Как найти постоянную больцману в физике

Значения постоянной Больцмана в разных единицах

Численное значение	Единица
1,380 649⋅10−23	Дж·К−1[1]
1,380 649⋅10−16	эрг·К−1
8,617 333 262… ⋅10−5	эВ·К−1[2]

Постоя́нная Бо́льцмана ( или ) — физическая постоянная, определяющая связь между температурой и энергией. Названа в честь австрийского физика Людвига Больцмана, сделавшего большой вклад в статистическую физику, в которой эта постоянная играет ключевую роль. Её значение в Международной системе единиц СИ согласно изменениям определений основных единиц СИ точно равно

k = 1,380 649 · 10⁻²³ Дж/К.

В системе единиц Планка постоянная Больцмана выбрана в качестве одной из основных единиц системы^[3].

Универсальная газовая постоянная определяется как произведение постоянной Больцмана на число Авогадро, . Газовая постоянная более удобна, когда число частиц задано в молях.

Связь между температурой и энергией[править | править код]

В однородном идеальном газе, находящемся при абсолютной температуре , энергия, приходящаяся на каждую поступательную степень свободы, равна, как следует из распределения Максвелла, . При комнатной температуре (300 К) эта энергия составляет 2,07 · 10⁻²¹ Дж, или 0,012926 эВ. В одноатомном идеальном газе каждый атом обладает тремя степенями свободы, соответствующими трём пространственным осям, что означает, что на каждый атом приходится энергия в .

Зная тепловую энергию, можно вычислить среднеквадратичную скорость атомов, которая обратно пропорциональна квадратному корню атомной массы. Среднеквадратичная скорость при комнатной температуре изменяется от 1370 м/с для гелия до 240 м/с для ксенона. В случае молекулярного газа ситуация усложняется, например, двухатомный газ имеет 5 степеней свободы — 3 поступательных и 2 вращательных (при низких температурах, когда не возбуждены колебания атомов в молекуле и не добавляются дополнительные степени свободы).

Определение энтропии[править | править код]

Энтропия термодинамической системы определяется как величина, пропорциональная натуральному логарифму от числа различных микросостояний , соответствующих данному макроскопическому состоянию (например, состоянию с заданной полной энергией).

Коэффициент пропорциональности и есть постоянная Больцмана. Это выражение, определяющее связь между микроскопическими () и макроскопическими состояниями (), выражает центральную идею статистической механики.

Фиксация значения[править | править код]

XXIV Генеральная конференция по мерам и весам, состоявшаяся 17—21 октября 2011 года, приняла резолюцию^[4], в которой, в частности, было предложено будущую ревизию Международной системы единиц произвести так, чтобы зафиксировать значение постоянной Больцмана, после чего она будет считаться определённой точно. В результате должно было выполняться точное равенство k = 1,380 6X⋅10⁻²³ Дж/К, где Х заменяет одну или более значащих цифр, которые должны были быть определены в дальнейшем на основании наиболее точных рекомендаций CODATA.

Такая фиксация была связана со стремлением переопределить единицу термодинамической температуры кельвин, связав его величину со значением постоянной Больцмана.

См. также[править | править код]

• Термодинамическая энтропия
• Число Авогадро
• Универсальная газовая постоянная
• Уравнение состояния идеального газа
• Планковские единицы

Примечания[править | править код]

Постоянная Больцмана, представляющая собой коэффициент, равный k=1,38·10-23 ДжК, является частью значительного числа формул в физике. Она получила свое название по имени австрийского физика – одного из основоположников молекулярно-кинетической теории. Сформулируем определение постоянной Больцмана:

Постоянной Больцмана называется физическая постоянная, с помощью которой определяется связь между энергией и температурой.

Не следует путать ее с постоянной Стефана-Больцмана, связанной с излучением энергии абсолютно твердого тела.

Существуют различные методы вычисления данного коэффициента. В рамках этой статьи мы рассмотрим два их них.

Нахождение постоянной Больцмана через уравнение идеального газа

Данная постоянная может быть найдена с помощью уравнения, описывающего состояние идеального газа. Опытным путем можно определить, что нагревание любого газа от T0=273 К до T1=373 К приводит к изменению его давления от p0=1,013·105 Па до p0=1,38·105 Па. Это достаточно простой эксперимент, который может быть проведен даже просто с воздухом. Для измерения температуры при этом нужно использовать термометр, а давления – манометр. При этом важно помнить, что количество молекул в моле любого газа примерно равно 6·1023, а объем при давлении в 1 атм равен V=22,4 л. С учетом всех названных параметров можно перейти к вычислению постоянной Больцмана k:

Для этого запишем уравнение дважды, подставив в него параметры состояний.

Зная результат, можем найти значение параметра k:

Нахождение постоянной Больцмана через формулу броуновского движения

Для второго способа вычисления нам также потребуется провести эксперимент. Для него нужно взять небольшое зеркало и подвесить в воздухе с помощью упругой нитки. Допустим, что система зеркало-воздух находится в стабильном состоянии (статическом равновесии). Молекулы воздуха ударяют в зеркало, которое, по сути, ведет себя как броуновская частица. Однако с учетом его подвешенного состояния мы можем наблюдать вращательные колебания вокруг определенной оси, совпадающей с подвесом (вертикально направленной нитью). Теперь направим на поверхность зеркала луч света. Даже при незначительных движениях и поворотах зеркала отражающийся в нем луч будет заметно смещаться. Это дает нам возможность измерить вращательные колебания объекта.

Обозначив модуль кручения как L, момент инерции зеркала по отношению к оси вращения как J, а угол поворота зеркала как φ, можем записать уравнение колебаний следующего вида:

Минус в уравнении связан с направлением момента сил упругости, который стремится вернуть зеркало в равновесное положение. Теперь произведем умножение обеих частей на φ, проинтегрируем результат и получим:

Следующее уравнение является законом сохранения энергии, который будет выполняться для данных колебаний (то есть потенциальная энергия будет переходить в кинетическую и обратно). Мы можем считать эти колебания гармоническими, следовательно:

При выведении одной из формул ранее мы использовали закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. Значит, можем записать так:

Как мы уже говорили, угол поворота можно измерить. Так, если температура будет равна приблизительно 290К, а модуль кручения L≈10-15 Н·м; φ≈4·10-6, то рассчитать значение нужного нам коэффициента можно так:

Следовательно, зная основы броуновского движения, мы можем найти постоянную Больцмана с помощью измерения макропараметров.

Значение постоянной Больцмана

Значение изучаемого коэффициента состоит в том, что с его помощью можно связать параметры микромира с теми параметрами, что описывают макромир, например, термодинамическую температуру с энергией поступательного движения молекул:

E=32kT.

Этот коэффициент входит в уравнения средней энергии молекулы, состояния идеального газа, кинетической теории газа, распределение Больцмана-Максвелла и многие другие. Также постоянная Больцмана необходима для того, чтобы определить энтропию. Она играет важную роль при изучении полупроводников, например, в уравнении, описывающем зависимость электропроводности от температуры.

Краткое описание

Взаимосвязь между макроскопическими свойствами материи (давление, температура) и характером движения атомов и молекул описывается молекулярно-кинетической теорией. Одним из ее создателей являлся Людвиг Больцман.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

(frac{mv^2}2=kT)

где m — масса молекул газа, v — их средняя скорость, k — постоянная Больцмана, а T — температура газа по шкале Кельвина.

Физический смысл постоянной Больцмана заключается в обеспечении взаимосвязи характеристик атомно-молекулярного уровня и объемными свойствами газа, которые можно измерить при помощи приборов.

Постоянная Больцмана обозначается буквой k, а ее величина равна

(k=1.38times10^{-23}Дж/К)

Как соотносится энергия и температура

При абсолютной температуре T в идеальном однородном газе на каждую поступательную степень свободы приходится энергия (kT/2), что следует из распределения Максвелла. Значение этой энергии при 300 К (комнатной температуре) составляет примерно

(2.07times10^{-21} Дж.)

В идеальном одноатомном газе каждый атом имеет три степени свободы, которые соответствуют трем пространственным осям. Поэтому энергию, приходящуюся на каждый атом можно выразить как

(frac{3kT}2)

Если известна величина тепловой энергии, то нетрудно рассчитать среднеквадратичную скорость атомов. Она будет обратно пропорциональна корню квадратному из атомной массы. Например, при температуре 300 К среднеквадратичная скорость молекул ксенона составит 240 м/с, а гелия — 1370 м/с.

Вычисления для молекулярного газа усложняются. Это связано с увеличением степеней свобод. Так, например, при низкой температуре двухатомный газ имеет уже две вращательных и три поступательных степеней свободы. Рассмотрим решение конкретной задачи.

Задача

Газ состоит из N-атомных объемных молекул и находится при определенной температуре Т, при которой у молекул возбуждены колебательные, вращательные и поступательные степени свободы. Найти среднюю энергию молекул этого газа.

Решение

На каждую степень свободы в среднем приходится одинаковая величина кинетической энергии (закон равномерного распределения энергии по степеням свободы), которая равна

(leftlangleSigma_irightrangle=frac{kT}2)

Тогда можно утверждать, что средняя энергия молекулы составит

(leftlangleSigmarightrangle=frac{ikT}2)

Сделаем небольшое пояснение: i — сумма поступательных, вращательных и удвоенного количества колебательных степеней свободы, то есть

(i=m_{post}+m_{vr}+2m_{kol})

Теперь необходимо определить сколько степеней свободы имеют молекулы рассматриваемого газа:

(m_{post}=3, m_{vr}=3)

тогда (m_{kol}=3N-6)

(i=6+6N-12=6N-6)

(leftlangleSigmarightrangle=frac{6N-6}2kT)

Сокращаем полученное выражение и получаем:

(leftlangleSigmarightrangle=left(3N-3right)kT)

Ключевые нюансы

Постоянная Больцмана представляет собой отношение газовой постоянной (R) к постоянной Авогадро (Na):

(k=frac R{N_a})

По состоянию на 2017 год в международной системе единиц (СИ) ее значение составляет

(1,380649times10^{-23},)

а размерность — Дж/К.

Постоянную Больцмана не следует путать с постоянной Стефана-Больцмана, которая является константой пропорциональности в законе Стефана-Больцмана.

Способы нахождения постоянной Больцмана

Для нахождения постоянной Больцмана можно использовать различные методы. 

Универсальный метод

Искомый коэффициент входит в уравнение состояния идеального газа:

(p=frac NVkT)

Многочисленные опыты показывают, что при нагревании любого газа от T₀=273 К до Т₁=373 K его давление на стенки сосуда увеличивается с (P_0=1.013times10^5) Па до (P_1=1.38times10^5 Па.)

Провести такой опыт совсем несложно. В качестве газа используется обычный воздух, давление измеряется при помощи манометра, а температура — термометра. При этом известно, что один моль любого газа при нормальных условиях занимает объем V=22,4 л и содержит (6.02times10^{23}) молекул.

Подставим известные параметры в уравнение состояния идеального газа:

(P_0=frac N{V_0}kT_0)

(P_1=frac N{V_1}kT_1)

Отсюда, коэффициент k

(k=frac{P_1V_1-P_0V_0}{Nleft(T_1-T_0right)})

Подставив в получившиеся уравнение известные данные и решив его получаем значение постоянной Больцмана равное (1.38times10^{-23}.)

Через формулу броуновского движения

Небольшое зеркальце подвешивают на упругой нити. Система зеркало-воздух находится в статическом равновесии. О поверхность зеркала ударяются хаотично движущиеся молекулы воздуха. Поэтому оно ведет себя как одна из броуновских частиц. Помимо этого, зеркало будет совершать и крутильные колебания вокруг оси, которой является упругая нить-подвес.

Зеркальную поверхность освещают лучом света. При ее, даже небольших поворотах, отраженный луч будет смещаться. Это позволяет не только увидеть, но и измерить крутильные колебания.

Обозначим угол поворота зеркала как (varphi), момент инерции зеркала — J, а модуль кручения подвеса — L. Теперь запишем уравнение крутильных колебаний, которое будет иметь вид:

(J_varphi=-L_varphi)

Умножив обе части уравнения на (varphi) и преобразовав его получаем:

(frac{Jvarphi^2}2+frac{Lvarphi^2}2=Const)

Так как малые крутильные колебания являются гармоничными, то можно записать:

(frac12Jleftlanglevarphi^2rightrangle=frac12Lleftlanglevarphi^2rightrangle=frac12kT)

Исходя из него получаем:

(leftlanglevarphi^2rightrangle=frac{kT}L)

Отсюда

(k=frac{leftlanglevarphi^2rightrangle L}T)

Подставив в полученную формулу полученные опытным путем данные, например

(leftlanglevarphi^2rightrangleapprox4times10^{-6})

(Lapprox10^{-15}Нtimes м)

(Tapprox290K)

Получаем приблизительное значение постоянной Больцмана равное

(1.38times10^{-23};Дж/К)

Области применения

Постоянная Больцмана является важным членом многих уравнений:

• кинетической теории газов;
• распределения Максвелла-Больцмана;
• средней энергии молекулы;
• состояния идеального газа.

Кроме того, постоянная Больцмана играет роль в распределении энергии, используется в определении энтропии. Немаловажное значение имеет эта константа и в физике полупроводников. Она входит в состав формулы, описывающей зависимость между электропроводимостью и температурой.

Откуда взялась физическая постоянная Больцмана?

Постоянная Больцмана – постоянная величина, которая названа в честь своего первооткрывателя – Людвига Эдварда Больцмана. Австрийский физик опередил свое время, сделав значительный вклад в статическую физику, заложив фундамент в молекулярно-кинетическую теорию и доказав миру, что поведение и физические свойства материи напрямую зависят от явлений на атомном уровне. Постоянная обозначается символом k и равняется 1,38 x 10^–23 Дж/К. Она напрямую связывает параметры микромира (атомы и молекулы) с макроскопическими свойствами (температура и давление).

Что же это такое и в каких единицах измеряется

Рассмотрим два метода нахождения коэффициента Больцмана:

Важно! Постоянная Больцмана и Постоянная Стефана-Больцмана – не одно и то же. Так как по определению постоянная Стефана-Больцмана: неизменная величина – коэффициент пропорциональности в законе Стефана-Больцмана: полная энергия, которая излучается единицей площади с поверхности абсолютно черного тела, пропорциональная 0,25 степени температура. Значение — 5,670 374 419… ⋅10⁻⁸ Вт·м⁻²·К⁻⁴. полная энергия, излучаемая единицей площади поверхности абсолютно чёрного тела за единицу времени, пропорциональна четвёртой степени термодинамической температуры.

Как найти постоянную Больцмана при помощи уравнения Менделеева-Клайперона

Постоянная Больцмана используется в уравнении, используемого для нахождения идеального газа и выглядит как:

pV= uRT, где:

• p – это давление
• V – это объем
• u – это «ню», количество вещества, измеряемое в молях
• R –  это универсальная газовая величина, являющаяся постоянной и равная 8,314 
• T – температура в Кельвинах

А универсальная газовая постоянная находится с использованием неизменной Больцмана по формуле R = kNa,

Na – постоянная Авогадро, равная 6·10^23

Через эксперимент определим, что при изменении температуры с Т0=273 до Т=373, давление изменилось с p0=1,013·105 Па до p 0 = 1, 38 ⋅ 10. Такой эксперимент легко можно повторить, используя термометр для изменения температуры (важно не забыть после перевести в Кельвины по формуле T=t+T0, где Т0 – это 273, а t – температура в цельсиях) и манометр для давления.

 Далее важно не забывать, что количество молекул в 1 моле газа равняется число Авогадро, а при 1 атм V = 22,4 л.

Подставляем все вышеперечисленные параметры в уравнение и вычисляет число k.

Вывод постоянной Больцмана с использованием броуновской формулы взвешенных частиц

Проведем эксперимент для следующего метода вычисления. Возьмем и подвесим на упругой нити зеркало небольшого размера. Наша система воздух-зеркало существует в статическом равновесии (состояние покоя под действием сил). Зеркало в данной системе можно считать броуновской частицей, так как о него ударяются молекулы воздуха. Беря во внимание его подвешенное состояние, наблюдаем вращательные колебания вокруг оси, которая совпадает с вертикально направленной нитью-подвесом. Далее направляем на зеркало луч света и видим, что при малейших поворотах и движениях зеркала луч заметно смещается. Это позволяет найти вращательные колебания у зеркала.

 Модуль кручения можем обозначить буквой L, а J – будет моментом инерции для оси вращения, ф – угол поворота зеркала. Равенство крутильных колебаний будет выглядеть как:

Jф = -Lф

В правой части запишем минус, так как момент сил упругости возвращает зеркало в состояние равновесия. При преобразовании уравнения колебаний и домножения обеих частей на ф получим:

Jφ22+Lφ22=Const

Так как колебания гармонические, то здесь действует закон сохранения энергии, значит потенциальная будет переходить в кинетическую и так далее. С учетом закона равномерного распределения энергии запишем конечную формулу и подставим исходные данные, получим постоянную Больцмана:

k=⟨φ2⟩/LT

Данные, которые мы получили в эксперименте, это максимальное значение угла поворота ⟨φ⟩≈4×10−6, модуль кручения L≈10^15Н×м при температуре T≈290K. Таким образом, через макропараметры мы можем найти требуемую физическую постоянную.

Значение постоянной Больцмана

С помощью данной постоянной легко можно связать микрочастицы (молекулы, электроны, протоны, кварки) с элементами макромира (температуру Кельвина). Для примера приведем формулу связи энергии поступательного движения молекул с температурой по Кельвину по формуле:

maxE > = 3/ 2 k T 

Физическая Больцмана, помимо уравнения Менделеева-Клайперона, также помогает найти среднюю энергию молекулы, кинетическую теорию газа, распределение Больцмана-Максвелла и многое другое. Постоянная важна для исследования полупроводников, определяет энтропию с использованием формулы S = k log p + b.

Уравнение вида   1/2 mv² = kT является своеобразным «мостиком» для микропараметров в левой стороне и макропараметрами в правой части.

Приведем пример задач с использованием k

Задача 1:

Чтобы определить экспериментальным путем значения Авогадро с использованием метода Перрена, нашли, что если увеличить слой жидкости на 13 мкм, то концентрация частиц гуммигута упадет в 2 раза. Найдите радиус частичек при температуре 1 градус по Цельсию, плотность жидкости 0,910, а плотность гуммигута 1,210.

Решение с пояснениями: маленькие частицы ведут себя подобно молекулам при взвешивании в газе или жидкости, поэтому нахождение изменения их концентрации справедливо по распределению Больцмана.

[n=n_{0} exp left(frac{-E_{h}}{k T}right)]

n – это концентрация, h – это высота, к – постоянная, Т – температура в Кельвинах, п0 – концентрация на высоте, равной нулю, от неё отсчитывается потенциальная энергия, которая записывается как:

[E_{h}=Vleft(rho-rho_{1}right) g h]

V – принимаем за объем единичной частицы.

Подставим в формулу логарифм п0, который равняется 2, а затем вставим значения и посчитаем значение объема:

[V=frac{k T ln 2}{left(rho-rho_{1}right) g h}=72,5 cdot 10^{-21} mathrm{~m}^{3}]

Переведем через радиус правильного шара и получим г = 2,58 10⁷м.

Ответ: радиус частичек гуммигута равняется г = 2,58 10⁷м.

Задача 2:

Глубина скважины равняется 8 км, молярная масса воздуха 29-10^-3 кг/моль, температура – 300 Кельвинов, воздушное давление над поверхностью Земли = 1 амт. Какое давление окажет воздух на дно скважины?

Решение с пояснениями:

Формула потенциальной энергии:

E_h = -mgh.

Для того, чтобы узнать распределение молекул по глубине, запишем формулу распределения Больцмана:

[n=n_{0} exp left(frac{-E_{h}}{k T}right)=n_{0} exp left(frac{m g h}{k T}right)]

Если Р = пкТ, то запишем уравнение при постоянной концентрации его молекул, которое будет равняться:

[P=P_{0} exp left(frac{m g h}{k T}right)=P_{0} exp left(frac{mathrm{Mgh}}{R T}right)]

Вставим известные значения и посчитаем давление:

[P=1 text { атм } cdot e^{frac{29 cdot 9,8 cdot 8 cdot 10^{3}}{8,31 cdot 10^{3} cdot 3 cdot 10^{2}}}=2,489 text { атм } cdot P=2,5 cdot 10^{5} text { Па. }]

Ответ: Давление воздуха на дно скважины равняется 210⁵ Па.

Задача 3:

Основание атмосферного столба равняется 1см2, у второго столба высотой 1000 метров то же основание. Сравнить полное число молекул обоих столбов.

Решение с пояснениями:

Обозначим число молекул в 1 объема и при нулевой высоте как N0, тогда формула распределения данных частиц по высоте будет выглядеть следующим образом:

[N(h)=N_{0} e^{-m g h /(k T)}=N_{0} e^{-mu g h /(R T)}]

Полное число молекул в столбе с основанием в 1 см2 и заданной высотой

[N(H)=int_{0}^{H} N(z) d z=N_{0} int_{0}^{H} e^{-mu g h /(R T)} d z=N_{0} frac{R T}{mu g}left(1-e^{-mu g H /(R T)}right)]

где µ — будет являться молярной массой воздуха.

Подставим значение высоты и получим:

[N(H rightarrow infty)=2.1 cdot 10^{25}]

Ответ: N(H = 103 ) = 0.25· 1025.

Как вычислить постоянную Больцмана

Коэффициент $k=1,38cdot {10 }^{-23}frac{Дж}{K}$ – постоянная Больцмана – входит в большое количество формул физики. Назван он в честь австрийского физика Людвига Больцмана, который был одним из создателей молекулярно-кинетической теории. Постоянную Больцмана можно вычислить разными способами, что описаны в Википедии и энциклопедиях по физике. Приведем два из них.

Универсальный метод нахождения постоянной Больцмана

Используем уравнение состояния идеального газа, которое входит искомый коэффициент:

$p=nkT, p=frac{N}{V}kT left(1right) $

Из опытов известно, что если нагревать газ (неважно какой) от $T_0$=273 K до $T_1$=373 K его давление изменится от $p_0=1,013cdot {10}^5Па $ до $p_1=1,38cdot {10}^5Па$. Опыт простой его можно провести, даже если в качестве газа использовать воздух. Температуру, измеряем термометром, а давление – манометром. При этом мы помним, что один моль любого газа содержит около $6cdot {10}^{23}$ молекул и при давлении в одну атмосферу занимает объем V=22,4л. Зная вышеназванные параметры состояния системы, проведем расчет постоянной Больцмана. Для этого запишем уравнение (1) дважды, подставляя, параметры состояний:

$p_0=frac{N}{V_0}kT_0$

$p_1=frac{N}{V_1}kT_1$

$k=frac{p_1V_1-p_0V_0}{Nleft(T_1-T_0right)} left(2right) $

Используем выше перечисленные данные, найдем значение $k$ по формуле:

$k=frac{1,38cdot {10}^5cdot 22,4cdot {10}^{-3}-1,013cdot {10}^5cdot 22,4cdot {10}^{-3}}{6cdot {10}^{23}cdot 100}approx 1,38cdot {10}^{-23}frac{Дж}{К}$

Второй метод нахождения постоянной Больцмана

Приведем еще один метод нахождения постоянной Больцмана с помощью маленького зеркала, подвешенного на упругой нити в воздухе. Пусть система воздух – зеркало находится в состоянии статического равновесия. Зеркало подвергается ударам со стороны молекул воздуха и ведет себя, по сути, как броуновская частица, но так как оно подвешено на нити, то мы будем наблюдать крутильные колебания этого зеркала вокруг оси, которая совпадает с вертикальной нитью – подвесом. Поверхность зеркала освещаем лучом света, отраженный луч будет ощутимо смещаться даже при небольших поворотах зеркала. Значит, эти крутильные колебания можно увидеть и измерить. Обозначим модуль кручения нити через$ L$, момент инерции зеркала относительно оси вращения – $J$, поворот зеркала характеризует угол $varphi $. Тогда уравнение крутильных колебаний примет вид:

«Постоянная Больцмана» 👇

$Jddot{varphi }=-Lvarphi left(3right) $

Минус в (3) означает то, что момент сил упругости направлен таким образом, что стремится вернуть зеркало в положение равновесия. Умножим обе части уравнения (3) на $varphi $ и проведем интегрирование, получим:

$frac{1}{2}J{dot{varphi }}^2+frac{1}{2}L{varphi }^2=Const left(4right) $

Уравнение (4) – закон сохранения энергии для колебаний (кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот). Малые крутильные колебания можно считать гармоническими, поэтому:

$frac{1}{2}Jleftlangle {dot{varphi }}^2rightrangle =frac{1}{2}Lleftlangle {varphi }^2rightrangle =frac{1}{2}kT left(5right) $

Записывая в уравнении (5) последнюю его часть, мы использовали закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Из (5) легко получаем:

$leftlangle {dot{varphi }}^2rightrangle =frac{kT}L left(6right)$

Угол поворота, как уже отмечалось, можно измерить. Например, в опыте при $Tapprox 290K, Lapprox {10}^{-15}Нcdot м$ $leftlangle {varphi }^2rightrangle approx 4cdot {10}^{-6}$. В таком случае несложно рассчитать значение$ k$:

$k=frac{leftlangle {varphi }^2rightrangle L}{T}approx frac{4cdot {10}^{-6}cdot {10}^{-15}}{290}approx 1,38cdot {10}^{-23}frac{Дж}{K}$

Из приведенного примера можно сделать вывод о том, что броуновское движение дает возможность вычислить, чему равен коэффициент Больцмана, измеряя макропараметры.

Значение постоянной Больцмана заключается в том, что она позволяет связать параметры, описывающие микромир, с параметрами макромира.

Так, например, она связывает среднюю энергию поступательного движения молекул с термодинамической температурой:

$leftlangle Erightrangle =frac{3}{2}kT left(7right) $

МКТ постоянная Больцмана входит в большинство уравнений. Среди них: уравнение состояния идеального газа, средняя энергия молекулы, распределение Максвелла – Больцмана, основное уравнение кинетической теории газов и др. Кроме того, постоянная Больцмана используется в определении энтропии. Она имеет роль в физике полупроводников, к примеру, входит в уравнение, которое устанавливает зависимость электропроводимости от температуры.