продолжение проходит через фокус. Луч 2 не испытывает преломления. Видно, что лучи и 2′ не пересекаются. В точке А’ пересекаются их продолжения. Тогда изображение точки А, а значит, и всего предмета АВ — мнимое. Как все мнимые изображения, оно прямое, но уменьшенное. Даст ли рассеивающая линза действительное изображение, если менять положение предмета? Может ли оно быть увеличенным? Ответьте на эти вопросы сами, сделав соответствующие построения изображений предмета в тетради.

Главные выводы:

1. Собирающая линза дает как действительные, так и мнимые изображения, рассеивающая — только мнимые.
2. Все мнимые изображения — прямые, все действительные — перевернутые.
3. Для нахождения изображения точки наиболее целесообразно использовать луч, идущий параллельно главной оптической оси линзы, и луч, идущий через ее оптический центр.

Пример №3

С помощью стеклянной линзы на экране, удаленном от линзы на расстояние f = 36 см, получено увеличенное в 3 раза изображение предмета. Определите расстояние от предмета до линзы и оптическую силу линзы.

Дано:

Н = Зh

f = 36 см

d — ?

D — ?

Решение

Построим изображение предмета в линзе (рис. 276).

Поскольку изображение есть на экране, то оно действительное. Кроме того, оно увеличенное, значит, предмет находится между фокусом и двойным фокусом, а линза собирающая.

По условию размер предмета АВ в 3 раза меньше размера изображения А’В’. Из подобия треугольников АОВ и А’ОВ’ следует, что таким же будет и соотношение их сторон ВО и OB’, Значит, искомое расстояние d будет в 3 раза меньше заданного расстояния f. Это дает первый ответ:  Для ответа на второй вопрос используем подобие другой нары треугольников — CFO и A’FB’. И здесь подобные стороны треугольников различаются в 3 раза.
Так как одна из них — OF равна фокусному расстоянию F линзы, а другая — FB’ равна разности f – F, то их связь можно записать так: 3F = f – F, или 4F = f = 36 см. Вычислив значение фокусного расстояния найдем и искомое значение оптической силы D линзы:

Ответ:

Оптическая сила и фокусное расстояние линзы

Граница разделения двух, прозрачных для света, тел может быть искривленной. Если прозрачное тело ограничить искривленными поверхностями, получим линзу (нем. linse – «чечевица»).

Линза — это прозрачное тело, ограниченное двумя выпуклыми или вво-гнутыми прозрачными поверхностями, преломляющими лучи света.
Одна из поверхностей линз может быть плоской. Линзы изготавливают из какого-либо прозрачного для света вещества: стекла, кварца, разных пластмасс, каменной соли, но чаще всего – из специальных сортов стекла.

Наибольшее распространение получили линзы, ограниченные сферическими поверхностями. В зависимости от взаимного размещения сферических поверхностей, ограничивающих линзу, различают 6 типов линз: двояковыпуклая, плоско-выпуклая, вогнуто-выпуклая (рис. 165, а, б, в); двояковогнутая, плоско-вогнутая, выпукло-ввогнутая (рис. 165, г, д, е).

Любая линза имеет характерные точки и линии. Выясним, какие именно.

1.    Прямую, проходящую через центры сферических поверхностей, которые ограничивают линзу, называют ее главной оптической осью (рис. 166).

2.    Точку О, которая лежит на главной оптической оси в центре линзы, называют оптическим центром линзы (рис. 166).

Опыт 1. Направим на линзу пучок лучей, параллельных ее главной оптической оси. Проходя через линзу, световые лучи преломляются и пересекаются в одной точке, лежащей на главной оптической оси линзы (рис. 167).

Эту точку называют главным фокусом линзы F.

3.    Главный фокус линзы F – точка, в которой сходятся все, параллельные главной оптической оси, лучи после их преломления в линзе.

4.    Фокусное расстояние f – расстояние от оптического центра линзы О до главного фокуса F.

Каждая линза имеет два главных фокуса.

Любая тонкая линза характеризуется двумя основными параметрами -фокусным расстоянием и оптической силой. Оптическую силу линзы обозначают большой буквой D и определяют по формуле:

Единицей оптической силы является одна диоптрия (1 дптр), 1 дптр = .

Как видно из опыта, линза преобразует пучок параллельных лучей в сходящийся, то есть собирает его в одну точку. Такую линзу называют собирательной.

Собирательная линза — это линза, которая световые лучи, падающие на нее параллельно ее главной оптической оси, после преломления собирает на этой оси в одну точку.

Опыт 2. Возьмем линзу другого типа и направим на нее параллельный главной оптической оси пучок лучей света. Лучи, преломившись на границе воздух-стекло, выходят из линзы расходящимся пучком, или рассеиваются (рис. 168).

Такую линзу называют рассеивающей.

Рассеивающая линза — это линза, которая световые лучи, падающие на нее параллельно ее главной оптической оси, после преломления отклоняет от этой оси.

Если пучок лучей, выходящий из рассеивающей линзы, продолжить в противоположном направлении, то продолжения лучей пересекутся в точке F, которая лежит на оптической оси с той же стороны, с которой свет падает на линзу. Эту точку F называют мнимым главным фокусом рассеивающей линзы (рис. 169).

Опыт 3. Пропустим световые лучи только через оптические центры линз. В результате опыта убеждаемся (рис. 170), что световые лучи, проходящие через оптический центр линзы, не преломляются, то есть не изменяют своего направления.

С помощью линз можно не только собирать или рассеивать световые лучи, но и строить изображение предметов. Как раз благодаря этому свойству линзы широко используют в практических целях.

Каким же образом строятся изображения предметов с помощью линз?

Изображение предмета — это воссоздание вида, формы и цвета предмета световыми лучами, проходящими через оптическую систему линз, которые имеют одну общую оптическую ось.

Если изображение предмета образовано пересечением самих лучей, то его называют действительным, если их продолжением – мнимым.

Определить ход лучей, отраженных всеми точками поверхности тела, невозможно. Поэтому для построения изображения будем использовать такие лучи, ход которых известен:

• 1.    Луч, проходящий через оптический центр линзы, не преломляется (рис. 171, а).
• 2.    Луч, параллельный главной оптической оси линзы, после преломления в линзе проходит через главный фокус линзы (рис. 171, б).
• 3.    Луч, проходящий через главный фокус линзы, после преломления в ней, проходит параллельно главной оптической оси (рис. 171, в).

Рассмотрим случаи, при которых получается то или другое изображение, и особенности этих изображений.

1.    Предмет АВ размещен между линзой и ее фокусом F.

Построим изображение точки А, использовав для этого упомянутые лучи. Луч АС (рис. 172), параллельный главной оси линзы, преломившись в линзе, пройдет через главный фокус, а луч АО не изменит своего направления. Как видно на рисунке, эти лучи расходятся. Чтобы построить изображение точки А, следует продолжить лучи в противоположном направлении до пересечения, это будет точка Это изображение точки есть мнимым. Такое же построение хода лучей можно выполнить для всех точек предмета, находящихся между точками А и В. Изображение этих промежуточных точек будут лежать между. Таким образом, – изображение предмета АВ.

Если предмет находится между линзой и ее фокусом, то получают увеличенное, прямое, мнимое его изображение, размещенное дальше от линзы, чем сам предмет.

Такое изображение получают, когда пользуются лупой – прибором для рассматривания мелких предметов (например, чтения мелкого текста).

2.    Предмет размещен в главном фокусе линзы F.

Для построения изображения предмета АВ снова воспользуемся лучами АС и АО (рис. 173). После прохождения лучей сквозь линзу мы увидим, что они параллельны между собой. Следовательно, изображение предмета АВ мы не получим.

Если в главном фокусе разместить источник света, то мы превратим пучок расходящихся лучей на пучок параллельных лучей, который хорошо освещает отдаленные предметы.

Если предмет размещен в главном фокусе линзы F, изображение предмета получить нельзя.

3.    Предмет размещен между главным фокусом линзы F и двойным фокусом линзы 2F.

Во время построения изображения (рис. 174) мы видим, что лучи АС и АО после прохождения линзы пересекаются в точке . В этой точке образуется действительное изображение точки А. Изображение предмета АВ также будет действительным.

Если предмет находится между фокусом F и двойным фокусом 2F линзы, то образуется увеличенное, перевернутое и действительное изображение предмета; оно размещено с противоположной относительно предмета стороны линзы на расстоянии, больше двойного фокусного расстояния.

Такое изображение используют в проекционном аппарате, киноаппарате. Чтобы изображение на экране было прямым, диапозитивы или киноленту устанавливают в аппарат в перевернутом виде.

4.    Предмет находится в двойном фокусе линзы. 2F.

В этом случае линза дает (рис. 175) перевернутое, действительное изображение предмета такого же размера, как и он сам. Это изображение размещено в ее двойном фокусе 2F с противоположной относительно предмета стороны линзы.

5.    Если предмет находится за двойным фокусом линзы 2F (рис. 176), линза дает уменьшенное, перевернутое и действительное изображение предмета, которое размещено между ее главным фокусом F и двойным фокусом 2F с противоположной относительно предмета стороны линзы.

Такое изображение используют в фотоаппарате.

Пример №4

Почему не рекомендуется поливать растения днем, когда они освещены солнечными лучами, особенно те, на листьях которых остаются капельки воды?

Ответ: потому что капельки играют роль линз, фокусирующих солнечные лучи, и растения получают ожоги.

Пример №5

На рисунке 177 показан ход лучей в линзах. Какие это линзы?

Ответ: (слева направо) источник света, собирательная линза, рассеивающая линза.

Простые оптические приборы

Знания законов отражения и преломления света в зеркалах и линзах дали возможность создать ряд оптических приборов, имеющих важное значение для современной науки и техники. Их используют специалисты разных отраслей. Это микроскоп биолога и фотоаппарат журналиста, кинокамера оператора и телескоп астронома, перископ подводника и т. п. Кроме того, оптическими приборами являются очки миллионов людей разного возраста и специальностей.

Самый простой оптический прибор – лупа.

Лупа (франц. loupe – «нарост») – оптический прибор, являющийся собирательной линзой, применяется для рассматривания мелких деталей, плохо заметных невооруженным глазом.

Общий вид луп разного вида представлен на рисунке 181, а.

Чтобы увидеть изображение предмета увеличенным, лупу следует разместить так, чтобы данный предмет был между лупой и ее фокусом (рис. 181, б).

Лучи, падающие на лупу от крайних точек предмета, преломляются в линзе и сходятся.

Каким же образом все это видит наш глаз?

Оказывается, наш глаз не замечает преломления лучей. Лучи, идущие от предмета сквозь линзу, воспринимаются глазом как прямолинейные. Нам кажется, что лучи, идущие от лупы к глазу, продолжаются после лупы, не преломляясь. Благодаря этому мы видим предмет увеличенным по сравнению с его действительными размерами.

Лупа дает увеличение в 10-40 раз.

Значительное увеличение изображения предметов можно получить с помощью двух линз, размещенных в металлической трубе на определенном расстоянии друг от друга. Такой прибор называют микроскопом.

Микроскоп (греч. mikro – «маленький», skopeo – «смотрю») – оптический прибор для рассматривания мелких предметов и их деталей (рис. 182, а).

Ход лучей в микроскопе показан на рисунке 182, б. Линзу, размещенную со стороны глаза, называют окуляром (лат. oculus – «глаз»), а линзу, размещенную со стороны данного предмета, называют объективом (лат. objectivus – «предметный»).

Первое увеличение изображения предмета дает объектив. Предмет в микроскопе размещается немного дальше от фокуса обьектива. В результате этого выходит увеличенное и перевернутое изображение предмета.

Это изображение увеличивается еще раз линзой-окуляром: оно будто служит для окуляра предметом. Окуляр, подобно лупе, размещают на расстоянии (меньше фокусного) от промежуточного изображения. В итоге мы получаем новое, более увеличенное изображение.

Если, например, объектив микроскопа дает изображение предмета, увеличенное в 20 раз, а окуляр увеличивает это изображение в 15 раз, то общее увеличение, которое дает микроскоп, будет уже 20*15 = 300 раз.

Современные электронные микроскопы дают увеличение в десятки тысяч раз. Например, так выглядят под микроскопом бактерии, увеличенные в 25 000 раз (рис. 183).

Посмотрите еще раз на схему микроскопа (рис. 182, б). Объектив микроскопа – линза – имеет меньшее фокусное расстояние, чем окуляр этого прибора. А что будет, если мы возьмем объектив, который имеет большее фокусное расстояние, чем окуляр?

В этом случае мы получим новый прибор, который называют телескопом, или рефрактором (лат. refringo – «преломляю»). Такой телескоп создал еще в 1611 г. немецкий астроном Иоганн Кеплер. А вообще первый телескоп на основе зрительной трубы построил в 1609 г. Галилео Галилей.

Телескоп (греч. tele – «далеко», skopeo – «смотреть») – оптический прибор для астрономических исследований космических объектов (рис. 184).

Прохождение в телескопе лучей от небесного тела показано на рисунке 185.

Как следует из рисунка, изображение небесного тела в телескопе мы видим под большим углом зрения, в отличие от невооруженного глаза. Окуляр телескопа, как и окуляр микроскопа, действует как обычная лупа.

Следует отметить, что, рассматривая с помощью телескопа отдаленные предметы на Земле, мы видим их перевернутыми. Однако для наблюдения за небесными телами это обстоятельство не столь важно.

Самый большой телескоп-рефрактор установлен в Йеркской обсерватории университета в Чикаго (США). Его объектив в диаметре достигает 102 см.

Другой тип – это телескопы-рефлекторы (лат. reflecto – «отображаю»). В таких телескопах, кроме преломления лучей света, используют другое их свойство – способность отражаться от зеркальных поверхностей.

Изображение небесного тела отражается с помощью маленького плоского зеркальца и рассматривается с помощью окуляра (рис. 186), который увеличивает отраженное изображение.

Первый рефлектор с диаметром зеркала 2,5 см и фокусным расстоянием 16,5 см построил в 1668 г. Исаак Ньютон. Сегодня самым большим в мире является зеркальный телескоп HESS II, установленный в Намибии, его площадь достигает 600 . Устройство предназначено для изучения происхождения космических лучей.

Фотоаппарат – это оптический прибор, с помощью которого на цифровом устройстве (англ, digital device – «техническое устройство или приспособление, предназначенное для получения и обработки информации в цифровой форме, используя цифровые технологии»), фотопленке, фотопластинке, фотобумаге получают изображение предмета.

Сегодня существует много различных типов фотоаппаратов (рис. 187, а). Они отличаются формой и размерами, но их строение и основные части одинаковы. Ход лучей в фотоаппарате изображен на рисунке 187, б.

• Заказать решение задач по физике

Подробное объяснение формулы тонкой линзы

Линза называется собирающей, если после преломления в ней параллельный пучок становится сходящимся. Если же после преломления в линзе параллельный пучок становится расходящимся, то линза называется рассеивающей (рис. 58).

Основные типы линз и лучи, используемые для построения изображений в них, даны на рисунках 59, 60.

Величина, обратная фокусному расстоянию линзы, выраженному в метрах, называется ее оптической силой:

Единица оптической силы — диоптрия (1 дптр).

1 дптр соответствует оптической силе линзы с фокусным расстоянием I м: 1 дптр= 1 .

Между фокусным расстоянием F тонкой линзы, расстоянием от предмета до линзы d и расстоянием от линзы до изображения f существует определенная количественная зависимость, называемая формулой линзы.

Выведем формулу тонкой линзы, рассматривая ход характерных лучей (рис. 61).

Пусть расстояние от предмета до линзы d, расстояние от линзы до изображения f, фокусное расстояние линзы F, расстояние от предмета до переднего главного фокуса а, расстояние от заднего главного фокуса до изображения а’.

Из рисунка 61 видно, что следовательно

Из формул (1) и (2) следует формула Ньютона:

С учетом того, что d = а + F, f = а’ + F, получаем формулу тонкой линзы:

Поперечным увеличением Г называется отношение линейного размера изображения h’ к линейному размеру предмета h. Из выражения (3) находим

В 1604 г. в исследовании «Дополнения к Вителло» Кеплер изучал преломление света в линзах различной конфигурации и для малых углов падения пришел к формуле линзы.

Для практического использования формулы тонкой линзы следует запомнить правило знаков:

• для собирающей линзы, действительных источника и изображения величины F, d, f считают положительными;
• для рассеивающей линзы, мнимых источника и изображения величины F, d,f считают отрицательными.

Заметим, что предмет или источник является мнимым только в том случае, если на линзу падает пучок сходящихся лучей.

Таким образом, линза с F>0 является собирающей (положительной), а с F< 0 — рассеивающей (отрицательной).

Оптическая сила линзы зависит от свойств окружающей среды.

В современных оптических приборах используются системы линз для улучшения качества изображений. Оптическая сила D системы тонких линз, сложенных вместе, равна сумме их оптических сил :

Пример №6

Предмет расположен на расстоянии d = 0,15 м от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F=-0,30 м. На каком расстоянии f от линзы получается изображение данного предмета?

Решение

Из формулы тонкой линзы

находим

Отрицательное значение f соответствует мнимому изображению предмета.

Ответ: f =-0,10 м, изображение мнимое.

Пример №7

На каком расстоянии d от рассеивающей линзы с оптической силой D = -4 дптр надо поместить предмет, чтобы его мнимое изображение получилось в k = b раз меньше (Г = ) самого предмета?

Решение

Из формулы для увеличения

находим

Из формулы линзы

с учетом выражения для f получаем

Ответ: d= 1 м.

Пример №8

Определите фокусное расстояние F собирающей линзы, дающей мнимое изображение предмета, помещенного перед ней на расстоянии d- 0,4 м, если расстояние от линзы до изображения f =-1,2 м. 

Решение

Из формулы тонкой линзы

находим

Ответ: F= 0,6 м.

Разбираем формулу тонкой линзы

Линза называется собирающей, если после преломления в ней параллельный пучок становится сходящимся. Если же после преломления в линзе параллельный пучок становится расходящимся, то линза называется рассеивающей (рис. 80).

Величина, обратная фокусному расстоянию линзы, выраженному в метрах, называется ее оптической силой:

Единица оптической силы — 1 диоптрия (1 дптр).

1 дптр соответствует оптической силе линзы с фокусным расстоянием

Линзы можно представить в виде совокупности частей трехгранных призм. На рисунке 81, а изображена модель двояковыпуклой линзы, собранной из частей призм, повернутых основаниями к центру линзы. Соответственно, модель двояковогнутой линзы будет представлена частями призм, повернутых основаниями от центра линзы (рис. 81, б).

Преломляющие углы этих призм можно подобрать таким образом, чтобы падающие на нее параллельные лучи после преломления в призмах собрались в одной точке 

Линза считается тонкой, если ее толщина в центре намного меньше радиусов ограничивающих ее поверхностей. Тонкая линза дает неискаженное изображение только в том случае, если свет монохроматический и предмет достаточно мал, следовательно, лучи распространяются вблизи главной оптической оси. Такие лучи получили название параксиальных.

Отметим условия, при одновременном выполнении которых линза является собирающей:

• толщина в центре больше толщины у краев,
• ее показатель преломления больше показателя преломления окружающей среды.

При невыполнении (или выполнении) только одного из этих условий линза является рассеивающей.

Между фокусным расстоянием тонкой линзы, расстоянием от предмета до линзы и от линзы до изображения существует определенная количественная зависимость, называемая формулой линзы.

Выведем формулу тонкой линзы из геометрических соображений, рассматривая ход характерных лучей. Обратим внимание на луч, идущий через оптический центр  линзы, луч, параллельный главной оптической оси линзы, и луч, проходящий через главный фокус линзы.

Построим изображение предмета  в тонкой собирающей линзе (рис. 82). Пусть расстояние от предмета до линзы  расстояние от линзы до изображения  фокусное расстояние линзы  расстояние от предмета до переднего главного фокуса  расстояние от заднего главного фокуса до изображения  высота предмета  высота его изображения 

Из рисунка 82 видно, что  Из подобия треугольников следует:

Используя соотношения (1) и (2), получим:

Соотношение  называется формулой Ньютона.

С учетом того, что  (см. рис. 82), находим:  и подставляем в формулу (4):

Разделив обе части последнего выражения на  получаем формулу тонкой линзы:

Линейным (поперечным) увеличением Г называется отношение линейного размера изображения  к линейному размеру предмета  Из соотношения (3) находим линейное увеличение тонкой линзы:

В 1604 г. в исследовании «Дополнения к Вителло» И. Кеплер изучал преломление света в линзах различной конфигурации и для малых углов падения пришел к формуле линзы.

Для практического использования формулы линзы следует твердо запомнить правило знаков:

Заметим, что предмет или источник является мнимым, только в том случае, если на линзу падает пучок сходящихся лучей.

Таким образом, линза с  является собирающей (положительной), а с  — рассеивающей (отрицательной).

Оптическая сила линзы зависит от свойств окружающей среды (вспомните, как плохо мы видим под водой без плавательных очков).

В современных оптических приборах для улучшения качества изображений используются системы линз. Оптическая сила  системы тонких линз, сложенных вместе, равна сумме их оптических сил 

Пример №9

На каком расстоянии  от рассеивающей линзы с оптической силой  дптр надо поместить предмет, чтобы его мнимое изображение получилось в  раз меньше  самого предмета? Постройте изображение предмета.

Дано:

Решение

Из формулы для линейного увеличения

находим:

и с учетом выражения для  получаем:

Ответ: 

Изучаем линзы

Скорее всего, вы пользовались фотоаппаратом, знакомы с биноклем, подзорной трубой, телескопом, на уроках биологии работали с микроскопом. Некоторые из вас носят очки. Все эти устройства имеют общее — их основной частью является линза. О том, какое значение имеют данные устройства в жизни человека, вы можете рассказать и сами, а вот о том, что такое линза, какие существуют виды линз и каковы их свойства, вы узнаете из этого параграфа.

Линза — прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями*.

Одна из поверхностей линзы может быть плоскостью, поскольку плоскость можно рассматривать как сферу бесконечного радиуса. Линзы также бывают цилиндрическими, но встречаются такие линзы редко.

По форме линзы делят на выпуклые (рис. 14.1) и вогнутые (рис. 14.2).

Рис. 14.1. Толщина выпуклой линзы посредине больше, чем у краев: а — вид; б — разные выпуклые линзы в разрезе

Рис. 14.2. Толщина вогнутой линзы посредине меньше, чем у краев: а — вид; б — разные вогнутые линзы в разрезе

Если толщина линзы во много раз меньше радиусов сферических поверхностей, ограничивающих линзу, такую линзу называют тонкой. Далее мы будем рассматривать только тонкие линзы. Прямую, которая проходит через центры сферических поверхностей, ограничивающих линзу, называют главной оптической осью линзы (рис. 14.3).

Рис. 14.3. Тонкая сферическая линза: — главная оптическая ось линзы; — толщина линзы; — радиусы сферических поверхностей, ограничивающих линзу; — оптический центр линзы

Если на линзу направить пучок световых лучей, они преломятся на ее поверхностях и изменят свое направление. В то же время на главной оптической оси линзы есть точка, которую луч света проходит практически не изменяя своего направления. Эту точку называют оптическим центром линзы (см. рис. 14.3).

Направим на линзу пучок лучей, параллельных ее главной оптической оси. Если лучи, пройдя сквозь линзу, идут сходящимся пучком, такая линза — собирающая. Точка F, в которой пересекаются преломленные лучи, — действительный главный фокус линзы (рис. 14.4).

Рис. 14.4. Ход лучей после преломления в собирающей линзе. Точка F — действительный главный фокус линзы

Линза является рассеивающей, если лучи, параллельные ее главной оптической оси, пройдя сквозь линзу, идут расходящимся пучком. Точку F, в которой пересекаются продолжения преломленных лучей, называют мнимым главным фокусом линзы (рис. 14.5).

Рис. 14.5. Ход лучей после преломления в рассеивающей линзе. Точка F — мнимый главный фокус линзы

Обратите внимание: любой пучок параллельных лучей, даже если эти лучи не параллельны главной оптической оси, после преломления в собирающей линзе всегда пересекаются в одной точке (рис. 14.6) (если линза рассеивающая, в одной точке пересекаются продолжения преломленных лучей).

Рис. 14.6. Ход параллельных лучей после преломления в собирающей линзе

Если оптическая плотность материала, из которого изготовлена линза, больше оптической плотности среды то выпуклая линза будет собирать лучи (будет собирающей), а вогнутая линза будет рассеивать лучи (будет рассеивающей) (см. рис. 14.4, 14.5).

Если оптическая плотность материала, из которого изготовлена линза, меньше оптической плотности среды то выпуклая линза будет рассеивающей (рис. 14.7, а), а вогнутая линза — собирающей (рис. 14.7, б).

Рис. 14.7. Выпуклая (а) и вогнутая (б) воздушные линзы в воде

Определение оптической силы линзы

Любая линза имеет два главных фокуса*, расположенных на одинаковом расстоянии от оптического центра линзы (см. рис. 14.8).

Далее главный фокус линзы, как правило, будем называть фокусом линзы.

Рис. 14.8. Чем меньше радиусы R сферических поверхностей, ограничивающих линзу, тем сильнее эта линза преломляет свет, а значит, тем меньше ее фокусное расстояние F

Расстояние от оптического центра линзы до главного фокуса называют фокусным расстоянием линзы.

Фокусное расстояние, как и фокус, обозначают символом F. Единица фокусного расстояния в СИ — метр:

Фокусное расстояние собирающей линзы договорились считать положительным, а рассеивающей — отрицательным. Очевидно, что чем сильнее преломляющие свойства линзы, тем меньше по модулю ее фокусное расстояние (рис. 14.8).

Физическую величину, которая характеризует линзу и является обратной фокусному расстоянию линзы, называют оптической силой линзы.

Оптическую силу линзы обозначают символом D и вычисляют по формуле:

Единица оптической силы — диоптрия:

1 диоптрия — это оптическая сила линзы, фокусное расстояние которой равно 1 м. Оптическая сила собирающей линзы положительна, а рассеивающей линзы — отрицательна.

Подводим итоги:

Прозрачное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями, называют линзой. Линза является собирающей, если пучок параллельных лучей, падающий на нее, после преломления в линзе пересекается в одной точке (эта точка — действительный фокус линзы). Линза является рассеивающей, если параллельные лучи, падающие на нее, после преломления идут расходящимся пучком, а продолжения преломленных лучей пересекаются в одной точке (эта точка — мнимый фокус линзы).

Физическую величину, которая характеризует преломляющие свойства линзы и обратна ее фокусному расстоянию, называют оптической силой линзы: Единица оптической силы линзы — диоптрия

Построение изображений в линзах

Основное свойство линз заключается в том, что линзы дают изображение точки, а соответственно, и предмета (как совокупности точек) (рис. 15.1). В зависимости от расстояния между предметом и линзой изображение предмета может быть больше или меньше, чем сам предмет, мнимым или действительным. Выясним, при каких условиях с помощью линзы образуются те или иные изображения, и рассмотрим приемы их построения.

Рис. 15.1. Получение изображения пламени свечи с помощью собирающей линзы

Любой предмет можно представить как совокупность точек. Каждая точка предмета излучает (или отражает) свет во всех направлениях. В создании изображения участвует множество лучей, однако для построения изображения некоторой точки S достаточно найти точку пересечения любых двух лучей, выходящих из точки S и проходящих через линзу. Обычно для этого выбирают два из трех «удобных лучей» (рис. 15.2).

Точка S₁ будет действительным изображением точки S, если в точке пересекаются сами преломленные лучи (рис. 15.2, а). Точка будет мнимым изображением точки S, если в точке пересекаются продолжения преломленных лучей (рис. 15.2, б).

Рис. 15.2. Три самых простых в построении луча («удобные лучи»):

1. луч, проходящий через оптический центр О линзы, не преломляется и не изменяет своего направления;
2. луч, параллельный главной оптической оси линзы, после преломления в линзе идет через фокус или через фокус идет его продолжение (б);
3. луч, проходящий через фокус после преломления в линзе идет параллельно главной оптической оси линзы (а, б)

Рис. 15.3. а — построение изображения предмета в собирающей линзе: предмет расположен за двойным фокусом линзы; б — ход лучей в фотоаппарате

Строим изображение предмета, которое даёт линза:

Рассмотрим все возможные случаи расположения предмета АВ относительно собирающей линзы и докажем, что размеры и вид изображения зависят от расстояния между предметом и линзой.

1. Предмет расположен за двойным фокусом собирающей линзы (рис. 15.3, а). Сначала построим изображение точки Для этого воспользуемся двумя лучами — 1 и 2. После преломления в линзе они пересекутся в точке Значит, точка является действительным изображением точки Для построения изображения точки опустим из точки перпендикуляр на главную оптическую ось Точка пересечения перпендикуляра и оси I является изображением точки

Итак, — изображение предмета Это изображение действительное, уменьшенное, перевернутое. Такое изображение получается, например, на сетчатке глаза или пленке фотоаппарата (рис. 15.3, б).

2. Предмет расположен между фокусом и двойным фокусом собирающей линзы (рис. 15.4, а). Изображение предмета действительное, увеличенное, перевернутое. Такое изображение позволяет получить на экране проекционная аппаратура (рис. 15.4, б).

Рис. 15.4. а — построение изображения предмета в собирающей линзе: предмет расположен между фокусом и двойным фокусом линзы; б — ход лучей в проекционном аппарате

3. Предмет расположен между фокусом и собирающей линзой (рис. 15.5, а). Лучи, вышедшие из точки после преломления в линзе идут расходящимся пучком. Однако их продолжения пересекаются в точке

В данном случае изображение предмета является мнимым, увеличенным, прямым. Изображение расположено по ту же сторону от линзы, что и предмет, поэтому мы не можем увидеть изображение предмета на экране, но видим его, когда смотрим на предмет через линзу. Именно такое изображение дает короткофокусная собирающая линза — лупа (рис. 15.5, б).

Рис. 15.5. а – построение изображения предмета в собирающей линзе: предмет расположен между линзой и ее фокусом; б – с помощью

4. Предмет расположен на фокусном расстоянии от собирающей линзы. После преломления все лучи идут параллельным пучком (рис. 15.6), следовательно, в данном случае ни действительного, ни мнимого изображения мы не получим.

Рис. 15.6. Если предмет расположен в фокусе собирающей линзы, мы не получим его изображения

Внимательно рассмотрите рис. 15.7, на котором показано построение изображений предмета, полученных с помощью рассеивающей линзы. Видим, что рассеивающая линза всегда дает мнимое, уменьшенное, прямое изображение, расположенное по ту же сторону от линзы, что и сам предмет.

Рис. 15.7. Рассеивающая линза всегда дает мнимое, уменьшенное, прямое изображение

Чаще всего предмет больше, чем линза, или часть линзы закрыта непрозрачным экраном (как, например, линза в объективе фотоаппарата). Изменяется ли при этом внешний вид изображения? Конечно же нет. Ведь от каждой точки предмета на линзу падает множество лучей, и все они собираются в соответствующей точке изображения. Если закрыть часть линзы, это приведет лишь к тому, что энергия, попадающая в каждую точку изображения, уменьшится. Изображение будет менее ярким, однако ни его вид, ни месторасположение не изменятся. Именно поэтому, строя изображение, мы можем использовать все «удобные лучи», даже те, которые не проходят через линзу (рис. 15.8).

Формула тонкой линзы:

Построим изображение предмета в собирающей линзе (рис. 15.9).

Рассмотрим прямоугольные треугольники и Эти треугольники подобны поэтому или

поэтому или

Приравняв правые части равенств (1) и (2), имеем то есть или Разделив обе части последнего равенства на получим формулу тонкой линзы:

или

где – оптическая сила линзы.

При решении задач следует иметь в виду:

Рис. 15.8. Построение изображения предмета в случае, когда предмет значительно больше линзы

Рис. 15.9. К выведению формулы тонкой линзы: h — высота предмета; Н — высота изображения; d — расстояние от предмета до линзы; f — расстояние от линзы до изображения; F — фокусное расстояние

Пример №10

Рассматривая монету с помощью лупы, оптическая сила которой +10 дптр, мальчик расположил монету на расстоянии 6 см от лупы. Определите: 1) фокусное расстояние линзы; 2) на каком расстоянии от лупы находится изображение монеты; 3) какое изображение дает лупа — действительное или мнимое; 4) какое увеличение дает лупа.

Анализ физической проблемы. Лупу можно считать тонкой линзой, поэтому воспользуемся формулой тонкой линзы. Фокусное расстояние найдем, воспользовавшись определением оптической силы линзы.

Дано:

Найти:

Поиск математической модели, решение

По определению

По формуле тонкой линзы: или Следовательно,

Зная расстояние определим увеличение

Найдем значения искомых величин:

Знак «-» перед значением говорит о том, что изображение мнимое.

Ответ: изображение мнимое;

Подводим итоги:

В зависимости от типа линзы (собирающая или рассеивающая) и месторасположения предмета относительно данной линзы получают разные изображения предмета:

Расположение предмета	Характеристика изображения в линзе
собирающей	рассеивающей
За двойным фокусом линзы	действительное, уменьшенное, перевернутое	мнимое, уменьшенное, прямое
В двойном фокусе линзы	действительное, равное, перевернутое
Между фокусом и двойным фокусом линзы	действительное, увеличенное, перевернутое
В фокусе линзы	изображения нет
Между линзой и фокусом	мнимое, увеличенное, прямое

Расстояние от предмета до линзы, расстояние от линзы до изображения и фокусное расстояние связаны формулой тонкой линзы: