Как найти порядок числа 8 класс

Стандартный вид положительного числа (a) — запись этого числа в виде a0⋅10m, причём 1≤a0<10, a число (m) — целое. Число (m) является порядком числа (a).

Итак, для того чтобы любое число было записано в стандартном виде, нужно, чтобы запятая стояла в числе a0 сразу после первой значащей цифры.

По определению стандартного вида числа следует, что в стандартном виде в целой части числа (до запятой) может содержаться только одна цифра. Все остальные цифры должны стоять после (справа от) запятой.

Наверняка, в физике, биологии, химии или
географии вы сталкивались, как с очень большими, так и очень малыми
положительными числами.

Например

Скажите с такими числами удобно выполнять
математические расчёты? Конечно же, нет. В обычном десятичном виде большие и
малые числа неудобно читать и записывать, неудобно выполнять над ними
какие-либо действия. В таком случае полезным оказывается представление числа в
виде

Например:  

Тогда

Говорят, что мы записали числа в стандартном
виде. В таком виде можно представить любое положительное число.

Определение:

Стандартным видом числа  называют его
запись в виде: , где  и
 –
целое число.

Число  называется
порядком числа .

Например

Если порядок числа  равен , то это означает,
что .

Если порядок числа  равен , то это означает,
что .

Большой положительный порядок
показывает, что число очень велико.

Большой по модулю отрицательный порядок
показывает, что число очень мало.

, где  и  – целое число

По определению стандартного вида числа
следует, что в стандартном виде в целой части числа (до запятой) может
содержаться только одна цифра.

Все остальные цифры должны стоять после
(справа) от запятой.

Порядок числа даёт представление о том,
насколько велико или мало это число.

В стандартном виде можно записать не только
большое или малое, но и любое число.

Для того чтобы привести число к стандартному виду, надо:

1. Перенести в нём запятую так, чтобы она была сразу
после первой значащей цифры.

2.
полученное число умножить на , где  подбирается так, чтобы произведение было равно
данному числу.

Значащей цифрой числа
называют его первую (слева направо) отличную от нуля цифру, а также все
последующие за ней цифры.

Пример: представим в
стандартном виде число.

Решение:

Задание: запишите число в
стандартном виде.

Решение:

Задание: запишите в
стандартном виде число, равное значению произведения х и у.

Решение:

Итоги:

Стандартным видом числа  называют его запись
в виде: , где  и  – целое число.

Число
 называется порядком числа .

Для
того, чтобы привести число к стандартному виду, надо перенести в нём
запятую так, чтобы она была сразу после первой значащей цифры, и полученное
число умножить на , где  подбирается так, чтобы произведение было равно
данному числу.

Стандартным видом действительного положительного числа a называется его представление в виде a = a0*10^m, где a0 – действительное число, принадлежащее промежутку [1; 10), называемое мантиссой числа, m – целое число, называемое порядком числа.

Для каждого положительного числа a существует и притом единственная пара чисел (a0; m) из указанных множеств, такая, что для него справедливо представление в стандартном виде с мантиссой a0 и порядком m. Обратно, для каждой такой пары чисел a0 и m существует и притом единственное число a с мантиссой a0 и порядком m.

Поэтому чтобы записать положительное число a в стандартном виде, нужно найти его мантиссу и порядок. В десятичном представлении числа его порядок можно определить так. Если число больше или равно 1, то порядок равен количеству цифр в числе, стоящих перед запятой, уменьшенному на 1. Если число целое (т.е., запятой нет), то её можно поставить после последней цифры числа. Если же число меньше 1, то оно имеет вид в десятичной записи: 0,… (после многоточия идут цифры), то порядок числа равен количеству всех нулей, стоящих перед первой ненулевой цифрой, включая 0 перед запятой, взятому со знаком “-“. Чтобы найти мантиссу числа, нужно передвинуть запятую в нём так, чтобы она стояла сразу же после первой ненулевой цифры. Тогда модуль порядка показывает, на сколько разрядов была передвинута запятая, а знак порядка – направление переноса запятой – влево в случае положительного порядка и вправо в случае отрицательного. Видим, что порядок числа можно находить двумя способами: считая количество цифр перед запятой либо количество нулей перед первой ненулевой цифрой, либо по количеству разрядов, на которые переносится запятая для определения мантиссы (равно модулю порядка) и направлению этого переноса (показывает знак порядка).

Если количество цифр перед запятой, исключая цифру 0, равно 1, то порядок числа равен нулю, а мантисса числа совпадает с самим числом.

Пример: Записать в стандартном виде следующие числа: а) 235,61; б) 0,000689; в) 4,381. Найти их мантиссу и порядок.

Удобнее решать пример с конца, т.е. с нахождении мантиссы и порядка.

а) Число цифр перед запятой равно 3, уменьшаем это число на 1 и получаем 2 – это порядок числа. Чтобы найти мантиссу, передвинем запятой к первой цифре справа: мантисса равна 2,3561. Обратим внимание: запятую передвинули на 2 разряда влево, значит порядок числа равен +2 или просто 2.

б) Число меньше 1. Значит, порядок отрицательный. Считаем число нулей, включая 0 перед запятой, получаем 4. Значит, порядок числа равен -4. Мантиссу находим, передвигая запятую к первой ненулевой цифре справа, получаем 6,89. Запятую передвинули на 4 разряда вправо, значит порядок числа равен -4 (порядок отрицательный, поскольку перенос запятой осуществлялся вправо).

в) Число цифр перед запятой равно 1, отнимаем 1 и получаем 0 – это порядок числа. При определении мантиссы запятую передвигать не нужно, поскольку она уже стоит после первой цифры. Значит, мантисса равна 4,381, а порядок 0, поскольку переноса запятой не было.

Теперь мы можем представить все три числа в стандартном виде:

а) 235,61 = 2,3561*10^2

б) 0,000689 = 6,89*10^(-4)

в) 4,381 = 4,381*10^0

Обратим внимание, что во всех трёх случаях мантисса принадлежит промежутку [1; 10), а порядок – целое число. Кроме того, можно заметить, что саму степень десятки 10^m с целым показателем можно представить в виде 1*10^m. Здесь мантисса равна 1, а порядок m. Поэтому в промежуток мантиссы в определении записи стандартного вида положительного числа включается 1 и не включается 10. Если мы в этот промежуток включим 10, то получим, что степень десятки с целым показателем m можно записать в стандартном виде двумя разными способами: с мантиссой 1 и порядком m (1*10^m) и с мантиссой 10 и порядком m-1 (10*10^(m-1)), а это неудобно.

Указанное определение было дано для положительных чисел, поскольку сделать это удобнее именно так. Для отрицательных чисел запись числа в стандартном виде можно определить так: представить в стандартном виде модуль этого числа, а затем поставить перед мантиссой знак “-“.

Пример: представить в стандартном виде число -45426.

Решение. Модуль данного числа равен 45426. Найдём его мантиссу и порядок. Это целое число, запятой в его записи нет, поэтому условно ставим её после последней цифры: 45426, а затем переносим так, чтобы она стояла после первой цифры. Получим 4,5426. Это и есть мантисса. Запятую передвинули на 4 разряда влево, значит порядок числа равен 4. Его можно было найти и по-иному, посчитав количество цифр в данном числе (5), а потом уменьшив его на 1: 5-1 = 4.

Теперь записываем модуль заданного числа в стандартном виде и ставим перед мантиссой знак “-“. Получаем: -45426 = -4,5426*10^4. Мантисса числа равна -4,5426, а порядок равен 4. Обратим внимание, что мантисса не принадлежит промежутку [1; 10), но в этом нет противоречия, поскольку соответствующее определение, в котором участвует этот промежуток, было дано для положительных чисел, а для отрицательных оно было дано по-иному. Также заметим, что мантисса отрицательного числа принадлежит промежутку (-10; -1]. Порядок же, как и для положительного числа, принадлежит множеству целых чисел.

После того, как мы разобрали определение записи числа в стандартном виде для положительных и отрицательных чисел, осталось разобрать число 0. Считается, что 0 не имеет порядка, поскольку его нельзя представить однозначным образом в стандартном виде. Действительно, пусть 0 = a0*10^m. Для любого m степень 10^m не равна нулю, поэтому мантисса a0 равна 0. В этом случае порядок m не есть какое-то определённое число, а в качестве такового можно выбрать любое целое число. Поэтому число 0 нельзя представить в стандартном виде.

В естественных языках встречаются выражения вроде «на порядок больше», «на много порядков больше», «на пару порядков меньше».
Строго говоря эти словосочетания соответственно означают «примерно в десять раз больше», «примерно в 10^n раз больше, где n — достаточно велика», «примерно в 100 раз меньше», так как обычно подразумеваются десятичные порядки.
В переводах с английского встречается буквальное словосочетание “он получал шестизначную сумму”, что соответствует “он получал порядка 10**5” или, иначе говоря, сумму от 100 000 до чуть менее миллиона, т. е. зарплату более 100 000 долл в год.
Однако все чаще в русском языке встречаются например выражения такие: “было жарко и температура воды была порядка 30 градусов”, в смысле “приблизительно 30 градусов”.
С точки зрения истинного смысла слова “порядок” такое выражение не имеет смысла.
Ведь цифра помноженная на 10 в первой степени может быть и 10 градусов, и 90 градусов, а это уже не теплая вода, а или очень холодная, или смертельно-горячая.

в данном случае порядок определяется степень числа 10, смотря какое число ты выберешь сам….
можешь 2.03*10^(-2) или 20.3*10^(-3) или 203*10^(-4)…

Примеры

Пример 1. Выполните действия и запишите результат в стандартном виде:

$ а) (4,1 cdot 10^7 )^2 cdot 3,9 cdot 10^{-8} = 4,1^2 cdot 3,9 cdot 10^{14-8} = 65,559 cdot 10^6 = 6,5559 cdot 10^7 $

$ б) (9,3 cdot 10^{-9})^2:(3 cdot 10^{-10} ) = frac{9,3^2}{3} cdot 10^{-18+10} = 28,83 cdot 10^{-8} = 2,883 cdot 10^{-7} $

Пример 2. Сравните числа:

$а) 5,8 cdot 10^9 и 4,7 cdot 10^{10}$

У второго числа порядок больше. Значит: $5,8 cdot 10^9 lt 4,7 cdot 10^{10}$

$ б) 3,7 cdot 10^5 и 2,8 cdot 10^5 $

Порядки чисел одинаковы, мантисса первого числа больше.

Значит: $3,7 cdot 10^5 > 2,8 cdot 10^5$

$ в) 3,7 cdot 10^{-8} и 2,5 cdot 10^{-9}$

У первого числа порядок больше $-8 gt -9$. Значит: $3,7 cdot 10^{-8} > 2,5 cdot 10^{-9}$

$г) 2,1 cdot 10^{-7} и 2,5 cdot 10^{-7}$

Порядки чисел одинаковы, мантисса второго числа больше.

Значит: $2,1 cdot 10^{-7} lt 2,5 cdot 10^{-7}$

Пример 3. Найдите массу одной молекулы углекислого газа в граммах.

Из таблицы Менделеева находим молярную массу молекулы $CO_2$:

$$ μ(CO_2 ) = 12+2 cdot 16 = 44 (frac{г}{моль}) $$

Количество молекул газа в одном моле определяется числом Авогадро:

$$ N_A = 6,022 cdot 10^{23} (frac{1}{моль}) $$

Масса одной молекулы: $m_0 = frac{μ(CO_2 )}{N_A} $

Получаем:

$$ m_0 = frac{44}{6,022 cdot 10^{23}} approx 7,3 cdot 10^{-23} (г) $$

Ответ: $7,3 cdot 10^{-23}$

Пример 4. Космический аппарат «Вояджер-1» находится сейчас (август 2022 г.) на расстоянии 156,98 а.е. от Земли (https://voyager.jpl.nasa.gov/mission/status/). Через сколько часов мы принимаем радиосигнал после того, как он был передан аппаратом?

1 а.е. (астрономическая единица) = 149 597 870 700 м approx 1,496 cdot 10^{11} м

Скорость распространения радиосигнала (скорость света)

$ c = 299 792 458 frac{м}{с} approx 3 cdot 10^8 frac{м}{с}$

Получаем время приёма:

$$ t = frac{s}{c}, t = frac{156,98 cdot 1,496 cdot 10^{11}}{3 cdot 10^8} approx 7,8 cdot 10^4 (с) approx 21,74 (ч) = 21 ч 44 мин $$

Таким образом, «Вояджер-1» спустя 45 лет находится от нас на расстоянии ≈ 21,7 световых часов.

Ответ: 21 ч 44 мин

Пример 5. Космический аппарат «Вояджер-1» спустя 45 лет находится от Земли на расстоянии 21,7 световых часов (см. Пример 4). Сколько тысячелетий ему понадобится, чтобы с такой скоростью добраться до ближайшей звезды Проксима Центавра, которая расположена примерно в 4,244 световых года от нас?

Запишем соотношение:

45 лет – 21,7 св.ч

x лет – 4,244 св.г

Переведём световые годы в световые часы:

$4,244 св.г = 4,244 cdot 365 cdot 24 св.ч approx 3,718 cdot 10^4 св.ч$

Получаем:

$$ x = frac{45 cdot 3,718 cdot 10^{4}}{21,7} approx 77,1 тыс.лет $$

Ответ: $approx 77,1 тыс.лет$