Как найти постоянную стефана больцмана – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Зако́н Сте́фана — Бо́льцмана (закон Стефана, закон излучение Стефана — Больцмана) — интегральный закон излучения абсолютно чёрного тела. Он определяет зависимость плотности мощности излучения абсолютно чёрного тела от его температуры. В словесной форме его можно сформулировать следующим образом^[1]:

Полная объёмная плотность равновесного излучения и полная испускательная способность абсолютно чёрного тела пропорциональны четвёртой степени его температуры.

Для полной испускательной способности (энергетической светимости) ${displaystyle j^{star }}$ закон имеет вид:

Закон Стефана — Больцмана

${displaystyle j^{star }=sigma T^{4},,}$

где $T$ — температура абсолютно чёрного тела, $sigma$ — постоянная Стефана — Больцмана, которая может быть выражена через фундаментальные константы путём интегрирования по всем частотам формулы Планка^[2]:

Постоянная Стефана — Больцмана

${displaystyle sigma ={frac {pi ^{2}k^{4}}{60c^{2}hbar ^{3}}}={frac {2pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}},,}$

где $h$ — постоянная Планка, $k$ — постоянная Больцмана, $c$ — скорость света. Численно постоянная Стефана — Больцмана равна^[3]

${displaystyle sigma =5{,}670 367(13)cdot 10^{-8}}$ Вт / (м² · К⁴).

Закон открыт сначала эмпирически Йозефом Стефаном в 1879 году, и через пять лет выведен теоретически Людвигом Больцманом в рамках термодинамики^{[A 1]}^{[A 2]}. Больцман исходил из кинетической теории газов и цикла идеальной обратимой тепловой машины с излучением в качестве рабочего тела вместо газа. Он предполагал, что это излучение оказывает давление на стенки сосуда^[4]. Это единственный важный физический закон, названный в честь словенского физика^[5].

Закон говорит только об общей излучаемой энергии. Распределение энергии по спектру излучения описывается формулой Планка, в соответствии с которой в спектре имеется единственный максимум, положение которого определяется законом Вина. Используя современную формулировку, его можно вывести из закона Планка:

${displaystyle j^{star }=int _{0}^{infty }left({frac {mathrm {d} j^{star }}{mathrm {d} lambda }}right)mathrm {d} lambda =pi int _{0}^{infty }B_{lambda },mathrm {d} lambda !,.}$

Применение закона к расчёту эффективной температуры поверхности Земли даёт оценочное значение, равное 249 К или −24 °C.

Общая форма[править | править код]

Увеличение мощности излучения при изменении температуры

Если замкнутую систему нагретых излучающих тел поместить в полость с идеальными отражающими стенками, то со временем установится термодинамическое равновесие между излучением и всеми телами. Температуры всех тел станут одинаковыми^[6]. Равновесие достигается не только на поверхности тел, но и внутри них. Возбуждённые атомы испускают излучение, которое поглощается другими атомами среды, возбуждая их, тем самым попадая со временем на поверхность тела, с которой излучается в окружающее пространство^[7]. Тепловое излучение — это равновесная форма излучения, которое однородно, изотропно, неполяризовано, обладает непрерывным спектром. Энергию r, приходящуюся на единичный диапазон частот называют спектральной испускательной способностью тела или спектральной плотностью энергетической светимости. Она зависит от частоты и температуры. При интегрировании этой величины по всему спектру получают суммарный поток энергии излучения единицы поверхности называют интегральной испускательной способностью или энергетической светимостью^[8]:

${displaystyle j^{star }=int _{0}^{infty }r(omega ,T)domega ,.}$

Эта величина имеет размерность [Вт/м²] в единицах СИ^[8]. Обычные тела поглощают частично свет падающий на них. Спектральная поглощательная способность тела характеризуется как отношение поглощённого потока падающего излучения из узкого интервала частот dΦ’_ω к падающему потоку (dΦ_ω)^[9]:

${displaystyle a_{omega ,T}={frac {dPhi _{omega }^{'}}{dPhi _{omega }}},.}$

Эта безразмерная величина не может быть больше единицы по определению. Если поглощение одинаково для всех частот, то такое тело называют серым. Для реальных тел поглощение зависит от частоты. В специальном случае полного поглощения падающего излучения во всём спектре говорят об абсолютно чёрном теле^[10]. Его излучение имеет универсальны характер, и его энергетическая светимость пропорциональна четвёртой степени температуры^[11]:

${displaystyle j^{star }=varepsilon sigma T^{4}!,,}$

где ε — интегральная поглощательная способность тела. Для абсолютно чёрного тела ε = 1 выражение имеет специальное название: закон Стефана — Больцмана. Для многих температур металлы имеют ε = 0,1…0,4, а для окислов металлов ε = 0,5…0,9^[11].

Для серых тел, закон можно записать в виде:

${displaystyle j_{rm {s}}^{star }=(1-a)sigma T^{4}=(1-a)j_{0}^{star }!,.}$

Однако, если коэффициент отражения зависит от длины волны ${displaystyle a(lambda )}$ , применяется закон излучения Кирхгофа:

${displaystyle {frac {mathrm {d} j^{star }}{mathrm {d} lambda }}=left[1-a(lambda )right]left({frac {mathrm {d} j^{star }}{mathrm {d} lambda }}right)_{0}!,,}$

или

${displaystyle j_{rm {s}}^{star }=varepsilon (T)sigma T^{4}!,.}$

В технической литературе общий закон Стефана — Больцмана обычно записывается в виде:

${displaystyle j^{star }=varepsilon _{n}C_{rm {c}}left({frac {T}{100}}right)^{4}!,,}$

в основном для того, чтобы было проще вычислить где он находится ${displaystyle varepsilon _{n}}$ излучение в направлении, перпендикулярном поверхности. Излучение в полупространстве для гладких металлических, гладких и шероховатых тел составляет:

${displaystyle varepsilon approx 1,20varepsilon _{n}!,,}$

${displaystyle varepsilon approx 0,95varepsilon _{n}!,,}$

${displaystyle varepsilon approx 0,98varepsilon _{n}!,.}$

Цвет поверхности не влияет на яркость. Белые поверхности сильно излучают. Гладкие материалы, такие как алюминий и бронза, имеют низкое сияние. Стекло пропускает коротковолновый свет, но не пропускает длинноволновое тепловое излучение.

В отличие от твёрдых тел, излучающих и поглощающих с поверхности, у газов степень поглощения зависит от толщины газового слоя и проходит по всему объёму (закон поглощения):

${displaystyle varepsilon =1-{frac {1}{e^{-mu x}}}!,,}$

где $x$ — длина пути излучения через газ и $mu$ — коэффициент поглощения. Одноатомные и большинство двухатомных газов в технических расчётах можно рассматривать как диатермические вещества, то есть хорошо пропускающие тепло. Технически важно выделять углекислый газ и водяной пар, которые излучают и поглощают в более широких диапазонах спектра. Свыше 600 °C теплопроводность этих газов может быть высокой, при ещё более высоких температурах она может превысить конвекционный перенос.

Открытие[править | править код]

20 марта Стефан опубликовал закон в статье «О связи между тепловым излучением и температурой» (нем. Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur) в «Докладах заседания Венской академии наук». Статья показывает его путь к открытию закона^{[A 1]}. Резюме рукописи содержало четыре страницы формата А4, вся статья — 61 страницу, а печатная версия — 38 страниц^[12].

Ньютон обнаружил, что интенсивность лучистого потока от горячего тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Пьер Дюлонг и Алексис Пти показали, что зависимость от температуры не является линейной, и важны более высокие степени^[13]. Они рассматривали теплообмен между нагретой сферической колбой и окружающими стенками сферического сосуда при комнатной температуре. Они считали, что данная установка заполненная различными газами при различных давлениях будет хорошей моделью для исследования лучистого переноса тепла. Формула для лучистой мощности, к которой они пришли, имела вид^{[A 3]}^[14]

${displaystyle E(T)=amu ^{T},,}$

где μ — зависящая от размера тела и материала константа, a=1,0077 — не зависящая от материала константа, T — температура. Стефан понял, что пренебрегать теплопереносом в системе не следует и использовал их данные для поиска новой зависимости вида

${displaystyle E(T)=AT^{4},,}$

где A — постоянная зависящая от площади поверхности тела и температура дана в Кельвинах^[14].

В 1847 году Дрейпер попытался определить, при какой температуре начинает излучать нагретое тело. Он этого не наблюдал, но обнаружил, что плотность потока излучаемой энергии возрастает гораздо быстрее, чем прямо пропорционально температуре. В 1878 году Стефан прочитал работу Дрейпера о лучистой энергии^[15]. В 1848 году Кельвин ввёл абсолютную шкалу температур. Стефан также использовал абсолютную температуру в своём эксперименте^[16]. Густав Кирхгоф ввёл закон теплового излучения в 1859 году и доказал его в 1861 году^[17].

${displaystyle {frac {varepsilon (lambda )}{a(lambda )}}=B_{lambda }(lambda )!,.}$

В 1862 году он ввёл термин «излучение чёрного тела». Он сравнил излучение чёрного и других излучающих тел^[4]. Он также предположил способ реализации такого излучения. Излучение чёрного тела ${displaystyle B_{lambda }(lambda )!,}$ зависит только от температуры источника излучения, но Кирхгофу не удалось определить функциональную зависимость.

Джон Тиндаль исследовал «невидимый» инфракрасный свет в 1864 году. Инфракрасные волны были открыты Уильямом Гершелем в 1800 году. Он использовал призму и с её помощью преломлял солнечный свет и использовал термометр для измерения повышения температуры за красной частью светового спектра. Он назвал эту часть спектра тепловыми лучами. Термин инфракрасный свет появился в конце XIX века. Томас Зеебек открыл явление термоэлектричества в 1821 году. Вскоре после этого, в 1835 году, Мачедонио Меллони изготовил первую термоэлектрическую батарею и открыл тепловое излучение. Было обнаружено, что новое излучение представляет собой свет, невидимый человеческому глазу, или электромагнитные волны с немного большей длиной волны, чем видимый красный свет.

В 1840 году Джон Гершель сделал первое инфракрасное изображение. Тиндаль нагрел электрическим током лампочку, в которой заменил обычную угольную нить на платиновую проволоку. Провод светился. По мере увеличения электрического тока температура провода увеличивалась и излучала всё больше и больше света. Он уловил свет линзой и призмой из каменной соли разделил излучаемый проволокой свет на радужный спектр. На место красной части поместил батарею последовательно соединенных термопар^{[A 4]}^[18]. Он присоединил контакты, где ток перетекал из одного металла в другой, с внешней стороны счётчика и зачернил их. Соединения, где ток был в обратном направлении, он спрятал в корпус счётчика. Первые спаи поглощали падающий свет и нагревались, а вторые имели температуру окружающей среды. Он измерил силу тока чувствительным гальванометром^[19]. Тиндаль хотел получить только приблизительный результат, а температуру проволоки не измерял. Он только указал цвет излучаемого света. Для бледно-красных отклонение гальванометра составило 10,4°, а для белых 60°. В 1864 году он опубликовал трактат «О видимом и невидимом излучении», в котором попытался ответить, как излучение красного света зависит от температуры. Немецкий перевод был опубликован в 1865 году и был прочитан Адольфом Вюльнером^{[A 5]}. Во второе и третье издания своего учебника термодинамики «Наука о теплоте с точки зрения механической теории теплоты» включил данные Тиндаля. Он отрегулировал температуры. Хотя он полагался на измерения Дрейпера, он действовал произвольно. Книгу Вюльнера получил Стефан, который изменил температуру на абсолютную и учёл исправленное отклонение гальванометра для белого, для которого Тиндаль уже упоминал о необходимости брать удвоенное значение 122°. Таким образом, бледно-красный цвет провода имел температуру 798 К (525 °С), белый 1473 К (1200 °С). При этом Стефан предполагал, что плотность излучаемого потока энергии пропорциональна отклонению гальванометра. Он попытался записать связь между абсолютной температурой провода T и плотностью излучаемого потока энергии j в виде степенной зависимости:

${displaystyle jpropto sigma T^{n}!,.}$

Из обеих пар данных он определил отношения потоков энергии 122/10,4 = 11,731. Он достаточно точно приблизился к значению, если возводил в степень отношение соответствующих абсолютных температур 1473/798 = 1,846 в четвёртой степени: ${displaystyle 1,846^{4}=11,613}$ , так что n = 4. Он проверил значения по данным Дюлонга и Пти, вычитая вклад теплопроводности. Новый закон хорошо согласовывался со старыми данными. Константа σ, полученная из его измерений, может быть записана в современных единицах измерения^[15]:

${displaystyle sigma =5,056cdot 10^{-8} mathrm {W/(m^{2},K^{4})} !,.}$

Его измерение было довольно точным и на 10,8 % меньше чем современное значения. Он также проверил закон по данным de la Provostaye и Desains (1846), Draper и Ericsson (1872)^{[A 6]} и Despretz.

В 1876 году Адольфо Бартоли^[en] независимо от Максвелла вывел уравнение для лучистого давления электромагнитных волн термодинамическиму методом. Он обнаружил, что с помощью движущегося зеркала тепло может передаваться от более прохладного тела к более тёплому при совершении работы. Он представил себе обратимое бесконечно малый цикл Карно, при котором энтропия не меняется, а абсолютная проделанная работа связана с давлением света на зеркало. Чтобы второй закон термодинамики работал, свет должен передавать давление на зеркало. Поэтому лучистое давление также называли «давлением Максвелла — Бартоли».

В 1880 году Крова, Андре Проспер Поль опубликовал диаграмму трёхмерного представления графика интенсивности теплового излучения в зависимости от длины волны и температуры^{[A 7]}.

Брошюры Бартоли «О движениях, вызванных теплом» и «Радиометр Крукса» остались незамеченными. Последний раз на это обратил внимание Больцман, который обобщил идею Бартоли о том, что второй закон термодинамики требует существования лучистого давления и восемью годами позже вывел этот закон термодинамическим путём^{[A 2]}. Бартоли был близок к закону Стефана — Больцмана, но не учитывал температурную зависимость плотности потока энергии лучистого чёрного тела. Он опубликовал резюме брошюры в 1884 и 1885 годах^[20]^{[A 8]}. Стефан, вероятно, не знал о размышлениях Бартоли о вакууме в радиометре с 1876 года, пока в 1883 году Бартоли не получил публичную поддержку Генри Эдди, профессора математики и астрономии в Университете Цинциннати^[21].

Радо фон Кёвелигети, изучавший теоретическую физику вместе со Стефаном в Венском университете, опубликовал спектральное уравнение в 1885 году в своей первой диссертации «Теория спектра», в которой предсказал предельную энергию излучения чёрного тела. Форма кривой зависимости спектральной плотности от длины волны была очень похожа на кривую Планка:

${displaystyle u(lambda ,T)={frac {2pi hc_{0}^{2}}{lambda ^{5}}}{frac {1}{e^{hc_{0}/(lambda k_{rm {B}}T)}-1}}!,.}$

Фон Кёвеслигети записал функциональную форму спектрального уравнения следующим образом^[17]:

${displaystyle L(lambda )={frac {4}{pi }}mu Lambda {frac {lambda ^{2}}{left(lambda ^{2}+mu ^{2}right)^{2}}}!,.}$

где ${displaystyle L(lambda )!,}$ означает интенсивность излучения на длине волны ${displaystyle lambda !,}$ , ${displaystyle Lambda !,}$ — интенсивность излучения во всём диапазоне длин волн. Постоянная ${displaystyle mu !,}$ определяется средним расстоянием и взаимодействием между частицами и даёт длину волны, при которой интенсивность излучения максимальна. Тогда было известно, что твёрдые тела начинают излучать в точке Дрейпера независимо от типа излучаемого вещества. Основываясь на этом результате, фон Кёвеслигети предположил, что ${displaystyle mu !,}$ в уравнении зависит только от температуры.

Его спектральное уравнение имело ту же форму, что и открытое Вином в 1893 году^[22]^[23]:

${displaystyle u(lambda ,T)propto {frac {1}{lambda ^{5}}}fleft({frac {c_{0}}{lambda T}}right)!,.}$

Уравнение фон Кёвеслигети даёт зависимость постоянной ${displaystyle mu !,}$ от лучистой температуры тела:

${displaystyle {frac {mu }{mu _{0}}}=left({frac {T_{0}}{T}}right)^{frac {n+1}{2(n-1)}}!,,}$

где индекс 0 обозначает сравнительный источник излучения. Лучший выбор параметра в экспоненте ${displaystyle n=3!,}$ , что даёт закон Вина, открытый 11 лет спустя:

${displaystyle {frac {mu T}{mu _{0}T_{0}}}=1,qquad left(lambda _{0}T=k_{{rm {W}},lambda },quad mu equiv lambda _{0}right)!,.}$

Вывод[править | править код]

Вывод из закона Планка[править | править код]

Спектральную плотность излучения абсолютно чёрного тела как функцию длины волны $lambda$ даёт закон Планка:

${displaystyle {frac {mathrm {d} j^{star }}{dlambda }}=pi B_{lambda }={frac {2pi hc_{0}^{2}}{lambda ^{5}}},{frac {1}{e^{hc_{0}/(lambda k_{rm {B}}T)}-1}}!,,}$

где ${displaystyle h!,}$ — постоянная Планка, ${displaystyle c_{0}!,}$ — скорость света в вакууме ${displaystyle k_{rm {B}}!,}$ — постоянная Больцмана, ${displaystyle T!,}$ — абсолютная температура.

Плотность светового потока определяется интегралом по всем длинам волн:^[24]^[25]

${displaystyle j^{star }=int _{0}^{infty }left({frac {mathrm {d} j^{star }}{mathrm {d} lambda }}right)mathrm {d} lambda =pi int _{0}^{infty }B_{lambda },mathrm {d} lambda =2pi hc_{0}^{2}int _{0}^{infty },{frac {1}{lambda ^{5}(e^{hc_{0}/(lambda k_{rm {B}}T)}-1)}}mathrm {d} lambda !,.}$

Введя новую переменную u :

${displaystyle u={frac {hc_{0}}{lambda k_{rm {B}}T}}!,,}$

где

${displaystyle {frac {mathrm {d} u}{mathrm {d} lambda }}=-{frac {hc_{0}}{lambda ^{2}k_{rm {B}}T}}!,,}$

приходим к интегралу:

${displaystyle j^{star }={frac {2pi k_{rm {B}}^{4}T^{4}}{h^{3}c_{0}^{2}}}int _{0}^{infty },{frac {u^{3}}{e^{u}-1}}mathrm {d} u!,.}$

Его вычисление даёт ${displaystyle pi ^{4}/15}$ .

см. математические подробности

Сначала полезно вычислить интеграл более общего вида:

${displaystyle int _{0}^{infty }{frac {u^{n}}{e^{u}-1}}mathrm {d} u!,,}$

или, что то же самое,

${displaystyle int _{0}^{infty }{frac {u^{n}e^{-u}}{1-e^{-u}}}mathrm {d} u!,.}$

Так как знаменатель всегда меньше 1, его можно разложить по степеням ${displaystyle e^{-u}}$ для получения сходящегося ряда:

${displaystyle {frac {1}{1-e^{-u}}}=sum _{k=0}^{infty }e^{-ku}!,.}$

В основном уравнение берётся на сумму геометрического ряда. Дробь слева представляет собой выражение для ряда, обозначаемого суммой:

${displaystyle 1+e^{-u}+e^{-2u}+e^{-3u}+cdots !,.}$

это обычный множитель ${displaystyle e^{-u}}$ . Затем в интеграл подставляется ряд:

${displaystyle int _{0}^{infty }u^{n}e^{-u}sum _{k=0}^{infty }e^{-ku}mathrm {d} u!,.}$

Умножение на ${displaystyle e^{-u}!,}$ слева сдвигает сумму строк на одну позицию вправо, так что:

${displaystyle e^{-u}+e^{-2u}+e^{-3u}+cdots !,}$

становится:

${displaystyle e^{-2u}+e^{-3u}+e^{-4u}+cdots !,.}$

Поэтому индекс повышается на сумму единиц и отбрасывается ${displaystyle e^{-u}!,}$ :

${displaystyle int _{0}^{infty }u^{n}sum _{k=1}^{infty }e^{-ku}mathrm {d} u!,.}$

Вводится новая переменная:

${displaystyle v=ku!,,}$

так что:

${displaystyle u^{n}={frac {v^{n}}{k^{n}}}!,}$

в:

${displaystyle {frac {mathrm {d} v}{mathrm {d} u}}=k!,,}$

интеграл превращается в:

${displaystyle int _{0}^{infty }{frac {v^{n}}{k^{n}}}sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{k}}e^{-v}mathrm {d} v!,,}$

или:

${displaystyle int _{0}^{infty }v^{n}sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{k^{n+1}}}e^{-v}mathrm {d} v!,.}$

Поскольку каждый член суммы представляет собой сходящийся интеграл, сумма может быть получена из интеграла:

${displaystyle sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{k^{n+1}}}int _{0}^{infty }v^{n}e^{-v}mathrm {d} v!,.}$

Интеграл справа — это гамма-функция, ${displaystyle Gamma (n+1)}$ , сумма слева — это функция Римана ζ, ${displaystyle zeta (n+1)}$ . Таким образом, окончательно верхний интеграл имеет значение:

${displaystyle int _{0}^{infty }{frac {u^{n}}{e^{u}-1}}mathrm {d} u=Gamma (n+1)zeta (n+1)!,,}$

или эквивалент:

${displaystyle int _{0}^{infty }{frac {u^{n-1}}{e^{u}-1}}mathrm {d} u=Gamma (n)zeta (n)!,.}$

Для целых чисел :

${displaystyle Gamma (n)=(n-1)!!,,}$ или ${displaystyle Gamma (n+1)=n!!,}$

и оттуда:

${displaystyle Gamma (4)=(3)!=6!,.}$

Для чётных целых чисел:

${displaystyle zeta (n)={frac {2^{n-1}|B_{n}|pi ^{n}}{n!}}!,,}$

где $B_{{n}}$ — число Бернулли и применяется:

${displaystyle B_{4}=-{frac {1}{30}}!,,}$

так что:

${displaystyle zeta (4)={frac {2^{3}pi ^{4}}{30cdot 4!}}={frac {pi ^{4}}{90}}!,,}$

аналитическое значение интеграла:

${displaystyle int _{0}^{infty }{frac {u^{4-1}}{e^{u}-1}}mathrm {d} u=6,mathrm {Li} _{4}(1)=6,zeta (4)=6cdot {frac {pi ^{4}}{90}}={frac {pi ^{4}}{15}}!,,}$

где ${displaystyle mathrm {Li} _{s}(z)}$ — полилогарифм.

График зависимости плотности потока энергии ${displaystyle j^{star }}$ термодинамической температуры $T,$ . В бирюзовом цвете плотность потока энергии согласно приближению Вина

Окончательно плотность светового потока:

${displaystyle j^{star }={frac {2pi k_{rm {B}}^{4}T^{4}}{h^{3}c_{0}^{2}}}{frac {pi ^{4}}{15}}!,}$

и закон Стефана — Больцмана ( $Gamma$ — гамма-функция, $zeta$ — Дзета-функция Римана):

${displaystyle j^{star }={frac {2pi ^{5}k_{rm {B}}^{4}}{15h^{3}c_{0}^{2}}}T^{4}={frac {a}{b^{4}}}Gamma (4)zeta (4)T^{4}={frac {a_{1}a}{a_{0}}}T^{4}=sigma T^{4}!,,}$

с константами:

${displaystyle a={frac {2pi h}{c_{0}^{2}}}={frac {a_{0}c_{0}}{4}}!,,qquad b={frac {h}{k_{rm {B}}}}!,,qquad a_{0}={frac {8pi h}{c_{0}^{3}}}={frac {4a}{c_{0}}}!,}$

и постоянная излучения :

${displaystyle a_{1}={frac {a_{0}}{a}}sigma ={frac {4sigma }{c_{0}}}={frac {8pi ^{5}k_{rm {B}}^{4}}{15h^{3}c_{0}^{3}}}!,.}$

Термодинамический вывод[править | править код]

Больцман представил себе коробку, заполненную излучением чёрного тела, и поршень на одной стенке, толкаемый радиационным давлением^[26]. Из тензора напряжения Максвелла классической электродинамики следует, что лучистое давление ${displaystyle p!,}$ связано с плотностью внутренней энергии ${displaystyle w!,}$ соотношением:

${displaystyle p={frac {1}{3}}w!,.}$

Полная внутренняя энергия ${displaystyle U!,}$ для объёма ${displaystyle V!,}$ содержащего электромагнитное излучение, можно записать как:

${displaystyle U=3pV!,.}$

Согласно первому и второму законам термодинамики (основное термодинамическое соотношение), изменение внутренней энергии равно:

${displaystyle mathrm {d} U=Tmathrm {d} S-pmathrm {d} V!,,}$

откуда следует:

${displaystyle Tleft({frac {partial S}{partial V}}right)_{T}=left({frac {partial U}{partial V}}right)_{T}+p!,.}$

Согласно термодинамическому соотношению Максвелла:

${displaystyle left({frac {partial S}{partial V}}right)_{T}=+left({frac {partial p}{partial T}}right)_{V}=-{frac {partial ^{2}F}{partial Tpartial V}}!,}$

можно написать:

${displaystyle Tleft({frac {partial p}{partial T}}right)_{V}=left({frac {partial U}{partial V}}right)_{T}+p!,.}$

Поскольку лучистое давление пропорционально плотности внутренней энергии, оно зависит только от температуры, а не от объёма. Применяется следующее:

${displaystyle {frac {mathrm {d} p}{mathrm {d} T}}={frac {1}{3}}{frac {mathrm {d} w}{mathrm {d} T}}!,}$

в:

${displaystyle left({frac {partial U}{partial V}}right)_{T}=3p=w!,,}$

так что:

${displaystyle T{frac {1}{3}}{frac {mathrm {d} w}{mathrm {d} T}}=w+{frac {1}{3}}w={frac {4}{3}}w!,.}$

После расстановки переменных:

${displaystyle {frac {mathrm {d} w}{w}}=4{frac {mathrm {d} T}{T}}!,}$

и интегрирования:

${displaystyle ln w=4ln T+,mathrm {const.} !,}$

Последними являются плотность потока энергии и закон Стефана — Больцмана:

${displaystyle j^{star }=wc_{0}=c_{0}e^{mathrm {konst.} }T^{4}={frac {2pi ^{5}k_{rm {B}}^{4}}{15h^{3}c_{0}^{2}}}T^{4}=sigma T^{4}!,,}$

где постоянная Стефана, выраженная через другие основные константы, взята из предыдущего вывода, поскольку постоянная Планка h неизвестна классической электродинамике. Отсюда следует, что аддитивная константа:

${displaystyle mathrm {const.} =ln {frac {2pi ^{5}k_{rm {B}}^{4}}{15h^{3}c_{0}^{3}}}=-36,204022,ln left[mathrm {J/(m^{3},K^{4})} right]!,.}$

Оглядываясь назад, можно увидеть, что Больцману либо повезло, либо, что более вероятно, он вдохновился на сравнение результатов классического электромагнетизма с идеей о том, что излучение ведёт себя как жидкость. В то время не было возможности дать ответ на вопрос о какой-либо частице жидкости, даже эвристический, до предположения Планка и систематического исследования квантования поля излучения. С помощью размерного анализа Больцман мог заключить, что если бы постоянная Стефана зависела от других основных констант, одна из них должна была бы содержать размерность массы, которые не были известны в классической физике. В современном смысле аргумент Больцмана эквивалентен утверждению о том, что тензор электромагнитного напряжения безследовый:

${displaystyle w-3p=T_{00}-sum _{j=1}^{3}T_{jj}=T_{mu }^{mu }=0!,}$

Это уравнение применимо к классическому полю Максвелла, и Больцман неявно предполагал, что оно применимо и к квантованному полю. В настоящее время известно несколько примеров теорий поля, для которых тензор напряжения является бесследовым на классическом уровне, но не при правильном квантовании теории. Примерами являются электродинамика, связанная с (безмассовыми) частицами с нетривиальными явлениями поляризации вакуума и неабелевой теории взаимодействий. Действительно, закон Стефана — Больцмана в квантовой электродинамике (КЭД) неприменим при высоких температурах^[27].

n-мерное пространство[править | править код]

Закон важен и в n-мерном пространстве. Лучистое давление в n-мерном пространстве равно^[28]:

${displaystyle p={frac {1}{n}}w!,,}$

так что:

${displaystyle T,mathrm {d} S=(n+1)p,mathrm {d} V+nV,mathrm {d} p!,}$

От ассоциации:

${displaystyle {frac {1}{p}}{frac {mathrm {d} p}{mathrm {d} T}}={frac {(n+1)}{T}}!,}$

следует:

${displaystyle ppropto T^{n+1}!,}$

но:

${displaystyle wpropto T^{n+1}!,,}$

насколько это возможно

${displaystyle {frac {mathrm {d} Q}{mathrm {d} t}}propto T^{n+1}!,.}$

Тот же результат получается с интегралом по частоте в законе Планка для n-мерного пространства, в противном случае с другим значением постоянной Стефана для каждого измерения. В общем, константа та же^[29]^[30]:

${displaystyle sigma _{n}={frac {pi ^{frac {n-2}{2}}n(n-1)}{h^{n}}}left({frac {2}{c_{0}}}right)^{n-1}k_{rm {B}}^{n+1}Gamma left({frac {n}{2}}right)zeta (n+1);qquad n>1!,.}$

Это специально для ${displaystyle n=1,}$ :

${displaystyle sigma _{1}={frac {2k_{rm {B}}^{2}zeta (2)}{pi hc_{0}}}!,,}$

за ${displaystyle n=2,}$ :

${displaystyle sigma _{2}={frac {4pi k_{rm {B}}^{3}zeta (3)}{h^{2}c_{0}}}!,}$

и для ${displaystyle n=3,}$ :

${displaystyle sigma _{3}equiv sigma ={frac {12pi k_{rm {B}}^{4}zeta (4)}{h^{3}c_{0}^{2}}}!,.}$

Примеры[править | править код]

Температура поверхности Солнца[править | править код]

Спектр теплового излучения чёрного тела (серый по закону Планка) по сравнению со спектром Солнца на внешнем краю земной атмосферы (оранжевый). Плотность потока энергии одинакова в обоих случаях.

Используя свой закон, Стефан также определил температуру поверхности Солнца^{[A 1]}. Он опирался на данные Жак-Луи Соре о том, что плотность потока энергии Солнца на Землю в 29 раз превышает плотность потока энергии нагретой металлической пластины. Соре измерил плотность потока энергии на Монблане. Стефан поместил круглую плитку на таком расстоянии от метра, чтобы она смотрела под тем же углом, что и Солнце. По оценкам Соре, температура плитки составит от 1900 °C до 2000 °С^{[A 9]}. Стефан предположил, что 1/3 потока энергии Солнца удерживает атмосфера Земли. Поэтому он принял за правильный поток солнечной энергии на 3/2 большее значение, 29 · 3/2 = 43,5. Точные измерения атмосферного поглощения были сделаны только в 1888 и 1904 годах. Для температуры Стефан взял среднее значение двух предыдущих 1950 °С и для абсолютной термодинамической 2200 К. Так как 2,57⁴ = 43,5, то из закона следует, что температура Солнца в 2,57 раза выше температуры плитки. Таким образом Стефан получил значение 5430 °С или 5703 К. Это было первое осмысленное значение температуры атмосферы Солнца.

Ему предшествовали значения от 1800 °С до 13 000 000 °С. Анджело Секки впервые назвал значение 18 000 000 °F (10 000 255 К), а позже 250 000 °F (139 144 К)^{[A 10]}. Джон Уотерстон^[en] в 1861 году и Франческо Россетти^[en] в 1878 г. приводили преувеличенные значения. Россетти записал закон мощности излучения в форме^{[A 11]}:

${displaystyle j=varepsilon aT^{2}left(T-T_{0}right)-b(T-T_{0}),qquad (varepsilon =1)!,,}$

что дало без поправки на поглощение значение 10 238,4 К.

Ньютон определил интенсивность солнечного излучения, наблюдая за повышением температуры сухой земли при солнечном свете. В середине лета при ясной погоде на широте Лондона земля в полдень достигает 65,6 °С и 29,4 °С, так что разница составляет примерно 36,2 °С. Ньютон считал эту разницу верным показателем силы солнечного излучения. Таким образом, он показал, что комета 1680 года подвергалась воздействию температуры, в 7000 раз превышающей температуру кипения воды (212 · 7000 = 1 484 000 ° F (824,663 К)). Комета находилась в космосе на расстоянии 1/3 солнечного радиуса от поверхности Солнца. Из-за рассеивания лучей через солнечную атмосферу и на соответствующем расстоянии Джон Эрикссон сообщил о температуре солнечной фотосферы не менее 2 640 000 ° F (1 466 921 К)^{[A 12]}. Год спустя, в 1872 году, Эрикссон пересчитал значение 4 036 000 °F (2.242.477 К)^{[A 6]}.

Дюлонг и Пти в 1817 году сообщили значение из соотношения степени охлаждения тел в вакууме 1900 °С^[13]. Первое значение 1800 °С (между 1461 и 1761 °С) было определено Клодом Пулье в 1838 году из модели Дюлонга — Пти^[19]^{[A 6]}. Пулье принял половину значения потока энергии Солнца. Вероятно, этот результат напомнил Стефану, что модель Дюлонга — Пти не работает при высоких температурах. Если солнечный свет собрать с помощью линзы, он может нагреть тело до температуры выше чем 1800 °С.

Излучения Солнца на его поверхность и на поверхность Земли одинаковы:

${displaystyle L=L_{odot }!,,}$

${displaystyle jS_{odot }=j_{odot }S!,,}$

${displaystyle sigma T_{odot }^{4}4pi r_{odot }^{2}=j_{odot }4pi a_{0}^{2}!,,}$

поэтому сегодняшнее расчётное значение:

${displaystyle T_{odot }={sqrt[{4}]{frac {j_{odot }4pi a_{0}^{2}}{sigma 4pi r_{odot }^{2}}}}={sqrt[{4}]{frac {j_{odot }a_{0}^{2}}{sigma r_{odot }^{2}}}}={sqrt[{4}]{frac {1366cdot 149597870691^{2}}{5{,}670400cdot 10^{-8},cdot ,(6{,}960cdot 10^{8})^{2}}}}=5775,9 mathrm {K} !,,}$

где ${displaystyle j_{odot }=1366}$ Вт/м² — среднее значение солнечной постоянной (плотность светового потока от Солнца на внешней границе земной атмосферы), $a_{0}$ — астрономическая единица, ${displaystyle r_{odot }}$ — солнечный радиус и ${displaystyle L_{odot }}$ — светимость Солнца.

Температура звёзд[править | править код]

Температуру других звёзд можно определить аналогичным образом, рассматривая испускаемую энергию как излучение абсолютно чёрного тела^[31]. Светимость звезды L:

${displaystyle L=jS=4pi r^{2}sigma T_{rm {e}}^{4}!,,}$

r — радиус звезды и ${displaystyle T_{rm {e}}}$ — эффективная температура. Это же уравнение можно использовать для расчёта приблизительного радиуса звезды из главной последовательности относительно Солнца:

${displaystyle {frac {r}{r_{odot }}}approx left({frac {T_{odot }}{T}}right)^{2}{sqrt {frac {L}{L_{odot }}}}!,.}$

С помощью закона Стефана — Больцмана астрономы могут легко рассчитать радиус звезды.

Излучение Хокинга[править | править код]

Закон проявляется и в термодинамике чёрных дыр в излучении Хокинга. Температура излучения Хокинга равна:

${displaystyle T_{rm {H}}={frac {hbar c_{0}^{3}}{8pi kappa mk_{rm {B}}}}!,.}$

Поверхность сферы Шварцшильда с радиусом Шварцшильда ${displaystyle r_{rm {s}}}$ является:

${displaystyle S_{rm {s}}=4pi r_{rm {s}}^{2}=4pi left({frac {2kappa m}{c_{0}^{2}}}right)^{2}={frac {16pi kappa ^{2}m^{2}}{c_{0}^{4}}}!,.}$

Таким образом, излучение чёрной дыры (при $varepsilon =1$ ):

${displaystyle L=varepsilon jS_{rm {s}}=varepsilon sigma T_{rm {H}}^{4}S_{rm {s}}=varepsilon left({frac {pi ^{2}k_{rm {B}}^{4}}{60hbar ^{3}c_{0}^{2}}}right)left({frac {hbar c_{0}^{3}}{8pi kappa mk_{rm {B}}}}right)^{4}left({frac {16pi kappa ^{2}m^{2}}{c_{0}^{4}}}right)={frac {hbar c_{0}^{6}}{15360pi kappa ^{2}m^{2}}}!,,}$

где $hbar$ — приведенная постоянная Планка, ${displaystyle c_{0}}$ — скорость света и $kappa$ — гравитационная постоянная Ньютона. Эти уравнения ещё не были выведены в рамках полуклассической теории гравитации.

Температура поверхности Земли[править | править код]

Солнечное излучение на Земле

Аналогичным образом можно рассчитать эффективную температуру поверхности Земли ${displaystyle T_{rm {Z}}}$ путём определения энергии, получаемой от Солнца, и энергии, излучаемой Землёй, где необходимо думать, что оба тела абсолютно чёрные:

${displaystyle T_{{rm {Z}},0}=T_{odot }{sqrt {frac {r_{odot }}{2a_{0}}}}=5776cdot {sqrt {frac {6,96cdot 10^{8}}{2cdot 149597870691}}}approx 279;{rm {K}}!,.}$

Таким образом, эффективная температура на поверхности Земли равна 6 ° С.

Приведённый выше расчет является грубым приближением, потому что по умолчанию Земля является чёрным телом. Равновесная планетарная температура имела бы одно и то же значение, если бы светимость и поглощательная способность планеты уменьшались на некую постоянную пропорцию на всех длинах волн, потому что входящие и исходящие значения всё равно были бы одинаковыми при одной и той же температуре. Однако эта температура больше не будет соответствовать определению эффективной температуры. Тот же результат получится, если предположить, что вся Земля представляет собой серое тело :

${displaystyle (1-a)j_{odot }pi r_{rm {Z}}^{2}=4pi r_{rm {Z}}^{2}varepsilon sigma T_{{rm {Z}},0}^{4}!,,}$

где отражательная способность и яркость одинаковы, так что отношение:

${displaystyle a+varepsilon =1!,}$

и является:

${displaystyle T_{{rm {Z}},0}={sqrt[{4}]{frac {j_{odot }}{4sigma }}}=T_{odot }{sqrt {frac {r_{odot }}{2a_{0}}}}!,.}$

На самом деле Земля не имеет характеристик серого тела. Альбедо Земли таково, что около 30 % падающей солнечной радиации отражается обратно в космос. Из них 4 % отражённого излучения на поверхности, 20 % от облаков и 6 % выбрасывается в воздух. Если принять во внимание приведённую энергию Солнца и рассчитать температуру чёрного излучения, которое излучало бы столько энергии обратно в космос, то «эффективная температура», соответствующая такому представлению, составляет около 255 К^[32].

${displaystyle (1-a)j_{odot }pi r_{rm {Z}}^{2}=4pi r_{rm {Z}}^{2}sigma T_{{rm {Z}},1}^{4}!,,}$

где использовано

${displaystyle varepsilon =1!,}$

и является

${displaystyle T_{{rm {Z}},1}={sqrt[{4}]{frac {(1-a)j_{odot }}{4sigma }}}={sqrt[{4}]{frac {(1-0,3)cdot 1366}{4cdot 5{,}670400cdot 10^{-8}}}}approx 255;{rm {K}}!,.}$

По сравнению с 30 % отражения солнечной энергии, большее количество излучения с большими длинами волн поглощается или отражается от поверхности Земли в атмосферу и не передаётся за счёт парниковых газов, особенно: водяного пара, углекислого газа и метана^[33]^[34]. Поскольку яркость (измеренная на более высоких длинах волн, где излучает Земля) уменьшается больше, чем поглощательная способность (измеренная на более низких длинах волн солнечного излучения), равновесная температура выше, чем показывает простое приближение чёрного тела, а не ниже. Фактическая средняя температура поверхности Земли составляет около 288 К, а не 279 К. Глобальное потепление увеличивает эту равновесную температуру из-за воздействия человека на парниковые газы. С 1880 года, когда общая равновесная температура предполагалась равной 13,6 °С, она повысилась на 0,7 °С до 14,3 °С, а плотность потока энергии глобального потепления составляет 0,02 Вт/м²^[35].

Состояние радиационного равновесия Земли задаётся простой моделью нулевой траектории:

${displaystyle (1-a)j_{odot }pi r_{rm {Z}}^{2}=4pi r_{rm {Z}}^{2}varepsilon sigma T_{{rm {Z}},2}^{4}!,,}$

где а = 0,3 — средняя отражательная способность Земли и $varepsilon$ = 0,612 эффективной светимости Земли. Левая часть представляет собой входящую энергию Солнца, а правая — уходящую энергию от Земли в соответствии с законом Стефана — Больцмана. Следовательно

${displaystyle T_{{rm {Z}},2}={sqrt[{4}]{frac {(1-a)j_{odot }}{4varepsilon sigma }}}={sqrt[{4}]{frac {(1-0,3)cdot 1366}{4cdot 0,612cdot 5{,}670400cdot 10^{-8}}}}approx 288;{rm {K}}!,.}$

Тот же результат получается, если предположить, что атмосфера Земли является серым телом и принять во внимание её излучение ${displaystyle varepsilon _{o}}$ :

${displaystyle T_{{rm {Z}},2}=T_{{rm {Z}},1}{sqrt[{4}]{frac {2}{2-varepsilon _{o}}}}=T_{{rm {Z}},1}{sqrt[{4}]{frac {1}{varepsilon }}}=255cdot {sqrt[{4}]{frac {2}{2-0,776}}}=255cdot {sqrt[{4}]{frac {1}{0,612}}}approx 288;{rm {K}}!,.}$

Солнечное излучение по-разному отражается на разных длинах волн. У края атмосферы отражение в инфракрасном диапазоне равно 0,8, а у поверхности в видимом 0,2.

Плотность светового потока чёрных тел[править | править код]

В таблице приведены плотности излучаемого светового потока некоторых идеализированных чёрных тел или состояний.

$T$ [ К ]	$vartheta$ [ °С ]	тело/состояние	${displaystyle j^{star }}$ [Вт/м² ]
118,9 · 10⁻¹⁶		Излучение Хокинга чёрной дыры с массой Солнца	113,2 · 10⁻⁸³
0,0648	-272 935	световой поток, все ещё воспринимаемый человеческим глазом	10⁻¹²^[36]
2,7	-270,45	космическая микроволновое реликтовое излучение	3,013 · 10⁻⁶
14.01	-259,14	температура плавления жидкого водорода	0,00218
184	-89	самая низкая измеренная температура на Земле (1983 год)	65,0
273,15	0	лёд	315,0
288	15	средняя температура на Земле	390,1
298	25	комнатная температура	447,2
309,8	36,8	средняя температура тело человека	522,3
331	58	самая высокая измеренная температура на Земле (1922 год)	680,7
394	121	Солнечное излучение на краю атмосферы	1366
503	230	горячая сварка стали	3629,8
773	500	горячий обогреватель	20 245,6
798	525	чёрное тело в точке Дрейпера	22 994,4
1273	1000	жёлтое пламя	148 911,2
1941 г.	1668	расплавленный титан	804 851,7
2041.4	1768,4	расплавленная платина	984 750,3
2773	2500	лампа накаливания	3 352 842,9
5776		Солнечная фотосфера	63 113 529,9
25000		средняя температура Вселенной через 10 000 лет после Большого взрыва	22 150 001 850
15,7 · 10⁶		Ядро Солнца	3.445183366 · 10²¹
10 · 10⁹		вспышка сверхновой	567.04400475 · 10³⁰
140 · 10³⁰		Планковская температура чёрной дыры температура Вселенной 500 · 10⁻⁴² с после Большого взрыва	217.8341047 · 10¹²³

Плотность потока энергии приближения Вина[править | править код]

Плотность потока энергии в приближении Вина равна:

${displaystyle j_{rm {W}}^{star }=2pi hc_{0}^{2}int _{0}^{infty },{frac {1}{lambda ^{5}e^{hc_{0}/(lambda k_{rm {B}}T)}}}mathrm {d} lambda !,.}$

С той же переменной u, что и выше, интеграл переходит в:

${displaystyle j_{rm {W}}^{star }={frac {2pi k_{rm {B}}^{4}T^{4}}{h^{3}c_{0}^{2}}}int _{0}^{infty },{frac {u^{3}}{e^{u}}}mathrm {d} u!,.}$

а значение интеграла равно:

${displaystyle int _{0}^{infty }{frac {u^{3}}{e^{u}}}mathrm {d} u=6!,,}$

так что плотность потока энергии:

${displaystyle j_{rm {W}}^{star }={frac {12pi k_{rm {B}}^{4}}{h^{3}c_{0}^{2}}}T^{4}={frac {90}{pi ^{4}}}j^{star }={frac {1}{zeta (4)}}sigma T^{4}approx 0,923938,sigma T^{4}!,}$

соответственно меньше.

Плотность потока энергии приближения Рэлея — Джинса[править | править код]

Плотность потока энергии в приближении Рэлея — Джинса равна:

${displaystyle j_{rm {R}}^{star }=2pi c_{0}k_{rm {B}}Tint _{0}^{infty },{frac {1}{lambda ^{4}}}mathrm {d} lambda !,.}$

Интеграл расходится:

${displaystyle int _{0}^{infty },{frac {1}{lambda ^{4}}}mathrm {d} lambda =infty !,,}$

так что плотность потока энергии бесконечна:

${displaystyle j_{rm {R}}^{star }=infty !,.}$

Это классический результат, согласно которому происходит непрерывный обмен энергией излучения.

Подтверждение, принятие и значение[править | править код]

Некоторые физики обвиняют Стефана в том, что его путь к открытию закона был довольно шатким. В частности, ошибкой оказалось использовать платину в качестве источника излучения абсолютно чёрного тела^[37]. Было бы неправильно сказать, что он открыл закон вслепую. Многие счастливые совпадения повлияли на его целеустремленность, что часто случается со многими важными открытиями. Измерив теплопроводность, он убедился в неприменимости модель Дюлонга — Пти, использовал кинетическую теорию газов, применил абсолютную температуру^[38]. В модели Дюлонга — Пти также использовалась температура по Цельсию. Вскоре после публикации статьи другие исследователи тоже начали проверять закон Стефана. Он был подтверждён Лео Гретцем в 1880 году и Кристианом Кристиансеном в 1884 году^[39]^[40].

На момент открытия закона ещё не было до конца установлена его область применимости. В конце концов, исследователи поняли, что нужно использовать абсолютно чёрное тело. Модель чёрного тела была разработана Отто Люммером и Эрнстом Прингсгеймом в 1897 году и Фердинандом Курльбаумом в 1898 году^[41]. В 1896 году Вильгельм Вин открыл закон смещения максимума спектра излучении чёрного тела. Макс Планк начал работать над излучением чёрного тела в 1894 году. Он впервые рассмотрел влияние электромагнитных волн на небольшой электрический диполь^[41]. Он открыл свой закон в 1900 году, а лорд Рэлей и Джеймс Джинс представили свой закон в 1905 году на основе классической физики, который оказался аппроксимацией закона Планка. Закон Планка нельзя вывести только из уравнений электромагнитного поля, и необходимо учитывать подходы квантовой физики. Планк едва смирился с новой идеей, что излучение не может непрерывно обмениваться энергией со стенкой чёрного тела. Его формула сначала не воспринималась всерьёз, но в 1905 году Альберт Эйнштейн расширил свою идею и объяснил фотоэлектрическое явление в своей статье «Об эвристической позиции относительно происхождения и изменения света». В 1920 году Шатьендранат Бозе разработал теорию статистической фотонной механики, из которой удалось теоретически вывести закон Планка.

Значение Стефана солнечной температуры было независимо эмпирически подтверждено в 1894 году Уильямом Уилсоном и Греем с использованием гелиостата и переработанного дифференциального радиомикрометра, сделанного в 1889 году Чарльзом Бойзом. Прибор представлял собой комбинацию болометра и гальванометра. Используя нулевой метод, они сравнили солнечное излучение с излучением от электрически нагретой платиновой полосы. Они измерили эффективную температуру около 7073 К, что после нескольких поправок на поглощение в атмосфере Земли и атмосферы Солнца в 1901 году дало значение 6590 °С (6863 К)^{[A 13]}^[42]^[43]^[44].

Примечания(А)[править | править код]

↑ ¹ ² ³ Stefan, 1879.
↑ ¹ ² Boltzmann, 1884.
↑ Dulong, Petit, 1818.
↑ Tyndall, 1865b.
↑ Tyndall, 1865a.
↑ ¹ ² ³ Ericsson, 1872.
↑ Crova, 1880.
↑ Bartoli, 1884.
↑ Soret, 1872, pp. 228, 252—256.
↑ Young, 1880.
↑ Rossetti, 1878.
↑ Ericsson, 1871.
↑ Wilson, Gray, 1894.

Примечания[править | править код]

↑ Стефана — Больцмана закон излучения // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия (т. 1—2); Большая Российская энциклопедия (т. 3—5), 1988—1999. — ISBN 5-85270-034-7.
↑ Сивухин Д. В. § 118. Формула Планка // Общий курс физики. — М.: Наука, 1980. — Т. IV. Оптика. — С. 701—702. — 768 с.
↑ Stefan-Boltzmann constant (англ.). Fundamental Physical Constants. The NIST Reference on Constants, Units and Uncertainty. Дата обращения: 28 февраля 2018. Архивировано 29 июля 2020 года.
↑ ¹ ² Strnad, 2006, p. 51.
↑ Južnič, 2004, p. 24.
↑ Мартинсон и Смирнов, 2004, с. 8.
↑ Трефил, Джеймс. Закон Стефана—Больцмана. https://elementy.ru/. Элементы. Дата обращения: 26 мая 2022. Архивировано 26 мая 2022 года.
↑ ¹ ² Мартинсон и Смирнов, 2004, с. 9.
↑ Мартинсон и Смирнов, 2004, с. 10.
↑ Мартинсон и Смирнов, 2004, с. 11.
↑ ¹ ² Мартинсон и Смирнов, 2004, с. 14.
↑ Južnič, 2004, p. 28.
↑ ¹ ² Satterly, 1919.
↑ ¹ ² Crepeau, 2007, с. 799.
↑ ¹ ² Crepeau, 2007.
↑ Sitar, 1993, p. 80.
↑ ¹ ² Balázs, Vargha, Zsoldos, 2008.
↑ Kangro, 1976, pp. 8–10.
↑ ¹ ² Strnad, 1985, p. 48.
↑ Strnad, 2001, p. 149.
↑ Južnič, 2004, p. 29.
↑ Strnad, 1982, p. 8.
↑ Vargha, Balázs, 2008, p. 140.
↑ Stefan-Boltzmannov zakon (англ.). Дата обращения: 24 мая 2022. Архивировано из оригинала 23 августа 2000 года.
↑ Stefan-Boltzmannov zakon (англ.). PlanetPhysics.org. Дата обращения: 24 мая 2022. Архивировано из оригинала 11 сентября 2009 года.
↑ Cardy, 2010, p. 2.
↑ Cardy, 2010, p. 3.
↑ Giddings, 1984.
↑ Cardoso, de Castro, 2005, p. 563.
↑ Gonzalez-Ayala, Angulo-Brown, 2015.
↑ Izsev zvezd (англ.). Australian Telescope Outreach and Education. Дата обращения: 13 августа 2006. Архивировано 9 августа 2014 года.
↑ Kreith, 2000.
↑ Das, 1996.
↑ Cole, Woolfson, 2002.
↑ Nordell, 2003, p. 310.
↑ Strnad, 1978, p. 523.
↑ Dougal, 1979, p. 234.
↑ Strnad, 1990, p. 192.
↑ Sitar, 1993, p. 83.
↑ Južnič, 2004, p. 30.
↑ ¹ ² Strnad, 1982, p. 3.
↑ Petrovay, 2020.
↑ Leaney, 2009.
↑ Butler, Elliottt, 1993.

Источники[править | править код]

Balázs, Lajos G.; Vargha, Magda; Zsoldos, Endre (julij 2008). “Rado Köveslighety’s spectroscopic work”. Journal of Astronomical History and Heritage. 11 (2): 124—133. Bibcode:2008JAHH…11..124B. ISSN 1440-2807.
Bartoli, Adolfo (1884). “Il calorico raggiante e il secondo principio di termodynamica” [Лучистое тепло и второй закон термодинамики] (PDF). Il Nuovo Cimento (1877-1894) [итал.]. 15: 196—202.
Boltzmann, Ludwig Edward (1884). “Ableitung des Stefan’schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie” [Вывод закона Стефана о зависимости теплового излучения от температуры из электромагнитной теории света]. Annalen der Physik und Chemie [нем.]. 22: 291—294. DOI:10.1002/andp.18842580616.
Butler, C. J.; Elliottt, I. (1993). “Biographical and Historical Notes on the Pioneers of Photometry in Ireland”. DOI:10.1017/S0252921100007326.
Cardoso, Tatiana R.; de Castro, Antonio S. (2005). “The blackbody radiation in a D-dimensional universes” (PDF). Revista Brasileira de Ensino de Física. 27 (4): 559—563. DOI:10.1590/S1806-11172005000400007.
Cardy, John (2010). “The Ubiquitous ‘c’: from the Stefan-Boltzmann Law to Quantum Information”. Boltzmann Medal Lecture. Cairns. arXiv:1008.2331.
Cole, George H. A.; Woolfson, Michael M. (2002). “Planetary Science: The Science of Planets Around Stars” (1 ed.). Institute of Physics Publishing: 36—37, 380—382. ISBN 0-7503-0815-X.
Crepeau, John C. (2007). “Josef Stefan: His life and legacy in the thermal sciences”. Experimental Thermal and Fluid Science. 31: 795—803. DOI:10.1016/j.expthermflusci.2006.08.005.
Crepeau, John C. (2009). “A brief history of the T⁴ radiation law” (PDF). 2009 ASME Summer Heat Transfer Conference.
Crova, André-Prosper-Paul (1880). “Étude des radiations émises par les corps incandescents. Mesure optique des hautes températures” [Изучение излучения, испускаемого раскаленными телами. Оптическое измерение высоких температур]. Annales de chimie et de physique. Série 5 [фр.]. 19: 472—550.
Das, P. K. (1996). “The Earth’s Changing Climate” (PDF). Resonance. 1 (3): 54—65.
Dougal, R. C. (1979). “The centenary of the fourth-power law”. Phys. Educ. 14: 234—238.
Dulong, P. L.; Petit, A. T. (1818). “Des Recherches sur la Mesure des Tempe´ratures et sur les Lois de la communication de la chaleur” [Исследование по измерению температуры и законам тепловой связи]. Annales de Chimie et de Physique. 7: 225—264.
Ericsson, John (1871). “The temperature produced by solar radiation” [Температура, создаваемая солнечным излучением]. Nature [англ.]. 5: 46—48.
Ericsson, John (1872). “The temperature of the surface of the sun” [Температура поверхности солнца]. Nature [англ.]. 5: 505—507.
Giddings, Steven B. (1984). “Incoherent radiation in an n‐dimensional space”. American Journal of Physics. 52: 1125. Bibcode:1984AmJPh..52.1125G. DOI:10.1119/1.13741.
Gonzalez-Ayala, Julian; Angulo-Brown, F. (2015). “Is the 3 + 1) − d nature of the universe a thermodynamic necessity?”. arXiv:1502.01843 [gr-qc].
Južnič, Stanislav (2004). “Raziskovanje vakuuma na (dunajskem) fizikalnem inštitutu Jožefa Stefana : (ob stopetindvajsetletnici Stefanovega zakona)” [Вакуумные исследования в Физическом институте Йозефа Стефана (Вена): (к 125-й годовщине смерти Стефана)]. Vakuumist. 2 (4): 24—32. 18917159.
Kangro, Hans (1976). “Early History of Planck’s Radiation Law”. Taylor & Francis. ISBN 0-85066-063-7.
Kreith, Frank (2000). “The CRC Handbook of Thermal Engineering”. CRC Press/Springer. ISBN 3540663495.
Leaney, Enda (2009). “Ireland’s national biographical dictionary”.
Nordell, Bo (2003). “Thermal pollution causes global warming” (PDF). Global and Planetary Change. 38 (3—4): 305—312. DOI:10.1016/S0921-8181(03)00113-9.
Pérez-Madrid, Agustin; Rubí, J. Miguel; Lapas, Luciano C. (2010-02-10). “Nonequilibrium Stefan-Boltzmann law”. Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics. 35 (3). arXiv:1002.0794. DOI:10.1515/JNETDY.2010.017.
Petrovay, Kristóf (2020). “The Determination of Stellar Temperatures from Baron B. Harkányi to the Gaia Mission”. Journal for the History of Astronomy. 51 (2): 152—152. arXiv:2003.08092. DOI:10.1177/0021828620918961.
Poynting, John Henry (1904). “Radiation in the Solar System”. Nature. 70: 512—515.
Rossetti, Francesco (1878). “Indagini sperimentali sulla temperatura del Sole” [Экспериментальные исследования температуры Солнца]. Atti della Realle Accademia dei Lincei. Memorie della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali (1877-1878, Serie 3) [итал.]. 275 (2): 169—201.
Satterly, John (1919). “Radiation and the Temperature of the Sun”. Journal of the Royal Astronomical Society of Canada. 13 (2): 33—44. Bibcode:1919JRASC..13…33S.
Sitar, Sandi (1993). “Jožef Stefan : pesnik in fizik : ob stoletnici smrti”. Ljubljana: Park.
Soret, M. J.-L. (1872). “Comparaison des intensités calorifiques du rayonnement solaire et du rayonnement d’un corps chauffé à la lampe oxyhydrique” [Сравнение теплотворных способностей солнечного излучения и излучения тела, нагретого кислородно-водородной лампой]. Archives des sciences physiques et naturelles, Ser.2. 43-45: 220.
Stefan, Jožef (1879). “Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur” [О связи между тепловым излучением и температурой] (PDF). SAW [нем.]. 79 (II): 391—428.
Strnad, Janez (1978). “Fizika, 2. del, Elektrika, Optika”. Ljubljana: DZS: 524.
Strnad, Janez (1979). “Sto let Stefanovega zakona”. Obzornik za matematiko in fiziko. 26 (3): 65—73. (PACS 01.65.+g).
Strnad, Janez (1982). “Začetki kvantne fizike: od kvanta do snovnega valovanja” (Presekova knjižnica; 9 ed.). Ljubljana: DMFA: 1—48.
Strnad, Janez (1985). “Jožef Stefan, Ob stopetdesetletnici rojstva” (Presekova knjižnica; 24 ed.). Ljubljana: DMFA: 1—64.
Strnad, Janez (1990). “Zgodbe iz fizike”. Ljubljana: Slovenska matica.
Strnad, Janez (2001). “Sevalni tlak in P. N. Lebedev”. Obzornik za matematiko in fiziko. 48 (5): 148—153. (PACS 01.60, 33.80.P).
Strnad, Janez (2006). “Planckov začetek kvantne fizike”. Obzornik za matematiko in fiziko. 53 (2): 51—63. (PACS 01.65.+g).
Tyndall, John (1865a). “Über leuchtende und dunkle Strahlung” [О светящемся и тёмном излучении]. Annalen der Physik und Chemie [нем.]. 200: 36—53.
Tyndall, John (1865b). “Heat considered as a Mode of Motion” [Теплота как способ движения] (PDF) [англ.]. D. Appleton & Company.
Vargha, Magda; Balázs, Lajos G. (2008). “Kovesligethy’s spectroscopic studies” (PDF). Communications in Asteroseismology. 149: 136—142.
Wilson, William Edward; Gray, P. E. (1894). “Experimental Investigations on the Effective Temperature of the Sun” [Экспериментальные исследования эффективной температуры Солнца]. Proceedings of the Royal Society of London Series I [англ.]. 55: 250—251.
Wilson, William Edward (1900). “Astronomical and physical researches made at Mr. Wilson’s Observatory, Daramona, Westmeath” (PDF).
Young, Charles Augustus (1880). “The Sun’s Heat” [Солнечное тепло]. Popular Science Monthly [англ.]. 18.
Мартинсон, Л. К.; Смирнов, Е. В. Квантовая теория. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. — 496 с. — ISBN 5703824389.

Источник

Действие закона Стефана-Больцмана

Закон Стефана-Больцмана: совместимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его температуры.

Тела, нагретые до какой-то температуры, способны излучать энергию. Она состоит из электромагнитных волн с различной длиной. Выражение «раскален докрасна» означает, что температура объекта настолько велика, что тепловое излучение происходит в видимой, световой области спектра. При рассмотрении тел на атомарном уровне возбужденные атомы испускают фотоны, которые формируют излучение.

Действие закона Стефана-Больцмана можно объяснить с помощью рассмотрения атома, который излучает свет в недрах Солнца. Свет будет поглощен мгновенно другим атомом и излучен им повторно. Таким образом, потенциальный свет будет перемещаться между атомами по цепочке. Для такой системы характерно энергетическое равновесие.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Равновесному состоянию можно дать следующее обозначение:

Свет со строго определенной частотой будет поглощен одним атомом в одной точке.
Одновременно будет наблюдаться испускание света с такой же частотой другим атомом в другой точке.
Показатели интенсивности света каждой длины волны спектра остаются стабильными.

Внутри Солнца наблюдается падение температуры с удалением от центра звезды. Если двигаться на поверхность, то можно отметить более высокие температуры светового излучения по сравнению с температурой окружающей среды, соответствующие определенному спектру. В итоге, повторное излучение, исходя из закона Стефана-Больцмана, характеризуется более низкими энергиями и частотами.

Однако, согласно закону сохранения энергии, количество излучаемых фотонов будет увеличиваться. Таким образом, на момент достижения излучением поверхности звезды спектральное распределение будет определено в соответствии с температурой поверхности Солнца, то есть около 5 800 К, а не температурой центра Солнца, которая составляет примерно 15 000 000 К.

История открытия

Данная закономерность была сформулирована в 1879 году физиком из Австрии Йозефом Стефаном. Основанием для открытия послужили экспериментальные измерения. Непосредственно сами опыты были проведены ирландским физиком Джоном Тиндалем.

В 1884 году Людвиг Больцман проводил теоретические исследования с применением термодинамики. В результате ученый пришел к этому закону изучения черного тела. Рассуждения Больцмана были построены на изучении некого идеального двигателя, в качестве энергетического источника которого использовался свет. Экспериментально подтвержденный закон был опубликован Стефаном в статье с названием «Об отношении между излучением и абсолютной температурой», которая была включена в одну из брошюр Академии наук Вены.

Концепция черного тела

Черное тело — теоретический объект, обладающий способностью к поглощению абсолютно всей электромагнитной энергии, попадающей на его поверхность.

Закономерность Стефана-Больцмана справедлива при условии наблюдения за абсолютно черным телом, которое поглощает излучение, попадающее на поверхность, в полном объеме. В реальном мире физические объекты способны поглощать лишь какую-то часть лучевой энергии. Остальное излучение отражается от их поверхности.

Следует отметить, что закон, исходя из которого удельная мощность излучения с их поверхности пропорциональна Т4, работает и при реальных условиях. Только в данной ситуации необходимо постоянную Больцмана заменить на другой коэффициент, отражающий характеристики реального физического объекта. Определить такую константу можно с помощью эксперимента.

Математическая формула закона излучения

Энергия, поступая к поверхности Солнца или любого другого горячего объекта, отражается от него в виде излучения. Определить характер излученной энергии позволяет закон Стефана-Больцмана. В виде формулы закономерность записывают в следующем виде:

(E=sigma T^{4})

Где Т является температурой и измеряется в Кельвинах, σ представляет собой постоянную Больцмана.

Согласно уравнению, можно сделать вывод, что повышение температуры сопровождается увеличением светимости тела в значительно большей степени. При повышении температуры объекта в 2 раза, его светимость увеличится в 16 раз.

Использование закона Стефана-Больцмана

Йозеф Стефан применил самостоятельно открытый закон на практике. С помощью выведенной закономерности ученому удалось определить температуру, которой обладает поверхность Солнца. Стефан использовал данные Чарльза Сорета, в которых указано, что величина плотности потока солнечной энергии в 29 раз превышает аналогичные показатели электромагнитного излучения нагретой пластины из металла. Ученый разместил пластину от датчика электромагнитного излучения под тем же углом, под которым видно Солнце с нашей планеты. Результаты эксперимента Сорета оценивали температуру пластины в 1900-2000 градусов.

В опыте Йозефа Стефана было учтено, что солнечное излучение поглощается атмосферой на Земле. По его предположению, поток энергии от звезды в реальных условиях в 43,5 раз превышает аналогичные показатели нагретой пластины. Данное исследование послужило началом для ряда экспериментов по измерению точного атмосферного поглощения энергии от Солнца, которые проводились в период с 1888 по 1904 года.

Исходя из закона Стефана-Больцмана, достаточно просто прийти к выводу, что температура на поверхности нашей звезды превышает температуру металлической пластины в 2,57 раза. Расчет выполняется с помощью извлечения корня четвертой степени от отношения потоков энергии Солнца и пластины. По итогам эксперимента Стефан вычислил, что температура поверхности звезды составляет 5712 К. Стоит отметить, что по современным данным данный показатель равен 5780 К.

Источник

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ СТЕФАНА-БОЛЬЦМАНА
И ПОСТОЯННОЙ ПЛАНКА
ПРИ ПОМОЩИ ОПТИЧЕСКОГО ПИРОМЕТРА

Цель работы: изучение
работы оптического пирометра и измерение с его помощью температуры нагретого
тела; определение постоянной в законе Стефана-Больцмана и расчет постоянной
Планка.

Приборы и принадлежности:
пирометр с исчезающей нитью, лампа с вольфрамовой нитью, ваттметр,
трансформатор.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Тепловым или температурным излучением называется
электромагнитное излучение нагретых тел, для которого источником энергии
является возбуждение атомов и молекул при их хаотическом тепловом движении.
Это излучение имеется при всех температурах, отличных от абсолютного нуля.
Интенсивность теплового излучения и его спектральный состав зависят от
температуры, химической природы и агрегатного состояния нагретого тела.
Тепловое излучение характеризуется сплошным спектром, положение максимума
которого зависит от температуры. При высоких температурах излучаются короткие
(видимые и ультрафиолетовые) электромагнитные волны, при низких – преимущественно
длинные (инфракрасные).

Тепловое излучение относится к равновесному. Если на тело
падает поток лучистой энергии, то часть этого потока поглощается телом. В
равновесном состоянии энергия, поглощаемая телом, теряется им путем
излучения, поэтому температура тела не изменяется.

Основными характеристиками теплового излучения являются
энергетическая светимость R_т,
лучеиспускательная способность r_ν,Т (r_λ,Т),
лучепоглощательная способность а_ν,Т (а_λ,Т).

Энергетическая светимость тела R_т – это полная энергия, испускаемая единицей площади
поверхности нагретого тела в единицу времени в интервале длин волн (частот)
от 0 до ∞ при температуре Т (в пределах телесного угла 2p):

. (1)

Лучеиспускательная (излучательная) способность
(спектральная плотность энергетической светимости) r_ν,_Т (r_λ,Т) – это доля
энергетической светимости, приходящаяся на единичный интервал длин волн (частот)
при температуре Т:

и . (2)

Эта величина является функцией длины волны (частоты) и температуры
и определяет энергетическую светимость R_т:

. (3)

Лучепоглощательная способность тела а_ν,Т (а_λ,_Т₎
показывает, какая часть энергии, падающей на единицу площади поверхности тела
в единичном интервале длин волн dλ (частот dν),
поглощается им при температуре Т:

, (4)

где dW_погл – энергия,
поглощенная единицей площади поверхности тела в единичном интервале длин волн
dλ (частот dν); dW_пад – энергия, падающая
на единицу площади поверхности тела в единичном интервале длин волн dλ (частот dν).

Лучеиспускательная r_λ,Ти лучепоглощательная а_λ,Т способности зависят не только от длины волны (частоты)
излучения и температуры тела, но и от химического состава, формы и состояния
поверхности тела.

Тело, поглощающее всю падающую
на него энергию, называется абсолютно черным (а.ч.т). В природе не существует
абсолютно черного тела. Но тело, близкое к нему по своим свойствам, можно
создать искусственно.

Моделью
а.ч.т., по В.А. Михельсону, может служить маленькое отверстие в стенке полости,
сделанной из любого материала (рис. 1). Луч, падающий извне на отверстие, попадает
внутрь полости и прежде чем выйти обратно наружу испытывает многократное
отражение от стенок, теряя энергию за счет поглощения. Поэтому интенсивность
выходящего обратно луча будет практически равна нулю. Это отверстие полностью
поглощает все падающие на него лучи и является а.ч.т. Приближенно а.ч.т. можно
считать сажу, платиновую чернь. Лучепоглощательная способность абсолютно черного
тела равна единице (a _nТ
= 1).

Для разных тел величины
лучеиспускательной и лучепоглощательной способностей при одинаковых условиях
резко отличаются, но отношение лучеиспускательной способности к
поглощательной для любых тел при одинаковой температуре Т не зависит от их природы
и является универсальной функцией длины волны (частоты) и температуры
(закон Кирхгофа):

, (5)

где f (ν, Т)
– функция Кирхгофа; А, В, С – различные тела.

Применим закон Кирхгофа к
излучению абсолютно черного тела:

, (6)

где ε_ν,Т – лучеиспускательная
способность а.ч.т. Следовательно, функция Кирхгофа f
(ν, Т) равна
лучеиспускательной способности ε_ν,Т
абсолютно черного тела (физический смысл функции Кирхгофа):

f (ν, Т) = ε_ν,Т. (7)

Установлены следующие законы
излучения абсолютно черного тела (а.ч.т.).

Закон Стефана–Больцмана: энергетическая светимость абсолютно
черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры,
т.е.

, (8)

где Дж/с×м²×К⁴
– постоянная Стефана–Больцмана.

Закон смещения Вина (первый закон): длина волны λ₀, на которую
приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости (или
максимум излучательной способности) абсолютно черного тела, обратно
пропорциональна абсолютной температуре тела, т.е.

, (9)

где м×К
– постоянная закона Вина.

Выражение (9) потому называют
законом смещения Вина, что оно показывает смещение положения максимума
функции ε_λ,Т по мере возрастания
температуры в область коротких длин волн. Закон Вина объясняет, почему при
понижении температуры нагретых тел в их спектре все сильнее преобладает
длинноволновое излучение (например, переход белого каления в красное при
остывании металла).

Подпись: Рис. 2

На рис. 2 изображены кривые распределения энергии излучения
по длинам волн в спектре абсолютно черного тела при различных температурах.
Площади, ограниченные кривыми и осью абсцисс, определяют энергетическую
светимость R_т абсолютно черного тела (при Т₁ > Т₂ λ₀₁ < λ₀₂). Второй закон Вина: максимальная излучательная
способность абсолютно черного тела прямо пропорциональна пятой степени его абсолютной
температуры, т.е.

, (10)

где в^/ = 1,29 · 10^-5 Вт/(м³ · К⁵)

Для объяснения законов теплового
излучения М. Планк в 1900 г. высказал гипотезу, что испускание энергии
электромагнитного излучения атомами и молекулами возможно только отдельными
«порциями», которые стали называться квантами энергии ε. Величина кванта энергии равна

, (11)

где Дж×с
– постоянная Планка; ν – частота колебаний.

Планк на основе квантовых
представлений вывел аналитическое выражение для универсальной функции
Кирхгофа. Эта функция, получившая название функции Планка, имеет следующий
вид:

, (12)

, (13)

где с – скорость света в вакууме; k
– постоянная Больцмана; ν,
λ – частота и длина волны; h – постоянная Планка; е – основание натуральных логарифмов.

Интегрируя функцию Планка (12)
по всему спектру излучения, получим закон Стефана-Больцмана:

, где .

Если взять производную по λ от функции Планка (13) и
приравнять ее к нулю, то тогда можно найти длину волны λ₀, при которой
функция ε_λ,_Т
имеет максимум, т.е. получим закон смещения Вина.

Рассмотренные закономерности
излучения абсолютно черного тела качественно справедливы и для тел, не
являющихся абсолютно черными. Например, энергетическая светимость серого тела
, где α
– коэффициент, который меньше единицы и который зависит от состояния
поверхности, формы и химического состава тела.

2. ОПИСАНИЕ РАБОЧЕЙ УСТАНОВКИ
И МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

Если излучение происходит в
среде, имеющей температуру Т₀, то по закону
Стефана-Больцмана можно определить отдачу телом тепла в единицу времени с
единицы площади поверхности:

, (14)

где Т – температура тела; Т₀
– температура среды; σ
– постоянная Стефана-Больцмана.

Измерение температуры тела в
данной работе производится при помощи оптического пирометра с исчезающей
нитью. Оптический пирометр применяется в различных отраслях промышленности.
Пределы измерения температур 700…2 000 ˚С.

Комплект оптического пирометра с
исчезающей нитью состоит из зрительной трубы, вольтметра и аккумулятора
(заменен блоком питания).

Внешний вид пирометра изображен
на рис. 3. Основными его частями являются: 1 – тубус объектива зрительной трубы; 2 – тубус окуляра зрительной трубы; 3 – кольцо реостата; 4
– шкала вольтметра; 5 – красный
светофильтр; 6 – дымчатый
светофильтр; 7 – винт вертикального
перемещения прибора; 8 – винт
горизонтального перемещения прибора.

Оптическая схема пирометра с
исчезающей нитью представлена на рис. 4.

В фокусе объектива 1 (см. рис. 4) помещена электрическая
лампочка 2 с нитью в виде петли.
При помощи окуляра 3 наблюдается
нить лампы и совмещенное с ней (при помощи объектива) изображение поверхности
нагретого тела (источник света). При пользовании пирометром сравнение яркости
происходит в ограниченной области спектра. Для получения монохроматического
излучения в трубе окуляра помещены светофильтры. При измерениях температур до
900 ˚С светофильтрами не пользуются, в интервале 900…1 200 ˚С
пользуются красным светофильтром 5 (λ
= 660 нм). Ослабляющий дымчатый светофильтр 6 вводится в поле зрения при измерении температуры свыше
1 200 и до 2 000 ˚С поворотной накатанной головкой 6. Этот светофильтр служит для выбора
предела измерения; при невведенном светофильтре 6 отсчет измерений температуры производят по шкале 800…1 400
˚С показывающего прибора, а при введенном – по шкале
1 200…2 000 ˚С. Светофильтр считается введенным, когда
совпадает белая указательная точка (индекс) на головке 6 с цифровым индексом «20» на корпусе прибора; невведенным –
когда взаимно смешаны индексы на головке и корпусе на четверть полного
оборота головки
(см. рис. 3).

msotw9_temp0

Рис. 3

Лампочка 2 питается током от аккумуляторной батареи. Накал нити регулируется
реостатом R посредством кольца 3, находящегося в передней части
трубы 2 пирометра (см. рис. 3). При
помощи реостата накал нити лампы меняется так, что нить на фоне излучающей поверхности
исчезает. Этому моменту соответствует совпадение температуры нити лампочки и
исследуемой поверхности. Температуру нити отсчитывают по вольтметру
пирометра, проградуированному в градусах Цельсия. Шкала прибора градуирована
по излучению абсолютно черного тела. Если излучаемое тело не является черным,
то пирометр показывает температуру Т такого черного тела, яркость которого
одинакова с яркостью данного тела. Величина Т называется яркостной
температурой данного тела (Т_ярк).

Рис. 4

Если исследуемая поверхность не
является а.ч.т., то для определения действительной температуры Т
необходимо вводить поправку ΔТ:

. (15)

Эта
поправка определяется по диаграмме (рис. 5).

Для данной температуры t_ярк, которая
соответствует показаниям вольтметра пирометра, определяют поправку Δt. Действительная температура
исследуемой поверхности равна

. (16)

Окончательно

, (17)

где Т – действительная
температура по шкале Кельвина.

Задачей данной работы является
нахождение численного значения постоянной Стефана-Больцмана σ и вычисление постоянной
Планка.

В нашей работе нагретым телом,
тепловое излучение которого используется для определения σ, служит вольфрамовая нить
лампочки накаливания. Для поддержания нити в нагретом состоянии к лампе подводится
мощность Р = IU,
где I – ток,
текущий через лампу;
U –
напряжение, под которым находится лампа. Приравнивая эту мощность количеству
энергии в соответствии с законом Стефана-Больцмана (14), получают:

, (18)

где S – общая поверхность раскаленного
волоска.

Из формулы (18)

, (19)

где Р – мощность,
определяемая ваттметром; Т – температура вольфрамовой нити; Т₀
– температура среды.

По формуле (19) определяют σ. Постоянную Планка h определяют из формулы

, (20)

полученной в квантовой теории
теплового излучения, где k
– постоянная Больцмана; с – скорость распространения света в вакууме.
Из формулы (20)

, (21)

где Дж/К; м/с; σ –
постоянная Стефана-Больцмана, определяемая по формуле (19).

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

3.1. Собирают электрическую цепь (рис. 6), но не
замыкают ее.

3.2. Подключают к блоку питания, соединяя клеммы
пирометра с одноименными клеммами блока питания.

3.3. Перемещая окуляр пирометра, устанавливают его так,
чтобы стала отчетливо видна нить пирометрической лампы. Глядя через оптическую
систему пирометра на лампу накаливания, с помощью объектива получают резкое
изображение спирали этой лампы.

3.4. Вводят красный светофильтр (см. рис. 3).

Подпись: Рис. 6 3.5. Замыкают цепь лампы накаливания (см.
рис. 6) и, вращая рукоятку автотрансформатора, доводят нить лампы до
раскаленного состояния, устанавливая по ваттметру
10 Вт.

3.6. Вращая кольцо пирометра, изменяют яркость нити
пирометра до тех пор, пока средний участок нити эталонной лампы не сравняется
с яркостью нити испытуемой лампы (их яркости станут одинаковыми и поэтому
нити станут трудноотличимыми). В этот момент производят отсчет по нижней
шкале пирометра значения яркостной температуры нити лампы.

3.7. Так как волосок
лампочки накаливания не является абсолютно черным телом, то для определения
действительной температуры вводят поправку Δt, которую определяют по диаграмме (см. рис. 5).

3.8. Опыт повторяют три раза для различных значений мощности
Р. Полученные данные заносят в таблицу, форма которой представлена
ниже.

Форма
таблицы

Р,

t_ярк,

Δt,

t₀,

Т₀,

Т,

Вт

˚С

мм²

Дж×с

3.9. По
формуле (19) вычисляют постоянную Стефана-Больцмана и затем находят ее
среднее значение.

3.10. Используя
формулу (21), по найденному среднему значению величины подсчитывают
постоянную Планка .

3.11. Оценивают погрешность
результата измерений величин и .

ВОПРОСЫ
ДЛЯ ДОПУСКА К РАБОТЕ

1. Сформулируйте цель
работы.

2. Опишите экспериментальную
установку и порядок выполнения работы.

3. Сформулируйте закон
Стефана-Больцмана и поясните физический смысл величин, входящих в него.

4. Запишите рабочие формулы для определения
постоянной Стефана-Больцмана и постоянной Планка.

ВОПРОСЫ
ДЛЯ ЗАЩИТЫ

1. Дайте определение
основным спектральным характеристикам теплового излучения.

2. Сформулируйте закон Кирхгофа и
поясните физический смысл величин, входящих в него.

3. Объясните физический смысл
постоянной σ.

4. Запишите функцию Планка.
Выведите закон Стефана-Больцмана.

5. Объясните практическое
использование оптического пирометра.

6. Критические замечания к рабочей
установке и методу измерений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Майсова Н.Н. Практикум
по курсу общей физики. – М.: Высш. шк., 1970. – 448 с.

2. Кортнев А.В., Рублев Ю.В.,
Куценко А.Н. Практикум по физике. – М.: Высш. шк., 1963. – 568 с.

3. Руководство к лабораторным
работам по физике / под. ред. В.Е. Аверичевой. – Томск: ТПИ, 1973. – 129 с.

Источник

Светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его температуры.

Нагретые тела излучают энергию в виде электромагнитных волн различной длины. Когда мы говорим, что тело «раскалено докрасна», это значит, что его температура достаточно высока, чтобы тепловое излучение происходило в видимой, световой части спектра. На атомарном уровне излучение становится следствием испускания фотонов возбужденными атомами (см. Излучение черного тела). Закон, описывающий зависимость энергии теплового излучения от температуры, был получен на основе анализа экспериментальных данных австрийским физиком Йозефом Стефаном и теоретически обоснован также австрийцем Людвигом Больцманом (см. Постоянная Больцмана).

Чтобы понять, как действует этот закон, представьте себе атом, излучающий свет в недрах Солнца. Свет тут же поглощается другим атомом, излучается им повторно — и таким образом передается по цепочке от атома к атому, благодаря чему вся система находится в состоянии энергетического равновесия. В равновесном состоянии свет строго определенной частоты поглощается одним атомом в одном месте одновременно с испусканием света той же частоты другим атомом в другом месте. В результате интенсивность света каждой длины волны спектра остается неизменной.

Температура внутри Солнца падает по мере удаления от его центра. Поэтому, по мере движения по направлению к поверхности, спектр светового излучения оказывается соответствующим более высоким температурам, чем температура окружающий среды. В результате, при повторном излучении, согласно закону Стефана—Больцмана, оно будет происходить на более низких энергиях и частотах, но при этом, в силу закона сохранения энергии, будет излучаться большее число фотонов. Таким образом, к моменту достижения им поверхности спектральное распределение будет соответствовать температуре поверхности Солнца (около 5 800 К), а не температуре в центре Солнца (около 15 000 000 К).

Энергия, поступившая к поверхности Солнца (или к поверхности любого горячего объекта), покидает его в виде излучения. Закон Стефана—Больцмана как раз и говорит нам, какова излученная энергия. Этот закон записывается так:

E = σT ⁴

где Т — температура (в кельвинах), а σ — постоянная Больцмана. Из формулы видно, что при повышении температуры светимость тела не просто возрастает — она возрастает в значительно большей степени. Увеличьте температуру вдвое, и светимость возрастет в 16 раз!

Итак, согласно этому закону любое тело, имеющее температуру выше абсолютного нуля, излучает энергию. Так почему, спрашивается, все тела давно не остыли до абсолютного нуля? Почему, скажем, лично ваше тело, постоянно излучая тепловую энергию в инфракрасном диапазоне, характерном для температуры человеческого тела (чуть больше 300 К), не остывает?

Ответ на этот вопрос, на самом деле, состоит из двух частей. Во-первых, с пищей вы получаете энергию извне, которая в процессе метаболического усвоения пищевых калорий организмом преобразуется в тепловую энергию, восполняющую потери вашим телом энергии в силу закона Стефана—Больцмана. Умершее теплокровное весьма быстро остывает до температуры окружающей среды, поскольку энергетическая подпитка его тела прекращается.

Еще важнее, однако, тот факт, что закон распространяется на все без исключения тела с температурой выше абсолютного нуля. Поэтому, отдавая свою тепловую энергию окружающей среде, не забывайте, что и тела, которым вы отдаете энергию, — например, мебель, стены, воздух, — в свою очередь излучают тепловую энергию, и она передается вам. Если окружающая среда холоднее вашего тела (как чаще всего бывает), ее тепловое излучение компенсирует лишь часть тепловых потерь вашего организма, и он восполняет дефицит за счет внутренних ресурсов. Если же температура окружающей среды близка к температуре вашего тела или выше нее, вам не удастся избавиться от избытка энергии, выделяющейся в вашем организме в процессе метаболизма посредством излучения. И тут включается второй механизм. Вы начинаете потеть, и вместе с капельками пота через кожу покидают ваше тело излишки теплоты.

В вышеприведенной формулировке закон Стефана—Больцмана распространяется только на абсолютно черное тело, поглощающее всё попадающее на его поверхность излучение. Реальные физические тела поглощают лишь часть лучевой энергии, а оставшаяся часть ими отражается, однако закономерность, согласно которой удельная мощность излучения с их поверхности пропорциональна Т ⁴, как правило, сохраняется и в этом случае, однако постоянную Больцмана в этом случае приходится заменять на другой коэффициент, который будет отражать свойства реального физического тела. Такие константы обычно определяются экспериментальным путем.

Источник

Общая форма[править | править код]

Открытие[править | править код]

Вывод[править | править код]

Вывод из закона Планка[править | править код]

Термодинамический вывод[править | править код]

n-мерное пространство[править | править код]

Примеры[править | править код]

Температура поверхности Солнца[править | править код]

Температура звёзд[править | править код]

Излучение Хокинга[править | править код]

Температура поверхности Земли[править | править код]

Плотность светового потока чёрных тел[править | править код]

Плотность потока энергии приближения Вина[править | править код]

Плотность потока энергии приближения Рэлея — Джинса[править | править код]

Подтверждение, принятие и значение[править | править код]

Примечания(А)[править | править код]

Примечания[править | править код]

Источники[править | править код]

Действие закона Стефана-Больцмана

История открытия

Концепция черного тела

Математическая формула закона излучения

Использование закона Стефана-Больцмана

Рис. 3

Рис. 4

ВОПРОСЫ ДЛЯ ДОПУСКА К РАБОТЕ

ВОПРОСЫ ДЛЯ ЗАЩИТЫ

ЛИТЕРАТУРА

Вам также может понравиться

Как найти молитву по соглашению

Как найти пароль вай фай виндовс 10

Как найти объем пирамиды в пространстве

Добавить комментарий Отменить ответ

ВОПРОСЫ
ДЛЯ ДОПУСКА К РАБОТЕ

ВОПРОСЫ
ДЛЯ ЗАЩИТЫ