Как найти последовательность геом прогрессии - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 16 декабря 2022 года; проверки требуют 37 правок.

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел $b_{1}$ , $b_{2}$ , $b_{3}$ , ldots (члены прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на фиксированное число (знаменатель прогрессии). При этом ${displaystyle b_{1}neq 0,qneq 0;b_{n}=b_{n-1}q,nin mathbb {N} ,ngeqslant 2}$ ^[1].

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей^[2], если знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.

Произведением первых членов геометрической прогрессии ${displaystyle left{b_{n}right}}$ называется произведение от $b_{1}$ до b_n , то есть выражение вида ${displaystyle prod limits _{i=1}^{n}b_{i}=b_{1}cdot b_{2}cdot b_{3}cdot ldots cdot b_{n-2}cdot b_{n-1}cdot b_{n}.}$
Обозначение: $P_{n}$ .

Описание[править | править код]

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

${displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}.}$

Если ${displaystyle b_{1}>0}$ и , прогрессия является возрастающей последовательностью, если , — убывающей последовательностью, а при q<0 — знакочередующейся^[3], при q=1 — стационарной (постоянной).

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

${displaystyle |b_{n}|={sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},}$

то есть модуль любого члена геометрической прогрессии, кроме первого, равен среднему геометрическому (среднему пропорциональному) двух рядом с ним стоящих членов^[4].

Примеры[править | править код]

Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов

Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата^[5]^:8—9.
Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
, , , — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.

Свойства[править | править код]

Свойства знаменателя геометрической прогрессии[править | править код]

Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формулам:

${displaystyle q={dfrac {b_{n+1}}{b_{n}}}}$

Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

${displaystyle q={sqrt[{n-k}]{dfrac {b_{n}}{b_{k}}}},{text{где }}k<n;;forall n,forall kin mathbb {N} .}$

Свойства членов геометрической прогрессии[править | править код]

Рекуррентное соотношение для геометрической прогрессии:

${displaystyle b_{n}=b_{n-1}cdot q}$

Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

Формула общего (-го) члена:

${displaystyle b_{n}=b_{1}cdot q^{n-1}.}$

Обобщённая формула общего члена:

${displaystyle b_{n}=b_{k}cdot q^{n-k},{text{где }}k<n;;forall n,forall kin mathbb {N} .}$

Доказательство

${displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}$

Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.

Доказательство

${displaystyle log(b_{n})=log(b_{1}q^{n-1})=log(b_{1})+(n-1)cdot log(q)}$
Формула общего члена арифметической прогрессии:
${displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)cdot d}$ .
В нашем случае
$a_{1}=log(b_{1})$ ,
.

Доказательство

${displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.}$

Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле

${displaystyle P_{k,n}={dfrac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}$

Доказательство

${displaystyle P_{k,n}=prod _{i=k}^{n}b_{i}={frac {prod _{i=1}^{n}b_{i}}{prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.}$

Сумма всех членов убывающей прогрессии:

, то ${displaystyle b_{n}to 0}$

при

, и

${displaystyle S_{n}to {frac {b_{1}}{1-q}}}$

при

Свойства суммы геометрической прогрессии[править | править код]

${displaystyle b_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}}$
${displaystyle S_{n}=sigma _{n}cdot b_{1}b_{n}}$

где ${displaystyle sigma _{n}}$ — сумма обратных величин, т. е. ${displaystyle sigma _{n}={dfrac {1}{b_{1}}}+{dfrac {1}{b_{2}}}+cdots +{dfrac {1}{b_{n-1}}}+{dfrac {1}{b_{n}}}}$ .

Свойства произведения геометрической прогрессии[править | править код]

См. также[править | править код]

Арифметическая прогрессия
Арифметико-геометрическая прогрессия
Числа Фибоначчи
Показательная функция
Сумма ряда

Примечания[править | править код]

↑ Геометрическая прогрессия Архивная копия от 12 октября 2011 на Wayback Machine на mathematics.ru
↑ Это название, хотя и является общепринятым, неудачно, так как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия является убывающей, только если и первый член, и знаменатель прогрессии положительны.
↑ Геометрическая прогрессия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
↑ Если геометрическая прогрессия является конечной последовательностью, то её последний член таким свойством не обладает.
↑ Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923. Архивная копия от 19 мая 2017 на Wayback Machine

Источник

16
Июл 2013

Категория: Справочные материалы

Геометрическая прогрессия

2013-07-16
2021-06-28

А вы знаете удивительную легенду о зернах на шахматной доске? + показать

Определение

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел (членов прогрессии) , в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии):

, где

Например, последовательность 1, 2, 4, 8, 16, … – геометрическая ()

Геометрическая прогрессия

Знаменатель геометрической прогрессии

$q=frac{b_{k+1}}{b_k}$ ,

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

$b_n^2=b_{n-1}cdot b_{n+1}$ для

Последовательность является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется указанное выше соотношение.

В частности, для геометрической прогрессии с положительными членами, верно: $b_n=sqrt{b_{n-1}cdot b_{n+1}}$

Формула n-го члена геометрической прогрессии

$b_n=b_1cdot q^{n-1}$

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

$S_n=frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ , где

(если же , то )

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

При , геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число $S=lim_{nto infty}S_n$ и $S=frac{b_1}{1-q}$

Посмотри это видео

Примеры

Пример 1. Последовательность {} –геометрическая прогрессия.

Найдите , если $b_6=-frac{1}{81}$ , $q=-frac{1}{9}.$

Решение: + показать

Приметр 2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии {}, в которой $b_8=172,;b_{11}=2frac{11}{16}.$

Решение: + показать

Пример 3. Найдите девятый член геометрической прогрессии, если ее десятый член равен , а одиннадцатый член равен

Решение: + показать

Пример 4. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии

Решение: + показать

Пример 5. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии {}, в которой $b_3=frac{1}{2},;b_5=2,;q>0.$

Решение: + показать

Пример 6. Представьте в виде обыкновенной дроби число

Решение: + показать

Пример 7. Найдите , если известно, что числа являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке).

Решение: + показать

Пример 8. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отношение суммы первых четырех членов которой, к сумме первых двух членов равно $frac{82}{81}.$

Решение: + показать

Пример 9. Между числами и вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия

Решение: + показать

Вы можете пройти тест по теме «Геометрическая прогрессия»

Автор: egeMax |

комментариев 5

Печать страницы

Источник

запиши периодическую дробь (0,(8)) обыкновенной дробью.

Решение.

Достаточно очевидно, что (0,(8)=0,8+0,08+0,008+…) Слагаемые в правой части равенства образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен (0,8), знаменатель равен (0,1). Найдём сумму по формуле:

S=b11−q=0,81−0,1

Осталось выполнить нужные действия с десятичными дробями:

0,81−0,1=0,80,9=89

Таким образом, бесконечная периодическая десятичная дробь (0,(8)) обращается в обыкновенную дробь (8/9).

Ответ: (0,(8)=8/9).

Источник

Геометрическая прогрессия

Понятие геометрической прогрессии
Формула n-го члена геометрической прогрессии
Свойства геометрической прогрессии
Сумма первых n членов геометрической прогрессии
Примеры

п.1. Понятие геометрической прогрессии

Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой b_n, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена b_n-1 и некоторого постоянного числа q: $$ mathrm{ b_n=b_{n-1}q, ninmathbb{N}, n ge 2, qne 0, qne 1, b_1ne 0 } $$ Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.

Например:
1. Последовательность 1, 3, 9, 27, … является геометрической прогрессией с b₁ = 1, q = 3.

2. Последовательность (mathrm{9, -3, 1, -frac13, frac19,…}) является геометрической прогрессией с b₁ = 9, (mathrm{q=-frac13}).

п.2. Формула n-го члена геометрической прогрессии

По определению геометрической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: b_n = b_n-1q. Из неё можно вывести аналитическую формулу:

b₂ = b₁q, b₃ = b₂q = (b₁q)q = b₁q², b₄ = b₃q = (b₁q²)q = b₁q³,…

Получаем:

b_n = b₁q^n-1

Например:
Найдём b₅, если известно, что (mathrm{b_1=frac12, q=2}).
По формуле n-го члена получаем: (mathrm{b_5=b_1q^4=frac12cdot 2^4=2^3=8})

п.3. Свойства геометрической прогрессии

Свойство 1. Экспоненциальный рост/падение

Геометрическая прогрессия с положительными первым членом и знаменателем b₁ > 0, q > 0 является показательной функцией вида f(n) = kqⁿ: $$ mathrm{ b_n=frac{b_1}{q}q^n } $$

При b₁ > 0, q > 1 прогрессия экпоненциально растёт

При b₁ > 0, 0 < q < 1 прогрессия экпоненциально падает

Свойство 2. Признак геометрической прогрессии

Для того чтобы числовая последовательность была геометрической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним геометрическим предыдущего и последующего членов: $$ mathrm{ left{b_nright} – text{геометрическая прогрессия} Leftrightarrow b_n=sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}, ninmathbb{N}, n geq 2 } $$ Следствие: аждый член прогрессии является средним геометрическим двух равноудалённых от него членов: $$ mathrm{ b_n=sqrt{b_{n-k}b_{n+k}}, ninmathbb{N}, kinmathbb{N}, n geq k+1 } $$

Например:
Найдём b₉, если известно, что (mathrm{b_7=frac{1}{16}, b_{11}=4})
По следствию из признака геометрической прогрессии: (mathrm{b_9=sqrt{b_7b_{11}}=sqrt{frac{1}{16}cdot 4}=frac12})

Свойство 3. Равенство сумм индексов

Если {b_n} – геометрическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство произведений членов: $$ mathrm{ m+k=p+q Rightarrow b_mb_k=b_pb_q } $$ Следствие: произведение членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной: $$ mathrm{ b_1b_n = b_2b_{n-1}=b_3b_{n-2}=… } $$

Например:
Найдём b₆, если известно, что b₂ = 5, b₄ = 10, b₈ = 40
По равенству сумм индексов b₂b₈ = b₄b₆
Откуда (mathrm{b_6=frac{b_2b_8}{b_4}=frac{5cdot 40}{10}=20})

п.4. Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна $$mathrm{ S_n=frac{b_nq-b_1}{q-1}, qne 1} $$

Если учесть, что b_n = b₁q^n-1, получаем ещё одну формулу для суммы: $$mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}, qne 1} $$

Например:
Найдём сумму первых 10 степеней двойки: 2 + 2² + 2³ + … + 2¹⁰
В этом случае b₁ = 2, q = 2, n = 10
Получаем: (mathrm{ S_{10}=2cdot frac{2^{10}-1}{2-1}=2cdot (1024-1)=2046})

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов, если:
а) b₅ = 9, b₈ = 243
Найдём отношение $$ mathrm{ frac{b_8}{b_5}=frac{b_1cdot q^7}{b_1cdot q^4}=q^3, frac{b_8}{b_5}=frac{243}{9}=27=3^3, q^3=3^3Rightarrow q = 3 } $$ Найдём 1-й член: $$ mathrm{ b_1=frac{b_5}{q^4}=frac{9}{3^4}=frac{3^2}{3^4}=frac{1}{3^2}=frac19 } $$ Сумма: $$ mathrm{ S_{10}=b_1frac{q^{10}-1}{q-1}=frac{3^{10}-1}{9cdot 2}=frac{29524}{9}=3280frac49 } $$ Ответ: q = 3, S₁₀ = (mathrm{3280frac49})

б) b₁ = 3, b_n = 96, S_n = 189
По формуле суммы: $$ mathrm{ S_{n}=frac{b_nq-b_1}{q-1}Rightarrow 189 =frac{96q-3}{q-1}Rightarrow 189(q-1)=96q-3Rightarrow 93q=186Rightarrow q = 2 } $$ Сумма: $$ mathrm{ S_{10}=b_1frac{q^{10}-1}{q-1}=3cdot frac{2^{10}-1}{2-1}=3cdot 1023=3069 } $$ Ответ: q = 2, S₁₀ = 3069

Пример 2. Между числами (mathrm{40frac12 text{и} 5frac13}) вставьте такие четыре числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.
По условию (mathrm{b_1=40frac12, b_6=5frac13}) $$ mathrm{ frac{b_6}{b_1}=q^5, frac{b_6}{b_1}=5frac13 : 40frac12=frac{16}{3} : frac{81}{2}=frac{16}{3} cdot frac{2}{81}=frac{32}{243}=frac{2^5}{3^5}=left(frac23right)^5 } $$ Знаменатель (mathrm{q=frac23})
Находим промежуточные члены прогрессии: begin{gather*} mathrm{ b_2=b_1q=40frac12cdotfrac23=frac{81}{2}cdot frac23=27, b_3=b_2q=27cdotfrac23=18, }\ mathrm{ b_4=b_3q=18cdotfrac23=12, b_5=b_4q=12cdotfrac23=8 } end{gather*} Ответ: 27, 18, 12 и 8

Пример 3. Найдите первый и последний члены геометрической прогрессии, если: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{b_4-b_2=0,6} & \ mathrm{b_5-b_3=1,2} & \ mathrm{S_n=12,7} & end{array}right. $$ Заметим, что b₄=b₂q², b₅=b₃q². Для первых двух уравнений получаем: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{b_2q^2-b_2=0,6} & \ mathrm{b_3q^2-b-3=1,2} & end{array}right. Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{b_2(q^2-1)=0,6} & \ mathrm{b_3(q^2-1)=1,2} & end{array}right. $$ Делим второе уравнение на первое: $$ mathrm{ frac{b_3(q^2-1)}{b_2(q^2-1)}=frac{1,2}{0,6}Rightarrowfrac{b_3}{b_2}=q=2 } $$ Подставляем найденное значение знаменателя прогрессии в первое уравнение: $$ mathrm{ b_2(2^2-1)=0,6 Rightarrow b_2=frac{0,6}{3}=0,2 Rightarrow b_1=frac{b_2}{q}=frac{0,2}{2}=0,1 } $$ Для третьего уравнения можем записать: begin{gather*} mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}=0,1cdotfrac{2^n-1}{2-1}=frac{2^n-1}{10}=12,7 Rightarrow 2^n-1=127 Rightarrow }\ mathrm{ Rightarrow 2^n=128=2^7 Rightarrow n=7 } end{gather*} 7-й член b₇ = b₁q⁶ = 0,1 · 2⁶ = 6,4
Ответ: b₁ = 0,1; b₇ = 6,4

Пример 4. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первого и второго членов равна 48, а сумма третьего и четвёртого членов равна 12. Найдите значение n, при котором S_n = 63. $$ text{По условию} left{ begin{array}{ l } mathrm{b_1+b_2=48} & \ mathrm{b_3+b_4=12} & \ mathrm{S_n=63} & end{array}right. $$ Заметим, что b₃ = b₁q², b_4=b_2q². Второе уравнение можно переписать в виде: $$ mathrm{ b_3+b_4=b_1q^2+b2q^2=underbrace{(b_1+b_2)}_{=48} q^2=12 Rightarrow q^2=frac{12}{48}=frac14 Rightarrow q=frac12 } $$ Берём положительное значение q, т.к. по условию все члены положительны.
Из первого уравнения $$ mathrm{ b_1+b_2=b_1(1+q)=48 Rightarrow b_1=frac{48}{1+frac12}=48cdotfrac23=32 } $$ Для третьего уравнения можем записать: begin{gather*} mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}=b_1frac{1-q^n}{1-q}=32cdotfrac{1-frac{1}{2^n}}{1-frac12}=64left(1-frac{1}{2^n}right)=63 }\ mathrm{ 64-frac{64}{2^n}=63 Rightarrow 1=frac{2^6}{2^n} Rightarrow n=6 } end{gather*} Ответ: 6

Пример 5. Бактерия, попав в организм, делится надвое каждые 20 мин. Сколько бактерий будет в организме через сутки?
Сутки – это 24 · 60 = 1440 мин, или n = 1440 : 20 = 72 цикла деления.
По условию необходимо найти

N = N₀ · 2ⁿ, где N₀ = 1
N = 2⁷² = 4 722 366 482 869 645 213 696 ≈ 4,7 · 10²¹

Ответ: 4,7 · 10²¹ бактерий

Источник

Геометрическая прогрессия

Кусочек теории.

Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, не равных нулю, в которой каждый следующий член, начиная со второго, в одно и то же количество раз больше (или меньше) предыдущего.

Последовательность чисел 2; 4; 8; 16; 32; 64; … будет являться геометрической прогрессией, причем возрастающей, т.к. каждое следующее число больше предыдущего в 2 раза. В данном случае число 2 является знаменателем этой прогрессии.

Также геометрической прогрессией будет являться последовательность чисел 12; 6; 3; 1,5; 0,75; 0,375; … , причем убывающей, т.к. в ней числа уменьшаются в 2 раза. Но геометрическую прогрессию прежде всего связывают с умножением, поэтому правильнее сказать, что в последовательности числа увеличиваются в 0,5 раз. Здесь знаменателем будет число 0,5.

Знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q. Если знаменатель не дан, то найти его можно делением текущего члена прогрессии на предыдущий:

Найти любой по счету член геометрической прогрессии можно, зная ее первый член и знаменатель. Запишем формулу n-ого члена:

Но необязательно знать именно первый член прогрессии. Пригодится может любое по счету число. Только тогда формула чутка изменится:

И держи третью формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии через предыдущий и последующий члены (правда по модулю)!

Помимо этих трех формул пригодится еще формула суммы:

Практика.

Задание 1.

Это задание можно решить без формул. Но если уж так хочется, то можно и по формулам, но мне вот не хочется)

Откинем пока минусы…

Если разделить 125 на 100, то мы увидим во сколько раз следующее число меньше предыдущего: в 1,25 раз. То же самое число получится, если 100 разделить на 80.

Найдем 4-ое число в этой последовательности: 80 : 1,25 = 64.

И 5-ое: 64 : 1,25 = 51,2.

Но не забываем, что знаки у чисел чередуются: четвертое число будет отрицательным, а пятое – положительным.

Ответ: 51,2.

Задание 2.

Опять знаки у чисел чередуются, значит число, спрятанное под иксом, будет отрицательным.

Не будем морочить голову формулами, пойдем задом наперед: разделим 4-ое число на 3-ое (найдем знаменатель прогрессии):

96 : 24 = 4 (знаки у чисел мы откинули временно).

Значит, чтобы найти икс надо 24 разделить на знаменатель 4 и взять результат с минусом.

Ответ: -6.

Задание 3.

По данной нам в условии задаче формуле можно сразу понять, что 2 – знаменатель прогрессии. Если это не понятно – вот доказательство:

Здесь схитрить не получится, поэтому используем формулу и находим b₆.

Ответ: -192.

Задание 4.

Каждое следующее число в 4 раза больше предыдущего, значит знаменатель q равен 4.

Зная первый член прогрессии и знаменатель можно найти сумму первых шести членов (n = 6).

Ответ: 682,5.

Задание 5.

Похожее условие уже встречалось в задании 3. Из данной формулы делаем вывод, что знаменатель q = 3.

Находим сумму:

Ответ: -847.

Вот и всё!

С наилучшими пожеланиями, твой персональный препод)

Источник

Описание[править | править код]

Примеры[править | править код]

Свойства[править | править код]

Свойства знаменателя геометрической прогрессии[править | править код]

Свойства членов геометрической прогрессии[править | править код]

Свойства суммы геометрической прогрессии[править | править код]

Свойства произведения геометрической прогрессии[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

п.1. Понятие геометрической прогрессии

п.2. Формула n-го члена геометрической прогрессии

п.3. Свойства геометрической прогрессии

п.4. Сумма первых n членов геометрической прогрессии

п.5. Примеры

Геометрическая прогрессия

Вам также может понравиться

Как найти средний оклад в экселе

Как найти лобби друзей

Как составить предложение на английском в past simple схема

Добавить комментарий Отменить ответ