Как найти порядок полюса - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Изолированные особые точки функций и полюсы

Классификация особых точек

Важное место в изучении и применении теории функций комплексного переменного занимает исследование их поведения в особых точках, где нарушается аналитичность функции. В частности, это точки, где функция не определена.

Исследование функции в особой точке z_0 определяется поведением ее в окрестности этой точки, т.е. исследованием $limlimits_{zto z_0}f(z)$ . Очевидно, имеют место три возможности:

а) $limlimits_{zto z_0}f(z)$ не существует;
б) $limlimits_{zto z_0}f(z)$ существует и равен конечному числу;
в) $limlimits_{zto z_0}f(z)$ равен бесконечности.

Исследование пределов функции в комплексной области — задача более сложная, чем в действительной области, так как, согласно определению, переменная стремится к z_0~(zto z_0) по любому направлению. Вычисление пределов в точках аналитичности не представляет интереса, так как в этих случаях $limlimits_{zto z_0}f(z)=f(z_0)$ .

Будем рассматривать $limlimits_{zto z_0}f(z)$ , где z_0 — особая точка.

Пример 4.1. Исследовать существование $limlimits_{zto0}exp frac{1}{z},~ limlimits_{zto0} exp frac{1}{z^2}$ в случаях a) z=xinmathbb{R} ; б) zinmathbb{C} .

Решение

a) В действительной области $limlimits_{zto0}exp frac{1}{z}$ не существует, так как не равны односторонние пределы $limlimits_{xto0+0}exp frac{1}{x}=infty,~ limlimits_{xto0-0}exp frac{1}{x}=0$ , но существует предел второй функции: $limlimits_{xto0}exp frac{1}{x^2}=infty$ .

б) В комплексной области, очевидно, $limlimits_{zto0}exp frac{1}{z}$ не существует, так как он не существует в частном случае z=x .

Но для второй функции полученного выше результата $limlimits_{xto0}exp frac{1}{x^2}=infty$ не достаточно, так как рассмотрены только два направления на плоскости — по действительной положительной и действительной отрицательной полуосям.

Рассмотрим еще какое-нибудь направление, например по мнимой оси, т.е. z=iy,~ yto0colon

$limlimits_{zto0}exp frac{1}{z^2}= limlimits_{zto0}exp frac{1}{(iy)^2}= limlimits_{zto0}exp frac{-1}{y^2}=0.$

Сравнивая этот результат с полученным выше $limlimits_{xto0}exp frac{1}{x^2}=infty$ , заключаем, что в комплексной области $limlimits_{zto0}exp frac{1}{z^2}$ не существует.

Аналогично можно показать, что не существует $limlimits_{zto0}exp frac{1}{z^4}$ , хотя $limlimits_{zto0}exp frac{1}{z^4}=infty$ для случаев z=x и z=iy (по действительной и мнимой осям).

Эти простые примеры показывают, что исследование функции в особой точке с помощью $limlimits_{zto z_0}f(z)$ может представлять большие сложности. Но, с другой стороны, в примере 3.36 при вычислении пределов функции в особых точках было использовано разложение функции в ряд.

Представление функции в виде ряда как один из способов ее аналитического задания, может быть использовано для исследования функции, в частности, в особых точках.

Будем рассматривать изолированные особые точки функций, т.е. особые точки, для каждой из которых существует такая ее окрестность, в которой нет других особых точек функции.

В частности, конечная особая точка $z_0inmathbb{C}$ является изолированной особой точкой функции f(z) , если существует число r>0 , такое, что в круге |z-z_0|<r эта точка- единственная особая точка f(z) , а в проколотой окрестности, т.е. в 0<|z-z_0|<r функция f(z) аналитическая.

Бесконечно удаленная особая точка z_0=infty является изолированной особой точкой функции f(z) , если существует число R>0 , такое, что в области |z|>R эта точка — единственная особая точка f(z) , а в кольце R<|z|<infty функция f(z) — аналитическая.

Согласно теореме Лорана, функция, аналитическая в кольце, в частности, в проколотой окрестности особой точки, может быть представлена рядом Лорана. Это позволяет свести исследование функции в изолированной особой точке к исследованию соответствующего ряда. Особенности рядов как представления аналитических функций можно заметить, проанализировав некоторые примеры предыдущих лекций.

Пример 4.2. Исследовать поведение и вид ряда Лорана в окрестности особой точки z=0 функций:

а) $frac{sin z}{z}$ ; б) $frac{sin z}{z^n},~n>1$ ; в) $exp frac{1}{z}$ .

Решение

Эти простые примеры показывают, что поведение функции в особой точке связано с видом главной части ряда Лорана: трем отмеченным выше случаям нахождения предела функции в точке z_0 соответствуют три различных случая вида главной части ряда Лорана в окрестности точки. В примере 4.2 исследовалась конечная особая точка. Такой же результат можно получить, рассматривая точку z=infty , например, для функций $exp frac{1}{z},~ z^2+frac{1}{z}$ и e^z .

Типы особых точек функции

В зависимости от трех случаев поведения функции в особой точке (исследования $limlimits_{zto z_0}f(z)$ ) особые точки функций делят на три типа — производится классификация особых точек. В качестве определения типа особых точек можно выбрать либо поведение функции в особой точке, либо вид ряда Лорана. Выберем первый подход.

Изолированная особая точка $z_0in overline{C}$ функции f(z) называется:

– устранимой особой точкой, если $limlimits_{zto z_0}f(z)$ существует и конечен (4.1);
– полюсом, если $limlimits_{zto z_0}f(z)=infty$ (4.2);
– существенно особой точкой, если $limlimits_{zto z_0}f(z)$ не существует (4.3).

Замечание 4.1. Если в случае устранимой особой точки z_0 положить $f(z_0)= limlimits_{zto z_0}f(z)$ , то f(z) будет аналитической в $O_{delta}(z_0)$ и точку z_0 можно считать правильной, т.е. не особой. В этом случае говорят, что в точке z_0 устранена особенность.

Пример 4.3. Определить тип особой точки z=0 для функций $frac{sin z}{z};~~frac{sin z}{z^n},~n>1;~~exp frac{1}{z},~~ exp frac{1}{z^2}$ .

Решение

На основании результатов решения примеров 4.1, 4.2 заключаем, что z=0 является устранимой особой точкой функции $frac{sin z}{z}$ ; полюсом для $frac{sin z}{z^n}$ при любом n>1 ; существенно особой точкой для функций $exp frac{1}{z}$ и $exp frac{1}{z^2}$ .

Пример 4.4. Определить тип особой точки z=infty для функций $f_1(z)=z^nsin frac{1}{z}$ и f_2(z)=e^z .

Решение

Рассмотрим $limlimits_{ztoinfty}f(z)$ . Для удобства введем обозначение $frac{1}{z}=xi$ . Для функции f_1(z) получим $limlimits_{ztoinfty}f_1(z)= limlimits_{xito0} frac{sinxi}{xi^n}=infty~(n>1)$ (см. пример 4.2), поэтому z=infty является полюсом функции $f_1(z)=z^nsin frac{1}{z}$ . Для функции f_2(z)=e^z точка z=infty является существенно особой, так как $limlimits_{ztoinfty}e^z= limlimits_{xito0}exp frac{1}{xi}$ не существует (см. пример 4.1).

Пример 4.5. Найти все конечные особые точки функций: а) $f_1=frac{sin z}{z^4+1}$ б) $f_2(z)= frac{sin z}{sin z^{-1}}$ и определить их тип.

Решение

Особыми точками дробей являются особые точки числителя, особые точки знаменателя и нули знаменателя.

а) Так как числитель и знаменатель функции f_1(z) — функции аналитические, то ее особыми точками являются только нули знаменателя, т.е. корни уравнения z^4+1=0 . Это четыре точки $z_k=exp frac{(pi+2kpi)i}{4},~k=0,1,2,3$ , или в алгебраической форме: $z_{1,2}= frac{pm1+i}{sqrt{2}},~ z_{3,4}= frac{pm1-i}{sqrt{2}}$ . Заметим, что точки расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность радиуса R=1 с центром в начале координат, и справедливы равенства $z_2=iz,~ z_3=-z_1,~ z_4= overline{z}_1$ .

Очевидно, все точки изолированные и являются полюсами, так как $limlimits_{zto z_k}f_1(z)=infty$ для любой точки z_k,~k=1,2,3,4 .

б) Особыми точками функции f_2(z) являются нули знаменателя, т.е. точки, для которых $frac{1}{z_k}=kpi$ или $z_k=frac{1}{kpi},~ k=pm1,pm2,ldots$ , а также z=0 — особая точка знаменателя. Точки z_k являются полюсами, так как $limlimits_{zto z_k}f_2(z)=infty$ . Точка z=0 — неизолированная особая точка функции, так как в любой ее окрестности |z|<r ( — любое число, r>0 ), кроме этой точки, расположено бесконечное множество особых точек вида $z_k=frac{1}{kpi},~ k=pm1,pm2,ldots$ . Точку z=0 в таком случае называют предельной точкой полюсов $z_k=frac{1}{kpi}$ , так как $limlimits_{ktoinfty}z_k=0$ .

Теоремы Сохоцкого и Пикара

Для исследования поведения функции в существенно особой точке имеют место следующие две теоремы.

Теорема 4.1 (Сохоцкого). Если r_0 — существенно особая точка функции f(z) , то для любого Ain overline{mathbb{C}} существует последовательность ${z_n}$ , сходящаяся к точке z_0 , такая, что $limlimits_{ntoinfty}f(z_n)=A$ .

Теорема 4.2 (Пикара). В любой окрестности существенно особой точки функция f(z) принимает любое значение (причем бесконечное число раз) кроме, быть может, одного.

Пример 4.6. Исследовать поведение следующих функций в существенно особых точках, проиллюстрировать теоремы Сохоцкого и Пикара:

a) $f_1(z)=exp frac{1}{z},~ f_2(z)= exp frac{1}{z^2},~ z_0=0$ ; б) f_3(z)=e^z,~ z_0=infty .

Решение

В примерах 4.3 и 4.4 показано, что точки z_0=0 и z_0=infty являются существенно особыми точками соответствующих функций. Исследуем пределы функций.

а) Для иллюстрации теоремы Сохоцкого выбираем A=0 и A=infty . Используя результат примера 4.1, имеем $limlimits_{zto0}exp frac{1}{z}=0$ , если z=x<0 , и $limlimits_{zto0}exp frac{1}{z}=infty$ , если z=x>0 , то есть $limlimits_{ntoinfty}f_1(z_n)=0$ для последовательности z_n=x_n , такой, что $limlimits_{ntoinfty}x_n=0$ и x_n<0 , и $limlimits_{ntoinfty}f_1(z_n)=0$ для последовательности z_n=x_n , такой, что $limlimits_{ntoinfty}x_n=0$ и x_n>0 .

Аналогично исследуем функцию f_2(z) . Для числа A=0 выбираем z_n=iy_n , где $limlimits_{ntoinfty}y_n=0$ и тогда $limlimits_{ntoinfty}f_2(z_n)=0$ , а для A=infty выбираем z_n= x_n , где $limlimits_{ntoinfty}x_n=0$ и тогда $limlimits_{ntoinfty} f_2(z_n)=infty$ .

Справедливость теоремы Пикара для этих функций следует из рассмотрения уравнений $exp frac{1}{z}=A,~ exp frac{1}{z^2}=A$ , которые, как известно, имеют бесконечное множество решений для любого Ain mathbb{C},~ Ane0 .

Например, для функции $f_1(z)= expfrac{1}{z}$ имеем $expfrac{1}{z}=A$ . Отсюда получаем

$frac{1}{z}= operatorname{Ln}A,quad frac{1}{z}= ln|A|+i(arg A+2kpi),quad k=0,pm1,pm2,ldots$ или $z_k=frac{1}{ln|A|+i(arg A+2kpi)}$ .

В частности, функция $exp frac{1}{z}$ в любой окрестности точки z_0=0 принимает значение A=1 бесконечное множество раз: в точках $z_k=frac{-i}{2kpi},~ k=pm1,pm2,ldots$ (рис. 4.1).

Рис. 4.1.

б) Точка z=infty является существенно особой точкой функции e^z (пример 4.4). Обозначив $z=frac{1}{xi}$ , можно повторить рассуждения предыдущего пункта для функции $expfrac{1}{xi}$ и точки xi=0 .

Ряд Лорана в окрестности особой точки

В предыдущем разделе на примере простых функций (см. пример 4.2) было высказано предположение, что вид ряда Лорана в окрестности особой точки зависит от типа особой точки и потому задача исследования функции в особой точке может быть сведена к исследованию соответствующего ряда Лорана . Подтверждением этого предположения в общем случае является доказательство соответствующих утверждений.

Утверждение 4.1

1. Для того чтобы особая точка функции была ее устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть. Это означает, что если z_0 — устранимая особая точка, то ряд Лорана функции f(z) имеет вид

$f(z)= sum_{n=0}^{infty} c_n(z-z_0)^n,quad 0<|z-z_0|<r$

(4.4)

для z_0 — конечной точки $z_0inmathbb{C}$ , и (для z_0=infty )

$f(z)= c_0+sum_{n=1}^{infty} frac{c_{-n}}{z^n},quad R<|z|<infty.$

(4.5)

2. Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов. Ряд Лорана функции f(z) в случае z_0 полюса имеет вид

$f(z)=sum_{k=-n}^{infty} c_k(z-z_0)^k,quad 0<|z-z_0|<r,$

(4.6)

если $z_0inmathbb{C}$ , и (если z_0=infty )

$f(z)=sum_{k=-infty}^{n}c_kz^k,quad R<|z|<infty,$

(4.7)

3. Для того чтобы особая точка функции была ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала бесконечное число членов. Ряд Лорана функции f(z) в случае z_0 — существенно особой точки имеет вид

$f(z)= sum_{n=-infty}^{infty} c_n(z-z_0)^n,quad 0<|z-z_0|<r,$

(4.8)

если $z_0inmathbb{C}$ , и (если z_0=infty )

$f(z)= sum_{n=-infty}^{infty}c_nz^n,quad R<|z|<infty.$

(4.9)

Замечания 4.2

1. Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком полюса.

Так, точка $z_0inmathbb{C}$ является полюсом порядка (Pi(n)) функции f(z) , если в разложении (4.6) $c_{-n}ne0,~ c_k=0$ при k<-n . Точка z_0=infty является полюсом порядка (Pi(n)) функции f(z) , если в разложении (4.7) c_nne0,~ c_k=0 при k>n .

2. Главная часть ряда Лорана в случае полюса порядка и записывается следующим образом:

а) в случае $z_0inmathbb{C}$ в виде $sum_{k=-n}^{-1} c_k(z-z_0)^n$ , или $sum_{k=1}^{n} frac{c_{-k}}{(z-z_0)^k}$ , или, подробнее:

$frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}+frac{c_{-n+1}}{(z-z_0)^{n-1}}+ ldots+ frac{c_{-1}}{z-z_0},quad c_{-n}ne0,;$

(4.10)

б) в случае z_0=infty в виде $sum_{k=1}^{n}c_nz^k$ , или $sum_{k=-n}^{-1} frac{c_{-k}}{z^k}$ (см. (4.7)), или, подробнее:

$c_ncdot z^n+ c_{n-1}cdot z^{n-1}+ldots+c_1cdot z,quad c_nne0.$

(4.11)

3. Главная часть ряда Лорана в случае существенно особой точки записывается так:

а) в случае $z_0inmathbb{C}$ в виде $sum_{n=-infty}^{-1} c_n(z-z_0)^n$ , или $sum_{n=1}^{infty} frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}$ (см.(4.8)), или, подробнее:

$frac{c_{-1}}{z-z_0}+ frac{c_{-2}}{(z-z_0)^2}+ ldots+ frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}+ldots;$

(4.12)

б) в случае z_0=infty в виде $sum_{n=-infty}^{-1} frac{c_{-n}}{z^n}$ или $sum_{n=1}^{infty}c_nz^n$ (см.(4.9)), или, подробнее:

c_1cdot z+c_2cdot z^2+ldots+c_ncdot z^n+ldots

(4.13)

Пример 4.7. Определить тип особых точек функций: а) $f_1(z)=frac{z+2}{z^2-2z-3}$ ; б) $f_2(z)=frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}$ .

Решение

Особыми точками функций являются z_1=-1,~z_2=3,~z_3=infty . Чтобы определить тип особой точки, используем разложения функций в окрестности каждой точки, полученные в примерах 3.31 , 3.33 , 3.34.

a) $f_1(z)= frac{-1}{4}cdot frac{1}{z+1}-sum_{n=0}^{infty} frac{5(z+1)^n}{4^{n+2}},~ 0<|z+1|<4$ . В главной части разложения — один член ряда: $frac{-1}{4}cdot frac{1}{z+1}$ , здесь $c_{-1}=frac{-1}{4}ne0$ , все c_n=0 для n<-1 . Следовательно, в точке z=-1 — полюс первого порядка, т.е. простой полюс функции f_1(z) .

Аналогично из разложения $f_1(z)= frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3}+ sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n+1}}{4^{n+2}}(z-3)^n,~ 0<|z-3|<4$ получим такой же результат: точка z=3 — простой полюс функции f_1(z) .

Разложение $f_1(z)= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n+5cdot3^{n-1}}{4}cdot frac{1}{z^n},~ |z|>3$ . Функции в окрестности z=infty не содержит главной части — разложение имеет вид (4.5). Следовательно, точка z=infty — устранимая особая точка функции f_1(z) .

б) Из разложения $f_2(z)= frac{5}{16}cdot frac{1}{z-3}+ sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n+1}(n+6)}{4^{n+3}}(z-3)^n,~ 0<|z-3|<4$ следует, что z=3 — простой полюс функции f_2(z) .

Из разложения $f_2(z)= frac{-5}{16}cdot frac{1}{z+1}+ frac{-1}{4}cdot frac{1}{(z+1)^2}+ sum_{n=0}^{infty} frac{-5(z+1)^n}{4^{n+3}},~ 0<|z+1|<4$ , где $c_{-2}=frac{-1}{4}ne0$ и все c_n=0 для n<-2 , получаем, что z=-1 — полюс второго порядка функции f_2(z) .

Разложение f_2(z) в окрестности z=infty и не содержит положительных степеней, в чем можно убедиться, проанализировав разложения элементарных дробей (см. пример 3.34). Поэтому z=infty — устранимая особая точка функции f_2(z) .

Пример 4.8. Определить тип конечных особых точек для функций:

а) $exp frac{1}{z-a},~ sin frac{1}{z-a},~ cos frac{1}{z-a}$ ; б) $frac{sin z}{z^n},~ frac{1-cos z}{z^3}$ .

Решение

а) Используем разложения функций по степеням (z-a)colon

$begin{gathered}exp frac{1}{z-a}= 1+frac{1}{z-a}+ frac{1}{2!(z-a)^2}+ldots;qquad sinfrac{1}{z-a}= frac{1}{z-a}- frac{1}{3!(z-a)^3}+ldots;\ cosfrac{1}{z-a}= 1-frac{1}{2!(z-a)^2}+ldots end{gathered}$

Убеждаемся, что для всех указанных функций точка z=a является существенно особой точкой, так как в разложениях главная часть содержит бесконечное число членов, т.е. имеется бесконечное число членов с отрицательными степенями (см. п.1 утверждения 4.1).

б) Запишем разложения функций по степеням zcolon

$begin{aligned}frac{sin z}{z^n}&= frac{1}{z^n}! left(z-frac{z^3}{3!}+ldotsright)= frac{1}{z^{n-1}}-frac{1}{z^{n-3}cdot3!}+ldots;\ frac{1-cos z}{z^3}&= frac{1}{z^3}! left(1-left(1-frac{z^2}{2!}+frac{z^4}{4!}+ldotsright)right)= frac{1}{2!z}-frac{z}{4!}+ldots end{aligned}$

Для первой функции при n=1 в разложении отсутствует главная часть — совокупность членов с отрицательными степенями. Следовательно, согласно п.1 утверждения 4.1, точка z=0 для $frac{sin z}{z}$ является устранимой особой точкой.

При n>1 главная часть разложения содержит конечное число членов, поэтому точка z=0 для $frac{sin z}{z^n}$ является полюсом (см. п.2 утверждения 4.1). Кроме того, так как при n>1 в разложении старшая отрицательная степень равна (n-1) , то, согласно п. 1 замечаний 4.2, заключаем, что z=0 для $frac{sin z}{z^n}$ при n>1 является полюсом порядка (n-1) . Рассуждая аналогично, получаем, что z=0 является полюсом первого порядка — простым полюсом для функции $frac{1-cos z}{z^3}$ .

Сравнивая разложения функций по степеням в окрестности z_0=0 (формулы (4.4),(4.6),(4.8) при z_0=0 ) и z=infty (формулы (4.5), (4.7), (4.9)), можно сделать следующее заключение.

Утверждение 4.2

1. Чтобы z=infty была устранимой особой точкой функции f(z) , необходимо и достаточно, чтобы точка xi=0 была устранимой (или не особой) для $varphi(xi)= f!left(frac{1}{xi}right)$ .

2. Чтобы z=infty была полюсом порядка функции f(z) , необходимо и достаточно, чтобы точка xi=0 была полюсом порядка функции $varphi(xi)= f!left(frac{1}{xi}right)$ .

3. Чтобы z=infty была существенно особой точкой функции f(z) , необходимо и достаточно, чтобы точка xi=0 была существенно особой точкой функции $varphi(xi)= f!left(frac{1}{xi}right)$ .

Замечание 4.3. Как и в случае конечной особой точки z_0 , в которой функция не определена, но $limlimits_{zto z_0}f(z)=0$ (см. утверждение 3.5) , так и для z=0 в случае $limlimits_{ztoinfty}f(z)=0$ , устранимую особую точку z=infty можно считать нулем функции f(z) . Порядок нуля можно определить как порядок нуля функции varphi(xi) в точке xi=0 .

Пример 4.9. Исследовать точку z=infty для функций: a) $f(z)=frac{1}{z^2(z-2)}$ ; б) $f(z)=frac{z^2+1}{3z^2-2}$ ; в) $f(z)= zsinfrac{1}{z}$ .

Решение

Правила определения порядка полюса

Используя формулу (4.6) разложения функции в ряд в окрестности полюса, можно получить практически удобные правила определения порядка полюса, не требующие записи разложений в ряд в каждом конкретном случае.

Пусть $z_0~(z_0in mathbb{C})$ — полюс порядка n~(Pi(n)) функции f(z) . Разложение (4.6), где главная часть имеет вид (4.10) , преобразуем следующим образом:

$f(z)=frac{1}{(z-z_0)^n}bigl[c_{-n}+c_{-n+1}cdot (z-z_0)+ ldots+c_0(z-z_0)+ ldotsbigr]$ или $f(z)=frac{varphi(z)}{(z-z_0)^n}$ ,

где varphi(z) — функция, аналитическая в точке z_0 , как сумма степенного ряда, записанного в скобках, и $varphi(z_0)=c_{-n}ne0$ .

Далее рассмотрим функцию $F(z)=frac{1}{f(z)}$ , то есть $F(z)=frac{(z-z_0)^n}{varphi(z)}$ или F(z)=(z-z_0)^n varphi_1(z) , где — аналитическая в точке z_0 и varphi_1(z_0)ne0 . Из этого, согласно утверждению 3.5, следует, что z_0 является нулем порядка функции F(z) . Можно доказать и обратное утверждение.

А именно, если функция представлена в виде $f(z)=frac{varphi(z)}{(z-z_0)^n}$ , где — функция, аналитическая в точке z_0 , и varphi(z_0)ne0 , то z_0 — полюс порядка функции f(z) , а также, если z_0 — нуль порядка функции F(z) , то для функции $f(z)=frac{1}{F(z)}$ эта точка является полюсом порядка .

Кроме того, рассмотрим частное $f(z)=frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ , где точка z_0 является нулем порядка для функции f_1(z) и нулем порядка для функции f_2(z) , то есть $f(z)= frac{(z-z_0)^k varphi_1(z)}{(z-z_0)^m varphi_2(z)}$ . При m>k получаем $f(z)= frac{varphi(z)}{(z-z_0)^{m-k}}$ , из чего, с учетом приведенных выше рассуждений, находим, что z_0 — полюс порядка (m-k) . Заметим, что при m=k точка z_0 — устранимая особая точка; случай m<k рассмотрен ранее. Результаты приведенных рассуждений запишем в виде утверждения.

Утверждение 4.3

1. Для того чтобы точка z_0 была полюсом порядка функции f(z) , необходимо и достаточно, чтобы ее можно было записать в виде

$f(z)= frac{varphi(z)}{(z-z_0)^n},quad varphi(z_0)ne0.$

(4.14)

2. Для того чтобы точка z_0 была полюсом порядка функции f(z) , необходимо и достаточно, чтобы она была нулем порядка функции $frac{1}{f(z)}$ (связь нулей с полюсами).

3. Если точка z_0 является нулем порядка функции f_1(z) и нулем порядка функции f_2(z)~(m>k) , то она — полюс порядка (m-k) для $frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ .

Пример 4.10. Определить порядок полюсов функций из примеров: а) 4.7 ; б) 4.8.

Решение

Замечания 4.4

1. Так как конечными особыми точками рациональной дроби $frac{P_n(z)}{Q_m(z)}$ являются только нули знаменателя, то это либо полюсы, либо устранимые особые точки функции.

2. Такое же заключение можно сделать и для функции вида $f(z)= frac{varphi(z)}{Q_m(z)}$ , где — аналитическая функция. При этом, используя определение устранимой особой точки (4.1) и правила определения порядка нуля и полюса (утверждения 3.5 и 4.3), можно сделать следующие выводы относительно особой точки z_0 — нуля порядка k~[0(k)] знаменателя:

а) z_0 — полюс порядка функции f(z) , если varphi(z_0)ne0 ;
б) z_0 — полюс порядка (k-n) , если z_0 — нуль порядка функции varphi(z) и k>n ;
в) z_0 — устранимая особая точка функции f(z) , если z_0 — нуль порядка функции ;

г) z_0 — нуль порядка (n-k) функции f(z) , если z_0 — нуль порядка функции varphi(z) и n>k ; при этом полагаем $f(z_0)= limlimits_{zto z_0}f(z)=0$ .

▼ Примеры нахождения особых точек и определения их типа

Пример 4.11. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:

а) $f(z)= frac{z^2-4z+3}{(z-1)^3(z+2)^2}$ ; б) $f(z)= frac{z+2i}{z^3+8i}$ .

Решение

Конечными особыми точками этих рациональных дробей являются нули знаменателя. Чтобы для каждой их этих точек определить, является ли она полюсом или устранимой особой точкой, нужно, согласно определению, найти предел функции в этой точке. В случае полюса, т.е. когда $limlimits_{zto z_0}f(z)=infty$ , далее следует определить его порядок. Для этого используется утверждение 4.3.

Можно поступить иначе — согласно замечанию 4.4. Для этого нужно найти и нули числителя.

а) Особые точки функции z_1=1,~ z_2=-2 . Для точки z_2=-2 можно применить формулу (4.14) и из $f(z)= frac{varphi(z)}{(z+2)^2}$ , где $varphi(z)= frac{z^2-4z+3}{(z-1)^3}$ и varphi(-2)ne0 , получить, что эта точка — полюс второго порядка. Для точки z_1=1 формула (4.14) не применима, так как из $varphi(z)= frac{z^2-4z+3}{(z+2)^2}$ имеем varphi(1)=0 . Поступаем далее согласно замечанию 4.4. Раскладываем на множители числитель и записываем функцию

$f(z)= frac{(z-1)(z-3)}{(z-1)^3(z+2)^2}= frac{z-3}{(z-1)^2(z+2)^2}= frac{varphi(z)}{(z-1)^2},quad varphi(1)ne0.$

Получаем, что z=1 — полюс второго порядка для f(z) .

б) Особые точки функции — корни уравнения z^3+8i=0 , то есть z=sqrt[LARGE{3}]{-8i} или $z_k= exp left[left(-frac{pi}{6}+ frac{2kpi}{3}right)!iright],~ k=0,1,2$ . Все эти точки: $z_{1,3}=2! left(pmfrac{sqrt{3}}{2}-i frac{1}{2}right)!,~ z_2=2i$ — простые нули знаменателя, и так как числитель в этих точках не обращается в нуль, то они — простые полюсы функции f(z) .

Пример 4.12. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:

а) $f(z)= frac{z^6+z^4-z^2-1}{(z^2-4z+3)^2}$ ; б) $f(z)= frac{z-2i}{z^3+8i}$ .

Решение

Пример 4.13. Найти конечные особые точки функций и определить их тип:

а) $f(z)=frac{cospi z}{(4z^2-1)(z^2+3)}$ ; б) $f(z)=frac{sinpi z}{z^4-1}$ .

Решение

Конечными особыми точками этих функций вида $f(z)= frac{varphi(z)}{Q_4(z)}$ , где — аналитическая функция, являются только нули знаменателя.

а) Особые точки функции: $z_1=frac{2}{2},~ z_2=-frac{1}{2},~ z_3=isqrt{3},~-i sqrt{3}$ . Точки z_3 и z_4 — простые полюсы, так как числитель в этих точках не обращается в нуль и функцию можно представить в виде $f(z)= frac{varphi(z)}{z-z_0},~ varphi(z_0)ne0,~ z_0$ — точка z_3 или z_4 . В точках $z=pmfrac{1}{2}$ числитель обращается в нуль. Очевидно, это простые нули числителя, и поэтому его можно записать в виде cospi z= (z-z_0)cdot varphi(z),~ varphi(z_0)ne0,~ z_0 — точка z_1 или z_2 . Тогда для функции f(z) получаем

$f(z)= frac{(z-z_0)cdot varphi(z)}{4 left(z-dfrac{1}{2}right)!! left(z+ dfrac{1}{2}right)! (z^2+3)},.$

Так как $limlimits_{zto z_k} f(z)neinfty$ для $z_0=z_1=frac{1}{2}$ или $z_0=z_2=-frac{1}{2}$ , то эти точки — устранимые особые точки функции f(z) .

б) Особые точки функции: $z_{1,2}=pm1,~ z_{3,4}=pm i$ . Точки z_3=i и z_4=-i — простые полюсы.

Для точек z_1=1 и z_2=-1 проводим рассуждения, как в предыдущем пункте, и находим, что они — устранимые особые точки f(z) .

Пример 4.14. Определить тип особой точки z=0 для следующих функций: а) $f(z)= frac{e^z-1-z}{e^{z^5}-1}$ ; б) $f(x)= frac{cos z^2-1}{z^3sin^2z^2}$ .

Решение. В точке z=0 и числитель, и знаменатель каждой из функций обращается в нуль. Определим порядок нуля в каждом случае и используем п.3 утверждения 4.4.

а) Из разложений по степеням функций

$begin{gathered} e^z-1-z&= left(1+z+frac{z^2}{2!}+ldotsright)-1-z= frac{z^2}{2!}+frac{z^3}{3!}+ldots\ e^{z^5}-1&= left(1+z^5+frac{z^{10}}{2!}+ldotsright)-1= z^5+frac{z^{10}}{2!}+ldots end{gathered}$

находим, что z=0 — нуль второго порядка для числителя (0(2)) и нуль пятого порядка для знаменателя (0(5)) . Следовательно, z=0 — полюс третьего порядка для функции f(z) .

б) Используя правила определения порядка нуля, в частности, как и в предыдущем пункте, раскладывая функции в ряды по степеням , находим, что z=0 является 0(2) для числителя и 0(7) для знаменателя. Следовательно, z=0 -полюс пятого порядка для f(z) .

Пример 4.15. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:

а) $f(z)= frac{e^{2+2i}}{z^4-16}$ ; б) $f(z)= frac{(z+pi) sin frac{pi z}{2}}{zsin^2z}$ .

Решение

Пример 4.16. Определить тип особой точки z=0 для следующих функций:

а) $f(z)= frac{sin z-z}{cos z-1-dfrac{z^2}{2}}$ ; б) $f(z)= frac{sin z+z}{operatorname{ch}z-1-dfrac{z^2}{2}}$ ; в) $f(z)= frac{sin z-z}{cos z-1+dfrac{z^2}{2}}$ ; г) $f(z)= frac{sin z+z}{operatorname{ch}z-1+dfrac{z^2}{2}}$ .

Решение

Точка z=0 является нулем и знаменателя, и числителя для каждой из функций. Определим порядок нуля в каждом случае, используя правило определения порядка нуля (утверждение 3.5), в частности, раскладывая соответствующую функцию по степеням .

а) Из разложений

$begin{aligned}sin z-z&= left(z-frac{z^3}{3!}+ldotsright)-z=-frac{z^3}{3!}+ frac{z^5}{5!}+ldots\ cos z-1-frac{z^2}{2}= left(1-frac{z^2}{2!}+ frac{z^4}{4!}-ldotsright)-1-frac{z^2}{2}=-z^2+frac{z^4}{4!}-ldots end{aligned}$

находим, что z=0 является 0(3) для числителя и 0(2) — для знаменателя, поэтому она — устранимая особая точка. Так как

$limlimits_{zto0}f(z)= limlimits_{zto0} frac{z^3! left(-frac{1}{3}+ frac{z^2}{5!}+ ldotsright)}{z^2! left(-1+frac{z^2}{4!}-ldotsright)}=0,$

то, полагая f(0)=0 , можно считать, что z=0 — нуль для f(z) , причем 0(1) (см. замечания 4.4).

б) Из разложений

$sin z+z=2z-frac{z^3}{3!}+ldots$ и $operatorname{ch}z-1-frac{z^2}{2}= left(1+frac{z^2}{2!}+ frac{z^4}{4!}+ldotsright)-1-frac{z^2}{2}= frac{z^4}{4!}+ frac{z^6}{6!}+ldots$

находим, что z=0 является 0(1) для числителя и 0(4) — для знаменателя. Поэтому z=0 — полюс третьего порядка для f(z) .

в) Как и в предыдущих пунктах, находим, что z=0 является 0(3) для числителя и 0(4) — для знаменателя. Поэтому z=0 — простой полюс для f(z) .

г) Точка z=0 является простым нулем числителя, нулем второго порядка для знаменателя. Следовательно, это простой полюс для f(z) .

Определение порядка полюса в бесконечно удаленной точке

Рассмотрим бесконечно удаленную точку. Тип особой точки можно определить, вычисляя $limlimits_{ztoinfty}f(z)$ или раскладывая функцию в ряд Лорана (см. примеры 4.4, 4.7). Можно свести задачу к исследованию конечной точки $xi=0,left(frac{1}{z}= xiright)$ (см. утверждение 4.2 и пример 4.9). В двух последних случаях определяется и порядок полюса.

Практически удобное правило определения порядка полюса z=infty можно получить, используя п. 2 утверждения 4.2 и правила определения порядка полюса в конечной точке (утверждение 4.3). Действительно, пусть z=infty-Pi(n) для функции f(z) , тогда xi=0-Pi(n) для $f! left(frac{1}{xi}right)$ и можно записать $f! left(frac{1}{xi}right)= frac{F(xi)}{xi^n},~ F(xi)ne0$ (см. (4.14)). Поэтому, обозначив $f! left(frac{1}{z}right)= varphi(z)$ , для f(z) получим

$f(z)=z^ncdot varphi(z),qquad limlimits_{ztoinfty} varphi(z)ne0,qquad limlimits_{ztoinfty} varphi(z)neinfty.$

(4.15)

Представление функции в виде (4.15) является необходимым и достаточным условием полюса порядка функции f(z) в точке z=infty .

Замечание 4.5. Используя формулу (4.15), нетрудно убедиться, что если z=infty-Pi(m) для f_1(z) и Pi(k) для f_2(z) , то z=infty — полюс порядка (m-k) для функции $f(z)= frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ .

Пример 4.17. Определить тип особой точки z=infty для функций: а) f(z)= z^2(z-2) ; б) $f(z)=frac{z^5+z^2+1}{z^3-2z}$ .

Решение

Так как $limlimits_{ztoinfty}f(z)=infty$ в обоих случаях, то z=infty для данных функций — полюс. Определим порядок полюса.

а) Точка z=infty является полюсом третьего порядка, в чем можно убедиться любым из следующих способов.

Первый способ. Разложение функции по степеням имеет вид f(z)=z^3-2z,~c_3ne0 , все c_n=0,~n>3 , и по определению (см. формулы (4.7), (4.11)) заключаем, что z=infty-Pi(3) .

Второй способ. Обозначим $z=frac{1}{xi}$ , получим функцию $f! left(frac{1}{xi}right)= frac{1-2xi}{xi^3}$ , для которой xi=0-Pi(3) . Поэтому, согласно п. 2 утверждения 4.2, точка z=infty-Pi(3) для f(z) .

Третий способ. Запишем функцию в виде $f(z)=z^3! left(1-frac{2}{z}right)$ и, так как функция $varphi(z)=left(1-frac{2}{z}right)$ — удовлетворяет условиям формулы (4.15), получим, что z=infty-Pi(3) для f(z) .

б) Разложение функции в ряд по степеням представляет некоторые трудности. Используем другие способы.

Первый способ. Обозначим $z=frac{1}{xi}$ , получим $f! left(frac{1}{xi}right)= frac{(xi^5+xi^3+1)cdotxi^3}{xi^5cdot(1-2xi^2)}$ , или $f! left(frac{1}{xi}right)= frac{xi^5+xi^3+1}{xi^2cdot(1-2xi^2)}$ .

Поэтому xi=0 является Pi(2) для $f!left(frac{1}{xi}right)$ и, следовательно, z=infty-Pi(2) для f(z) .

Второй способ. Представим функцию в виде $f(z)= frac{z^5cdot left(1+ dfrac{1}{z^3}+dfrac{1}{z^2}right)}{z^3cdot left(1-dfrac{2}{z^2}right)}$ или f(z)= z^2cdot varphi(z) , где $limlimits_{ztoinfty} varphi(z)=1$ , и, согласно формуле (4.15), z=infty-Pi(2) для f(z) .

Третий способ. Используем замечание 4.5. Можно определить порядок полюса z=infty для дроби $frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ , зная соответствующие порядки полюсов числителя и знаменателя. Здесь, очевидно, z=infty-Pi(5) для числителя и Pi(3) — для знаменателя (см. формулы (4.7), (4.11)). Поэтому z=infty-Pi(2) для f(z) .

Пример 4.18. Определить порядок полюса в точке z=infty для следующих функций: а) $f(z)= frac{z^3}{z-1}$ ; б) $f(z)=z^2+1+frac{1}{z^2-1}$ .

Решение

Определение типа особых точек для суммы, разности, произведения и частного функций

Пусть z_0 — особая точка функций f_1(z) и f_2(z) и тип особой точки для каждой из функций известен. Требуется определить тип особой точки для функций $f_1(z)pm f_2(z);~ f_1(z)cdot f_2(z);~ frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ . Рассмотрим следующие случаи.

Первый случай. Пусть точка го является полюсом порядка m~(Pi(m)) для функции f_1(z) и полюсом порядка k~(Pi(k)) для функции f_2(z) .

а) При исследовании суммы f(z)= f_1(z)+ f_2(z) воспользуемся формулой (4.14) (п.1 утверждения 4.3) и запишем слагаемые в виде

$f_1(z)=frac{varphi_1(z)}{(z-z_0)^m},~~ f_2(z)=frac{varphi_2(z)}{(z-z_0)^k}$ , где varphi_1(z_0)ne0,~varphi_2(z_0)ne0 .

При k=m для суммы f(z)= f_1(z)+ f_2(z) получаем $f(z)= frac{varphi_1(z)+varphi_2(z)}{(z-z_0)^m}$ или $f(z)=frac{varphi(z)}{(z-z_0)^m}$ , где varphi(z)= varphi_1(z)+ varphi_2(z) . Если varphi(z_0)ne0 , то z_0-Pi(m) для функции f(z) . Однако для функций f_1(z),, f_2(z) может выполняться условие varphi_1(z_0)+ varphi_2(z_0)=0 и’ следовательно, varphi(z_0)=0 . В этом случае формула (4.14) не применима и точка z_0 не будет полюсом порядка для f(z) . В соответствии с п.3 утверждения 4.3 порядок полюса будет меньше, чем , и равен (m-p) в случае m>p , где — порядок нуля функции varphi(z) . Если p=m , то z_0 — устранимая особая точка для f(z) .

Таким образом, при сложении функций порядок полюса в точке может оказаться равным или меньше, чем наибольший из порядков слагаемых.

б) Для исследования произведения f_1(z)cdot f_2(z) воспользуемся формулой связи нулей с полюсами (п.2 утверждения 4.3) и рассмотрим вспомогательные функции $F_1(z)= frac{1}{f_1(z)},~ F_2(z)= frac{1}{f_2(z)}$ . Для первой из этих функций z_0-0(m) , для второй соответственно z_0-0(k) . а поэтому для F(z)= F_1(z)cdot F_2(z) она будет 0(m+k) . Согласно п.2 утверждения 4.3, z_0 является Pi(m+k) для .

в) Аналогичные рассуждения для частного $frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ приводят к результату: при m>k точка z_0 является Pi(m-k) для $frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ .

Второй случай. Пусть точка z_0 является полюсом, устранимой особой точкой или не особой для f_1(z) и существенно особой для f_2(z) . Так как $limlimits_{zto z_0}f_2(z)$ не существует, то по свойству пределов он не существует для каждой из рассматриваемых комбинаций $f_1(z)pm f_2(z);~ f_1(z)cdot f_2(z);~ frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ . Следовательно, для каждой из них z_0 — существенно особая точка. Заметим, что для функции $frac{1}{f_2(z)}$ эта точка является либо существенно особой точкой, либо не является изолированной особой точкой. Последнее проиллюстрировано в примере 4.5 для функции $frac{1}{sin z^{-1}}$ .

Третий случай. Пусть z_0 — полюс порядка для f_1(z) и устранимая особая точка для f_2(z) . Разложения этих функций в ряд в окрестности z_0 имеют вид (4.6) и (4.4) соответственно.

а) При сложении рядов в общей области сходимости получится ряд, главную часть которого будет составлять главная часть ряда функции f_1(z) . Следовательно, для f(z)= f_1(z)pm f_2(z) точка z_0 — полюс порядка .

б) Аналогичные рассуждения приводят к заключению, что такой же результат получится и для f(z)= f_1(z)cdot f_2(z) , если $limlimits_{zto z_0}f_2(z)ne0$ .

Если $limlimits_{zto z_0}f_2(z)=0$ и z_0-0(p),~ p<n для функции f_2(z) , то из равенства

$f_1(z)cdot f_2(z)= frac{varphi_1(z)}{(z-z_0)^n}cdot varphi_2(z)cdot (z-z_0)^p= frac{varphi(z)}{(z-z_0)^{n-p}}$ заключаем, что z_0-Pi(n-p) .

в) Для частного $frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ при условии $limlimits_{zto z_0} f_2(z)ne0$ из равенства $f(z)= frac{f_1(z)}{f_2(z)}= frac{varphi_1(z)}{(z-z_0)^n f_2(z)}= frac{varphi(z)}{(z-z_0)^n}$ заключаем, что z_0-Pi(n) для f(z) .

Если $limlimits_{zto z_0}f_2(z)=0$ и z_0-0(p) для f_2(z) , то, используя условие кратного нуля, из равенства

$f(z)= frac{f_1(z)}{f_2(z)}= frac{varphi_1(z)}{(z-z_0)^n varphi_2(z) (z-z_0)^p}= frac{varphi(z)}{(z-z_0)^{n+p}}$

заключаем, что z_0 является Pi(n+p) для $frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ , где — порядок полюса функции f_1(z),~p — порядок нуля функции f_2(z) в точке z_0 .

Подводя итог, запишем следующее утверждение.
Утверждение 4.4

1. Пусть точка z_0 является Pi(m) для функции f_1(z) и Pi(k) для функции f_2(z) . Тогда:

а) для f_1(z)pm f_2(z) она будет Pi(n),~ n leqslant max(m,k) , а при n=0 — устранимой особой точкой;

б) для f_1(z)cdot f_2(z) она является Pi(n),~ n=m+k ;

в) для $frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ она будет Pi(n),~ n=m-k .

2. Пусть z_0 — существенно особая точка для функции f_2(z) и устранимая особая точка или полюс для функции f_1(z) . Тогда z_0 — существенно особая точка для $f_1(z)pm f_2(z);~ f_1(z)cdot f_2(z);~ frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ .

3. Пусть точка z_0 является Pi(n) для функции f_1(z) и устранимой особой точкой для функции f_2(z) . Тогда:

а) для f_1(z)pm f_2(z) она будет Pi(n) ;

б) для f_1(z)cdot f_2(z) она является Pi(n) , если $limlimits_{zto z_0}f_2(z)ne0$ , и Pi(n-p) , если $limlimits_{zto z_0}f_2(z)=0$ и — порядок нуля f_2(z) в точке z_0 ;

в) для $frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ она будет Pi(n) , если $limlimits_{zto z_0}f_2(z)ne0$ , и Pi(n+p) , если $limlimits_{zto z_0}f_2(z)=0$ и — порядок нуля f_2(z) в точке z_0 ;

4. Если точка z_0-Pi(n) для varphi(z) , то она существенно особая точка для сложной функции f(varphi(z)) . В этом можно убедиться, рассматривая ряды для и в окрестности z_0 .

Пример 4.19. Определить тип особой точки z=0 для функции f(z) , если f(z)= f_1(z)+ f_2(z) , где $f_1(z)= frac{1}{z^2}$ , а функция f_2(z) определяется следующим образом:

а) $f_2(z)= frac{1}{z}-frac{2}{z^2}$ ; б) $f_2(z)= frac{1}{z}-frac{1}{z^2}$ ; в) $f_2(z)=1-frac{1}{z}$ .

Решение

Пример 4.20. Найти особые точки функции $f(z)= frac{1}{e^z-1}-frac{1}{z}$ . Определить их тип.

Решение

Особыми точками функции являются особые точки первого слагаемого z=2kpi i,~ kinmathbb{Z} , особая точка второго слагаемого z=0 входит в это множество. Точки z_k=2kpi i,~kne0 являются простыми нулями знаменателя и поэтому простыми полюсами первой функции; для второго слагаемого эти точки не являются особыми. Поэтому точки -простые полюсы f(z) (см. п. 3 “а” утверждения 4.4).

Точка z=0 — простой полюс и для первого, и для второго слагаемого. Для f(z) — это или простой полюс, или устранимая особая точка (см. п.1 “а” утверждения 4.4). Преобразуем разность в дробь: $f(z)= frac{z-e^z+1}{(e^z-1)z}$ . Точка z=0 является нулем второго порядка и для числителя, и для знаменателя. Следовательно, это — устранимая особая точка, в чем можно убедиться, используя определение, т.е. находя $limlimits_{zto0}f(z)$ . Действительно,

$limlimits_{zto0}f(z)= limlimits_{zto0} frac{-1-z-dfrac{z^2}{2!}+ldots+z+ 1}{left(-1-z-dfrac{z^2}{2!}+ldots-1 right)!z}= limlimits_{zto0} frac{-dfrac{z^2}{2!}-dfrac{z^3}{3!}-ldots}{z^2! left(1+dfrac{z}{2!}+ldotsright)}= limlimits_{zto0} frac{-z^2! left(dfrac{1}{2!}+ dfrac{z}{3!}+ldotsright)}{ z^2!left(1+dfrac{z}{2!}+ldotsright)}=-frac{1}{2},.$

Точка z=infty для данной функции является неизолированной особой точкой, так как в любой ее окрестности |z|>R содержится бесконечное множество особых точек вида z_k=2kpi i . Эта точка- предельная точка полюсов. Заметим, что для знаменателя первого слагаемого функции она — существенно особая точка.

Пример 4.21. Найти особые точки следующих функций, определить их тип:

а) $f(z)= frac{z-pi}{sin^2z}cos frac{1}{z-2i}+ frac{1}{z^6+1}$ ; б) $f(z)= frac{1}{z^2-1} sin frac{pi z}{2z+1}+ frac{1}{e^z+i}$ .

Решение

Обозначим f_1(z) — первое слагаемое, f_2(z) — второе слагаемое функции f(z) , т.е. имеем f(z)=f_1(z)+f_2(z) .

а) Для f_1(z) точка z=2i является существенно особой точкой, так как это существенно особая точка для $cos frac{1}{z-2i}$ множителя этой функции. Поэтому она — существенно особая точка для f(z) (п. 2 утверждения 4.4).

Точки z_k=kpi,~kne1 — полюсы второго порядка функции f_1(z) , так как ее можно записать в виде $f_1(z)=frac{varphi(z)}{sin^2z}$ , где varphi(z_k)ne0 , а для знаменателя эти точки — нули второго порядка . Так как для f_2(z) эти точки не особые, то z_k=kpi,~znepi — полюсы второго порядка для f(z) (п. 3 утверждения 4.4).

С помощью аналогичных рассуждений получаем, что z=pi — простой полюс для f(z) .

Особыми точками f_2(z) являются корни уравнения z^6+1=0 , то есть $z_k=exp frac{(-pi+2kpi)i}{6},~ k=0,1,ldots,5$ . Все они — простые нули знаменателя- функции F(z) , а потому — простые полюсы для $f_2(z)= frac{1}{F(z)}$ . Так как эти точки не являются особыми для f_1(z) , то для f(z) — это простые полюсы.

Точка z=infty — неизолированная особая точка f(z) .

б) Точка $z=frac{-1}{2}$ — полюс дроби $frac{pi z}{2z+1}$ является существенно особой точкой для $sinfrac{pi z}{2z+1}$ (п.4 утверждения 4.4), поэтому она — существенно особая точка для f_1(z) и, следовательно, для f(z) .

Точка z=1 — простой полюс для f_1(z) , так как можно записать $f_2(z)= frac{varphi(z)}{z-1},~ varphi(z)ne0$ . Поскольку z=1 не является особой точкой для f_2(z) , то она — простой полюс для f(z) .

Точка z=-1 — устранимая особая точка для f_1(z) , так как она — простой нуль и для числителя, и для знаменателя дроби $frac{sindfrac{pi z}{2z+1}}{z^2-1}$ . Так как z=-1 не является особой точкой для f_2(z) , то она — устранимая особая точка для f(z) .

Особыми точками f_2(z) являются простые нули знаменателя — корни уравнения e^z+i=0 , или e^z=-i , то есть z=operatorname{Ln}(-i) . Все точки

z_k=ln|-i|+ibigl(arg(-i)+2kpibigr) , или $z_k=i! left(2kpi-frac{pi}{2}right)!,~ kin mathbb{Z}$

являются простыми полюсами для f_2(z) и, следовательно, простыми полюсами для f(z) .

Точка z=infty — неизолированная особая точка f(z) .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Вычисление вычетов

Пусть
f(z)
имеет полюс первого порядка. Тогда она
представляется в виде f(z)
=
и рядом Лоранаf(z)
=
.
Умножимf(z)
на (z
– a)
и перейдем к пределу

lim
f(z)
(z
– a)
= lim=( 49 )

т.е.
вычет функции с полюсом первого порядка
в точке а
равен пределу
произведения функции на множитель (z
– a)
при
.

При
вычислении предела в ( 49 ) используем
правило Лопиталя

lim=
lim=lim==res
f(z)

(
50 )

т.е.
для определения вычета достаточно
значение числителя функции в точке а
разделить
на значение производной от знаменателя
в этой точке.

Если
f(z)
имеет в точке а
полюс порядка
n,
то разложение этой функции в ряд Лорана
( 46 ) умножим на (z
– a)ⁿ

(z
– a)ⁿf(z)
=
+(z
– a)
+
…+(z
– a)^n

–¹+
(z
– a)ⁿ
,
( 51 )

(n
– 1) раз продифференцируем и получим (n
– 1)!

+
.

Переход
к пределу
исключает второе слагаемое и определит
вычет

=
( 52 )

Пр.
Найти вычеты функции f
(z)
=
.

Решение.
Полюсами являются точки z
= 1,
z
= 3 .

(z
– 1)
=
= -1/2

(z
– 3)
=
= 3/2

или
по формуле ( 47 ) :
, тогда

=
,

=

Пр.
Найти вычеты функции f(z)
=
.

Решение.
Здесь z
= 2 – полюс третьего порядка, тогда по (
52 ) имеем

Определение порядка полюса

Пусть
f(z)
имеет в точке а
полюс порядка
n
и принимает вид

f(z)
=++
. . . ++(z).

Рассмотрим

f(z),
где k
произвольно, и перейдем к пределу
. Приk
< n
получим
,
при k
> n
получим 0
и только при
k
= n
получим
конечное число

, т.е. условие

(
53 )

определяет
порядок полюса для f(z)
в точке z
= a
путем подбора числа k
.

Перейдем
к обратной функции
.
Приz
= a
она обращается в 0 и её всегда можно
представить в виде

=
=

где

аналитическая функция и.
Числоn
определяет порядок
нуля для
приz
= a
и порядок полюса для f
(z).
Будем последовательно дифференцировать

и переходить к пределу.
Первый не нулевой результат появится
только после вычисленияn
– ой производной. Таким образом, для
определения порядка полюса функции f
(z),
имеющей вид дроби, достаточно выполнить
одно из следующих действий : 1) представить
её знаменатель в виде
;
2) вычислять значения производных её
знаменателя до первого ненулевого
результата.

Пр.

.

f(z)
=
приимеем полюс.

Определим его
порядок. Первый способ: проведем
разложение знаменателя в ряд

нуль
2 порядка.

Второй способ:
определим порядок нуля знаменателя
дифференцированием

Имеем полюс 2
порядка.

Пр.
Определить тип особой точки z
= 0 для функции

Решение.

f(z)=.
Определим порядок нуля числителя и
знаменателя.

имеет
ноль 2 порядка (см. выше).

=
= 0,

= 0,

= 32

имеем ноль 5 порядка.

=
,
т.е. функцияf(z)
при
имеет полюс 3 порядка.

Вычислим
производную от логарифма функции f(z)
=
=

вычет производной дает порядок полюса
функции.

Вычисление интегралов

A)
Пр. Вычислить J
=,
если-окружности:
1) |z
| = 1; 2)
| z
| = 3;
3)
| z
| = 5.

Решение.
Найдем вычеты относительно полюсов z
= 0 , z
= – 2 , z
= – 4

=

z
f(z)
=
= 1/8

=(z
+ 2) f(z)
== – ¼

=

(z
+ 4) f(z)
=
= 1/8

1)
Внутри окружности | z
| =1 находится
один полюс z
= 0

J₁=2i()
=i/4

2)
Внутри окружности | z
| = 3
находятся
полюсы z
= 0, z
=-2

J₂ = 2i()
= –i
/ 4.

3)
Внутри окружности |
z
| = 5 находятся
полюсы z
= 0, z
=-2, z
=-4

J₃
= 2i()
= 0 .

Б)
Рассмотрим
интегралы вида
.
Здесь от действительной переменнойх
легко перейти
к комплексной переменной z.
Тогда интегрирование будет производиться
вдоль замкнутой окружности с учетом
теоремы о вычетах.

Пусть
а
= 0 и
,т.е.z
является комплексной переменной с
модулем r
= 1 и аргументом
х (.
Ей соответствует окружность |z
| = 1 . Тогда
;
;

и
переходим к интегралу
.
Интервалприводит только к другой точке начала
движения по окружности.

Пр.

.
Пусть,
тогда,
,
,=
=.
Подынтегральная функция имеет две
изолированные особые точки, которые
являются полюсами 1 порядка. Но в
окружность радиуса 1 попадает только
полюси интеграл равен вычету в этой точке

В)
Пусть f
(z)
аналитическая
функция в верхней полуплоскости, включая
действительную ось, за исключением m
полюсов a_iрасположенных
над осью Ох.
Кроме того, lim
z²
f(z)
= C
– конечное
число при | z
|,
т.е. на
бесконечности функция становится
двукратной нулевой точкой (условие
Жордана). Построим замкнутый контур L,
состоящий из оси Ох
и полу-окружности радиуса R.
Тогда
=
+

, но

в
силу условия Жордана

= 0, и определенный интеграл от
функции
действительной
переменной
f(x)
будет
равен сумме
вычетов функции f
(z)
в a_i

J
=
=

(
54 )

Пр.
Вычислить J
=
.

Решение.
Рассмотрим функцию f
(z)
=
,
аналитическую в верхней полуплоскости,
за исключением полюса 2 порядка в 2i.
Проверка
условия Жордана :

=

=

= { z
= r
e^it
} =

=

=
0 , т.е. конечное число
да.

Вычисление
вычета по формуле ( 52 )

====

Ответ.
J
= 2i

=
2i
()
=
.

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. Полюс.

Модуль Гамма-функции . Слева (Re z<0) у функции есть полюса, в них она стремится к бесконечности. Справа (Re z>0) полюсов нет, функция всюду конечна.

Изолированная особая точка $z_{0}$ называется полюсом функции f(z) ,
голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки,
если существует предел

$lim _{{zto {z_{0}}}}f(z)=infty$ .

Критерии полюса[править | править код]

$f(z)=sum _{{k=-infty }}^{{infty }}{f_{k}}(z-z_{0})^{k}=P(z)+f_{{-n}}(z-z_{0})^{{-n}}+ldots +f_{{-1}}(z-z_{0})^{{-1}}$ ,

где P(z) — правильная часть ряда Лорана.
Если $f_{{-n}}neq 0$ , то $z_{0}$ называется полюсом порядка .
Если n=1 , то полюс называется простым.

См. также[править | править код]

Нуль (комплексный анализ)
Мероморфная функция
Вычет
Интегральная формула Коши

Другие типы изолированных особых точек:
- Устранимая особая точка
- Существенно особая точка

Литература[править | править код]

Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.

Источник

б)

Особая точка z=3 лежит в области, ограниченной контуром . Следовательно, теорема Коши применять нельзя (функция не является регулярной во всей области). Применим ИФК:

, откуда .

Формула применима, если f(z) регулярна в области, ограниченной контуром Г. В нашем случае f(z)=z3 регулярна в области, ограниченной контуром . Получаем

Пример 2. Вычислить .

Решение. Подынтегральная функция имеет две особые точки z1=-3 и z2=1.

Особая точка z1=-3 лежит вне котура интегрирования, поэтому применим ИФК при z2=1.

Формула применима, т. к. функция регулярна в области, ограниченной ( в этой области нет особых точек).

Пример 3. Вычислить .

Решение.

Применим формулу , откуда

. Особая точка z0=2i лежит внутри контура интегрирования .

Лекция 6. Вычеты.

План лекции:

1. Изолированные особые точки.

2. Нули регулярной функции. Связь между нулем и полюсом.

3. Вычеты. Основная теорема о вычетах.

4. Вычет относительно полюса.

5. Ряд Лорана.

6. Логарифмический вычет функции. Принцип аргумента.

Содержание лекции.

Вопрос 1. Изолированные особые точки (иот).

Как сказано ранее, точка называется особой, если функция в ней не регулярна.

Пусть функция f(z) регулярна в окрестности точки z0 , за исключением самой точки z0. В этом случае z0 называется изолированной особой точкой (иот) f(z).

Будем различать три типа иот однозначной функции:

1. иот z0 называется устранимой, если существует конечный предел

Можно показать, что функция регулярна в точке z=z0.

2. иот z0 называется полюсом k-того порядка функции f(z), если предел произведения

при существует, конечен и не равен нулю:

Полюс первого порядка (k=1) называется простым полюсом. Из определения

полюса следует, что .

3. иот z0 называется существенно особой, если она не является ни устранимой особой точкой, ни полюсом.

Таким образом, чтобы определить тип иот, нужно вычислить . Если

1. , то z0 — устранимая

2. , то z0 – полюс

3. предел не существует, то z0 – существенно особая.

Пример. Найти особые точки функции и определить их тип.

1).

Производная не существует в точке . Определим тип особой точки. . Следовательно, — устранимая иот.

2).

— особая точка. Определим ее тип. . Следовательно, — полюс. Найдем порядок полюса, т. е. число k, при котором конечен предел

при k=1, т. е. полюс простой.

3) .

— особая точка. Определим ее тип. . Выберем два пути стремления :

а) вдоль действительной положительной полуоси .

Тогда

б) вдоль отрицательной действительной полуоси

Тогда .

Т. к. получились различные значения, то предел не существует, и — существенно особая точка.

Вопрос 2. Нули регулярной функции. Связь между нулем и полюсом.

Точка z0 называется нулем k-того порядка функции f(z), если функция в точке z0 равна нулю и предел при существует, конечен и не равен нулю:

Пример. Найти нули функции

f(z) обращается в ноль при z=0. Определим порядок нуля:

при k=3, т. е. z=0 – ноль 3-го порядка.

f(z) обращается в ноль при z=1. Определим порядок нуля:

при k=1, т. е. z=1 – ноль первого порядка.

f(z) обращается в ноль при z=1. Определим порядок нуля:

при k=4, т. е. z=1 – ноль 4-го порядка.

Замечание. На основании полученных решений можно сделать вывод: для дробно-рациональной функции порядок нуля равен степени соответствующего множителя в разложении f(z) на множители.

4).

Применяя замечание, получаем — ноль 2-го порядка, — простые нули.

Теорема 1. Если точка z0 — ноль k-того порядка для регулярной в этой точке функции f(z), то точка z0 — ноль (k-1)-го порядка для функции .

Доказательство. Из определения нуля k-того порядка следует, что

Следовательно, функцию можно доопределить в точке z0, положив

, причем g(z) будет регулярной в окрестности точки z0. Тогда при

, и .

Тогда, во-первых, и , т. к. непрерывна в точке z0. Во-вторых, имеем . Следовательно,

, а это и означает, что точка z0 — ноль (k-1)-го порядка для функции . Теорема доказана.

Перейдем теперь к теореме, выражающей связь между нулем и полюсом функции.

Теорема 2. Если точка z0 — ноль k-того порядка для регулярной в этой точке функции f(z), то для функции эта точка является полюсом k-того порядка.

Доказательство. Из определения нуля k-того порядка следует, что

Но тогда , т. е. предел конечен.

Отсюда и следует, что точка z0 – полюс k-того порядка. Теорема доказана.

Пример. Найти все иот функции и определить их тип.

Решение. — особая точка, причем в этой точке числитель не равен нулю.

; — простой ноль этой функции. Следовательно, для f(z) — простой полюс.

Вопрос 3. Вычеты. Основная теорема о вычетах.

Пусть функция f(z) регулярна в окрестности точки z0 за исключением z0 (т. е. z0 – иот)., Г – контур, лежащий в этой окрестности.

Вычетом функции f(z) относительно точки z0 называется выражение .

По следствию из теоремы Коши для многосвязной области величина вычета не зависит от контура Г.

Теорема 1. Вычет относительно устранимой особой точки равен нулю.

Доказательство. Пусть z0 –устранимая иот функции f(z). Тогда функция

будет регулярной в окрестности точки z0. По теореме Коши

, если Г – любой замкнутый контур, лежащий в области регулярности функции g(z) и содержащей внутри себя точку z0. Но на контуре Г по определению g(z) выполняется равенство g(z)=f(z). Следовательно, . Теорема доказана.

Перейдем теперь к основной теореме Коши о вычетах.

Теорема Коши о вычетах. Если функция f(z) регулярна в конечной замкнутой области , ограниченной контуром Г, за исключением конечного числа особых точек z1, z2,…, zn, лежащих внутри ,то .

Доказательство.

Опишем из каждой особой точки zk , как из центра, окружность Гk настолько малого радиуса, чтобы она целиком находилась внутри области и не содержала внутри себя других особых точек функции f(z). В многосвязной области, ограниченной контурами Г1, Г2, … , Гn, функция f(z) будет регулярной. По теореме Коши для многосвязной области (вторая формулировка) интеграл от функции f(z) по внешнему контуру Г равен сумме интегралов от f(z) по внутренним контурам Г1, Г2, … , Гn:

Умножим и разделим правую часть этого равенства на 2pi:

Источник

Нули функции. Рассмотрим функциюАналитическую в точкеТочка называется нулем функцииПорядка (или кратности)Когда выполняются условия:

(37.47)

ЕслиТо точкаНазывается простым нулем.

ЗначениеТогда и только тогда является нулем и-го порядка функции f(z), аналитической в точкеКогда в некоторой ее окрестности верно равенство

(37.48)

Где– функция, аналитическая в точкеИ

Особые точки. Особой точкой функцииНазывается точкаВ которой эта функция не является аналитической. ТочкаНазывается изолированной особой точкой функции, когда существует окрестность этой точки, в которой Аналитическая всюду, кроме. Особая точкаФункцииНазывается устранимой, когда существует конечный предел этой функции в данной точке: ТочкаНазывается полюсом функцииКогда

Для того, чтобы точкаБыла полюсом функцииНеобходимо и достаточно, чтобы эта точка была нулем. функции

(37.49)

ТочкуНазывают полюсом порядкаФункции, когда эта

Точка является нулем порядкаДля функцииВ случае

Полюс называют простым.

Для того, чтобы точкаЯвлялась полюсом порядкаФункции, необходимо и достаточно, чтобы функциюМожно было привести к виду

(37.50)

Где– функция, аналитическая в точкеИ

ТочкаНазывается существенно особой точкой функцииКогда в ней

ФункцияНе имеет ни конечного ни бесконечного предела.

Справедливы следующие утверждения.

1. ТочкаЯвляется устранимой особой точкой функцииТогда и только тогда, когда ее лорановское разложение в окрестности точкиНе содержит главной части.

2. ТочкаЯвляется полюсом функцииТогда и только тогда, когда главная часть ее лорановского разложения в окрестности точкиСодержит только конечное число членов:

(37.51)

Наибольший из показателей степени разностиВ знаменателях

Совпадает с порядком полюса.

3. ТочкаЯвляется существенно особой точкой функцииТогда и только тогда, когда главная часть ее лорановского разложения в окрестности точкиСодержит бесконечное множество членов.

Пример 37.31. Доказать, что точкаЯвляется нулем второго по

Рядка для функции

Разложим в ряды данную функцию и ее первую и вторую производные:

ПосколькуТ. е. выполняются условия (37.47)

При, то— нуль второго порядка для функции

Пример 37.32. Найти порядок нуляДля функции

Использовав разложение функцииВ ряд Тейлора, получим

Таким образом, функция _. j записана в виде (37.48), где– функция, аналитическая в точкеПричемЗначит, точка– нуль

Четвертого порядка для данной функции.

Пример 37.33. Найти нули функцииИ определить их порядки.

КогдаИлиТоЛибоИз первого

Равенства следует, чтоА со второго, что

ПустьТогда функциюМожно представить в виде (37.48):

Где функцияЯвляется аналитической в

ТочкеПричемЗначит, точкаЕсть нуль

Третьего порядка. Аналогично доказывается, что—нуль третьего порядка. ФункцияИмеет нулиДействительно,

Это нули первого порядка для функцииНо

Ибо

Пример 37.34. Доказать, что точкаДля функции

Является устранимой особой точкой.

Действительно, поскольку

То— устранимая особая точка.

Пример 37.35. Найти полюсы функции

Так как для функцииТочки–

Нули первого порядка,—нули второго порядка, то для функции

Точки— полюсы первого порядка, точки– полюсы второго порядка.

Замечание. Если, гдеИ– многочлены,

Не имеющие общих корней, то корни многочлена(и только они) являются полюсами функцииПорядок полюсовСовпадает с кратностью соот

Ветствующих корней многочленаНапример, когда

То– простой полюс,— полюс второго порядка,– полюс третьего порядка Пример 37.36. Исследовать особые точки функции

Поскольку

То функция имеет особые точкиИсследуем точкуФункцию

Приведем к виду (37.50):

Где– функция, аналитическая в окрестности точкиПричем

Следовательно, точкаЯвляется полюсом второго порядка. Аналогично, записав функциюВ виде

Заключаем, что– простой полюс данной функции.

Пример 37.37. Найти особые точки функцииИ опреде

Лить их типы.

Принимая во внимание, что (см. (37.3))

ПриПолучим

Этот ряд сходится всюду, кроме точкиЕго можно рассматривать как

Разложение функцииВ ряд Лорана в окрестности точкиПоскольку

Главная часть ряда имеет бесконечное множество членов, то точка является существенно особой точкой для функции

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Изолированные особые точки функций и полюсы

Классификация особых точек

Типы особых точек функции

Теоремы Сохоцкого и Пикара

Ряд Лорана в окрестности особой точки

Правила определения порядка полюса

Определение порядка полюса в бесконечно удаленной точке

Определение типа особых точек для суммы, разности, произведения и частного функций

Вычисление вычетов

Определение порядка полюса

Вычисление интегралов

Критерии полюса[править | править код]

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Вам также может понравиться

Как найти утешение души

Как найти пользователя по письму

Как составить торпеда

Добавить комментарий Отменить ответ