Как найти порядок соприкосновения кривых - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

1°. Понятие порядка соприкосновения

Рассмотрим кривые проходящие через общую точку гладкие в этой точке и имеющие в ней общую касательную Возьмем на прямой точку близкую к точке и проведем через точку плоскость , перпендикулярную Эта плоскость пересечет кривые в точках и соответственно (мы ограничиваем наши рассмотрения теми окрестностями точки на кривых которые однозначно проектируются на касательную Обозначим через I длину отрезка а через длину отрезка (рис. 26).

Определение. Будем говорить, что порядок соприкосновения кривых в точке не ниже если

Если, кроме того,

или отношение не имеет предела при то будем говорить, что порядок соприкосновения кривых в точке равен

Рис. 26. Кривые касаются одна другой в точке

Рис. 27. Единичный вектор и вектор сонаправлены, точка ортогональная проекция точки

Если равенство (1) имеет место для любого то кривые имеют по определению в точке бесконечный порядок соприкосновения.

Пример 1. Пусть графики функций соответственно. Кривые имеют общую точку касания Легко видеть, что в этом случае Поэтому

Следовательно, порядок соприкосновения кривых в точке равен 1.

Пример 2. Пусть ось а кривая задана параметрическими уравнениями Найдем порядок соприкосновения кривых в начале координат.

Имеем Поэтому

Так как предел отношения – не существует (он равен бесконечности), то порядок соприкосновения кривых в точке равен 37.

Пример 3. Пусть ось график функции

Покажем, что кривые имеют в начале координат бесконечный порядок соприкосновения.

В рассматриваемом случае Так как для любого

то наше утверждение справедливо.

Источник

1.Понятие кривизны и ее вычисление.

Рассмотрим концентрические
окружности. Будем определять кривизну
окружности радиуса Rкак величину k=1/R.
Центром кривизны назовем центр окружности,
а ее радиус – радиусом кривизны. Обобщим
эти понятия на произвольную гладкую
кривую. Рассмотрим гладкую кривую с
параметризацией x(t),y(t),для
краткости будем использовать обозначения:

x₀=x(t₀),x=x(t),y₀=y(t₀),y=y(t),u₀=x(t₀),u=x(t),v₀=y(t₀),v=y(t).

В процессе рассмотрения
t₀будет
фиксирована, а t
будет рассматриваться, как текущая
точка. Составим уравнения нормалей в
точках (x₀,y₀),
(x,y).

Найдем точку пересечения этих прямых.

или

Умножим первое
уравнение на u,
а второе на –vи
сложим.

(uv₀-vu₀)p=u(x₀-x)
+v(y₀–y)откуда

Далее перейдем к
пределу при tt₀(uu₀,vv₀).Получим

Подставляя найденной значение параметра
для предельной точки пересечения
нормалей, получим координаты предельной
точки

Полученная таким образом точка называется
центром кривизны кривой в заданной
точке, а расстояние от этой точки до
центра кривизны называется радиусом
кривизны.

.
Величина обратная радиусу кривизны
называется кривизной

Окружность с центром
в (X₀,Y₀)и радиуса R₀называется
соприкасающейся окружностью.

2.Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой.

Рассмотрим кривую , заданную в виде y=f(x),x[a,b].В качестве
параметризации выберем x=t,y=f(t),t[a,b].Тогда

,
,.

3.Порядок соприкосновения кривых.

Пусть ₁,₂представлены
функциями y=f₁(x),y=f₂(x)и пересекаются
в точке (x₀,y₀).Кривые
₁,₂имеют порядок
соприкосновения nв точке (x₀,y₀),если

,
для всех k=0,1,…,n,и
.

Достаточными условиями
для того, чтобы кривые имели порядок
касания nявляются
следующие условия:

Функции n+1непрерывно
дифференцируемы в окрестности точки
x₀и

,
k=0,…,n,
.

Для доказательства
обозначим f(x)=f₂(x)
-f₁(x).Тогда в окрестности
точки x₀имеет
место разложение по формуле Тейлора с
остатком в форме Лагранжа

,
тогда

,
k=0,1,…,n+1.

Таким образом, будут выполнены условия
из определения порядка касания.

Ответ.

Конспект лекций
Логинов А.С. ЭТФ 1 семестр loginov_1999@mail.ru

Соседние файлы в папке ma

Источник

Соприкосновение кривых

Соприкосновение кривых (точка соприкосновения) – общая точка двух графиков функций, где обе функции имеют одинаковую касательную (одинаковый наклон).

Запомни

Кривые двух функций соприкосаются, если:
$f(x_C)=g(x_C)$ и
$f'(x_C)=g'(x_C)$

Способ

Возьмите производные
Приравняйте уравнения функций: $f(x_C)=g(x_C)$
Проверьте наклоны
Определите точку касания

Пример

Определите точку соприкосновения функции $f(x)=x^2$ и $g(x)=-x^2+4x-2$.

Возьмем производные

$f(x)=x^2$
$f'(x)=2x$

$g(x)=-x^2+4x-2$
$g'(x)=-2x+4$
Приравниваем уравнения функции

Первое условие: Обе функции должны иметь общую точку.
$f(x_C)=g(x_C)$
$x^2=-x^2+4x-2quad|-x^2$
$-2x^2+4x-2=0quad|:(-2)$
$x^2-2x+1=0$

Это квадратное уравнение, которое можно решить, к примеру, используя PQ формулу.
$x_{C_{1,2}} = -frac{p}{2} pmsqrt{(frac{p}{2})^2-q}$
$x_{C_{1,2}} = 1 pmsqrt{1-1}$
$x_C=color{red}{1}$
Проверим наклон

Второе условие: Обе функции должны иметь одинаковый наклон в точке.
$f'(x_C)=g'(x_C)$
$f'(color{red}{1})=g'(color{red}{1})$
$2cdotcolor{red}{1}=-2cdotcolor{red}{1}+4$
$2=2$
=> Функции соприкасаются в точке $x_C=1$
Определим точку соприкосновения

Точка соприкосновения должна быть определена: Поэтому, высчитываем y-координату с координатой основных функций.

$f(color{red}{1})=color{red}{1}^2=color{blue}{1}$
=> Точка соприкосновения: $C(color{red}{1}|color{blue}{1})$

Источник

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте

его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе “Помогите решить/разобраться (М)”.

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву

, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения

и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему

Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена

или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

	порядок касания кривых и каков его геометрический смысл? 21.03.2012, 17:37
01/12/11 ∞ 8634	Объясните, пожалуйста, доходчиво, что такое порядок касания . Может ли он быть бесконечным для двух несовпадающих кривых? Каков геометрический смысл порядка касания? Лично я на глаз не отличаю касание кривых и с одной стороны, и и – с другой, хотя порядок у них разный. Заранее благодарна! З. Ы. И ещё, где вся эта канитель применяется?

ИСН

Re: Что такое порядок касания и каков его геометрический смысл?

21.03.2012, 17:53

Заслуженный участник

18/05/06
13415
с Территории

Обычно это объясняют на примере рельсов. Порядки выше второго, впрочем, не отличить ни глазом, ни на ощупь. Бесконечный порядок возможен, но вряд ли кому нужен.

Ktina	Re: Что такое порядок касания и каков его геометрический смысл? 21.03.2012, 17:55
01/12/11 ∞ 8634	Обычно это объясняют на примере рельсов. А можно поподробнее?

nnosipov

Re: Что такое порядок касания и каков его геометрический смысл?

21.03.2012, 17:59

Заслуженный участник

20/12/10
8862

Может ли он быть бесконечным для двух несовпадающих кривых?

Вот стандартный пример: $y=e^{-1/x^2}$ и $y=0$ . Просто считаем количество совпадающих производных наших функций в данной точке касания.

wallflower	Re: Что такое порядок касания и каков его геометрический смысл? 21.03.2012, 18:00
24/12/11 184

Padawan

Re: Что такое порядок касания и каков его геометрический смысл?

21.03.2012, 18:19

Заслуженный участник

13/12/05
4402

И ещё, где вся эта канитель применяется?

Я лично применял эту канитель для вывода условий, при которых кривая, заданная кривизной и кручением, лежит на сфере. Вот в этой теме кривая на сфере.

ИСН

Re: Что такое порядок касания и каков его геометрический смысл?

21.03.2012, 19:00

Заслуженный участник

18/05/06
13415
с Территории

Про дороги – ну вот

topic41983.html

— Ср, 2012-03-21, 20:03 —

там говорят про “скачок кривизны”, а не “порядок касания”, но суть та же.

svv

Re: Что такое порядок касания и каков его геометрический смысл?

22.03.2012, 00:57

Заслуженный участник

23/07/08
10053
Crna Gora

Пособие “Как определить порядок касания с помощью WolframAlpha (Maple, MathCAD, Mathematica, MATLAB, …)”.

Даны функции $f(x)$ и $g(x)$ . Известно, что они касаются в точке $x=a$ , но порядок касания неизвестен, и его надо найти.
Строим график функции $frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^n}$ (“микроскоп”) в окрестности $x=a$ последовательно для значений (“порядок увеличения микроскопа”). Последнее значение $n$ , при котором функция-микроскоп при $x=a$ равна нулю (вернее, стремится к нулю), и есть порядок касания.

Пример. Определить порядок касания кривых $f(x)=1-frac{x^2}2$ и $g(x)=sqrt{1-x^2}$ в точке $x=0$ .
Решение. Строим последовательно графики $dfrac{1-frac{x^2}2-sqrt{1-x^2}}{x^n}$ для и смотрим, что происходит при $x=a=0$ :

$n=0$ . При $x=0$ — глубокий нуль.
WolframAlpha, plot (1-x^2/2-sqrt(1-x^2))/x^0 where x=-1 to 1

$n=1$ . Глубокий нуль.
WolframAlpha, plot (1-x^2/2-sqrt(1-x^2))/x^1 where x=-1 to 1

$n=2$ . Нуль.
WolframAlpha, plot (1-x^2/2-sqrt(1-x^2))/x^2 where x=-1 to 1

$n=3$ . Нуль.
WolframAlpha, plot (1-x^2/2-sqrt(1-x^2))/x^3 where x=-1 to 1

$n=4$ . Какое-то конечное число.
WolframAlpha, plot (1-x^2/2-sqrt(1-x^2))/x^4 where x=-1 to 1

$n=5$ . Бесконечность.
WolframAlpha, plot (1-x^2/2-sqrt(1-x^2))/x^5 where x=-1 to 1

Ответ: касание третьего порядка.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Источник

Кривые бывают разные.