Как найти порядок вещественного числа

Вещественные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. Числа с плавающей запятой — один из возможных способов представления действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений, его можно считать аналогом экспоненциальной записи чисел, но только в памяти компьютера.

Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных двоичных разрядов, условно разделенных на так называемые знак (англ. sign), порядок (англ. exponent) и мантиссу (англ. mantis). В наиболее распространённом формате (стандарт IEEE 754) число с плавающей запятой представляется в виде набора битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа ( — если число положительное, — если число отрицательное). При этом порядок записывается как целое число в коде со сдвигом, а мантисса — в нормализованном виде, своей дробной частью в двоичной системе счисления. Вот пример такого числа из двоичных разрядов:

Знак
	Порядок	Мантисса
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	14	10	9	0

Знак — один бит, указывающий знак всего числа с плавающей точкой. Порядок и мантисса — целые числа, которые вместе со знаком дают представление числа с плавающей запятой в следующем виде:

, где — знак, — основание, — порядок, а — мантисса.
Десятичное число, записываемое как , где — число в полуинтервале , — степень, в которой стоит множитель ; в нормализированной форме модуль будет являться мантиссой, а — порядком, а будет равно тогда и только тогда, когда принимает отрицательное значение.
Например, в числе

Порядок также иногда называют экспонентой или просто показателем степени.

При этом лишь некоторые из вещественных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями.

Более простым вариантом представления вещественных чисел является вариант с фиксированной точкой, когда целая и вещественная части хранятся отдельно. Например, на целую часть отводится всегда бит и на дробную отводится всегда бит. Такой способ в архитектурах процессоров не присутствует. Отдаётся предпочтение числам с плавающей запятой, как компромиссу между диапазоном допустимых значений и точностью.

Нормальная и нормализованная форма

Нормальной формой (англ. normal form) числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) в десятичной системе находится на полуинтервале . Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, можно записать в 4 формах — , , , ), поэтому распространена также другая форма записи — нормализованная (англ. normalized), в которой мантисса десятичного числа принимает значения от (включительно) до (не включительно), а мантисса двоичного числа принимает значения от (включительно) до (не включительно). То есть в мантиссе слева от запятой до применения порядка находится ровно один знак. В такой форме любое число (кроме ) записывается единственным образом. Ноль же представить таким образом невозможно, поэтому стандарт предусматривает специальную последовательность битов для задания числа (а заодно и некоторых других полезных чисел, таких как и ).
Так как старший двоичный разряд (целая часть) мантиссы вещественного числа в нормализованном виде всегда равен «», то его можно не записывать, сэкономив таким образом один бит, что и используется в стандарте IEEE 754. В позиционных системах счисления с основанием большим, чем (в троичной, четверичной и др.), этого замечательного свойства нет (ведь целая часть там может быть не только единицей).

Типы чисел с плавающей точкой (по IEEE 754)

Число половинной точности (Binary16, Half precision)

Число́ полови́нной то́чности  — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти половину машинного слова (в случае 32-битного компьютера — бит или байта). В силу невысокой точности этот формат представления чисел с плавающей запятой обычно используется в видеокартах, где небольшой размер и высокая скорость работы важнее точности вычислений.

Знак
	Порядок	Мантисса
0	0	0	0	0	0	1,	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	14	10		9	0

Порядок записан со сдвигом . То есть чтобы получить актуально значение порядка нужно вычесть из него сдвиг. Сдвиг можно получить по формуле , где — число бит, отведенное на хранение порядка (в случае числа половинной точности ).

Ограничения точности

• Целые от нуля до передаются как есть.
• Целые от до округляются к ближайшему чётному целому.
• Целые от до округляются до ближайшего целого, делящегося нацело на четыре.
• Целые от до округляются до ближайшего целого, делящегося на восемь.
• Целые от до округляются до ближайшего целого, делящегося на шестнадцать.
• Целые от до округляются до ближайшего целого, делящегося на тридцать два.

Число одинарной точности (Binary32, Single precision, float)

Число́ одина́рной то́чности — компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти одно машинное слово (в случае 32-битного компьютера — бита или байта). Используется для работы с вещественными числами везде, где не нужна очень высокая точность.

Знак
	Порядок (8 бит)	Мантисса (23+1 бита)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	1,	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	30	23		22	0

Порядок записан со сдвигом .

Число двойной точности (Binary64, Double precision, double)

Число́ двойно́й то́чности —
компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти два машинных слова (в случае 32-битного компьютера — бита или байт). Часто используется благодаря своей неплохой точности, даже несмотря на двойной расход памяти и сетевого трафика относительно чисел одинарной точности.

Знак
	Порядок (11 бит)	Мантисса (52+1 бит)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1,	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	62	52		51	0

Порядок записан со сдвигом .

Число четверной точности (Binary128, Quadruple precision)

Число́ четверно́й то́чности —
компьютерный формат представления чисел, занимающий в памяти четыре машинных слова (в случае 32-битного компьютера — бит или байт). Используется в случае необходимости крайне высокой точности.

Знак
	Порядок (15 бит)	Мантисса (112+1 бит)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1,	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	126	112		111

Мантисса (112+1 бит)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0

Порядок записан со сдвигом .

Обычно этот формат реализуется программно, случаи аппаратной реализации крайне редки. Также не гарантируется поддержка этого типа в языках программирования, хотя кое-где она и реализована (например, компилятор gcc для архитектуры x86 позволяет использовать тип __float128, являющийся программной реализацией числа с четверной точностью).
В совокупности эти факторы делают Quadruple весьма экзотичным и редко встречающимся форматом чисел с плавающей запятой.

Диапазон значений чисел с плавающей запятой

Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. Пара значений показателя (когда все разряды нули и когда все разряды единицы) зарезервирована для обеспечения возможности представления специальных чисел. К ним относятся ноль, значения NaN (Not a Number, “не число”, получается как результат операций типа деления нуля на ноль) и .

Данная таблица только лишь примерно указывает границы допустимых значений, без учета возрастающей погрешности с ростом абсолютного значения и существования денормализованных чисел.

Название в IEEE 754	Название типа переменной в Си	Диапазон значений	Бит в мантиссе	Бит на переменную
Half precision	–	6,10×10-5..65504	11	16
Single presicion	float	-3,4×1038..3,4×1038	23	32
Double precision	double	-1,7×10308..1,7×10308	53	64
Extended precision	На некоторых архитектурах (например в сопроцессоре Intel) long double	-3,4×104932..3,4×104932	65	80

Особые значения чисел с плавающей точкой

Ноль (со знаком)

Как уже было оговорено выше, в нормализованной форме числа с плавающей точкой невозможно представить ноль. Поэтому для его представления зарезервированы специальные значения мантиссы и порядка — число считается нулём, если все его биты, кроме знакового, равны нулю. При этом в зависимости от значения бита знака ноль может быть как положительным, так и отрицательным.

Знак
	Порядок	Мантисса
0/1	0	0	0	0	0	1,	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	=
	14	10		9	0

Арифметика нуля со знаком

Арифметика отрицательного нуля аналогична таковой для любого отрицательного числа и понятна интуитивно. Вот несколько примеров:

• (если )

• (если )

Неопределенность (NaN)

NaN — это аббревиатура от фразы “not a number“. NaN является результатом арифметических операций, если во время их выполнения произошла ошибка (примеры см. ниже). В IEEE 754 NaN представлен как число, в котором все двоичные разряды порядка — единицы, а мантисса не нулевая.

Знак
	Порядок	Мантисса
0/1	1	1	1	1	1	1,	0/1	0/1	0/1	0/1	0/1	0/1	0/1	0/1	0/1	0/1	=
	14	10		9	0

Любая операция с NaN возвращает NaN. При желании в мантиссу можно записывать информацию, которую программа сможет интерпретировать. Стандартом это не оговорено и мантисса чаще всего игнорируется.

Как можно получить NaN?

• , где

Есть и другие способы получения NaN, подробности можно найти по ссылкам в соответствующем разделе.

По определению NaN ≠ NaN, поэтому, для проверки значения переменной нужно просто сравнить ее с собой.

Бесконечности

В число с плавающей запятой можно записать значение или . Как и нули со знаком, бесконечности позволяют получить хотя бы близкий к правильному результат вычисления в случае переполнения. Согласно стандарту IEEE 754 число с плавающей запятой считается равным бесконечности, если все двоичные разряды его порядка — единицы, а мантисса равна нулю. Знак бесконечности определяется знаковым битом числа.

Знак
	Порядок	Мантисса
0/1	1	1	1	1	1	1,	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	=
	14	10		9	0

Получить бесконечность можно при переполнении и при делении ненулевого числа на ноль. При этом

Денормализованные числа

Денормализованные числа (англ. denormalized/subnormal numbers) – это способ увеличить количество представимых числом с плавающей запятой значений около нуля, дабы повысить точность вычислений. Каждое значение денормализованного числа меньше самого маленького нормализованного (“обычного”) значения числа с плавающей запятой.
Согласно стандарту, если порядок равен своему минимальному значению (все его биты — нули, а истинное значение порядка равно его сдвигу) и все биты мантиссы равны нулю, то это . Если же мантисса не равна нулю, то это число с порядком, на единицу большим минимального (все биты порядка, кроме младшего — нули) и данной мантиссой, целая часть которой считается равной нулю, а не единице.

То есть число с плавающей запятой, при учете вышесказанного, можно задать следующим образом:

• , если (нормализованное число)

• , если (денормализованное число)

Где — бит знака, — последовательность битов мантиссы, — значение порядка (с учетом сдвига), — минимальное значение порядка, используемое для записи чисел (1 — сдвиг) , — минимальное значение порядка, которое он в принципе может принять (все биты нули, 0 — сдвиг).

Хоть денормализованные числа и позволяют бороться с погрешностями и обрабатывать очень маленькие значения, за эти возможности приходится дорого платить. Ввиду сложности денормализованные числа крайне редко реализуют на аппаратном уровне – вместо этого используются программные реализации, работающие значительно медленнее.

В современных процессорах обработка денормализованных чисел происходит в десятки раз медленнее, чем обработка нормализованных чисел. Ниже приведена часть таблицы из статьи Isaac Dooley, Laxmikant Kale “Quantifying the Interference Caused by Subnormal Floating-Point Values”^[1]

Производитель	Процессор	Замедление (разы)
IBM	PowerPC 970	2,4
AMD	Athlon	6,0
Intel	Pentium 3	15,8
AMD	Athlon 64	21,4
AMD	Opteron64	23,8
Intel	Core Duo	44,2
Intel	P4 Xeon	97,9
Intel	Pentium 4	131,0
Intel	Itanium 2	183,2
Sun	UltraSPARC IV	520,0

В таблице приведены наихудшие результаты тестирования среди всех использованных компиляторов (gcc, icc, xlc) со всеми доступными флагами оптимизации. Исследователи утверждают, что различие среднего случая с худшим незначительно.

Поскольку в стандартных форматах (одинарной и двойной точности) денормализованные числа получаются действительно очень маленькими и практически никак не влияют на результат некоторых вычислений (при этом заметно замедляя их скорость), то иногда они просто игнорируются. При этом используются два простых механизма, получивших называние Flush-to-zero (FTZ) и Denormals-are-zero (DAZ). Первый механизм заставляет операции возвращать ноль, как только становится ясно, что результат будет денормализованным. Второй механизм заставляет операции рассматривать поступающие на вход денормализованные числа как нули.
Ярким примером подобного “отсечения” денормализованных чисел могут послужить видеокарты, в которых резкое падение скорости вычислений в сотню раз недопустимо. Так же, например, в областях, связанных с обработкой звука, нет нужды в очень маленьких числах, поскольку они представляют столь тихий звук, что его не способно воспринять человеческое ухо.

В версии стандарта IEEE 754-2008 денормализованные числа (denormal или denormalized numbers) были переименованы в subnormal numbers, то есть в числа, меньшие “нормальных”. Поэтому их иногда еще называют “субнормальными“.

Действия с числами с плавающей запятой

Умножение и деление

Самыми простыми для восприятия арифметическими операциями над числами с плавающей запятой являются умножение и деление. Для того, чтобы умножить два вещественных числа в нормализованной форме необходимо перемножить их мантиссы, сложить порядки, округлить и нормализовать полученное число.

Соответственно, чтобы произвести деление нужно разделить мантиссу делимого на мантиссу делителя и вычесть из порядка делимого порядок делителя. Затем точно так же округлить мантиссу результата и привести его к нормализованной форме.

Сложение и вычитание

Идея метода сложения и вычитания чисел с плавающей точкой заключается в приведении их к одному порядку. Сначала выбирается оптимальный порядок, затем мантиссы обоих чисел представляются в соответствии с новым порядком, затем над ними производится сложение/вычитание, мантисса результата округляется и, если нужно, результат приводится к нормализированной форме. Пример:

Выполним сложение чисел с плавающей точкой и смещенным порядком в 32-х разрядном формате   и .
Переведем   в машинный вид. Для этого сначала переведем его в двоичную систему счисления.
   
  

Нормализуем полученное двоичное число по правилам машинной арифметики.
   

Найдем смещенный порядок. Так как в условии говорится о 32-разрядном представлении, то смещение порядка равно .
          

Число отрицательное, следовательно, в бите знака будет стоять единица.

Итак, первое число в машинном 32-разрядном представлении с плавающей точкой будет иметь вид:
10000111 (жирным шрифтом выделен порядок числа, длина мантиссы — 23 бита).

Переведем второе число в машинный вид, совершая те же действия.

 = ,...  ...  
В качестве мантиссы будут сохранены первые  бита после запятой т.е. .
Очевидно, что порядок со смещением у второго числа будет таким же, как и у первого.

Второе число положительное, следовательно, бит знака будет содержать ноль.

Итак в машинном 32-разрядном представлении второе число будет иметь вид:

10000111
Далее в арифметических операциях будет использоваться число ,=, а не = видимо для упрощения(хотя это не совсем корректно).

Порядки у слагаемых равны, поэтому пропускаем шаг выравнивания порядков и проводим вычитание мантисс по правилам двоичной арифметики. В 
компьютере этим занимается арифметический сопроцессор, встроенный в центральный процессор машины.

,    

Приводим полученный результат к машинному виду. Для этого мы должны внести поправку в порядок — уменьшить его на единицу.
Знак результата —  положительный, следовательно, бит знака содержит ноль.

10000110

Проверим правильность наших вычислений. Переведем результат в десятичное представление.

Найдем реальный порядок результата, вычтя из него значение смещения .

Следовательно, число результата будет иметь вид:
      ,  

Результат наших вычислений верен, так как  -   .

Алгоритм получения представления вещественного числа в памяти ЭВМ

Покажем преобразование действительного числа для представления его в

памяти ЭВМ на примере величины типа Double.

Как видно из таблицы, величина этого типа занимает в памяти байт. На

рисунке ниже показано, как здесь представлены поля мантиссы и порядка (нумерация битов осуществляется справа налево):

Знак	Смещённый порядок	Мантисса
63	62..52	51..0

Можно заметить, что старший бит, отведенный под мантиссу, имеет номер

, т.е. мантисса занимает младшие бита. Черта указывает здесь на

положение двоичной запятой. Перед запятой должен стоять бит целой части

мантиссы, но поскольку она всегда равна , здесь данный бит не требуется и

соответствующий разряд отсутствует в памяти (но он подразумевается).

Значение порядка хранится здесь не как целое число, представленное в

дополнительном коде. Для упрощения вычислений и сравнения действительных

чисел значение порядка в ЭВМ хранится в виде смещенного числа, т.е. к

настоящему значению порядка перед записью его в память прибавляется

смещение. Смещение выбирается так, чтобы минимальному значению порядка

соответствовал нуль. Например, для типа Double порядок занимает бит и

имеет диапазон от до , поэтому смещение равно ₍₎

₍₎. Наконец, бит с номером указывает на знак числа.

Таким образом, из вышесказанного вытекает следующий алгоритм для

получения представления действительного числа в памяти ЭВМ:

1. перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления;
2. нормализовать двоичное число, т.е. записать в виде M 2^p, где M —

   мантисса (ее целая часть равна ₍₎) и p — порядок, записанный в

   десятичной системе счисления;

3. прибавить к порядку смещение и перевести смещенный порядок в двоичную

   систему счисления;

4. учитывая знак заданного числа (0 — положительное; 1 — отрицательное),

   выписать его представление в памяти ЭВМ.

Пример. Запишем код числа ,.

1. Двоичная запись модуля этого числа имеет вид .
2. Имеем

   .

3. Получаем смещенный порядок . Далее имеем

   _{() ()}.

4. Окончательно
   

   1	10000000111	0011100001010000000000000000000000000000000000000000
   63	62..52	51..0

Очевидно, что более компактно полученный код стоит записать следующим

образом: C073850000000000₍₁₆₎.

Другой пример иллюстрирует обратный переход от кода действительного

числа к самому числу.

Пример. Пусть дан код 3FEC600000000000₍₁₆₎ или

0	01111111110	1100011000000000000000000000000000000000000000000000
63	62..52	51..0

1. Прежде всего замечаем, что это код положительного числа, поскольку в

   разряде с номером записан нуль. Получим порядок этого числа:

   _{() ()}; .

2. Число имеет вид , или

   ,.

3. Переводом в десятичную систему счисления получаем ,.

См. также

• Представление символов, таблицы кодировок
• Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код

Примечания

Ссылки

Использованные материалы

На русском

• Википедия — Экспоненциальная запись
• Википедия — Число с плавающей запятой
• Википедия — Отрицательный и положительный ноль
• Хабрахабр — статья пользователя Yruslan “Что нужно знать про арифметику с плавающей запятой”
• Статья Лапшевой Е.Е. “Машинная арифметика с вещественными числами” Статья удалена

На английском

• Wikipedia — NaN
• Wikipedia — Floating point
• Wikipedia — IEEE 754-2008

Что стоит прочесть

• Материалы по стандарту IEEE 754 (англ.)
• Русский перевод стандарта IEEE 754

4.2.1. Форматы хранения вещественных чисел

Вещественные числа в
математических вычислениях не
имеют ограничений на диапазон и точность
представления чисел. Однако в компьютерах
числа хранятся в регистрах и ячейках
памяти с ограниченным количеством
разрядов. Поэтому точность
представления вещественных
чисел, представимых в
машине, является конечной,
а диапазон ограничен.

При написании вещественных
чисел в программах вместо привычной
запятой принято ставить точку. Любое
вещественное число можно представить
в форме записи чисел с порядком
основания системы счисления.

Пример 4.4.
Десятичное число 1.756 в форме записи
чисел с порядком основания
системы счисления можно
представить так:

1.756^.10⁰
= 0.1756^.10¹
= 0.01756^.10²
= …

или так:

17.56^.10^-1
= 175.6^.10^-2
= 1756.0^.10^-3
= … .

Представлением числа с
плавающей точкой называется
представление числа N
в системе счисления с основанием q
в виде:

N
= m*^.q^p,

где
m
– множитель, содержащий все цифры числа
(мантисса), p
– целое число, называемое порядком.

Если “плавающая” точка расположена
в мантиссе перед первой значащей цифрой,
то при фиксированном количестве разрядов,
отведённых под мантиссу, обеспечивается
запись максимального количества значащих
цифр числа, то есть максимальная точность
представления числа в машине.

Если
в мантиссе первая цифра после точки
(запятой) отлична от нуля, то такое число
называется нормализованным.

Мантиссу и порядок q-ичного
числа принято записывать в системе с
основанием q, а
само основание — в десятичной системе.

Пример 4.5.
Приведем примеры нормализованного
представления числа в десятичной
системе:

2178.01 =0.217801 * 10⁴

0.0045 =0.45 * 10^-2

Примеры в двоичной системе:

10110.01= 0.1011001 * 2¹⁰¹
(порядок 101₂=5₁₀)

Современными компьютерами поддерживаются
несколько международных стандартных
форматов хранения вещественных чисел
с плавающей точкой, различающихся по
точности, но все они имеют одинаковую
структуру. Вещественное число хранится
в трех частях: знак мантиссы, смещенный
порядок и мантисса:

Смещенный порядок
n-разрядного
нормализованного числа вычисляется
следующим образом: если для задания
порядка выделено k
разрядов, то к истинному значению
порядка, представленного
в дополнительном коде,
прибавляют смещение, равное (2^k-1—1).

Таким образом, порядок, принимающий
значения в диапазоне от -128 до +127,
преобразуется в смещенный порядок в
диапазоне от 0 до 255. Смещенный порядок
хранится в виде беззнакового числа, что
упрощает операции сравнения, сложения
и вычитания порядков, а также упрощает
операцию сравнения самих нормализованных
чисел.

Количество разрядов, отводимых под
порядок, влияет на диапазон от наименьшего
отличного от нуля числа до наибольшего
числа, представимого в машине при
заданном формате. Очевидно, что чем
больше разрядов отводится под запись
мантиссы, тем выше точность представления
числа. В связи с тем, что у нормализованных
вещественных чисел старший бит мантиссы
всегда равен 1, этот старший бит не
хранится в памяти.

Любое двоичное целое число,
содержащее не более m
разрядов, может быть без искажений
преобразовано в вещественный формат.

Таблица 4.3. Стандартные форматы
представления вещественных чисел

Формат	Что хранится	Кол-во битов, отводимых под смещенный порядок	Кол-во битов, отводимых под мантиссу
Одинарный	32-разрядное нормализованное число со знаком	8	23
Двойной	64-разрядное нормализованное число со знаком	11	52
Расширенный	80-разрядное число со знаком (возможно ненормализованные)	15	64

Пример 4.6. Представление
нормализованных чисел в одинарном
формате.

Проиллюстрируем, как будет
храниться число 37,16₁₀.
При переводе в двоичное число не
получается точного перевода
100101,(00101000111101011100) – дробная часть,
заключенная в скобках, повторяется в
периоде.

Переводим число в нормализованный
вид: 0,100101(00101000111101011100) * 2¹¹⁰

Представим вещественное число в
32-разрядном формате:

1. Знак числа «+», поэтому в знаковый
разряд (31) заносим 0;

2. Для задания порядка выделено
8 разрядов, к истинному значению порядка,
представленного в дополнительном коде,
прибавляем смещение (2⁷—1)=127.
Так как порядок положительный, то прямой
код порядка совпадает с дополнительным,
вычислим смещенный порядок: 00000110 +
01111111=10000101

Заносим полученный смещенный порядок.

3. Заносим мантиссу, при этом старший
разряд мантиссы убираем (он всегда равен
1);

0	1	0	0	0	0	1	0	1	0	0	1	0	1	0	0	1	0	1	0	0	0	1	1	1	1	0	1	0	1	1	1
31	30	29	28	27	26	25	24	23	22	21	20	19	18	17	16	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
знак	смещенный порядок	мантисса

В данном примере мы смогли перенести
только 24 разряда, остальные были утеряны
с потерей точности представления числа.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #

  11.03.2016252.93 Кб4603.doc

• #
• #
• #
• #

  11.03.2016287.74 Кб12404.doc

• #
• #
• #

  11.03.2016109.06 Кб1106.doc

• #
• #

  11.03.2016931.84 Кб1707.doc

В $60$-х и $70$-х гг. не было единопризнанного стандарта представления чисел с плавающей запятой, из-за чего программы того времени не были переносимыми приложениями. Также большой проблемой были «странности» разных компьютеров, которые нужно было знать и учитывать при создании программ.

В $1976$ году была появилась инициатива создать единый стандарт для представления чисел с плавающей запятой, что существенно упростило работу с числами.

Вычисления компьютера ограничены его памятью, поэтому дробная часть вещественных чисел не является бесконечной и хранится в памяти с определенной точностью.

Числа в нормализованном виде чаще всего записываются только на экране компьютера, поэтому принято запятую в них заменять на точку.

Принятый способ хранения вещественных (действительных) чисел в памяти компьютера использует нормализованную (экспоненциальную) запись действительных чисел.

Для хранения вещественных чисел (как и для целых) используется двоичная система. Таким образом, число предварительно должно быть переведено двоичный код.

Нормализованная запись числа

«Хранение в памяти вещественных чисел» 👇

Ноль в десятичной системе будет записан в нормализованном виде следующим образом:

Рассмотрим вышеописанные числа в нормализованной экспоненциальной записи.

Хранение чисел с плавающей запятой

Для хранения вещественных чисел в памяти компьютера часть разрядов ячейки отводится для записи порядка числа, остальные — для записи мантиссы. По одному разряду в каждой группе разрядов отводится для знака порядка и знака мантиссы. Чтобы не хранить знак порядка был придуман смещенный порядок.

Если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному порядку (ИП) прибавляют смещение, таким образом, смещённый порядок (СП) рассчитывается по формуле:

Алгоритм представления вещественного числа:

1. Перевести число в двоичную систему счисления.

2. Привести число к нормализованной записи.

3. Найти смещённый порядок числа.

4. Поместить знак, порядок и мантиссу в соответствующие разряды.

Вещественные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. Числа с плавающей запятой — один из возможных способов представления действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений, его можно считать аналогом экспоненциальной записи чисел, но только в памяти компьютера.

Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных двоичных разрядов, условно разделенных на так называемые знак, порядок и мантиссу. В наиболее распространённом формате число с плавающей запятой представляется в виде набора битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа (0 – если число положительное, 1 – если число отрицательное). При этом порядок записывается как целое число, а мантисса – в нормализованном виде, своей дробной частью в двоичной системе счисления. Вот пример такого числа из 16 двоичных разрядов:

Знак
	Порядок	Мантисса
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	14	10	9	0

Знак – один бит, указывающий знак всего числа с плавающей точкой. Порядок и мантисса — целые числа, которые вместе со знаком дают представление числа с плавающей запятой в следующем виде:

, где s — знак, B-основание, E — порядок, а M — мантисса.

Порядок также иногда называют экспонентой или просто показателем степени.

При этом лишь некоторые из вещественных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями.

Нормальная и нормализованная форма

Нормальной формой числа с плавающей запятой называется такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) в десятичной системе находится на полуинтервале [0; 1). Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно (например, 0,0001 можно записать в 4 формах — 0,0001×10⁰, 0,001×10⁻¹, 0,01×10⁻², 0,1×10⁻³), поэтому распространена также другая форма записи —нормализованная, в которой мантисса десятичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 10 (не включительно), а мантисса двоичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 2 (не включительно). То есть в мантиссе слева от запятой до применения порядка находится ровно один знак. В такой форме любое число (кроме 0) записывается единственным образом. Ноль же представить таким образом невозможно, поэтому стандарт предусматривает специальную последовательность битов для задания числа 0 (а заодно и некоторых других полезных чисел, таких как  и ). 

Диапазон значений чисел с плавающей запятой

Диапазон чисел, которые можно записать данным способом, зависит от количества бит, отведённых для представления мантиссы и показателя. Пара значений показателя (когда все разряды нули и когда все разряды единицы) зарезервирована для обеспечения возможности представления специальных чисел. К ним относятся ноль, значения NaN (Not a Number, “не число”, получается как результат операций типа деления нуля на ноль) и .

Название	Тип в языке программирования C	Диапазон	Биты мантиссы	Биты
Half precision	Нет	6,10×10-5..65504	10+1	16
Single precision	float	3,4×10-38..3,4×1038	23+1	32
Double precision	double	1,7×10-308..1,7×10308	52+1	64

Алгоритм получения представления вещественного числа в памяти ЭВМ

Покажем преобразование действительного числа для представления его в памяти ЭВМ на примере величины типа Double.

Как видно из таблицы, величина это типа занимает в памяти 8 байт. На рисунке ниже показано, как здесь представлены поля мантиссы и порядка (нумерация битов осуществляется справа налево):

S	Смещенный порядок	Мантисса
63	62..52	51..0

Можно заметить, что старший бит, отведенный под мантиссу, имеет номер 51, т.е. мантисса занимает младшие 52 бита. Черта указывает здесь на положение двоичной запятой. Перед запятой должен стоять бит целой части мантиссы, но поскольку она всегда равна 1, здесь данный бит не требуется и соответствующий разряд отсутствует в памяти (но он подразумевается). Значение порядка хранится здесь не как целое число, представленное в дополнительном коде. Для упрощения вычислений и сравнения действительных чисел значение порядка в ЭВМ хранится в виде смещенного числа, т.е. к настоящему значению порядка перед записью его в память прибавляется смещение. Смещение выбирается так, чтобы минимальному значению порядка соответствовал нуль. Например, для типа Double порядок занимает 11 бит и имеет диапазон от 2^-1023до 2¹⁰²³, поэтому смещение равно 1023₍₁₀₎ = 1111111111₍₂₎. Наконец, бит с номером 63 указывает на знак числа.

Таким образом, из вышесказанного вытекает следующий алгоритм для получения представления действительного числа в памяти ЭВМ:

1. перевести модуль данного числа в двоичную систему счисления;
2. нормализовать двоичное число, т.е. записать в виде M × 2^p, где M — мантисса (ее целая часть равна 1₍₂₎) и p — порядок, записанный в десятичной системе счисления;
3. прибавить к порядку смещение и перевести смещенный порядок в двоичную систему счисления;
4. учитывая знак заданного числа (0 — положительное; 1 — отрицательное), выписать его представление в памяти ЭВМ.

Пример. Запишем код числа -312,3125.

1. Двоичная запись модуля этого числа имеет вид 100111000,0101.
2. Имеем 100111000,0101 = 1,001110000101 × 2⁸.
3. Получаем смещенный порядок 8 + 1023 = 1031. Далее имеем 1031₍₁₀₎ = 10000000111₍₂₎.
4. Окончательно
   

   1	10000000111	0011100001010000000000000000000000000000000000000000
   63	62..52	51..0

Очевидно, что более компактно полученный код стоит записать следующим образом: C073850000000000₍₁₆₎.

Другой пример иллюстрирует обратный переход от кода действительного числа к самому числу.

Пример. Пусть дан код 3FEC600000000000₍₁₆₎ или

0	01111111110	1100011000000000000000000000000000000000000000000000
63	62..52	51..0

1. Прежде всего замечаем, что это код положительного числа, поскольку в разряде с номером 63 записан нуль. Получим порядок этого числа: 01111111110₍₂₎ = 1022₍₁₀₎; 1022 – 1023 = -1.
2. Число имеет вид 1,1100011 × 2^-1 или 0,11100011.
3. Переводом в десятичную систему счисления получаем 0,88671875.

Материалы по теме

Кодирование вещественных чисел. Нормализованное представление числа

В компьютерной технике вещественными называются числа, имеющие дробную часть.

Дробные числа могут содержать большой набор цифр. Например: 0.0000345 или 10900000 (т.е очень большие или очень маленькие числа). Для удобства вещественные числа приводят к виду так называемого нормализованного представления числа. Заключается такое представление в том, что число записывается в виде произведения на основание системы счисления, возведенное в ту или иную степень. Например, предыдущие два числа в нормализованном виде будут выглядеть так: 0.345 * 10^-4 и 0.109 * 10⁸. Здесь числа 0.345 и 0.109 – мантиссы вещественных чисел, 10 – основание системы счисления, а -4 и 8 – порядки. При этом запятая (точка), разделяющая дробную и целую части ставится перед первой значащей цифрой (отличной от 0).

Нормализованная форма числа является наиболее удобной для представления дробных чисел в компьютере.

Понятно, что нормализированное представление используется не только для десятичной системы счисления. Вот примеры нормализованных записей дробных чисел в двоичной системе счисления:

101.11 = 0.10111 * 2¹¹
0.001 = 0.1 * 2^-10

Здесь степени 11 и 10 – это двоичная форма десятичных чисел 3 и 2.

Нормализованная форма представления числа – это одна из форм множества вариантов экспоненциальной формы записи числа.

Пусть слово состоит из 2 байт, два слова – это 4 байта или 32 бита.

Нормализированное число одинарной точности, представленное в формате с плавающей точкой, записывается в память следующим образом: знак числа – в бите 15 первого слова (0 – для положительных и 1 – для отрицательных чисел); порядок размещается в битах 7-14 первого слова, а мантисса занимает остальные 23 бита в двух словах (с 0 по 6 бит первого слова и все биты второго слова). Нормализированное число двойной точности записывается в четыре слова памяти и отличается от представления чисел с одинарной точностью только тем, что продолжение мантиссы размещается в следующих за первым словом трех последовательных словах памяти, а всего под мантиссу в этом случае отводится 55 бит.

Порядок числа, представленного в формате с плавающей точкой, изменяется в диапазоне от -128 до +127 и запоминается увеличенным на 128. Такой способ представления порядка называется смещенным.

Следует иметь в виду, что, хотя для мантиссы отведено 23 разряда для чисел одинарной точности и 55 разрядов – для чисел двойной точности, в операциях участвует 24 и 56 разрядов соответственно, т.к. старший разряд мантиссы нормализированного числа не хранится, т.е. имеет место так называемый скрытый разряд. Однако при аппаратном выполнении операций этот разряд автоматически восстанавливается и учитывается. Порядок числа также учитывает скрытый старший разряд мантиссы.

Нормализованная мантисса в двоичной системе счисления всегда представляется десятичным числом m, лежащим в диапазоне 0,5 <= m < 1.

Пример представления числа в формате с плавающей точкой:

0.1₁₀ = 0.000(1100)₂ = 0.(1100)₂*2^-3
-3₁₀ = (-3 + 128)₁₀ = 01111101_2.

Если мантисса представлена бесконечной периодической дробью, то последний учитываемый разряд мантиссы округляется.

-49.5₁₀ = -110001.100₂ = -0.1100011₂*2⁶
6₁₀ = (6 + 128)₁₀ = 10000110₂.

При выполнении арифметических операций над числами, представленными в формате с плавающей точкой, надо отдельно выполнять их для порядков и мантисс. При алгебраическом сложении чисел надо сначала уравнять порядки слагаемых. При умножении порядки надо складывать, а мантиссы — перемножать. При делении из порядка делимого вычитают порядок делителя, а над мантиссами совершают обычную операцию деления. После выполнения операций, если это необходимо, проводят нормализацию результата, что влечет изменение порядков, т.к. каждый сдвиг на один разряд влево соответствует уменьшению порядка на единицу, а сдвиг вправо увеличению на единицу. Введение термина «плавающая точка» как раз и объясняется тем, что двоичный порядок, определяющий фактическое положение точки в изображении числа, корректируется после выполнения каждой арифметической операции, т.е. точка в изображении числа «плавает» (изменяется ее положение) по мере изменения данной величины. А в изображении чисел, представленных в формате с фиксированной точкой, она жестко зафиксирована в определенном месте.

Арифметические операции с числами, представленными в формате с плавающей точкой, намного сложнее таких же операций для чисел, представленных в формате с фиксированной точкой. Но зато плавающая точка позволяет производить операции масштабирования автоматически в самой машине и избавляет от накопления абсолютной погрешности при вычислениях (хотя не избавляет от накопления относительной погрешности).