Как найти последнюю цифру натурального числа

Основная часть

I. Нахождение последней цифры в записи
степени натурального числа.

После изучения темы “Степень с натуральным
показателем” была предложена такая задача:
найти последнюю цифру степеней:

а) , , , , ;

б) , .

Мы заметили, что в первом случае показатели
степеней составные числа, а во втором случае
показатели степеней простые числа. В обоих
случаях есть основания четные и нечетные. Мы
сначала попробовали представить степени в виде
произведения степеней с тем же основанием и
одинаковыми показателями, затем воспользовались
со свойствами степеней с натуральными
показателями

Например, = ***
или

В первом случае узнали последнюю цифру степени . Это 3. А дальше
определили искомую цифру как последнюю цифру
числа .
Получили 1. Во втором случае сначала нашли
последнюю цифру степени . Это 1. А 1 в любой степени -1.
Второй способ нам понравился больше. Аналогично
нашли последнюю цифру остальных степеней.

В ходе решения таких задач мы поняли, чтовсегда оканчивается (при натуральном) n
на 6.

Но вторая задача достаточно сложная, так как
показатели степеней простые числа и мы не
можем представить эти степени в виде
произведения степеней с одинаковыми
показателями, как делали раньше. Но мы нашли
способы решения.

Значит, последняя цифра степени равна 3.

Мы решили найти более удобный,
универсальный способ нахождения последней цифры
степени.

Решили заполнить таблицу, где в первой
строке написаны цифры, которыми оканчиваются
записи натуральных чисел. Во – второй строке –
цифры, которыми оканчиваются соответствующие
квадраты, в третьей – кубы и т.д.

Мы заполнили пятую строку, затем шестую и
удивились. Оказывается, пятая степень числа
оканчивается той же цифрой, что и первая степень
числа; а шестая степень числа оканчивается той же
цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая
степень – что и третья степень этого числа.

К нашему удивлению, результаты в таблице
повторяются через каждые четыре строки.

После решения этих примеров и заполнения
таблицы мы пришли к выводу, что:

• Во-первых, квадрат натурального числа может
  оканчиваться любой цифрой;
• Во-вторых, куб натурального числа может
  оканчиваться любой цифрой;
• В-третьих, четвертая степень натурального числа
  может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6;
• В-четвертых, пятая степень натурального числа
  оканчивается той же цифрой, что и само число;
• В-пятых, если запись натурального числа
  оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого
  числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6;
• В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются
  цифрой 4, а четные – цифрой 6.

Мы поставили перед собой такую задачу, а
нельзя ли найти способ определения последней
цифры степени по остатку от деления ее
показателя на 4.

II. Составление алгоритма нахождения
последней цифры степени по остатку от деления ее
показателя на 4.

Вернулись к нашим же примерам.

Найти последнюю цифру степеней: , , , ;.

Итак, мы заметили, что если остаток равен 0, то
для всех нечетных оснований, кроме чисел,
оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а
для четных, искомая цифра равна 6.

Далее мы начали подбирать такие степени, когда
при делении показателя степени на 4 получаются
остатки 1, 2, 3.

Например, .

Если остаток равен 1, то искомая цифра будет
равна последней цифре основания степени.

Если остаток равен 2, то искомая цифра будет
равна последней цифре в записи квадрата
основания.

А если степени с очень большими показателями?

Например,

Мы легко справились и с этой задачей.

Итак, мы получили алгоритм нахождения
последней цифры степени натурального числа.

Чтобы найти последнюю цифру степени
натурального числа с натуральным показателем,
надо:

Найти остаток от деления показателя степени на
4;

Если остаток равен

а) 1, то искомая цифра будет совпадать с
последней цифрой основания степени;

б) 2, то искомая цифра будет равна последней
цифре в записи квадрата основания;

в) 3, то искомая цифра будет равна последней
цифре в записи куба основания;

г) 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел,
оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для
четных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна
6.

Мы научились быстро находить последнюю цифру
степени и попробовали расширить круг знаний.
Например, мы составили такие задачи.

III. Составление упражнений на применение
алгоритма.

1. Доказать, что число кратно 2.

2. Доказать, что -1 кратно 5 (при натуральном n).

3. Верно ли, что 1,6*( -1 ) – целое число при любом
(натуральном) n.

4. Какой цифрой оканчивается произведение всех
двузначных чисел, каждое из которых оканчивается
на 7?

При помощи операции нахождения остатка и целочисленного деления можно достаточно несложно вычислить любую цифру числа.

Рассмотрим программу получения цифр двузначного числа:

num = 17
a = num % 10
b = num // 10
print(a)
print(b)

Результатом выполнения программы будут два числа:

7
1

То есть сначала мы вывели последнюю цифру числа, а затем первую цифру.

Запомни: последняя цифра числа определяется всегда как остаток от деления числа на 10 (% 10). Чтобы отщепить последнюю цифру от числа, необходимо разделить его нацело на 10 (// 10).

Рассмотрим программу получения цифр трёхзначного числа:

num = 754
a = num % 10
b = (num % 100) // 10
c = num // 100
print(a)
print(b)
print(c)

Результатом выполнения программы будут три числа:

4
5
7

То есть сначала мы вывели последнюю цифру числа, затем среднюю цифру, а затем первую цифру.

Алгоритм получения цифр n-значного числа

Несложно понять, по какому алгоритму можно найти каждую цифру n-значного числа num:

• Последняя цифра: (num % 101) // 100;
• Предпоследняя цифра: (num % 102) // 101;
• Предпредпоследняя цифра: (num % 103) // 102;
• …..
• Вторая цифра: (num % 10n-1) // 10n-2;
• Первая цифра: (num % 10n) // 10n-1.

Решение задач

Задача 1. Напишите программу, определяющую число десятков и единиц в двузначном числе.

Решение. Число единиц – это последняя цифра числа, число десятков – первая цифра. Чтобы получить последнюю цифру любого числа, нужно найти остаток от деления числа на 10. Чтобы найти первую цифру двузначного числа, нужно поделить число нацело на 10. Программа, решающая поставленную задачу, может иметь следующий вид:

num = int(input())
last_digit = num % 10
first_digit = num // 10
print('Число десятков =', first_digit)
print('Число единиц =', last_digit)

Задача 2. Напишите программу, в которой рассчитывается сумма цифр двузначного числа.

Решение. Программа, решающая поставленную задачу, может иметь следующий вид:

num = int(input())
last_digit = num % 10
first_digit = num // 10
print('Сумма цифр =', last_digit + first_digit)

Задача 3. Напишите программу, которая печатает число, образованное при перестановке цифр двузначного числа.

Решение. Программа, решающая поставленную задачу, может иметь следующий вид:

num = int(input())
last_digit = num % 10
first_digit = num // 10
print('Искомое число =', last_digit * 10 + first_digit)

Задача 4. Напишите программу, в которую вводится трёхзначное число и которая выводит на экран его цифры (через запятую).

Решение. Программа, решающая поставленную задачу, может иметь следующий вид:

num = int(input())
digit3 = num % 10
digit2 = (num // 10) % 10
digit1 = num // 100
print(digit1, digit2, digit3, sep=',')

 Задача. Дано натуральное число N. Вывести его последнюю цифру. 

Приведем 3 способа решения данной задачи:

• с использованием операции mod;
• с использованием строкового типа данных string;
• с использованием функции digits из модуля School.

Способ 1 (с использованием операции mod)

Последняя цифра натурального числа показывает количество единиц в числе. Вычислим эту цифру делением на 10. 

Воспользуемся операцией целочисленного деления mod.

Покажем деление нацело на схеме:

Если вычислить целый остаток от деления числа на 10 – это и будет последняя цифра числа.

Операция вычисления целого остатка от деления в языке Паскаль – это mod.

Запишем выражение для вычисления последней цифры натурального числа N:

d:=N mod 10;

Программа для решения задачи на языке Паскаль

var N,d:integer;

begin

  println(‘Введите натуральное число N’);

  readln(N);

  d:=N mod 10; //целый остаток от деления числа N на 10

  println(‘Последняя цифра числа’,d);

end.

Результат запуска программы

Дополнительно об операциях целочисленного деления div и mod (читать).

Способ 2 (с использованием строкового типа данных string)

var N,d:integer; str:string; c:char;

begin

  println(‘Введите натуральное число’);

  readln(N);

  str:=N.ToString; //преобразовать число N  в строку str

  c:=str[str.length]; //последний символ строки str

  d:=c.ToDigit; //преобразовать символ в цифру

  println(‘Последняя цифра числа’,d);

end.

Способ 3 (с использованием функции digits из модуля School)

uses school;

var N,d:integer;

    mas:array of integer;

begin

  println(‘Введите натуральное число’);

  readln(N);

  mas:=digits(N).toArray;//получение списка цифр и преобразование списка в массив

  d:=mas[mas.Length-1];//последний элемент массива mas

  println(‘Последняя цифра числа’,d);

end.

Каким способом следует воспользоваться для решения следующей задачи:

Дано натуральное число. Вычислить сумму его цифр.