Когда мы работаем с различными математическими выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий: деление и умножение, сложение и вычитание степеней и др. Когда нужно сделать расчет и преобразование или вычитание значение, очень важно соблюдать правильную очередность или расстановку этих действий. Другими словами, действия в арифметике имеют свой особый порядок выполнения. Порядок действий в математике и для любого математика крайне важен.
В этой не слишком длинной и сложной статье мы расскажем, какие действия должны делаться математически в первую очередь, а какие после (к примеру, сначала идет деление или умножение). Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения или символы, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения (к примеру, пять плюс ноль равно пять). Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует решать эти примеры по действиям. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах по действиям, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.
Порядок вычисления простых выражений
В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:
- Все действия выполняются слева направо.
- Сперва мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение (нужно прибавлять). Теперь понятен ответ на вопрос, что первое деление или умножение.
Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.
Возьмем для наглядности этого двойного правила несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро получить проверочные результаты.
Условие: вычислите, сколько будет 7−3+6.
Решение
В нашем выражении или высказывании, которое обычно решают средние классы, скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Вначале делаем минус три из семи, затем делаем плюс к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:
7−3+6=4+6=10
Ответ: 7−3+6=10.
Условие: в каком порядке будут выполняться вычисления в выражении 6:2·8:3?
Решение
Чтобы дать ответ на этот вопрос, что делается первым деление или умножение, перечитаем правило для выражений без кавычек (скобок), сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок того, что нужно вычесть, и считаем последовательно слева направо.
Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.
Условие: подсчитайте, сколько будет 17−5·6:3−2+4:2.
Решение
Сначала определим верный порядок действий (приоритетность), поскольку у нас здесь есть все основные компоненты арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо делить и перемножать. Что сначала деление или умножение? Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке слева направо. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30, потом 30 разделить на 3 и получить 10. После этого делим 4 на 2, это 2. Подставим найденные значения в исходное выражение:
17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2
Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:
17−10−2+2=7−2+2=5+2=7
Ответ: 17−5·6:3−2+4:2=7.
Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно расставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:
.
Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.
Что такое действия первой и второй ступени
Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.
К действиям первой ступени относятся действия, где нужно вычитать и слагать, а ко второй – умножать и делить.
Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:
В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).
Решение примеров по действиям в выражениях со скобками
Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:
Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.
Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.
Условие: вычислите, сколько будет равно 5+(7−2·3)·(6−4):2.
Решение
В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7−2·3. Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:
7−2·3=7−6=1
Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6−4=2.
Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:
5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2
Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:
5+1·2:2=5+2:2=5+1=6
На этом вычисления можно закончить.
Ответ: 5+(7−2·3)·(6−4):2=6.
Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такое задание.
Условие: вычислите, сколько будет 4+(3+1+4·(2+3)).
Решение
У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3+1+4·(2+3), а именно с 2+3. Это будет 5. Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3+1+4·5. Мы помним, что сначала надо умножать, а потом слагать: 3+1+4·5=3+1+20=24. Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4+24=28.
Ответ: 4+(3+1+4·(2+3))=28.
Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.
Допустим, нам надо найти, сколько будет (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4−6:2=4−3=1, исходное выражение можно записать как (4+(4+1)−1)−1. Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4+1=5. Мы пришли к выражению (4+5−1)−1. Считаем 4+5−1=8 и в итоге получаем разность 8-1, результатом которой будет 7.
Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями
Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.
Разберем пример такого вычисления.
Условие: найдите, сколько будет (3+1)·2+62:3−7.
Решение
У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 62=36. Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3+1)·2+36:3−7.
Дальше действуем по знакомому алгоритму: считаем, сколько у нас получится в скобках, потом в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а следом – сложение и вычитание (слагаемое и вычитаемое).
(3+1)·2+36:3−7=4·2+36:3−7=8+12−7=13
Ответ: (3+1)·2+62:3−7=13.
В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.
Порядок действий в математике
Какое действие выполнить в первую очередь: сложение или умножение? Простые для внимательного школьника примеры вида 2 + 2 × 2 не всякий взрослый решит правильно. Разберемся вместе, как без ошибок решать числовые выражения со скобками и без.
Решайте математические и логические задачи и примеры на ЛогикЛайк!
Выберите возраст для старта
Более 5500 увлекательных заданий для развития математических
способностей и логического мышления — в онлайн‑курсе ЛогикЛайк.
Для чего нужен порядок действий?
Большинство действий, которые мы выполняем в жизни имеют свой порядок. Согласитесь, чтобы пойти в магазин вы сначала одеваетесь, а затем выходите на улицу, а не наоборот. Так же и в математике, у арифметических действий есть своя очередность, которую необходимо соблюдать.
Вы уже решали простые примеры на сложение, вычитание, умножение или деление. Более сложные примеры называют числовыми выражениями, они содержат два, три и даже больше действий.
7 – 4 + 10
6 + 4 ∙ 5 – 3
60 – 24 : 8 + 2 × 4
Чтобы правильно решить подобные примеры, нужно знать какое действие выполняется раньше других.
Кто придумал порядок действий?
В 1560 году французский логик и математик Пьер де ла Раме в своей книге «Алгебра» впервые применил определенный способ выполнения последовательности действий.
Порядок действий в примерах и картинках
Вам задали решить длинный пример – не паникуйте, это проще простого, если знать порядок действий.
Порядок действий – это определенная последовательность выполнения цепочки арифметических действий.
В каком порядке выполнять действия?
Первыми всегда выполняются действия в скобках с учетом приоритетности. Приоритет действий: умножение или деление выполняются раньше, чем сложение или вычитание. При равном приоритете действия выполняются слева направо.
- Скобки (если они есть)
- Умножение или деление
- Сложение или вычитание
Порядок действий в выражениях без скобок
Вычислим значение выражения, применяя порядок выполнения действий.
Порядок выполнения равнозначных действий
- Умножение и деление равнозначны. Если умножение стоит слева от деления, то умножение выполняется первым. Если деление находится слева от умножения, сначала выполняется деление.
- Сложение и вычитание равнозначны. Если сложение стоит слева от вычитания, то сложение выполняется первым. Если вычитание находится слева от сложения, сначала выполняется вычитание.
Равнозначные действия выполняются по очереди слева направо.
Пример: 12 + 6 – 8
В данном выражении нет скобок и знаки равнозначные по очередности (сложение, вычитание), значит выполнять их мы будем по очереди слева направо.
12 + 6 – 8
18 – 8 = 10
Получаем результат 10.
Пример: 6 + 4 × 8 – 7
В данном выражении нет скобок, значит сначала мы будем выполнять умножение.
6 + 4 × 8 – 7
6 + 32 – 7
Когда остается два равнозначных действия, мы будем их выполнять слева направо по порядку. В данном случае сначала выполним сложение, а затем вычитание.
6 + 32 – 7
38 – 7
Получаем результат 31.
Если действия записаны в скобках, выполнение порядка действий сохраняется внутри скобок.
Как ЛогикЛайк может помочь родителям?
Выберите основную цель занятий
Порядок действий в выражениях со скобками
Пример: (4 + 3 × 2) ÷ (12 ÷ 4 – 3)
Начнем со скобок. В каждой скобке мы должны начинать с самой важной операции.
(4 + 3 × 2) ÷ (12 ÷ 4 – 3)
Если в примере две или более скобок – начинаем их решать слева направо. В левой скобке есть сложение и умножение. Начинаем с умножения, которое приоритетнее, «главнее» сложения.
(4 + 3 × 2) ÷ (16 ÷ 2 – 3)
В правой скобке в первую очередь выполним деление – оно приоритетнее, чем вычитание.
(4 + 6) ÷ (16 ÷ 2 – 3)
(4 + 6) ÷ (8 – 3)
Заканчиваем решение в каждой скобке.
(4 + 6) ÷ (8 – 3)
Остается только разделить.
10 ÷ 5 = 2
Получаем результат 2.
Решите выражения, расставляя порядок действий над знаками:
5 · 8 + 4 · 6 + 15 – 14 =
9 · 5 – 19 + 6 · 6 – 3 · 4 =
32 : 4 · 6 : 8 + 6 · 3 – 17 =
27 + 7 · 8 – 35 : 35 =
6 · 5 – 12 : 6 · 3 + 49 =
42 : 6 + 28 – 3 · 6 =
32 : 4 · 6 : 8 + 6 · 3 – 17 =
9 · 7 – 3 · 7 + 29 – 24 : 4 =
48 : 6 + 33 – 54 : 9 + 7 · 4 =
Подключайтесь к ЛогикЛайк!
Развивайте логику, интеллект и расширяйте
кругозор на сайте Logiclike.com.
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике для начальной школы
- Порядок выполнения действий
В данном разделе мы познакомимся с порядком действий, с выражениями со скобками и без них.
1) Если тебе нужно выполнить только сложение и вычитание или только умножение и деление, то все действия выполняют по порядку слева направо.
Например, 
В числовом выражении 3 арифметических действия: сложение, вычитание и вычитание.
Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: так как нет ни умножения ни деления, действия выполняют по порядку слева направо:
Вычисляем:
1) 10 + 15 = 25
2) 25 – 6 = 19
3) 19 – 8 = 11
Полностью пример записываем так:
10 + 15 – 6 – 8 = 25 – 6 – 8 = 19 – 8 = 11
Например, 
В числовом выражении 3 арифметических действия: деление, умножение и деление.
Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: так как нет ни сложения ни вычитания, действия выполняют по порядку слева направо:
Вычисляем:
1) 15 : 5 = 3
2) 3 • 4 = 12
3) 12 : 6 = 2
Полностью пример записываем так:
15 : 5 • 4 : 6 = 3 • 4 : 6 = 12 : 6 = 2
2) Если тебе нужно выполнить несколько арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление), то сначала выполняют умножение и деление по порядку слева направо, а затем сложение и вычитание по порядку слева направо.
Например, 
В числовом выражении 4 арифметических действия: вычитание, деление, сложение и умножение.
Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим деление, потом умножение, затем вычитание и сложение.
1)15 : 3 = 5
2) 6 • 8 = 48
3) 10 – 5 = 5
4) 5 + 48 = 53
Полностью пример записываем так:
10 – 15 : 3 + 6 • 8 = 10 – 5 + 6 • 8 = 10 – 5 + 48 = 5 + 48 = 53
3) Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, но обязательно учитывать первое и второе правила.
Например, 
В числовом выражении 4 арифметических действия: вычитание, деление, сложение и умножение.
Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим вычитание в скобках, затем деление, потом умножение и сложение.
1) 25 – 10 = 15
2) 15 : 3 = 5
3) 6 • 8 = 48
4) 5 + 48 = 53
Полностью пример записываем так:
(25 – 10) : 3 + 6 • 8 = 15 : 3 + 6 • 8 = 5 + 6 • 8 = 5 + 48 = 53
Например, 
В числовом выражении 4 арифметических действия: сложение, деление, сложение и деление.
Определим порядок действий и запишем их над арифметическими знаками: сначала производим действия в скобках (деление, затем сложение), затем деление, потом сложение.
1) 12 : 4 = 3
2) 6 + 3 = 9
3) 18 : 9 = 2
4) 42 + 2 = 44
Полностью пример записываем так:
42 + 18 : (6 + 12 : 4) = 42 + 18 : (6 + 3) = 42 + 18 : 9 = 42 + 2 = 44
Вывод:
Советуем посмотреть:
Скобки
Правило встречается в следующих упражнениях:
2 класс
Страница 18,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 23,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 35,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 42,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 44,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 21. Урок 7,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 73. Урок 29,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 6. Урок 2,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 42. Урок 14,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 102. Повторение,
Петерсон, Учебник, часть 3
3 класс
Страница 34,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 44,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 74,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 76,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 17,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 34,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 71. Урок 24,
Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 70. Урок 29,
Петерсон, Учебник, часть 2
Страница 31. Урок 14,
Петерсон, Учебник, часть 3
Страница 73. Повторение,
Петерсон, Учебник, часть 3
4 класс
Страница 12,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 68,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1
Страница 8. ПР 2. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 42. Тест 2. Вариант 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы
Страница 31,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 44,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 51,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2
Страница 36,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2
Страница 9. Урок 3,
Петерсон, Учебник, часть 1
Страница 29. Урок 10,
Петерсон, Учебник, часть 1
5 класс
Задание 17,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 22,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 449,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Номер 254,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 262,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 554,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 596,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 920,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 942,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
6 класс
Задание 18,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 73,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 85,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 92,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 400,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 411,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 413,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 417,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 422,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 445,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Порядок действий
- Порядок действий без скобок
- Порядок действий со скобками
- Дробная черта
Для правильного вычисления значений числовых выражений, в которых нужно произвести более одного действия, необходимо знать установленный порядок выполнения арифметических действий.
Порядок действий без скобок
Установленный порядок арифметических действий без скобок:
- Если выражение содержит только действия на сложение и вычитание, то они выполняются в порядке следования — слева направо:
- Если выражение содержит только действия на умножение и деление, то действия выполняются в порядке следования — слева направо:
- Если в выражении присутствуют и умножение с делением, и сложение с вычитанием, то сначала выполняются умножение и деление в порядке их следования (слева направо), а затем сложение и вычитание в порядке их следования (слева направо):
Порядок действий со скобками
Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются все действия внутри скобок, а затем все действия, находящиеся за скобками.
В числовых выражениях со скобками порядок выполнения арифметических действий такой же, как и в выражениях без скобок.
Скобки применяются для обозначения действий, которые нужно произвести раньше остальных. Скобки не влияют на порядок остальных действий в выражении, остальные действия выполняются в указанном порядке.
Дробная черта
Дробная черта в выражении может быть заменена на знак деления, в этом случае, всё что было над и под дробной чертой надо взять в скобки. Например:
| 13 + 2 | = (13 + 2) : (10 – 7). |
| 10 – 7 |
Знак деления в выражении можно заменить дробной чертой только в том случае, если это не нарушает порядок действий. Например, выражение:
20 : 4(2 + 3)
нельзя заменить на
потому что такая замена нарушит порядок действий в данном выражении.
| 20 : 4(2 + 3) ≠ | 20 | ; |
| 4(2 + 3) |
| 20 | = 20 : (4(2 + 3)). |
| 4(2 + 3) |
Дробная черта в выражении заменяет скобки и означает, что надо вычислить отдельно выражение, стоящее в числителе, и отдельно выражение, стоящее в знаменателе, и первый результат разделить на второй.
Изучая числовые и буквенные выражения, способы упрощения выражений, свойства арифметических операций, мы рассматривали в основном простые выражения, значение которых найти было несложно.
Сегодня на уроке мы будем рассматривать выражения, в которых содержатся сразу несколько арифметических операций и несколько пар скобок.
Выясним, в какой последовательности необходимо выполнять математические операции при нахождении значения выражения.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Узнаем, какие действия называют действиями первой и второй ступени, зачем нужны скобки.
Разберем множество различных примеров, которые позволят нам лучше усвоить данную тему.
Любой человек каждый день решает множество различных задач: простых и сложных.
Многие из них решаются по определенным правилам- алгоритмам.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
С алгоритмами мы уже не раз встречались на наших уроках, решая задачи и уравнения, рассматривая различные правила и свойства, совершая вычисления в столбик и др.
Выясним зависит ли значение выражения от порядка выполнения арифметических операций, обязательно ли выполнять действия в определенном порядке.
Рассмотрим следующий пример:
Катя и Федя решали пример, в котором необходимо было найти сумму числа 24 и произведения чисел 8 и 2.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Катя записала пример: 24 + 8 ∙ 2 и принялась выполнять арифметические действия по порядку.
Первым делом она нашла сумму чисел 24 и 8.
Сложив 24 и 8, у нее получилось число 32.
24 + 8 = 32.
Затем полученный результат (число 32) она умножила на 2.
В итоге у нее получилось:
32 ∙ 2 = 64.
Ответ: 64.
Федя записал пример: 24 + 8 ∙ 2 и стал решать его иным способом.
Сначала он нашел произведение чисел 8 и 2.
Умножив 8 на 2, у него получилось число 16.
8 ∙ 2 = 16.
Затем к 24 прибавил полученное произведение.
В итоге получил следующее равенство:
16 + 24 = 40.
Ответ: 40.
Исходные выражения, которые записали Катя и Федя, были одинаковые (содержали определенную последовательность чисел и знаков).
Дети меняли только порядок следования математических операций.
В итоге получили различные значения одного и того же выражения.
Получается, что порядок выполнения арифметических действий влияет на результат вычислений.
Чуть позже мы выясним, кто же решил пример правильно: Катя или Федя.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Очень часто в математических выражения присутствует сразу несколько арифметических операций, таких как сложение, вычитание, умножение и деление.
Чтобы найти значение такого выражения, необходимо соблюдать порядок действий, который регламентируется определенными правилами.
Рассмотрим правила выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.
1. Математическое выражение вычисляется по частям, математические операции выполняются по порядку слева направо (от начала к концу выражения).
2. Арифметические действия делят на действия первой ступени и действия второй ступени.
Сложение и вычитание- это действия первой ступени.
Умножение и деление- это действия второй ступени.
3. Если в выражении без скобок присутствуют действия только первой ступени (сложение и вычитание), то действия выполняются в порядке их следования (слева направо).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
4. Если в выражении без скобок присутствуют только действия второй ступени (умножение и деление), то данные действия выполняются в порядке их следования (слева направо).
Пример.
Дано выражение 15 ∙ 6 ÷ 3 ∙ 10.
Определим порядок действий в выражении и найдем его значение.
Данное выражение не содержит скобки, и в нем присутствуют только действия второй ступени (умножение и деление), следовательно, действия выполнять необходимо слева направо по порядку их следования.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
5. Если в выражении отсутствуют скобки, и оно содержит действия первой и второй ступени, то сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление) в порядке их следования слева направо, затем выполняются действия первой ступени (сложения и вычитания) так же в порядке их следования слева направо.
Пример.
Определите порядок действий в выражении 137 – 17 ∙ 2 + 81 ÷ 3 и найдите его значение.
Данное выражение не содержит скобки, в нем присутствуют действия первой и второй ступени.
Следовательно, действия будем выполнять по порядку слева направо: сначала умножение и деление, а затем вычитание и сложение.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Вспомним пример, рассмотренный нами в начале урока, где Катя и Федя решали пример.
Решим этот пример сами, соблюдая порядок следования арифметических операций, и выясним, кто из ребят нашел правильный ответ.
Было дано выражение 24 + 8 ∙ 2.
В данном выражении присутствуют действия первой и второй ступени, соответственно, сначала мы должны выполнить умножение, затем полученный результат стожить.
Обозначим порядок действий в выражении и найдем его значение.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В математике есть специальный символ, который указывает нужный порядок действий в выражении, этот символ называется скобки.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
1. Запомните правило!
Действия, записанные в скобках, выполняются в первую очередь.
На примере рассмотрим использование скобок для указания порядка действий или изменении этого порядка.
Пример.
Дано выражение 48 ÷ 8 – 4.
Найдем значение этого выражения, используя правило, которое определяет порядок выполнения действий в математических выражениях.
Так как скобок в данном примере нет, то первым действием выполняется деление, затем- вычитание.
В результате получим следующее равенство:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Ответ: 4.
Если выражение будет содержать все те же числа и математические операции, но будет записано в виде: 48 ÷(8 – 4), то в первую очередь выполняется действие в скобках, а затем- деление.
В итоге получим следующий результат:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Ответ: 12.
Мы можем заметить, что, изменив порядок действий с помощью скобок, изменилось значение выражения.
2. Если в скобках присутствуют действия первой и второй ступени, то в скобках сохраняется известный нам порядок действий: слева направо выполняются сначала действия деления и вычитания, затем по порядку слева направо сложение и вычитание.
Рассмотрим пример.
Определим порядок действий в выражении 100 – (26 ÷ 2 + 27) + 52 и найдем его значение.
Это выражение содержит скобки, поэтому выполним сначала действия в них.
Внутри скобок присутствуют действия первой и второй ступени.
Следовательно, выполним деление, затем сложение, находящееся в скобках.
Так как оставшиеся за скобками действия- это действия первой ступени, то они выполняются по порядку слева направо.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
3. Существуют выражения, которые содержат несколько пар скобок, указывающих порядок выполнения действий.
В таком случае выполняются действия последовательно по порядку слева направо: сначала в первой паре скобок, затем во второй паре, далее в третьей и т.д. (пока есть скобки), и только потом выполняются все остальные действия, которые находятся за скобками, согласно правилам, определяющим порядок выполнения математических действий в выражениях.
Рассмотрим данное правило на примере.
Определим порядок действий в выражении (8 + 14 ∙ 3) – 2 ∙ (4 – 1) и найдем его значение.
Это выражение содержит скобки, поэтому выполним сначала действия в них.
Первым делом выполним все действия в первой скобке, причем сначала найдем произведение чисел, а затем сложение.
После этого выполняется действие во второй скобке.
Далее все остальные действия по уже известным нам правилам.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
4. Иногда возникает ситуация, когда в выражении встречаются сложное сочетание скобок- вложенные скобки (будто скобки с выражениями вложены друг в друга).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Последовательность действий для такого выражения определяется следующим правилом:
Если скобки содержат внутренние скобки, то сначала выполняются действия в них, затем математические операции проводят, продвигаясь последовательно ко внешним скобкам.
В качестве примера определим порядок действий в выражении
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
1) Первым делом выполним действие, которое находится в круглых скобках.
200 + 100 = 300
В исходное выражение вместо выражения, стоящего в круглых скобках, запишем найденное его значение.
{[300 ∙ 5 – 300] – 10 ∙ 20} ÷ 20 – 10
Далее выполняем действия, находящиеся в квадратных скобках, соблюдая очередность действий первой и второй ступеней.
2) Найдем произведение 300 и 5.
300 ∙ 5 = 1500
3) Из полученного произведения вычтем 300.
1500 – 300 = 1200
Вместо выражения, которое находилось в квадратных скобках, запишем его значение.
{1200 – 10 ∙ 20} ÷ 20 – 10
Далее выполняем действия, находящиеся в фигурных скобках, соблюдая очередность действий первой и второй ступеней.
4) Найдем произведение 10 и 20.
10 ∙ 20 = 200
5) Полученный результат вычтем из 1200.
1200 – 200 = 1000
Подставим вместо выражения, стоящего в фигурных скобках, его значение.
1000 ÷ 20 – 10
В оставшейся части исходного выражения больше скобок нет, в нем присутствуют действия первой и второй ступени.
Следовательно, действия будем выполнять по порядку слева направо.
6) Сначала выполним деление:
1000 ÷ 20 = 50
7) Затем из полученного частного вычтем 10.
50 – 10 = 40
В результате получили ответ: число 40.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Порядок действий в выражениях можно изменять с помощью основных свойств сложения, вычитания, умножения и деления.
Например, дано выражение 7 ∙ 2 ∙ 55.
В данном выражении удобнее использовать сочетательное свойство умножения, а не выполнять действия по порядку.
Сначала найдем произведение 2 и 55, и только потом полученное произведение умножим на 7.
7 ∙ 2 ∙ 55 = 2 ∙ 55 ∙ 7 = 110 ∙ 7 = 770.
Свойства арифметических операций часто используют для упрощения выражений.
Важно отметить, что установленный порядок действий в выражениях без скобок и со скобками справедлив как для числовых выражений, так и для буквенных.
Представим в общем виде порядок выполнения арифметических действий в виде схемы.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Эту же программу вычислений можно представить в виде схемы, выполняя действия в определенном порядке, заполняя при этом последовательно пустые ячейки.
В нижней ячейке записывается ответ.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
