Дифференциальным уравнением
называется уравнение которое связывает неизвестную функцию и её производные различных порядков:
F(x, y‘, y”, … , y(n))=0
Порядком дифференциального уравнения называется порядок его старшей производной. Решить дифференциальное уравнение, значит найти неизвестную функцию
,
которая обращает это уравнение в верное тождество. Этого можно достичь, изучив теоретический материал по дифференциальным уравнениям, или воспользовавшись нашим онлайн калькулятором.
Наш калькулятор может находить как общее решение дифференциального уравнения, так и частное. Для поиска частного решения, необходимо ввести начальные условия в калькулятор. Для поиска общего решения, поле ввода начальных условий необходимо оставить пустым.
Дифференциальные уравнения по-шагам
Примеры дифференциальных уравнений
- Простейшие дифференциальные уравнения 1-порядка
-
y' + y = 0
-
y' - 5*y = 0
-
x*y' - 3 = 0
- Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
-
(x-1)*y' + 2*x*y = 0
-
tan(y)*y' = sin(x)
- Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
-
y' + 7*y = sin(x)
- Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
-
3*y'' - 2*y' + 11y = 0
- Уравнения в полных дифференциалах
-
dx*(x^2 - y^2) - 2*dy*x*y = 0
- Решение дифференциального уравнения заменой
-
x^2*y' - y^2 = x^2
- Смена y(x) на x в уравнении
-
x^2*y' - y^2 = x^2
- Линейные дифференциальные уравнения 3-го порядка
-
y''' + 3*y'' + y' + 3y = 0
-
y''' + 2*y'' + y' = exp(-x)
-
y''' + 3*y'' + y' + 3y = sin(x) + 2
- Другие
-
-6*y - 5*y'' + y' + y''' + y'''' = x*cos(x) + sin(x)
Что умеет калькулятор дифференциальных уравнений?
- Детальное решение для:
- Обыкновенное дифференциальное уравнение
- Разделяемые переменные
- Уравнение Бернулли
- Уравнение в полных дифференциалах
- Дифференциальное уравнение первого порядка
- Дифференциальное уравнение второго порядка
- Дифференциальное уравнение третьего порядка
- Однородное дифференциальное уравнение
- Неоднородное дифференциальное уравнение
- Дифференциальные уравнения с заменой
- Система обыкновенных дифференциальных уравнений
- Строит графики множества решений
- Решает задачу Коши
- Классификация дифференциальных уравнений
- Примеры численных решений
Подробнее про Дифференциальные уравнения
.
Указанные выше примеры содержат также:
- модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
-
квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) -
тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
-
обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
арккотангенс acot(x) -
натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) -
гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) -
обратные гиперболические функции:
гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x) -
другие тригонометрические и гиперболические функции:
секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
гиперболический арккосеканс acsch(x) -
функции округления:
в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x) -
знак числа:
sign(x) -
для теории вероятности:
функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
функция Лапласа laplace(x) -
Факториал от x:
x! или factorial(x) - Гамма-функция gamma(x)
- Функция Ламберта LambertW(x)
-
Тригонометрические интегралы: Si(x),
Ci(x),
Shi(x),
Chi(x)
Правила ввода
Можно делать следующие операции
- 2*x
- – умножение
- 3/x
- – деление
- x^2
- – возведение в квадрат
- x^3
- – возведение в куб
- x^5
- – возведение в степень
- x + 7
- – сложение
- x – 6
- – вычитание
- Действительные числа
- вводить в виде 7.5, не 7,5
Постоянные
- pi
- – число Пи
- e
- – основание натурального логарифма
- i
- – комплексное число
- oo
- – символ бесконечности
Решение дифференциальных уравнений
Уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и некоторое количество ее производных, т.е. уравнение вида
F(x,y,y') = 0
называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Оформление Word
Например, решить дифференциальное уравнение онлайн: y''-2y+1=sinx. Записываем как y''-2*y+1=sin(x). Для отображение хода решения нажмите Show steps или Step-by-step.
Если определить тип дифференциального уравнения, то решение будет доступно в MS Word:
не знаю
Линейное уравнение первого порядка типа y'+2*y=4*x, x*y’-y=3*x^2-3, 
, 
, либо задача Коши.
Уравнение в полных дифференциалах типа 2xydx+x2dy=0, 2xydx=(x2-y2)dy или с разделяющимися переменными.
Уравнение Бернулли типа y'+2xy=2xy3, 
, xy’+2y+x5y3ex=0
Уравнение с постоянными коэффициентами типа y''+2*y-8=x, 2*y''-3*y-8=x*cos(x).
Уравнения, допускающие понижение порядка: x3y''+x2y'=1, (y')2+2yy''=0.
Находить частное решение при y() = .
Способы решений дифференциальных уравнений
- Уравнения с разделяющимися переменными:
y'=ex+y,xydx+(x+1)dy=0 - Однородные уравнения:
(y2-2xy)dx+x2dy=0 - Постановка задачи о выделении решений.
- Калькулятор
Линейные уравнения первого порядка
:y'+2y=4x - Уравнения Бернулли:
y'+2xy=2xy3,
- Уравнения в полных дифференциалах:
2xydx+x2dy=0,2xydx=(x2-y2)dy=0. - Приближенные методы решения дифференциальных уравнений
- Уравнения высших порядков
- Уравнения, допускающие понижение порядка:
yy'''=y'y'',(y')2+2yy''=0 - Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:
y''-3y'+2y=0,y''-2y'+5y =ex - Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных уравнений
- Уравнения с правой частью специального вида
- Уравнения, допускающие понижение порядка:
- Системы дифференциальных уравнений:
Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
Метод вариации произвольной постоянной
Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения y'+xy=x, удовлетворяющего начальному условию y(0)=2.
Решение.
Данное дифференциальное уравнение – уравнение 1-го порядка, линейное относительно неизвестной функции y.
Применяя метод Бернулли для решения этого уравнения, сделаем замену y(x) = u(x)·v(x), где u(x) и v(x) – неизвестные функции, которые мы будем искать поочередно.
Согласно правилу дифференцирования произведения, имеем:
y′ = u′·v+u·v′.
Подставляя выражения для y и y’ в исходное уравнение, получим:
u′·v+u·v′ + x·u·v = x (*)
Отсюда
u′·v + (u·v′ + x·u·v) = x;
u′·v + u(v′ + x·v) = x;
Выражение в скобках зависит только от v(x). Будем искать v(x), исходя из условия:
v′ + x·v = 0.
Рассматривая это равенство как дифференциальное уравнение, найдём частное решение для v(x) методом разделения переменных:
; ;
Переходим к интегралу:
; ; .
Подставим найденную функцию v(x) в уравнение (*):
; .
Найдём теперь общее решение для неизвестной функции u(x):
.
Окончательно, имеем общее решение исходного дифференциального уравнения:
.
Теперь, используем данное начальное условие и найдём частное решение уравнения:
y(0) = c·e0+1 = c+1 = 2
Отсюда c=1,
Ответ: частное решение дифференциального уравнения имеет вид: .
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
| bold{mathrm{Basic}} | bold{alphabetagamma} | bold{mathrm{ABGamma}} | bold{sincos} | bold{gedivrightarrow} | bold{overline{x}spacemathbb{C}forall} | bold{sumspaceintspaceproduct} | bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}} | bold{H_{2}O} | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ
Подписаться
Войдите, чтобы сохранять заметки
Войти
Номер Строки
Примеры
-
y”+3y’=0
-
y”-y=0, y(0)=2, y(1)=e+frac{1}{e}
-
y”+6y=0
-
4y”-6y’+7y=0
-
y”-4y’-12y=3e^{5x}
- Показать больше
Описание
Пошаговое решение дифференциальных уравнений второго порядка
second-order-differential-equation-calculator
ru
Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab
Advanced Math Solutions – Ordinary Differential Equations Calculator, Bernoulli ODE
Last post, we learned about separable differential equations. In this post, we will learn about Bernoulli differential…
Read More
Введите Задачу
Сохранить в блокнот!
Войти
Решение дифференциальных уравнений
Данный онлайн калькулятор позволяет вычислять дифференциальные уравнения практически любого типа и порядка: линейные дифференциальные уравнения, с разделяемыми или неразделяемыми переменными, уравнения Бернулли и т.д. При этом у вас есть возможность решать уравнения в общем виде или получить частное решение соответствующее введенным вами начальным (граничным) условиям.
По умолчанию в уравнении функция y является функцией от переменной x. Однако вы можете задать своё обозначение переменной, если напишете, например, y(t) в уравнении, то калькулятор автоматически распознает, что y есть функция от переменной t. С помощью калькулятора вы сможете решать дифференциальные уравнения любой сложности и вида: однородные и неоднородные, линейные или нелинейные, первого порядка или второго и более высоких порядков, уравнения с разделяющимися или не разделяющимися переменными и т.д. Решение диф. уравнения даётся в аналитическом виде, имеет подробное описание. Дифференциальные уравнения очень часто встречаются в физике и математике. Без их вычисления невозможно решать многие задачи (особенно в математической физике).
Одним из этапов решения дифференциальных уравнений является интегрирование функций. Есть стандартные методы решений дифференциальных уравнений. Необходимо привести уравнения к виду с разделяющимися переменными y и x и отдельно проинтегрировать разделенные функции. Чтобы это сделать иногда следует провести определенную замену.
Синтаксис
основных функций:
xa: x^a
|x|: abs(x)
√x: Sqrt[x]
n√x: x^(1/n)
ax: a^x
logax: Log[a, x]
ln x: Log[x]
cos x: cos[x] или Cos[x]
sin x: sin[x] или Sin[x]
tg: tan[x] или Tan[x]
ctg: cot[x] или Cot[x]
sec x: sec[x] или Sec[x]
cosec x: csc[x] или Csc[x]
arccos x: ArcCos[x]
arcsin x: ArcSin[x]
arctg x: ArcTan[x]
arcctg x: ArcCot[x]
arcsec x: ArcSec[x]
arccosec x: ArcCsc[x]
ch x: cosh[x] или Cosh[x]
sh x: sinh[x] или Sinh[x]
th x: tanh[x] или Tanh[x]
cth x: coth[x] или Coth[x]
sech x: sech[x] или Sech[x]
cosech x: csch[x] или Csch[е]
areach x: ArcCosh[x]
areash x: ArcSinh[x]
areath x: ArcTanh[x]
areacth x: ArcCoth[x]
areasech x: ArcSech[x]
areacosech x: ArcCsch[x]
конъюнкция “И” ∧: &&
дизъюнкция “ИЛИ” ∨: ||
отрицание “НЕ” ¬: !
импликация =>
число π pi : Pi
число e: E
бесконечность ∞: Infinity, inf или oo
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу
«На главный экран»
