Как найти постоянную радиоактивного распада

Ядерная физика
Атомное ядро · Радиоактивный распад · Ядерная реакция · Термоядерная реакция
Основные термины Атомное ядро · Изотопы · Изобары · Капельная модель ядра · Период полураспада · Массовое число · Составное ядро · Цепная ядерная реакция · Ядерное эффективное сечение
Распад ядер Закон радиоактивного распада · Альфа-распад · Бета-распад · Кластерный распад
Сложный распад Электронный захват · Двойной бета-распад · Двойной электронный захват · Внутренняя конверсия · Изомерный переход
Излучения Ионизирующее излучение · Нейтронный распад · Позитронный распад · Протонный распад · Гамма излучение · Фоторасщепление
Захваты Электронный захват · Нейтронный захват (r-процесс · s-процесс) · Протонный захват (p-процесс · rp-процесс) · Нейтронизация
Деление ядра Спонтанное деление
Нуклеосинтез Первичный нуклеосинтез · Протон-протонный цикл · CNO-цикл · Тройная гелиевая реакция · Гелиевая вспышка · Ядерное горение углерода · Углеродная детонация · Ядерное горение кислорода · Ядерное горение неона · Ядерное горение кремния · Реакции скалывания
См. также: Портал:Физика

Зако́н радиоакти́вного распа́да — физический закон, описывающий зависимость интенсивности радиоактивного распада от времени и от
количества радиоактивных атомов в образце. Открыт Фредериком Содди и Эрнестом Резерфордом, каждый из которых впоследствии был награждён Нобелевской премией. Они обнаружили его экспериментальным путём и опубликовали в 1903 году в работах «Сравнительное изучение радиоактивности радия и тория»^[1] и «Радиоактивное превращение»^[2], сформулировав следующим образом^[3]:

Во всех случаях, когда отделяли один из радиоактивных продуктов и исследовали его активность независимо от радиоактивности вещества, из которого он образовался, было обнаружено, что активность при всех исследованиях уменьшается со временем по закону геометрической прогрессии.

из чего с помощью теоремы Бернулли учёные сделали вывод^[4]:

Скорость превращения всё время пропорциональна количеству систем, ещё не подвергнувшихся превращению.

Существует несколько формулировок закона, например, в виде дифференциального уравнения:

которое означает, что число распадов −dN, произошедшее за короткий интервал времени dt, пропорционально числу атомов N в образце.

Экспоненциальный закон[править | править код]

В указанном выше математическом выражении неотрицательная константа  — постоянная распада, которая характеризует вероятность радиоактивного распада за единицу времени и имеющая размерность с⁻¹. Знак минус указывает на убыль числа радиоактивных ядер со временем.

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

где  — начальное число атомов, то есть число атомов для

Таким образом, число радиоактивных атомов уменьшается со временем по экспоненциальному закону. Скорость распада, то есть число распадов в единицу времени:

также падает экспоненциально. Дифференцируя выражение для зависимости числа атомов от времени, получаем:

где  — скорость распада в начальный момент времени

Таким образом, зависимость от времени числа нераспавшихся радиоактивных атомов и скорости распада описывается одной и той же постоянной ^[4][5][6][7].

Характеристики распада[править | править код]

Кроме константы распада радиоактивный распад характеризуют ещё двумя производными от неё константами, рассмотренными ниже.

Среднее время жизни[править | править код]

Из закона радиоактивного распада можно получить выражение для среднего времени жизни радиоактивного атома. Число атомов, в момент времени претерпевших распад в пределах интервала равно их время жизни равно Среднее время жизни получаем интегрированием по всему периоду распада:

Подставляя эту величину в экспоненциальные временные зависимости для и легко видеть, что за время число радиоактивных атомов и активность образца (количество распадов в секунду) уменьшаются в e раз^[4].

Период полураспада[править | править код]

На практике получила большее распространение другая временная характеристика — период полураспада равная времени, в течение которого число радиоактивных атомов или активность образца уменьшаются в 2 раза^[4].

Связь этой величины с постоянной распада можно вывести из соотношения откуда:

Примеры характеристик распада[править | править код]

Существующие в природе радиоактивные изотопы в основном возникают в сложных цепочках распадов урана и тория и имеют периоды полураспада в очень широкой области значений: от 3⋅10⁻⁷ секунды для ²¹²Po до 1,4⋅10¹⁰ лет для ²³²Th. Наибольший экспериментально измеренный период полураспада имеет изотоп теллура ¹²⁸Te — 2,2⋅10²⁴ лет. Само существование в настоящее время многих естественных радиоактивных элементов несмотря на то, что с момента образования этих элементов при звёздном нуклеосинтезе прошло более 4,5 млрд лет, является следствием очень больших периодов полураспада ²³⁵U, ²³⁸U, ²³²Th и других природных радионуклидов. К примеру, изотоп ²³⁸U стоит в начале длинной цепочки (так называемый ряд радия), состоящей из 20 изотопов, каждый из которых возникает при α-распаде или β-распаде предыдущего элемента. Период полураспада ²³⁸U (4,5⋅10⁹ лет) много больше, чем период полураспада любого из последующих элементов радиоактивного ряда, поэтому распад в целом всей цепочки происходит за то же время, что и распад ²³⁸U, её родоначальника, в таких случаях говорят, что цепочка находится в состоянии секулярного (или векового) равновесия^[7]. Примеры характеристик распада некоторых веществ^[8]:

Вещество	238U	235U	234U	210Bi	210Tl
Период полураспада,	4,5⋅109 лет	7,13⋅108 лет	2,48⋅105 лет	4,97 дня	1,32 минуты
Постоянная распада,	4,84⋅10−18 с−1		8,17⋅10−14 с−1	1,61⋅10−6с−1	8,75⋅10−3 с−1
Частица	α	α	α	β	β
Полная энергия распада, МэВ[9][10]	4,2699	4,6780	4,8575	1,1612	5,482

Интересные факты[править | править код]

Один из открывших закон, Фредерик Содди, в своей научно-популярной книге «The story of atomic energy», изданной в 1949 году, видимо из скромности, ничего не пишет о своём (но и чьём-либо ещё тоже) вкладе в создание этой теории, зато довольно оригинально отзывается о ней^[11][12]:

Следует отметить, что закон превращений одинаков для всех радиоэлементов, являясь самым простым и в то же время практически необъяснимым. Этот закон имеет вероятностную природу. Его можно представить в виде духа разрушения, который в каждый данный момент наугад расщепляет определённое количество существующих атомов, не заботясь об отборе тех из них, которые близки к своему распаду.

Примечания[править | править код]

Недавно проводил очередные занятия по физике со своими учениками и заметил некоторые трудности в решении задач на радиоактивный распад. По моим наблюдениям в школе и в интернете разбираются самые тривиальные задачи на распад. Задачи из ЕГЭ бывают немного сложнее. Но для интереса я добавил в статью разборы еще 6 задач, которые смело можно назвать задачами «со звёздочкой*», то есть повышенной сложности. На написание теории и подробные решения было потрачено много времени, поэтому, если Вам понравится статья, поддержите своей активностью.

💡 Крупные статьи я выкладываю в pdf в своём канале в telegram Репетитор IT mentor. Подписывайтесь, там публикуется контент, которого на Дзен не будет.

Прежде всего хотелось бы сделать замечание. Для успешного решения задач по физике (в целом, любых задач) Вам понадобятся:
◼ 1. Уверенные знания в математике на уровне физ-мат лицея (это минимум)
◼ 2. Базовые знания по дифференциальному и интегральному исчислению, а также умение применять начальные условия (НУ) и граничные условия (ГУ).
◼ 3. Понимание ограничений и сути процесса ( у вас не должны получаться отрицательная масса или отрицательное время, дробное количество, околосветовые скорости макроскопических объектов )
◼ 4. Хорошее воображение, 3D-видение эксперимента у себя в голове, а также возможность представить как выглядит график функции, описываемой в определенном законе (например: закон радиоактивного распада).
◼ 5. Умение разбивать большую задачу на малые подзадачи (например: определить амплитуду колебаний изображения математического маятника — у вас две задачи: механическая и оптическая — решайте их отдельно, потом сшивайте).
◼ 6. Чувствуйте абстракции. Вы никогда не решите задачу, если попытаетесь учесть всё. Пример: определите траекторию полёта камня, брошенного под углом к горизонту с учётом… эффекта Магнуса, динамического сопротивления ветра, фазы Луны, функции плотности воздуха, динамики вихрей потоков воздуха, распада вещества, из которого состоит камень, термодинамического расширения камня. Сложно? Вот поэтому чувствуйте абстракции.
◼ 7. Программирование. Да… внезапно. Для физики полезно знать какой-нибудь язык программирования. Попробуйте решенную задачу замоделировать и закодить в виде графической анимации. Так ваши решения станут куда более интересными и наглядными. А меняя входные параметры, вы станете лучше понимать поведение физических систем.

Основные определения

Радиоактивность – свойство некоторых нуклидов подвергаться радиоактивному распаду.

Радиоактивность – превращение одних атомных ядер в другие ядра, сопровождающееся испусканием различных частиц и электромагнитного излучения. На латыни radio – излучаю, activus – действенный.

Радиоактивность – самопроизвольное превращение неустойчивых изотопов одного химического элемента в изотоп другого элемента, сопровождающееся испусканием элементарных частиц, ядер и жесткого электромагнитного излучения.

Нуклид – разновидность атома, характеризуемая числом протонов и нейтронов, а в некоторых случаях энергетическим состоянием ядра.

Радионуклид – нуклид, испускающий ионизирующее излучение.

Радиация или ионизирующее излучение – это частицы или гамма-кванты, энергия которых достаточна велика, чтобы при воздействии на вещество создавать ионы и катионы (т.е. ионизировать молекулы на своём пути).

Ионизирующее излучение – поток заряженных или нейтральных частиц и квантов электромагнитного излучения, прохождение которых через вещество приводит к ионизации и возбуждению атомов или молекул среды. По своей природе делится на фотонное (гамма-излучение, тормозное излучение, рентгеновское излучение) и корпускулярное (альфа-излучение, электронное, протонное, нейтронное, мезонное).

Теория для решения задач

Закон радиоактивного распада – закон, который описывается зависимость интенсивности радиоактивного распада от времени и от количества радиоактивных атомов в образце. Закон был открыт Фредериком Содди и Эрнестом Резерфордом. Оба получили Нобелевскую премию. Они обнаружили закон экспериментальным путем. Ещё в далеком 1903 году в работах «Сравнительное изучение радиоактивности радия и тория» этот закон формулировался:

Во всех случаях, когда отделяли один из радиоактивных продуктов и исследовали его активность независимо от радиоактивности вещества, из которого он образовался, было обнаружено, что активность при всех исследованиях уменьшается со временем по закону геометрической прогрессии.

То есть скорость превращения всё время пропорционально количеству элементов, ещё не подвергнувшихся превращению.

Данную формулировку можно записать в виде дифференциального уравнения: dN/dt = – λ·N, где dN – изменение количества ядер за время dt.

Это изменение отрицательно, потому что при распаде уменьшается количество оставшихся элементов. Опытным путем было установлено, что эта скорость распада dN/dt пропорционально количеству оставшихся ядер N и некоторой постоянной λ, которая называется постоянной распада и характеризует вероятность радиоактивного распада за единицу времени (имеет размерность 1/c). Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Решение подобных уравнений можно найти в любом учебнике по высшей математике.

В итоге решение будет иметь вид N = N₀ · exp(- λ·t) :

Отсюда видно, что число радиоактивных атомов какого-либо вещества уменьшается со временем по экспоненциальному (показательному) закону. Помимо постоянной распада λ используются другие характеристики.

Среднее время жизни

Зная закон распада, можно посчитать среднее время жизни радиоактивного атома. Вспоминаем, что dN обозначает количество атомов, которое распадется за время от t до t + dt. Тогда среднее время можно будет найти подобно тому, как мы ищем среднее или математическое ожидание случайной непрерывной величины:

В вычислениях была использована формула для интегрирования по частям. Теория интегрирования также описана в любой книге с конспектами по высшей математике (или математическому анализу, или интегральному исчислению).

Подставим результат для тау (время жизни τ) в экспоненциальную зависимость в формуле распада:

Отсюда видно, что за среднее время жизни τ число радиоактивных атомов образца ( а также его активность – количество распадов в секунду) уменьшается в e ≈ 2.718 раз.

Период полураспада

И всё же большей популярностью пользуется другая характеристика для радиоактивных элементов. Называется она периодом полураспада T. Если немного подумать, то из названия понятно, что это время, в течение которого количество радиоактивных атомов исходного элемента уменьшается в 2 раза. Выведем связь этой величины с постоянной распада:

A – массовое число (число нуклонов в составе ядра атома)
Z – атомный номер в таблице Менделеева (число протонов в ядре)
Для нейтрального атома:

Законы сохранения в распадах

При радиоактивном распаде сохраняются следующие параметры:

1. Заряд. Электрический заряд не может создаваться или исчезать. Общий заряд до и после реакции должен сохраняться, хотя может по-разному распределяться среди различных ядер и частиц. Единичный положительный и отрицательный заряды нейтрализуют друг друга. Аналогично, возможно для нейтральной частицы (типа нейтрона) произвести один заряд каждого знака.
2. Массовое число или число нуклонов. Число нуклонов после реакции должно быть равно числу нуклонов до реакции.
3. Общая энергия. Кулоновская энергия и энергия эквивалентных масс должна сохраняться во всех реакциях и распадах.
4. Импульс и угловой момент. Сохранение линейного импульса ответственно за распределение кулоновской энергии среди ядер, частиц и/или электромагнитного излучения. Угловой момент относится к спину частиц.

Потенциальная энергия взаимодействия α-частицы и остаточного ядра с зарядом Z·e

Вид волновой функции можно получить из решения уравнения Шредингера для взаимодействия ядра атома и α-частицы. Способы решения можно почитать в книгах по физике вузовского уровня или в книгах по ММФ (методы математической физики). В целом, для понимания вам будет полезна теория решения дифференциальных уравнений из конспектов лекций по высшей математике или конкретно по теме – дифференциальное и интегральное исчисление.

По причинам исторического характера ядро He называют альфа-частицей. Установлено, что многие тяжелые ядра с зарядовым числом Z > 82 (Z = 82 имеет свинец) испытывают радиоактивный распад с испусканием альфа-частицы. В альфа-частице удельная энергия связи больше, чем в тяжелых ядрах, поэтому альфа-распад возможен энергетически. К примеру, образце урана U-238 испускает альфа-частицы с периодом полураспада 4.5 млрд. лет. Самопроизвольно происходит реакция:

Спустя 4.5 млрд. лет половина ядер урана U-238 распадается. Разность масс U-238 и продуктов распада равна энергии 4.2 МэВ. Рисунок выше позволяет получить представление о том, почему происходит альфа-распад. Ea – кинетическая энергия вылетающей альфа-частицы. Первоначально альфа-частицы находится в области I и может быть описана стоячей волной с амплитудой Ψвнутр (волновая функция в данной области пространства). Однако, возможно проникновение сквозь барьер, потому что в области вдали от ядра имеется небольшой «хвост» волновой функции Ψвнеш. Вероятность вылета альфа-частицы в момент её соударения с барьером можно оценить выражением: |Ψвнеш|²/|Ψвнутр|².

Число таких столкновений в 1 секунду приблизительно v/2R, где v – скорость альфа-частицы в области I. Таким образом, вероятность испускания альфа-частицы в единицу времени можно записать так:

В образце, содержащем n ядер, число распадов в секунду (скорость уменьшения n) равна

Отсюда с помощью интегрирования и подстановки начальных условий можно снова получить закон радиоактивного распада:

Можно получить ещё одну формулу для оценки периода полураспада:

Формула иллюстрирует применение квантовой механики для объяснения радиоактивности. Квантовая механика дает исчерпывающее объяснение альфа-распада и других радиоактивных превращений. Природа вероятности интересна тем, что если в силу редкой случайности текущее ядро уцелело на протяжении большого числа периодов полураспада, то эта предыстория абсолютно не влияет на вероятность распада в будущем. Этот же эффект имеет место при бросании монеты. Если у вас пять раз выпал орёл, вероятность шестой раз выпасть орлу остаётся по-прежнему равной 0.5.

Вероятность распада ядер одного вещества всегда одна и та же, независимо от их возраста. Допустим, половина ядер какого-либо изотопа распадается за один год. Какое-то ядро, избежавшее распада в первый год, по-прежнему будет иметь вероятность ½ распасться на протяжении второго года. Если сохранится на протяжении двух лет, то вероятность распада на третий год снова будет ½.

💡 Теперь перейдем к практике и поучимся решать основные задачи. Здесь имеются две задачи из ЕГЭ по физике, но также я добавил более сложные задачи, которые не встречались мне в ЕГЭ, однако встречались в вузовской программе для физиков.

Практика решения задач

Задача 1. Какая доля радиоактивных ядер распадается через интервал времени, равный половине периода полураспада? Ответ приведите в процентах и округлите до целых.

Решение:

Задача 2. После крупной радиационной аварии, произошедшей в 1986 году на Чернобыльской атомной электростанции, некоторые участки местности оказались сильно загрязнены радиоактивным изотопом цезия-137 с периодом полураспада 30 лет. На некоторых участках норма максимально допустимого содержания цезия-137 была превышена в 1000 раз. Через сколько периодов полураспада после загрязнения такие участки местности вновь можно считать удовлетворяющими норме? Ответ округлите до целого числа.

Решение:

Задача 3. Период полураспада элемента 1 в три раза больше периода полураспада элемента 2. За некоторое время число атомов элемента 1 уменьшилось в 8 раз. Во сколько раз за это же время уменьшилось число атомов элемента 2?

Решение:

Задача 4*. Вычислить постоянную распада λ для изотопов радия:
а) ²¹⁹Ra; б) ²²⁶Ra; в) ²³⁰Ra. Чему равна вероятность распада изотопов радия за время t = 1 час ?

Решение:

Задача 5*. При определении периода полураспада короткоживущего радиоактивного изотопа использовался счётчик импульсов. За минуту в начале наблюдения было насчитано Δn₀ = 250 импульсов, а через время τ = 1 час было зарегистрировано Δn = 92 импульса. Чему равен период полураспада данного изотопа?

Решение:

Задача 6*. Известно, что из радиоактивного полония ²¹⁰Po массой m = 2.5 грамм за время t = 32 дня в результате его распада образуется гелий объемом V = 40 см³ при нормальных условиях: p₀ = 10⁵ Па и τ₀ = 273 К. Определить по этим данным период полураспада данного изотопа полония.

Решение:

Задача 7*.Оценить количество тепла, которое выделяет полоний ²¹⁰Po массой m = 1 мг за время, равное периоду полураспада этих ядер, если испускаемые α-частицы имеют кинетическую энергию Wα = 5.3 МэВ.

Решение:

Задача 8*. Пусть в ядре урана ²³⁸U альфа-частица сталкивается с потенциальным барьером 5·10²⁰ раз в секунду и Ψвнеш/Ψвнутр = 10⁻¹⁹.
а) Какова вероятность распада этого ядра в 1 сек ?
б) Каково среднее время жизни этого ядра?

Решение:

Понравилась статья? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно 🙂

Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram

Активность и
единицы ее измерения.

Закон
радиоактивного распада
для любых превращений ядер устанавливает,
что за единицу времени распадается
всегда одна и та же доля нераспавшихся
ядер данного радионуклида. Эту долю
называют постоянной
распада
и обозначают l.
В общем виде этот закон выражается
экспоненциальной зависимостью:

,
(2.1)

где
N – число ядер, распавшихся за время t;
N₀
– начальное число ядер радионуклида;
е = 2,718; l
– постоянная распада и соответствующий
ей период полураспада зависят только
от устойчивости ядер.

Этот закон,
выражающий уменьшение количества ядер
атомов радиоактивного вещества во
времени, называется законом радиоактивного
распада (рис. 4).

Для любого момента времени

,
(2.2)

,
(2.3)

где N₁ и N₂
– число ядер материнского и дочернего
радионуклидов; N₀ –
число ядер материнского радионуклида
в начальный момент времени; l₁
и l₂ – постоянные
распада материнского и дочернего
радионуклидов.

Для
характеристики устойчивости ядер
радиоактивного вещества относительно
распада используется понятие период
полураспада,
т.е.–
промежуток времени, в течение которого
в результате радиоактивного распада
количество ядер данного радиоактивного
вещества уменьшается в два раза.

.
(2.4)

Рис. 4. График радиоактивного распада:

N₀
– исходное количество радиоактивного
вещества; Т_1/2
– период

полураспада вещества

Величина,
обратная постоянной распада, называется
средним
временем жизни
t
радиоактивного ядра:

.
(2.5)

Период полураспада
для различных радионуклидов имеет
протяженность от долей секунды до
миллиардов лет. Соответственно и
радиоактивные вещества разделяют на
короткоживущие (часы, дни) и долгоживущие
(многие годы).

Например:
Po
имеет Т_1/2
= 1,6´10^-4с;

U
имеет Т_1/2
= 4,47´10¹⁰
лет.

Период
полураспада – одна из основных
характеристик радиоактивных веществ,
которую учитывают при их практическом
применении. Так при гамма-терапии
предпочтение отдают радиоактивным
веществам с большим периодом полураспада,
например
Cs
(Т_1/2 = 30 лет),

Co
(Т_1/2 = 5,25
года). При введении радиоактивных веществ
в организм с диагностической целью
стремятся свести к минимуму дозу
облучения органов и тканей, поэтому
используют радиоактивные вещества,
период полураспада которых невелик,
например
Na
(Т_1/2

=
14,9 ч),
I
(Т_1/2

=
2,3 ч).

Активность и единицы измерения

Активность
есть мера интенсивности распада
радионуклида и определяется как
количество распадов ядер атомов
радиоактивного вещества в единицу
времени, т.е. как скорость распада ядер.

Если
радиоактивное вещество содержит N атомов
и его постоянная распада, выражающая
долю распадающихся атомов в единицу
времени, l,
то активность будет равна

А_n.
(2.6)

Известно,
что постоянная радиоактивного распада
и период полураспада Т_1/2
связаны соотношением

.
(2.7)

Моль
вещества содержит 6,02´10²³
атомов. В массе m вещества с массовым
числом А число атомов

.
(2.8)

Тогда активность
источника выражается формулой

А_n
,
(2.9)

где
А_n
– активность радионуклида, Бк; m
– масса радионуклида, г; А – массовое
число радионуклида; Т – период полураспада
радионуклида, с.

Активность
источника,
в котором содержатся радиоактивные
ядра одного вида, уменьшается во времени
по экспоненциальному закону:

А_n
= А₀,
(2.10)

где
А₀
– активность источника в начальный
момент времени (t = 0); t – текущее время,
которому соответствует активность
вещества A_n.

Чем меньше период
полураспада, тем большая доля ядер
атомов радионуклида распадается в
единицу времени.

Число
распадов в единицу времени в данном
количестве радиоактивного вещества
выражает активность
вещества. Поэтому количество радиоактивного
вещества удобнее выражать не в весовых
единицах, а в единицах активности.
Единицей измерения активности в
Международной системе единиц (СИ)
является Беккерель
(Бк).
Беккерель равен активности нуклида в
радиоактивном
источнике, в котором за время 1 с происходит
1 распад, т.е. 1 Бк = 1 расп./с.

В практике большое
применение получила внесистемная
единица измерения активности –
Кюри (Ки).
Кюри равен активности нуклида в
радиоактивном источнике, в котором за
время 1 с происходит 3,7´10¹⁰
распадов, т.е. 1 Ки = 3,7´10¹⁰
Бк, такой активностью обладает 1 г радия
и радиоактивность 1 г Rа
была принята за единицу измерения Кюри.

1
Бк =
1 расп./с = 2,703´10^-11
Ки.

Вес радионуклида
активностью 1 Ки тем больше, чем медленнее
распадается вещество, т.е. чем больше
период его полураспада. Так для
Nа
(Т_1/2
= 15 ч) масса = 0,1 г; для
Рu
(Т_1/2
= 24,4 тыс. лет) масса = 16 г; для
U
(Т_1/2 =
4,5 млрд. лет) масса = 3 т.

Для характеристики
загрязненности продуктов питания, воды,
строительных материалов, почвы и т.д.
используется: удельная активность А_m
= А_n/m,
объемная активность А_v
= А_n/V
и поверхностная активность А_s
= А_n/S,
где m
и V соответственно масса и объем препарата
пробы с активностью А_n,
а S – площадь загрязненной поверхности.

Удельная активность
А_m
измеряется в единицах СИ в Бк/кг, объемная
активность А_v
– в Бк/м³,
поверхностная активность в Бк/м².
На практике также используются
внесистемные единицы активности (табл.
1).

Выбор единиц этих величин определяется
конкретной задачей.

Например, допустимую
концентрацию радионуклидов в воде
(объемную активность) удобнее выражать
Бк/л, а в воздухе в Бк/м³.

Если плотность пробы
r
= 1 кг/л например воды, измеренные значения
объемной активности А_v,
Бк/л численно совпадают с удельной
активностью А_m,
Бк/кг. Если плотность пробы отличается
от 1кг/л, удельную активность пробы можно
найти по формуле

А_m
= А_v/r.
(2.11)

Таблица
1. Единицы
измерения радиоактивности

Величина	Название и обозначение	Соотношение между единицами
единица СИ	внесистемная
Активность	А	Бк	А	Ки	1 Бк = 1расп./с = = 2,703´10-11 Ки 1 Ки = 3,7´1010 Бк
Удельная Активность	Аm	Бк/кг	Ауд	Ки/кг	1 Бк/кг = 0,27´10-10 Kи/кг 1 Kи/кг = 3,7´1010 Бк/кг
Объемная Активность	Аv	Бк/м3	Аоб	Ки/л	1 Бк/м3 = 0,27´10-7 Kи/л, 1 Ки/л = 3,7´107 Бк/м3
Поверхностная активность (степень загрязнения)	Аs	Бк/м2	Апов	Ки/км2	1 Бк/см2 =104 Бк/м2 = = 0,27 Ки/км2 1 Ки/км2 = 3,7´104 Бк/м2 = = 3,7 Бк/см2

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

The radioactive decay law states that the probability per unit time that a nucleus will decay is a constant, independent of time. This constant is called the decay constant and is denoted by λ, “lambda.” This constant probability may vary greatly between different types of nuclei, leading to the many different observed decay rates. The radioactive decay of a certain number of atoms (mass) is exponential in time.

Radioactive decay law: N = N.e^-λt

The rate of nuclear decay is also measured in terms of half-lives. The half-life is the amount of time it takes for a given isotope to lose half of its radioactivity. If a radioisotope has a half-life of 14 days, half of its atoms will have decayed within 14 days. In 14 more days, half of that remaining half will decay, and so on. Half-lives range from millionths of a second for highly radioactive fission products to billions of years for long-lived materials (such as naturally occurring uranium). Notice that short half-lives go with large decay constants. Radioactive material with a short half-life is much more radioactive (at the time of production) but will obviously lose its radioactivity rapidly. No matter how long or short the half-life is after seven half-lives have passed, there is less than 1 percent of the initial activity remaining.

The radioactive decay law can also be derived for activity calculations or mass of radioactive material calculations:

(Number of nuclei) N = N.e^-λt     (Activity) A = A.e^-λt      (Mass) m = m.e^-λt

where N (number of particles) is the total number of particles in the sample, A (total activity) is the number of decays per unit time of a radioactive sample, and m is the mass of remaining radioactive material.

Decay Constant and Half-Life

In radioactivity calculations, one of two parameters (decay constant or half-life), which characterize the decay rate, must be known. There is a relation between the half-life (t_1/2) and the decay constant λ. The relationship can be derived from the decay law by setting N = ½ N_o. This gives:

where ln 2 (the natural log of 2) equals 0.693. If the decay constant (λ) is given, it is easy to calculate the half-life and vice-versa.

The relationship between half-life and the amount of a radionuclide required to give an activity of one curie is shown in the figure. This amount of material can be calculated using λ, which is the decay constant of certain nuclide:

The following figure illustrates the amount of material necessary for 1 curie of radioactivity. Obviously, the longer the half-life, the greater the quantity of radionuclide needed to produce the same activity. Of course, the longer-lived substance will remain radioactive for a much longer time. As can be seen, the amount of material necessary for 1 curie of radioactivity can vary from an amount too small to be seen (0.00088 gram of cobalt-60), through 1 gram of radium-226, to almost three tons of uranium-238.

Example – Calculation of Radioactivity

A sample of material contains 1 microgram of iodine-131. Note that iodine-131 plays a major role as a radioactive isotope present in nuclear fission products and is a major contributor to the health hazards when released into the atmosphere during an accident. Iodine-131 has a half-life of 8.02 days.

Calculate:

1. The number of iodine-131 atoms is initially present.
2. The activity of the iodine-131 in curies.
3. The number of iodine-131 atoms will remain in 50 days.
4. The time it will take for the activity to reach 0.1 mCi.

Solution:

1. The number of atoms of iodine-131 can be determined using isotopic mass as below.

N_I-131 = m_I-131 . N_A / M_I-131

N_I-131 = (1 μg) x (6.02×10²³ nuclei/mol) / (130.91 g/mol)

N_I-131 = 4.6 x 10¹⁵ nuclei

1. The activity of the iodine-131 in curies can be determined using its decay constant:

The iodine-131 has a half-life of 8.02 days (692928 sec), and therefore its decay constant is:

Using this value for the decay constant, we can determine the activity of the sample:

3) and 4) The number of iodine-131 atoms that will remain in 50 days (N_50d) and the time it will take for the activity to reach 0.1 mCi can be calculated using the decay law:

As can be seen, after 50 days, the number of iodine-131 atoms and thus the activity will be about 75 times lower. After 82 days, the activity will be approximately 1200 times lower. Therefore, the time of ten half-lives (factor 2¹⁰ = 1024) is widely used to define residual activity.

References:

Radiation Protection:

1. Knoll, Glenn F., Radiation Detection and Measurement 4th Edition, Wiley, 8/2010. ISBN-13: 978-0470131480.
2. Stabin, Michael G., Radiation Protection and Dosimetry: An Introduction to Health Physics, Springer, 10/2010. ISBN-13: 978-1441923912.
3. Martin, James E., Physics for Radiation Protection 3rd Edition, Wiley-VCH, 4/2013. ISBN-13: 978-3527411764.
4. U.S.NRC, NUCLEAR REACTOR CONCEPTS
5. U.S. Department of Energy, Nuclear Physics and Reactor Theory. DOE Fundamentals Handbook, Volume 1 and 2. January 1993.

Nuclear and Reactor Physics:

1. J. R. Lamarsh, Introduction to Nuclear Reactor Theory, 2nd ed., Addison-Wesley, Reading, MA (1983).
2. J. R. Lamarsh, A. J. Baratta, Introduction to Nuclear Engineering, 3d ed., Prentice-Hall, 2001, ISBN: 0-201-82498-1.
3. W. M. Stacey, Nuclear Reactor Physics, John Wiley & Sons, 2001, ISBN: 0- 471-39127-1.
4. Glasstone, Sesonske. Nuclear Reactor Engineering: Reactor Systems Engineering, Springer; 4th edition, 1994, ISBN: 978-0412985317
5. W.S.C. Williams. Nuclear and Particle Physics. Clarendon Press; 1 edition, 1991, ISBN: 978-0198520467
6. G.R.Keepin. Physics of Nuclear Kinetics. Addison-Wesley Pub. Co; 1st edition, 1965
7. Robert Reed Burn, Introduction to Nuclear Reactor Operation, 1988.
8. U.S. Department of Energy, Nuclear Physics and Reactor Theory. DOE Fundamentals Handbook, Volume 1 and 2. January 1993.
9. Paul Reuss, Neutron Physics. EDP Sciences, 2008. ISBN: 978-2759800414.

Серия
экспериментов, проведённая с соля́ми урана в период 1899—1900 гг., показала,
что радиоактивное излучение в сильном магнитном поле распадается на три составляющие:

лучи
первого типа отклоняются так же, как поток положительно заряженных частиц. Их
назвали альфа-лучами;

лучи
второго типа обычно отклоняются в магнитном поле так же, как поток отрицательно
заряженных частиц, их назвали бета-лучами (существуют, однако, позитронные
бета-лучи, отклоняющиеся в противоположную сторону);

а
лучи третьего типа, которые не отклоняются магнитным полем, назвали гамма-излучением.

Хотя
в ходе исследований были обнаружены и другие типы частиц, испускающихся при
радиоактивном распаде, эти названия сохранились до сих пор, поскольку
соответствующие типы распадов наиболее распространены.

Позже
было установлено, что альфа-лучи представляют собой поток ядер атома гелия. А
продуктом распада материнского ядра оказывается элемент, зарядовое число
которого на две единицы меньше, а массовое число на четыре единицы меньше, чем
у материнского ядра:

При
бета-минус-распаде ядро атома испускает один электрон и антинейтрино, в
результате чего образуется ядро нового элемента с тем же самым массовым числом,
но с атомным номером на единицу больше, чем у материнского ядра:

А
при бета-плюс-распаде ядра самопроизвольно испускают позитрон и электронное
нейтрино. Ядро нового химического элемента имеет то же самое массовое число, но
его атомный номер уменьшается на единицу:

Исследование
изотопов различных химических элементов показало, что большинство из них превращается
в более устойчивые изотопы путём радиоактивного распада. При этом очевидно, что
в процессе радиоактивного распада число ядер со временем уменьшается. Но предсказать,
когда именно распадётся то или иное ядро, оказалось невозможным. Однако было
установлено, что для каждого радиоактивного ядра существует некоторое характерное
время, называемое периодом полураспада, спустя которое в исходном
состоянии остаётся половина первоначального количества радиоактивных
ядер. При этом распавшиеся ядра превращаются в ядра других, более
устойчивых изотопов.

Период
полураспада характеризует такое свойство, как активность радионуклида. Данная
величина указывает на интенсивность радиоактивных превращений, т. е. на
количество радиоактивных распадов атомных ядер, происходящих за единицу времени.

В
СИ единицей активности является беккерель. 1 Бк — это активность
радиоактивного препарата, в котором происходит распад одного ядра за одну
секунду. Внесистемной единицей активности служит кюри (1 Ки = 3,7 · 10¹⁰
Бк).

Таким
образом, чем меньше период полураспада радионуклида, тем быстрее происходит его
распад и тем активнее элемент.

Отметим
также, что период полураспада не зависит от того, в каком состоянии находится
вещество: твёрдом, жидком или газообразном. Кроме того, период полураспада не
зависит от времени, места и условий, в которых находится радиоактивное
вещество. Поэтому количество радиоактивных ядер «тогда», и «сейчас» зависит
только от промежутка времени, прошедшего с момента начала регистрации процесса
распада ядер.

Как
мы говорили, точно предсказать, когда произойдёт распад данного ядра невозможно.
Однако можно оценить среднее число ядер, которые распадутся за данный
промежуток времени. Закон, который описывает интенсивность
радиоактивного распада от времени и количества радиоактивных атомов в образце,
был открыт Фредериком Содди и Эрнестом Резерфордом в 1903 году. В своих работах
«Сравнительное изучение радиоактивности радия и тория» и «Радиоактивные
превращения» они сформулировали закон радиоактивного распада следующим образом:
«Во всех случаях, когда отделяли один из радиоактивных продуктов и
исследовали его активность независимо от радиоактивности вещества, из которого
он образовался, было обнаружено, что активность при всех исследованиях
уменьшается со временем по закону геометрической прогрессии».

Давайте с вами получим
математическую форму закона радиоактивного распада. Для этого будем считать,
что в начальный момент времени число радиоактивных ядер составляло «Эн
нулевое». Тогда, через промежуток времени, равный периоду полураспада, у нас
останется? Правильно, половина от их первоначального количества.

За второй период полураспада у
нас распадётся половина от половины исходного числа ядер. То есть
нераспавшимися останется четверть от начального числа ядер. Рассуждая далее аналогичным
образом, найдём, что за промежуток времени, равный n периодам
полураспада, радиоактивных ядер останется:

Поскольку n
— это отношение времени наблюдения к периоду полураспада радиоактивного
элемента, то последнюю запись можно представить в том виде, который вы сейчас
видите на экране:

Полученное соотношение и
выражает математическую запись закона радиоактивного распада. С его
помощью можно найти число нераспавшихся ядер в любой момент времени.

Для примера давайте с вами решим
такую задачу. Изотоп  является β^–-радиоактивным с
периодом полураспада 30 лет. Определите заряд β-частиц, испущенных
этим изотопом за 15 лет, если масса исходного препарата равна 2 г.

Отметим, что закон
радиоактивного распада является статистическим, так как он справедлив до тех
пор, пока число нераспавшихся ядер остаётся достаточно большим.

Вы видите теоретический и
экспериментальный графики распада 47 ядер изотопа фермия-256, период
полураспада которого равен 3,5 часам. Из графиков хорошо видно, что пока ядер
было достаточно много (от 47 до 12), показательная функция хорошо описывала
закон распада. Однако при меньшем числе ядер истинная зависимость существенно
отличается от показательной функции.

Теперь давайте с вами выясним,
от чего же зависит активность радионуклида. Для этого вспомним, что в процессе
радиоактивного распада количество нераспавшихся ядер уменьшается, значит,
активность образца равна скорости уменьшения количества нераспавшихся ядер:

Подставим в данное уравнение
математическую запись закона радиоактивного распада и возьмём первую
производную по времени полученного выражения.

После всех математических
преобразований получим, что активность источника прямо пропорциональна числу
радиоактивных ядер, имеющихся в образце в данный момент времени, и обратно
пропорциональна периоду полураспада данного радиоактивного вещества.

Представим полученную нами
формулу в том виде, как это показано на экране:

Произведение, стоящее в
знаменателе формулы представляет собой среднее время жизни радиоактивного
изотопа. Оно также равно периоду, за который количество нераспавшихся ядер
уменьшается в е ≅ 2,72 раз.

Как вы уже знаете, все
радиоактивные ядра данного изотопа одинаковы. Поэтому и вероятность распада для
каждого из них одинакова в каждую секунду. То есть распад ядра — это, так
сказать, не «смерть от старости», а скорее «несчастный случай» в его жизни. Ядро
может распасться сейчас, а может прожить в образце неопределённо долго без
распада.

Вероятность
распада одного ядра данного изотопа за одну секунду называется постоянной
распада и обозначается греческой буквой лямбда (λ). Для
любого ядра данного изотопа постоянная распада одинакова. Но для ядер различных
изотопов постоянная распада различна.

Давайте предположим, что в некотором
радиоактивном образце имеется N ядер. Тогда вероятность
распада равна той части ядер (|dN/N|) образца,
которая распадётся за единицу времени:

(знак «–» в
уравнении указывает на убывание числа радиоактивных ядер данного изотопа с
течением времени). Из этой формулы следует, что доля распавшихся ядер
равна произведению постоянной распада на малый промежуток времени, за который
они распались:

Проинтегрируем это выражение от
начального до произвольного момента времени:

Воспользовавшись свойствами
логарифма, мы с вами получим второй вариант записи закона радиоактивного
распада:

На основании полученного
уравнения мы с вами можем определить, от чего зависит постоянная радиоактивного
распада. Итак, предположим, что время наблюдения за радиоактивным препаратом
равно его периоду полураспада. Значит, через этот промежуток времени в образце
останется половина от первоначального количества ядер:

Перепишем закон радиоактивного
распада с учётом этого выражения.

И прологарифмируем полученное
равенство по основанию «Е».

Из полученной записи видно,
что постоянная распада обратно пропорциональна периоду полураспада
радиоактивного элемента:

Сравнивая эти формулы с
формулой, полученной нами ранее для активности вещества, видим, что активность
образца равна произведению постоянной распада и числа радиоактивных ядер в
образце в данный момент: