Как найти поразрядные суммы

Урок 11 Бесплатно Разложение числа по разрядам. Способы сложение натуральных чисел

Вы уже имеете общее представление об арифметической операции сложения и знаете свойства сложения натуральных чисел.

Сегодня вспомним наименования разрядов и классов.

Выясним, как записывают и читают большие натуральные числа.

Разберемся, что представляют собой разрядные слагаемые и как определить сумму разрядных слагаемых.

Познакомимся с различными способами и приемами сложения многозначных натуральных чисел, закрепим полученные знания на примерах.

Разряды и классы

С давних времен люди стремились не только уметь считать, но и уметь записывать числа.

Сначала для записи чисел применяли черточки, точки, метки и другие способы представления количества чего-либо, сейчас для этих целей используют цифры.

Сегодня цифры и числа окружают нас повсюду.

Мы не можем себе представить дату без чисел, невозможно измерить рост, массу, время, возраст, считать предметы, совершить покупку, продать, позвонить и т.д.

Число- это математическое понятие, которое используется для количественной характеристики, нумерации объектов и их частей, сравнения.

Каждое число состоит из цифр.

Цифрой называют знак, используемый для записи числа.

Цифры, которые мы используем в повседневной жизни, называют арабскими.

Их существует всего десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Все цифры кроме нуля называют значащими.

Нуль- это знак, который не указывает никакого числа, т.е. указывает на его отсутствие.

Запись числа с помощью десяти арабских цифр называют десятичной системой счисления.

Название системы счисления определяется ее основанием: количеством цифр, которые используются в данной системе счисления.

Цифры, из которых строятся числа десятичной системы счисления, называют узловыми:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Все остальные числа, которые состоят из узловых, называют алгоритмическими, например, 48, 35, 675, 2468 и т.д.

Десятичная система счисления является позиционной системой счисления, так как значение каждой цифры, из которых состоит число, зависит от ее позиции (места) в этом числе.

Место записи цифры в числе называют разрядом числа.

Счет разрядов идет справа налево.

В записи числа первая цифра справа называется цифрой первого разряда (разряд единиц)- это самый младший разряд.

Идущая следом за разрядом единиц, вторая цифра в числе — это цифра второго разряда, обозначающая количество десятков в числе (разряд десятков).

Третья цифра с конца числа указывает на количество сотен в числе — цифра третьего разряда (разряд сотен).

Например, в числе 182 три разряда: первый разряд (разряд единиц) состоит из 2 единиц, второй разряд (разряд десятков) состоит из 8 десятков, третий разряд (разряд сотен) состоит из 1 сотни.

Если в записи числа вместо какого-либо разряда стоит «0» (нуль), то это означает, что цифра данного разряда отсутствует.

Сравним прочтение чисел 201 и 241

Каждые 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего (более высокого разряда).

Например, единицы называют простыми единицами.

10 простых единиц составляют десяток.

10 десятков составляют сотню.

10 сотен составляют тысячу.

10 тысяч (один десяток тысяч) составляют десять тысяч (10000)

10 десятков тысяч составляют сто тысяч (100000)

Числа, которые записаны с помощью одной цифры, называют однозначными числами (числами первого порядка).

Числа, записанные с помощью двух цифр, называют двузначными числами (числами второго порядка).

Числа, которые состоят из трех цифр, называют трехзначными (числами третьего порядка) и т.д.

Пример:

1, 2, 5, 6— однозначные числа.

Самое маленькое однозначное натуральное число 1, самое большое- 9

10, 24, 38, 85— двузначные числа.

Самое маленькое двузначное натуральное число 10, самое большое- 99

278, 456, 882, 312— трехзначные числа.

Самое маленькое трехзначное натуральное число 100, самое большое- 999

Числа, для записи которых используют более одной цифры, называют многозначными числами.

Для удобства чтения многозначных чисел их разбивают на группы по три цифры, начиная справа; такие группы цифр называют классами.

Каждый класс содержит три разряда, записанных справа налево, начиная с разряда единиц, далее разряд десятков, затем идет разряд сотен.

Самый последний левый класс натурального многозначного числа может состоять из одного или двух разрядов.

Каждый класс имеет свое название.

Три первые цифры с конца числа составляют класс единиц, три следующие — класс тысяч, далее идет класс миллионов, затем класс миллиардов и т.д.

Разряды повторяются по очереди в каждом классе, обозначая единицы, десятки и сотни соответствующих классов тысяч, миллионов, миллиардов и т.д.

Изобразим таблицу классов и разрядов натуральных чисел.

Таблица классов и разрядов чисел

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Числа, которые имеют более 12 разрядов, т.е. числа от пятого класса и выше относятся к большим числам.

Числа, идущие после миллиарда названы в соответствии с латинскими наименованиями числительных.

Каждый последующий класс больших чисел содержит 1000 предыдущих.

1000 миллиардов = 1 триллион (представляет собой единицу и 12 нулей).

«Три» по латыни означает число «три».

1000 триллионов = 1 квадриллион (представляет собой единицу и 15 нулей)

«Квадра» по латыни означает число «четыре».

1000 квадриллионов = 1 квинтиллион (представляет собой единицу и 18 нулей)

«Квинта» по латыни- «пять» и т.д.

«Числа-гиганты» в повседневной жизни используют редко.

Применяются в основном в физике и астрономии для измерения массы и размеров звезд и планет, для расчета расстояний до различных небесных тел, расстояний между ними и т.д.

Удивительно, но большие числа можно отметить в человеческом теле.

Так, например, человеческий мозг состоит из 100 миллиардов нервных клеток- нейронов.

Оказывается, в теле человека около 100 миллиардов мелких кровеносных сосудов — капилляров.

Посмотрим, как правильно читается большое число.

Чтобы прочитать многозначное натуральное число 184567483265, разобьем его на классы: Получим число вида: 184 567 483 265.

Прочитаем число, называя по очереди число единиц каждого класса слева направо.

При чтении класса единиц название данного класса, которым заканчивается любое натуральное число, не произносится.

184 миллиарда 567 миллионов 483 тысячи 265.

Не произносится также название класса, все три цифры которого нули.

Например, число 149500000 километров (число равное расстоянию от Земли до Солнца) прочитаем так: 149 миллионов 500 тысяч километров.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Способы сложения натуральных чисел

Вы уже имеете общее представление об операции сложения чисел и знаете свойства сложения натуральных чисел.

Уроком ранее мы выяснили, что сложение- это арифметическая операция объединения исчисляемых объектов в одно целое.

Результат сложения чисел называют суммой этих чисел.

Складываемые числа называют слагаемыми.

Для записи сложения используют знак плюс «+»

В повседневной жизни, на работе, на учебе возникает необходимость оперативно и качественно решать задачи и производить определенные арифметические действия, выбирая для этого оптимально удобный способ решения.

Сейчас рассмотрим некоторые способы и приемы, позволяющие верно, быстро и легко вычислит сумму натуральных чисел.

1. Таблица сложения натуральных чисел

Для сложения чисел первого десятка удобно пользоваться таблицей сложения, с которой вы знакомились в начальных классах.

Запомнив данную таблицу наизусть, легко и просто выполнить задание на вычисление суммы чисел.

Разберем правила пользования таблицей сложения натуральных чисел.

Известно, что операция сложения выглядит так:

Слагаемое №1 + Слагаемое №2 = Сумма

Таблица представляет собой квадрат, разбитый на десять строк и десять столбцов.

По верхнему краю и по левому краю пронумерованы ячейки от 1 до 10

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Алгоритм сложения двух натуральных чисел с помощью таблицы:

1. В самой верхней строке необходимо выбрать из десяти ячеек ту, в которой содержится значение первого слагаемого.

2. Выбрать в самом левом столбце ячейку, в которой находится значение второго слагаемого.

3. Суммой будет являться число, расположенное в ячейке, образованной пересечением соответствующих столбца и строки в поле таблицы.

Например, чтобы сложить два натуральных числа 4 и 7, нужно выполнить следующие действия:

1. В верхней первой строке таблицы найти ячейку со значением 4.
2. В левом крайнем столбце найти ячейку со значением 7.
3. На пересечении соответствующих столбца и строки находится ячейка с числом 11 — это число является суммой чисел 4 и 7.

Таким образом, 4 + 7 = 11

Такой же результат будет получен, если с помощью таблицы сложим 7 и 4.

1. Необходимо в первой строке таблиц найти число 7.
2. В левом крайнем столбце найти ячейку со значением 4.
3. На пересечении соответствующих столбца и строки также находится ячейка с числом 11 — это число является суммой чисел 7 и 4.

Таким образом, 7 + 4 = 11

Таблицей удобно пользоваться при сложении многозначных чисел по разрядам, если условно принять, что в таблице складываются десятки с десятками или сотни с сотнями, или тысячи с тысячами и т.д.

Пример:

Найдите сумму чисел 20 и 60 с помощью таблицы сложения натуральных чисел.

С помощью таблицы уже известным способом сложим числа 2 и 6, суммой данных чисел является ячейка со значением 8.

Условно представим, что ячейка со значением 2— это 2 десятка, ячейка со значением 6— это 6 десятков.

Следовательно, ячейка с результатом 8, образованная пересечением соответствующего столбца и строки, по смыслу означает 8 десятков.

20 + 60 = 80

Ответ: 80

Для перехода при сложении на следующий разряд вспомним, что каждые 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего (более высокого разряда).

Пример:

Вычислите по таблице сумму чисел 700 и 300.

С помощью таблицы уже известным способом сложим числа 7 и 3, суммой данных чисел является ячейка со значением 10

Условно представим, что ячейка со значением 7— это 7 сотен, ячейка со значением 3 означает 3 сотни.

Следовательно, ячейка с результатом 10, образованная пересечением соответствующего столбца и строки, по смыслу означает 10 сотен.

Нам известно, что 10 сотен = 1000

Таким образом, получаем 700 + 300 = 1000

Ответ: 1000

Пример:

Вычислите сумму 60 и 70 с помощью таблицы сложения.

По таблице сложения чисел видно, что 6 + 7 = 13

Следовательно, если сложить 6 десятков и 7 десятков, получим 13 десятков.

Так как число 13 состоит из 1 десятка и 3 единиц, то 13 десятков состоят из 10 десятков и 3 десятков.

10 десятков = 100

3 десятка = 30

Получим 100 + 30 = 130.

Ответ: 130

Конечно, таблица сложения натуральных чисел позволяет наглядно легко и быстро определить сумму чисел, но не всегда она находится под рукой.

2. Способ поразрядного сложения натуральных чисел.

Рассмотрим еще один способ определения суммы чисел.

Первым делом научимся представлять натуральные числа в виде суммы разрядных слагаемых.

Разрядные слагаемые натурального числа имеют ряд характерных признаков:

1. Разрядные слагаемые- это числа, в записи которых находится только одна цифра, отличная от нуля.

Например, 10, 200, 6000, 40000 и т.д.

2. Разрядные слагаемые одного натурального числа имеют разное количество знаков в своей записи (т.е. состоят из разного количества цифр).

3. Количество разрядных слагаемых натурального числа должно быть равно количеству цифр, отличных от нуля, в записи числа.

Сумма разрядных слагаемых— это запись многозначного числа, как суммы его разрядных единиц.

Сумма разрядных слагаемых равна исходному натуральному числу.

Любое натуральное число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых.

Для этого необходимо:

1. Определить по количеству цифр в числе количество разрядных слагаемых, отличных от нуля.

2. Определить количество единиц, десятков, сотен, тысяч и т.д.

3. Записать число в виде суммы разрядных слагаемых.

Пример:

Разложите натуральное число 2456 в виде суммы разрядных слагаемых.

Число 2456 представляет собой сумму четырех разрядных слагаемых (так как число состоит из 4 цифр, неравных нулю).

Число 2456 содержит:

2456 = 2 тысячи + 4 сотни + 5 десятков + 6 единиц = 2000 + 400 + 50 + 6

Рассмотрим алгоритм поразрядного сложения натуральных чисел.

1. Слагаемые разложить на разрядные слагаемые.

2. Выполнить сложение одноименных разрядов (единиц с единицами, десятки с десятками и т.д.) используя при этом переместительное и сочетательное свойства сложения.

Пример:

Найдите сумму чисел 245 и 25 способом последовательного поразрядного сложения.

Разложим первое и второе слагаемое на разрядные слагаемые.

245 = 2 сотни + 4 десятка + 5 единиц = 200 + 40 + 5

25 = 2 десятка + 5 единиц = 20 + 5

Выполним сложение одноименных разрядов чисел 245 и 25.

245 + 25 = 200 + 40 + 5 + 20 + 5 = 200 + (40 + 20) + (5 + 5) = 200 + (60 + 10) = 200 + 70 = 270

Получаем 245 + 25 = 270

Ответ: 270

3. Сложение натуральных чисел «столбиком»

Рассмотренный способ поразрядного сложения довольно громоздкий в оформлении и не очень удобный для определения суммы больших чисел или нескольких больших чисел.

Поэтому часто многозначные числа складывают в столбик.

Чтобы сложить натуральные числа данным способом, нужно записать слагаемые в столбик так, чтобы цифры одноименных разрядов находились друг под другом (единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями и т.д.).

При сложении столбиком самая правая цифра одного числа (разряд единиц первого слагаемого) должна располагаться под самой правой цифрой другого числа (разряд единиц второго слагаемого).

Нам известно, что от перестановки слагаемых сумма не меняется, следовательно, записывать слагаемые в столбик можно в любом порядке.

Затем слева между числами-слагаемыми ставится знак плюс «+».

Под нижним слагаемым проводится горизонтальная черта.

Сложение чисел начинается с разряда единиц (с крайнего правого столбца).

Складывают цифры одного разряда, результат записывают под горизонтальной чертой под тем разрядом, в котором выполнялось сложение.

Если в результате получается число меньше 10 (однозначное число), то оно записывается в столбик соответствующего разряда под чертой.

Если в результате получается двузначное число, то под чертой записывается значение разряда единиц полученного числа, а число десятков либо запоминается (держится в уме), либо подписывается сверху над следующим столбиком в дополнительной строке.

Далее складываются числа в следующем столбике, т.е. складываются значение следующего разряда слагаемых.

Действия совершаются аналогично изложенным выше, однако к суме еще добавляется число десятков, которые «держали в уме» (если такое было).

Соответственно, если получается однозначное число, его записывают под чертой в столбик соответствующего разряда.

Если число в результате сложения получается двузначное, то снова под линией записывается число единиц полученного промежуточного значения, а значение десятков запоминается или записывается в дополнительной строке.

Так происходит переход к следующему столбику (следующим разрядам слагаемых) и производятся все выше описанные действия.

Натуральное число, которое образуется после завершения операции сложения, является результатом суммы исходных чисел.

Пример:

Выполните сложение двух чисел 75806 и 2798.

Запишем два числа в столбик так, чтобы одноименные разряды стояли друг под другом.

Между числами поставим знак плюс «+», под нижним слагаемым проведем горизонтальную черту.

Складываем числа из правого столбца: 6 и 8.

Получаем число 14— двузначное число.

Под горизонтальной линией записываем число 4 (значение разряда единиц числа 14), а число 1 (значение разряда десятков числа 14) запоминаем.

Записываем запомненную 1 сверху в дополнительной строке над соседним столбцом.

Продолжаем вычисление, складываем цифры слагаемых, стоящих во втором столбце справа.

Так как 0 + 0 = 0, но была запомнена 1, то получим 0 + 0 + 1 = 1

Число 1— однозначное число, следовательно, его просто записываем под чертой в соответствующем разряде.

Переходим к следующему столбцу.

Складываем 8 и 9, при этом в памяти нет никаких запомненных чисел, поэтому больше ничего к ним не прибавляем

8 + 9 = 17

Получили двузначное число 17.

Следовательно, число 7 записываем под горизонтальной чертой (значение разряда единиц числа 17), а число 1 (значение разряда десятков числа 17) запоминаем.

Записываем запомненную 1 сверху в дополнительной строке над соседним столбцом.

Переходим к четвертому столбцу.

Складываем 5 и 7.

В памяти была запомнена 1, поэтому к сумме чисел 5 и 7 прибавляем 1.

5 + 7 + 1 = 13

Получили двузначное число 13.

Следовательно, число 3 записываем под горизонтальной чертой, а число 1 запоминаем, переносим в следующий разряд.

На последнем шаге складываем 2 и 7

2 + 7 = 9

К 9 прибавляем запомненную 1, получаем: 9 + 1 = 10

Так как 10 — двузначное число, число 0 записываем под горизонтальной чертой, а число 1 запоминаем.

Но в следующем столбце исходные слагаемые не имеют цифр, запомненную 1 сносим вниз и записываем под чертой.

Сложение двух натуральных чисел 75806 и 27908 завершено, сумма данных чисел равна 103714

75806 + 27908 = 103714

Ответ: 103714

Столбиком можно складывать различное количество слагаемых.

Алгоритм выполнения операции сложения в столбик нескольких слагаемых будет абсолютно аналогичным.

4. Группировка слагаемых и округление натуральных чисел.

Данный способ сложения натуральных чисел кратко уже был рассмотрен на прошлом уроке.

Известно, что число, которое оканчивается на нуль или несколько нулей, называют круглым числом.

С круглыми числами легко совершать арифметические операции.

Сложение способом округления натуральных чисел применяют, когда из слагаемых можно выбрать такие, которые в сумме будут давать круглые числа.

Разность между круглым и исходным числом называется арифметическим дополнением.

Чтобы произвести сложение многозначных натуральных чисел способом округления, необходимо:

1. Одно из слагаемых, которое близко к круглому числу, округлить.

2. Выполнить операцию сложения.

3. Из полученной суммы вычесть арифметическое дополнение.

Пример:

Найдите сумму чисел 1448 и 298

Округлим число 298 до 300, а затем вычтем из полученной суммы арифметическое дополнение, равное 2

Получим выражение вида:

1448 + 298 = (1448 + 300) — 2 = 1748 — 2 = 1746

Ответ: 1746

Совместно с данным способом сложения натуральных чисел используют группировку слагаемых и применяют основные свойства сложения.

При вычислении суммы, состоящей из трех и более слагаемых, удобно использовать переместительное и сочетательное свойство сложения, группируя слагаемые, объединяя их по определенному признаку с помощью скобок таким образом, чтобы в сумме они давали круглые числа.

Пример:

Найдите сумму чисел 46 + 28 + 134 + 61

Группируем числа так, чтобы в результате сложения этих чисел получалось круглое число.

Используя переместительное и сочетательное свойство сложения, переставим местами слагаемые и сгруппируем их.

46 + 28 + 134 + 61 = (46 + 134) + (28 + 61) = 180 + 89

Округлим число 89 до 90

В связи с этим из суммы чисел 180 и 90 вычтем арифметическое дополнение, равное 1

180 + 89 = (180 + 90) — 1 = 270 — 1 = 269

Ответ: 269

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Правила
арифметики во всех позиционных системах
аналогичны, и в двоичной позиционной
системе счисления выполнение арифметических
действий над двоичными числами задается
с помощью таблиц двоичного сложения,
вычитания и умножения. Основной операцией,
которая используется в цифровых
устройствах при выполнении различных
арифметических действий, является
операция алгебраического сложения
чисел,
т.
е. сложения, в котором могут участвовать
как положительные, так и отрицательные
числа. Вычитание легко сводится к
сложению путем изменения на обратный
знак вычитаемого, а операции умножения
и деления также сводятся к алгебраическому
сложению и некоторым логическим
действиям.

Сложение двух
чисел в двоичной системе счисления
выполняется на основе таблицы двоичного
сложения:

0 + 0 = 0,

0 + 1 = 1,

1 + 0 = 1,

1 + 1 = 10.

Двузначная сумма
в последнем случае означает, что при
сложении двух двоичных цифр, равных 1,
в каком-либо разряде двоичного числа
возникает перенос в соседний старший
разряд. Этот перенос должен быть прибавлен
к сумме цифр, образовавшейся в соседнем
разряде.

При сложении
двух многоразрядных двоичных чисел
цифры разрядов суммы формируются
последовательно, начиная с младшего
разряда. Цифра младшего разряда суммы
образуется суммированием цифр младших
разрядов слагаемых. При этом кроме цифры
разряда суммы формируется цифра переноса
в следующий, более старший разряд, если
оба младших разряда единицы. Таким
образом, в разрядах, начиная со второго,
могут суммироваться три цифры: цифры
соответствующего разряда слагаемых и
перенос, поступающий в данный разряд
из предыдущего. Пример сложения двух
многоразрядных двоичных чисел:

1 1 0 1 1 0 1 — первое
слагаемое

+

1
0 0 1 1 1 1
— второе слагаемое

0 1 0 0 0 1 0 — поразрядная
сумма без учета переносов

+

1
1 1 1
— переносы

10 1 1 1
1 0 0 — окончательная сумма

Непосредственно
под двумя слагаемыми записан результат
поразрядного сложения без учета переноса.
В тех разрядах, в которых оба слагаемых
равны единице, поразрядная сумма равна
0. В этих разрядах образовался перенос
в соседний старший разряд, который
отмечен в следующей строке. В результате
сложения строки поразрядных сумм со
строкою переносов получается окончательная
сумма. При сложении поразрядной суммы
с переносами удобно пользоваться
следующим правилом: если в результате
поразрядного суммирования образовалась
группа единиц, расположенных рядом, и
в младший разряд этой группы поступает
перенос 1, то он переводит все единицы
этой группы в нули, а ближайший за рядом
единиц 0 — в 1. Это правило можно
использовать при сложении следующих
чисел:

1 0 1 1 0 1 0 0 1 —
первое слагаемое

+

1
1 0 0 1 1 1 1 1 —
второе слагаемое

0 1 1 1 1 0 1 1 0 —
поразрядная сумма

+

1
1 1 —
переносы

1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 —
окончательная сумма

Использование
этого правила позволяет ускорить
формирование окончательной суммы.

Вычитание
двух чисел в двоичной системе
выполняется
на основе таблицы двоичного вычитания:

0 — 0 = 0,

1 — 0 = 1,

1 — 1 = 0,

10—1 = 1.

Если при поразрядном
вычитании приходится вычитать из нуля
в уменьшаемом единицу в вычитаемом, то
делается заем в соседнем старшем разряде,
т. е. единица старшего разряда представляется
как две единицы данного разряда. Вычитание
в этом случае выполняется в соответствии
с таблицей. Если в соседнем разряде или
в нескольких старших разрядах стоят
нули, то заем делается в ближайшем
старшем разряде, в котором стоит единица.
Эта единица представляется в виде суммы
числа, состоящего из единицы во всех
промежуточных разрядах, в которых
находились нули, и двух единиц в данном
разряде. Далее производится поразрядное
вычитание в соответствии с таблицей.
Естественно, что необходимости в
дополнительном заеме во всех промежуточных
разрядах появиться не может. Например,
при вычитании чисел

1 1 1 0 0 0 1 1 —
уменьшаемое

__1 1
0 1 1 (11) 1 1 — уменьшаемое с учетом заема

1
0 0 1 0 1 1 0 — вычитаемое

0 1 0 0 1 1 0 1 —
разность

В цифровой технике
операция вычитания с использованием
заема практически не применяется (за
исключением отдельных устройств) и
реализуется как алгебраическое сложение
с применением специальных кодов для
представления отрицательных чисел. При
этом операция вычитания сводится к
операции простого арифметического
сложения при помощи обратного и
дополнительного кодов, используемых
для представления отрицательных чисел.

Обратный
код
отрицательных
двоичных чисел может быть сформирован
по следующему правилу: цифры всех
разрядов, кроме знакового, заменяются
на обратные (инвертируются) — единицы
заменяются нулями, а нули единицами. В
знаковый разряд ставится единица
Обратное преобразование из обратного
кода в прямой производится по тому же
правилу. При использовании обратного
кода операция вычитания реализуется
как арифметическое сложение положительного
числа, представленного в прямом коде,
с отрицательным числом, представленным
в обратном коде. Например, при вычитании
из числа 10110 числа 01101 уменьшаемое
представляется как положительное число
в прямом коде 0
10110, а вычитаемое— как отрицательное
число в обратном коде 1
10010. В представлении чисел знаковые
разряды выделены полужирным шрифтом.
При выполнении операции арифметического
сложения над этими числами получаем
алгебраическую сумму

Перенос, возникающий
из знакового разряда, при использовании
обратного кода должен прибавляться в
младший разряд суммы. В данном примере
уменьшаемое по модулю больше вычитаемого,
поэтому алгебраическая сумма положительная
и представлена в прямом коде. При
изменении знаков слагаемых в приведенном
примере на обратные

1
01001 — первое слагаемое в обратном коде

+

0
01101
— второе слагаемое в прямом коде

1
10110 — сумма в обратном коде

результатом
сложения будет отрицательное число и
оно будет представлено в обратном коде.

Дополнительный
код
отрицательных
двоичных чисел может быть сформирован
по следующему правилу: цифры всех
разрядов, кроме знакового, инвертируются,
и в младший разряд прибавляется единица.
Дополнительный код может быть получен
и из обратного путем прибавления единицы
к младшему разряду обратного кода. При
этом в знаковый разряд отрицательного
числа в дополнительном коде ставится
единица. Обратное преобразование из
дополнительного кода в прямой производится
по тому же правилу.

При использовании
дополнительного кода для вычитания
двоичных чисел из предыдущего примера
получим

0
10110 — первое слагаемое в прямом коде

+

1
10011
— второе слагаемое в дополнительном
коде

0
01001 — сумма в прямом коде

При сложении
складываются цифры знаковых разрядов
с отбрасыванием возникающего из этого
разряда переноса. Алгебраическая сумма,
полученная в результате сложения,
является положительным числом и поэтому
представлена в прямом коде. Если знаки
слагаемых меняются на обратные:

1
01010 — первое слагаемое в дополнительном
коде

+

0
01101
— второе слагаемое в прямом коде

1
10111 — сумма в дополнительном коде

то результат
сложения есть отрицательное число и
оно оказывается представленным в
дополнительном коде.

При
алгебраическом сложении двоичных чисел
в образовавшейся сумме возможно
переполнение разрядной сетки, которое
заключается в том, что результат операции
— сумма содержит большее число разрядов,
чем число разрядов в устройстве,
предназначенном для их хранения. Для
выявления переполнения разрядной сетки
используется модифицированный код.
В нем два знаковых разряда и в обоих
разрядах положительные числа содержат
нули, а отрицательные числа — единицы.
Выполнение операций суммирования с
использованием модифицированного
дополнительного или модифицированного
обратного кода производится по
сформулированным выше правилам. Если
результат суммирования содержит в
знаковых разрядах комбинации 01
или 10,
то это служит признаком переполнения
разрядной сетки. Например, при сложении
чисел

00
11011 — первое слагаемое в прямом
модифицированном коде

+

11
01011
— второе слагаемое в дополнительном
модифицированном коде

00
00110 — сумма в прямом модифицированном
коде

Переполнения
разрядной сетки не возникает. Перенос
из старшего знакового разряда
отбрасывается. При сложении чисел 00
10110 и 00
11011

00
10110

+

00
11011

01
10001

в
знаковых разрядах результата суммирования
возникает комбинация 01,
что свидетельствует о переполнении
разрядной сетки и ошибочности
зафиксированного результата. Возникновение
ошибки связано с тем, что при суммировании
положительных чисел перенос из старшего
разряда оказался зафиксированным во
втором из знаковых разрядов. Для
регистрации результата суммирования
в данном примере требуется шесть разрядов
(кроме знаковых). При суммировании
отрицательных чисел также возможно
переполнение разрядной сетки;

11
010011

+

11
100011

10
110110

В
этом случае комбинация 10
в знаковых разрядах указывает на
переполнение разрядной сетки.

Умножение
двоичных многоразрядных чисел
включает
в себя операции — определение знака
произведения и определение его абсолютной
величины. Знаковый разряд может быть
получен суммированием цифр знаковых
разрядов сомножителей без формирования
переноса:

0 + 0 = 0,

0 + 1 = 1,

1 + 0 = 1,

1 + 1 = 0 без формирования
переноса

При несовпадении
цифр получается 1, что соответствует
знаку произведения двух сомножителей
с разными знаками.

Абсолютная
величина значения произведения
определяется путем перемножения чисел
без учета их знаков. Перемножение
многоразрядных двоичных чисел производится
на основе таблицы двоичного умножения

0 x 0 = 0,

0 x 1 = 0,

1 х 0 = 0,

1 х 1 = 1.

При умножении двух
двоичных чисел множимое последовательно
умножается на каждую цифру множителя,
начиная либо с младшей, либо со старшей,
и для учета веса соответствующей цифры
множителя сдвигается либо влево, если
умножение производится, начиная с
младшего разряда множителя, либо вправо,
если умножение производится, начиная
со старшего разряда множителя, на такое
число разрядов, на которое соответствующий
разряд множителя сдвинут относительно
младшего или старшего разряда.

Получающиеся в
результате умножения и сдвига частичные
произведения после суммирования дают
полное произведение. Особенность
умножения двоичных чисел состоит в том,
что частичное произведение может быть
либо сдвинутым на соответствующее число
разрядов множимым, если соответствующая
цифра множителя равна 1, либо нулем, если
соответствующая цифра множителя равна
0:

10111 —
множимое

______1101
— множитель

10111 — первое
частичное произведение

00000 — второе
частичное произведение

10111
— третье частичное произведение

10111_____—
четвертое частичное произведение

100101011
— произведение

Тот же результат
можно получить при умножении, начиная
со старших разрядов множителя:

10111

^х
1101

10111

10111

00000

10111

100101011

В цифровых
устройствах процессу суммирования
частичных произведений придают
последовательный характер: формируется
одно из частичных произведений, к нему
с соответствующим сдвигом прибавляется
следующее частичное произведение, к
полученной сумме прибавляется с
соответствующим сдвигом очередное
частичное произведение, и т. д., пока не
окажутся просуммированными все частичные
произведения и не будет получено полное
произведение.

Пример умножения
чисел этим методом:

10111 — четвертое
частичное произведение

101110 — сдвиг
на разряд влево

_10111
— третье частичное произведение

1000101 —прибавление
третьего частичного произведения

10001010 — сдвиг на
разряд влево

00000
— второе частичное произведение

10001010
— прибавление второго частичного
произведения

100010100 — сдвиг на
разряд влево

10111
— первое частичное произведение

100101011 — прибавление
первого частичного произведения

При таком методе
все частичные произведения суммируются
с требуемыми сдвигами друг относительно
друга, благодаря чему образуется ранее
приведенный результат умножения этих
чисел.

При умножении
дробных чисел меньше единицы умножение
удобнее начинать с младшего разряда
множителя. Так, при перемножении дробных
чисел 0,10111 и 0,1101 получим

0,10111: —
первое частичное произведение

0,01011: 1 — сдвиг
на разряд вправо

+

00000:

— второе частичное произведение

0,01011: —
прибавление второго частичного
произведения

0,00101: 11 — сдвиг
на разряд вправо

+

10111:
— третье частичное произведение

0,11100: 11 —
прибавление третьего частичного
произведения:

0,01110: 011 — сдвиг
на разряд вправо

+

10111:
— четвертое частичное произведение

1,00101: 011 —
прибавление четвертого частичного
произведения

0,10010: 1011— сдвиг
на разряд вправо

Если
требуется сохранить все разряды в
произведении, то в разрядной сетке
устройства должно быть предусмотрено
число разрядов, равное сумме числа
разрядов множимого и множителя. Однако
при умножении дробных чисел часто в
произведении требуется иметь то же
число разрядов, что и в множимом. В таком
приближенном представлении результата
не фиксируются цифры разрядов при
сдвигах, выдвигаемые правее вертикальной
штриховой линии, показанной в приведенном
выше примере. Таким образом, цифры
младших разрядов окажутся потерянными
и будет получен приближенный результат
0,100101. Далее отбрасывается последний из
разрядов, и если этот разряд содержит
1, то 1 прибавляется к следующему разряду
для округления результата. Следовательно,
полученный результат 0,10011.

Если
множимое, или множитель, или оба вместе
содержат и целую и дробную части, то
запятые в множимом и множителе не
учитываются, они умножаются как два
целых числа и от полученного произведения
справа отделяются запятой т+п
разрядов,
где п
—
число дробных разрядов множимого, a
m
— число дробных разрядов множителя.

Деление
двоичных многоразрядных чисел
включает
в себя две операции — определение знака
частного и определение его абсолютной
величины.

Знаковый разряд
частного может быть получен, как и
знаковый разряд произведения, суммированием
цифр знаковых разрядов делимого и
делителя без формирования переноса.
Абсолютная величина частного определяется
делением чисел без учета их знаков.

Деление начинается
с того, что от делимого слева отделяется
группа разрядов, причем количество
разрядов в этой группе должно либо
равняться количеству разрядов в делителе,
либо быть на один разряд больше. Если
отделение такой группы возможно, в
старший разряд частного записывается
1, в противном случае в разряд единиц
частного записывается нуль. Если
выявилось, что частное содержит целую
часть, то образуется новая группа
разрядов путем вычитания из выделенной
группы делителя и приписывания к разности
очередной цифры делимого. Если в
результате получилось число, превышающее
делитель, то в частное записывается 1,
в противном случае следующая цифра
будет равна 0.

В дальнейшем
выполняется ряд одинаковых циклов. Если
последняя цифра частного была равна 1,
то новая группа образуется вычитанием
делителя из предыдущей группы и
приписыванием очередной цифры делимого.
Если последняя цифра частного 0, то для
образования новой группы достаточно
приписать к предыдущей группе очередную
цифру делимого. Последняя цифра целой
части частного получается тогда, когда
после определения очередной цифры
частного 1 или 0 в делимом не останется
больше цифр для того, чтобы приписывать
их к разности между предыдущей группой
и делителем или к самой предыдущей
группе. После этого начинается выделение
дробных членов частного. Оно отличается
от вычисления целых членов только тем,
что вместо очередных цифр делимого к
предыдущим группам приписываются нули.

Рассмотрим примеры,
в которых делимое больше и меньше
делителя:

В цифровых
устройствах при выполнении операции
деления так же, как и при выполнении
операции алгебраического сложения,
используется дополнительный и
модифицированный коды. Например, при
делении числа 0,11011 на 0,11101 представляем
делитель в дополнительном коде 00011:

При вычитании
сдвинутые делители представляются в
дополнительном коде.

Для
ускорения деления используется деление
без восстановления остатка.
При
этом способе допускаются как положительные,
так и отрицательные остатки при вычитании
делителя. Если очередной остаток
положителен, то в частное пишется 1, а
на следующем цикле работы делитель
вычитается из сдвинутого на один разряд
влево остатка. Если же очередной остаток
отрицателен, то в частное пишется 0, а
на следующем цикле работы делитель
прибавляется к сдвинутому на один разряд
влево остатку.

Например,
при делении числа N₁=
10011 на число N₂=0,11001
по способу без восстановления остатка
при переходе к модифицированным
дополнительным кодам получим N₁
= 00
10011, N₂=00
11001,

—N₂=11
100111:

Как видно из
приведенных примеров, деление является
весьма трудоемкой операцией. В ряде
случаев в цифровых устройствах эта
операция заменяется нахождением обратной
величины делителя по специальной
подпрограмме и последующим умножением
делимого на найденную обратную величину
делителя, которая вычисляется приближенно
на основе какой-либо быстро сходящейся
итерационной формулы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Представляю решение 16 задания ОГЭ 2016 по информатике из демоверсии. По сравнению с демоверсией 2015 года, 16 задание не изменилось. Это задание на умение исполнить алгоритм, записанный на естественном языке, обрабатывающий цепочки символов или списки (уметь выполнять базовые операции над объектами: цепочками символов, числами, списками, деревьями; проверять свойства этих объектов; выполнять и строить простые алгоритмы). Это задание повышенного уровня сложности, ответом к нему является целое число, которое нужно записать в поле ответа. Примерное время выполнения задания 7 минут.

Скриншот 16 задания.

Задание:

Автомат получает на вход трёхзначное десятичное число. По полученному числу строится новое десятичное число по следующим правилам.
1. Вычисляются два числа – сумма старшего и среднего разрядов, а также сумма среднего и младшего разрядов заданного числа.
2. Полученные два числа записываются друг за другом в порядке невозрастания (без разделителей).
Пример. Исходное число: 277. Поразрядные суммы: 9, 14. Результат: 149.

Определите, сколько из приведённых ниже чисел могут получиться в результате работы автомата.
1616 169 163 1916 1619 316 916 116
В ответе запишите только количество чисел.

Ответ: __

Определимся с условиями задания:
— максимальной цифрой в разряде может быть 9, значит поразрядные суммы не могут быть больше 18 (9 + 9), поэтому если одно из чисел (как в числе 1916 19) больше 18, то число не подходит,
— отпадают и числа с возрастающими суммами (например как в числе 916 — 9 и 16).

1) Убираем из списка числа с возрастающими суммами
1619 (16 и 19)
316 (3 и 16)
916 (9 и 16)
Остаются — 1616, 169, 163, 1916, 116.

2) Удаляем и уже рассмотренное нами число 1916, т.к 19 получиться не может (больше 18).

3) Разбираемся с оставшимися — 1616, 169, 163, 116. Все ли они могут получиться как результат сложения.
1616 — поразрядные суммы 16 и 16 — исходное число 888. (подходит)
169 — поразрядные суммы 16 и 9 — исходными могут быть числа 972 и 881. (подходит)
163 — поразрядные суммы 16 и 3 — 16 может получиться только как сумма 8+8 или 7+9, но тогда мы не получим 3.
116 — поразрядные суммы 11 и 6 — исходными могут быть числа 560 и 651. (подходит)
Значит наши искомые числа 1616, 169, 116 — всего 3

Ответ: 3

Опубликовано: 26.02.2016
Обновлено: 12.03.2020

Научные статьи на тему «Поразрядные операции (&, |, ^)»

Алгоритм шифрования AES

В данном поле определяются операции сложения и умножения двух компонентов, итогом которых тоже будет…
Приведем анализ каждой из операций:

Сложение осуществляется при помощи операции xor, то есть сложение…
Операция должна выполняться над двоичными числами поразрядно, то есть, если имеется два байта $P = {p…
Операция умножения….
Преобразование AddRoundKey является раундовым ключом, который поэлементно добавляется к state при помощи поразрядного

Статья от экспертов

Метод оценки автокорректирующих свойств поразрядных логических операций

Предлагается методика оценки автокорректирующих свойств поразрядных логических операций путем вычисления вероятности получения правильного результата при заданных вероятностях искажений цифр операндов.

Арифметические основы вычислительной техники

Выполнение суммирования найденной поразрядной суммы и единицы переноса, образованной в ближайшем младшем…
При компьютерном осуществлении операции суммирования вначале определяется поразрядная сумма операндов…
При определении поразрядных сумм и учёте появившихся переносов применяется
специальная классификация…
и операции суммирования, и операции вычитания….
Практически всегда есть только операция сложения, а операция вычитания выполняется путём суммирования

Статья от экспертов

Разработка базовых компонентов цифровых устройств, реализуемых на базе ПЛИС FPGA фирмы Xilinx®, с помощью генератора параметризированных модулей core Generator (часть 5)

Для создания элементов, выполняющих поразрядные логические операции над входными данными предусмотрено три ядра.